El documento describe el algoritmo de backtracking para resolver problemas mediante la generación sistemática y organizada de todas las posibles secuencias de decisiones. Explica que el espacio de búsqueda puede representarse como un árbol y que backtracking es capaz de encontrar una solución si existe una. Además, detalla los elementos clave que deben considerarse al diseñar un algoritmo backtracking como la representación de soluciones, funciones objetivo y de poda, y la organización del problema en un árbol de búsqueda.

1. Esperanza Terán Jiménez

2. • es un esquema que genera TODAS las secuencias
posibles de decisiones.
• Vuelta Atrás, de forma sistemática y organizada, genera
y recorre un espacio que contiene todas las posibles
secuencias de decisiones.
• Este espacio se denomina el espacio de búsqueda del
problema. Una de las primeras implicaciones de esta
forma de resolver el problema es que, si el problema
tiene solución, Vuelta Atrás seguro que la encuentra.

3. • La siguiente figura muestra un posible espacio de
búsqueda asociado a un problema en el que
hay k decisiones que tomar (son las que definen la altura
del espacio), y en el que cada decisión tiene asociado un
dominio formado por j valores distintos, que son los que
determinan la anchura del espacio.

5. • Habitualmente el espacio de búsqueda es un
árbol, aunque puede ser un grafo, como en el caso de
los grafos de juego. Si en el árbol hay un gran número de
nodos repetidos y se dan otras condiciones
adicionales, es posible que el problema se pueda
resolver aplicando el esquema de Programación
Dinámica.

6. • La caracterización de los problemas que son solubles
aplicando este esquema no es muy distinta de otras Técnicas
de Análisis y Diseño y se utiliza la misma terminología como,
por ejemplo, decisión, restricción, solución, solución en curso,
etc. algunas de las características de estos problemas:
• Se trata generalmente de problemas de optimización, con o
sin restricciones.
• La solución es expresable en forma de secuencia de
decisiones.
• Existe una función denominada factible que permite averiguar
si en una secuencia de decisiones, la solución en curso
actual, viola o no las restricciones.
• Existe una función, denominada solución , que permite
determinar si una secuencia de decisiones factible es solución
al problema planteado.

7. • Al diseñar un algoritmo backtraking debemos considerar los
• siguientes elementos:
• Representación de la solución en una tupla (X1; : : : ; Xn)
• Una función objetivo para determinar si la tupla a analizar es
• una solución
• Unas restricciones a los candidatos para rellenar la tupla:
• Implícitas del problema. Valores que puede tomar cada valor
• Xi
• Explícitas o externas al problema. Por ejemplo, problema
• mochila, el peso no debe superar la capacidad de la mochila
• Una función de poda para eliminar partes del árbol de
• búsqueda
• Organización del problema en un árbol de búsqueda.

8. • Construir la solución al problema en distintas etapas.
• En cada paso se elige un candidato y se añade a la
solución, y se avanza en la solución parcial.
• Si no es posible continuar en la construcción hacia una
solución completa, se abandona ésta y la última
componente se cambia por otro valor.
• Si no quedan más valores por probar, se retrocede al
candidato anterior, se desecha, y se selecciona otro
candidato.

10. • Buscar una representación del tipo (X1; X2; : : : ; Xn) para las
• soluciones del problema
• Identificar las restricciones implícitas y explícitas del
• problema
• Establecer la organización del árbol que define los
• diferentes estados en los que se encuentra una (sub)solución
• Definir una función solución para determinar si una tupla es
• solución
• Definir una función de poda Bk(X1; X2; : : : ; Xk) para
• eliminar ramas del árbol que puedan derivar en soluciones
poco
• deseables o inadeciadas
• Aplicar la estructura genérica de un algoritmo backtracking

11. • solucion[i]2Si para i=1,2,...,n
(Algoritmo genérico backtracking)
funcion BACKTRACKING_REC ( k , solucion[n])
para j2Si
si ( PODA (k , j , solucion) == true ) hacer
sol[k]= j
si ( TEST_SOL (solucion) == true ) hacer
devolver solucion
si ( k < n )
BACKTRACKING_REC(k+1,solucion[n])

12. •

13. • procedimiento backtrack (x[1..n]) {
• k=1;
• while (k>0) {
• if ( queda algún x[k] no probado tal que
• X[k]∈T(x[1..k-1]) && Bk(x[1..k]) ) {
• if (x[1..k] es un camino hasta un nodo respuesta)
• print ( x[1..k] ); // Mostrar solución x[1..k]
• k = k+1;
• } else {
• k = k-1;
• }
• }
• }

14. • Llamada inicial: backtrack(x,1);
• procedimiento backtrack ( x[1..n], k)
• {
• foreach foreach (x[k]∈T(x[1..k T(x[1..k-1]) {
• if ( Bk(x[1..k]) ) {
• if (x[1..k] es un camino hasta un nodo respuesta)
• print ( x[1..k] ); // Mostrar solución x[1..k]
• backtrack (x, k+1);
• }
• }
• }

15. • El problema de las ocho reinas se puede plantear de
modo general como problema de las reinas. El problema
consistiría en colocar reinas en un tablero de ajedrez
de de tal manera que ninguna de las reinas quede
atacando a otra.
• Su análisis y solución es isomorfo al de las ocho reinas.
• Número de soluciones:

16. • El problema de las ocho reinas tiene 92 soluciones, de
las cuales 12 son esencialmente distintas, es decir las
92 soluciones existentes se pueden obtener a partir de
simetrías, rotaciones y traslaciones de las 12 soluciones
únicas, que se muestran a continuación: