Mate

1. UNIVERSIDAD DE LAS
FUERZAS ARMADAS - ESPE
INTEGRANTES:
VANESSA TORRES CASAMEN
MATEMÁTICA I - CONTINUIDAD
AULA: A201 NRC: 2011
Ing. PATRICIO BAYAS

2. CONTINUIDAD
Una función es continua en un punto si al acercarse a ese punto el límite, el valor al que tiende la
función , y el valor de la función coinciden.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Sea f(x) una función real de una variable definida en un dominio Dom (f), Se dice que la función
f(x) es continua en el punto a si la función tiene límite finito en ese punto, la función está definida
en ese punto y ambos coinciden:
f(x) es continua en x=a lím f(x) = f(a)
Si una función es continua en todos los puntos del dominio se dice que la función es continua.
SITUACIONES PARA QUE UNA FUNCIÓN SEA DISCONTINUA EN UN PUNTO
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
x ͢ a
Es discontinua cuando no
está definida en el punto y
tampoco tiene límite finito
al acercarse al punto.
Cuando no está
definida pero sí
tiene límite finito.
Cuando está
definida pero no
tiene límite finito.
Cuando estando
definida en el punto y
teniendo límite finito
al acercarse a él ,
ambos no coinciden.

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
 Las funciones
polinómicas son siempre
continuas. Así como las
funciones racionales, en
los puntos donde el
denominador no se
anula son continuas.
 Las funciones
potenciales y radicales,
las funciones
logarítmicas, las
funciones
trigonométricas directas
e inversas son continuas
en todos los puntos de
su dominio definición.

4. Se dice que la función f(x) es continua por la derecha en el punto a si la función y el
límite por la derecha coinciden:
f(x) es continua por la derecha en x=a lím f(x) = f(a)
Se dice que la función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si la función y el
límite por la izquierda coinciden:
f(x) es continua por la izquierda en x=a lím f(x) = f(a)
CONTINUIDAD LATERAL
Si en un punto están definidos los límites a ambos lados, la función es continua en ese punto si y
solo si es a la vez continua por la derecha y continua por la izquierda.
x ͢ a+
x ͢ a -

5. Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo se dice que la función es
continua en el intervalo.
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
Si el intervalo I es cerrado [a,b] la función tendrá que ser: continua en los puntos
interiores del intervalo y continua por la izquierda en el límite superior del intervalo.
Si el intervalo I es abierto ] a,b[ la función tendrá que ser continua en todos los
puntos del intervalo, que son todos puntos interiores.
Si el intervalo I es semiabierto la función tendrá que ser continua en los puntos
interiores del intervalo y continua lateralmente en el límite del intervalo.

6. TEOREMA DE DARBOUX (DEL VALOR INTERMEDIO)
Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y además f(a) ≠ f(b),
entonces para cualquier punto d comprendido estrictamente entre f(a) y f(b) existe al
menos un punto interior c perteneciente al intervalo abierto ] a,b[ en el que la función
es exactamente igual al valor d.
TEOREMA DE BOLZANO (DE LAS RAÍCES O DE LOS CEROS)
Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y además f(a) y f(b) tienen
signos opuestos f(a)f(b)<0, entonces existe al menos un punto interior c
perteneciente al intervalo abierto ] a,b[ en el que se anula la función.
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD