Este documento explica las ecuaciones de primer grado, incluyendo las identidades y ecuaciones, las variables e incógnitas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de las reglas de la suma y del producto para despejar la incógnita.

1. ECUACIONES DE
PRIMER GRADO

2. Ecuaciones de primer grado
 IDENTIDADES.-
 Son las igualdades entre expresiones
numéricas o algebraicas que SIEMPRE
son ciertas para cualquier valor de las
letras.
 Ejemplos:
 4 = 4
 x = x
 x2 – 1 = (x + 1).(x – 1)
• ECUACIONES.-
• Son las igualdades de expresiones
alebraicas que SOLAMENTE son
ciertas para algunos valores de las
letras.
• Ejemplos:
• x = 5 , sólo es cierto si x = 5
• x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7
• x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2
• o si x = - 2

3. Soluciones de una ecuación
 VARIABLES E INCÓGNITAS
 En un monomio a la x se la denomina VARIABLE.
 En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama
INCÓGNITA.
 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
 Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la
igualdad.
 Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.
 Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES.
 Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES.

4. ECUACIONES EQUIVALENTES
 Las ecuaciones de primer grado son aquellas
igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la
unidad.
 Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma
solución.
 Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación
equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente
la INCÓGNITA.
 Eso se llama DESPEJAR.

5. RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES
 1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos.
 2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva.
 Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo.
 3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los
términos constantes al otro.
 (Se aplica la Regla de la Suma).
 4.- Se reducen términos semejantes.
 5. Se despeja la incógnita.
 (Se aplica la Regla del Producto).
 NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.

6. REGLA DE LA SUMA
 ( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
 Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la
misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
 Ejemplo:
 x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a
 Numéricamente:
 x – 3 = 7  x – 3 + 3 = 7 + 3  x = 7 + 3
 Ejemplo:
 x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a
 Numéricamente:
 x + 3 = 7  x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 7 – 3

7. Ejemplos
 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5
 Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
 x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7
 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita,
pasa al otro lado sumando.
 2. Resolver la ecuación: x +3 = 7
 Restamos 3 a ambos lados, quedando:
 x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 4
 O sea, el 3 que estaba sumando a la
incógnita, pasa al otro lado restando.

8.  3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5
 Cuando hay varios términos con “x”, se pasan
todas las “x” a un lado y los demás términos al
otro.
 Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
 x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7
 Restamos x a ambos lados, quedando:
 x – x = x + 7 – x  0 = 7 
 Esta igualdad resultante es imposible.
 La ecuación es INCOMPATIBLE

9.  4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2
 Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
 x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x 
 Nos ha dado una IDENTIDAD.
 Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS
SOLUCIONES
 5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x
 Restamos x a ambos lados quedando:
 2.x – 2 – x = 6 + x – x  x – 2 = 6
 Sumamos 2 a ambos lados, quedando:
 x – 2 + 2 = 6 + 2  x = 8
 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.

10. REGLA DEL PRODUCTO
 ( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
 Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos
lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta
 Ejemplo:
 x x a.x
 --- = b  a. --- = a. b  ------ = a.b  x = a.b
 a a a
 Numéricamente:
 x x 3.x
 --- = 4  3. --- = 3. 4  ------ = 3.4  x = 12
 3 3 3

11.  Ejemplo:
 a.x b
 a.x = b  -------- = ----  x = b / a
 a a
 Numéricamente:
 3.x 9
 3.x = 9  -------- = ----  x = 9 / 3 = 3
 3 3
 Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor
entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible,
salvo que sea decimal exacto.
 x = 2 Bien
 x = 3 / 2 = 1,5 Bien
 x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto.
 x = 2 / 3 Bien

12. Ejemplos
 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6
 Dividimos por 2 a ambos lados, quedando:
 2.x / 2 = 6 / 2  x = 3
 O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado
dividiendo.
 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5
 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
 x 3.x
 3.---- = 3.5  ---------- = 15  x = 15
 3 3
 O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado
multiplicando.

13.  8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4
 Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?.
 Mejor donde queden positivas.
 Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
 2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x  - 2 = 3.x + 4
 Restamos 4 a ambos lados, quedando:
 – 2 – 4 = 3.x + 4 – 4  – 6 = 3.x 
 Dividimos ambos por 3, quedando:
 – 6 3.x
 ---- = ------  – 2 = x
 3 3
 O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x
que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba
multiplicando ha pasado dividiendo.

14.  9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6
 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando:
 2.x
 3.[------- – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18
 3
 Restamos 2.x a ambos lados, quedando:
 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18
 Sumamos 18 a ambos lados, quedando:
 – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x
 MUY IMPORTANTE:
 Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar primero
la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el denominador
de la fracción.
 Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los que
haya ( o por el producto de los denominadores).

15. 10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6
 Multiplicamos ambos lados por 2, quedando:
 3.x
 2.[2 - ---------)] = 2.(x – 6)  4 – 3.x = 2.x - 12
 2
 Sumamos 3.x a ambos lados, quedando:
 4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x  4 = 5.x – 12
 Sumamos 12 a ambos lados, quedando:
 4 + 12 = 5.x - 12 + 12  16 = 5.x
 Dividimos por 5 a ambos lados, quedando:
 16 5.x
 ---- = --------  16 / 5 = x  x = 3,2
 5 5
 Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.