La función f es continua en un punto c si el límite de f(x) cuando x se acerca a c existe y es igual al valor de la función en c. Hay dos tipos de discontinuidades: removible, cuando el límite existe pero la función no está definida o no es igual al límite; y esencial, cuando el límite no existe. Para que una función sea continua en todos los puntos, los límites deben existir y ser iguales a los valores de la función.

1. CONTINUIDAD

2. En matemáticas y ciencias utilizamos la palabra continuo
para describir un proceso que se lleva a cabo sin cambios
abruptos.
Es esta noción de continuo que con respecto a funciones
es la que ahora se desea precisar.

3. Para una función f, la idea intuitiva de
continuidad es que la curva que representa a la
grafica de la función debe ser un trazo sin
interrupciones o saltos.

5. De los tres gráficos mostrados, solo el tercer grafico exhibe continuidad
en c.
• En el primer grafico lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥 no existe .
• En el segundo grafico lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥 existe pero no es igual a 𝑓 𝑐
• En el tercer grafico lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥 existe y es igual a 𝑓 𝑐

6. DEFINICIÓN( Continuidad en un punto)
La función 𝑓: ℝ → ℝ es continua en 𝑐 si
a. f esta definida en c.
b. lim
x→c
f(x) existe.
c. lim
x→c
f x = f(c)
Si no se cumple alguna de estas condiciones se dice que 𝑓 es
discontinua en 𝑐.

7. EJEMPLO 1
Sea la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
𝑥2−4
𝑥−2
, 𝑥 ≠ 2
¿Cómo debe definirse 𝑓 en 𝑥 = 2 para que sea continua en 𝑥 = 2 ?
SOLUCION

8. SOLUCIÓN
lim
𝑥⟶2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= lim
𝑥⟶2
𝑥 − 2 𝑥 + 2
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥⟶2
𝑥 + 2 = 4
Por lo tanto, definimos 𝑓 2 = 4 para que la función sea continua en 2.

9. EJEMPLO 2
Sea la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥 + 1 , 𝑥 ≤ 1
3 − 𝑎𝑥2
, 𝑥 > 1
¿Cual de ser el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en x=1?
SOLUCION

10. SOLUCIÓN
i.- 𝑓 1 = 2
ii.- lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1−
𝑥 + 1 = 2
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
3 − 𝑎𝑥2 = 3 − 𝑎
2 = 3 − 𝑎 ⇒ 𝑎 = 1
Por lo tanto, para 𝑎 = 1 la función es continua en el punto x=1.

11. TIPOS DE DISCONTINUIDADES

12. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
Un punto 𝑎 es llamado punto de discontinuidad removible o evitable si 𝑓 no esta definida
en 𝑥 = 𝑎 pero lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe o si 𝑓 esta definida en 𝑥 = 𝑎 pero lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎)
Este punto es llamado punto de discontinuidad removible o evitable, pues la función 𝑓
puede ser redefinida en 𝑥 = 𝑎 mediante 𝑓∗
de la siguiente manera:
𝑓∗
(𝑥) = ൞
𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
La nueva función 𝑓∗
es continua en 𝑥 = 𝑎 y se llama la extensión o prolongación
continua de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎.

13. DISCONTINUIDAD ESENCIAL
Un punto 𝑎 es llamado punto de discontinuidad esencial si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no
existe o no es finito.

14. EJEMPLO 3
Sea la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 1
𝑥3 − 1
Estudiar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 1.

15. SOLUCIÓN
𝑓 no esta definida en 𝑥 = 1.
Como no se satisface la condición 1 de la definición de continuidad se tiene
que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 1.
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥3 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
=
2
3
Dado que lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) existe se tiene que la discontinuidad en 𝑥 = 1 es
eliminable
La extensión continua 𝑓∗
de 𝑓 en 𝑥 = 1 es:
𝑓∗
(𝑥) =
𝑥2
− 1
𝑥3 − 1
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
2
3
, 𝑠𝑖 𝑥 = 1

16. EJEMPLO 4
Sea la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Estudiar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 0

17. SOLUCION
i.- f 0 = 0
ii.- Como lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
−𝑥
𝑥
= −1 𝑦 lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= +1
se tiene que
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) no existe.
Como no se cumple la condición 2 , se tiene que 𝑓 es
discontinua en 𝑥 = 0 y ya que el limite no existe, la
discontinuidad en 𝑥 = 0 es esencial.

18. EJEMPLO 5
Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥 + 2𝑎 , 𝑥 < −2
3𝑎𝑥 + 𝑏 , −2 ≤ 𝑥 < 1
3𝑥 − 2𝑏 , 𝑥 ≥ 1
sea continua en ℝ.
SOLUCION

19. SOLUCION
Analizamos la continuidad en los puntos 𝑥 = −2 y 𝑥 = 1
En 𝑥 = −2
lim
𝑥→−2−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−2−
𝑥 + 2𝑎 = −2 + 2𝑎
lim
𝑥→−2+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−2+
3𝑎𝑥 + 𝑏 = −6𝑎 + 𝑏
de donde se tiene que
−2 + 2𝑎 = −6𝑎 + 𝑏
8𝑎 − 𝑏 = 2

20. En 𝑥 = 1
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1−
3𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
3𝑥 − 2𝑏 = 3 − 2𝑏
de donde se tiene que
3𝑎 + 𝑏 = 3 − 2𝑏
𝑎 + 𝑏 = 1
Resolviendo el sistema
ቊ
8𝑎 − 𝑏 = 2
𝑎 + 𝑏 = 1
𝑎 =
1
3
𝑏 =
2
3

21. EJEMPLO 6
Estudiar la continuidad de la función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 8
𝑥2 + 3𝑥 − 4
Determinar los puntos de discontinuidad e identificar el tipo de discontinuidad
y cuando sea posible hacer la extensión continua.

22. La función 𝑓 definida por
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
no esta definida en 𝑥 = −4 y en 𝑥 = 1 , en consecuencia 𝑓 es discontinua en
dichos puntos.
Análisis del tipo de discontinuidad
En 𝑥 = −4
lim
𝑥→−4
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→−4
2(𝑥 + 4)
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→−4
2
𝑥 − 1
= −
2
5
Por lo tanto, en 𝑥 = −4 se tiene una discontinuidad removible

23. La extensión continua 𝑓∗ de 𝑓 en 𝑥 = −4 es:
𝑓∗
𝑥 =
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −4
−
2
5
, 𝑠𝑖 𝑥 = −4

24. En 𝑥 = 1
lim
𝑥→1+
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→1+
2(𝑥 + 4)
𝑥 + 4 𝑥 − 1
=
2
0+
=
2
0+
= +∞
lim
𝑥→1−
2𝑥 + 8
𝑥 + 4 𝑥 − 1
= lim
𝑥→1−
2(𝑥 + 4)
𝑥 + 4 𝑥 − 1
=
2
0−
= −∞
Por lo tanto, en 𝑥 = 1 se tiene una discontinuidad esencial.