Resistencia de los Materiales

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
SANTA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE ING.
CIVIL
RESISTENCIA DE MATERIALES I
ING. VILLAVICENCIO GONZALEZ
Cargas de Impacto – Recipientes de
Pared Delgada

2. Cargas de Impacto – Recipientes de Pared
Delgada

3. CARGAS DINÁMICAS O CARGAS DE IMPACTO
Hasta este momento nos hemos ocupado de estudiar las tensiones
producidas por las cargas estáticas, es decir cargas que tardan un
tiempo considerable en aplicarse. Las cargas estáticas varían su
magnitud de cero, a valores definitivos tan lentamente, que las
aceleraciones que bajo estas condiciones reciben los elementos de las
estructuras son despreciablemente pequeñas. Un ejemplo claro de este
tipo de cargas es la que soporta una columna de un edificio, la cual
tarda en recibir el total de las cargas gravitacionales, aproximadamente
dos años, que es el tiempo que usualmente media entre la construcción
de la propia columna y la habilitación del edificio.
Introducción

4. Cuando una carga se aplica en un periodo relativamente corto recibe
el nombre de “CARGA DINÁMICA”. Las cargas dinámicas se
distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones,
tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que
dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los
materiales.
En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de
rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las
experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de
fluencia y de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a
cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de
cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil.

5. Las cargas dinámicas, por el impacto de un cuerpo en movimiento
pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios.
Si la carga dinámica se repite en forma periódica , y su frecuencia
coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en
resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes
que conducen al colapso de la estructura.
La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan
como consecuencia de las cargas dinámicas resulta compleja y en
cierto modo, un tanto indefinida. En el caso de solicitaciones estáticas
las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta
que en el caso de solicitaciones dinámicas, en donde ocurre una
transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la cual en la
práctica es muy difícil de cuantificar.

6. La determinación del estado tensional también depende de
la zona de contacto en el impacto y del proceso de variación, en
función del tiempo de las fuerzas de contacto. Un ejemplo de
esta situación se presenta en el caso de la colocación de
material granular sobre una tolva, en el instante inicial de
contacto la masa granular tiene una forma bastante diferente de
la que adquiere cuando ha terminado de caer .
Otro efecto que juega un papel importante en el
proceso de choque es la dispersión (disipación) de la
energía, lo que es muy difícil de cuantificar. En este
sentido , el amortiguamiento que pudiera proveer los
vínculos es sumamente importante.

7. En base a lo que hemos dicho, en la mayoría de los casos se tratan de
cuantificar los efectos dinámicos en forma experimental. Para que los cálculos de
solicitaciones resulten sencillos se utilizan “cargas estáticas equivalentes”, que no
son sino cargas ficticias que actuando estáticamente producen el mismo efecto que
las cargas verdaderas actuando en forma dinámica.
Las cargas estáticas equivalentes se obtienen multiplicando las cargas verdaderas
por un “coeficiente de impacto o dinámico” . Este coeficiente depende de
numerosas variables, y según ya hemos visto, en la mayoría de casos se determina
en forma experimental. Para ciertos problemas tipo, quedan establecidos por los
correspondientes reglamentos de cálculo en función de las variables más
significativas.
A continuación estudiaremos algunos problemas simples dónde podrá determinarse
analíticamente el coeficiente de impacto, pero para ello deberemos realizar varias
hipótesis simplificativas.

8. HIPÓTESIS.
Para desarrollar el método se acepta que:
1.- Se trata de impacto de “baja velocidad” por lo que la velocidad del
cuerpo que golpea es pequeña en comparación con la velocidad de
propagación de las ondas de choque en el cuerpo golpeado, siendo
el tiempo que dura el impacto, bastante mayor que el necesario para
que las ondas de choque se propaguen por todo el volumen del
cuerpo golpeado.
2.- El choque es inelástico por lo que los cuerpos no se
separan luego del impacto. Por tal motivo, durante el
choque no se conserva la energía, pero se conserva la
cantidad de movimiento.
3.- El cuerpo que golpea es absolutamente rígido.

9. Hipótesis.
4.- El cuerpo golpeado tiene un grado de libertad y sus
desplazamientos son proporcionales a las fuerzas
correspondientes (Ley de Hooke) tanto en el caso de acción
dinámica como estática.
5.- El aspecto de la deformación del cuerpo golpeado es
igual al de la deformación originada por la acción estática
de la fuerza correspondiente, aplicada en el lugar donde
ocurre el choque y en la dirección que se produce el
mismo.
6.- Las tensiones en el cuerpo golpeado no superan
el límite de proporcionalidad del material (proceso
conservativo).

10. NOTAS.
1.- No existe disipación de Energía
durante el Impacto
LOS PROBLEMAS DE Impacto (O Acción
Dinámica), presuponen tres (03) Condiciones
fundamentales:
2.- Toda la Energía Cinética del cuerpo que
realiza el Impacto es transmitida a la Estructura
3.- El diagrama Esfuerzo – Deformación
obtenida de la Resistencia Estática del material
sigue siendo valida para cargas de IMPACTO
(Fundamentalmente en el rango Elástico)

11. Análisis para Solicitación Axial
δ
P
Se considera un cuerpo de peso “Q” que cae desde una altura h y por el choque
produce un alargamiento “δ “. (ver figura)
Luego del choque ambas masas parten unidas
con una misma velocidad v1 .
Al producirse el impacto la masa “m” del cuerpo
posee una velocidad “v” y la barra se encuentra
en reposo.
Para la deducción de las fórmulas para calcular las deformaciones y los esfuerzos y haremos
uso del principio de Conservación de la cantidad de Movimiento (Choque Inelástico) y de la
Conservación de la Energía (Trabajo).
Después del choque el conjunto se desplaza hacia
abajo provocando la extensión de la barra. Debido a
la resistencia de la barra, la velocidad disminuye
hasta anularse. En ese momento el alargamiento y
las tensiones de tracción alcanzan su valor máximo
A esos valores se los calculará con la hipótesis de que
el trabajo total suministrado por el cuerpo de peso Q,
en parte se pierde en el choque inelástico y el resto se
transforma en energía elástica de deformación de la
barra (conservación de la energía).

12. Consideremos una carga estática P que origina la misma
deformación 𝛿 . P seria una carga “estáticamente equivalente”.
𝑊2 =
1
2
P . 𝛿 𝑊1 = 𝑊2
𝜹 =
𝑸𝑳
𝑨𝑬
+
𝑸𝑳
𝑨𝑬
𝟐
+
𝟐𝑸𝑳
𝑨𝑬
𝒉
Consideremos el caso de una barra de sección A y longitud L,
suspendida de un extremo, y que soporta en el opuesto el impacto de
un peso Q que cae desde una altura h. Como consecuencia del
impacto, el trabajo desarrollado por Q seria :
W1 = Q(h + 𝜹)
El trabajo desarrollado por esta carga será (Relación Energía
Almacenada y Carga Axial):
Si admitimos que el material no supera el límite de proporcionalidad,
resulta válida la Ley de Hooke (𝜎 = 𝐸𝜀), con lo que:
𝑃𝛿
2
=
𝐴𝐸𝛿2
2𝐿
= 𝑄(ℎ + 𝛿) →
𝐴𝐸
2𝐿
𝛿2
− 𝑄𝛿 − 𝑄ℎ = 0
DEFORMACIONES POR CARGA DE IMPACTO
FORMULAS PARA CALCULAR ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CARGA DE IMPACTO

13. Sabemos que:
Si:
𝜹𝒅𝒊𝒏 = ∆𝒅𝒊𝒏= ∆𝒆𝒔𝒕 + (∆𝒆𝒔𝒕)𝟐+𝟐𝒉(∆𝒆𝒔𝒕)
𝑲𝒅𝒊𝒏 = 𝟏 + 𝟏 +
𝟐𝒉
∆𝒆𝒔𝒕
(𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜)
∴ ∆𝒅𝒊𝒏= 𝑲𝒅𝒊𝒏 ∆𝒆𝒔𝒕
𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹 𝑫𝑬 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑪𝑻𝑶 𝑭. 𝑰 =
𝝈𝒎𝑨𝑿
𝝈𝑬𝑺𝑻𝑨𝑻
∆𝑫𝒊𝒏𝒂𝒎𝒊𝒄𝒐=
𝒘𝑳
𝑨𝑬
± (
𝒘𝑳
𝑨𝑬
)𝟐+𝟐𝒉(
𝒘𝑳
𝑨𝑬
)
∆𝒅𝒊𝒏= ∆𝒆𝒔𝒕(𝟏 + 𝟏 +
𝟐𝒉
∆𝒆𝒔𝒕
)

14. NOTA:
a) h → 0
𝜹𝒅𝒊𝒏 = 𝟐 𝜹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒕
Este caso corresponde a una carga instantánea, es decir,
que no crece paulatinamente en el tiempo. Según la
expresión anterior la deformación originada resulta ser el
doble de la que correspondería a una carga estática.
b) h → 0
𝝈𝒅𝒊𝒏 = 𝟐 𝝈𝒆𝒔𝒕𝒂𝒕
Este caso corresponde a una carga instantánea, es
decir, que no crece paulatinamente en el tiempo. Según
la expresión anterior el esfuerzo dinámico originado
resulta ser el doble de lo que correspondería a un
esfuerzo producido por carga estática.

15. ESFUERZO DINAMICO
El esfuerzo dinámico para solicitaciones de carga dinámica o cargas de
impacto estará dado por:
𝝈𝑫𝒊𝒏𝒂𝒎𝒊𝒄𝒐 =
𝑷
𝑨
+
𝑷
𝑨
𝟐
+ 𝟐𝒉
𝑾𝑬
𝑨𝑳
𝝈𝑫𝒊𝒏 = 𝝈𝑬𝒔𝒕 +
𝟐
𝝈𝑬𝒔𝒕
𝟐 + 𝟐𝝈𝑬𝒔𝒕
𝑬𝒉
𝑳
𝝈𝑫𝒊𝒏 = 𝝈𝑬𝒔𝒕 𝟏 + 𝟏 +
𝟐𝑬𝒉
𝑳 𝝈𝑬𝒔𝒕

16. SOLICITACIÓN DINÁMICA POR FLEXIÓN
Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, que recibe en la mitad de su
luz el impacto de una carga concentrada Q que cae desde una altura h.
Para este problema realizaremos un análisis similar al efectuado en el ítem anterior.
𝑾𝟏 = 𝑸 𝒉 + 𝜹𝒅 𝑾𝟐 =
𝟏
𝟐
𝑷 ∗ (𝜹𝒅)
𝛅 =
𝐏𝐋𝟑
𝟒𝟖𝐄𝐈
→ 𝐏 =
𝟒𝟖𝐄𝐈
𝐋𝟑
(𝜹𝒅)
𝐖𝟏 = 𝐖𝟐 → 𝐐 𝐡 + 𝜹𝒅 =
𝟒𝟖𝐄𝐈
𝟐𝐋𝟑
𝜹𝒅
𝟐
− 𝐐 𝜹𝒅 − 𝐐𝐡 = 𝟎
𝜹𝐝 =
𝐐𝐋𝟑
𝟒𝟖𝐄𝐈
+
𝐐𝐋𝟑
𝟒𝟖𝐄𝐈
𝟐
+
𝐐𝐋𝟑
𝟐𝟒𝐄𝐈
𝐡 = 𝜹𝐄𝐬𝐭 + 𝜹𝐄𝐬𝐭
𝟐
+ 𝜹𝐄𝐬𝐭
𝐕𝟐
𝐠
𝜹𝒅 = ∆𝒅= 𝜹𝑬𝒔𝒕 𝟏 + 𝟏 +
𝑽𝟐
𝒈𝜹𝑬𝒔𝒕
= 𝜹𝑬𝒔𝒕 ∗ ∅ = 𝜹𝑬𝒔𝒕 ∗ ∅ = ∆𝑬𝒔𝒕 ∗ ∅
IR A :

17. 𝒃) 𝒉 ≫ 𝜹𝑬𝒔𝒕 → 𝟎 → 𝜹𝒅 = 𝜹𝑬𝒔𝒕 +
𝑽𝟐
𝒈
𝒂) 𝒉 → 𝟎 → 𝑽 → 𝟎 → 𝜹𝒅 = 𝟐𝜹𝑬𝒔𝒕
𝜹𝒅 =
𝑸𝑳𝟑
𝟐𝟒𝑬𝑰
∗ 𝒉
𝝈𝑴𝒂𝒙 =
𝑴𝑴𝒂𝒙
𝑰
𝒚𝑴𝒂𝒙 =
𝑷𝑳
𝟒𝑰
𝒚𝑴𝒂𝒙
𝐏 =
𝟒𝟖𝐄𝐈
𝐋𝟑
𝛅𝐝 →
𝐏𝐋
𝟒𝐄𝐈
=
𝟏𝟐𝐄𝐈
𝐋𝟐
𝛅𝐝 → 𝛔𝐌𝐚𝐱 =
𝟏𝟐𝐄𝐈
𝐋𝟐
∗ 𝐲𝐌𝐚𝐱 ∗ 𝛅𝐝
𝝈𝑴𝒂𝒙 =
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟐
∗ 𝒚𝑴𝒂𝒙
𝑸𝑳𝟑
𝟐𝟒𝑬𝑰
𝒉 =
𝟔𝑬𝑸𝒉
𝑳𝑰
𝒚𝑴𝒂𝒙
𝟐

18. Supongamos que la sección transversal es rectangular de base b y altura d.
𝐈 =
𝐛𝐝𝟑
𝟏𝟐
=
𝐛𝐝𝐝𝟐
𝟏𝟐
Donde:
𝒚𝑴𝒂𝒙 =
𝒅
𝟐
→ 𝑰 =
𝟒𝑨
𝟏𝟐
𝒚𝑴𝒂𝒙
𝟐
=
𝑨
𝟑
𝒚𝑴𝒂𝒙
𝟐
→
𝒚𝑴𝒂𝒙
𝟐
𝑰
=
𝟑
𝑨
𝝈𝑴𝒂𝒙 =
𝟏𝟖𝑬
𝑨𝑰
∗ 𝑸𝒉 =
𝟏𝟖𝑬
𝑽𝒐𝒍.
∗ 𝑸𝒉
Podemos ver que en este caso la tensión disminuye cuando aumenta el
volumen de la pieza.

20. CILINDROS Y ESFERAS DE PARED DELGADA
NATURALEZA DE LAS TENSIONES
Cilindro sometido a una presión interior
uniforme:

21. TENSIONES TANGENCIALES
L
P
σT
σT
TENSIONES
TANGENCIALES
TENSIONES
LONGITUDINALES
σT σT
P
θ
dθ
r
t

22. TENSIONES TANGENCIALES
𝝈𝑻
𝝈𝑻

23. TENSIONES TANGENCIALES
෍ 𝑭𝑽 = 𝟎
𝟐𝝈𝑻 𝒕 𝑳 + න
𝟎
𝝅
𝑷𝒓 𝒅𝜽 𝑳 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟎
𝟐𝝈𝑻 𝒕 = 𝑷 𝒓 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟎
𝒕
→ 𝟐𝝈𝑻 𝒕 = 𝟐𝑷 𝒓
𝝈 𝑻 =
𝑷 𝒓
𝒕
CILINDRO
𝝈𝑻
𝝈𝑻

24. RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Designaremos recipientes de pared delgada a
todos aquellos contenedores de forma cilíndrica
o circular en los cuales se cumpla la relación:
𝒓
𝒕
≤
𝟏
𝟏𝟎
Donde r es el radio interno del recipiente y t
el espesor de pared del mismo.
Ahora centraremos nuestra atención en
determinar los esfuerzo que ocurren en
estos momentos.

25. Por otro lado la distribución de esfuerzos en el espesor de las
paredes del cilindro de pared delgada es uniforme, mientras
que en el cilindro de pared gruesa no es uniforme su
distribución de esfuerzos,

27. RECIPIENTES CILÍNDRICOS Y ESFÉRICOS SOMETIDOS A
PRESIÓN INTERNA
En recipientes de forma cilíndrica
sometidos a presión interna, se generan dos
esfuerzos normales en los elementos
diferenciales distanciados de los extremos.
Uno de estos esfuerzos tiene dirección
tangencial( 𝜎𝑇 ), y el otro tiene dirección
longitudinal(𝜎𝐿).
En recipientes esféricos sometidos a
presión interna, se generan también dos
esfuerzos, con la diferencia de que en este
caso ambos esfuerzos son
tangenciales(𝜎𝑇).

29. RECIPIENTES CILÍNDRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA
Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que
para que esta se mantenga en equilibro, debe cumplirse:
𝑷 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝈𝑳 ∗ 𝟐𝝅 ∗ 𝒕 ∗ 𝒓
Donde P es la presión interna del recipiente.
Finalmente puede plantearse:
𝝈𝑳 = 𝑷 ∗
𝒓
𝟐𝒕
ESFUERZOS O TENSIONES LONGITUDINALES (σL )

30. Al hacer un corte transversal en el recipiente cilíndrico,
observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe
cumplirse:
𝑷 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝝈𝑻 ∗ 𝒕 ∗ 𝑳
Finalmente:
𝝈𝑻 = 𝑷 ∗
𝒓
𝒕
ESFUERZOS O TENSIONES TRANSVERSALES (σT )

32. RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA
En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en
una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse:
𝑷 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝈𝑻 ∗ 𝟐𝝅 ∗ 𝒕 ∗ 𝒓
Entonces puede plantearse
𝝈𝑻 = 𝑷 ∗
𝒓
𝟐𝒕
ESFUERZOS O TENSIONES TRANSVERSALES (σT )

33. CASOS PARTICULARES
1) El incremento del radio debido al esfuerzo Circunferencial
esta dado por:
∆𝒓
′
=
𝒑𝒓𝟐
𝑬𝒆
2) El cambio total del radio debido a los efectos
(𝝈𝑳, 𝝈𝑪) es:
∆𝒓=
𝒑𝒓𝟐
𝑬𝒆
𝟏 −
𝝁
𝟐

34. 3) El decrecimiento del radio debido
exclusivamente al esfuerzo
longitudinal(𝝈𝑳) esta dado por:
∆𝒓
′′
=
𝝁𝒑𝒓𝟐
𝟐𝑬𝒆
Con: µ: Relación de Poisson.
CASOS PARTICULARES

35. DEPOSITOS
CUPULAS TUBERIAS
CALDEROS

36. ING. VILLAVICENCIO GONZALEZ
RESISTENCIA
DE
MATERIALES I
Ing. FELIPE VILLAVICENCIO GONZALEZ
Ms. en Transporte y Conservación Vial
G R A C I A S