El documento describe el algoritmo de backtracking. Explica que se trata de un método de resolución de problemas por prueba y error que evalúa todas las posibles soluciones hasta encontrar la óptima. A continuación, presenta dos ejemplos comunes de problemas resueltos con este algoritmo: el Sudoku y el problema del caballo, detallando brevemente cómo se implementa el backtracking para resolver cada uno.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
Backtracking
Alumno: Nelson Rodríguez
C.I: 21.725.009

2. Historia de backtracking
La más antigua referencia a Backtracking, es la historia del hilo de Ariadna en la mitología
griega. Su padre, el rey Minos de Creta detentaba su tiránico poder sobre su isla y por
conquista sobre Atenas. El tributo que pedía de los atenienses consistía en grupos de jóvenes
que entraban a su laberinto donde habitaba el Mino tauro (mitad hombre, mitad toro) para
encontrar la muerte a manos de éste. El héroe ateniense Teseo se ofreció voluntariamente a
acompañar a un grupo de jóvenes que se iban a sacrificar para salvar a Atenas de ésta cruel
tradición.
Ariadna se enamoró de Teseo y le regaló un ovillo de hilo dorado para que no se perdiera en
el laberinto. La idea era que Teseo desenrollara el ovillo a medida que avanzara por el
laberinto, si llegaba a un callejón sin salida tenía que volver atrás y enrollar el hilo hasta
llegar al punto donde había escogido dicho camino para intentar una ruta alternativa. El
Backtracking funcionó, Teseo asesinó al Mino tauro y escapó del laberinto, y de la isla de
Creta con los jóvenes y con Ariadna.
Formalmente el término "backtrack" fue acuñado por primera vez por el matemático
estadounidense D. H. Lehmer en la década de 1950.
Concepto
Los algoritmos backtracking (algoritmos de vuelta atrás), este método para la resolución de
problemas funciona a prueba y error, lo cual lo hace un algoritmo de mucho costo en
cuanto a tiempo para encontrar la solución, ya que el probara todas las opciones para llegar
a solucionar el problema, pero esto nos asegurara la mejor solución al problema planteado.
Enfoque
Los problemas que deben satisfacer un determinado tipo de restricciones son problemas
completos, donde el orden de los elementos de la solución no importa. Estos problemas
consisten en un conjunto (o lista) de variables a la que a cada una se le debe asignar un

3. valor sujeto a las restricciones del problema. La técnica va creando todas las posibles
combinaciones de elementos para obtener una solución. Su principal virtud es que en la
mayoría de las implementaciones se puede evitar combinaciones, estableciendo funciones
de acotación (o poda) reduciendo el tiempo de ejecución.
Vuelta atrás está muy relacionado con la búsqueda combinatoria.
Diseño e implementación
Esencialmente, la idea es encontrar la mejor combinación posible en un momento
determinado, por eso, se dice que este tipo de algoritmo es una búsqueda en profundidad.
Durante la búsqueda, si se encuentra una alternativa incorrecta, la búsqueda retrocede hasta
el paso anterior y toma la siguiente alternativa. Cuando se han terminado las posibilidades,
se vuelve a la elección anterior y se toma la siguiente opción (hijo [si nos referimos a un
árbol]). Si no hay más alternativas la búsqueda falla. De esta manera, se crea un árbol
implícito, en el que cada nodo es un estado de la solución (solución parcial en el caso de
nodos interiores o solución total en el caso de los nodos hoja).
Normalmente, se suele implementar este tipo de algoritmos como un
procedimiento recursivo. Así, en cada llamada al procedimiento se toma una variable y se
le asignan todos los valores posibles, llamando a su vez al procedimiento para cada uno de
los nuevos estados. La diferencia con la búsqueda en profundidad es que se suelen diseñar
funciones de cota, de forma que no se generen algunos estados si no van a conducir a
ninguna solución, o a una solución peor de la que ya se tiene. De esta forma se ahorra
espacio en memoria y tiempo de ejecución.
Heurísticas
Algunas heurísticas son comúnmente usadas para acelerar el proceso. Como las variables se
pueden procesar en cualquier orden, generalmente es más eficiente intentar ser lo más
restrictivo posible con las primeras (esto es, las primeras con menores valores posibles).
Este proceso poda el árbol de búsqueda antes de que se tome la decisión y se llame a la
subrutina recursiva.
Cuando se elige qué valor se va a asignar, muchas implementaciones hacen un examen
hacia delante (FC, Forward Checking), para ver qué valor restringirá el menor número
posible de valores, de forma que se anticipa en a) preservar una posible solución y b) hace
que la solución encontrada no tenga restricciones destacadas.
Algunas implementaciones muy sofisticadas usan una función de cotas, que examina si es
posible encontrar una solución a partir de una solución parcial. Además, se comprueba si la
solución parcial que falla puede incrementar significativamente la eficiencia del algoritmo.
Por el uso de estas funciones de cota, se debe ser muy minucioso en su implementación de
forma que sean poco costosas computacionalmente hablando, ya que lo más normal es que
se ejecuten en para cada nodo o paso del algoritmo. Cabe destacar, que las cotas eficaces se
crean de forma parecida a las funciones heurísticas, esto es, relajando las restricciones para
conseguir mayor eficiencia.

4. Con el objetivo de mantener la solución actual con coste mínimo, los algoritmos vuelta
atrás mantienen el coste de la mejor solución en una variable que va variando con cada
nueva mejor solución encontrada. Así, si una solución es peor que la que se acaba de
encontrar, el algoritmo no actualizará la solución. De esta forma, devolverá siempre la
mejor solución que haya encontrado. Y recuerden, la vida es un backtracking
Dos ejemplos de aplicación de Vuelta atrás backtracking
1. Sudoku
El famoso juego del Sudoku consiste en rellenar un cubo de 9 x 9 celdas dispuestas
en 9 subgrupos de 3 x 3 celdas, con números del 1 al 9, atendiendo a la restricción
de que no se debe repetir el mismo número en la misma fila, columna o subgrupo de
9.
Un Sudoku dispone de varias celdas con un valor inicial, de modo que debemos
empezar a resolver el problema a partir de esta solución parcial sin modificar
ninguna de las celdas iniciales.
Estrategia de resolución usando Backtracking
El tablero del Sudoku a resolver viene dado por una matriz “Sol [1..9,1..9] de 0..9”
donde Sol[i, j] representa el valor que toma dicha celda, correspondiéndose el valor
0 con una casilla vacía.
Se utilizará una matriz auxiliar “inicial[1..9, 1..9] de Bool” donde inicial[i, j]
representa una celda con valor inicial que no se puede modificar y se corresponde
con la celda “Sol[i, j]”.
A la hora de ramificar el árbol de exploración, solo lo haremos si la solución parcial
que estamos atendiendo es k-prometedora, esto es, si a partir de dicha solución
parcial podremos seguir construyendo soluciones parciales. Para atender a este
punto, utilizaremos una función auxiliar denominada “es_factible”.
La función “es_factible” comprueba para una celda determinada, que no se repita su
valor en la misma fila, columna o subgrupo de 3x3, atendiendo así a la restricción
que comentábamos en la descripción detallada del problema.
Dado que un Sudoku Puede tener varias soluciones, implementaremos el algoritmo
en consecuencia.
Árbol de exploración
El árbol de exploración generado tendrá las siguientes características:
Altura = m + 1:
Siendo m el número de casillas vacías inicialmente.

5. Nº de Hijos de cada nodo = 9:
Un hijo por cada posible valor de la celda i j.
2. Problema del caballo
El problema del caballo es un antiguo problema matemático en el que se pide que,
teniendo una cuadrícula de n x n casillas y un caballo de ajedrez colocado en una
posición cualquiera ( x, y ), el caballo pase por todas las casillas y una sola vez.
Muchos matemáticos han buscado una solución matemática a este problema, entre
ellos Leonhard Euler.
Se han encontrado muchas soluciones a este problema y de hecho no se sabe con seguridad
de cuántas maneras diferentes es posible solucionarlo.
Algunas variaciones de este problema han sido estudiadas por los matemáticos, tales como:
 Buscar soluciones cíclicas, en la cual se debe llegar a la misma casilla de la cual se
partió.
 Tableros de diferente número de columnas o diferente número de filas.
 Juegos de dos jugadores basados en la idea.
 Problemas usando ligeras variaciones en la forma de moverse el caballo.
El problema del caballo es una forma del problema más general problema de la ruta
Hamiltoniana en la teoría de grafos.
A la derecha podemos apreciar una de las posibles soluciones en un tablero de ajedrez
convencional de ocho columnas por ocho filas. Abajo, una solución cíclica en que la casilla
de destino es justo la anterior a la de partida.
63 14 37 24 51 26 35 10
22 39 62 13 36 11 50 27
15 64 23 38 25 52 9 34
40 21 16 61 12 33 28 49
17 60 1 44 29 48 53 8
2 41 20 57 6 55 32 47
59 18 43 4 45 30 7 54
42 3 58 19 56 5 46 31

6. Tres ejemplos de problemas comunes resueltos usando Vuelta Atrás programados en
C o C++
1. Sudoku
Dada una matriz 2D de 9 × 9 parcialmente llena 'cuadrícula [9] [9]', el objetivo es
asignar dígitos (del 1 al 9) a las celdas vacías para que cada fila, columna y
subcuadrícula de tamaño 3 × 3 contenga exactamente una instancia de los dígitos del
1 al 9
.
#include <iostream>
using namespace std;
// N is the size of the 2D matrix N*N
#define N 9
/* A utility function to print grid */
void print(int arr[N][N])
{
for (int i = 0; i < N; i++)
{
for (int j = 0; j < N; j++)
cout << arr[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
// Checks whether it will be
// legal to assign num to the
// given row, col
bool isSafe(int grid[N][N], int row,
int col, int num)

7. {
// Check if we find the same num
// in the similar row , we
// return false
for (int x = 0; x <= 8; x++)
if (grid[row][x] == num)
return false;
// Check if we find the same num in
// the similar column , we
// return false
for (int x = 0; x <= 8; x++)
if (grid[x][col] == num)
return false;
// Check if we find the same num in
// the particular 3*3 matrix,
// we return false
int startRow = row - row % 3,
startCol = col - col % 3;
for (int i = 0; i < 3; i++)
for (int j = 0; j < 3; j++)
if (grid[i + startRow][j +
startCol] == num)
return false;
return true;
}
/* Takes a partially filled-in grid and attempts
to assign values to all unassigned locations in
such a way to meet the requirements for
Sudoku solution (non-duplication across rows,
columns, and boxes) */
bool solveSuduko(int grid[N][N], int row, int col)
{
// Check if we have reached the 8th
// row and 9th column (0
// indexed matrix) , we are
// returning true to avoid
// further backtracking
if (row == N - 1 && col == N)
return true;
// Check if column value becomes 9 ,

8. // we move to next row and
// column start from 0
if (col == N) {
row++;
col = 0;
}
// Check if the current position of
// the grid already contains
// value >0, we iterate for next column
if (grid[row][col] > 0)
return solveSuduko(grid, row, col + 1);
for (int num = 1; num <= N; num++)
{
// Check if it is safe to place
// the num (1-9) in the
// given row ,col ->we
// move to next column
if (isSafe(grid, row, col, num))
{
/* Assigning the num in
the current (row,col)
position of the grid
and assuming our assined
num in the position
is correct */
grid[row][col] = num;
// Checking for next possibility with next
// column
if (solveSuduko(grid, row, col + 1))
return true;
}
// Removing the assigned num ,
// since our assumption
// was wrong , and we go for
// next assumption with
// diff num value
grid[row][col] = 0;
}
return false;
}

9. // Driver Code
int main()
{
// 0 means unassigned cells
int grid[N][N] = { { 3, 0, 6, 5, 0, 8, 4, 0, 0 },
{ 5, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 8, 7, 0, 0, 0, 0, 3, 1 },
{ 0, 0, 3, 0, 1, 0, 0, 8, 0 },
{ 9, 0, 0, 8, 6, 3, 0, 0, 5 },
{ 0, 5, 0, 0, 9, 0, 6, 0, 0 },
{ 1, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 5, 0 },
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 4 },
{ 0, 0, 5, 2, 0, 6, 3, 0, 0 } };
if (solveSuduko(grid, 0, 0))
print(grid);
else
cout << "no solution exists " << endl;
return 0;
}
2. Rata en el laberinto
Analicemos Rata en el laberinto como otro problema de ejemplo que se puede
resolver usando Backtracking.
Un laberinto se da como una matriz binaria de bloques N * N donde el bloque de
origen es el bloque superior izquierdo, es decir, el laberinto [0] [0] y el bloque de
destino es el bloque inferior derecho, es decir, laberinto [N-1] [N-1] . Una rata parte
de la fuente y tiene que llegar al destino. La rata solo puede moverse en dos
direcciones: hacia adelante y hacia abajo.
En la matriz de laberinto, 0 significa que el bloque es un callejón sin salida y 1
significa que el bloque se puede utilizar en la ruta desde el origen hasta el destino.
Tenga en cuenta que esta es una versión simple del típico problema de Maze. Por
ejemplo, una versión más compleja puede ser que la rata se pueda mover en 4
direcciones y una versión más compleja puede ser con un número limitado de
movimientos.
A continuación se muestra un ejemplo de laberinto.
Los bloques grises son callejones sin salida (valor = 0).

10. A continuación se muestra una representación matricial binaria del laberinto
anterior.
{1, 0, 0, 0}
{1, 1, 0, 1}
{0, 1, 0, 0}
{1, 1, 1, 1}
/* C++ program to solve Rat in
a Maze problem using backtracking */
#include <stdio.h>
// Maze size
#define N 4
bool solveMazeUtil(
int maze[N][N], int x,
int y, int sol[N][N]);
/* A utility function to print
solution matrix sol[N][N] */
void printSolution(int sol[N][N])
{
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++)
printf(" %d ", sol[i][j]);
printf("n");
}
}

11. /* A utility function to check if x,
y is valid index for N*N maze */
bool isSafe(int maze[N][N], int x, int y)
{
// if (x, y outside maze) return false
if (
x >= 0 && x < N && y >= 0
&& y < N && maze[x][y] == 1)
return true;
return false;
}
/* This function solves the Maze problem
using Backtracking. It mainly uses
solveMazeUtil() to solve the problem.
It returns false if no path is possible,
otherwise return true and prints the path
in the form of 1s. Please note that there
may be more than one solutions, this
function prints one of the feasible
solutions.*/
bool solveMaze(int maze[N][N])
{
int sol[N][N] = { { 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 0, 0, 0 },
{ 0, 0, 0, 0 } };
if (solveMazeUtil(
maze, 0, 0, sol)
== false) {
printf("Solution doesn't exist");
return false;
}
printSolution(sol);
return true;
}
/* A recursive utility function
to solve Maze problem */
bool solveMazeUtil(
int maze[N][N], int x,
int y, int sol[N][N])
{

12. // if (x, y is goal) return true
if (
x == N - 1 && y == N - 1
&& maze[x][y] == 1) {
sol[x][y] = 1;
return true;
}
// Check if maze[x][y] is valid
if (isSafe(maze, x, y) == true) {
// Check if the current block is already part of solution path.
if (sol[x][y] == 1)
return false;
// mark x, y as part of solution path
sol[x][y] = 1;
/* Move forward in x direction */
if (solveMazeUtil(
maze, x + 1, y, sol)
== true)
return true;
/* If moving in x direction
doesn't give solution then
Move down in y direction */
if (solveMazeUtil(
maze, x, y + 1, sol)
== true)
return true;
/* If moving in y direction
doesn't give solution then
Move back in x direction */
if (solveMazeUtil(
maze, x - 1, y, sol)
== true)
return true;
/* If moving backwards in x direction
doesn't give solution then
Move upwards in y direction */
if (solveMazeUtil(
maze, x, y - 1, sol)
== true)
return true;

13. /* If none of the above movements
work then BACKTRACK: unmark
x, y as part of solution path */
sol[x][y] = 0;
return false;
}
return false;
}
// driver program to test above function
int main()
{
int maze[N][N] = { { 1, 0, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 1 },
{ 0, 1, 0, 0 },
{ 1, 1, 1, 1 } };
solveMaze(maze);
return 0;
}
3. El problema del tour del caballo
Planteamiento del problema:
Dado un tablero N * N con el Caballo colocado en el primer bloque de un tablero
vacío. Moverse de acuerdo con las reglas del caballo de ajedrez debe visitar cada
casilla exactamente una vez. Imprime el orden de cada celda en la que se visitan.
Ejemplo:
Aporte:
N = 8
Producción:
0 59 38 33 30 17 8 63
37 34 31 60 9 62 29 16
58 1 36 39 32 27 18 7
35 48 41 26 61 10 15 28
42 57 2 49 40 23 6 19
47 50 45 54 25 20 11 14
56 43 52 3 22 13 24 5
51 46 55 44 53 4 21 12
El camino que siguió el caballero para cubrir todas las celdas.
A continuación se muestra un tablero de ajedrez con 8 x 8 celdas. Los números en
las celdas indican el número de movimiento del Caballero.

14. // C++ program for Knight Tour problem
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 8
int solveKTUtil(int x, int y, int movei, int sol[N][N],
int xMove[], int yMove[]);
/* A utility function to check if i,j are
valid indexes for N*N chessboard */
int isSafe(int x, int y, int sol[N][N])
{
return (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N
&& sol[x][y] == -1);
}
/* A utility function to print
solution matrix sol[N][N] */
void printSolution(int sol[N][N])
{
for (int x = 0; x < N; x++) {
for (int y = 0; y < N; y++)
cout << " " << setw(2) << sol[x][y] << " ";
cout << endl;
}
}
/* This function solves the Knight Tour problem using
Backtracking. This function mainly uses solveKTUtil()
to solve the problem. It returns false if no complete
tour is possible, otherwise return true and prints the
tour.
Please note that there may be more than one solutions,

15. this function prints one of the feasible solutions. */
int solveKT()
{
int sol[N][N];
/* Initialization of solution matrix */
for (int x = 0; x < N; x++)
for (int y = 0; y < N; y++)
sol[x][y] = -1;
/* xMove[] and yMove[] define next move of Knight.
xMove[] is for next value of x coordinate
yMove[] is for next value of y coordinate */
int xMove[8] = { 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2 };
int yMove[8] = { 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1 };
// Since the Knight is initially at the first block
sol[0][0] = 0;
/* Start from 0,0 and explore all tours using
solveKTUtil() */
if (solveKTUtil(0, 0, 1, sol, xMove, yMove) == 0) {
cout << "Solution does not exist";
return 0;
}
else
printSolution(sol);
return 1;
}
/* A recursive utility function to solve Knight Tour
problem */
int solveKTUtil(int x, int y, int movei, int sol[N][N],
int xMove[N], int yMove[N])
{
int k, next_x, next_y;
if (movei == N * N)
return 1;
/* Try all next moves from
the current coordinate x, y */
for (k = 0; k < 8; k++) {
next_x = x + xMove[k];
next_y = y + yMove[k];
if (isSafe(next_x, next_y, sol)) {
sol[next_x][next_y] = movei;

16. if (solveKTUtil(next_x, next_y, movei + 1, sol,
xMove, yMove)
== 1)
return 1;
else
// backtracking
sol[next_x][next_y] = -1;
}
}
return 0;
}
// Driver Code
int main()
{
// Function Call
solveKT();
return 0;
}
Vuelta atrás o Backtracking para la enumeración
El problema de la enumeración consiste en encontrar todas las soluciones del problema, es
por ello que tendremos que recorrer el árbol de estados al completo.
Algoritmo de Backtracking para la enumeración:
proc Bactracking Enum(↕X[1 . . . i ]: TSolución, ↑num: N)
variables L: ListaComponentes
inicio
si EsSolución (X) entonces num num+1
EscribeSolución (X)
en otro caso
L Candidatos (X)
mientras ¬Vacía (L) hacer
X[i + 1] Cabeza (L); L Resto (L)
BacktrackingEnum (X, num)
finmientras
finsi
fin

17. Aplicaciones
Vuelta atrás se usa en la implementación de los lenguajes de programación tales
como Lenguaje de programación Planner y Prolog. Además, se usa en los análisis
sintácticos de los compiladores. Su uso en inteligencia artificial ha sido muy
importante, dando lugar a nuevos tipos de búsquedas como el A estrella.
Branch & Bound (Ramificación y poda).
Este método busca una solución como en el método de backtracking, pero cada solución
tiene asociado un costo y la solución que se busca es una de mínimo costo llamada
óptima. Además de ramificar una solución padre (branch) en hijos se trata de eliminar
de consideración aquellos hijos cuyos descendientes tienen un costo que supera al
óptimo buscado acotando el costo de los descendientes del hijo (bound). La forma de
acotar es un arte que depende de cada problema. La acotación reduce el tiempo de
búsqueda de la solución óptima al "podar" (pruning) los subarboles de descendientes
costosos.