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MÉTODO DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
(2do TEOREMA DE CASTIGLIANO - VIGA CONJUGADA)
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ESTRUCTURALES. VINCULACIONES. SEGUNDO TEOREMA DE
CASTIGLIANO. MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA. TEOREMA PENDIENTES Y ELÁSTICAS DE
DEFORMACIÓN.
San Carlos, marzo de 2020
UNIDAD I
Universidad Nacional Experimental
de los Llanos Occidentales
“Ezequiel Zamora”
Vicerrectorado de Infraestructura
Y Procesos Industriales
Programa de Ciencias Básicas y Aplicadas
Subprograma de Ingeniería Civil
MSc. Eulicer Linares Fdez

Estructuras I
UNELLEZ MÉTODO DE LA ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN
UNIDAD I
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El enfoque para la determinación de desplazamientos y la formulación de flexibilidad y rigidez de los
elementos estructurales, se fundamentan en los principios generales de trabajo y energía.
En efecto, se han de estudiar los enfoques fundamentales de los trabajos virtuales y posteriormente, algunos
principios de trabajo y energía, útiles para resolver de forma directa estructuras indeterminadas, de manera de
poder generar las relaciones de rigidez en el análisis de pórticos.
El principio de la conservación de la energía, en el contexto de estructuras, planeta lo siguiente:
ωe = ωi + KE
Donde: ωe = Trabajo externo; ωi = Trabajo interno; KE = Energía cinética o de desplazamiento
El campo de estudio se enfoca en sistemas estáticos, para los cuales KE = ½ m.v2 = 0; obteniendo la ley básica
de ωe = ωi.
En este aspecto, la terminología para diferencia el trabajo y la energía, se refiere denominar el trabajo externo,
simplemente como trabajo (ω) y al trabajo interno como la energía de deformación (U).
P dA
F
d
dA
ω = ‫׬‬ 𝑃𝑡. 𝑑𝛥
El trabajo (ω) viene dado por:
1

Estructuras I
UNELLEZ
De la variación de la carga, según la relación de P=C.Δ, Donde C es una constante. Ahora bien, de la relación
de trabajo y la carga, se obtiene que:
No obstante; ; lo que de la relación se tiene: ; donde finalmente se deduce que:
De lo cual:
Ahora bien, si un cuerpo elástico está sometido a un sistema de fuerzas externas, se generan esfuerzos internos,
y durante la deformación del cuerpo, dichos esfuerzos realizan un trabajo. Este trabajo generado, es lo que
finalmente se conoce como energía de deformación del cuerpo.
y
τx
x
2
UNIDAD I. Energía de Deformación
ω = ‫׬‬ 𝑃𝑑𝛥 = ‫׬‬ 𝐶𝛥 𝑑𝛥 = 𝐶 ‫׬‬ 𝛥 𝑑𝛥 = 𝐶
𝛥2
2 0
𝛥
ω = 𝐶
𝛥2
2
𝐶 =
𝑃
𝛥
𝑃𝛥2
2𝛥
ω = ½ 𝑷. 𝜟
ω = ½ σ 𝑷𝒊. 𝜟𝒊
τz
τy
τxy
τzy
τyx
δP2
R3
P1
B C
R2
R1 R4
R5
A D
δP3
δP4
δP1
B’
C’
P2
P3
z

Estructuras I
UNELLEZ
Durante la carga estática al cual está sometida el cuerpo, los esfuerzos generados, alcanzan valores finales
partiendo de un estado inicial (0), hasta ir produciendo gradualmente la deformación final del elemento. Y a ese
producto ocurrido por el esfuerzo y el área, representa una fuerza, y la deformación viene representada por la
distancia que recorre dicho esfuerzo.
Donde δ𝑷𝒊 y δ𝑹𝒊 son desplazamientos de los puntos de aplicación 𝑷𝒊 y 𝑹𝒊 en sus mismas direcciones
respectivas. La suma de sus productos, es lo que se conoce como trabajo externo:
Donde P equivale al número de fuerzas y R al número de reacciones generadas por los vínculos externos.
De esta forma, queda establecido que la energía de deformación en el principio de los trabajos virtuales viene
definido como:
3
𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + 𝑹𝒊. δ𝑹𝒊
ωe = σ𝒊=𝟏
𝑷
𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + σ𝒊=𝟏
𝑹
𝑹𝒊. δ𝑹𝒊
«Un conjunto de fuerzas reales sobre un cuerpo rígido estará en
equilibrio si el trabajo realizado por estas fuerzas, a través de un
conjunto de desplazamientos virtuales compatibles, es igual a cero»
δω = σ 𝑷𝒊. δΔ𝒊 = 𝟎

Estructuras I
UNELLEZ
Trabajo Virtual o
Desplazamientos
Virtuales :
4
Ecuaciones de
Equilibrio Calcular Fuerzas
Trabajo Virtual
Complementario o de la
Fuerza Virtual
Ecuaciones de
Compatibilidad
Calcular
Desplazamientos
Generan Para
TRABAJO VIRTUAL
LEY DE CLAYPERON (1799-1864)
Se dice que una estructura que está constituida por un material homogéneo, elástico e isotrópico, sin estar
sometido a tensiones iniciales, ni cambios de temperaturas ni movimientos de apoyo; al aplicar un sistema de
fuerzas cualesquiera de forma gradual y genera deformaciones, se producirá un trabajo realizado por dichas
fuerzas sobre sus propios desplazamientos, la misma será igual a la mitad de la suma de los productos de cada
carga por el desplazamiento de su punto de aplicación en su misma dirección; es decir:
τx
dz
τx
dx
dy
P
ε
τ
Δl
ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN
εxdx
τ
x
dy
dz
T = ½ 𝑷. 𝒅
δ𝟏 + δ𝟐+ …δ𝒏 = Δdx =εxdx
La energía de deformación almacenada por
el elemento, al sufrir la deformación εx,
establece la relación entre la variación de la
fuerza axial P generadora del esfuerzo τx y el
desplazamiento Δl correspondiente en la
misma dirección.

Estructuras I
UNELLEZ
La fuerza multiplicada por la deformación es el trabajo realizado. En un cuerpo elásticamente deformable
sucederá que la energía:
Fuerza media desplazamiento Trabajo
Si se consideran los cambios de longitud en el elemento diferencial (x, y, z), entonces se tiene que:
5
dU = ½ dy.dz.τx . εxdx = ½ τx εx dV
𝑼 = ½ σ 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊
T = ½ τx εx dV
dU = ½ (τx εx +τy εy+τz εz)dV
La máxima energía de deformación por unidad de volumen que puede ser absorbida por un material dentro de
su rango elástico se conoce como «módulo de resistencia».
De la Ley de Clayperon, finalmente se deduce que la energía de deformación:
𝑇𝑒 = ‫׬‬
0
𝑃𝑖
𝑷𝒊. δ𝑷𝒊= U
𝑼 = ‫׬‬0
𝑠 𝑁2
2𝐴𝐸
𝑑𝑠
+ Cv ‫׬‬0
𝑠 𝑉2
2𝐴𝐺
𝑑𝑠
+ ‫׬‬0
𝑠 𝑀2
2𝐸𝐼
𝑑𝑠
+ ‫׬‬0
𝑠 𝑀𝑇
2
2𝐺𝐼𝑝
𝑑𝑠
AXIAL
CORTANTE FLEXIÓN TORSIÓN

Estructuras I
UNELLEZ
LEY DE BETTI O DE LOS TRABAJOS RECÍPROCOS (1872)
Para un elemento estructural constituida por un material que sigue las condiciones de la «Ley de Hooke», el
trabajo realizado por un sistema cualesquiera de fuerzas Pm sobre los desplazamientos producidos por otro sistema
de fuerzas Pn, es igual al trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas Pn sobre los desplazamientos
producidos por el otro sistema de fuerzas Pm:
a.- Primeramente, se aplica Pm y luego Pn
b.- Primeramente, se aplica Pn y luego Pm
6
Pn
Pm
δ𝒎𝒏
δ𝒎𝒎
δ𝒏𝒏
δ𝒏𝒎
La energía de deformación
𝑼 = ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎
𝑼 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏
El trabajo total:
𝑼 = ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 I
Ahora si se aplica primero 𝑷𝒏, y luego
𝑷𝒎, el trabajo es::
𝑼 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎 II
Según la Ley de Betti, el orden de aplicación de las cargas no debe incidir en el valor del trabajo realizado, por
lo que:
½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎
𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 = 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎
De donde se obtiene simplificando:

Estructuras I
UNELLEZ
LEY DE MAXWELL O DE LOS DESPLAZAMIENTOS RECÍPROCOS (1864)
Esta ley, particularmente se relaciona con la Ley de Betti, el cual tanto como la carga Pm como Pn, es igual a la
unidad; es decir:
7
𝟏. δ𝒎𝒏 = 𝟏. δ𝒏𝒎
El desplazamiento de un punto n generado por la acción de una carga unitaria en el punto N en la dirección de N,
será igual al desplazamiento en el punto m generado por la acción de una carga unitaria en el punto M y en la
dirección de M.
TEOREMA DE CASTIGLIANO (1847-1888)
Este teorema se basa en el principio de los trabajos virtuales en los cuerpos elásticamente deformables, cuya
expresión, se fundamenta en las leyes previamente definidas, del cual se establece que:
෍
𝒊=𝟏
𝑷
𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + ෍
𝒊=𝟏
𝑹
𝑹𝒊. δ𝑹𝒊 = න
0
𝑠
𝑁𝑁′
𝐴𝐸
𝑑𝑠 + Cv න
0
𝑠
𝑉𝑉′
𝐴𝐺
𝑑𝑠 + න
0
𝑠
𝑀𝑀′
𝐸𝐼
𝑑𝑠 + න
0
𝑠
𝑀𝑇𝑀𝑇
′
𝐺𝐼𝑝
𝑑𝑠 + න
0
𝑆
𝑁′α𝑡Δ𝑡𝑜𝑑𝑠 න
0
𝑠
𝑀′α𝑡Δ(Δ𝑡)
ℎ
𝑑𝑠
+
Si no existen cambios de temperatura ni movimientos en los apoyos en el sistema P y se deriva parcialmente
respecto a una fuerza cualquiera «Pn» del sistema P, se obtiene:
𝜹𝑷𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑵′
𝝏𝑷𝒏
.
𝑵
𝑨𝑬
𝒅𝒔 + Cv න
𝟎
𝒔
𝝏𝑽
𝝏𝑷𝒏.
𝑽
𝑨𝑮
𝒅𝒔 + න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔 + න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴𝑻
𝝏𝑷𝒏,
𝑴𝑻
𝑮𝑰𝒑
𝒅𝒔

Estructuras I
UNELLEZ
8
P
La energía de deformación (𝜹𝒏)vendrá dada por la derivada parcial de una fuerza cualquiera Pn, es decir:
𝜹𝒏 =
𝝏𝑼
𝝏𝑷𝒏
La aplicación del teorema para la determinación de las componentes de desplazamientos en estructuras,
isostáticas e hiperestáticas.
P1 P2
P3
A
B
C
D
Si se desea determinar la
componente vertical υB del
desplazamiento del punto B, la
fuerza Pn será igual a la carga
externa P1 ya conocida, es decir,
𝜹𝒏 = υB
Si, por su parte, lo que se desea es
calcular la rotación relativa de la
junta A del sistema θA se resolverá,
colocando en evidencia el Momento
Mn sobre el punto A, el cual, será
equivalente a la carga externa,
después de haber derivado y antes de
efectuar la integración 𝜹𝒏
= θA
Pn = P1
Mn = 0

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
1. Determinar la Energía de Deformación de
la estructura para una carga Pn en la
dirección del desplazamiento horizontal en
‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión.
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
a. Se comprueba que la estructura sea estáticamente
determinada (isostática) y además ‘’estable’’.
Para determinar el grado isostático del sistema,
aplicaremos la fórmula que conocemos como grado de
libertad (GL);
GL= 3n – (Vint + Vext)
Donde:
n = número de barras o elementos rígidos
Vint= Número de restricciones (vínculos)internas
Vext= Número de restricciones (vínculos)externas
GL= 3(2) – (2+ 4)
GL= 6 – (6)
GL= 0 ISOSTÁTICA
9
SOLUCIÓN

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
SOLUCIÓN
b. Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema.
b.1, Uno para las cargas reales aplicadas al sistema, y
b.2, Uno para la Carga (Pn)generadora de la energía
b.1, Cálculo de Reacciones por Cargas
Dado que el sistema se divide en dos cuerpos (chapas),
determinamos las reacciones haciendo la sumatoria de
momentos en B (considerando el elemento AB) y luego
generando momentos en B nuevamente (considerando el
elemento DCB)
10
Este procedimiento lo realizaremos en dos fases.
RA
y
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ 12Tm- 3.RA
y = 0
12Tm= 3. RA
y RA
y = 4T
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
4T - 3T - 12T + RD
y = 0
RD
y
- 11T + RD
y = 0 RD
y = 11T
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
RD
x
- 5T + RD
x = 0 RD
x = 5T
෍ 𝑀𝐵
𝐷 𝐵
= 0
+
MD
11T (3m) -5T (5m)-12T (1,5m) +-5Tm + MD = 0
MD = 5Tm

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
SOLUCIÓN
b. Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema.
b.1, Uno para las cargas reales aplicadas al sistema, y
b.2, Uno para la Carga (Pn)generadora de la energía
b.1, Cálculo de Reacciones por Cargas
Dado que el sistema se divide en dos cuerpos (chapas),
determinamos las reacciones haciendo la sumatoria de
momentos en B (considerando el elemento AB) y luego
generando momentos en B nuevamente (considerando el
elemento DCB)
11
Este procedimiento lo realizaremos en dos fases.
4T
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ 12Tm- 3.RA
y = 0
12Tm= 3. RA
y RA
y = 4T
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
4T - 3T - 12T + RD
y = 0
11T
- 11T + RD
y = 0 RD
y = 11T
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
- 5T + RD
x = 0 RD
x = 5T
෍ 𝑀𝐵
𝐷 𝐵
= 0
+
11T (3m) -5T (5m)-12T (1,5m) +-5Tm + MD = 0
MD = 5Tm
5T
5Tm
Evidenciamos las
Reacciones

0.6Io
1.4Io
0.8Io
Pn
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
SOLUCIÓN
b.2, Ahora se procede a calcular las reacciones del
sistema.
b.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora
12
Solo poniendo en evidencia la carga generadora de la
energía Pn = δA, en sentido asumido
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ -Pn(3m) + 3.RA
y = 0
-3Pn= -3.RA
y RA
y = Pn
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
- Pn + RD
y = 0
RD
y = Pn RD
y = Pn
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
Pn+ RD
x = 0 RD
x = Pn
෍ 𝑀𝐵
𝐷 𝐵
= 0
+
Pn (3m) + Pn (5m)+ MD = 0
MD = 8Pn
En este aspecto, el valor de carga deformadora será la
unidad; es decir, Pn = 1.
RA
y
RD
y
RD
x
MD
8Pn + MD = 0

0.6Io
1.4Io
0.8Io
Pn
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
SOLUCIÓN
b.2, Ahora se procede a calcular las reacciones del
sistema.
b.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora
13
Solo poniendo en evidencia la carga generadora de la
energía Pn = δA, en sentido asumido
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ -Pn(3m) + 3.RA
y = 0
-3Pn= -3.RA
y RA
y = Pn
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
- Pn + RD
y = 0
RD
y = Pn RD
y = Pn
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
Pn+ RD
x = 0 RD
x = Pn
෍ 𝑀𝐵
𝐷 𝐵
= 0
+
Pn (3m) + Pn (5m)+ MD = 0
MD = 8Pn
En este aspecto, el valor de carga deformadora será la
unidad; es decir, Pn = 1.
Pn
8Pn + MD = 0
Pn
Pn
8Pn
Evidenciamos las Reacciones

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
SOLUCIÓN
c. Una vez determinado externamente el sistema,
procederemos a la determinación de sus esfuerzos de
flexión a través del método de la sección aplicado a cada
elemento.
14
(4T-Pn)
(11T+Pn)
(5T-Pn)
(5Tm-8Pn)
Evidenciamos ambos
(sistema real +
sistema virtual)
Se puede determinar los esfuerzos partiendo de cualquiera
de los extremos, o barras. Sin embargo, es importante
indicar el origen.
Iniciaremos con el tramo AB, partiendo del tramo A, haciendo
una sección de corte de dirección x y dirección y para
determinar en este caso, la ecuación constante de esfuerzo de
flexión de dicho elemento.
TRAMO A-B con origen en ‘’A’’
MÉTODO DE SECCIONES
Pn
Pn
(4T -Pn)
A
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+
-(4T -Pn) . x - Pn .x + M(x)
AB = 0
M(x)
AB = 4x
y
x
v
v
y= x
Por relación se
tiene que:
-4x+Pn .x - Pn.x + M(x)
AB = 0
-4x+ M(x)
AB = 0
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= 0
Derivando M(x)
AB en
función a la carga
deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
AB = 4x
(4T -Pn)
Pn

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
SOLUCIÓN
15
(4T-Pn)
(11T+Pn)
(5T-Pn)
(5Tm-8Pn)
Evidenciamos ambos
(sistema real +
sistema virtual)
TRAMO B-C con origen en ‘’B’’
Pn
(4T -Pn)
B
෍ 𝑀𝐶
𝐵 𝐶
= 0
+
- (5T -Pn). x + M(x)
BC = 0
v
v
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= -x
Derivando M(x)
BC en función a la
carga deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
BC = 5x
Nodo ‘’B’’
5T
(4T -Pn)
Pn B
(4T -Pn)
(5T -Pn)
(5T -Pn)
x
M(x)
BC
(4T -Pn)
(5T -Pn)
- 5x+Pn.x + M(x)
BC = 0
M(x)
BC = 5x-Pn.x
APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔 = න
𝟎
𝟓
−𝒙 .(𝟓𝒙)
𝟎.𝟔𝑬𝑰
𝒅𝒙 = න
𝟎
𝟓
−𝟓𝒙𝟐
𝟎.𝟔𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑩𝑪 =
−𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟗𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación 𝜹𝒏𝑩𝑪 = −𝟎,𝟎𝟒𝟎𝟔𝒎
solo efectos de flexión
Cuando x = 5m MC = (25Tm – 5Pn)

0.6Io
1.4Io
0.8Io
5Tm
3T 4T/m
5T
3m 3m
2m
3m
A
B
C D
DATOS:
EI= 8550Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 1.
12Tm
SOLUCIÓN
16
(4T-Pn)
(11T+Pn)
(5T-Pn)
(5Tm-8Pn)
Evidenciamos ambos
(sistema real +
sistema virtual)
TRAMO C-D con origen en ‘’C’’
Pn
C ෍ 𝑀𝐷
𝐶 𝐷
= 0
+
𝟒𝒙 (𝒙)
𝟐
− (1T -Pn). x - (20Tm–5Pn)+ M(x)
CD = 0
v
v
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= (-x-5)
Derivando M(x)
CD en función a
la carga deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
BC = -2x2 +x +20
Junta ‘’C’’
3T
(4T -Pn)
C (5T -Pn)
(1T -Pn)
x
M(x)
CD
M(x)
CD = -2x2 +x +20- Pn.x -5Pn
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟑
−𝒙−𝟓 .(−𝟐𝒙𝟐
+𝒙+𝟐𝟎)
𝟏.𝟒𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑪𝑫 =
−𝟏𝟒𝟓𝟓
𝟕𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación 𝜹𝒏𝑪𝑫 = −𝟎,𝟎𝟐𝟒𝟑𝒎
5Tm
(5T -Pn)
Cuando x = 3m MD = (5Tm – 8Pn)
(25Tm–5Pn)
(20Tm–5Pn)
(5T -Pn)
(1T -Pn)
(20Tm–5Pn) 4T/m
12T
2x2 -x +Pn.x - 20Tm+5Pn + M(x)
CD = 0
(11T+Pn)
(5T -Pn)

Io
1.2Io
2,3Io 2,1T/m
3,4T
5T
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’.
Considérese solo efectos de flexión.
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano
Ejercicio 2.
12Tm
17
SOLUCIÓN
a.1, Cálculo de Reacciones por Cargas
෍ 𝑀𝐷
𝐴 𝐷
= 0
+
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
- 2,1T/m(3,5m) + RD
y = 0
- 7,35T + RD
y = 0 RD
y = 7,35T
෍ 𝐹𝐻 = 0
+ - 3,4T + 5T + RD
x = 0
RD
x = -1,6T
3,4T (5,25m) -5T (2,25m)+12Tm +2,1T/m(3,5m) (1,75m) + MA = 0
MA = -31,463Tm
1,6T + RD
x = 0

Io
1.2Io
2,3Io
Pn
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 2.
18
SOLUCIÓN
a.2, Cálculo de Reacciones por Cargas Deformadora
෍ 𝑀𝐷
𝐴 𝐷
= 0
+
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
- Pn + RD
y = 0
RD
y = Pn
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
RD
x = 0
Pn (5,5m) + MA = 0
MA = -5,5Pn
Para la Carga de deformación Pn, se asumirá un sentido arbitrario en
la misma dirección del desplazamiento, con el valor de la unidad.
Es importante que el sistema permuta la condición de
desplazamiento solicitad.
5,5Pn + MA = 0

Io
1.2Io
2,3Io 2,1T/m
3,4T
5T
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 2.
12Tm
19
SOLUCIÓN
Se evidencian todas las Reacciones determinadas del sistema
෍ 𝑀𝐷
𝐴 𝐷
= 0
+
෍ 𝐹𝑉 = 0
+
- 2,1T/m(3,5m) + RD
y = 0
- 7,35T + RD
y = 0 RD
y = 7,35T
෍ 𝐹𝐻 = 0
+ - 3,4T + 5T + RD
x = 0
RD
x = -1,6T
3,4T (5,25m) -5T (2,25m)+12Tm +2,1T/m(3,5m) (1,75m) + MA = 0
MA = -31,463Tm
1,6T + RD
x = 0
+
+
- Pn + RD
y = 0
RD
y = Pn
Pn (5,5m) + MA = 0
MA = -5,5Pn
5,5Pn + MA = 0
෍ 𝑀𝐷
𝐴 𝐷
= 0
෍ 𝐹𝑉 = 0
(31,463Tm+5,5Pn )
(7,35T+Pn)
1,6T
Pn

Io
1.2Io
2,3Io 2,1T/m
3,4T
5T
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 2.
12Tm
20
SOLUCIÓN
(31,463Tm+5,5Pn )
(7,35T+Pn)
1,6T
TRAMO A-B con origen en ‘’A’’
Pn
A
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+
Pn .(x) - (31,463Tm+5,5Pn ) + M(x)
AB = 0
M(x)
AB = 31,463Tm- Pn.x + 5,5Pn
y
x
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= (-x+5,5)
Derivando M(x)
AB en
función a la carga
deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
AB = 31,463
(M(x)
AB
(31,463Tm+5,5Pn )
Pn
Pn
Al corte
Pn.x - 31,463Tm- 5,5Pn + M(x)
AB = 0
Cuando x = 2,5m MB = (31,463Tm + 3Pn)
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔 = න
𝟎
𝟒,𝟓𝟎𝟕
−𝒙+𝟓,𝟓 .(𝟑𝟏,𝟒𝟔𝟑)
𝟐,𝟑𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑨𝑩 =
𝟐𝟎𝟎, 𝟏𝟓𝟗
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación

Io
1.2Io
2,3Io 2,1T/m
3,4T
5T
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 2.
12Tm
21
SOLUCIÓN
(31,463Tm+5,5Pn )
(7,35T+Pn)
1,6T
TRAMO B-C con origen en ‘’B’’
Pn
B
෍ 𝑀𝐶
𝐵 𝐶
= 0
+
-Pn .(x) + 3,4T .(6x) - (31,463Tm+3Pn ) + M(x)
BC = 0
M(x)
BC = 31,463Tm- 20,4x + Pn.x + 3Pn
y=6x
x 𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= (x+3)
Derivando M(x)
BC en
función a la carga
deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
AB = 31,463 - 20,4x
(M(x)
AB
Pn
Al corte
Cuando x = 0,5m MC = (21,263Tm + 3,5Pn)
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟑,𝟎𝟒𝟏
𝒙+𝟑 .(𝟑𝟏,𝟒𝟔𝟑−𝟐𝟎,𝟒𝒙)
𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑩𝑪 =
−𝟒𝟏, 𝟔𝟗𝟑
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
3,4T
B
Pn
(31,463Tm + 3Pn)
3,4T
Pn
(31,463Tm + 3Pn)
Junta ‘’B’’
(31,463Tm + 3Pn)
Pn
3,4T
3,4T
-Pn.x + 20,4x - 31,463Tm-3Pn + M(x)
BC = 0

Io
1.2Io
2,3Io 2,1T/m
3,4T
5T
2m ,5m 3m
3m
,75m
1,5m
A
B
C
D
DATOS:
EI= ctte
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 2.
12Tm
22
SOLUCIÓN
(31,463Tm+5,5Pn )
(7,35T+Pn)
1,6T
TRAMO C –D con origen en ‘’C’’
C
෍ 𝑀𝐷
𝐶 𝐷
= 0
+
Pn .(x) – 1,6T .(0,643x) - (9,263Tm+3,5Pn ) +2,1T/m(x)
𝒙
𝟐
+ M(x)
CD = 0
M(x)
CD = -1,050x2+1,029x +9,263 – Pn.x + 3,5Pn
y=0,643x
x
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑷𝒏
= (-x+3,5)
Derivando M(x)
CD en
función a la carga
deformadora Pn
Para Pn = 0 M(x)
AB = -1,050x2+1,029x +9,263
(M(x)
AB
Pn
Al corte
Cuando x = 3,5m
MD = 0
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑷𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟒,𝟏𝟔𝟏
−𝒙+𝟑,𝟓 .(−𝟏,𝟎𝟓𝟎𝒙𝟐
+𝟏,𝟎𝟐𝟗𝒙 +𝟗,𝟐𝟔𝟑)
𝟏,𝟐𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑩𝑪 =
+𝟒𝟑, 𝟎𝟏𝟒
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
5T
C
Pn
(21,263Tm + 3,5Pn)
1,6T
Pn
(9,263Tm + 3,5Pn)
Junta ‘’C’’
(9,263Tm + 3Pn)
Pn
1,6T
1,6T
12Tm
3,4T
2,1T/m
Pn.x – 1,029x - 9,263Tm-3,5Pn +1,05x2+ M(x)
CD = 0
𝜹𝒏𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 =
𝟐𝟎𝟏,𝟒𝟖𝟎
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
la estructura para una carga Mn en dirección
de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’.
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
5Tm
23
1,5T/m
E F
0,6Io
Io

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
24
SOLUCIÓN
a.1, Cálculo de Reacciones por Cargas
෍ 𝑀𝐷
𝐹 𝐷
= 0
+
෍ 𝐹𝑉 = 0
+ 1,5T -1,5T/m (½ . 3m) -1T - 3T/m (3m) + RA
y = 0
RF
y = 1,5T
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
RE
x = 2,885T
-1,5T/m (½ . 3m) (2
3
. 3m) + 3RF
Y = 0
2,885T + 4T + RC
x = 0
1,5T/m
E F
0,6Io
Io
Nótese que en el sistema planteado, la carga deformadora en el tramo DF
coincide con una carga concentrada (momento) en la misma dirección.
Si aplicamos, el principio del teorema, esta carga Mn tomará el valor de
dicha carga para la integración (Mn= 5 tm) y el valor de la unidad para el
sistema de deformación
RA
y = 10,75T
෍ 𝑀𝐵
𝐸𝐹𝐷𝐶 𝐵
= 0
+
1,5T (6m) -1,5T/m (½ . 3m) (2
3
. 3m+ 3m) - 1T (3m) - 3T/m (3m) (1,5m) + 6,5RE
X = 0
RE
x = -6,885T
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ 4T (2m) + MA = 0
MA = -8T m

Io
1.8Io
0,2Io
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
25
SOLUCIÓN
a.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora
Mn=1
෍ 𝑀𝐷
𝐹 𝐷
= 0
+
෍ 𝐹𝑉 = 0
+ 0,333Mn + RA
y = 0
RF
y = 0,333Mn
෍ 𝐹𝐻 = 0
+
RE
x = -0,154T
-Mn + 3RF
Y = 0
-0,154T + RC
x = 0
E F
0,6Io
Io
RA
y = -0,333Mn
෍ 𝑀𝐵
𝐸𝐹𝐷𝐶 𝐵
= 0
+
0,333Mn (6m) -Mn + 6,5RE
X = 0
RE
x = 0,154T
෍ 𝑀𝐵
𝐴 𝐵
= 0
+ MA = 0
3RF
Y = 1.Mn
1,998Mn -Mn + 6,5RE
X = 0
0,998Mn + 6,5RE
X = 0

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
26
SOLUCIÓN
1,5T/m
E F
0,6Io
Io
Una vez que se ha puesto en evidencia todas las reacciones de las cargas, se aplica el
método de secciones para determinar la constante de esfuerzos de flexión de cada
elemento.
8Tm
(10,75T - 0,333Mn )
(1,5T +0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(6,885T -0,154Mn )
TRAMO D-E con origen en ‘’E’’
෍ 𝑀𝐷
𝐸 𝐷
= 0
+
(2,885T -0,154Mn ) .(0,667x) + M(x)
ED = 0
M(x)
ED = -1,924x + 0,103Mn.x
x
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑴𝒏
= (0,103x)
Derivando M(x)
ED en
función a la carga
deformadora Mn
Para Mn = 5 M(x)
ED = (-1,409x)
(M(x)
ED
Al corte
Cuando x = 3m MD = (-5,772Tm + 0,309Mn)
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑴𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟑,𝟔𝟎𝟔
𝟎,𝟏𝟎𝟑𝒙 .(−𝟏,𝟒𝟎𝟗𝒙)
𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑬𝑫 =
−𝟐, 𝟐𝟔𝟖
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
(2,885T -0,154Mn )
E
y=0,667x
(2,885T -0,154Mn )
1,924x- 0,103Mn.x + M(x)
ED = 0
𝜹𝒏𝑬𝑫 = −𝟑, 𝟒𝟓𝟔𝒙𝟏𝟎
− 𝟓
𝒎

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
27
SOLUCIÓN
1,5T/m
E F
0,6Io
Io
8Tm
(10,75T - 0,333Mn )
(1,5T +0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(6,885T -0,154Mn ) TRAMO D-F con origen en ‘’D’’
෍ 𝑀𝐹
𝐷 𝐹
= 0
+
-(0,75T -0,333Mn ) .(x) –Mn + 1𝑥
2 𝑇𝑚
𝑥
2
𝑥
3
+ M(x)
DF = 0
M(x)
DF = -0,083x3 + 0,75x - 0,333Mn.x + Mn
x
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑴𝒏
= (-0,333x+1)
Derivando M(x)
DF en
función a la carga
deformadora Mn
Para Mn = 5 M(x)
DF = -0,083x3 - 0,915x +5
Al corte
Cuando x = 3m MF = 0
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑴𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟑,𝟔𝟎𝟔
−𝟎,𝟑𝟑𝟑𝒙+𝟏 .(−𝟎,𝟎𝟖𝟑𝒙𝟑
−𝟎,𝟗𝟏𝟓𝒙+𝟓)
𝟏,𝟖𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑫𝑭 =
+𝟑, 𝟐𝟔𝟕
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
F
y=0,667x
𝜹𝒏𝑫𝑭 = 𝟒, 𝟗𝟕𝟖𝒙𝟏𝟎
− 𝟓
𝒎
(1,5T +0,333Mn )
Mn
1,5T/m
q(x)= 1𝑥
2 𝑇𝑚
(0,75T - 0,333Mn )
D
2,25T
-0,75x+0,333Mn.x –Mn + 𝑥
3
13
+ M(x)
DF = 0

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
28
SOLUCIÓN
1,5T/m
E F
0,6Io
Io
8Tm
(10,75T - 0,333Mn )
(1,5T +0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(6,885T -0,154Mn )
TRAMO D-C con origen en ‘’D’’
෍ 𝑀𝐶
𝐷 𝐶
= 0
+
(2,885T -0,154Mn ) .(x) + (5,772Tm -0,309Mn ) + M(x)
DC = 0
M(x)
DC = -2,885x – 5,772 + 0,154Mn.x + 0,309Mn
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑴𝒏
= (0,154x+0,309)
Derivando M(x)
DC en
función a la carga
deformadora Mn
Para Mn = 5 M(x)
DF = (-2,192x-4,382)
Al corte
Cuando x = 4,5m MC = -18,750Tm+1Mn
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑴𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔 = න
𝟎
𝟒,𝟓
𝟎,𝟏𝟓𝟒𝒙+𝟎,𝟑𝟎𝟗 .(−𝟐,𝟏𝟗𝟐𝒙−𝟒,𝟑𝟖𝟐)
𝟎,𝟔𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑫𝑪 =
−𝟓𝟎, 𝟎𝟔𝟐
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
D
x
𝜹𝒏𝑫𝑪 = −𝟕, 𝟔𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎
− 𝟒
𝒎
(0,75T - 0,333Mn )
D
(2,885T -0,154Mn )
(5,772Tm - 0,309Mn)
(0,75T - 0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(5,772Tm - 0,309Mn)
Junta ‘’D’’
C
(0,75T - 0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(5,772Tm - 0,309Mn)
(2,885T -0,154Mn )
(0,75T - 0,333Mn )
(M(x)
DC
2,885x-0,154Mn .x + 5,772Tm -0,309Mn + M(x)
DC = 0

Io
1.8Io
0,2Io
3T/m
1T
4T
3m 3m
2m
1 m
1,5m
2m
A
B C
D
DATOS:
EI= 65625Tm2
Estructuras I
UNELLEZ
Ejercicio 3.
Mn
29
SOLUCIÓN
1,5T/m
E F
0,6Io
Io
8Tm
(10,75T - 0,333Mn )
(1,5T +0,333Mn )
(2,885T -0,154Mn )
(6,885T -0,154Mn )
TRAMO C-B con origen en ‘’C’’
෍ 𝑀𝐵
𝐶 𝐵
= 0
+
-(1,75T -0,333Mn ) .(x) – 3x (𝑋
2
) + (18,750- Mn ) + M(x)
CB = 0
M(x)
DC = 1,5x2+1,750x-18,750 + 0,333Mn.x - Mn
𝝏𝑴
(𝒙)
𝝏𝑴𝒏
= (0,333x-1)
Derivando M(x)
CB en
función a la carga
deformadora Mn
Para Mn = 5 M(x)
CB = 1,5x2+3,415x-23,750)
Al corte
Cuando x = 3m MB = 0
𝜹𝒏 = න
𝟎
𝒔
𝝏𝑴
𝝏𝑴𝒏.
𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒔
= න
𝟎
𝟑
𝟎,𝟑𝟑𝟑𝒙−𝟏 .(,𝟏,𝟓𝒙𝟐
+𝟑,𝟒𝟏𝟓𝒙−𝟐𝟑,𝟕𝟓𝟎)
𝟎,𝟐𝑬𝑰
𝒅𝒙
𝜹𝒏𝑪𝑩 =
𝟏𝟑𝟓, 𝟕𝟑𝟗
𝑬𝑰
𝑻𝒎𝟑
Energía de
Deformación
B
x
𝜹𝒏𝑪𝑩 = 𝟐, 𝟎𝟔𝟖𝒙𝟏𝟎
− 𝟑
𝒎
(0,75T - 0,333Mn )
C
(2,885T -0,154Mn )
(18,750Tm – 1Mn)
(1,75T - 0,333Mn )
(6,885T -0,154Mn )
4T
Junta ‘’C’’
C
4T
(10,75T - 0,333Mn )
1T
(18,750Tm – 1Mn)
4T
(1,75T - 0,333Mn )
(18,750Tm – 1Mn)
9T
3T/m
-1,75x-0,333Mn .x – 1,5x2 + 18,750- Mn + M(x)
CB = 0

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