Este documento explica los conceptos de continuidad y discontinuidad de funciones. Define una función continua como aquella donde existe el límite en cada punto y coincide con el valor de la función. Presenta teoremas como el de conservación del signo, acotación de la función, valor intermedio de Bolzano y existencia de extremos absolutos de Weierstrass. Finalmente, detalla tipos de discontinuidades y operaciones con funciones continuas.

1. UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
Nombre: Kevin Tanner Cobos Granda
Fecha: 23 de junio del 2014
Docente: Ing. Ginger Carrión
Paralelo: Primero “D”
Trabajo de Investigación
Continuidad: Teoremas de continuidad
Función continua en un punto y en un intervalo.
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. Existe el .
Ambos valores coinciden, es decir .
Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición
equivalente:
Diremos que y = f(x) es continua en (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo
abierto (a,b).
 Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .
 Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua en [a,b] si:
 y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
 y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
 y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . Sin embargo, el teorema
recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a
en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

2. Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:
Es decir:
Por lo tanto: f(x)>0.
TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.
Demostración:
Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:
De modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en
el entorno de x=a.
Operaciones con funciones continuas.
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
Es continua en x=a.
Es continua en x=a.
Es continua en x=a sí .
Es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en
x=a.
Demostración:
De lo dicho anteriormente resulta que:

3. Discontinuidades.
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es
decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
 Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de
estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).
 De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos
finitos) pero no coinciden.
 Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser
asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
 Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la
derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función
en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al
valor .
Teorema de Bolzano (teorema del valor intermedio)
Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha función en los
extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.
Demostración:
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho
punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).
Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior,
obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada
uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada
intervalo. Dicha sucesión define un número real . Demostremos que f(c)=0.
Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un

4. entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción
anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la función tomaba valores
opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.
Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de
f(a) y f(b) (o al revés) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a
g(x)=f(x)-k.)
Teorema de Weierstrass (teorema de existencia de extremos absolutos)
Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho
intervalo [a,b].
Demostración:
 Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].
Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y los
subintervalos y f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos, que
llamaremos . Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al
menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una
sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior,
donde f(x) no está acotada.
Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua
en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el
que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a
partir de uno todos los I1, donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción,
luego f(x) está acotada en [a,b].
 Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se
demuestra que alcanza el mínimo).
Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo
inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el
teorema estará demostrado.
g(x) está
acotada en [a,b] M no es
el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un ir
un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b]

5. Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b], entonces f(x) toma en
dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. (Su demostración
es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.
BIBLIOGRAFÍA
Bibliografía Básica:
 GRANVILLE, William. 1982. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial LIMUSA. Sexta
reimpresión. México. Capitulo 2: variables, funciones y limites. pág.; 17-19 ISBN: 968-
18-1178-X. 686 Págs.
Páginas WEB (webgrafía)
 GARCIA, John Jairo. Continuidad de una función. Recuperado: 2008, 02 de Septiembre.
Disponible en:
(http://es.scribd.com/doc/5365942/LIMITE-DE-FUNCIONES-TRIGONOMETRICAS)
 FERNANDEZ, José. Máster Universitario de Profesorado de Educación. Límite y
continuidad de funciones. Máster Universitario de Profesorado de Educación.
Disponible en:
(http://www.ugr.es/~lrico/MasterSec_files/Fernandez%20Plaza%20TFM.pdf)