Este documento presenta un solucionario de problemas y ejercicios de geometría analítica para el texto de Charles H. Lehmann. Incluye problemas resueltos del texto de F.J. De La Borbolla. El autor explica que su intención es contribuir a despertar el interés de los estudiantes por la geometría analítica y ofrecer soluciones claras y concisas a los problemas. El solucionario contiene 10 capítulos sobre diferentes temas geométricos como sistemas de coordenadas, ecuaciones de rectas y cónicas,
El documento presenta preguntas sobre conceptos relacionados con algoritmos. 1) Un algoritmo es un conjunto de instrucciones bien definidas para realizar una actividad mediante pasos sucesivos. 2) Los algoritmos sirven para resolver problemas mediante una lista finita de pasos que convierten los datos de entrada en una solución. 3) Una estructura secuencial es aquella donde una acción sigue a otra en secuencia hasta completar el proceso.
El documento presenta preguntas sobre conceptos básicos de algoritmos. 1) Los algoritmos pueden describirse formalmente usando estructuras de primer orden y son independientes de su implementación. 2) El diseño, expresión como programa, ejecución y validación son los pasos para resolver un problema. 3) La transición entre estados en un algoritmo está completamente determinada por una descripción finita.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento contiene 16 ejemplos de algoritmos en C para resolver problemas matemáticos y lógicos comunes. Los algoritmos incluyen conversiones de unidades, cálculos con fórmulas, ordenamiento de números y determinación de condiciones lógicas. El documento proporciona el código fuente comentado para cada algoritmo con el fin de explicar conceptos básicos de programación.
Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Sirve como un método para resolver un problema mediante una secuencia de pasos. Esta secuencia puede expresarse como un diagrama de flujo para seguirlo de forma más sencilla.
Este documento describe tres técnicas para recorrer grafos: recorrido en anchura, recorrido en profundidad y recorrido de camino más corto. Explica que el recorrido en anchura explora primero los nodos más cercanos al nodo inicial, mientras que el recorrido en profundidad explora primero los nodos adyacentes a los nodos visitados más recientemente. También describe que el recorrido de camino más corto encuentra el camino entre dos nodos tal que la suma de los pesos de las aristas es
El documento presenta un resumen de un cuestionario sobre arquitectura de computadoras. El cuestionario fue respondido correctamente, obteniendo un puntaje perfecto del 100%. Cubrió temas como el modelo de Von Neumann, componentes internos de los microprocesadores como transistores y circuitos integrados, y características a considerar al elegir un microprocesador como la velocidad y número de núcleos.
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Este documento contiene 16 ejemplos de algoritmos en C para resolver problemas matemáticos y lógicos comunes. Los algoritmos incluyen conversiones de unidades, cálculos con fórmulas, ordenamiento de números y determinación de condiciones lógicas. El documento proporciona el código fuente comentado para cada algoritmo con el fin de explicar conceptos básicos de programación.
Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Sirve como un método para resolver un problema mediante una secuencia de pasos. Esta secuencia puede expresarse como un diagrama de flujo para seguirlo de forma más sencilla.
Este documento describe tres técnicas para recorrer grafos: recorrido en anchura, recorrido en profundidad y recorrido de camino más corto. Explica que el recorrido en anchura explora primero los nodos más cercanos al nodo inicial, mientras que el recorrido en profundidad explora primero los nodos adyacentes a los nodos visitados más recientemente. También describe que el recorrido de camino más corto encuentra el camino entre dos nodos tal que la suma de los pesos de las aristas es
El documento presenta un resumen de un cuestionario sobre arquitectura de computadoras. El cuestionario fue respondido correctamente, obteniendo un puntaje perfecto del 100%. Cubrió temas como el modelo de Von Neumann, componentes internos de los microprocesadores como transistores y circuitos integrados, y características a considerar al elegir un microprocesador como la velocidad y número de núcleos.
Ejemplos de algoritmos en C básicos (aprendiendo a programar)Kiim Kerrigan
1) El documento presenta 20 algoritmos en lenguaje C con ejemplos de código para calcular diferentes operaciones matemáticas y lógicas como promedios, áreas, conversiones de unidades, comparaciones y más.
2) Los algoritmos van desde cálculos simples como sumas y promedios hasta operaciones más complejas como determinar si un número está en un rango específico o calcular el costo de una llamada telefónica.
3) El documento provee el código completo en C para cada algoritmo junto con explicaciones breves sobre lo que cada programa calcul
Mecanica vectorial para ingenieros, dinamica 9 edicion solucionario copiaozhvy
Este documento describe los pasos para realizar una investigación científica, incluyendo la formulación de una pregunta de investigación, revisión de literatura, diseño de un estudio, recopilación y análisis de datos, y comunicación de los resultados.
Librerias Básicas y sus Funciones Lenguaje de Programación CCristian Maza
Este documento describe las principales bibliotecas de C++ y sus funciones. Incluye iostream para entrada/salida, math para operaciones matemáticas, stdio para entrada/salida estándar, stdlib para gestión de memoria y procesos, y string para manipulación de cadenas. Cada biblioteca define funciones clave como cout, pow, printf, free y strcpy.
Este documento introduce los conceptos básicos de los vectores o arreglos unidimensionales en lenguaje C. Explica la definición de vectores, cómo declarar e inicializar vectores, y las operaciones básicas como asignación, lectura, escritura, actualización, búsqueda y ordenamiento. También incluye ejemplos de código para ilustrar el uso de vectores en la solución de problemas.
Este documento presenta 10 ejercicios de diagramas de flujo. Cada ejercicio propone un problema diferente que involucra operaciones matemáticas o lógicas como sumar, encontrar el mayor de dos números, calcular una hipotenusa, sumar números leídos, escribir pares, sumar impares, etc. El objetivo es que el estudiante cree el diagrama de flujo correspondiente a cada problema planteado.
El documento presenta varios problemas y ejercicios de algoritmos que involucran cálculos matemáticos y lógica de programación. Se piden desarrollar algoritmos para resolver cada problema y representarlos mediante diagrama de flujo, pseudocódigo y diagrama N/S. Los problemas incluyen cálculos como determinar el total a pagar por diferentes tipos de hamburguesas, contar focos por color, calcular salarios con incrementos anuales, determinar descuentos en artículos por rango de precios, calcular promedios de edades por sal
La estructura do while ejecuta el bloque repetitivo al menos una vez, a diferencia de while y for que podrían no ejecutarlo. Otras estructuras repetitivas como for y while tienen la condición al principio, mientras que do while la tiene al final, por lo que siempre se ejecuta el bloque al menos una vez. El documento también describe otras estructuras de control como if, break, continue y exit que permiten modificar el flujo de ejecución de un programa.
El documento presenta varios ejemplos de código en Java para resolver problemas matemáticos utilizando estructuras de control como bucles for y while. Se muestran algoritmos para calcular sumas, promedios, máximos, mínimos, factoriales y series numéricas utilizando ciclos y condicionales.
Este documento explica los bucles anidados en C, proporcionando ejemplos de código que utilizan bucles anidados para imprimir patrones, calcular factoriales, promedios de notas de estudiantes y más.
REPRESENTACION DE RELACIONES Y DIGRAFOS EN LA COMPUTADORADavid Hernandez
Representación de las relaciones y digrafos en la computadora .
Tercer semestre Ingenieria de sistemas y Computacion.
Universidad Del Quindio Armenia 2014
El documento define algoritmos y describe su origen, clasificación, representación y características. Explica que un algoritmo es un conjunto de pasos para resolver un problema de forma finita, precisa y no ambigua. Señala que los algoritmos se pueden representar gráficamente o no gráficamente y que deben ser correctos, funcionales, eficientes y claros. También describe métodos para resolver problemas y la simbología de diagramas de flujo.
Algoritmos Cualitativos y Cuantitativos marievivanco
Este documento presenta varios algoritmos cualitativos y cuantitativos. Incluye algoritmos para calcular el área de un cuadrado, rombo y la conversión de grados Fahrenheit a Celsius. También incluye algoritmos para descomponer un número en su parte entera y decimal, calcular el área y perímetro de un cuadrado, y el volumen de un cilindro.
Redondear un número entero ingresado a la decena y centena más cercana. Carlos Aviles Galeas
El programa lee un número de tres dígitos ingresado por el usuario y asigna sus unidades, decenas y centenas a variables. Luego redondea el número a la decena y centena más cercanas, mostrando los resultados. Por ejemplo, para el número 367, el redondeo a la decena más cercana es 370 y a la centena más cercana es 400.
5.000 problemas de analisis matematico ( demidovich )Eduardo Juarez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera de 10 millas a través de un bosque. Explica los pasos del proceso de construcción, incluyendo la tala de árboles, la excavación, la colocación de grava y el asfalto. También destaca los posibles impactos ambientales y las medidas para mitigarlos.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de algoritmos y programación. Explica que un algoritmo es un conjunto de pasos para resolver un problema y debe ser preciso, determinista y finito. Describe los módulos principales de un algoritmo y los símbolos utilizados en diagramas de flujo. También introduce los tipos de datos que pueden usarse, incluyendo datos simples como enteros, reales y caracteres, y datos estructurados como arreglos y registros. Finalmente, explica conceptos como identificadores, constantes y variables.
Presentación usada por Pablo Garaizar Sagarminaga en la jornada Año Turing - Año de la Informática 2012 organizada el 28 de noviembre de 2012. Más información: http://www.turing2012.ingenieria.deusto.es
La Universidad del Tolima establece su sistema de capacitación para empleados públicos. El sistema se compone de varios componentes como planes, disposiciones, normas y recursos organizados para coordinar la capacitación y mejorar el desempeño de la Universidad. La capacitación incluye procesos de formación continua para actualizar conocimientos y habilidades del personal.
Este documento contiene el acta de la sesión plenaria ordinaria de la Asamblea Legislativa de El Salvador de 1993. En la sesión se discute y modifica la agenda, se lee correspondencia, se presentan varias piezas legislativas y dictámenes de comisiones. Los diputados debaten propuestas para introducir nuevos temas e informes y modificar el orden del día.
Ejemplos de algoritmos en C básicos (aprendiendo a programar)Kiim Kerrigan
1) El documento presenta 20 algoritmos en lenguaje C con ejemplos de código para calcular diferentes operaciones matemáticas y lógicas como promedios, áreas, conversiones de unidades, comparaciones y más.
2) Los algoritmos van desde cálculos simples como sumas y promedios hasta operaciones más complejas como determinar si un número está en un rango específico o calcular el costo de una llamada telefónica.
3) El documento provee el código completo en C para cada algoritmo junto con explicaciones breves sobre lo que cada programa calcul
Mecanica vectorial para ingenieros, dinamica 9 edicion solucionario copiaozhvy
Este documento describe los pasos para realizar una investigación científica, incluyendo la formulación de una pregunta de investigación, revisión de literatura, diseño de un estudio, recopilación y análisis de datos, y comunicación de los resultados.
Librerias Básicas y sus Funciones Lenguaje de Programación CCristian Maza
Este documento describe las principales bibliotecas de C++ y sus funciones. Incluye iostream para entrada/salida, math para operaciones matemáticas, stdio para entrada/salida estándar, stdlib para gestión de memoria y procesos, y string para manipulación de cadenas. Cada biblioteca define funciones clave como cout, pow, printf, free y strcpy.
Este documento introduce los conceptos básicos de los vectores o arreglos unidimensionales en lenguaje C. Explica la definición de vectores, cómo declarar e inicializar vectores, y las operaciones básicas como asignación, lectura, escritura, actualización, búsqueda y ordenamiento. También incluye ejemplos de código para ilustrar el uso de vectores en la solución de problemas.
Este documento presenta 10 ejercicios de diagramas de flujo. Cada ejercicio propone un problema diferente que involucra operaciones matemáticas o lógicas como sumar, encontrar el mayor de dos números, calcular una hipotenusa, sumar números leídos, escribir pares, sumar impares, etc. El objetivo es que el estudiante cree el diagrama de flujo correspondiente a cada problema planteado.
El documento presenta varios problemas y ejercicios de algoritmos que involucran cálculos matemáticos y lógica de programación. Se piden desarrollar algoritmos para resolver cada problema y representarlos mediante diagrama de flujo, pseudocódigo y diagrama N/S. Los problemas incluyen cálculos como determinar el total a pagar por diferentes tipos de hamburguesas, contar focos por color, calcular salarios con incrementos anuales, determinar descuentos en artículos por rango de precios, calcular promedios de edades por sal
La estructura do while ejecuta el bloque repetitivo al menos una vez, a diferencia de while y for que podrían no ejecutarlo. Otras estructuras repetitivas como for y while tienen la condición al principio, mientras que do while la tiene al final, por lo que siempre se ejecuta el bloque al menos una vez. El documento también describe otras estructuras de control como if, break, continue y exit que permiten modificar el flujo de ejecución de un programa.
El documento presenta varios ejemplos de código en Java para resolver problemas matemáticos utilizando estructuras de control como bucles for y while. Se muestran algoritmos para calcular sumas, promedios, máximos, mínimos, factoriales y series numéricas utilizando ciclos y condicionales.
Este documento explica los bucles anidados en C, proporcionando ejemplos de código que utilizan bucles anidados para imprimir patrones, calcular factoriales, promedios de notas de estudiantes y más.
REPRESENTACION DE RELACIONES Y DIGRAFOS EN LA COMPUTADORADavid Hernandez
Representación de las relaciones y digrafos en la computadora .
Tercer semestre Ingenieria de sistemas y Computacion.
Universidad Del Quindio Armenia 2014
El documento define algoritmos y describe su origen, clasificación, representación y características. Explica que un algoritmo es un conjunto de pasos para resolver un problema de forma finita, precisa y no ambigua. Señala que los algoritmos se pueden representar gráficamente o no gráficamente y que deben ser correctos, funcionales, eficientes y claros. También describe métodos para resolver problemas y la simbología de diagramas de flujo.
Algoritmos Cualitativos y Cuantitativos marievivanco
Este documento presenta varios algoritmos cualitativos y cuantitativos. Incluye algoritmos para calcular el área de un cuadrado, rombo y la conversión de grados Fahrenheit a Celsius. También incluye algoritmos para descomponer un número en su parte entera y decimal, calcular el área y perímetro de un cuadrado, y el volumen de un cilindro.
Redondear un número entero ingresado a la decena y centena más cercana. Carlos Aviles Galeas
El programa lee un número de tres dígitos ingresado por el usuario y asigna sus unidades, decenas y centenas a variables. Luego redondea el número a la decena y centena más cercanas, mostrando los resultados. Por ejemplo, para el número 367, el redondeo a la decena más cercana es 370 y a la centena más cercana es 400.
5.000 problemas de analisis matematico ( demidovich )Eduardo Juarez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera de 10 millas a través de un bosque. Explica los pasos del proceso de construcción, incluyendo la tala de árboles, la excavación, la colocación de grava y el asfalto. También destaca los posibles impactos ambientales y las medidas para mitigarlos.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de algoritmos y programación. Explica que un algoritmo es un conjunto de pasos para resolver un problema y debe ser preciso, determinista y finito. Describe los módulos principales de un algoritmo y los símbolos utilizados en diagramas de flujo. También introduce los tipos de datos que pueden usarse, incluyendo datos simples como enteros, reales y caracteres, y datos estructurados como arreglos y registros. Finalmente, explica conceptos como identificadores, constantes y variables.
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1) La ordenanza establece una Contraloría Estudiantil en los establecimientos públicos de educación básica secundaria y educación media del departamento del Tolima. 2) La Contraloría Estudiantil estará compuesta por un Contralor Estudiantil, un Contralor Auxiliar y un Comité Estudiantil. 3) El Contralor Estudiantil será elegido democráticamente por los estudiantes matriculados y tendrá funciones como velar por el uso de los recursos y bienes de la institución educativa.
Libro del arte de cozina de domingo hernandez de maceras del 1607 (copia facs...Free lancer
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos:
Este documento es la portada de un libro sobre el arte de la cocina que contiene instrucciones para cocinar diferentes platillos para todas las ocasiones, incluyendo carnes, pescados y postres. El autor, Dominico Hernández de Maceras, es el cocinero del Colegio Mayor de Oviedo y ha escrito este libro después de 40 años de experiencia culinaria para enseñar a otros de manera fácil y breve.
1) El documento presenta un problema de ingeniería estructural que involucra el cálculo de esfuerzos en las barras de una estructura. 2) Se proporciona una figura con una estructura y se solicita determinar los esfuerzos en todas sus barras, indicando claramente si son de tracción o compresión. 3) También se dan datos como áreas de sección de las barras.
Este documento presenta un método para la lectura e interpretación del electrocardiograma (ECG) dirigido a estudiantes de medicina. Explica brevemente las ondas que componen el ECG, incluyendo las ondas P, QRS y T. El objetivo principal es que el estudiante aprenda a leer y entender un ECG de manera rápida y efectiva.
Este documento presenta un método para la lectura e interpretación del electrocardiograma (ECG) dirigido a estudiantes de medicina. Explica brevemente las ondas que componen el ECG, incluyendo las ondas P, QRS y T. El objetivo principal es que el estudiante aprenda a leer y entender un ECG de manera rápida y efectiva.
2. taller los 14 principios administrativosAna1Alvarado
Este documento presenta un caso real sobre conflictos en la administración de una juguetería. Hernán solicitó vacaciones sin el permiso de su jefe directo, sino del jefe superior, causando conflicto. Se pide analizar los principios de administración clásica que fallaron y posibles soluciones.
El documento describe una actividad para que los alumnos elaboren hipótesis sobre resultados de eventos azarosos a través del análisis de registros de resultados. En la actividad, los alumnos jugarán carreras de coches de cartón lanzando una moneda para determinar si avanzan o no en cada turno. Registrarán los resultados de varias carreras y analizarán las frecuencias observadas para formular conclusiones sobre la probabilidad de cada resultado.
El directorio del fondo indígena conocía desde 2013 sobre irregularidades en ...Erbol Digital
1) En una reunión del Directorio del Fondo de Desarrollo para los Pueblos Indígenas Originarios y Comunidades Campesinas se aprobaron varios cambios en la dirección y personal. 2) También se aprobó contratar a cinco profesionales para dar seguimiento a los proyectos y convocar una reunión para aprobar nuevos miembros. 3) Finalmente, se instruyó al directorio trabajar una propuesta para modificar el decreto supremo y disponer de los fondos acumulados.
Solicitud investigacion.hernanguachallaErbol Digital
1) El fiscal solicita al juez autorización para realizar diversas diligencias investigativas como obtener certificados de antecedentes, registros de llamadas, videos de cámaras de seguridad y exámenes de ADN, con el fin de investigar la posible participación de Hernán Guachalla Mamani en un delito. 2) También pide citar a varias personas como testigos. 3) Finalmente, solicita información sobre procesos penales previos contra la posible víctima y su esposo.
O Caso SIOANI é documento militar oficial de estado que investigou fenômenos aéreos não identificados (OVNI/UFOS). SIOANI (Sistema de Investigação de Objetos Aéreos Não Identificados), foi um departamento oficial militar das forças armadas criados para investigar fenômenos aéreos não identificados (OVNI/UFOS/UAP). O SIOANI Funcionou entre os anos de 1969 e 1972. Foi patrocinado pelo brigadeiro José Vaz da Silva, comandante da 4ª Zona Aérea e coordenado pelo major Gilberto Zani de Mello.
Fonte: CIOANI: https://pt.wikipedia.org/wiki/SIOANI
Créditos: Emma Best/Edison Boaventura Jr (GUG – Grupo Ufológico de Guarujá) https://ia600203.us.archive.org/2/items/BrazilianUFOFiles/CASO%20SIOANI%2095%20Caso%20SIOANI%20095.pdf
El documento describe los terremotos como uno de los desastres naturales más devastadores y aterradores. Explica que los terremotos de gran magnitud son los que causan más daños, y que factores como la densidad de población, la profundidad del epicentro, y las condiciones climáticas y geológicas pueden afectar el impacto de un terremoto. También proporciona una lista de algunos de los terremotos históricos más importantes de México con fecha y breve descripción.
1) El documento describe una moneda de oro falsificada que fue enviada a la provincia de Panamá desde Ecuador.
2) Se detallan las características que demuestran que la moneda es falsa, como su tamaño, diseño y composición.
3) Se instruye al gobernador de la provincia del Chocó a publicar esta información y trabajar con las autoridades para prevenir el engaño a particulares y aplicar las leyes contra la moneda falsa.
1) El documento describe una moneda de oro falsificada que fue enviada a la provincia de Panamá desde la provincia de Popayán como una muestra de las monedas falsas que circulaban allí.
2) Se detallan las características que demuestran que la moneda es falsa, como su tamaño, diseño y composición.
3) Se instruye al gobernador de la provincia del Chocó a publicar esta información y trabajar con las autoridades para prevenir el engaño a particulares y perseguir a los responsables
El documento presenta los cálculos para el diseño de una zapata rectangular y cuadrada. Se determinan las dimensiones de las zapatas, la capacidad portante requerida y la verificada. También se incluyen detalles constructivos de las zapatas.
Juan cajas. "Tijuana, jóvenes, estigmas, violencia y narcotráfico"Yolia Yolotl
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del trabajo de investigación sobre la ciudad de Tijuana en México. La ciudad se caracteriza por la violencia y el narcotráfico, lo que genera estigmas sobre los jóvenes. El documento también discute el papel de la antropología para interpretar los contextos sociales complejos de la ciudad a través de enfoques interdisciplinarios.
Tabla 6-12. ábaco para calcular pavimento flexibles por el método de wyomingCARLOS COJAL AGUILAR
La tabla relaciona la suma de valores asignados a factores como tráfico, precipitación y condiciones del suelo con las curvas de diseño apropiadas para pavimentos flexibles. La curva 4 se usa para condiciones más leves mientras que la 15 se usa para condiciones más adversas. El diseño del pavimento flexible para una carretera considera factores como el nivel freático y selecciona la curva particular basada en un análisis ponderado de dichos factores.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
2. II
l'RHIERA EOICION : Febrero 1983
SEGutH>
A F.OICI OII : Oct ubre 1985
TERCERA F.OICION: .~bril 19&7
Relmpres1Ón de la
TERCERA EDICION: Octub re 1990
El método de plantear y resol ver los p roblemas ,
a s ! como la diagr-ama ción y disposi ción del li-
bro s on de propledad d·eJ •a u tor.
Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c umpl i ~iento
del Oeoreto-Ley Hº 194)7, queda .hecho e l depó-
s.Lto, en la Biblioi e·ca Naci on1Jl, con el Nº 04!1,
seg~n Ley tt 0 1 3714.
1
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tal o pa l'cf al d~ la obra, s!n pel"srlsó e:,rpre.so
del autor.
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El &.utor
3. PROBLEMAS y EJERCICIOS
de
GEOMETRIA
ANALITICA
Sol ucionario del Texto de:
CHARLES H. LEHMANN
Incluye un.a Seleccion d~ Problemas. Resueltos
del Texto ele F.J.Oe La Borbolla
K
TERCERA E01 C I ON
'
R. FIGU EROA G.
4. I'I
QuUn. e<1tá d ¿,./:uP-dO a ,:.,eali.za" rtf.vo,
Aal(.,:v,..á ic4 r.,edl<,A.
Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon
:tAa.-,& '-= d ¿.;c1d.pa<1,
1NOIC:E GENER AL
1. Sistema11 de Coordenadas
1.1 Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido
1,2 S18tcoa Coorden.ado Lineal
1.3 S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano
PKOBLEH/5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l.
1. 1 Di&tll!lcia !!ntre dos puntos
1.5 División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu.
PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 .
1. 6 Pencli ente de una recta.
1.7 Ar.g"1a POtre dos rectas.
PROBLEM:S RESUELTOS, Crupo 3.
1.8 Demostracjones de teorema s geométricos por el
ti~todo analítico,
PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4.
2. Gráfi c a de una Ecua ció n
2, 1 Gráfica ele !na i,.c,uación. I:-rcerceptos
EY.ton,;ión • Asíntotas.
2. 7
PSlOOLEMM 1RESUElTOS, rupo ó,
Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea
PROBLE14AS )RESUELTOS, Cru,¡,o 7,
2.6 Ecullción ae un Lugar Goom/trico .
PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8,
3. L s Lí n e a Recta
3, 1 Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta.
PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS. GrUP¡O ?.
J . 2 Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta.
). 3 Posicione~ relativas de ctroa rectas.
Pll 08l Et:AS RESUELTOS. Gr~o 10 ,
3. 4 Forma Normlll de l a e cuac¡6n de una T'tlct.a..
V
3
4
5
6
12
13
23
23
25
32
40
L6
57
60
67
68
76
76
??
87
5. '.l. 5 R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal
PHO!l.LE~~S RESUELTOS. Crupo 11.
3.é Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal.
Pll06LENAS 11!:SUH rOS. Grup<> 12,
3. 7 :_rea de un t'rihl:.r:ul~ ..
J.e ,ami11& de r~ctac.
PROBLEM,s RE~UElTOS. Crupo 13
Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros. Crupo H
f'ilOfllEWIS AOlCIONALU
(r ..xta: F. lh, :;,;;. .E.:rt>-.>llnl
' d •
4 . .L• Circ1r-nfere~da
4• 1 Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~•.
P?09t-E1t.,s R[StlE:lTOS. C.:rupo 15.
4.2 Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia
PROBLEMAS RESUELTOS. Crupo 16,
4~4 Fasllia d~ Cira~nferenaiaa
.;;,.$ Eje 'ªU.cal.
PIWlllEHAS R(SUELTOS, Grupo 17
L. 6 Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta,
l'ROBLtMS E!CSL"tl r,·s. Crupo !S
!.• 7 Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs
~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3.
:·. ;
ºROBlEK~S RfSUELTOS. Cr~pv 19
nROSLEMAS AOlCIONALCS,
(l,,xto: r. Oc• la Sorh,>1!,)
1
5. Transformaelón de Coorden•das
:'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc ....r-d-.:... -dc3.
PROBL.ttAS RESUFL10S. C~'fº 20,
t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;.
1
sci-
s9
<}J
95
105
1C6
107
i 1~
130
1.;<1
131!
1,:19
152
, é?
1f:7
17J
Co11t en. ¿do
PílOOIHIAS RCSUELIOS. Crupo Zl
S./. Si!T';)l.l.f;..canión de una e~u,;.ción po::- trens!orrao.-
ción :::e coo1•den..uas.
PROBLEHAS RSUELTOS . Grupo U
6. la Parábola
6. 1 O,;finiclón
6.~! Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice l''.'.l el -:-r5.een
PRC!3LEll~S HESU[LíCIS, Crupo ?J
6.) E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) ..
6. 4 3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo..
PHORLEil~S PFSUEL TOS. Cro¡,o 2'+
6. ~ Ec·H,~:én de l ll. tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc
PRDULEMAS RESUELTOS. Crupo 25
PllODI.EMAS ADICIGllALES
(fnxto, F, De LA Aocboll~)
1. La Elipse
·7. 1 Ditfi11ició:i > ?• 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c.
P,<OULFll1S RESl.lEL TOS. Crupo 27
7.) 3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id .
7.~ 3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne
P:rn·LEHiS P.CSUfl ros. Gru~o 28
7,:, r:eu.1ci6'1 de le t1m1;,rnte 1una ffl ip11c.
:,. 1
P?D'LE~AS RFSUELTOS. Grduo ¿9
f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES, 1
(TPxto: F. Oe La k~rbu ll~J
J
8. La Hipérbola
Jal ..niciér.. El e111en':-c s ¡¡., wi:, 1-,i¡,trbol ,:.
PROaLEHAS RFSUELTOS. c~~po JO
188
196
197
214
215
21~
2::;.1
22)
247
249
25i
259
1279
287
2'!8
6. 2 Conicn idc
H.,( Aa!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo111
.:,.. 5 E...pé:~:. tt 1; ... t.~~·!-.-nr!"', 8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz
PROSLWAS rESUEETUS. Crupo 31
s. 7 S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e U!l.... h!pérO:..... e.
'RU~!..EIMS RESUELTOS. l,rupo 32
f,9 i:;C':U'd)i Ón ,., :.;i. t.o.rHTi:?t:t~ a 1
.HHI bip~.rlio1 J,t.
P~()13LEMAS RE%U H)S , ".;,:upe H
PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F, o~ La B~rbolla)
9 .. 1
Intr"-d!l:.:ciÓt!. 4. 2 Zr-c.~afo t-~~cién _pcr 5Q~O:l6n.
9.3 Tlpos de C6n.ie~~. 9.4 Inv~riant~u.
PROOU:'.tloS RESUELTOS. Crupo }4
9, 5 Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a.
PROCIL EMAS RfSUElTOS. Cr· upo 35
9. 6· 1an~en~ a la cónica g en~ra! .
PRO~LEHAS RESUELTOS. Gr upo 36
1O. 1 .5i i,t e:nn. de c::>ordena::.11 s p eJ. :iy:s .
:-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat p an: ..in p ".lD~.,;, .
.; ?~, ~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~ ~
·, l~ •1ers e..
1~. ...
Pfl{18l. Ei'<AS ll~Sl/!:1.ros. 1
Grl,upo 37
7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~s pcl*re s
PROBLEMAS ~ESU8..TOS. crtp~ 35
1
10 . 5 l:, ~ercccc _one~ d6 e~.L:va.2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res .
.. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to
PílOJI E~ AS MCSUlL TOS, Grupo 3 ~
·; "'. '"! E=~nc::,.6n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pc lar~'-4
10.'.:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i !x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;.. ;ol.1.::~s
~). 9· r:r.~ .10.r:ién ge'1~I'"cl e.le la=- cén.i ,~as en noor d.. ·.,ol er?.s
ríi0!3LfHAS AHUELHJS. Gr upo 40
295
296
;¡_9'¡
304
Jft;
:n.?.
} 13
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3~7
na
32'1
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31.1
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'.; 57
358
.359
366
379
3S7
38~
389
39~
)
[
1
3
1
Sistemas de Coordenadas
l. l SECIIEllTO RECT! lltlEO DIRICIOO
?-
:,:· la g¡¡ome Lr ía elem
ental sabell!os que ls. porción de una
1 1
~~~ r ect a coopre~di d~ e~tre dos pu~tos A y E se l ls.as ~ ~g-
Q~nio. Per o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los &cg-
ce::tos }3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamente la longitud
a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec!
s~:-io ::,-;ntllderar ~a!lto la longitud co:co el :,é;o:°tido. Cua:nc:o
;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3icierarem
os
cono une eAntidac ~clatlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la
:.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=ere-
mo,1 ¿"?'"ento Cltú.n.iad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento o-
r ientado s:¡uel c·:;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,-
tid~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente colocando ~na flooh~ en :.J
g:'.~ l ugar d&l seg:i en.to .
Figura 1
.S.:i!. la r ec ~ L ~3t' orisntad:. c:nao l o i cdics. 1;:. !lecl:c • lo·
cual significa q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a
dere cha s::>b!'e 111 reut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<&o;
~os entcr.ce~ q~~ al segag~to I'§' as positivo, en t~~to ~ua si
E••fe::to Jrr es 1.-;1g11 t ivc. :n con~ido de un sog:ia:1to aer~ indl -
calc por el orden sn q ue oo escriben l.:is· oxtreno-
s del s~g:n,¡11-
t o. Por tnnto, ten$~Os la relación:
n =-3.t
7. 4
Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3-
nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B.
A .e
!"igure
D& lo figuro. 2,
Do la. :figure 3~
De la fieura 4:
H e A B
~- ------
?. Figi.::ra J
tsne;c;oa:
J!. = AC + CB
AB· = ~c-..e +· ci
+ ~=Tc+c'B
Ail. ·= Tc; ~ :§e
+ Afi'. = Tc. + 'BB
A 3
L+
.... o
'
I'igur ,. ~
(1)
P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la
xis~a roleci6n G
ntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt
bi'!'se on la torua, a4s conveniente:
Xc'+ci3+Bi,:o
· l, 2 SISTEMA COllROENAOO LHIEAL
COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie
1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon,
Pa o ¡¡ Pi p
X'
--- - x
Í 1'2) (O} ('T) (x,) ü:)
Jieurs. 5
Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1.
tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougitud En..onee:i
t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n· la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve..
et>~ la :.u1id.a ::dop-ti1ó:"! !l- l ..:,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •.
c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1
•;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u•.:>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l
,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_.
!.., ~ú <:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc il-1 ·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6
,)8 l:.. d!t'I ·;ui, d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1 c,l;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i
5
recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un ¿,:-ó~a
eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:.
Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl
·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto
P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o
gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic•
h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x).
foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del
oea~ento diri~ido que une dos puntos dadcs ae cb-
tieno, en ~ag:útud y signo, restando la eoordenada del ori•
¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110.
Dcn:ostruci611:
En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X
O P1 l'2
X' ~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡
(O)
Según la relac1.6n (·¡) d,;l ar.tí culo 1.1, tenelllo&:
OP1 .. l5"iP2 = éW2
+ X1 +'Í>1P~ X2
de dunde: F;F;,=X.a - x 1
En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le•
ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc
del pun.~ Cinal.
S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y
Pa. &acribiremos:
o bien:
1,3 SISTEHA COOROENAOO EH EL PLANO
La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano
consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11!
ma.do19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la
8. 6
vertioal el eje T, y :'>U 1nteraccci6o ol OA.i.f!M
}'..as cu11t¡•o partea en que el plano
qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooor- y
deaados 60 llaoan ,~~ Y se II(-,t) I(+, t}
doeig~an p~r I. lI, III y IV ~n
se~tido contr=io 111 de las 11ane-
cilles del reloj. (Figura 6)
ll --- - -,- P(x,y)
Un p"!lllto 3e indica dnndo au senti-
do y diotencia re3pecto a los ejes
uoordenadoa. El ner~ento orientado
oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~
na at4ci4a del p~nto P. ll segnen-
to orientado OB•ii:P se reprooenta
por~ y se llama o~denada de P. i~
III(-,-) !V(+,-)
Fi¡ura 6
t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se
repre&ente por {x,y).
Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es posi-
tin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att
v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1
va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa.
[.EJERCICIOS. Crupo l
9. ~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e
son, (-5) y (6); (3) y (-?); 1-8) y (-12).
Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne:
Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx1 -xd.,l6-(-5)le11
Si P1(3) y Pa(-7) d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10
P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-(
5. Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~
ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.)
Soluc.:611. Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x1 )
Fntonces, !IÍ d(P 1 ,P3 )=9 - 1Xz-(-:t} f•9
Sú,J"'"'~ d.c Coo~denacia 1
~ lx1+2l=9 .... x,T2=9 6 X2T2;- 9
..-.. x,~7 6 Xz•-11
7
Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11)
6. En ur: s.!.st.ua eoo:rier
•.:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .?2 (x 2 ) son los
p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar
que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p2 en
:!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u:
x _ x, + rx, 4 •
- 1+r , rr-1
Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór.. Er, efecto, por el teor~;a. se tie:.e:
?1P • x-x, :, PP, =x~-x • Lu!lgo, oi r ; hl + r,, x-x,
:'~2 X2•X
de dond<i: X
_ x1 + rx, 4 1
1+r ' xr-
7. Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~
11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to
r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io eri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de
lon p~~.os cx;r~==3.
tJcMOdi.1t,,ci6n.. En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior
se t.iena: X= x
1
n1 "'x¡;.x!
Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg
1:11J11t,o dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19).
Sotucl/.o,
Se~n P:(-7) , P,(-19) y
los pur.tos de Lri$ecciún
?(x,) 'I Q(x,)
(-7)
? H
( l( ')
Si ? r Q <i!.,:.con al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei, =-
t.or,o,,s , P!:' • l - x,-(- 7 ) - 1 d d d
r,-z 2 -1':/-:<J ;¡ , e e:: e: x,•-11
, e:; pJ:1to c~d.io Ue Wi ... x,;: -1ltl-19) ~ -15
:-1 IIP p:n:.c - - Jlo de ¡-;p; x ~ - 7219 -1J
?o1' lo t,.nto: ~ ( -11 ) , Q(- 15) y M( -1J)
9. 8
'.:l. 1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su
pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o
$i>luc-
Ur. . Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~)
Según la ~órmula del ejoreici~ 7: J ; -8
2
Xg
de dor,de: :. ?,(1.i)
10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4}
y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto
?(7) divide ¿ esté oegmento.
Sotuci&n, entonoas por el teorema 1:
r e ~ , de donde: r~-3
ll. Un cuadrado , tle l _
ado igual a 2a, tiene su centro ~n el o-
rigen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ ,
ITalla,r l as cot>:rdenada.s de aus cuatro .v,htic,e,s.
Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa pode-
mos o-hs-erv,u, quo~
Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de
A y J es a, (derecha del eje Y) y la
de E y O e~ -a (iÑqui e rda ciel eje Y)
~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de
A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de
C y D es -n (d.,btijo del eje X) .
Por tanto, las coordenadas de lo$ 4
-v-&r,ices del ci:Rdrado son:
y
!!
-~ ó
e
A(a,a) , B(-a,a) , C(-a.,-a) y D(a,-a)
A
/!
D
12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 },
(7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea,
foluci.6n, S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y)
Por el Teorema AB ~ 7-2 = 5
5c = 7-x
5=7-x , d.t donde,: x=2
- X
Análogamente: §e = 3-(-1) = 4 y
Ali D e
e y-(-1) ;
y+1 ···r----
Si iñ=BO ... 4=yt-1 .de donde: ;;r~3 1
Por lo que: D(.2, .3)
1
a.{AJ3CD) [ÁBJxfBcf X
= " 51e4 ;- 20 u2
A 13
.,r
13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) ,
B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los cate-
tos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa.
S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene:
lilif ;
lxa- • x_~1 14-1 I
y
"' 3 9
IJ:fül - l;1c - .Yal 12-(-2)1 ; 4
------..
Entonc~s~ a(AABC) =iJABjxjr,cJ 6 u..2
o X
Por Fit6.~orae; IA'cl 1
=liaJ 2
+1ac1 2
= 9+1b
11.°"'cl : 5 A B
14. Bn el triángllo rectángulo del ejercicio 13, déterminar
primero los puntos medios de ios catetos y, después, al
punto rned.io de la hip.otenusa••
S.o l.u.ci.611,
Si M(x,y) es punto m~dio de AB ; j(1+4) : -i
= i<-2-2) ~-2
_ {x~-2
1
(4+4) 4
N(x,y) es punto medio de Be+
1, )
y ; 2 '?-2 o
P(x,y) es punto nedio de AC • 2 2
{
x = 1(H4) : 2
y = Í(-2+2) ; O
Por lo tanto: M(i,O) , N(4,0} y P(1,D)
15. Ballar la distancia del origen al
So~uciéq, En la figura se tiene:
OA abscisa de P = a
AP ordenada de P = b
punto P(a, b) .
yt--·_7: P(a,b)
~ X
9
10. Kn ln .Cigurn •1e:
moe que ;
OA =abscina de~~ &
O
E : or denada ~e a = 1-BI = S
Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2
~ (6F"- ra>2=100
; . !!(.!i.,31=10
17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o
3(7. 3), C(9, 8J y D{J,8).
A(6, 0} y .&(0.. - 8).
Como CM 11 eje Y, la. abscisa. de C y-
e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4 + (Aii-j:2
Si el A!BC es equiJ.átero, entonces:
IACl=(Afijc4
En el AAMC: IA"c:J 2
=liMJ 2
+(MCl 2
+ (4) 2 c(2) 2 +(icJ 2 +JMCl.. (MC'le2,/J
iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8
e y o• son: 1+2,IJ y 1-2/3 •
:. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J)
11
C'
lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son
los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea
,....e .. • : ~ ...
JI51.. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2
y!ocl=lo-(-2)J..2
En el AAOB: IIBlª=JKóJ 2
t(o'Bl 2
=(5) 2 t(2)~=29 + IAB)s~
Rn e1. AAOC: IAC p .. l.@l2~ loé! .t
~(5) 2 +(2) 2229 + tACJ~
Por lo tanto, ·el A.ABO ea is6sc-eles.
a(Al,J3C) "'i~B'clxfoll e j<(4~{5) =10 v.l.
20 , Deiaostrar qua los punt.oa 0(0,0), !(3.~), B(8,4} Y c(,,O)
son los vértices de un rombo. y caJ.cular sn área.
D~mo4t4aei6n. Easta:rá deQOStrar que !IUil=IABlstCBJ;JOCJ
En efecto: IABl=l 8-3(;5
IOCl=l 5-0l=5
Las proyacciones de A y B sobre el
eje X son: A' (3,0) y B' (8,0).
EntoM-es: lói•f~l3-ok3-y lc'B•J..ls-51=3
Luego: IOAl 2 =(J}2 i(4)ª=25 + !OA(a5
ICBj2=0) 1 +(1.)h25 + ICB1=5
Por lo t.anto, el cuadri1ltero OABC es 1111 rombo.
a(OABC) = IOClxlAA'I r (5)(4) =20 u2
11. 12 (j.e.vaei.A.la Anal!ti.ca JJt<ma
l. 4 DrSTAtlCIA EHTRE OOS l>IJNiOS !Ul)OS
TeoreRlct 2. La dilltancia e11trE dos puntos .1' 1 (x;,y1
) y
P: (xi,Y2) está élada por lz. fórmul a:
d(P1,P2 ) = /(x,-x:a.P + Cyi-y~ )2
Déll!04t,iaci.&,u
En efecto, por P1?a tracemos lus
.perpendicularas P1-A y PaD a ruibos
ejes coordenados, y sea E su pun-
to de intersección. Lae coordens-
a~s de los pies de las perpendicu
lares a los eje~ coordenados son:
A(x1,Q) , B(O,yi), C(xa,O) , D{O,y,) Pz
Luego, por el teorema 1, se tiena·
P1E=C!<=X1-X2 .• EP~=-ruJ=y1-12 - ·
y
B
En el 6P1BP2, por él teorema de P.1.·&f~ar~ª
- . . ~o lSé 'tiene:
JPiP:1
2
= IF°;EI~ + IEP1f2 , (e donde:
d(Pi.Pt} ,,. /(xl-.i:.2P+{y1~Y2P
l. 5 O!VlS.IOH DE Utf SECMENTO Et/ UNA RA!ON O/i.OA
Téore...a ). Si p (x p (
1 1,yi,2_ i >l.,a,.y~} ·so.n los extrélllOi! de
un. seg~ento P1P2, las co~rdenan.a~ íx,y) de un
punto p que divide a est.e $egmsnto en la rá~6n ~=P2P:PP2
x ., x¡+rx 2 h±!:Y~
l+r • r; ·~ , rJ-1
1Jcm.9~l11.a cUm:
En efecto, por los punto& P,.P Y P.
traz:-r:¡os paralelee a los ej ei. coor
ñ~naaos, que se i~terceptan en lo;
puntos Q Y R, tal co~o se indica
en la i'ig.ura adjunta.
t:.F 1QP : APRP:
E:.toi,c:cs: ¡;-; "-~ (a)
1 '
L----~ ...
.R ,- 2
Entonces, por e.l te:orema 1 se tiene:
~!
., r + x-X1 ,.. r
X11'-l<
de donde: X .. X¡ + rx¡
i+r .ri'-1
~ ~= de dondet Yl + ?J't r#-1
;
r. + r y ,:
Hr .
RP y-y2
:En el caso p,articular en que r"1 tenemos el siguiente
Corolario, Lea cooraenadas del punto m~io de un segmento di-
rigido de extrel!los P 1 ÚCi,Y1 ) y P2 (x~,y2 ) sen:
" = Yi + Y•
' 2
Ob~rvaciones. (1) Les razones de las rórmulas deX teoreoa 3
deben ser consid,erados con su signo, ya
que est"a~os tratando con ssgmentca r~ctilíneos dirigidos.
(2) Al usar las fórmulas del teorema 3, debe cuidarse de que
le sustitu<;:i6n de las coordenada• sea correcta. Por esta
raz~n freou4ntemente es preferi ~le no eustituir en eetas
f'Órnuláa sino ss·cribir directamente los valores de las rj!
zona~, tal como se da en {G).
(3) Si el pwt'to de división P B"a. externo al segmento dirigido
P1P1, 1a ra~6n r ·es nega.U,ra~
1E,)ERCICIOS. CrupG 21·
l. Ha.Llar el perímetro del cuadril.átero cuyos v6rtices son
A(-3,-1), B(0,3), C(3,4) J D(4,-1).
Sotuci.fm. Por la fórmula deI t.110rf!'1Da 2:
!Altl =/(0+3) 2
+(3+1}2
=19*16 = 5
1:ac1 = /0-0}2+(4.3)2 = 19+1 = /'TU
!cDI /(4.3)2
+<-1-4) 2
=/1+25 =126
e
IADI lxn - XA 1,. l4- (-J)I 7 A-------al)
pé.rímetro ~ 12 + ,l'fU + /i6 = 20,26
X
12. 2.
D~ros~rar que los p~nto$ A(-2.-1), 8(2,2)
los verticea de u~ trilL~gul-0 is6s~elús,
Y C(5,-2) sor.
iJll.i;!o,l,l,ta_cidn •
En efi;,:~to, las longiT.Utlen
1
- t;::--:c-:--::,-,.--t-riát.g-ulo son:
AB/ ~ ,/(2+2)2+(2+1)2 = 116+9 = 5
de lo~ lados dsl
lact = IC5-21•+<-2-2J2 =19+16 =
5
/(5,+2)2+(-2+1)': /49+1 " :;/2 ~r:,~-....!......+--,- Y.
Sie~io lli'il=!BC! , el óABG os isóscele~.
e
3, D-ezostrar que len P:ltltoa A(2,-,!), B(-8, i) ( )
los é t · ~ 'I C 5, 3 son
v r ices de u11 /J rectánQ"Jllo,· v h•J.'1•:r
... ,? ~ c.. St:. área.
Ve~c~t4aci6~. ~n efecto, las loneit~des
/IR¡ ~ l(-8-2)2+( 4n)• =~
~ de cada laca son:
tiic/ = lcs-2) 2
+0+2)2 ~ ,r-;¡
IEG/ =lé.5+S}2+(3.4)2 = /Pro
Aho':; ~ien, fAB/'= 136' /Xc¡•,. .3_.....,_---~~~-,...~-Í......;,.);
Y 1a~1 : 110 = 136+34 = IA6J2t/BCIª
Se c:,mple el Ct!OreJl1a do Pit,
·1_ ago~as, por lo que ºl 'A3C
""-"61Jlo e.n A. a(A~BC) _ 1¡-¡ _ 1 ·· '· oe rett-
. - 2 AB x/AC( =,(/i36)(1}¡) = 34 ui
:+. D t
anos re, que lo.~ trss puntos -
son aolinsale~, e¡¡ deci~ ~ A(1~, 1), B(-J,-2) y C(2,-1)
·• GU- est<ai.r. sotre un~ nisma r~ ••
De.f!/OM ·,i , ~c,<1
. M1c~ n' S&gun la i:-e1aC':.6n ( 1) del t'
ar 1eulo 1.1 pa
ra oualquier po-sición do l . • -
C sohr; una !{nea os p~n~os A, By
rcctn, se deb~ ve:r·r1
_ _ • - · 1 car <:?Ut;:
ÍA3/ = (AC( t /C3f
En t1fecto, pcr- la .f'ón,ula
c!e d.is~a.ncies,
/ABf =l<-J-12)2+{-2-1)~ =/225+9 ~ 3~26
fAc/ "1(2-12)' +(- 1-1)2 - ¡ ~ -
_ - 100.¡.4 ~ 2./26
/OBI ~_!(it~Z+(-H2)2 = h5+1 -: -.'26
Co~o /AB/~l4Cj+je§j, los tres pw:~o~ ~on
- coli.neale s,
15
5. Demostrar- qu-e los puntos .A(O,1)•. B(J. 5), C(?,2) y D{4,-2)
~OJl lo~ vértice& de un cuadrado.
~o,¡;vuzei6n.. l!astará probar que las 1ongitode11 ele los 1~
dos son igualas y las diagonales tllllbién.
IABJ
1rsc1
1(3-0) 2 +(5-1)2 5
/(7-J)2t(2-5)Z; 5
jCDI " /(4-7)2+(-2-2)" "' 5
IDA! =l(-0-4}ª+{1+2) 2
~ 5
I/Cf =l(7-D} 2
+(2-1)Z /50
tDBI = ICJ-4)2
+(5+2) 2
=/so D
Por l o tllllto, el cuadrilátero A.BCD os un cuadrado.
Los vértice.s de un triángulo SOi!: A.(3,8), 8(2,-1} y C(6,-1)
Si D es el punto medio del lado BC, aal.cu1ar la l.ongitud
da la oedia»a AD.
Sol#ei6n. Sea D(x,y) el punto aedi.o de BC.
Entonces: x = ;<2+6) = 4 y" Í(-1-1) 0 -1 • D(4,-1)
Luego, IAiif =/(4-3}1+(-1-8)ª 2 182
7. n~mostrar que loe cuat~o puntos A(1,1), B(J,5), 0(11,6)
y D(9,2) son los vértices de on pa.r!llelograJ110.
Eh. efecto:
fABI = /(3~1) 2+(5-fr2 =/20
1001 = /(11-9) 2
~(6-2} 1
"12a
fiicl /(11-J>'+(6-5) 2
= m
1.rn1 1<9-1>2 +<2-n2
; m
e
Luego, f:ni!=l!iél Y IBCl=liilf, Con lo cua.l queda demostrado
que el coadrilÁtero ABCD es un paralelograao.
13. 16
S. C.s.1.c'llar d árec del tdán1;ulo cuyos v,rtices son los pu~
tos A(O,O). B(1,2) 1 C(J,-4). (Sugest1ón. Use la fóroula
del 3emlJ)t'rÍoctro).
Scluri§rr. ?orla fór..,ula de di9ta.cc:1ila obt.eneoo:,:
/se/- a = 2,;ro , IA°cl• o ; 5, /4B/- e "'IJ
:u~go, p ~ i(~t2/lUt5) ; p-a a j(v'5t.5-2.ITO)
:;,-:: - ~c.r1+urtr-:) : ¡,-r. "';c5+.2rro-0J
Er.t.onces, ai a(~AilC) - lp(p-a)(p-h)(p-c) , se ~iene:
o. c1,AEcJ Q t1c0+2,m+ s> c0+5-2mi c21"io-J.0- 5) c2m+s-/s)
• Vc,o.15-,0><10+1Dl3) ,. V10oci0-1)(0+1)
. ..
••. eÍllAEC) = 5 u1
~. Uno do los extreooe da ~n soglllento rectilíneo de londltue
5 es ol pun~o A(J,-2). Si la abscisa del otro ~xtreao es
6, hnll1tr &~ ordenada. (Doe solucion~a.)
.i.g,luci6n. Si A!J,-2), B(6,y)_ y IIB/ ..5 , e.o tieno:
l(6-J)
2
+(y+2) 2
r 5 + 9+(y!~)i=25
-. (y+2)~~,6 ..... yt2=4 6 y+2=-L
- Y"'2 ó y•-6
10. Dsterl!!inar la ecuac:!.6n o.l¡¡ebraice qu.e expresa. el h"cho
de que el puuto P(x,y) equ:l.lliat.a d~ los puat.os A(-3.5) y
B(?,-9).
S,;{,.,_.-_,,..,.. Si ? equtc
ií~ta de A y ll enwr•ces:
IAfll = IBPI - l(:x+JP+(.r-5F = l(x-7F+{yt9P
+- x~+6x+9+yt.10y+25 =x 2-14.~+49+y 1+18y+81
-. Sx-7:,-2,..0
Ln ec~ñclón reaul~te cÓ l a ~eiiatria ie l~I.
l l. Ildlo.r lov µ1.ntos de t1•isecci6n y el punto tiedio del ºº.!
!llcnto n•1yoc extrel!os son Pi(-::1,J) y "'2(6,-3).
S oluci~.,. Eean r y Q los ?:J:1to11 de tr:'..ancc1ón y l{ '>l
r(~;2) = ~
+ 1·,,._., -1 +
B 2
P1
X -
y •
p Y.
2
3
{
¡( • t<1 + 6)
+ y • i<~-3) _,
,o
"3
- . M(-2+6 .1:.1) - !{(2,0)
Mes punto zeóio de P1~i v 2 • 2
Q ?,
p 'j·1)
. Q(,i,-1)
12. P (2 4) ,~ Pt(S,-4)
rle 11n segmento eon t • ~
Loi ptmto-s extremos . . d eta ca""e:ito en dos
P(. ·) que a< vi e a e ..-
Rallt.r el. pun t o x, JI -
pnrtes tales qi:.c (P,P): (P?i)a-2,
S0lu.c;i/J11:
rx-8 = -2
,:· p ,P • -2 .. lr--:2:x
~i ~ = -2
-y
+ x=-4
P(-4, 12)
. d . se¡¡monto es el (7, 8) Y
Uno Ü" los pur.tos ox.i:.1·e11100 e un
13. ~io ~~A<o oc (4,)). 3alla.r e1 otro eiCT.reno.
su pun" --~-
Solución. uea~ t ' •
" p (7 8) H(4,3) ~- P,(>ez,y¡)
P
-p ·> 4 "_21(7+,c,) + X2"'1
Si M bisaca al aegniento l •
>; J(s+y2 ) + Yt~-2
.·. P2 (1 ,-2)
e en~o oon lo5 puntos P1(7,4) y
~4 Lo11 or.tr(Ol!OS de un 'al f!:lll - - ) ua el punto
• Pz(-1,-4), Mellar~~ raz6n (P1P):(PPz en q
P(1,-2 ) divi~e al segmento .
S0luci61t:
x-11:1 - 1.;1... , do dondr,: r=J
Si~j~ + r·xrx- -1-1
15.. • 1 son (2. 5)
~os ~odios de los lados de un trio.ngu 0
Los pun. rd •dee de los 3 v8rtices .
( 4,l!) y {,,1). Uallar lav coo en~
14. 19
B
P e
(4)
ol:,tenoitos:
l IS. Lo¡¡ ,,~,. t.·i ce ª" ,
e( 7 - -
) - e - Uf! tri~euJo eoii A(- 1 ~) B( ~• 5) "
, , - 1 • Si !J -ls ,,¡ _ ' • ;, ,
J;U!JvO llt'-'dio dtc>l l d -
to ~e~o del la~o §c d a O A3 Y~ os el pun
- • e10oct.-,u· q l , -
1rei:. to i5'! e>1 la ,d tf.d . ' i;" a ...oníitud del seg-
ne la. lo12g1tud del la<io AC.
.Soluc i6r,. '""'i D
,> tle pi.nto i.od!o de -
3 1 A3,
ot:t~Z:Ch · D' - ~)
• 1~ · 2 ....., ~(l,4)
E ~llnto l'lsdio do lfü .. i;'. (l:!:2 ~ 1
. _ •• z • 2-J - E(5.2)
Luego, lt>:;/~ /("-1J2L(2 •)Z =
., T - ~ ~ ..-20 .. 2""5
/Rj~ /Pi1Jrt(-1.3p ~ /a,j"" - ~
1Jividien1o: /DE 1 _ 20 . - 4 ~
;Xc¡ - ~, ue dor.d•: /DE/
l.J• !:n el 'ri.'
. • aneulo reot!n.,ulo dll .
e, "' ' e· ere! .1
- punto med!o de I~ ~ipo•e " 0 0 J , deD03trar qu•
"' r,u:1a eq"..lidist .....
!Jt,x:o,.¡_ ,ac.it,,. •
.,:i a da los vértices.
• ~ efecto, Sl. H ei;; pur.t
ontoncea, M( ~ ~)
1 7
• O llledfo tle Be,
2 , 2 . ++ H(-2•2)
Lueeo, Jiiñ¡ ".l(-6+-Jl2}2 t(~-7/2)' •
. i ,IT'fü
/MAi 1(2+3/2) 2 +(-2- 7/2)2 =l /1?0
lf«!I /(s+JnP~c3. 7/2P =~ IT'iO
19
Vemos que {iiBf=IHAl=IMél. por lo qua. el punto M equidista de
los troe vérticee.
18. Demo,trer que los se¡uentoe que unen lo& punteo medio1 de
los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 tor-
man un paralAlograJ110.
De.aodu«1.ci6n. Tene~os A(-3,-1), 3(0,3), G(J,4), n(,,-1)
Si K, H,P y a son los pu~ os nedios e
do los lo.dos .!el cundrilétero, on- ~ D
....~, •<-l.,i. •<H>. •<H> , < ,
R{i,-1) • Demostraremos que : ~
IMiil~iRi>I y l!iil.l•lfiPJ. En efecto: A R
1irn1 /e1 ~ lp+(1 - 1) • ,, l m IiP1ª /i
'"'
c1
...
_
-1.,...)-.-~-(
1
~..
- ,-)-ª: ~
22 2 2 22 2 2
IMfll lci • ~)~+c - 1-1>2 . ,111, IÑPI• /c~-i>2
+(~-~) 2
= ,111
Hemos de~ostrado que liiil~IIB>' y liii'tf:fH'PI, por lo truito •l
cuadrilátero ~NPR es un pa~alelogramo,
1,. Loe vértices de un triángulo son !(2,-1), B(-4,7) y C(8.0)
Hallar, Far~ cada une de las medianas, el punto do trise~
ci6n más cercano al punto m
edio del lado correspondlonte,
Demostrar que eEt.e punto es el misJDo , dra cada una de las
oedianas y, por lo tanto, que las eedilUlas concurren en
un punto. Es ~e punto se llama l.cvtic.f.At llo del triángulo.
llN11odt1Lae,6n, En efecto, sean M,
N y P 101 puntos aadios de los lados
dol trián~ula y C su baricen~ro.
Para ls Hd1$1a AH:
MC 1 x-2 _ 1
r ; GA • 2 • 2-x - 2
de donde: x•2 , y·~
B X
15. 20
Pura. la modiana D:
r ~ fil! = 1 • ...!:.Í. - l y y?i/:2 =J , de donde: x~.2. y ..2
GB 2 -4-x - 2 -y ~
Pera la aediana CP:
r = ~ =1 • ~ "' ~ Y ~ =~ , de donde: x•2 , y-2
Queda de~ostrado que el ptlllto G{2. 2) en el mis~o para oada
una de las sedianas.
20. En el triángulo cuyos virticea son A(x1 ,y1 ), B(x2
,y2
) y
C(x 3 ,y1 ), deaoatrar que las c~ordenadas del baricentro
son:
cx1+32+x,.11+~,+i,)
De•96t..l.aei6n, En efecto, sean O(x,y) las coordenadas del
bricentro. Si Hes punto •odio de ic + M(x1
2
x,.~)
Por Ceometrre ele•ental snbeaoa gue
las 11edianas de un triángulo ne cor
tan en un ~iGeo punto eituarlo a 2/3
del vért.ice y a 1/J de le baiJe de
cada media.na.
Luego , para la •adiana 3H, se tiene:
r "~ " 2,/3 : 2 + X-l(2 ., 2
VM 17J" X!X>
- X
:. G{x,+:3¡,+x,,r1+)a+Yf)
Conprobaci6n pera el ejercicio 19:
X: j(2-4t8) "2 y• 1(-1+7t0) 2
:. 0(2,2)
o
S il,J;.o.a.i. de Coo.tde-u.:da-!
1(JERCIC!OS ADICION'LES 1
(Texto: F.J. De La 3orbolle)
1. Calcular ln dis.ancie entre los pur.toa ~(E,n) ~
., -m-n./J ntnl;J)
..t-r, -y-.
Soluuén. Por li,. fór.auln de dis~mche se t1cni1:
1,fa, /cB.:p - 0)2+(!!.±p - n)' "~ /(-n/;-::i)h(i:/J-d1
~ IOn1 12mn/3+ir.2 ) + ()m 2-?rtn,0+r:.') E ~ /41112
+1..n2
:. !Kili : /:s2+n•
21
2. A(3, 1) ? B{-1 ,-1 ) sor:. vértiaei: de n trlá::i¡ulc equildtero.
Calc:,ulc.r el tercer vértice y 91 lado del triángulo.
Soluciln. Se~~ C(x,y) las coord~na¿as del tercer ,é~t!ce.
Pn~a un triángulo oquilf-ero se debe
nr.:.fi car: IAC 1
• IEC l• IAB j
s1 /ACl•J.BCI .. /(~-.3)'t(y-1) 2
"' /(x+1)'-1-(y+1)2
dE" :::on:l.e: 2x+y-2e0 + y=2-2x (1)
IBC!=!ABI + l(x+1lª+Cy+1)2
~ /(3+1) 2
+(1+1) 2
ci'- donde: x 2 +y 2 ·12xt2y:1E,,.O (2)
y
su.tituye~éo (1) en (2), obtene¡¡¡os: x1 -2x-2=0.,. x~l i ,IJ
o ble~: x1=1+,/J ó x1~1-,IJ , en (1): y1=-~./j ó Y2=2.f!
,•, C(1+/J,-2fj) 6 G{i-/J,2./J)
3. A(-5,-2} y d{4,-5) aon des vártice~ ac ur. tri{ngulo. El
terco.r ,·értice C(x,y) ea hl c:n: l~l-4/3 Y liicl~51'.
DQ'tc1·m.:n2r C.
Sotuciln. S~ IAC)•4>', + l(x+5} 2T{y+2) 2= 4.13
Elevendo al c:.10.drs.do ootenemos: x2 +y~+i0x+4y-51"'0 (1)
s. liicl-512 ~ l(x-5) 1
+(yf5) 2 = 5,/2 + x2fl 2 -8xt10y-9~0 (2)
Ho3ts.ndo (1)-(2} se tiene: Jx-y-7=0 • y=Jx-7 (J)
16. .A:!. i:,u.;tltu.!.r (,) en {::) y el111¡>lh:ar rc:rnlt,~:
x2-~x-J10 ~ x 1:J ó x2--1
yi=2 6 y-22
-10
c(~.2) 6 -c--,-10}
i.. Calcular .,¡ cirC'ur.c:>ntro 0 1
y e: radio do Ia cLrc...niercn-
c'a circ"!.!loer~ta al t:iángul.o ac vé=ticc~ A(12,2),B(-J,5)
y 0(8,A).
5,..f,,cil-:! - E;. cilccnean•1·0 CA ~
~r~ánll!lo ~= h~llc en la i~terc~cci6n
0~ 1s~ r.iodi,;;t.•1.<!~!I de los lndoi> y
o:}'lidis~a t9 le,; ;.1·i;ss vértices.
F.n~m,e.:.c, ei f(ií¡; 1~ lO'ÍÍ · •e tidns:
/(::,:.1~) 2T(y-2)l : /(x7Jjlf(;{•5)i
de done:.,;: 5x-y- 19;0 (1)
El IQ'íal e Ic'é1 + ,.:"(;Z+;}il +(y- ; )2 = /~?-x---e"")""l-+{""y---8"")"'
1
Je don5": 11x+JrJ.'ir.O • f2)
f!eMlvi;,,·,o (1}-¡ (2) "bt~ne!::~11: x~~, :,=1 ••• 0'(4,1)
P.adlo J,., la c.:.rctu1J>,ronoia: r'-]6"i'il•IC&+J)2+(~ =165
5. G(2,J} e~ e: uaricer.tro de un éri.&!.6~lo ASC. C,(!,6) y
e; 1
(3, -1) t:r. le" l:,9.!"icer;t.ros da doe tr.i.<Í.n¡u:ton i'o:ne.dos
uni<>r.d:> G :o!'.! lo6 ,,,í,..iices A, B,ll. iJeterclniu· •stos 7érti-
c~s.
.;&li.:c,6.,, S""" .(x 1 ,¡r:), S(ii:2 .y,) Y C~x.,i~>
Par:l ::l t,A]J(l: X¡IT.¿fX3-'3(,;>)-6
Ytiy,•y ,~J0) - 9
En <;l t.,.'il3Cr : x 1 fx 2 t:;:=J(4}~1'2
( 1)
(2}
+ X¡ •x2 ;í0 {J)
7,•;,+J•J(6)•18 • y,+y,=15 14)
S11~•.1tuy13ndo (J) y {.0 .:-t1 (í) y (2)
resul~•, x,--t , :,,=-6 ..·• C(-4,,-6)
a
A
~~ •] ~ACG: ~1~x3f2=3(3)=9 + x,~11 ; y,+y,+J-3(-l)~J 4 y,=D
.'. 1,(11.01. "'n (3) y (4): x,=-1 , :ra~15 :. Bí-1,15)
2J
1. 6 POIOIEN Tf OE Ull. RECTA
Se denonlna p,:,ndiente o coeficiente ~g1Jlar de uaa rec-
ta a la iar:gent.. de s,, ángulo do incliniCi~n. Se tl4mcta
por~. de tsl 2odo q~9:
» Tg«
Ot>s..rvaciones,
(1) r1 interv lo cia ~ariación del
ér.gulo de inclint<C16n de una
recta esta dada por: O<a<1aoº
Según esto la ;endiectc puede
temor todos 103 valores reales.
(2) Si a es .,,gcrio, la p~ndien.t.e es
positivn r.omo para la recta ~1 de le t'iJura (Tga1>0}
(3) Sj a ~s op,usc, ~cmo psrs 11, la p~odiente ea ~egativa.
(Tga2 <0)
(4) Cuando a~~oº, la r~ndiante no está definida, y~ que
Tg90º= c•1yo sig:,.ifi,:edo no os uo n..:i::aro.
Tcore11a 4, Si ?1(x,,y .} )' ?,(x,,ya) sen dos p¡¡i;tos d:d'eren-
teij cualeRquiera de una récta, la pendiente d~
la recta es:
m,,'ll"h xh.
X1 - X:i • l l
o~moóutuc,6~. En efecto, proyect~mos
F1 y Po »cbre el oje X de tal mol: ~ue
A1(x1,0) y A1(x~.o). Po:- P2 tre.,~~o•
,;na pa:alela al eJ e .I que int.e:-c<>p,ta a
P,A1 en B, entonce5 B(x,.y1 ). Luego,
r.or el Teoreoa 1:
.(zii"X1•x1 y !11',=y,-ya
P:n el ll.P 1BP 1 : Tga • ~ + m " L.l:Z!
P2B x1•Xz
y
17. 24
Teore~• 5, Un án.g11lo eepeei!icado 6 far•ado por do&.
re~ta oetá dáda por la !6nu.üa
'!'¡0 " tl ;l~i}, , 111,!Ja ~ -1
en dondt p, 1 eg l& ¡,endinte i;dc'i.al 'i mt ·u la pendiim-
te final co7respondiente al 4agulo e.
Deao4~,u+.S11.. !'1)r ~o,H,t.da sl~•eJi.ta.l ·eabau, g11e tod·3
á,tgulo nte:t'io~ a un trih~lo •• JI t
igual a l"'l Jll:l!4 da low Úg'lllJ• 11} J
te!;'ioTe$ A~ ~d,~centee. )ffltoni>a'a
ea el .l~~ <l!" ¡_.0,1
O 98&.t &. a1t ª••<l-1
..l.pltee.11élo tan.gu~ se tifUH 1
T.ill- ª T&~~ i 'l'¡ta.i
H T~¡Tgth
mt • ¡¡i, , •
P,e:.o e 1 c!l'tta.~ y ma"taoa, l¡¡e~1 TgO." , 11
1
.:
91 , 1111 • '-t ,.. ,
Ccyrolarlo 1, t,a eoadieió11 nu:&euia. y rntriciente pera que
,loe re,ou.• seu JJ0..1t.ahta.J> "4 que ~us pendient,,ss
e..an -1 g1,1a,.les. ea.to e.s. •:t L I I ILt - illc1 "' 111-.
~ ~teet~, doe r8ot&d aDn par!l.l.ol&~ ou,aodo·Q¡ úigLlo Ior~•do
po.L' ella• ,u, oº 6 180°, en t.oo~es si en la lf1ttüa dtol t.aol'el!ls
~ bacemoa1 &..o0 tsnira1lo11:
1111 - 1t1 = O '* Jll.1 "IIJ 1-
éorolnh 2. 1:,s eonilo16n neetcarla ¡ 11ufii::teot.e pars: que
dos reetia-1 $e&n trl6Jt.fJe1llilc."'twi.&..s 1mtre si, F;-!f
qua el p~du0-t;o <loa .sus p•11di.st1tA>• ""' i.g12al a •11 .ato e111
· L.1.I. loa ..... li ~-ss • • 1
En ,r.~1;.ci. si doe n.ch11 son J>ér~d.tmd•ill·e• e.l ifu¡11lo com-
~r•nd;l.do sar-o ell4i~ •~ 90º~ 1111~ees p~a qu41" fg9 no ast&
a.f:1.ni.<l,. en le fdntula, <te1 tecrnlllA 5. •a tle~ Cttlllpl.il' qua:
1+~2.mz. e ......... · 1
1E3ERCICIOS. Grupo 3 1
~ Los v~rtices de un triángulo son l~s puntos A(2,-2),
3{-1,4) y C(4,5). Calcular la pendiente de cada uno d~
sus la<io:1~
Soiu;ión , Por el t.eorena 4, 60 tiono:
y
e
Pe::idien-::.e de Afl: m1 4-t§) ~ -2
Pondiente ele §ü, 1'11 ff,r 1
~ = s'
Pendiente de AC: lll • =~-1
- - 2
25
r,. Del!!ostrar i,or medio de pendiante11 que los punto.a A(9,2),.
B(11,6), C{3, 5) y D(1,1} aon v6rtices d~ un paraldlog,
i>,,_,.,o,5:t,.ae-i.611, En afecto, probarecos que AiiJIDé, cll!!'JA
6-2 5-1
mA!l : 11-9 º 2 ; "'ne = 3::T = 2
Si mAB = mDC + iñ / IDC
6- 5 1 2-1 1
mOB = 11-.3 "' 8 ; "'oA = N = 8
Si .i
08 = m
0A + CBIID,
?orlo ·t~nto, el cuadrilátero ABCD ea un par!l~log~amo.
7. Une recte. de pendiente 3 p.aaa. por el punto (3; 2). Le.. ab$-
ciaa d~ otro punto da la recta ea 4. Rallar su ordenada.
_Sr,l'.uc U>n,
Por definición:
·s. Una recta de. prmq1,;n.te -2 pasa por el punto (2, 7) y por
los punto$ A Y B. 3! la orde~atla de A es 3 y la,absciea
d.e B es 6. .:uáJ. es la absciaa de A y c11Íl lia: ordenada de
~?
Sotu,:,:6n, Sean m=~2 , P-(2,7), A{x,3) y B(6,y)
18. 26
lo• punt.{le eol111•lll••• •• debe nriticu que.:
• i:1 •-2' <!• donde: X".(
-
. i:t· -, + ¡.,=-t
,. ?ree v,rti~e~ da un panslelo¡ramo son 4(-1.4), B(1,.1J y
C(6,1), Si la ordonud8 del ouaPto vlrtice ea 6. eu!l &e
au ordenada!
Jgtuc{l!• See al vlrtica D(x,6)
(:011:0 BA IICD •
do dende: x•4
B
10, llf.llar loe lnguloa 1utorj.oreu del triángulo cu:,oa v~:Li-
o~a son loa puntos A(-2,l}, B{J,,} 7 C(S,-2), Coaprobar
los reeul tadoa.
~l!J$id~. Primeramente oll"i~fitamoa
la :i1noci6n podtiva (unUdo antiho•
rario) del ,ngulo de cada •'rtice. En
&egui1a dep1cn~moa por,
~1•:r,!' ••••cA 'ma•aA8
"1 . *i. •3 m- • H2
¿ .T-3
~~ '·1 i
. ;n.
l'g.
-~
&1--•1
B
e
5;,./,..iw.1; .t.r. Coc-td.er..:,á.rH
11. !)e:30:t:rar r;ue oa J:L~tos .,(1, 1), :(5,J). C(E,O) • (4,-Z)
son ,,~t·t1ces de un paralolo,::rono, '! hallar su Úof:lo nb-
t1,so.
Er efecto, desostrereaos ql!'! ITJ IGC :r
DA 1a. y
.1.::..1 1 _ 0+2 _ 1
mA.B = 5-1 =2 ªne - 8-4 - 2
B
Si 111A:I • m
0:: + A!Í 11 fic
1:1 :lli~.1;
JA 1-! e
Si CID.A. mcB + D
Pa:ra dsts~~1nar el én¡ulo obtuso B. designe~os por ~1ªnAB Y
a 2 =~c~, e:1tonce3, por el ~eore~& 5 se tiene:
~ " _ o.-:a¡ - -1 • 1/2 : -3 • m(fB)•i:({D}=10S0 26'
.go - 1+~1.~2 - 1 + 1/2
12. Dexostrar que los puntoa A(1,1), 3(5,J) y C(6,-4} aon ver
tice; de un tr!áns.lo is6scelea y ~allar o;da ur.o de loe
án¡:ulos 1g-1ales.
pemo1t4aciJn. BocLar~ prob~r que IICl•I.BCI
En efecto: jACI= /(6-1)2
+(-4-1) 2 • /50
fBCI= l(6-5Pt (-4-3) 2
• /50
Luego, el AABC es is6sceles,
;n~qAB ~ ~ = Í ; lltªªCB = ~ - -7
i,,..tor.cos:: '?gil
3
13, Ha.ll&r los &n6ulo8 del cuadrilát~ro cuyos v6rt1c~a son
lcr Jl'lr.;oa A(2,5), 8(7,J), C(6,1), D(O,O). Comprob«r be.
!'et _1tsdos.
Sclu.u6n. La ortent..ció:i pnsitiva del úgul:, é.e cad..
v6rr.1 oo ee tne11 tra. "'" la i'ir,;1,ra.
1-0 1 J-1 5-3 ~
m1=moc - "(;:o : b : a.,~mC.:l "'"'¡:"6 e 2 : lil1~mBA " ""'f7i:. 5
s,;cOA: Í . L~eg,, por el ~ao~•ma 5 se ti•~·:
19. 29
TgC • ~ ,. 1/6•2
Oi,&¡ H2/6
.- 1'
, • -l.J75
:. c..126º2 •
TgB • m2••1 ~
T+a~.~, • 1-4/S º 12 + B•85º14•
X
Como •1,n• ••1, enton~-001 A•90º
Collprobaci6n 1
Oos ~ect,e se oor~an !oreando un án¡ulo de 135º ~ b'
lic que la recia final tlen, un• pendiente • ·ª.18!1•
la peodicnte de la recta io1c1 l de .J, aa.cular
• 111 •
i..~luei&r.. Tenemos: 9•135º v
J •1••J I ~oP el Teor~~a S:
15. roo rectas se cortlJll torm.ando un án o
Lnicial pase por los p , P( fUlo de 4S • La recta
un.os -2 , 1):, ~(9 ~}
f1nal pasa por el p::nto IO, 9
) • • Y la recta
c!sa es -2 Rallar 1• d 1 por el punto A cuy~ eb9
• -~ or en~d& de A,
.foCuc, 4a. Ses A(-2. )')
.:'e;id::.ente je p:¡ 1, 11 1
P~nil~nte de aBt D2
7. 1 f.
-~. rf
1> 1::.J. e 9•Y
-2-3 ,
Si :'€45º : 4!j•Cl 1
1+o, i , l!I~
.. l • (9-y )! S • 6/11
, + °"'~> 99· lli• )O
55+S4-6y
de don~e: :r••B
Hallar el áre4 u1l tr1iin
B(J,3) y r.(6,-1) ¡ulo cuyos v6rti:ea IOD A(1,~3),
eaple8Jldo •l teno 1el {agulo BAC.
:l:.!l!~. Seao1 mz=1t,U! y l:11•111 • ~l+J 1
AO ~ · 5
29
a(AA3C) - ~'A°clx15ill, poro lfffiJ•Ji!ISenA J S
E:,toaces: ,:i{ilABC)" Í IAC Ilr!ils.,nA (1) ·---~
IACI· /(6-1) 2 +<-1+.:l}i "ff9 :~
lnli· /c3-1)'tl3+3l 2
- um ºf-!. ____ _
Suat.ituyendo en ( 1) ae ti ene: :
s{M,l:IC) • ~(/29)(2.t10)(~) = 13 u
2
A
X
17, Por nedio de pendientes de=u,sureee que loe tr~s p~c~cs
A(6,-2), B(2,1) y C(-2,4) son co~iueales.
Dv,0AL1gci6n, BaGtarA probar qua las p~nd1et1tes ds lo~
?~n,oa to:itados dos• dos son •¡r~ala~.
En efecto:
:ll.!.9 =~ ..
,.
-~
4
m ~ 4.
,,1; .1
BC ~ l.
Por lo tan to, los ;,lll'ltoII A, B y C son ool!.netles.
19. üoa rech paoa 1>0r los puntos A(-2,-J}, D{4,1). Si un
punto do aoaci1>!!. 10 porteaeoo a la recta, ci.;.ál es :m o--
dena.da?
J;oiue,U«. Si i(-2,-3), B(~.1) y P(lO,y) os~ár e.' ,m;. •1!
1:U ~ -
oa ,.ecta, ent-0nc.es: mi.B = lilAP - 4+2 = 10•4 • '1
3
:,
19, !!elle le. eccaci6r: :itbe sati fa~r cualquier punto P(x, y)
q'.Jtl ¡,ertenezcit. a la. recta. qua ps.H por loa pu"'"ºª A(2,- l)
7 B(7,J).
ioiuqi6n, Si P(x,y), 1(2,·1) y B(7,J) pet-te~ec•n ~ ~a
~iaca recta, ontonees:
H1 ,,+1
mAB ~ ~AP ..... 7~ • 'i'=2, de donde, 4x-5y-1J:O
21. Ce~cstra~ que la raot~ que pliSa por los pun~es A(-2.J) y
B( l., 1) ";;; r,orpend:l. cular " la recta que pau. p~r loe :¡:,i;.,-
tos C(-1,1) y 0(3,7),
1lc•<>tl11.,;ci61t. Sea L 1 la recte. que pa3.-. por A y B,
20. . 7.1 1
Si L2 e9 la recta que pasa ~:r C ;1 D • 11, "' 3+1 = 2
Luego. 111.1 .1111 -= C-JH~} " -1
Por tanto. ~or el corolario Z dal teore11a 5: L1~Lz.
22. Una re eta t 1 pasa por lo.g punto• (J,2) y (• 4.-6) y otra
recta t.~ p~M por el p1u,to (.?.1) y 41 pu.n.o A cuya ord§
nada es -6, /!~lle.r la abeaisa de A, sabiendo qué L1 ti!
perpaodicular a L~.
Sotuc~~q. Saa A(x,-6)
-"t.-2 8
Pend1ent,e d-e L1: l!I-!" =:a=1 • "'1
• d 1, :6:1 ~
Pe11a!-e.1!,t& e a: 11,.0 7+'1; 'i+7
S.1 L1.J..t, -+ 1t1.m2"•1 +-+ (~)(~} " -1 , de donde1 x•~
23. J)Qmo~trar que loa tres pu.ntos A(2,5), B(S,•1) y C(-2,1)
son lo~ v,rticsa de un triángulo rectánElllo, y bel.lar
eu_e án g;,iloe ·a¡¡udoa.
ucaa4~~asi6a, !n ef~ato, ~endi&nt~
Pen.dümta :le nP-, 111> • ~ " -1
Como 11;~.m, 9 •1 • cl..diA
Lueg·~. el 6.A'BC ee reot&ngulo e!l P
..
hnclhn~ ti" ~: 11 1 ,. J~é •!
TgC e U•lll1 ,. t+1/S 'a~
~ 1-1/5 "
+ C • •rcTg(1.5) • ,~19•
T¡¡ll • ..J~,..!::.~L : • 1/!i+l ª ~ • 8•ara'l'g(2/3) a. 33º41 1
TI"mt.li1 1t 1/ 5 .,
s
2,. Domostrar quo los cuatro pl.ll'lt<>s A(2,4), B(?,3). c{6,-2}
T 0{1,-1) son v,rtj,cee ds UJl cuadre.dQ y qua sus diagon~
le3 aon perpendioúl&r&s y ee dividen autumente en par~s
iguales,
31
Üe..r/to~i#u¡ci 6n. 1'r9bare.nos prilllsra:mente que le.s lo..l'lg:itu-
cica de los 4 laaoa son <gual e a .
En efecto, liBI= /(7.2)2+.(J-4)2
= .126
lül = 1(6-7)2+(-z-.:l-)2 126
JC'ñl ; /(1-6)2
+(-1+2)~ 126
IDAI =/(2- 1)Z+(~+1)l = 126
Ahorá demostraremos que sus ledos
son perpendiculares. En efecto~
y
.4.
mtil , ~. = ; ; m
_
or " ~ " -i ; mlié =~ = 5 ;
- l+.2 1
mmy = 1-b = -5
e
Como tl)}A. mÁB : -1 y ºJro.mw"--1 + DA .i...IB y ÍÍC J. cjj
Por lo tanto, el cued:ilátero ABCD o.:i ,m cuadrado.
Finalmente, las pendian-:es de las diagon,ües oon:
mAC =~ = -~ ' ~D3 = ~ = j
Vemos que m!C'ºDB~-1 , ento~oes: ACJ..DB.
Si Mes pm:rt.o cedio de io + M(2; 6.~)-++ M(4,1 )
Si M' es p,mto oedi.o de fili + M'[1t1,~> ++ M1 {4,1)
Como M=M 1 , las diagona1es ¡;e biseeen mu1;1.1at1ente.
B
25. Demostrar o_oe los 4 pun.tos -~ (2', 2), B{5, 6), C(9. 9) y D( 6. 5)
son vértices aa un rombo y que &ua diagonele~ son per9en
diculsres.
iJe,ro4J.,r;ac.iótt. Eu efe eto, por 111 fdrmu.la de- di stnraciaa
se demueetra ~ne:
lAli1
"'¡ne¡~llilll ~1AD{=:5
, 0 ,iB= t~ e Í ; moc= t:i "' j
- - 9- 6 - ..2 • Cl - 5-2 - 2
·ac- T-3 - 4 • .-1.n- b-Z - 1¡
Luego: AB!JDG y 3é!IAD, Por t=to el
e
cuadrilátero ABCD as un. ro~bo. ....,o'*"--'~~"-'~~"-..._x
ºA.e~:=~ ; 1 ; m0B2
~-= -1 , enb:rnce~: !CJ.ÍIB
21. l. & OEHOSTílACTOH oc TE:OREHAS CEOMETRIC:05 POR H HlTODO -~NA-
llTICO.
j EJERCICIOS. Cru¡:,o lt 1
J. Lttc dia.1;nr.alc3 de tm paralelogTiu,¡o ª" ::!i viden outu,ioecte
~n partes iguale~.
D~•o,!,:/~aci/", 1a pos~cl6n náa oe~-
cilla, con r~l~c16~ a los cJen coordc- Y
nadoe, pare tu. parr 1elograoo cualquiera
ea el d-e la fi&4.c..1~n adj1
ln!.2:. iDpe.a:a.aoo
por oalgnn lon vértii;i..s A.(c.,O) y
C(b,c). Co~o CB os p~rnlclo e igual a
OA, entcncee, la orden,.Ja do B es i¡;ual
a !a ordenad11 de e ;¡ wa ab&e1ea ~3- a u-
nidades ~ayor ~ue l~ abscisa de C; lueio, E(~•b,c).
?ar:, o.leooatre.r que las dia;;cnales se bloecar. au•.11a:u1r: '9, b._.l!
ta:.i detentir.4::- q~c loe pon~º" medj_oa de dichan di1tgon'llti2
coinctdcn. Eu erecto:
F=to 111,dio de :cra: H'ª1b,j). Pm'!;o :,odio ue .~: M'(~,j)
Co1no H,,1'/
1
, qu,,(a denost:-itdo el ,;oore,Q~.
3. tac di,;gona.1.os d!I ur. ro:!ioo son perpo,idicularen entre si
y so eortan on nu pl!r!t.o modio.
VUlódi,,,ac 16n. Ca efect:>, aea el ¡,aralelo1;:-1U10 o~c. cL-
;,110 coordenada t!e s.i3 11htic~3 i:,c
deter11i~an como en el ejercicio 1. y
e(b. e)
Pendie.:ita de éTif:
~.(a,O)
Cono el ro~bo e" un pnrnlelograso de ladoe igua..leo, en el
AODC se ticno, por Pitñ1roras: 1~/2=/oélt-lODIª +
0
2,_a•-bi
!l2.i:,2
(1) •• lt:1.112 =b'-:..' • - 1
Sue-:.iti.yendo en
atb !i) . ?un.to medio de AC: M' (1;2 ,!)
Punto cadio de ºª: •Hz'2
,..e 111• diagon,.loo co~~id.,•• :o
Vemos qns ·os pun~os ~edjoa
'staa ~• cor'!;an en s~ punto medio.
cual del!lu9atra qu'e "
,., l . Punteo ~•dios d• do~ l~
!J. segmento de recta que Wle o
dos cu&leaquiera de un tr~ángulo es ?&rslolo al te~eer
lado O tgu&J. ~ au ml~ad,
DC594i54ei6n. Sea el t.OhB
Pendie.n.to J~ OB: m1 ={
IOBI
l~I
B(l.:,c}
5, d un tr16ngulo reetáng~
El punto m~fo de la hipotenusa e
lo equidista de. loa tres várt1ceet.
De<>?:<12c¿6n • nQb~os probar que: /KOl•JKBl=[IIAI
En ereeto, design~mos los vSrtieea
A(a,o} ~ B(2b,O).
81 M 0 ~ punto med.J.o do 0B • M(b,O)
Luego: fMOJ•IO-l>J•b : Jifüf .. l2b-,b-l"b
A(a,c)
Jiil ..,l(a-b)'+c• ~ ¡,.1_2ao+b1te2 {1)_.¿t;,_ _¡,,...~i-,..,-~';:::-7,
Fe::~: l]Jt¡2 •fCRlx liffil 0
Entonces: n2~a(2b-n)~2ab-a2
SiHl~ituyendo an (1): JM.Bf '"/cª-:2a.b+b2 : 2ab-"-1 ~ b
Por lo tanto, k ~qu1d1sts de los tras vértice&.
22. 6. Loe énguloa opuestos a loe lndos iguales de un triángulo
is6sceles son iguala&,
U#AOhLA.aci6n. ~ebemos pro'>ar quo o=B
!n erecto, designemos loe vértices
A(2a,O} y B(a,b).
Pendiente de OE: ~1 =Tga =~ (1)
Pendiente de AB: lllz 5 Tg8 =~ =__g
a-..:a a
Pero: Smrr-8 + TgS • ?g(s-9} ~ -Tg6
Entonces: 'IgS -(- .2) =2 (2)
a a
De {1} y (2) se doduee que: Tgo =TgB + 028
8. Si las diagonaloo do un paro.lelogra~o son iguales, la f!
gl!ra es un roctkgu.lo.
DVIIOhl.A.oc i6n. Sea ol paral11lograD1o cuyos v,h· tJ.oes oc i!I
dican en la figure.
[éBJ • l(atb} 2 +c2
yIM°:I • /(a-b) 1
+ci y¡
Si ló'3l=IACI+ /(o+b) 2
+c• • /(a-h) 2
+c2
de donde: ab =O
Cono aiO + b=O . Si esto ocurre, en- ....,,
0
/1,1:.;...~~~..:..4-~,,.x
ter.ces las coordenadas de C y a scr!n:
C(O,c) y B(a , c), ee decir, loo ladoo del paralelogramo B<lrán
paralelos y ccinc11er.tes con los ojea coordenados.
Por tanto, ln fig~ra resultante es un reot..ngulo.
~- ~es eedianas correspondientes a ~oa lados iguales de un
t.riángulo io6acelei! oon iguales.
~rdcl6n. Sea el óOAB cuyos vértices se indican en
la figura,
Debemos probar que: i<IT!l=IANI
:'.n efocto:
1~ es p,.mto medio de AB .. M(Jl!l, b)
;e
(1)
X
l~I z /(2e. - ¡)Z~(b-0)' 1 /f.z + bl
De (1) y (2) se dedace que: lmi!•llll
(2)
35
11. Los dos segmentos que so obtionen uniendo nos vérti~ea o-
pues~os do un p~ral.ologrs~o cor. loa puntoo ~edios ne doc
lados opuestos son iguales y p~raleloo.
lJ.e.lflO6i1t-aS i 611., Sea el pare.lelogrago OABC cuyos v,rticea
so dan en la figure..
Punto 11edio de AB: M(2a;b.í)
y
Punto medio d.e OC: 11(} , ~)
IMél le~ - b>2+<~ e)•
f, /4a2+b2 +c 2 -4eb
"'
/(a - !i•+(~)¡ ~ ~ /4a2
-'-b2
~c2
-4ab
IM°cl = 1m¡
Osnoetrarellloe ahorP. que: MC 11Aii
En efecto. pendiente de ~C: ~1 ~ c-c/2 e
b
2atb =t:,;.
- --r
Pendiente de ÁU: m2 a c/2 - O - e
t/2 - a - D-2&
Si D1=m: + iicl 1n:
17. Sl eegaento que une los pun~o1 ~ed1oa de los ladoo no P!
ralalos do un trapecio os paralelo a las b1.1oos e igual 1t
su se11is~a.
DR.•o ~t,:,ac i.6n.. Sita ::1 tr11,peoio OABC cuyos lados paralelos
~1den a y h unijodes,
y ouyas coordenad1.1r, ¡e eua v,rtic, s ~
indican en la figur~. Las coordenadas
do loa puato3 aedioa de los lados OC y
AB oon: ff(.!< S) v JJ('!iibtc S)
2'2 • 2 '2
Venos que le ordecada do N y N son
23. J6
{.!1. d) "(a+b+c d)
Mi '2 y" ~·i
Vemos que las ordenadas de My N son iguales, por lo que la
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
esto aei MÑI 161] /EB
F.. 1 .. ¡,¡,¡¡ atbtc e a.+b
1.na oen.e; ,.,. ,. -
2
- - 1 =2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg1
11ü a la m.i tad de la i!lfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
v~mo~~~~ei6n. Se~ el trapecio OJSG, cuyas coordene.da.s de
sus vértices se inrli.can en la fig,.1r,;..
1
-¡ ~-b .
Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
~(b¿c,!) y N(ª~c.1)
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º _b;c1 ~ ~
14. La suma cle loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de .los cuadrados de aua d.i!
gocalP.s,
se ind l~an en la figura.
En+.oncee: Ifil J-= 1
cii /"a y
loe 1=/ AB 1-= /b2 +c 2
7
- /OAl 2
+JAiiJ2+fCBfª+jóef '= -
0
J,:;:_ _ _ _.;;,,1._ _ _ l(
~ a 2
+b~+c1
+a2 +b2 tc• • 2(aªthz+c2) A(a,O)
IAC /-= l(a-b)2tc'
+ IOiifl+/iIT:Iª ={a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d aoterio:r , ese de!,uce que 1
loitl 2
+IIlli•+lfüll 1
+/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
15• los s~gmectos cue uner; los pu.~tos n~~ios de cada dos la-
t · · u ~,.•
.;¡.drilátero se biseca11 entra si.
dos or,ues os a& n v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das ce su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I
segm~::¡¡03 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils..;ir:, son:
· a +· b+d) o(º r¡ R(ª b)
?(2'2 : · 2'2 • 2'2 •
º(c+e d+f)
., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf)
Si ~~ ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d
2+rl
Si 1" 1
es ~unto inedio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se1;nar.tos PQ y E &e bisecar, antre si.
' ul • !a base a~ un trapecio isÓscel~s son igu~
18. Los a.~g os ~e
l.ss.
fJe.,o.6t1t.,1ci6n.. S<ia el tnapeeio i.s6sceles OABC, cuyos 1"--
dos paralelas nider- a f b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
OA:6iit5EiEi, + a.:x1 fbtx 1
- e.-b +
OE=ÓDtDE + X2= -2- ¡,
(a-b )
Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b
+ Xi= 2
a+!:,
.. r.~= 2
a'b
y B(+,c)
oc: e
=
2,e
Pe~d!~ntC! de El - Tgt! ,._
c.... b
X¡
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ 2c _
X2-II. b-a -
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 =
n ;
a
D
(1)
2c (2)
-a-h
-tg-(11- e) Tgl3
24. J6
{.!1. d) "(an+c j)
M 2 '2 y" ~'2
Vemos que las ordenadas de My N son iguales, por lo que la
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
esto aei MNllóIJ/EB
F .. 1 .. ¡1m¡ a+b+c e a.+b
1.na oen,e; ,.,., ,. -
2
- - 1 =2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg111ü a la m.i tad de la elfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
íYe.,110~.l11.a.ei6n. Se:.i. el t.i-a¡,ecio OJSG, cuyas coordenadas de
sus vértices se inélican en la fig,.1r,;..
1
-¡ ~-b .
Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
~(~ 1) N(a+c &¡
· 2 ., 1 2 '2
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º - b;c1 ~ ~
14. La suma cie loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de .los cuadrados de aua d.i!
gooalP.s ,
se ind loan en la figura.
En+.oncee: Ifil J-= 1
CB /"a y
loe 1=/ AB 1-= /b2 +c 2
7
- /OAl 2
+JAiiJ2+JCBfª+jóef '= - 0
~-~----_;;,,,,__ _ l(
~ a 2
+b~+c1
+a2 +b2 +c2 • 2(aªthz+c2) A(a,O)
J.dem,b: IOOI~ /(e+b}2+c2
IAC/-= l(a-b)2+c'
+ IOiifl+/iIT:Iª ={a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d aoterio:r , ese de!,uce que 1
loitl 2
+IIlli•+lfüll 1
+/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
~ug une".· los pu.~tos n~~ios de cada dos la-
15. los s"-gmer.tos " . ,.
- ~,.•
.;¡.drilátero se biseca11 entra si.
dos opuestos de un v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das éie su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I
segm~::¡¡o3 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils..;ir:, son:
. (a+z btd) o(2. f) R(ª b)
? T•T : · 2•2 • 2•2 '
º(e+e d+f)
., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf)
Si ~r ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d
2+rl
Si M' es ~1,1nto medio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se_gnar.tos PQ y RS &e bisecar, antre si.
' ul • '-ª b•se d= un 't:t<a))_ec.io isÓscel<:<s son igu~
18. Los a.~g os ~e ~ -
~
l.ss.
·6 S<>n ·el t=an~e1·0 Ls¡¡'sceles OABC, cuyos la-
Demru,i:11.,1c,. "· ~- ~ ,,v
dos paralelas nider- ar b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
OA:6ii+5EiEi, + a.:x1 +btx 1
- - - e.-b "
OE=O(J+DE + X 2= -2- + V
(a-b )
Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b
+ Xi= 2
a+!:,
.. r.~= 2
a'b
y B(+,c)
oc, e 2,e
Pe~d!~ntC! de El Tgt! ,._
= c.... b
X¡
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ ..k ..
b-a
X2-á
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 =
n ;
a
G(x¡,c)
(1)
2c (2)
-a-h
-tg-(11- e) Tgl3
25. 19. -:Ooe pu1•toe :¡¡,;dios de das lado" bp=.tastos de cuelq1er cue.-
drilá ~e::eo y 1.o s :,unt,oa :nodioa d~ la& d.i.aginia:..as so>' -.rar-
01 ees de un p~.:.""t;.l9-1cgri1.wo.
ti~l1 -de sus vé!'ti.c.es B& indica. en
1~ ficu:-s..
Debc:nos probar qt;I!: PÍI ! [~ y OHI !ÍlP
Rn ~dH:to, le.~ coc,:!7'i.eo~ii.as de loa.
puntos :nO"dioo u~ !ott l~dca :: las
üíag~nal~s del c&ad~il~~cro, son!
y
P,sndi enta de ..,,, '. m-1 º1Q="1,
Hf'
- T
'7.le
-i
f
- 2
=.!?
Sr. a
:e
23. te. su:r,i. d~ 1:>s e11adradoa. de las di:.tancia$ dn cualquier
punto de un pleno a dos v,rtiDes op.ueewe de .::Jalgui":
rcc~áneulc e~ igual al"- s~~a d~ l-03 cuadrados de s~s
d.J.s ter eit:..s r. los <")t..""'os de-a v-,.;rticcs ..
!l.c.f!l.rJ-:j~tr...ri.f!!i6r1.. Sr?ts. ~l ~e{.!tfugulo A8CD y ? :in punto ·::?t:.al-
Por h. :1"6:::mu1n. ria Ci1:;tac.ciae: y
jOPJ = /xa+(y-h)2; H!?I ~ ~T~+yz D(¡,;,b),(11',,-.,.:..~._,:¡;,
... pw¡ z+ ¡:ar¡2
= "''+C;--bP+(,c-e.P+y•
: 2.,•+2y'1-sz+h'-2(~x+by)
IJ..!'i 1 ~ /x2 +y2 ; jcliJ ~ /(x-..)Z+(j-b)~ A
~ IAPl 2
+IEP!~- x 2
+y•+x.2
- 2ax+a 2 ~y2 -2b¡r+b-2
= 2x 2
+2y2
tu,2
Tb
2
-2{1<Xtby)
39
Cooparando las dos iguald~des se deduce que:
Jnp¡i+tfilil" ., jAPl..+ICPl 2
2:,, S1 O,.lt,B y C 600 los ,,értices &ueea.ivoa de-un parn.lelogr.§
mo, y D y N los puntos ~édios de los la.dos AO y sé, ros-
p.ectivanent'i', l(>e segmentos DB ¡¡ ~ tM seean a la di&go-
nal iic.
fJ,..11ttui.-1.acion, La figura m-uestra el. _paral~logramo -OIBC
Junto con las CO(>rden.adao de su.a
vérticec; . y B(a+b,c)
E punto medio dé cá + E(ª+~h_ e)
D punto Elédio do 0A ... n<!,o>
Denostrareiooa que l>B brisea-a a X
la d.ia~onal AC.
En e.feci.o, /.l~ ·F(x.~·) l¡1s coord.enaéla~ de ll.ll p1,1nto P&AC.
r-, X
2a+b
s· CP
a-x = -:T
P{2a;b,j)
i PA e 2 +
-f.% e 2 + y
=i
y
F:·:l;,. i + X • 2atb
---y-
~= 2 + 2 . p(2a+b ~}
~ e 2
3 •}
+ y =j
y
Como e.nbos puntos ooin.cfden, e,ntonees P es punto dc¡, ir;I.Gee-
ción de la diagonal ie.
Análogamente se demuestra que Q es puot. de triseéción de CA.
26. iO 41
l.3 ·n~ercepclQ~ea oon loa [Jes Coordenados,
~ a) Con el e je l. Se obtiene haciendo y•O on la eeuaci6n
Gráfica de una Ecuación
,
Lugares Geométricos
l. l OOS PROBLEMAS f'OHOAltENTALES DE LA Cf:OMtTRIA ANAUHCA
I, Dada lila eouaeió~ interpretarla goométricaQonte, ·~
decir, co¡¡otruir la gr&Cioa eorreapondiente.
TI. Dalia ~na fig,,ra geoaétrica, o la condición que do•
ben cumplir loa pll.l'llos de la •lema, determinar su
ec,aci6n,
2,? f'R lMEII ¡.ROBLEM.t. FllNOAMENTAL. CRAl'ICA ~ UH,. E:CUAC1011
!n la diaeu1ión'7 el tra1ndo de la gr&tioa de una ecu~-
c16n da doe Tariables x • y, de la forma
f(x,y) , O
intervienen loa •i~e~tec p.aaoar
1, Intercepoiooea con los e¡a, ooorden~doa
2. Si•etr!a con re,pecto a loa ejes ooordenadoo y con el
orica11.
~- net•r•1nao1Ón de la extena!6n de la curva.
4. Detel'llinac!Ón de la• acuaeionea de laa aaíntotae ver-
tical.ea, bo:ri~ontalea u oblicuas que la cu~va puede
t.eoar.
s. talNlac16n de an n~aero suficiente de puntoe p•ra ob-
ttn•~ ~• 1r'1ica adecuada.
6. ?rallado de la cana.
• de la eurva y reaolrlendo la ecuaci6n
~osultan~e f(x,O)•O.
Por ejemplo, dada la ecuac16n E(x,y)1x2+yz-2x-2y-14=0, hallar
los ioterceptos con el eje X.
Solución. Para y=O ae tiene ~(x,0):x2 -2x-14•0
+ (x-7)(xt2)=0 ++ X1=7 ó x,·-2
Por ~an~o. los puntos sobre el eje X donde la ordenada eu ce-
ro son: P~(?,O) y Pz(-2,0)
b) Con el eJ& X. Se obttene haciendo en la ecu~ción xcO
y reaolviendo la ecuaci6n r(O,y)~O
Por ejemplo, ballar les intercepciones de 1~ curva de ecua-
ción y2 -2x-8y~12e0 con el eje Y.
Solución. Para x=O + f(O , y) :y2
-8y+12•0
+ {y-2)(y-6)=0 ++ Y1•2 6 y,=6
Por tanto, loo puntos sobre el eje Y donde la absciaa es cero
son: Pi(0,2 ) y P~(0,6)
al Sitnetría con respecto ;¡l i,je X. Si la ecuación de
una curva no se a -
tara cuando la va.riable y es rec~Dla;ado por -y, euto
es, r(x,y}=f(x,-y), la curva es s1aétr1ca con respec-
to al eje X. •
Por 6jemplo, sea la ecuación f(x.y):4.xt+31•.12
Háciendo y:-y se tiene r(x,-y): 4X1 +3(- y) 1
•4x1 +Jy2 x12
Como f(x,-y}•f(x,y). la curva as simétrica reapacto al eje X.
b) Si•ctrfa con respecto al cJe Y, Si la ecuación de
una curva no se altera cuando la variable x es reen•
pla11add. por -x, es~.o es, t'(x,y)~t(-x,y), la curva c-
ainétric.a con respecto al eje Y.
27. 4.•
t'f.J<r 1-•,,e:!J.~1..,> ;.:;ee.. la :::cue.'!iÓ!t r(x,7):9x1 -4:,¡1 -..J6
L3.-cic~do x-..x ~~ tlftr.:e f{--x~:¡):9(-x)$-4y'2:9x2 -4:1 !-. 3~
ComtJ .:(.. x,y) - i'(x1y)> l b c:trt 1
· t:s Oilié'"",-~ea r<:Jsp~r.:t:; a.:._ ñJ~ t ..
cu1·vc !lO -ee alter~ al re-t:1~ple.~ar le.s variable~ x por .. x
~sto os, f(x, yi •f(-x,-y} la cu~va
. ,
iH.. 8"111':,.-
P~i· '51~eoplo , eea la r.eu&dÓn i'(x,l):8x l-y~O
P.scie!'!do ic=-x ~ ·
¡ - -y se t ~er,e f(-'>",-y):8(-x)'-{-y)•-Sx,+,i =O
í'( - x, - :;) :e,.•- y"'O
Co~Q f(x,yi-f(-~,-y}, la curvA e~ slmét ric1 rcs~soto ~l or~-
gc:n.
Mod~ante es t e pa5o se cte .er~i n1
e.1 iri t ervalo o lvs ~n te-r :v~las
de ,,a.ri 1
.H1-i6r. pa~a l os cuqlss J.ós v alcn;•r.s d9 x e y aon
~~ales .. E.sth infor~~~i6t ~s úvil por la~ sigu~e~tes r~~
t 1i l!E'lla.r t•l c,0:11.i.do dé h eoi:ac!é~...~~f.y'-2x-16:,+1)-~
Soh1ci61•. Dc-b~aos de!p~j.qr ,-f(;t)
01·dcn11.,ici.o l;, llcuaoi6n ts ticr~: Ly~-l&y+(~f2 -.2x~l,'3}cD
1
_ e ~ /64-d:io·-2-.:-13) ,,, s ± l."7x::ax_:!-E_
+ 3;y .... -4x~+ax+12:.0 4-+ ::t2
-2x-:i~o
++ (.x-1) 2
~4 ...... -2~x-11.,2
..... -1~x~.3
Por lo ta.nto, el dominio = [-1, 3]
(2) Hallar el rango de la ecuaci6o! y 2 -9x'-18x-8y-2=0
Soluc.i6n. Debemos despejar Jl=g(y)
Oredenando ia ecuación se tiene: 9x'+18x-{y~-8y-2 )c0
• X~ -9 t / $1t§(y
2
-8y-2) • 1 ! /y2-8yf7
+ 3x ++ ;y2
-8yt7~0 ++ {y-4)~~9 ++ Y-4~3 6 y-4~-3
++ y?-7 6 y,1
Luego, el rango de la ecuaci6n e1S: <-.,,1] o [7, +...>
Los ínter-v~los ir.fln::.'tos 'indican que la curvs se extiende
in.definidal!l'<lnte a lo largo del eje Y.
2, 6 A:.!ntotas. Si para una curva dada, eld-i,te une. recta tal=
que, a medida que un punto de la cu-rva ne a-
leja indefinidamente del origen, la distancia de ese pun
to a la recta decrece continuamente y tiende a cero, di-
cha recta so l l ama ~!ntota de la curva.
Existen tres cl ases do asíntota$:
a) Asíntotas Horizontales. Son rectas paralel as o coin~iden-
tes con el eje X, y tienen por e-
cuaaión : r=k
Para determinar las asíntotas horizonte.les se ordena la c-
cuaci6n f(x.y)=O en potencias decre....1.entes de x y se igaa-
la a cero ~l coeficlente de mayor potencia de x.
Ejemplo , Ballar las asíntotas hor12ontal-G-S de la ecuación
x
2
y
2
-y2
-4x2
+2x-4=0.
Soluci6n. Ordenamos la ecuación en potencias deereoient~s
de x: (y2
-4)x2 +2J1-{y2 +4)~0
La potencia más alta de ;x ea x 1, y su coeficiente es y 2 - 4.
Entonces: y 2
- 4"'0 ++ r-2 6 yc-2 ., :ron las asíntotas bori¡!;OJ!,
te.les de la curva dada.
28. b)
'on rec.~n patul.el& o coir~ide~t-s
11tl ej ti ":. y 1e--.dc por o.' sci. '!l
p;Jemplo. llallal' J.aa 4.r.íntotAn ·,"rtioalee ee la curva de
e~u:,.:ü.5r:.: x2 .v2-y~-1.x2
+2x-·1=0
Soluci6n. Ordr=-m'!lo ln ecuad!n er.:. potc:1cie.s dcc.r cie:itea
de y~ (x2.-1)y2 -(.:.X"-2x+1;-íl
1,a povencia ,tia alttt de y ea y 1 , y Stl 001:1!.i.ciente e~ x
2
-1,
L-~"º' x2 -1-0...,. x~t ó x=-1 , ~nr. las asínto~ao vcrticnJ.eo
de la curv& aad~. •
•
e) A~!ntotas O~llcua~. Son re.e L!i.ft ,pie ne son piu•e.l lll.1 e. nin
gtl.!lo de los ej g.s cool"der sdos y ti ener.
yea:xfk • ¡¡¡[O
Para deter~-n~r la9 u.~;ntota~ oclic~as, B& r&empls~e el v~
lor yeJJx+I:: ,m la .. cttu.oi6n dadn; ce ordena l.a !Hl'.1aci6n re-
s~l te.nts s, ~ot~acl~s decrecion~ec de x, luego, se irizala
a ce~o las dos pot~nciaa oás ~1 Aq de x.
Ej<,01r,lo. Iiall"r la1:1 a1J.Ín ,at,,, nbl1cua¡¡ de J.a curvA füi ,,_
~u3clÓa A'-xy~+2y~=O.
Sol.ció~. su~tituyendo y~ux+k en la ecuación dada:
x 3-x(D3fk} 2
t2yZzQ
,.¡.,, <!o:ide: ( 1-m•)x 1 -2:r..az.:;r~+2y1
=0
t 11.~ pote:.:ciu.s itle :1l.tae Ce A 0011 x 3
y x 1
•
uego, EegÚ!l,la regl~. 1-~'=0-+ ~=±1
-2::;k=O + k~O
Por tanto, le.a ae!ntota6 obl.icu,1t1 aon: y•:!x
~JERC1CIOS, C!"'u;,o 6
,, l. XY-2)'-3-0
Sol.u.c.i.6n, Sea r(x,y},xy-'-y-J"O
I) Ir.terccpcicr.e••
a) Ce>n el eje X: Si y~O .,
0-2(0)-J=O
b) Con el ~je Y:
.. -J=O r h
•
~,: •O ~y interoac~ióc
II) SimotrÍ'I.:
::. x~o .. -2;¡-.3.,:-, ~ y-.3/2 :. P(O,-J/2)
a) Co:i el 1
e.e X• f(x,-y):x{-y)-2(-yJ·-xyt2:,-3-0
•J'(x,-v)/.f(>c·) .
• ·•Y • · !.o 03 d::!Jtric.2
b} Con el ~je I : ~( )
- -x, Y , (-x)y-2y- J•. xy-2y- .J=O
+ f(-x,y)} t(x,y)
e) Con bl o~igen:
:ul .E'xtar.11ión.
xc:1-(2) :. Dominio = (-oo, 2> U <2, T»>
h} Rango a~ la cc11ac.!.6n: x•f'(y)
X a 1:i...1
¡ + ycP.-{O} ,', Rc.r.go <-°',C> IJ<O,+o,>
IV) .4síntotnti.
a) AcÍL,o:~s hOri• t,
' .on a.es: YX-2Y-3•0 + y~o e3 une A.?.
(x-2)y- 3~o ~ x 2 ~
b} .l.s.ínto•,.:,,s Ve r~i ~aies:
V) Tabla de ·,alorea.
y - 3
-~
Si X>2 - y ss (-1)
&f:·1,:'{_;i':B
·• -S U.R ,.[,
VI) Trn~~do de la grÍfica
l
29. .~- x::-,y-:.=0
fo!Jt.<'.<.ón. 3~,;, r{x,y) ,c,:;;-J~-1(-0
a) Ce~ el e;e ¡, Sl y=O ~ o-o-x=O • x=O
t) Con el ej•l !: $l x=: • C-31-:l-O - ;¡=0
•• L11 c,urva r/s& por .,:,_ ~rie;an
1I) Sim11trio..
a) coe d ;;je X: ..(.-:,-~·):x(-:,)- :3(-y) -x~-x:r+'.)y-x=O
"!>) -Con el eJ9 Y: .(-x,)'/: ;-:"'Y-J;r-(-x)->-xy-3;,+x~C
+ f(-x,;.) F f(x,:,r) ••• No e:i sio1H.r:.=a
e} Con e'- ~r'l.g:;,:. t(- ,:,-:,~:'-x)'-:r)-J(-)1)-(-,.;)~x-;1-J,+x='.l
.,. :f{··X, -Y) f, f{.:<, y) :. }fo eii ei:,,6tric.:a
r:1) ,xto+r.sión-
a) Doa!.nio <'.ic la ccua.ci6n. ,"f(x)
'I
- i ·• xc.F'.-:3)
x- 3
x - _1¡ + y~R-{1}
y-1
;. iJominio
f
lV) Asín-te L,,s.
a) lts!ntco; 11 iloriiont.al.,s. (,-')x-3-;='.) ·> y-1 ea unA A-"·
b) Asir.toU.fl v.,rticale~. {x-3br-x=O + x;;:} a¡; una A.V .
•) ~c~la de valoreu.
;, . i1
¡,,i X., 1, le (!'.ll"'II. S'> Aittia¡¡
de ellcioa e~ ~a rec~a y~i
Sl x<3, la otJr·1:1 ¡¡~ extlei:;
,le dob:ijo do la r.;cta ¡;,=1
'J
-------' ._
---
1'-_
-+- ---
'•1
1
1
1
':
{i1túlica d,:. ""'' ér.uaci(J11
7.
12,l«c,!n. 5ea ~e )
" x.y :xy-2x-2y~2•0
I • Tri ~er •"cc:.cn~s.
ll.
..l Con el J
" o X. f(x, -;r) :-xy-2..l-2yt2~0
... 1·(x,-:,l ., t( . )
,. x,7 ª
b) Con f>1 •
9,oY.í'(-Jty)• _
,2
' , ·XY7 x-2y+2-0
A(1,0)
B(C,1)
• f{x,-:,) f ~ix,r) No •• si11,tr.u:11.
t'(-x, -y) :xyt2x-r2y+2=0
e) Con ol orig~n.
r{-x,-y) I t(x 1J· ...
' •• • 0 oa oi•étrica
III • ~xten,dÓ!l.
IV.
.l) Do::inio de la e cuaoi ón,
y 2x-2
~ ~ • xcR-{2)
b) Re.n"O do la eoua.ción
X: 2y-§
y- + ycR-{2}
f.3Í11tot11s.
:. Do•inio=<-"'•2>u<:?, '"'>
x=.t(y)
it) Asíntot&a "
norizont6 les, (y-2}
b) AsÍn'to~~
3
V x-2y+2c0 + ~ 2 0
-~ 9t>t.i cale11. • ' - = + ::~2
V T bl ~~-2)y-2x~2c0 • x-2-"0 • -
• á a ae Valores - X·2
• VI. Xra1ado
y. 2x-2 da la ~rárica
~
. ~
/___
--r-------
X J 6 _, J/2
'i 5/2 4/3 -2
'
30. 48 (i.eo..a.t,r.ln ,1.natl.:lica Pl.ano.
¡ 9. x~+lxy+y 2 +2x-2y·1=0
[oCuc.,.6n. S(IQ f(x,y) ,xit2xy+y2 ~2x-2y-l=O
I. 1nterseccíonea.
a) Con el eJc l . Sj 1~0 + :<2
+2x-1c0 +¡ x=-12.12
l:t) Con el eje 'í. Si x0 0 + y 2 -2y-1=0 •-• y=Hfl
II. Sime"'ría.
a) Con el oj~ X. f{x,-y):x1 -2x:y+y1 +2xt2y-1;0
~ f(x, y) 1- f(x,y) ••. No r.s siz6T.r1c..
b) Con el eje Y. f(-x,y):x2-2xyty2 -2x-2y-1ff0
.,. f(-x,y} f f(x,y} .•. tlo es sinhrica
e) Con el orígen. t ,-y):x~+2,cy+y2 -2x+2y-1=0
... f(-x,-y) ~ f(x,y) .•.
0
No eo aimchrica
L I. füctensión.
e} Dominio de lo ecuaci&i. y 2 +2{x-1)ytx2 +2x-1o0
•y= -(x-1)i /<x-1) 2
-(x2
+2x-1) & (1-x)!l2-4x
+ :l; - 2 4 .>O +-. x,1/2 ••• Dominio • <-oo, i/2J
b) Rácgo de lá ecuación. x2 l2(y:1)xty~-2y-1=0
... :< ~ -(y+1)! ,/(y+1l2-(¡,1 -2y-i) = -(y+1)2 l4y 2
+ 3x ++ 4)1i2::.D ..... ;v~-1/2 ;, Rango- .. [-1/2,4.,>
Il/ · ;eíntotns. Cnrio :tos eoe!'i~1entes de r2 a 1
• 800
const;:,n
tes, le. cur•,a óe eeue.ci6n dada no tifmo a~í~
totao horizout~les y vertic~leo. / -
V. Tabl~ de VP.loraa VI. 7razado dn la Gráfica
Y = (1-x}i ~ yA
¡-;i¡ 1/4 1/L -1/2 -1/2
1~ 7/4 -1/4 '1/2 -1/2
11.
l.
(,,i&/., cu ti~ u.na. lcuct:i.lm
io. 3+:r'-~) :.-o
fol1u.itr.. SCl!l f(x,y) :xJ+y~-4y•4=0
T ~e!"s.c~~o:i~o.
, a) Con ..1 eje x. 3i Y"O + X 1t/.-0 + x- 1
/-4
b) Coi: c:2 e_'c 'í.. !',i x~Cr -yj-4y.a.4,:C1 .. ·¡=2
t. ( 31::7,, O]
.S(0,2)
l. S1netr.ée..
1) Ccn e: eje X. f(x,-::} :.x:3
+y 2
+4y=C
.. f(x,-:,) I f(;.,y) f.o en s .. .Jttr1c~
t,) Con ~1 eje 1. f(-x,y) :-x 3
•y2
-Ly+4=)
+ f(-x,y) J
r f(x, y) No l(>I! r.ii:ót.ri ~e.
e) Con sl cr1gon, r(-x,-y):-x,ty't4y+L-0
• -"(-x,-:r) f f(ic,y) ••• !lo es :;i~átr!.~a
·r:. Ex':ensió,.. .
a) !lodr.io de le. ec·~acl.ón . y=i'(x)
(y-2) 2 ~x• + y=.2!xM
+ :iy .- -x>O - x<O ••• Domin1 o <-:o, O]
b) F_ango de la ecuacióx: . X"-t'(y}
x = l/ly-¡1-4 + JJ-y, x es renl. ~an~o ?
Iií. Aaío ~ota~.
Co~o ~o• cacf~ciectec ~- las variatlcs x' ~ y: son con§
tantcs, 18 curva no tiene asíntotaa horizontales ni veK
tlcdae.
V, !~bla de V~oco5. VI. T'r..zc.d~ e.e l~ gd!'ica
y - 2±x,/:X
; ¡ .3 -O.a2 1..n
R-11-1 ,-, ! -2 ,-2 1
31. 50
12.
.I)
rr.
y 3-x2 +3.yc,?+2'x+3y;o0
Sotucion, La acuaoión podemos tr.~ñai~:rm&r.la del si•
guiente .modo:
(y~~3:,ztJy+i}. (x.2 ,24+1) ªº ... i(x. y): (y+i Jl=(x-1 )2
·rnterseccion¡t,-s.
a) Con ·el eja
,,
,,.._. Si :,::O .. (:;;;.1} ¿;;t +<+ x-·J=:1 ó x-1=-1
++ ..~2 6 X-'Ü ' ~2,0) '/ 0(0,0)
..
b) Con el ajo 1. ~i x..-0 + (;¡r+1} S.,-¡ + ;r::O .. :J(O,Oi
S:!.me-tda. f
a} Ck,n el aje X. f(:,i;, • y): (•:,+1P=íx•1-) 2
"'f(x, -~,) ,- 'f.(-it,y) ,', ilo es sit1étrice.
b} Con e'.l. &Je Y, i'(•x,y):(y+1'),::(G:{-1)2
+ f(.:i.,¡r) /, t(J!.,y) · .'. !lo es sim~·l;:i-ica
e) Con él o;rigl')n., f(~.i::,-yh(- y+1)ª=(sx-1) 2
i'~.<,•y) F f(x,y) • Ro es simétrica
UI. EX>tenaión.
a) Dol!!inio !ie la eeuaciÓrL. ;11=.f'(x)
y'l-1 "' 3
/fiZ-"Zr ... lly,-'h~.i. ,•, Dominio ·= R
b.) •Ran¡o d:c;,· la. ecuaci6n. x=.f{y)
x-1 ../(:,n)~ .. ilx •·+ :rH>.,D,.... y,<•1 ' hl.lgó=[··1,+«>,
r..r. Asintot.aá, c,uii'e lcie co...ii':l.c.:i.entea de x2 " y1 son o~n~t.aQ
~ 1 J _,-~
y 1-1 cr. 58 o. ,-a 1 , µs
X •
.51
i] .Co.n el a-.fa X-. S:. ;,
;~ff • x-0
b) ,lon e.l ej ~ ~'.. Si x=O + y~O
/. L,ii c~~va P,;l·Sa p:-:,t"" ~.:.. ·origcm ,
II ~ Simctr.{11..
a) :}on •
el e::;e X. ::'(x,-y}:-x2 y+t:r-x=.O
+ f' :x,-y) f :.'(x, y) No c·a s.lo10tdnE,
b) Don al aje Y. ~(-x,y):x'y-ly+x•O
e) Go:1: >;?l (;r::.géir. f( - x~ -y.) : ..x~y+4y+x = R 2}'- ,ty-~=O, ..._,,
+ f'(- x,-y} ~ f(x-'yJ !. Si e-0 s~u)étri<:n
rrr. Ezt':ll1:1 t 6-:i. ~
e) llomí~i.c rl-a 1.t;L eGU,'1:;i:i.6-n. · y=f'(>:) -,. :r
b) R.~ngo de l.;, ec:uaciór~. x~f:(y) + yx2
-x-ky~6
·<-+ ':;)C . .'. R:,w¡go : R - {O}
rl . .(',¡~Íil.1,o va3.
a) Adntc>tn.s F.o.:-i zontaltes: yxt-x- ~.y=O ... :,;~o
V) .1s~ntot~u Vcr't.i.cslíts ... (.~: 7.-4.)y-.x-o + x; 2 - 'f,=O +. x-=::2
V. ':'abls. ,le V11.J ore.s
'j - X
. - x:Z~,1,
' y 'f
:i ¡
!
n
:
¡~__
;. . . '-
X·/ ·r -] J [-3
: I-1 / /,.. 1 ! 1
315 j-J/5
I "-
1
¡,
¡,
1
32. 52
IG, x ~y-xy-2y-l=0
Sol.oci.6n. Stta t'{x,y) ,x•y-xy-2.y-1=0
I. Tn"ter saccione:s-
a) Con el tije x. Si ro -,., -1!:0 ;. No hay in.~urGocción
b) Oon e1 eje Y. Si xoO + -2y-1=0 -,. y=-1/2 .'. A(0,-1/2)
Il. Sioetrfa.
8 ) Con ñl eje X. f(x,-y),-x 2
y+xy+2y-1-0
f(x,-y). / f(r.,y) llo ee sioétr:;.c¡¡.
h) Ccn el eje Y. f(··x,y) :x2
ytxy-2y-1=0
f(-x,y) ! f(x,y) No ea si~ét~ica
e) Con el c,rigen, f{-x,-y) :-x•y-xyt2y-1=0
·> f(-x,-y) f, ~{x.y) .:. 'uo "11 s:i.mJtl'ic!l.
1
a) :Jm,;inia de la ec:oia-ción, :r=r·(x) + Y ~ (x-2){:,+1)
-+ ;;y ~ #2 , x;,l-1 :. Dominio ; R-{2, -1}
b} Rango de la e;,cua.cí.Ón, x~t(y) + yx:2
-yx-(2yt1)=0
.. ,,, y!:. 1'9:r2
44'l. + 3 _ ...... 9yz+•,.-~o,. ,,,.,o
!Je dO!l,;8 : X
2-y ~ "'• ~ t"
_.. ::,,>O ó Y$-4/9
Rango· = -
<-cc,:4{9]u<G,+n::..,_
IV. Asíntotas.
,¡ ..
a) Asíntotat Eo~izottP..l~s. y;c2
-yx-.2y~1=0 + y:O
::,) !s.Í:ntc,tar; Ver"..; ce.les. (x' -x-.2):/-·l=O + x ª-.i--.2:0
_,_ l(=- i 6 X"2
:rabla d~ 'lillore$, VI·; T1·e2ado d-a la gr!i:.r:tca
1
_)' !L
y
t.x-2Hx+t1
3 -2 -3
- 1/2 ij,.¡ 1/l. 1/·¡g
--.¡ 1
1
i
f 1
1
1
5)
18-. X :r-xy..5y .,t)
.J.•lud6,¡;, Sea f(x.yJ ::>(
2 -xy+5y;0
I. Intcrsecoióner, .
gen.
Como :?.a ecuación caree~ de términ-o in-
cl:-;,«ndiE<u t.e, Ja curvit pa:ia por .,¡ or•-
II. Si111.e-crí:,_.
a) Con el ej e X. f(:,.. , -y) :x 2
+){y-5y"O
f(x.-y) f f(x,y)
!>} Con al e;je Y. r( -x.y) :xz+Jcy+5y=O
!fo e,; 3.1.:éi'.rica.
+ .f(-x,y) 1' t'(x,y) • No eo 9i~étric¡¡,
e) Con ol origen. f(-x,-y):x'-;,.:y-5"¡=0
!II. Extenaión.
f(-x,-y) f f(x,y) No. es 5irnétriert
a} Do~inlo de la at,uación. y=f(x) ...
.'. flOlllil).iO " R- { 5}
h) ri<Ulgo (le 1:,, ecuación . x=f ry}
Ilf..
~sír, ~otas .
:. .Rango = <-... oJ 11 (.20, ~~>
V.
a) Aa;ntota,; !!ori,t,o:rtt·al-,s. 'lo tiene
b) Asíntotas Vei,tioalos, (5-li)ytic'=O , 5-x=O + x-5
e) As:Íl1to'tas Oblicu:,,,, y-=:i,;,.:tlt ( l)
Su:d,i tuy"'ndo en 1.a eci:ac.ión dada y .orij-tn<>ndo téniir.os
'H' tiolle : (í-ia}x
2
t(.5m-k)x+5k=O yf . , _ _
+ 1-a=O ·• :.~1 y 5n-k;Q -> k=$ '
Luagó. an (1): y~x+5
Tabla d-o- Valo~ec
2 0
,
~ , -
y ~-¡::-5 1 ~--;¡-:¡.('5
l, /6 I ¡:¡ .:;, -5 ,J.----:
_, '
-~--·_
6
LJ_6J_64::./..:3L-....:L
:'../.:.7i:l-~5~i2:J. ~ X
33. 54
Soluú.fr.. Sea f(x,y) :x2
y-x2
-!;:qt/_y<J
I) Jnt,r.:l"$t:l'.!Cicne!l. C~tto la ecuaci6r_ ca!'ece U.a t.é1~m:.no in-
OepU-ndivnte, la curva pase ?Or el origen.
I I) Sitte-trÍA.
al Con el eje X. f (x,-y):-;, 2 y-x'-+4x:;- 4y:O Ufo<,.$ s.:.r...)
b) Con •l ejo Y•. f(-x,y):x2
y-x2
+txyT47- 0
-> 'r(-x,y) f. f (x,y) :. Jfo ,;:; sl~,J~r.i.c:a
e) Cnn el origen. f(-x,-y):-x1
y-x'-4xy-4y=O
' f(-x, ..}') = f(xt~· ) .. }lo es sirn.át,.ric.,
I II} Ex-:ensi.6n.
a} Dominto de 1~ e~uación. yef(x) •) y =.
(x-2)?.
+ :iy,~x#2 :. !Joüni.o = R-{ 2 }
h) l{;¡{'lg-<> de la e~'1r.r.ién. x=f(y) .. (y-1)x2-~.yx+t.y=O
+ Jo: i= 2y± /4y~
·-(y-1 ){4y) ~ 2y± ;;v/:
"
,/
:> :lx -.. y;i.O .-_ Rar.go = [Ci,f.,,
II!. ;¡-;;;fr,totRs.
v_
a), tsír,tots.s t!ei-:-izóntale~ . (y-1)x 2
-4yx+!,y=ü + y=1
b) ft-ij:í:ntote.s Ve..r.ti~ales, (.x-2) 1 y-x 2 "'0 ...· x-2=0 ... -x~2
T,,_:,1~ el.o 1
.i-c.l o!"e.s VL 'I're.z!id"l de l a er-
(fj.ca
-y yl
6 1-2
1
j•
9/ 4 1Í4 1
1
1
a) :oti e:. eje ·x..f>.i. ~-={) -~ ...{:(
2
::::0 ·~ ;i•O
-~ ) Con ;,: aj" ~- Si x=:) -. -,'.;¡2
-él + 'J"'O
55
/ . ¡i;J. o.t:l .gell es·"nn p~n'":,c c_ue . pé::"tnuP.:3 a. la g1·áflca..
!L. St.rr ~~rí~ . Dors,() t,odos l o.i..~ L
-ér:ninos ce ~e cG~:::tclÓn cl.-~,ifl.
~o:t de Jr~rlo par. ln c~:f·ie. 1
::<.l r:,i.n;étriva l"se
pectd dd ! os ~jes X e Y, y ~l origec.
III. li.:J(i..e:1!l1Ón.~
. '
eCUi'!Cl.0!! •
±2x
¡;;-~¡
• Do1!!lni:::
yz>4 ~ y~2 9 ·y<- 2.
·•.
:.. flan.ge,-~ <-<·~-> -2~.l.1<2~~~;,
IV . ,iefntat as,
•
(y.2 - 4 );,:'·- 4:t:,:~{J-
y2-·,4.=::0' *f .y~2 .
ó y ~-2
e,) P
.dntc,:t.<is Ve1'j;ica.lo-
~. ,(-x'-4}y2
-;.X:'"º
_J'J t
..,_ ! ~
- -~
' 1 .
---~
--
-,,¡ ºÍ ;' >X
----: =r-~;;:~-
·1: l :¡
1 l;
34. • 211, x ª -xy•+2y~..--O
Solucdu,. Soa ;·(x,y):x'-xy2 t2y2
.-0
I. Int.ersecc1on-:,s.
8 ) Co-n el ojo X. Si y=O + x 3=0 • x=O
b} r.on el <'.ie Y, Si x~o + 2y'=v .. y:{}
II. Stmevría. Cvno la va~iab:a y ed de grado par, la cu~ve
s~ sicétrica ~6lo coj el ~je X~
III. .Éxtenai6r,.
-0.) Dominio de ls 11c1;a,;:iÓn, J-,,.f(x) ~ y = :':x J-x
'x-2
Dom, = <-"', D]U<2, to>>
-,¡. Así'n-t;otas.
a)
b)
e)
AS-Íri~cts.$ Ror.i.zoiüaleo. No tiena.
Asíntotas Ver·~iealoa. (.2-x)y2 +x 3 ~o + 2-x~o ·• x:::-2
Asíntotas Obliet:an. y=::nx+:C {1)
Sustjt~yaa46 ~n la ecuación da~a y orden~nño términos
se tiene: (1-,L2)x'+2(m 2-rnk)x2-(k2-/.xk:¡x+2k·LO
cEntoi:ees: 1-n,'=O...,. m1 =1. 6 n 2 Q-1
o 2
-mk:O - k ,-=1 ó ·k.i=-1
Luego, en ( 1), la,; aeínt,otas oblicuas ci.e la curva son
L, :y:x+1 , 1, :y:-x-1
'f. 1 /
V. Tc.bla dei 'l11lores y C"áfica. 'V,Á/
' // L,
1 /
tx J X
x-2
-í -2
y ±.5-2 :t.!i.6l ;.0.5? .tl.41
1 /
i /
y'
/1
/1
1
1
-j
{i1t1i/.i~ d.e w,.11 f cuac i (,n
2. 7 CCUACIONES íACTORIZA8LES
Son aqu.ellas eeuaciones que ptHHlen escribirse en forma
del producto de dos o más factores variables igi.oala~os
a e.ero. Est-o es:
Si F{x.y) : u.v.z, y si F(x,_y)=O, entonces:
u f(x.y) O
v "' r(x.y) = o
z = f(x;y) =O
La gráfica QO F(x,y)=O constará de las trá~ioas rlo las
ecuaeibnea obtenidas al igualar a cero cada uno de los
factores .
!EJERCICIOS, Grupo 1¡
Ec c~da uno de los ejercicios del 1-10, factorizar la ecua-
o16n oo'rrespond1ente y trazar su gráfica.
, l. x 1 -4yz=o
Solusi6n. Soa F(x,y)
. ~ {x+2y:0
Si ?(1<.,y)=O ~
Jt-.2y=O
Tablas de Valores y &rÁ.fioa
xz-4y1.
(1)
(.2)
(1) ~ .
GEE
{2).00
~ - @mj
(2) ILiillJ (') Li:.lI[JJ
-~
.,.
35. 58 q,,.a...,,i,,,.I,; A,,all:l.ica 1'la.na
I 4. x 2 +2xy+yi=l
Solación. Sea F(x,y},:(xty}Z-1=0 + (x+ytí)(.x+;t-1)=0
Tab~a de Valores y Grlficaa.
{ 1)
~
~
{2)
ffiffi
(1)
(2)
Sea F(x,y)=6xltxy-2y2 +7x+?~-j=O
3x 2y -1
2xX-y.><,
3n l.oaces F{x, y)= ( Jx+Zy-1} (2x-y+J)
{
.3x+2v-1 "0
Si F(x,y)=O - .
2x-y~Jee0 (2)
( 1)
'i'abla de Yalorea y Gráf; ca¡¡
(1) (2)
fffl Effiffi
6. ~•+y'+~!Y4X.l'~-~~-4y:O
Solu.tJ,:,5a, Sea F{x,y)=x~+y•+x•y+xy2 -4.>t-4y
y
·> F{x,y) = (x+y}(x2 -xy+.,'Jtxy(-x+y}-4(x+y) (x+y )(x2
ty~-.o
St F(x,y)eO +
{
xbr=O ( 1j
x 2 +y~4 (2)
Tabla :le VaJ ores
( 1)
GTIDJ
~
y Grá!icns
(2)
y
(1
• X
1
J
r' 7. ,.3_><":--xy.-yz~o
Sol,ic.J..6n.
Sea F'{x: ~') =x•-x2
y-xyty •::x2 (x-y)-y (ir-~;)
'-'(x-")(xZ-y)
Si F(x,y)=O +[x-y=O
x2
-y=O (2)
Tabla de 'l'11lore11 y GrÁficas
(1)
!'I) (2)
EHHI3 [;1±~ 1±:1
B. X
2
y 2
-4xª+4xy 2 -y''=O
(1)
Sea F(x, y}=x'- (7
2
-4,c)-y • (y•- 4x) =(x2-yz) (y•-
4
x)
~ (xty){x-y}(y2-~~)
Sob.u;i6n.
(1) y
(2)
O)
Tablaa de Valoras y Gráficas
(1) (2) (3)
GTI:J1l [ITITD [illI,l
~ .~ ~
sol!.1.,c.í.l,,,. S&a F(x,y)
f:d1"'0
+ lx1+2y2-4~a
Tabla de Valeros de (2)
Si F(x,y)=O
~ xl~xz+2xy2+2y2-Áx-4
X~{x+1)+2y~ (Jt•1 )-4{xfj}
( x+1)(x2 t2y2- ,1)
(1)
(2)
36. 6J
2.8 ECUACION DE UN LUGIR CEOHETR!CO
se llana ~cuación de "n lugnr geo~Gtric<> plano a una e-
~u~oión de la fo~uar
f(x.y):cO ( 1)
~uy.as aoluc:ion~s reales pa!"a ,,.alo!"es corra1;;pondi&nte,;
de x e y ~on todaa la~ coordenadas dG aquel1o~ puntos
~ue ~a~isfaccn l& condición o condiciones §Oooétricas
di!ld,¡,s gu,.. ,le='int+:i el ltlgar georuétricn.
i;l proc~dimiento papa obta11ar la oc1iación da !lll lugar
gaoaétrico es como s1gue!
i) Se supone que el punto P . de coordenados (x,y), es u~
~UAto Qualqui~ra que sct1sfaoe la condici&n o con<lici2
nes dndss, y, pcr lo tanto, un punto col ~.G.
ii) !'k expresa., ahslít:.c11l1lente. la <londici6n o condiciones
geomhtrier+o dadas~ por ~edio de una ecuttción o ecllaciQ
ne s en lae c.oordenade.;; v11rii.bles x e y .
iii) Ss simpli!lca, M . ea n,eceaar1c, la ecuaci.Ón obtenida en
el paoo i~) de ~!12 nanera que tone la ~orm& (1).
1EJEnercros. Gcupo n
3. un punt.o se mueve de tal lllil?>era qu,;, su di stc.ncia al t1je
Y dis,?:inuina an J as siecnpre igual el dohle t!,l su dis',an
datl aje; r. Billar la ecullción !;le su lugar ·goenétrjco y
ci.e.r .su 1nt.erprets.c.ión g:t1ométcice .
i) 8aa P(x, ;¡,) un punto del L.r.. y
11) Pg pi,j Q X .?.....
- 3 ~ ~
i.i:!) 3 2y ...... x-2:,-:,-o /
-y
Y. - =
ta ecuación dél L.O. es un~ .recta.
--ºf--
..... X
61
distancia al or~-
4. Un pu:ito ae m,H>lf'9 de t.al manera que su -
. _1 a 2 He.llar la ecuación ca su lu6ar
g.an ea siempre J.fiU~ • ,, • .
geométrico ..
Y da.r- su in-l.erpret_aci6n geometrica •.y ,
Solue¿l,11.. i) g9 a p(l(,y) ~n puoto del L.G. ,,-r){'
/ 1/
-¡ 1
1
e 1 >x
ii) IOP· =2 , º¡' !
lii) /x,?+y• = ;~ + :c•i:,'=4 ',_t...,.,
El lugar geom~trico ea una oirounferetteia
i)
ii)
iii)
6.
Uil r;,u:nto ee :r.ueve de tal man.era que su
A
.(2~ )) ee siempre i~Jal a 5, Hallar le.
, · interpretaci6n
gar geo~etrico y aar su
S,oluei6n.
Sea P(x, ~) un punto del L.rt.
IAPI = 5
/(x-2)'+(y-J)' = 5
(le· d<>itde : x2 +y2 -J.x-6y- 12=0
El L . G. es una oirc'.m:ferenaia de
raoio 5 y centro A(2., 3) •
distancia al punto
ecuación 4e su lu-
r,eo;nétrica.
> X
. ' d 1 L G de un punto que se mueve de
P.allar la ecuaci on e. · • •
· ·distante de los
tal manera oue se con-
serva siom
¡:re cqui
· trui~
puntos ,l,(1,-2) y B{5,:¡I,). Id,mti!ioar el L,G, y cons -
lo graficuonte.
Sofoc<6n,
y
:í) Sea ¡>(x, y) :.in put1to del L. G. ,
u) IAJIJ=l~I (Con.d.ición de equidista.'loie, _
0
4...;_,1-_;..,._~
iii) /(x-1) 2
t{y+2) 2
= /(x•5) 2
:<:r- 4)'
Da donde: 2x~3~-9=0
7,
~l t.G. es una recta ~ediRtri~ del seg~ento AB,
Bna racta contiene a los puntos A(-1,5) Y B(1,J). Expre-
sar anal!tica~ente, ol ~echo de que un punto acalquie?'a
P(x,y) está sohre 1& recta. Deducir la ecuBción de le re~
ta.
37. i) Sa" P(x,y) ·1n· pur.,,c r.!H L.G.
i5) Cooo L l3 y t ,on co1illt"e2es,
"A" - ¡¡¡/¡l)
iii) ~ .,.1.:2
xIT Hl , ti~ dcnrla: x,y-4-0
s. Hr.llar l:i
se EU:::V
al p;wto
&,hcil11.
o1
•
::.j P(:x,,,
EJa. u pJ.:nc cwl !..";..
' P(:r..,¡)
ii) IAP! ~ !~i
-
iii) :.l(x-4)•+(7-i)~)2 : ,:.
A
1.1.. donde: ,:ify'-9X-2¡iT17~0
o X
,. ll•1a recta 1, e¡-, ;:esa por ~- ,:iunto ,( 5 1} .
cular a e 1wrn. -,.
9
c ta da .., - :
1
• ~~ !,e.rpr.• :t_-
' · "~dier.te 1/2• .:.)Qrt>ear 111v.1Ht1ca-
1111>1,.e, el l,;ech;;i de q!ia un punto c.1alcplera P(:it v) e ,•á
sot.rc 1~ re-:~a I,, 'l dei.:~i.r a·· • .,· , • ...
• q :::;¡ .ui, iJ se"..ls.ción.
ol.u.c.ién.
i) So, P(x,y) = ."111~0 del L.G. y •
z, =1¡2
1._.) Jlt.lCAf' : -1 ., .:iAf'~-2
1ii) ,;nLonCAIH .:i.:J.... -~
>
..,.5 · • ,i., dc,r.de1 2:dy~9-0
10. !!:111 circ1 !1:e1·c,ncla de rad.io 3 ti ene ~i.: r.r.ntro en el pw,-
to C(-3,-2). A ,artir de la ae~l·1~16n,
• u - hall.!r l,;. ecu,i-
ci6n de ~~ta circunra~o~cic.
J.:l!.ue/6B.
~) 3~a P(x,y) un punto de1 t.~.
i¿) .&n c~ol~1 ier pos!ci6n ie ?: j~J=~
1.i.l) "r l(x+3¡a·H,~2i• - J
di! 5ond": x'+y"t6xHy+4-c
--~¡J ,.
¡' cr,,1
.
' .
' /
....__,,,,,.,.,,
6)
ll, Un punta se mueve da tal aanera que au distancia al oJe
X ea siempre igual a au distancia del ~unto A{0,4). Ha-
llar la ecuee~6, de ,u lugar neoa,tr1co.
&.l..uei.6n. ',
i) $ea P(x,¡) un punto del L.G.
.i1)
iii)
IQPI O
li!>I
y= lx2 t(y-4Ji +-+ x2
-8yt16•0
!l L.G. es une parábola.
'
' ,_
y
12. Hallar la ecuac16n del lugar geoaétrico de un punto que
•• aueve de tal manera que le auaa de los cuadrados de
sus diatancia• a loe doe puntos A{),5) y B(-4,2) ea eie!
pt'e igual a )O,
Sotuei.6n.
t) Sea P(x,y) un punto del L, G.
iil IKPl 2
+lfil>l2
= 30
111) (/(x-j) 1+(y-5)1 ) 2 t{/Cx+L) 2
t(y-2) 2
)
2
=)0
de dondo, x2 +y1 +x-7y+12=0
13, Hallar la acuac16n del lugar geométrico de un punto qoe
se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadra-
dos de sus distancias a los puntos A(2,-2) y B(4,1) es
sieapre igual a 12, (Doe casos)
S0tuci611,
i) Sea P(x,y) un punto del L.G.
ii) IKP l2- IBP l2212 (PTber caso)
liiPl 2 - l.i:Pl 2 ~12 (Segundo caso)
iii) (/(x-2) 2 +(y+2) 2 ) 2 -(/(x-4)2
+(y-1 )2
)
2
•12 ++ 4X+6y-21:0
(/(x-4)~+(y-1) 2 } 2 -(/(x-2)1+(y+2)1) 2
=12 ++ 4x+6y+)•O
14. Un punto se mueve do tal manera que su distancia al pun-
to A(2,4) e~ siempre igual a au distancia de1 eJe Y au-
aentoda en), Hallar la ecuaci6n da au lugar geoa6trico.
Solucl611,
38. ¡;,,.,...,_t.c..t.a. Anattti.c.a Plana
i} Sea l'{x,y) <.:n :¡.LllltO del L.G,
ii) !:Gil " lfQI + ::
iii) /(A-2) 2 +(y-~); ~ x+)
do dond~! y2 -10x-8y+11•0
15. Hallar lá ecuaoi6n dol lu&ax eoo~6trico de un punto qie
8 ~ nueva de tal car,era que la s,u,,a de sus dist-0.ncias a
los do11 pu:itoa ~{3.0) y P.(-3,0) es oloop1·e igual a 8.
J.o tuel611.
1) Sea P(x,y) un pw:to cualquier~ dwl ~.G.
1n !:A'.PI + lal>J " q
1ii) /(x-3) 2 ~y1 + /(x:Jl 2
+y· - 8 • /(x-J)'+y• • B-l(x+J)'+¡•
¡;:1evondo sl e uad:-ado y simpli ticando rooul ta:
4 /x'+6xt9~y2 ~ Jxi16
Elevando nuev~men'.:.e tl c11adra!io y siapli:f'ic:uido se cbt.::.!l
Le: 7i.2 +16yt:112
17. 'Jn pu:ito so mue•1e de tal manera qu& la difsranoia de sus
diotru:.ciao A loe do~ puntos A(0,3) y B(0,-3) es 'lÍR~prw
igual a 4 ílal 1.e.r lo. ecuaci6n cie. su lugsr geométrico.
S,. lcCL6.'t.
i) Sea P(x,y) Jn punto del t.G,
if i?I - !fil"' : L
i1i} /(:v:-:n~+y• - i(x+3l'+y2• 4 + /(.:.-J)2+y1
r:1,n.,,ndo nl cundrado y elmplificando re8ult11!
~ /x1 t6x+9+y 2 e {+Jx
Elc'land? ol cuer.l.rndo se obtione .tinalaPnte:
5x2 -4y '· ~20
19. lir. círculo de rr.dio 4 tiene :su centro en el punto C(1,-1;
Hallar le.. ocueción del lu¡:er geomd trico do loo puntos me-
dio~ d~ todos ~us r~~ico.
Solu.cl&n,
i) E:c" P(x,y) un rnr.';,o del L.G.
65
ii) Si~ es un punto do la circunferencia de centro C(1,-1)
entonce:s: l~i=4; luego, ICPi•2
iii) /(x-1)'+(yt1) 2 '• 2
de don1e: x 2 fy 2 -2x+2y-2•0
JO . Un punto se mueve de ~al oanera que ~u dlstancia al punto
A(3, 1) es stcopre igual~ la m!tad de su distancia al eje
Y. Ballar la ecaación de ~u l~gar gaooétrlco. •
So l.uci6ri,
y
i) Saa P(x.y) un punto del L.Q., JC
ii) JKPJ • iJQ1>1 Q
A/•P
iiJ.) /(x-3) 1
+(y-1)~ • ~
o X
de donde: Jxi+4y2- 21.Jt-8y+40~0
21. Un p~nto se ~uevc de tal manera qua au di,tancia al punto
A(-1 , 2) as s.ic;;pre el dobl9 de cu ü1s~ano1a al sje X. Ha-
ll8r la ecuación do su lugar geouétrlco.
Soluci611.
y
i) Sea ?(x,y) un p1into del L.C.
ii) IAP 1 • 21.PQI
iii) /(x+1) 1 +(y-2) 2 • 21 X
dP donde: xZ-Jy1+2x- 4y+,•O
Zl, Un seg!llen~o rect1tíneo de longit~d, se aueve de talma-
nere aue uno de los puntos extrends erw~r.ece siearre ag
tro ,¡1 ej o X y .,¡ o~ro per!llane ce 31 eiipre sobre el aj e r.
Ha.llar la ecuaci6n del L.G. del :;:un+o ;;ccio del sega..nto.
Solur:.ibi,
i) Sra P(x,y) ~n punto del L.~ .
Seen A(O,y,) y B(x1,0)
ii) IÁF-1 • ~
ili} ~ ~ l, pero: x1:2x. y1~2y
• /(2x) 1+(2y) Z • 4 ++ xz+,~=4
A
B x
39. 66
23. Dns de los v,~,.t!.eos de un ~rinnguJ.o son les p-;mtos fijoe
,1(-1,3) y B(5,1), Hall.ar l:i. .,,,uaci6n del L.G. del t,;rcer
v~rtiee G ~i "e .:ueve d.i ttl :m,nc.,.A que le 1.:enc.:.ente :!el
lado AC as sioopre al doble do 1~ del lad~ iffi.
i) Sef. C(x,y) >.m p!111:.0 :iel L.G.
1:.) m1ic 2 mnc
iii) ~-3 - ~tl_:j_,
m - ,.,¡·.::,'
de -i<>ndec: .it¡¡ ,x+'ly-17~0
·+::!·''
--+=·-X
:?.<;.. ])os d..- los vérticc,s ds, t.n trik!gulo aon log puntos fijos
A{1,0) y B(5,0). Hallar la oeua.c.ión del L; Q. del Mrcer
;r,9ri.ic~ C s:.. se cu.evn de. tal ~or-.sr~ q~e l~ diferencia e~
t, e lao loiogitudee Je loa lafüia P.C y BC el.' :;ieopro igual
a la mitad de la lo~git~d del laóo AB.
Soe,,-cUm,
i) Saa e(,,.,} un tiunto dec1 1.0. y
ii} !Kcl-iBCI ,,,--t
: 2 1!'9,
iii) /(x-1)2+y2 - ,-lf.x-5}ª+y• ~ ;1 s-1 I
-~o..¡.."=---...;¡,...- >-
• Íi. 3
->- lxz-2.x+1+y' = 2+h.2
-~0x!25fy
2
-
de donda: /x2
-10xl·2.5+y.1.· ~ 2x-7
El11ve.ndo al cQac1rado rcsuJ.tl!.: . J-.c'-r'-1Sx+2·4=0
25, !.-Os extrem~e ds.lE he~s de un triár,guJ.o son I9s pU!Itos
A.(0,0) :{ E(J,O). H.tll!l.r la ecue.c.dn !iel. L.G. ,fol vérti~e
opu,e.,t,o C si ec t:tu<'lire de tal rue.ner-« que el é.ngulo cie 1s.
base G(B es siemp:e i ei;.al al doble del. ángulo en la be..ae
.:;BA.
_Sof1,,r.i.ór~.
:!.) Sea c(:x,y) un p=t<> del. 1.,0.
;i.i) Si p=2n + Tga;: ~ (1}
iii) 'fgjl " "AC =~ : mBC ='l'gB~·-1'¡:;c.= x;J -A+.;.;.--.J,;;:B~..4.x
Su~tituyeudo en (-i) .N,sult.i.: .3x
2
~y
2
-1Z:x;9~0
67
3
La Línea Recta
3,1 FORHAS DE LA ECUACION Df UNA LJHEA RECTA
(1) forma Punto-Pendiente. La r1'cta que pasa por un PUU
to dado P 1 (xi,y·¡) y tiene la
pendiente dada 11, tiene por ecuaci6n:
Y - Yl • m{x - x1)
(2} Fo_rma ~endiente-Ordenada en el origen.
La recta c~ye pendiente &6 m Y cuya ordenada en el Q
rigen os b, tiene por ecueci6n:
Y~ mx+b
()) Recta que pasa por dos puntos.
La recta qua pasa por dos puntos dedos P1{xt,yi} y
Pa(x,,y2) tiene por ecuación:
Y - Y1 = ~~=i:{x • xi) • xih.~
La ecuo.ción (3) puede escribir,se ta.cbi&n en
dete~nante: forma de
o
(4) íormo S!~étrlca. La recta cuyas intereepQi<l!U)S con
los -ejes X e y ooo o. Y b, respect;
vamente, tiene por ecuaci6n ;
40. 68
l.
2,
[EJlRCICIOS.• Gruµo !11
!follar la ecuaci6n de 111. recta que pasa por el punto
A{1,5) y t.1.ene pendiente 2,
sotn~i6n. según la ~orma (•), lo ecU>.ccjÓn de la recta
ee: y-5=1(:<-1) ++ L:2x--yH=O
Halle la ec•1acl6n rle 1-,:, ¡·eeta. que pasa :por el punto
A(-6, -3) y t.ü;ne un áng,llo de incl.inaeión da 45°.
SclncL6n. Como o=Tgá + m=Tgl5°= 1
Según la fo~~n (1): yt)c1(x+6) ++ L~x-y+3=0
3. !ls.:la.r 1a ec11aciór. ile la recta cuya pendiente es -3 Y C1!
ya intersccc~6n con el eje Y eG -2.
5
2-.~1,,eiór.. Tenenos: m~-3 y b--2
Según la formá (2): y~-3x-2 ++ L:3x+y+2=0
Halle la ecuación de la recta que paee. por los punt.-0s
A(4,2) y B(-5,'1).
Sofocl6n, Según la iorm.a .(3): y-2
de donde:
2-7{ t)
4+5 x-,
Los v~-rtieee de un cuadrilá~ar.o s-on A(0,0), B(2,,;).c(6,7)
y :D( 8, O). Halle las e cuacionea d,a s;,1$ lados.
Solue-i~n. S-egüo la f6rnrula (J) l;.10 t,iene:
AB: y-O = 'f.i(x-0) ++ AB:2x-y~o
y e
31:: ;¡- 7 : ~{x-6) ++ ne :J:x-4¡1+10=0
CD: y-O 0-7 ( )
= 8-b x-8 ++ CD:7x+2y-56=0
AD: y=O {Et:uaaiÓn del eje X)
/ •
-~
I
1.
8-,
'J.
l.a Llri.e.a íkc:f.a. 69
J.>e segmentos que una rec1.a .deteJ:mina sob1·e 2os ejes X e
r son 2 y -.3 respectivamente. Ha.lJ.ar S1.I ecuaci6n.
Soluei6n, Tenemos: a=2 y b=-J, ent~nccs por la ~or~s
{_4): ! + :J = 1 +-> L:Jx-2y-6~o
lfna recta pasa por los .J:untes At-J,-1) y B(2,-6) . .'falle
~u acuae16n en la for~a simJtrica.
Solución, Según la forma (3): y+1
de donde; L:xty=-4
Dividiendo entre -4 se tiene, L : -~ + ::f=1
Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A(-1,4). Ha-
1·1e su e-ovación en la foril!a. simétrica.
.SolucUm. Por la :forma (1): y-4=-·2(x+1) +-+ L:2x+y"2
~ividiendo ontre 2 se tiene, L: Tt Í =1
Halle la ecuac.i6n de la mediatriz del segJDen·~o A(- .3,2),
:B(1, ó}.
Soluci.6n. Si P(x,y) es un punto de
la mediatriz, en cualquier
posición.de P se debe verificar que:
J.U>HBPI
+-/(x+-J)it(y-2)' ~ /(x-1)2+{¡,-6) 2
de do~de: x+1-3=0
'KtB
)/}_L
of
10, Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la rec
ta que pata por C(-2,2) y D(J, -4). Hallar 5U ecuación. -
Soluc;.ón. Si L1 es la recta que pasa por C y D, entonces
m1
2
~ =- ~
S1 LI IL1 + b 2
1111 ~-6/5 , luego: y-S ; -1(x-7)
de donde : L:6xt5y-82~0
41. 70
11. He.l.l.&r la ecuación de la recta que pasa po~ 61 puo"'>
A(-2,4) y dete-Nlina sobre el eje X el seguer.to .q.
Soluc~6A, La reo~a buscada paa~ vor A(-2,~} y B(-9,01
Luago, por la fol"'lla (J) $11 •C'llfl~6n es: y-4 :_~(x+2)
,i,.. uonde, L, 4X-7yt J!rsO.
J.2. De!ilostra.r q11e los puntoe !(-;..,a), B(1,A) y C(4,5) .!Ion 11~
lin~ales hnlJ.a.ndo la ecuaei6u te la recta qwe paaa por 2
d-o estoe puntos.
¡cd.u.f:i.6:a, liallecr•>lf la &CU!l.~ÓD. de la reeta que pau poi:-
A y 6, Sagd~ (J): y-2 =~(xt5) •• L:x-Jy+11~0
Si A,B y C 30n .aoll.n~a.lé6, bll•ta~á probar ~ua C€L.
En efeoto, si CEL + 4•3(5)+1t~o
+ 4.15+11~0 ·~ º"°
Por tant<S, A, a 'I C s.on coliA••l"a .
13, 4All~t la acuaei~n de la a.acUatr1~ d~l ság;aeato qae los
ajea coordenados detet"llll.n~.l'l. •n la_ recta L-,:Sx+Jy-15•0.
l.21_uci~. Pasando 11 a su ~er~a 5im4triea ae tiene:
L1: ) + i % 1
Luego, asJ y b~5 + A(~,OJ 1 B(0,5)
Si P ll II tt~ pun.to de la taeii.1,atr11,
¡;e deoo •1<n•iticar :¡us• :At¡..¡¡¡p¡
4 /(>c-3)A+y2 " /xª"(y.51f
de donde, L:Jx•~y+8•0
Los 1:jetcicios 14.z, &;8 l'6f1ar&n al. trián.gulo cuyos v6r.icae
aon A(~2.1) , B(4,7} J C(6.-3),
1~. Hallar lu eéuac16n de eua lados.
joll,c¿6n.. Aplioan~ la fórmula (J) para ~ada lado se tit
n~: Alh 1•1 "fü(x+i) ...,. Ilhx-;y-+3=0
15,
La Llnea ~eta
Hallar la ccua.ci6n de la reota que pasa
y es paralela al lado opue&to OO.
71
por el vértice A
S;,lu.c.i64 ,
Tene~os: A(-2, 1), B(4 )
, 7 , C(6,-J)
Pendiente de Be: m = ~ =_5
ecuación de la recta· LI urn
1 y quepas~ por A es
y- = -S{x+2) ++ L:5x+y+9&0
Luego, la
16. ltalla.r la,:i ecuaciones_ de laa rectas
tice By tris que p~san por el v6~
n.
ee4n al lado opuesto J.C.
Sot..uci61l. A(-2,1) • B(4,7) 'I C{6,-J)
Sean ~ ,~ Q·{lo:+~t;s de ttiseoaióc de
AP 1 ~ - 2 • x.=2/3
. S-i ~ =2.... .}'::J 1
~,;;:y; 2 + Y,:-1/J
Q es punto medio de Pe.
B
Entonceo: Q(2/5+6, -14-3) _ 1Q
2 A
~ Q( 3•-3> Q e
Po:r la í'orrn-e. (J), BP: y-7 =::J.l.1:::!(x-i,,)
2/3- , ....... BP: T1 x- 5:y- 9=0
RQ: 1-7 = 7+5/3 (x- - . "
4-10/J 4} +-+ 11Q:i.3x-y-45'=0
llalJ.11:r los vértioe·s del triifu l
que Pasan ¡:,or los , t . gu e formado nor las rectas
. ver ices A,B G
lado~,opues-tos. ' Y son P~ralelas a los
So luc<.6n. H 2 1)
' ' - ' • B(4,7) y C(6,-3)
Re~ta que pasa por
Recta que pasa Por
Recta :i:110 pasa por
A Y es paral-'a a "C
""" ., : :Y-1~-.5(x+7.)
·'· L1: 5x+y+9;0
8 y es pai:~lela 8 AC: y-7 " - :}(x-4)
.'. L,:x+2y-t8=0
C y es paralela a AB: Y~3=Hx-6)
42. I.a1x~y.9..o
!.u-ego~ t,,,, l.t•C•4, 11) 1 L1 .. La.. (O.-i'r -f .t., A L,a(1'2.)l
13, Hallar las eo~acionea is l&o median~, y lae coord$ba4aa
de su ~llll~ de 1ater,ecci6n.
Las coordenada& dt loe puntos medios de
cacla lado :lon:
M(1,4), 11(2,•1) 'l P(5,2}.
Luego, la~ ecuaoionen de los ~edianaa,
u.g'fu¡ la f 6niila (3), 10111 A....__....__~.._ e
11
)le,fiana ff, y•1 • ~(x+.c) -• APrx-7yt9•0
Mediana §!Ir y-'I. • ~(¡¡:.'-) ._ 6ii!4JC•y•,9"0
Vadiana CÑ: f"+) '" tt(lt-6} - Ci!l7it+5y•27•0
Coo:rdenaau del baricenro, (K-7)'+9-0) a (41r.1.9..o} • G{J,i>
Co.a.o ~omprob&eión podeiso¡r hallar ias oac¡.l'denadas del barloeo-
tr~ apli~ando la t6rcula del ZJBrcicio 20, Cr~po 21
!:C-2+,+6, H~-J¡ ++ ~(j-,,j)
19. Ra1l~r laa ecuaciones de les mediatricea de los lados y
laa coord,rnad&• de su pwito de inte.rHani611. !lst& punto
s& llama u:•c1111~0.
~il.' A(.,:2,1), -8(4,7) y e(6.. •.3)
S•3n (~,y) lae aoor&ett~&s de ~ada ut!O
ñe l<,;a pu:ntl:ls P,Q y R de lM! med.iatri~&a
del tr.lLngulo J.J3C.
Por d41llini c16n de llled.i&.tri'.!, u tiene 1
A.
la11•1~1 • /(x-4}•+(y.1)•.~r.(x-·..,.60-,}•=-
+"""(rt
__
3,_)
1
de dond.u ll'• 5y+5"0 (Med1.a.tr1• del lit.do Be)
liQl•IB'QI • l(x+2)•+(7-1}ª & .1<;•6}~+(1 +J)*
de, <londe, l• aediatrh del l.l.do Ka ea: .211-r·s-o
/
73
1
~1=1BRI + /f,it2)2t(y-1)Z ~ /(x-~)~:{y-7)"
C:s donde, la ecuac16n de la mediatl."iz del lado iÍii as: x+:r-5=0 ·
L'<ego, (2x-f•.5"'0) t> (x+y-5:0) = I(~Í)
,fo, Rallar las e.cu.acionae de lás alturas y su pWlto d,; .ilt,n··
IHtci:i6n, Este pun t.o se 1.lá!Ba c1tioce11.t.Jtó
Sol:u;,i612. A(-2', 1), .8(4,7) y C(6,-3)
I.as pendientes de ceda lado son:
t1!.~" 1 , 111B!l"·5 y 11lAc"'·1/2
i:.u~go, las pqndiente-s de las alturs:s
co:-1·e$ponciientes a. cadQ lado son t
B
nc, ~-1 , fl}J/'-1/5 y m5g=2 11·,J.---.,-----.:::bc
y sus ec1.1acione-s, según la i'orr1a ( 1). son:
Altura CF : y+~:.i {x-6} ++ fü<:xty-J.=O
AJ.tura iñ: ,Y-1~1/5(x+2) - ADb~5yf.7"0
Alt.ura BE: :t- ·7=2<xM4} <4 BE:2x-:y-1•0
Por :!.o tanto. (x+y~3•0) A (2x-y-1c0) = lI_
(j_,3)
21, H
allar laa eo~rdenadao del pie de la altura oorreapnndie¡:¡
te al lado Ké. A pa~tir de estas coordenadas hÁlle.aa la
l ongitud do la altura y luego al área del triángulo.
l2J..~. A(-2,1), B(4,1J y C ( 6 , . J ) ~
Ecue.ci6n de J:li!x~2y=O (Ej .14) ·
Ecuaci 6n de BE!2X-y-1=0 (EJ.20) 1
+ (:r.+2r0) t.. {2x-y-1m0) "' E(i,-1) E C
h=IEBJ= /(4-2/5) 2
+(7+1/5}ª2 18~ ¡ IAlll~ /{6+2)~+(-3-1) 2
=4/5
1uego, a(óABC) =flA'é!h =~(4v3){18~) a 36 uZ
l2. Hallar la e~~ao~6n da la recta de pendi~nte -4 y quepa•
i;o por- el punto da intel;'aeoción de le.& roct.as L ,!2Xty=8
y La: 3x-2y+');0.
43. Soluef411, Sea Pt(La" Li) + (2x+y..8)" (Jx-2yt9=0}..P(l, 6)
:.1Jei:o, por J.& t61'11ul.a (1): 1·.,...-4(x-1} - L:4X+y-lO=O,
Z). Lne acuac1onea de los ?udos de u.n cuadrilátero son:
3x-8y+J6~o , x+y-10~0, )x-87-19=0, x+y+1=0. De•ostrcr
q~e la figura es un paralslograoo y h~llar las coorden§
dsa de suE v, rt 1ces,
Soluc!6n. Pasesn3 cada una de las ecu~clones e la forma
J'"EX+b
Seso L1 :3x-~yt36eO ++ L1•Y =jx • i + •1~ Í
t.2 rxi-y-10=0 •• L2:y•-x+10 + m....1
L•:Jx-ey-19•0 .... L,:y =lx · 1i • '1
11,• 8
L.,:x+y +1=0 •• L-:yc-x-1 • 111,.,.1
Vecoa quer lll¡"D1 + !:.1IIL1 y a,•11, 4 Lzlft,
Lueso, al c~edrilátero cuyos lados est,n coct.enidoe en las
reetall dadas es un par,.l,,lo~uo.
!.1 • t.2"A(4,6) l La A L,•6(9, 1) : L,,.. L~"C(1,-2)1Li"L••D(•4,3)
z•. ffallsr el &rp11 del triángulo re~t4ngulo rornado po. los
ejes eoordensdoe 1 la recta cuya eeuaci&n es 5x+4yt20•0.
jot..c,6n. Inta~sectando 14 recta eun loe eJae coordens•
do11, ee tiene:
Sl y~O • 5x•202 0 - x,s•v-4 y si x•O • 4y+20=0 • y•ba-5
lrea dd triúgulo .e Ílabl ~ il(-4)(-!i)I • 10 uª
25, tea coordenadas de un puntQ P son (2,6), y la ecuaoi&n de
una recta Les J.Jt+3y=12. Rallar la distancia del punto P
s la recta L •i~iendo en orden loa airuien~ea paaoa:
a) R..ilt.r la pendiente de L. b) tiallar la acuaai&n d~ la
• recta L1 qua pasa por P y es perpendicular a L. e) Ballar
l•• coordenada• da P,, pur.to de iateraaeei&n de L y t 1 •
Hall.-.r la lon¡itud del segsento PP1,
l,fJac{f~. a) L14X+Jy~12 ++ L:~-.(-4/3)~+4 + a ~-4/J
la lúui.a ~et.a
75
b) Si L.LLt ·';_.11J1=~/1, • 11iy-6~ i(x-2) .....,. L1; J.:•4yt18a()
c) LAL1 " (4XiJy-12•0) " (3x-4y+18.,0} :: p ( 6 108}
• 1 -n, °25
d) d(P,L) • ,!PPif= /(2 +.J>2+(6-~)'.• ri l(S6)1t (~2P
de do11de: d(P,l) .. ~
2ó. E~ punto P' de orc!eo3da 10 oat,í sobre la recte euyn p,an-
dientc OG 3 y que p!18a por el pLUlto A(7,-2), Cal ~ular la
absei:ia de P.
Sotuc,'.6n.
por A cr.:
Si P(x,10)cL ..
L_. ccu11ci6n de la rec tn que l)asa
y+2=3(x-7) ~+ t:3x•y•23=0 •
3x-10-23<>0 • xc11
27. Determinar ~l valor de los eoetieicr.tes A~ n ~ ¡
6 · ,, " ..e a ecu11.
ci n Ax-By+4~0 de una recta, si debo pasar por loa pur.to/1
C(-3, 1) .Y D{1,6).
Soluc,§.a_, Sea la recta t,Ax-By+4..o
Si C(-3,1)cL + -JA-B+4=0 (1)
D(l,6)~L • A-6s•,=O (2)
llffolvienc!o (1) y (2) se obtiene: A "
1
2
9
0 B 16
' • ·19
28. Las eeuRciones de los lados de
9x-2y-15=0, 4x+5yt11c0, Hallar
los N/l'Jlt~oc.
,fotual~n.
9x-2y-15~0 .-
UD tri1fog,1
lo IIOL 5x-7y~.27
su.; ~ngulos './ eomproliu