Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como la media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, diagramas de caja y barras para representar gráficamente la información. El último ejercicio presenta los pesos de 50 recién nacidos.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Condiciones Mínimas De Estadistica I.PrnRaúl Araque
1) El documento presenta una serie de ejercicios estadísticos sobre distribuciones de frecuencias, histograma, polígonos de frecuencias y ojivas. Incluye ejercicios sobre clasificación de variables, proporciones, porcentajes y estimaciones.
2) Se proporcionan las soluciones a los ejercicios, que involucran construir tablas de distribución de frecuencias, gráficas como histograma, polígonos y ojivas, y calcular porcentajes y estimaciones a partir de los datos prov
Tabla de-frecuencias-de-una-variable-continua-para-tercer-grado-de-secundariaCiriloOlivaresValenc
Este documento presenta los pasos para construir una tabla de frecuencias de una variable continua agrupando los datos en intervalos de clase. Explica cómo determinar el rango, número de intervalos, tamaño de los intervalos, límites de clases, frecuencias de clase y marcas de clase. Proporciona un ejemplo numérico ilustrando cada paso.
El documento presenta 6 ejercicios estadísticos descriptivos sobre diferentes temas como el uso de computadoras, resistencia de materiales, consumo eléctrico y satisfacción laboral. Los ejercicios piden realizar tareas como graficar datos, calcular medidas de tendencia central y dispersión, construir diagramas de caja y tablas de frecuencias, entre otros, a fin de resumir y analizar las diferentes series de datos presentadas.
Este documento presenta ejercicios de estadística descriptiva sobre la construcción de tablas de distribución de frecuencias y representaciones gráficas de datos como histograma, polígonos de frecuencias y ojiva. Se resuelven tres casos prácticos que incluyen datos sobre la duración de tubos, resultados de un test de hábitos de estudio y la estatura de estudiantes. Para cada caso se construye la tabla de distribución de frecuencias y se explica brevemente cómo elaborar las representaciones gráficas correspondientes.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos de estadística que incluyen tablas de datos, cálculos de medidas de tendencia central y dispersión, y representaciones gráficas como histogramas y diagramas de cajas. Los ejercicios cubren temas como distribuciones de frecuencias, medidas de posición y variabilidad, y análisis de datos cuantitativos y cualitativos.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como la media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, diagramas de caja y barras para representar gráficamente la información. El último ejercicio presenta los pesos de 50 recién nacidos.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Condiciones Mínimas De Estadistica I.PrnRaúl Araque
1) El documento presenta una serie de ejercicios estadísticos sobre distribuciones de frecuencias, histograma, polígonos de frecuencias y ojivas. Incluye ejercicios sobre clasificación de variables, proporciones, porcentajes y estimaciones.
2) Se proporcionan las soluciones a los ejercicios, que involucran construir tablas de distribución de frecuencias, gráficas como histograma, polígonos y ojivas, y calcular porcentajes y estimaciones a partir de los datos prov
Tabla de-frecuencias-de-una-variable-continua-para-tercer-grado-de-secundariaCiriloOlivaresValenc
Este documento presenta los pasos para construir una tabla de frecuencias de una variable continua agrupando los datos en intervalos de clase. Explica cómo determinar el rango, número de intervalos, tamaño de los intervalos, límites de clases, frecuencias de clase y marcas de clase. Proporciona un ejemplo numérico ilustrando cada paso.
El documento presenta 6 ejercicios estadísticos descriptivos sobre diferentes temas como el uso de computadoras, resistencia de materiales, consumo eléctrico y satisfacción laboral. Los ejercicios piden realizar tareas como graficar datos, calcular medidas de tendencia central y dispersión, construir diagramas de caja y tablas de frecuencias, entre otros, a fin de resumir y analizar las diferentes series de datos presentadas.
Este documento presenta ejercicios de estadística descriptiva sobre la construcción de tablas de distribución de frecuencias y representaciones gráficas de datos como histograma, polígonos de frecuencias y ojiva. Se resuelven tres casos prácticos que incluyen datos sobre la duración de tubos, resultados de un test de hábitos de estudio y la estatura de estudiantes. Para cada caso se construye la tabla de distribución de frecuencias y se explica brevemente cómo elaborar las representaciones gráficas correspondientes.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos de estadística que incluyen tablas de datos, cálculos de medidas de tendencia central y dispersión, y representaciones gráficas como histogramas y diagramas de cajas. Los ejercicios cubren temas como distribuciones de frecuencias, medidas de posición y variabilidad, y análisis de datos cuantitativos y cualitativos.
Estadística Cálculo de Media y desviación 009CESAR A. RUIZ C
Este documento describe el método abreviado para calcular la media aritmética y la desviación estándar a partir de datos numéricos. Explica que este método estima primero una media y luego aplica correcciones para encontrar los valores reales. Detalla los pasos para calcular la media, que incluyen estimar una media, calcular desviaciones de cada dato respecto a la media estimada, multiplicar las desviaciones por sus frecuencias y dividir la suma para obtener la corrección. Para la desviación estándar, calcula las desviaciones al cuad
Este documento presenta 8 ejercicios estadísticos que involucran tablas de frecuencia, gráficos y análisis de datos. Los ejercicios cubren temas como elaborar tablas de frecuencia a partir de muestras de datos, calcular porcentajes, construir histogramas y polígonos de frecuencia, y representar datos poblacionales mediante gráficos de sectores y barras. El último ejercicio analiza datos sobre tipos de cáncer en pacientes hospitalizados, incluyendo elaborar tablas y representar la información gr
Este documento presenta conceptos fundamentales de estadística y métodos para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencia. Explica cómo construir tablas de frecuencia agrupando datos en intervalos de clases para facilitar el análisis. También cubre conceptos como población, muestra, variables discretas y continuas, y redondeo de datos. El objetivo es reconocer estas ideas básicas y aplicar métodos como tablas de frecuencia para organizar conjuntos de datos.
1. Se presentan los datos de pesos de 80 personas agrupados en intervalos de 5 kg. El 32,5% pesa menos de 65 kg y 24 personas pesan entre 70 y 85 kg.
2. Se construye una tabla con las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas de una distribución dada.
3. Se da la distribución de edades de los empleados de una empresa. El 184 empleado más joven tiene 18 años.
Esto resume el documento presentado, que contiene varios ejercicios estadísticos de descripciones un
Este documento presenta la solución a varios problemas de estadística descriptiva. En el primer problema, se clasifican los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen de estadística en intervalos de clase de 10 unidades de amplitud cada uno y se construyen los gráficos respectivos. En el segundo problema, se analizan los pesos de 36 latas de conserva para determinar el peso promedio, la mediana y el peso modal. Finalmente, se proponen varios problemas adicionales sobre temas como tablas de frecuencia, medidas de tendencia
Este documento presenta un ejercicio sobre distribuciones bidimensionales que incluye los siguientes elementos:
1. Se proporciona una tabla con valores de dos variables, tiempo y número de gérmenes, para varios puntos de datos.
2. Se pide calcular la recta de regresión para predecir el número de gérmenes en función del tiempo.
3. Se estima la cantidad de gérmenes que habrá transcurridas 6 horas utilizando la recta de regresión.
1) El documento presenta varios ejercicios y conceptos matemáticos sobre fracciones, decimales, figuras geométricas, sólidos y estadística.
2) Se resuelven ejercicios de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y números decimales.
3) Se explican conceptos como área, perímetro, volumen, y se dan ejemplos de figuras planas y sólidos tridimensionales.
4) Finalmente, se introducen tablas y diagramas estadísticos, y se pide real
El documento describe los pasos para crear una distribución de frecuencias de un conjunto de datos. Primero se ordenan los datos de menor a mayor y se calcula el rango total. Luego se dividen los datos en 8 clases iguales determinando el ancho de cada clase. Finalmente, los datos se clasifican en las clases correspondientes y se cuentan las frecuencias en cada una.
Documento de la unidad de números decimales, allí estan contenidos los temas que vamos a estudiar en el tercer trimestre del grado 7°. Se puede ir leyendo, repasar lectura, escritura en fracción, numero decimal, unidades decimales etc. Éxitos.
El documento presenta datos sobre las edades de un grupo de alumnos agrupadas en categorías (E1, E2, E3, E4) y sus respectivas frecuencias (N1, N2, N3, N4). Para calcular la edad promedio de la muestra, la fórmula correcta es sumar los productos de cada edad por su frecuencia y dividirlo entre la suma total de frecuencias.
El documento trata sobre conceptos básicos de estadística. Explica las diferentes etapas de un estudio estadístico, los tipos de variables estadísticas, cómo construir tablas de frecuencias y diagramas para representar los datos, y los diferentes parámetros estadísticos para analizar los datos, como la media, mediana y moda.
Este documento contiene la resolución de 20 ejercicios de estadística. Los ejercicios abordan temas como clasificación de variables, tablas y diagramas de frecuencias, intervalos de agrupación de datos y representación gráfica de distribuciones. Las soluciones muestran los pasos para completar cada ejercicio de manera correcta.
Este documento presenta soluciones a ejercicios de proporcionalidad directa e inversa. Incluye tablas y ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como razones, proporciones, regla de tres y problemas de proporcionalidad. Los ejercicios cubren temas como relaciones de magnitudes, completar tablas, escribir proporciones y calcular valores desconocidos usando proporcionalidad directa o inversa.
Este documento presenta un examen de matemáticas financieras con 5 preguntas. La primera pregunta analiza los datos de vida útil de 60 bombillas y pide construir tablas y gráficos de distribución de frecuencias. La segunda pregunta analiza los tiempos que tardan 30 estudiantes en un examen y pide construir tablas y gráficos de distribución. La tercera pregunta identifica términos estadísticos relacionados a muestras o poblaciones. La cuarta pregunta identifica si variables son discretas o continu
Este documento presenta 10 ejercicios de probabilidad y estadística para un examen final. Los ejercicios cubren temas como probabilidad, distribución binomial y distribución normal. Algunos ejercicios piden calcular probabilidades para eventos múltiples o determinar el porcentaje de personas dentro de ciertos rangos de puntuaciones o tiempos basados en distribuciones de muestras pasadas.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Los números complejos están formados por una parte real y otra imaginaria. Pueden expresarse de tres formas: binómica, trigonométrica y polar. La forma binómica es a + bi, donde a es la parte real e i la imaginaria. La forma trigonométrica es r(cosa + isina), donde r es el módulo y a el ángulo. La forma polar es reia, con r el módulo y a el ángulo. Se explican operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potenciación de números complejos.
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Estadística Cálculo de Media y desviación 009CESAR A. RUIZ C
Este documento describe el método abreviado para calcular la media aritmética y la desviación estándar a partir de datos numéricos. Explica que este método estima primero una media y luego aplica correcciones para encontrar los valores reales. Detalla los pasos para calcular la media, que incluyen estimar una media, calcular desviaciones de cada dato respecto a la media estimada, multiplicar las desviaciones por sus frecuencias y dividir la suma para obtener la corrección. Para la desviación estándar, calcula las desviaciones al cuad
Este documento presenta 8 ejercicios estadísticos que involucran tablas de frecuencia, gráficos y análisis de datos. Los ejercicios cubren temas como elaborar tablas de frecuencia a partir de muestras de datos, calcular porcentajes, construir histogramas y polígonos de frecuencia, y representar datos poblacionales mediante gráficos de sectores y barras. El último ejercicio analiza datos sobre tipos de cáncer en pacientes hospitalizados, incluyendo elaborar tablas y representar la información gr
Este documento presenta conceptos fundamentales de estadística y métodos para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencia. Explica cómo construir tablas de frecuencia agrupando datos en intervalos de clases para facilitar el análisis. También cubre conceptos como población, muestra, variables discretas y continuas, y redondeo de datos. El objetivo es reconocer estas ideas básicas y aplicar métodos como tablas de frecuencia para organizar conjuntos de datos.
1. Se presentan los datos de pesos de 80 personas agrupados en intervalos de 5 kg. El 32,5% pesa menos de 65 kg y 24 personas pesan entre 70 y 85 kg.
2. Se construye una tabla con las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas de una distribución dada.
3. Se da la distribución de edades de los empleados de una empresa. El 184 empleado más joven tiene 18 años.
Esto resume el documento presentado, que contiene varios ejercicios estadísticos de descripciones un
Este documento presenta la solución a varios problemas de estadística descriptiva. En el primer problema, se clasifican los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen de estadística en intervalos de clase de 10 unidades de amplitud cada uno y se construyen los gráficos respectivos. En el segundo problema, se analizan los pesos de 36 latas de conserva para determinar el peso promedio, la mediana y el peso modal. Finalmente, se proponen varios problemas adicionales sobre temas como tablas de frecuencia, medidas de tendencia
Este documento presenta un ejercicio sobre distribuciones bidimensionales que incluye los siguientes elementos:
1. Se proporciona una tabla con valores de dos variables, tiempo y número de gérmenes, para varios puntos de datos.
2. Se pide calcular la recta de regresión para predecir el número de gérmenes en función del tiempo.
3. Se estima la cantidad de gérmenes que habrá transcurridas 6 horas utilizando la recta de regresión.
1) El documento presenta varios ejercicios y conceptos matemáticos sobre fracciones, decimales, figuras geométricas, sólidos y estadística.
2) Se resuelven ejercicios de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y números decimales.
3) Se explican conceptos como área, perímetro, volumen, y se dan ejemplos de figuras planas y sólidos tridimensionales.
4) Finalmente, se introducen tablas y diagramas estadísticos, y se pide real
El documento describe los pasos para crear una distribución de frecuencias de un conjunto de datos. Primero se ordenan los datos de menor a mayor y se calcula el rango total. Luego se dividen los datos en 8 clases iguales determinando el ancho de cada clase. Finalmente, los datos se clasifican en las clases correspondientes y se cuentan las frecuencias en cada una.
Documento de la unidad de números decimales, allí estan contenidos los temas que vamos a estudiar en el tercer trimestre del grado 7°. Se puede ir leyendo, repasar lectura, escritura en fracción, numero decimal, unidades decimales etc. Éxitos.
El documento presenta datos sobre las edades de un grupo de alumnos agrupadas en categorías (E1, E2, E3, E4) y sus respectivas frecuencias (N1, N2, N3, N4). Para calcular la edad promedio de la muestra, la fórmula correcta es sumar los productos de cada edad por su frecuencia y dividirlo entre la suma total de frecuencias.
El documento trata sobre conceptos básicos de estadística. Explica las diferentes etapas de un estudio estadístico, los tipos de variables estadísticas, cómo construir tablas de frecuencias y diagramas para representar los datos, y los diferentes parámetros estadísticos para analizar los datos, como la media, mediana y moda.
Este documento contiene la resolución de 20 ejercicios de estadística. Los ejercicios abordan temas como clasificación de variables, tablas y diagramas de frecuencias, intervalos de agrupación de datos y representación gráfica de distribuciones. Las soluciones muestran los pasos para completar cada ejercicio de manera correcta.
Este documento presenta soluciones a ejercicios de proporcionalidad directa e inversa. Incluye tablas y ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como razones, proporciones, regla de tres y problemas de proporcionalidad. Los ejercicios cubren temas como relaciones de magnitudes, completar tablas, escribir proporciones y calcular valores desconocidos usando proporcionalidad directa o inversa.
Este documento presenta un examen de matemáticas financieras con 5 preguntas. La primera pregunta analiza los datos de vida útil de 60 bombillas y pide construir tablas y gráficos de distribución de frecuencias. La segunda pregunta analiza los tiempos que tardan 30 estudiantes en un examen y pide construir tablas y gráficos de distribución. La tercera pregunta identifica términos estadísticos relacionados a muestras o poblaciones. La cuarta pregunta identifica si variables son discretas o continu
Este documento presenta 10 ejercicios de probabilidad y estadística para un examen final. Los ejercicios cubren temas como probabilidad, distribución binomial y distribución normal. Algunos ejercicios piden calcular probabilidades para eventos múltiples o determinar el porcentaje de personas dentro de ciertos rangos de puntuaciones o tiempos basados en distribuciones de muestras pasadas.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Los números complejos están formados por una parte real y otra imaginaria. Pueden expresarse de tres formas: binómica, trigonométrica y polar. La forma binómica es a + bi, donde a es la parte real e i la imaginaria. La forma trigonométrica es r(cosa + isina), donde r es el módulo y a el ángulo. La forma polar es reia, con r el módulo y a el ángulo. Se explican operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potenciación de números complejos.
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Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Analiza casos donde hay correlación positiva, negativa o relación funcional entre variables como estatura de padres e hijos, temperatura de calentamiento de una barra de hierro y su longitud, índice de mortalidad infantil y número de médicos. También incluye ejercicios para calcular coeficientes de correlación y representar gráficamente distribuciones bidimensionales.
(I) El padre de un estudiante de segundo grado adquiere televisión por señal cerrada con HD para que su hijo tenga más opciones de programas culturales. Pagará S/. 50 mensuales por 54 canales con HD, pero debe pagar S/. 180 por la instalación y el codificador. (II) Expresa el costo total en función de los meses que se utilice el servicio de señal cerrada con HD. (III) Grafica el consumo mensual de señal cerrada adquirida en el plano cartesiano.
El documento presenta 8 ejercicios sobre regresión lineal. El ejercicio 1 pide analizar la relación entre medidas manuales y automáticas de nitrato en aguas residuales para determinar si se puede usar un método automático. El ejercicio 2 pide graficar la relación entre el tamaño y número de cuadrados dentro de otros cuadrados. El ejercicio 3 pide ajustar un modelo de regresión entre producción industrial y tiempo.
El documento presenta 8 ejercicios relacionados con el análisis de regresión lineal. El ejercicio 1 pide comprobar si existe una alta correlación positiva entre medidas manuales y automáticas de nitrato en agua, para determinar si se puede usar un nuevo método automático. El ejercicio 2 analiza la relación entre el tamaño y número de cuadrados dibujados. El ejercicio 3 pide ajustar un modelo de regresión entre producción industrial y tiempo.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con estadística bidimensional. Incluye ejercicios sobre tablas de frecuencia de doble entrada, diagramas de barras, nubes de puntos, cálculo de covarianza, correlación y regresión lineal. El documento proporciona soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados como ejemplo para comprender y aplicar los conceptos de estadística bidimensional.
Este documento presenta conceptos básicos de física como notación científica, sistema internacional de unidades, análisis dimensional y vectores. Incluye ejercicios para practicar la conversión entre notación científica y decimal, operaciones con números en notación científica, conversiones de unidades, despeje de variables y suma de vectores gráficamente y analíticamente. El objetivo es que los estudiantes refuercen los conceptos generales de la unidad 1 de física antes de continuar con el curso.
2017 ejercicios de practica matematicas g11Rosa E Padilla
Este documento presenta una hoja de ejercicios de práctica de matemáticas para el undécimo grado. Incluye preguntas sobre trigonometría, funciones, sistemas de ecuaciones, estadística y otros temas. Las instrucciones indican que los estudiantes deben marcar sus respuestas en una hoja de contestaciones separada. El documento proporciona ejemplos y explicaciones para ayudar a los estudiantes a completar los ejercicios.
Este documento presenta una hoja de ejercicios de práctica de matemáticas para el undécimo grado. Incluye preguntas sobre conceptos como funciones trigonométricas, sistemas de ecuaciones, gráficas, estadística y álgebra. Las instrucciones indican que los estudiantes deben marcar sus respuestas en una hoja de contestaciones separada.
1. Un padre de familia decide contratar televisión por cable con HD para que su hijo pueda ver programas culturales en lugar de reality shows. El plan cuesta S/. 50 mensuales por 54 canales con HD, pero tiene un costo de instalación y codificador de S/. 180.
Este documento presenta 11 ejemplos de problemas resueltos relacionados con funciones lineales y cuadráticas. Explica los pasos para resolver problemas de aplicación de funciones y proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los ejemplos presentados.
El documento presenta 16 problemas de matemáticas que abarcan temas como funciones, probabilidad y estadística. Los problemas incluyen representar funciones, calcular parámetros estadísticos como media y desviación estándar, analizar relaciones entre variables, calcular probabilidades de diferentes eventos y resolver problemas de combinatoria.
Este documento presenta varios ejemplos de regresión lineal múltiple para modelar diferentes relaciones entre variables. En el primer ejemplo, se analizan tres conjuntos de datos para determinar cuál tiene la correlación más fuerte. En el segundo ejemplo, se usa la regresión lineal múltiple para predecir salarios basados en la producción y especialización. En el tercer ejemplo, se ajusta un modelo para predecir los ahorros familiares en función de los ingresos.
Este documento presenta información sobre funciones lineales y afines. Explica conceptos clave como dominio, rango, ley de correspondencia y representación gráfica. Incluye ejemplos de problemas resueltos que involucran funciones lineales para calcular distancias, precios, sueldos y más basados en correspondencias entre magnitudes. El documento proporciona también retos de problemas para que el lector aplique lo aprendido sobre funciones lineales.
Este documento presenta un servicio de asesoría en línea para materias como matemáticas y ciencias. Proporciona cotizaciones y permite enviar tareas y ejercicios para su resolución. También incluye instrucciones para trabajar en equipo y responder preguntas sobre lógica proposicional y cuantificadores.
Orientaciones examen extraordinario MAT AFcoJavierMesa
1. El documento proporciona orientaciones para preparar un examen extraordinario de matemáticas de 4o de ESO, incluyendo los tipos más importantes de actividades y problemas. Se deben realizar todas las actividades trabajadas durante el curso y se pueden consultar recursos adicionales.
2. Se presentan 33 problemas y ejercicios de diferentes temas matemáticos que deben resolverse para prepararse adecuadamente.
3. Se ofrecen enlaces a recursos adicionales en un blog para apoyar la preparación del examen.
Este documento presenta 10 preguntas de aptitud académica y humanidades con sus respectivas resoluciones. La primera pregunta involucra el cálculo de un área sombreada de un cuadrado. La segunda pregunta trata sobre palíndromos numéricos. La tercera pregunta involucra el arreglo de dígitos en una tabla.
Este documento presenta 14 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas cubren temas como rutas, probabilidad, geometría y álgebra. Cada problema viene con una solución detallada. El documento parece ser parte de un solucionario de práctica para un examen de habilidades lógico-matemáticas.
1) Se midió la concentración de nitrato en el agua de un lago usando un método manual antiguo y uno automático nuevo.
2) Los datos muestran una alta correlación positiva entre los métodos, lo que indica que el método automático es adecuado.
3) Usando la regresión lineal, se predice que una muestra con lectura manual de 100 tendría una lectura automática de 119,36.
Este documento contiene 40 actividades de repaso de matemáticas para la evaluación de estudiantes de 4o de la Educación Secundaria Obligatoria. Las actividades abarcan temas como aproximaciones y errores, notación científica, potencias, radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, proporcionalidad directa e inversa, porcentajes y geometría.
1. Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
1
Página 225
REFLEXIONA Y RESUELVE
Relación funcional y relación estadística
En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se
citan, hay relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este último
caso, indicar si es positiva o negativa:
• En un conjunto de familias: estatura media de los padres – estatura media de
los hijos.
Correlación positiva.
• Temperatura a la que calentamos una barra de hierro – longitud alcanzada.
Funcional.
• Entre los países del mundo respecto a España: volumen de exportación – volu-
men de importación.
Correlación negativa.
• Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de médicos
por cada 1 000 habitantes.
Correlación negativa.
• En las viviendas de una ciudad: kWh consumidos durante enero – coste del reci-
bo de la luz.
Funcional.
• Número de personas que viven en cada casa – coste del recibo de la luz.
Correlación positiva.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos
perdidos.
Correlación positiva.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos
ganados.
Correlación negativa.
DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES9
2. Ejemplo de relación funcional
Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que al-
canza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza
actúa en un tramo de 1 m).
a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una
fuerza de 110 newton?
b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la
piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que
es impulsada hacia arriba?
a) 4,5 m
b) Altura = – 1 para F ≥ 20
Obtención física de la fórmula:
La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es:
v =
donde v: Aumento de la velocidad en el tramo d.
a: Aceleración constante con la que se mueve el móvil.
d : Espacio que recorre con la aceleración a.
Así, la velocidad con que sale de la mano es:
vs = =
Además:
F = m (a + g) 8 a = – g = – 10
Luego:
vs = = √F – 20
F
√2(— – 10)2
F
2
F
m
√2a√2a 1
√2ad
F
20
ALTURA
(m)
FUERZA
(N)
50
1
5
10020
6
2
3
4
10
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
2
3. Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad:
vs =
O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidad
vs, alcanza una altura h.
En este caso:
vs = =
Igualando:
= 8 h = – 1
Para que h Ó 0, debe ser F Ó 20.
Ejemplo de relación estadística
En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatura
de su padre, y la ordenada, su propia altura.
a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.
b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón.
c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 15 chi-
cos y las de sus padres?
a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5)
b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5).
c) En general, sí.
ESTATURA HIJOS
ESTATURA
PADRES
190
180
170
160
160 170 180 190
F
20
√20h√F – 20
√20h√2 · 10 · h
√2gh
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
3
9UNIDAD
4. Página 227
1. La tabla de la derecha muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, C…,
según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Re-
presenta los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di
cómo te parece la correlación.
La correlación es negativa y moderada-
mente alta (–0,62).
Página 229
1. Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las dis-
tribuciones de la página 226:
Matemáticas – Filosofía Distancia – Número de encestes
Hazlo también con una calculadora con MODO LR.
Matemáticas-Filosofía:
–x = = 6
–y = = 5,25
qx = = 2,45
qy = = 1,92
qxy = – 6 · 5,25 = 2,75
Por tanto: r = = 0,58
2,75
2,45 · 1,92
411
12
√ 375
– 5,252
12
√ 504
– 62
12
63
12
72
12
2
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
I.N.
R.P.C.
PAÍSES
R.P.C.
I.N.
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 6 9 5 7 4 1 3 8 2
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
4
xi
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10
10
yi
2
5
2
7
5
4
6
6
7
5
5
9
xi
2
4
9
16
16
25
36
36
49
49
64
100
100
yi
2
4
25
4
49
25
16
36
36
49
25
25
81
xiyi
4
15
8
28
25
24
36
42
49
40
50
90
72 63 504 375 411
6. Página 238
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Sin fórmulas
1 Para cada uno de los siguientes casos indica:
• Cuáles son las variables que se relacionan.
• Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística y, en es-
tos casos, el signo de la correlación.
a) Renta mensual de una familia-gasto en electricidad.
b) Radio de una esfera-volumen de esta.
c) Litros de lluvia recogidos en una ciudad-tiempo dedicado a ver la televi-
sión por sus habitantes.
d) Longitud del trayecto recorrido en una línea de cercanías-precio del bi-
llete.
e) Peso de los alumnos de 1-º de Bachillerato-número de calzado que usan.
f ) Toneladas de tomate recogidas en una cosecha-precio del kilo de tomate
en el mercado.
a) Renta (€), gasto (€).
Correlación positiva.
b) Relación funcional.
c) Relación estadística. Seguramente muy débil. Positiva (¿cabe pensar que cuanto
más llueva más tiempo pasarán en casa y, por tanto, más verán la televisión?).
d) Aunque lo parezca a priori, seguramente la relación no es funcional. Es una co-
rrelación positiva fuerte.
e) Correlación positiva.
f) Correlación negativa (cuanto mayor sea la cosecha, más baratos están los toma-
tes).
2 a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bi-
dimensionales:
A
5
10
5
10
B
5
10
5
10
C
5
10
5
10
D
5
10
5
10
PARA PRACTICAR
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
6
7. b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación
negativa?
c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión
analítica de la función que relaciona las dos variables?
d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.
a)
b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.
c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x.
d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).
3 Los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales que
aparecen a continuación son, en valor absoluto, los siguientes:
0,55 0,75 0,87 0,96
Asigna a cada uno el suyo, cambiando el signo cuando proceda:
a) b)
C 10
5
5 10
D 10
5
5 10
A 10
5
5 10
B 10
5
5 10
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
7
9UNIDAD
8. a) r = 0,96 b) r = –0,75 c) r = 0,55 d) r = –0,87
4 Representa la nube de puntos correspondiente a esta distribución y di cuán-
to vale el coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación vale –1.
5 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres
puede ser el coeficiente de correlación:
a) r = 0,98
b) r = –0,87
c) r = 0,5
c) r = 0,5
9
7
5
3
1
2 4 6 8 9 X
Y
x
y
0
1
1
4
2
6
3
2
3
4
4
8
5
6
6
5
7
3
8
6
9
9
10
6 X
Y
x
y
1
10
2
8
3
6
4
4
5
2
6
0
a) b)
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
8
9. 6 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son:
Representa los valores, sobre papel cuadriculado, mediante una nube de
puntos.
Traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa
y si es más o menos fuerte de lo que esperabas.
La correlación es positiva y fuerte.
Página 239
Con fórmulas
7 Esta es la distribución bidimensional dada en el ejercicio 2B) mediante una
nube de puntos:
Halla:
a) x
–
, y
–
, qx, qy, qxy.
b)El coeficiente de correlación, r. Interprétalo.
c) Las dos rectas de regresión.
n = 12, Sx = 59 Sy = 59
Sx2 = 401 Sy2 = 389 Sxy = 390
a) x– = 4,92 y– = 4,92
qx = 3,04 qy = 2,87 qxy = 8,33
x
y
0
0
1
2
2
2
3
4
4
3
4
6
5
4
6
5
7
7
8
7
9
9
10
10
150
160
170
180
Y
X150 160 170 180
xi
yi
158
163
162
155
164
160
165
161
168
164
169
158
172
175
172
169
174
166
178
172
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
9
9UNIDAD
10. b) r = = 0,95. Se trata de una correlación fuerte y positiva.
c) Recta de regresión de Y sobre X:
= 0,90 8 y = 4,92 + 0,9(x – 4,92)
Recta de regresión de X sobre Y:
= 1,01 8 y = 4,92 + (x – 4,92) 8 y = 4,92 + 0,99(x – 4,92)
8 Observa la distribución D del ejercicio 2.
a) Descríbela mediante una tabla de valores.
b)Realiza los cálculos para obtener su coeficiente de correlación.
c) Representa los puntos en tu cuaderno. Halla la ecuación de la recta de re-
gresión de Y sobre X y represéntala.
a)
b) n = 10 Sx = 49 x– = = 4,9
Sy = 50 y– = = 5
Sx2 = 301 qx = = 2,47
Sy2 = 310 qy = = 2,45
Sxy = 199 qxy = – 4,9 · 5 = –4,6
r = = –0,76
c) Recta de regresión de Y sobre X:
y = 5 – (x – 4,9) 8 y = 8,675 – 0,75x
10
5
5 10 X
Y
4,6
6,1
4,6
2,47 · 2,45
199
10
301
√— – 52
10
301
√— – 4,92
10
50
10
49
10
x
y
1
5
2
8
3
7
4
6
4
9
5
4
6
5
7
2
8
3
9
1
1
1,01
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qxqy
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
10
11. 9 a) Representa la siguiente distribución bidimensional:
b)Comprueba con la calculadora que sus parámetros son:
x
–
= 4,4 y
–
= 4,9qxy = 3,67
qx = 2,77 qy = 2,31 r = 0,57
c) Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y so-
bre X, y represéntalas junto con la nube de puntos.
a) Representada en el ejercicio 5.
b) Se comprueba.
c) • Recta de regresión de Y sobre X:
myx = = = 0,48 8 y = 4,9 + 0,48(x – 4,4) 8 y = 0,48x + 2,79
• Recta de regresión de X sobre Y:
mxy = = = 0,69 8 = 1,45 8 y = 4,9 + 1,45(x – 4,4) 8
8 y = 1,45x – 1,48
10 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17,
21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión es
y = 10,5 + 3,2x.
Calcula
^
y (13),
^
y (20),
^
y (30),
^
y (100).
¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no
se debe hacer?
Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo:
^
y (13) = 52,1.
Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea pró-
ximo a 52).
9
X sobre Y
Y sobre X
5
5 9 X
Y
1
mxy
3,67
2,312
qxy
qy
2
3,67
2,772
qxy
qx
2
x
y
0
1
1
4
2
6
3
2
3
4
4
8
5
6
6
5
7
3
8
6
9
9
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
11
9UNIDAD
12. ^
y(13) = 52,1;
^
y(20) = 74,5;
^
y(30) = 106,5;
^
y(100) = 330,5
Son fiables
^
y(13) e
^
y(20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utili-
zados para obtener la recta de regresión.
^
y(30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.
^
y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].
11 La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centíme-
tro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por
centímetro cúbico en función del tiempo.
b) ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico cabe esperar que haya
a las 6 horas? ¿Es buena esta estimación?
a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x 8 número horas, y 8 número de gérmenes
b)
^
y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes.
Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo
de valores considerado).
12 La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg, y la
de sus estaturas, 170 cm. Sus desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm. La co-
varianza es 40 kg · cm. Halla:
a) Coeficiente de correlación.
b)La recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.
c) Estima el peso de un individuo de 180 cm de estatura perteneciente a ese
colectivo.
a) r = 0,8
b) y = 65 + 0,4(x – 170) = 0,4x – 3 8
c)
^
y (180) = 69 kg
13 En una zona residencial se ha tomado una muestra para relacionar el nú-
mero de habitaciones que tiene cada piso (h) con el número de personas
que viven en él (p). Estos son los resultados:
x: estaturas en cm
y: pesos en kg
°
¢
£
N.° DE HORAS
N.° DE GÉRMENES
0
20
1
26
2
33
3
41
4
47
5
53
PARA RESOLVER
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
12
13. Represéntalos mediante una nube de puntos. Calcula el coeficiente de corre-
lación e interprétalo.
h: número de habitaciones
p: número de personas
n = 10 Sh = 37 h
–
= = 3,7
Sp = 35 p– = = 3,5
Sh2 = 149 qh = = 1,1
Sp2 = 145 qp = = 1,5
Shp = 144 qhp = – 3,7 · 3,5 = 1,45
r = = 0,88
Es una correlación positiva y fuerte (a más habitaciones, más personas en el piso).
14 La tabla adjunta relaciona el número atómico de varios metales con su den-
sidad:
a) Representa los puntos y halla el coeficiente de correlación.
Elemento
N-º atómico
K
19
Densidad 0,86
Ca
20
1,54
Ti
22
4,50
V
23
5,60
Mn
25
7,11
Fe
26
7,88
Co
27
8,70
Ni
28
8,80
1,45
1,1 · 1,5
144
10
145
√— – 3,52
10
149
√— – 3,72
10
35
10
37
10
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
6
6
N-º DE HABITACIONES
N-º DE PERSONAS
h
p
2
1
2
2
3
2
3
3
4
3
4
4
4
5
5
4
5
5
5
6
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
13
9UNIDAD
14. b)Mediante una recta de regresión, estima la densidad del cromo si su nú-
mero atómico es 24: Cr (24).
c) Estima la densidad del escandio: Sc (21).
a)
b) y c)
^
y = –16,5 + 0,93x
^
y (24) = 5,86
^
y (21) = 3,06
Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valores
reales de estas densidades son 7,1 y 2,9.)
Página 240
15 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de
pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fue-
ron los siguientes:
a) ¿Cuál es el precio medio registrado?
b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.
c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pes-
casen 2 600 kg.
a) –y = 1,51 euros
b) r = –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad
de pescado, menor es el precio por kilo.
c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x.
^
y (2600) = 1,59 euros.
x (kg)
y (euros/kg)
2 000
1,80
2 400
1,68
2 500
1,65
3 000
1,32
2 900
1,44
2 800
1,50
3 160
1,20
19
1
2
3
8
21 23 25 27
r = 0,98
4
5
6
7
9
N-º ATÓMICO
DENSIDAD
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
14
15. 16 Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche
(litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sido
los siguientes:
a) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.
b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible de-
bemos poner?
a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x
b)
^
y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros.
17 La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación
en 1987 fue:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.
c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC?
r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fia-
ble la tasa de inflación a partir del IPC (pues |r | es muy bajo).
18 El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87.
Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficien-
te de correlación de esta nueva distribución?
El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional.
CUESTIONES TEÓRICAS
0,5
4,5
6
1 1,5 2 2,5
5
5,5
6,5
I.P.C.
TASA DE INFLACIÓN
IPC
TASA DE INFLACIÓN
ENERO
0,7
6
FEBRERO
1,1
6
MARZO
1,7
6,3
ABRIL
2
6,2
MAYO
1,9
5,8
JUNIO
1,9
4,9
x (km)
y (l )
100
6,5
80
6
50
3
100
6
10
1
100
7
70
5,5
120
7,5
150
10
220
15
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
15
9UNIDAD
16. 19 Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado ne-
gativa.
Justifica por qué podemos afirmar que tanto el coeficiente de correlación como
las pendientes de las dos rectas de regresión son números negativos.
Hay que tener en cuenta que r = ; myx = ; mxy = y que qx Ó 0,
qy Ó 0 siempre.
Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo que qxy . (Además, suponemos qx ? 0
y qy ? 0.)
20 ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?
El centro de gravedad de la distribución, ( –x, –y ).
21 ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la rec-
ta de regresión sean fiables?
|r| debe estar próximo a 1.
22 Prueba que el producto de los coeficientes de regresión myx y mxy es igual
al cuadrado del coeficiente de correlación.
myx · mxy = · = ( )
2
= r2
23 De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resulta-
dos:
• Recta de regresión de Y sobre X:
y = 8,7 – 0,76x
• Recta de regresión de X sobre Y:
y = 11,36 – 1,3x
a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.
b) Halla el coeficiente de correlación.
a) El centro de gravedad, (–x, –y ), es el punto de corte entre las dos rectas:
8,7 – 0,76x = 11,36 – 1,3x
0,54x = 2,66
x = 4,93
y = 4,95
El centro de gravedad es (–x, –y ) = (4,93; 4,95).
°
¢
£
y = 8,7 – 0,76x
y = 11,36 – 1,3x
qxy
qx
qy
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qx
qy
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
16
17. b) Para hallar r tenemos en cuenta el ejercicio anterior:
r2 = myx · mxy = –0,76 · = 0,58 8 r = 0,76
24 La estatura media de 100 escolares de cierto curso de ESO es de 155 cm con
una desviación típica de 15,5 cm.
La recta de regresión de la estatura respecto al peso es:
y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura)
a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?
b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?
a) La recta de regresión es:
y = –y + m (x – –x ) = 155 + 1,5(x – –x ) = 155 + 1,5x – 1,5–x = (155 – 1,5–x ) + 1,5x =
= 80 + 1,5x 8 155 – 1,5–x = 80 8 –x = 50 kg
b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).
Página 241
25 En una muestra de 64 familias se han estudiado
el número de miembros en edad laboral, x, y el
número de ellos que están en activo, y. Los re-
sultados son los de la tabla. Calcula el coeficiente
de correlación lineal entre ambas variables e in-
terprétalo.
r = 0,31. La relación entre las variables es débil.
26 Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el
número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y
las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CD):
CD (X)
CONCIERTOS (y)
10 - 30 30 - 40 40 - 80
1 - 5
5 - 10
10 - 20
3
1
0
0
4
1
0
1
5
x
y
1
6 0 0
10 2 0
12 5 1
16 8 4
2 3
1
2
3
4
PARA PROFUNDIZAR
1
–1,3
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
17
9UNIDAD
18. a) Calcula el número medio de CD vendidos.
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.
d) Si un grupo musical vende 18 000 CD, ¿qué número de conciertos se pre-
vé que dé?
x 8 CD; y 8 Conciertos
a) –x = 9,6 ≈ 10
b) r = 0,814
c) y = 13,51 + 2,86x
d)
^
y (18) = 64,99 ≈ 65 conciertos
Página 241
AUTOEVALUACIÓN
1. Observa estas distribuciones bidimensionales:
Asigna razonadamente uno de los siguientes coeficientes de correlación a ca-
da gráfica:
0,2 –0,9 –0,7 0,6
La correlación de a) es positiva, y las de b) y c), negativas. En d) no se aprecia co-
rrelación. La correlación de c) es más fuerte que la de b). Por tanto:
a) 8 0,6
b) 8 –0,7
c) 8 –0,9
d) 8 0,2
a) b)
c) d)
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
18
19. 2. Representa esta distribución bidimensional:
a) Calcula los parámetros x
–
, y
–
, qx, qy, qxy.
b)Halla el coeficiente de correlación.
c) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
d)Estima el valor de y para x = 5 y para x = 10. ¿Son “buenas” estas esti-
maciones?
a) x
–
= 5, y
–
= 6
qx = 2,8; qy = 2,7; qxy = 7,1
b) r = 0,95
c) y = 0,91x + 1,45
d) y
^
(5) = 6, y
^
(10) = 10,55
Las estimaciones son muy fiables porque r = 0,95 es un valor muy alto. Si se tratase
de “notas” (de 0 a 10), la segunda estimación habría que “hacerla real” y darle el va-
lor 10.
3. La recta de regresión de Y sobre X de una cierta distribución bidimensional
es y = 1,6x – 3. Sabemos que x
–
= 10 y r = 0,8.
a) Calcula y
–
.
b)Estima el valor de y para x = 12 y para x = 50. ¿Qué estimación te pare-
ce más fiable?
a) Puesto que la recta pasa por (x
–
, y
–
):
y
–
= 1,6x
–
– 3 = 1,6 · 10 – 3 = 13
b) y
^
(12) = 1,6 · 12 – 3 = 16,2
y
^
(50) = 1,6 · 50 – 3 = 77
La primera estimación es aceptable por ser 12 próximo a x
–
= 10 (carecemos de
información sobre los valores que toma x). La segunda estimación es muy poco
significativa, pues 50 se separa demasiado de x
–
.
5 10
5
10
x
y
1
2
2
4
2
3
3
4
4
6
6
5
7
8
8
9
8
10
9
9
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
19
9UNIDAD
20. 4. El consumo de energía per cápita y en miles de kWh y la renta per cápita x
en miles de euros de seis países son:
a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X.
b) Halla el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta.
c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía per cápita de
un país cuya renta per cápita es de 4,4 miles de euros?
Resolución
x
–
= 8,63, y
–
= 4,37
qx = 2,46, qy = 1,09, qxy = 2,51
a) Recta de regresión de Y sobre X:
y = 4,37 + (x – 8,63) 8 y = 0,79 + 0,41x
b) Coeficiente de correlación:
r = = 0,93
c) Para x = 4,4, estimamos el valor de y:
y
^
(4,4) = 0,79 + 0,41 · 4,4 = 2,59
Se le estima un consumo de energía de 2,59 miles de Kw/h por habitante.
2,51
1,09 · 2,46
2,51
2,462
x
y
A
11,1
5,7
B
8,5
5,0
C
11,3
5,1
D
4,5
2,7
E
9,9
4,6
F
6,5
3,1
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
20