Tecnica yupana matematicas

Guía de uso de la Calculadora y Yupana Inka en la enseñanza de la matemática.
Miguel Ángel Pinto Tapia 1
Guía de uso de la Calculadora y
Yupana Inka en la enseñanza de
la Matemática
Autor ©
Miguel Ángel Pinto Tapia

Presentación
La Yupana Inka es parte del patrimonio cultural del mundo andino, un legado de la cultura Inka que
todo peruano debe poner en puesta en valor y uso como parte del enriquecimiento cultural de los
ciudadanos, incorporar en los procesos de la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
La nueva concepción del docente como facilitador del aprendizaje ha hecho necesario que este sea
capaz de crear estrategias que permitan garantizar el éxito del proceso de enseñanza –
aprendizaje y, en ese sentido, el uso de materiales educativos adquiere singular importancia, pues,
como se sabe, el material educativo es el material físico que sirve como instrumento de apoyo para
el proceso de enseñanza – aprendizaje y mediar procesos cognitivos.
Son materiales educativos todos aquellos elementos que son utilizados durante el proceso de
enseñanza – aprendizaje y sirven de apoyo para generar los aprendizajes propuestos.
La Yupana Inka constituye un material educativo por excelencia en el desarrollo del pensamiento
numérico y desde el punto de vista de la didáctica, permite al docente generar interacciones con
mayor pertinencia cultural y pedagógica.
La Obra Titulada Calculadora y Yupana Inka en la enseñanza de la matemática es resultado de
años de experiencia de ir hurgando en el tema y poner en práctica en el aula durante más de cinco
años de trabajo pedagógico con docentes y alumnos y alumnas, con excelentes resultados que
espero sirva como una guía para ir incorporando en el trabajo de aula y así poner en valor las
sabiduría andina en el tema del aprendizaje de la matemática.
Atentamente
Miguel Ángel Pinto Tapia

Índice
Pág.
1. Calculadora Inka.............................................................................................................. 4
1.1. Origen............................................................................................................................ 4
1.2. Estructura de la Calculadora Inka............................................................................. 6
1.3. Valor simbólico de la Calculadora Inka.................................................................. 10
1.4. Elaboración de la Calculadora Inka........................................................................ 11
1.5. La Calculadora Inka y los contenidos curriculares del II y III ciclo. ................... 13
1.5.1. Construcción de la noción de número................................................................. 13
1.1.1. Representación de números naturales........................................................ 20
1.1.2. Numeración ascendente................................................................................. 23
1.1.3. Numeración descendente .............................................................................. 26
1.1.4. Contar números en la Calculadora Inka ...................................................... 30
1.1.5. Operaciones básicas....................................................................................... 33
1.1.5.1. La adición sin llevar ................................................................................. 33
1.1.5.2. La adición llevando .................................................................................. 36
1.1.5.3. La sustracción sin prestar....................................................................... 40
1.1.5.4. La sustracción prestando........................................................................ 42
1.1.5.5. Multiplicación............................................................................................. 45
1.1.5.6. División....................................................................................................... 48
2. Yupana Inka del dibujo de Felipe Guamán Poma de Ayala para IV y V Ciclos.. 50
2.1. Estructura de la Yupana Inka para trabajar números naturales...................... 54
2.2. Representación de números naturales........................................................ 55
2.3. Operaciones básicas....................................................................................... 58
2.3.1. La adición .................................................................................................. 58
2.3.2. La sustracción........................................................................................... 64
2.3.3. La multiplicación....................................................................................... 70
2.3.4. La división.................................................................................................. 78
2.4. Representación de números decimales. ..................................................... 80
3. Actividades pedagógicas con uso de la Calculadora y Yupana Inka. .................. 84
3.1. ACTIVIDAD N° 1: FORMAMOS UNA DECENA (NIVEL BÁSICO)......... 84
3.2. ACTIVIDAD N° 2: FORMAMOS UNA CENTENA (Nivel básico)............. 87
3.3. ACTIVIDAD N° 3: FORMAMOS UNA UNIDAD DE MILLAR (NIVEL
AVANZADO)................................................................................................................... 90
3.4. ACTIVIDAD N° 4: FORMAMOS UNA DECENA DE MILLAR (NIVEL
AVANZADO)................................................................................................................... 93
3.5. ACTIVIDAD N° 5: JUGAMOS AL TABLERO VACÍO ................................ 96
3.6. ACTIVIDAD N° 6: ADIVINAMOS NÚMEROS............................................. 99
3.7. ACTIVIDAD N° 7: BUSCANDO PAREJAS ............................................... 101
3.8. ACTIVIDAD N° 8: EL MÁS RÁPIDO GANA.............................................. 103
3.9. ACTIVIDAD N° 9: EL BINGO MATEMÁTICO........................................... 105
3.10. ACTIVIDAD N° 10: EL TABLERO DEL 100.............................................. 108
3.11. ACTIVIDAD N° 11: EL DOMINÓ DE NÚMEROS .................................... 110
3.12. ACTIVIDAD N° 13: EL MAYOR GANA...................................................... 115
3.13. ACTIVIDAD N° 14: USANDO LAS TIRAS OPERATIVAS...................... 117
3.14. ACTIVIDAD N° 15: DIVIDIENDO Y GANANDO....................................... 119
3.15. ACTIVIDAD N° 16: CRUZARESTAS ......................................................... 121
3.16. ACTIVIDAD N° 17: RULETA MULTIPLICATIVA...................................... 123
4. Bibliografía y referencias............................................................................................ 126

GUÍA DE USO DE LA CALCULADORA Y YUPANA
INKA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
1. Calculadora Inka
1.1. Origen
La Yupana Inka en piedra es la que se muestra en la siguiente fotografía.
Se usó en todo el Tahuantinsuyo. Existen vestigios en arcilla, madera y
piedra. Durante más de 500 años ha cautivado la atención de investigadores de
todas las ramas como educadores, historiadores, arqueólogos, matemáticos,
filósofos, antropólogos, etc. Sin embargo, no lograron descifrar el modelo
matemático que subyace a ella, pero lo indiscutible, es que era un instrumento de
cálculo que utilizaron los Khipukamayuq de cada provincia para registrar en los
khipus las cosechas, crianza de animales, censos poblacionales, caminos, casas,
centros ceremoniales, etc.

En el año 2003, en Florencia, Italia, en un evento denominado "Perú, 3000
años de obras maestras", Nicolino De Pasquale, profesor italiano de ingeniería
reveló al mundo que la Yupana Inka es instrumento de cálculo multibase donde
se desarrolla desde el sistema binario hasta el sistema cuadragesimal y con
posibilidades de incrementarse en forma geométrica e infinita semejante a los
sistemas de cálculo en que se basan los procesadores de las computadoras, por
lo que lo bautizó con el nombre de “Calculadora Inka” (Nicolino De Pasquale,
2003).
El 27 de mayo de 1995, en la ciudad de Chicago, Estado de Illinois, en
EE.UU.; en la XI Convención de Instituciones Peruanas en los EE. UU. y
Canadá, la arqueóloga e historiadora Dra. Gail P. Silverman, ofreció una
conferencia con el título: "Conocimiento Tradicional Peruano: Sus Implicancias
para un Nuevo Perú" en la que confirmó que el código de barras que se usa
actualmente para ser leído por las computadoras, tiene una gran similitud con los
Khipus incaicos. El ancho de las líneas del código computarizado de barras, tiene
cierta analogía, con el grosor de los hilos y colores de los khipus.
La Yupana y el Khipu son instrumentos de cálculo y registro que muestran la
grandeza y sabiduría de la civilización inca que debe ponerse en puesta en valor
e incorporarse en la escuela en la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
Por cuestiones didácticas asumiremos la denominación de “Calculadora Inka”
a la Yupana Inka en piedra para diferenciar de la Yupana Inka dibujada por
Felipe Guamán Poma de Ayala que desarrollaremos en la segunda parte de este
documento.

1.2. Estructura de la Calculadora Inka
La Calculadora Inka tiene 21 divisiones de
diferentes áreas. Las 15 divisiones externas
sombreadas que rodean las divisiones internas en
forma de u tienen un área estándar, cuadrados. Las
6 divisiones internas son de diferentes áreas. Las 2
áreas finales de la parte superior están en un
desnivel 2 cm en relación a las otras divisiones, es
decir, tienen una altura de 6 cm. El tamaño de la
Calculadora Inka o Yupana Inka en piedra tiene un
área promedio estándar de 20x30cm y de un espesor de 4cm.
La Calculadora Inka tiene dos áreas con diferentes funciones: el área de
cálculo y el área de registro.
El área de cálculo de la Calculadora Inka
descifrada por Nicolino De Pasquale es un área
donde se realiza operaciones básicas de cálculo y
tiene un valor numérico de 1, 2, 3, 5. El valor
numérico de cada división es estándar y se
representa sólo con una sola cuenta. En el sistema
decimal, los números 6 se obtienen por la suma de
5+1 ó 3+3, ó 3+2+1, el 7 es resultado de la suma de
5+2, el 8 es resultado de la suma de 5+3 ó 5+2+1; el 9 es resultado de la suma
5+3+1 ó 5+2+2. El área de cálculo es una sucesión numérica que puede
incrementarse infinitamente para desarrollar bases numéricas de mayor
complejidad.
El área de registro del lado derecho es para representar números naturales
desde la unidad hasta las unidades de millón. El área de registro del lado

izquierdo es para representar decimales desde los décimos hasta los centésimos
millonésimos. Las áreas de registro también pueden incrementarse de manera
infinita.
La estructura de la Calculadora Inka se detalla en el siguiente gráfico:
La Calculadora Inka ha desarrollado un vocabulario amplio para nombrar los
números, es así que en algunas comunidades campesinas de la región Cusco,
Puno y Apurímac existen terminologías quechuas para nombrar los números
naturales, el valor posicional de los números naturales y decimales, lo cuales se
detallan en el gráfico y cuadros siguientes:
Centésimo
Milésimo
Décimo milésimo
Centésimo milésimo
Décimo Millonésimo /
i
Centésimo millonésimo
Décimo
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena
Decena
Unidad
Área de registro
Área de registro

Las terminologías quechuas para nombrar el valor posicional de los números naturales se
detalla en el siguiente cuadro:
Valor posicional de números naturales
Yupaykuna/ Números Yupaykuna Valor posicional
1 Sapankuna Unidad
10 Chunkakuna Decena
100 Pachakkuna Centena
1 000 Sapanka waranqakuna Unidad de millar
10 000 Chunka waranqakuna Decena de millar
100 000 Pachak waranqakuna Centena de millar
1 000 000 Sapan hunukuna Unidad de millón
10 000 000 Chunka hunukuna Decena de millón
100 000 000 Pachak hunukuna Centena de millón
1 000 000 000 Sapan waranqa hunukuna Unidad millar de millón
10 000 000 000 Chunka waranqa hunukuna Decena de millar de millón
100 000 000 000 Pachak waranqa hunukuna Centena de millar de millón
1000 000 000 000 Sapan llunakuna Unidad de billón
10 000 000 000 000 Chunka llunakuna Decena de billón
100 000 000 000 000 Pachak llunakuna Centena de billón
1 000 000 000 000 000 Sapan Waranqa llunakuna Unidad de millar de billón
10 000 000 000 000 000 Chunka waranqa llunakuna Decena de millar de billón
100 000 000 000 000 000 Pachak waranqa llunakuna Centena de millar de billón
Pachakchasqa
Waranqachasqa
Chunka
waranqachasqa
Pachak
Waranqachasqa
Chunka
hunuchasqa
Pachak hunuchasqa
Chunkachasqa
Sapan hunu
Pachak waranqakuna
Chunka Waranqakuna
Sapan Warankuna
Pachakkuna
Chunkakuna
Sapankuna
Mana Kaq Yupana Kaq Yupana

Las terminologías quechuas para nombrar los números naturales se detalla en el siguiente
cuadro:
Yupaykuna / Números
Yupaykuna / Números Qhiswa Castellano
0 Ch’usaq Cero
1 Huk Uno
2 Iskay Dos
3 Kinsa Tres
4 Tawa Cuatro
5 Pichqa Cinco
6 Surta Seis
7 Qanchis Siete
8 Pusaq Ocho
9 Isqun Nueve
10 Chunka Diez
11 Chunka hukniyuq Once
12 Chunka iskayniyuq Doce
13 Chunka kinsayuq Trece
14 Chunka tawayuq Catorce
15 Chunka pichqayuq Quince
16 Chunka suqtayuq Dieciséis
17 Chunka qanchisniyuq Diecisiete
18 Chunka pusaqniyuq Dieciocho
19 Chunka isquniyuq Diecinueve
20 Iskaychunka Veinte
30 Kinsa Chunka Treinta
40 Tawa chunka Cuarenta
50 Pichqa chunka Cincuenta
60 Suqta Chunka Sesenta
70 Qanchis chunka Setenta
80 Pusaq chunka Ochenta
90 Isqun chunka Noventa
100 Pachak Cien
200 Iskay pachak Doscientos
300 Kinsa pachak Trescientos
400 Tawa pachak Cuatrocientos
500 Pichqa pachak Quinientos
600 Suqta pachak Seiscientos
700 Qanchis pachak Setecientos
800 Pusaq pachak Ochocientos
900 Isqun pachak Novecientos
1 000 Waranqa Mil
10 000 Chunka waranqa Diez mil
100 000 Pachak waranqa Cien mil
1 000 000 Hunu Millón
10 000 000 Chunka hunu Diez millones
100 000 000 Pachak hunu Cien millones
1 000 000 000 Waranqa hunu Mil millones
10 000 000 000 Chunka waranqa hunu Diez millares de millón
100 000 000 000 Pachak waranqa hunu Cien millares de millón
1000 000 000 000 Lluna Billón
10 000 000 000 000 Chunka lluna Diez billones
100 000 000 000 000 Pachak lluna Cien billones
1 000 000 000 000 000 Waranqa lluna Millar de billones
10 000 000 000 000 000 Chunka waranqa lluna Diez millares de billón
100 000 000 000 000 000 Pachak waranqa lluna Cien millares de billón

Las terminologías quechuas para nombrar el valor posicional de los números decimales se
detalla en el siguiente cuadro:
Números decimales
Yupaykuna/ Números Yupaykuna Valor psocional
0.1 Chunkachasqa Decimo
0. 01 Pachakchasqa Centésimo
0.001 Sapanka waranqachasqa Milésimo
0. 0 001 Chunka waranqachasqa Décimo milésimo
0. 00 001 Pachak waranqachasqa Centésimo milésimo
0.000 001 Sapan hunuchasqa Millonésimo
0.0 000 001 Chunka hunuchasqa Decimo millonésimo
0.00 000 001 Pachak hunuchasqa Centésimo millonésimo
0. 000 000 001 Sapan waranqa hunuchasqa Milésimo millonésimo
0.0 000 000 001 Chunka waranqa hunuchasqa Decimo milésimo millonésimo.
0.00 000 000 001 Pachak waranqa hunuchasqa Centésimo milésimo millonésimo.
0.000 000 000 001 Sapan llunachasqa Billonésimo
0.0 000 000 000 001 Chunka llunachasqa Décimo billonésimo
0.00 000 000 000 001 Pachak llunachasqa Centésimo billonésimo.
0. 000 000 000 000 001 Sapan Waranqa llunachasqa Milésimo billonésimo.
0.0 000 000 000 000 001 Chunka waranqa llunachasqa Décimo milésimo billonésimo
0.00 000 000 000 000 001 Pachak waranqa llunachasqa Centésimo milésimo billonésimo.
1.3. Valor simbólico de la Calculadora Inka
La Yupana Inka en piedra, ahora denominada Calculadora Inka, en la
cosmovisión andina tiene un significado dual y holístico.
El lado derecho e izquierdo de las áreas de registro y de cálculo representa el
pensamiento dual del mundo andino, es decir, que en el mundo andino, todo
tiene su par opuesto y complementario a la vez, así, la mujer es opuesto y
complemento del varón; la carencia es opuesto y complemento a la abundancia,
la vida es opuesto y complemento a la muerte, la noche es opuesto y
complemento al día, la luna es opuesto y complemento al sol, la Pachamama es
opuesto y complemento a los Apus, lo negativo es opuesto y complemento a lo
positivo y en todos los casos son partes constitutivas de una misma totalidad
representado por el número uno, en el cual confluyen y parten todos. En el
mundo andino nada es fatalidad, todo es parte de los ciclos de la vida que hay
saber disfrutar y acompañar el nacimiento y regeneración de la vida.
El número uno representa el pensamiento holístico del mundo andino, pues el
uno es la Pacha, la totalidad que engloba lo positivo y lo negativo, que integra las

partes indesligables de la totalidad, donde no hay principio ni fin, ni alfa ni omega.
La vida es uno constituido por todos., por ello, la única patria del runa andino es
la Pacha, una Pacha sin límites ni fronteras, un mundo abierto a la vida en
perpetua regeneración.
1.4. Elaboración de la Calculadora Inka
La Yupana Inka se puede elaborar en arcilla, piedra, madera, triplay, cartón
prensado, cartón cartolina, etc. Las fichas o cuentas pueden ser chapas,
botones, semillas del árbol de suylluku, eucalipto, etc, .
En la cosmovisión andina las semillas son personas vivas que tienen
sentimientos, son consideradas como madres criadoras de la vida y forman parte
del gran ayllu de la Pacha.

En la comunidades campesinas los maíces son llamadas “Mama Sara”
(Madre Maíz), las papas “Mama Papa”(Madre Papa), por lo mismo no podemos
usar semillas comestibles como cuentas para contar en la Calculadora Inka.
La dimensiones de la Calculadora Inka, debe ser de 25 x 30 cm de área total
y los cuadrados que rodean el área de cálculo deben medir 5 x 5 cm y con altura
máximo de 4cm y mínimo de 2cm. Podrían fabricarse en plástico multicolor.
El valor posicional del área de registro de la Calculadora Inka se debe
diferenciar con los colores de la bandera del Tawantinsuyu.
Yupana Inka adaptado para el nivel escolar

Se ha resaltado 9 círculos en cada división del área de registro tanto del lado
derecho como del izquierdo con el objetivo de alertar a los niños y niñas, que
sólo pueden contener nueve cuentas y si pasa más de nueve se debe realizar el
canje inmediato de diez unidades por una decena, de diez decenas por una
centena, de diez centenas por unidad de millar, de diez unidades de millar por
una decena de millar, etc. En el caso de los decimales, diez décimos por un
centésimo, diez centésimos por un milésimo, etc.
1.5. La Calculadora Inka y los contenidos curriculares del II y III ciclo.
La Calculadora Inka se puede utilizar desde el nivel de educación Inicial del II
ciclo hasta el nivel de Educación Superiror. Sin embargo, las áreas de registro
permite construir la noción de número, operaciones básicas de adición y
sustracción, multiplicación y división desde II ciclo de Educación Inicial
haciendo uso de cuentas de diversos tipos de objetos, en el contexto de la
resolución de problemas.
1.5.1. Construcción de la noción de número
Es recomendable que el niño y la niña representen cantidades de uno en
uno, dos en dos, tres en tres, cuatro en cuatro, cinco en cinco, seis en seis,
siete en siete, ocho en ocho, nueve en nueve en las área de registro de la
Yupana sin necesidad de conocer o relacionar aún con el numeral 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. Lo fundamental en esta parte, es que el niño y la niña sea capaz
de identificar, señalar el número de objetos por la noción de número que
menciona. Por ejemplo, para la noción del número dos, el niño o la niña debe
ser capaz de mostrar o señalar dos caballos, dos ovejas, dos perros, dos cuy,
dos alpacas, etc., y lo represente luego con piedritas, rayas. Veamos los
siguientes ejemplos:

Uno en uno
Un conjunto de objetos ordenamos de uno en uno en el casillero del área de
registro de la Calculadora Inka:
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener un
solo objeto, persona o cosa? Los niños podrían responder, que una silla está
diseñada para una sola persona, que el asiento del chofer es para una sola
persona, que existen cajitas para contener un solo objeto, como el jabón, la
crema dental, el cepillo de dientes o que tiene una cabeza, una nariz, una
boca, etc. o que pueden señalar un solo objeto de un conjunto de elementos.
En conclusión, un niño tiene la noción de número uno cuando puede señalar
un objeto cualquiera de su entorno. Es recomendable no pasar al número dos
u otros números mayores, si el niño no ha desarrollado esta destreza o
habilidad de noción del número uno.

Dos en dos
Un conjunto de objetos ordenamos de dos en dos en el casillero del área de
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener dos
objetos, personas o cosas? Los niños podrían responder que tienen dos ojos,
dos fosas nasales, dos orejas, dos pies, dos manos, dos brazos o que tienen
una chompa con dos mangas, un lentes con dos lunas, un auricular con dos
audios, un asiento para dos personas, una capa de dos plazas, una casa con
dos ventanas o que pueden contar dos objetos de un conjunto de objetos.
Acto seguido podemos complementar con dibujos de los objetos.
En conclusión, el niño y la niña tiene la noción del número dos cuando puede
señalar dos objetos de su entorno, sean estas animales, personas, piedritas,
etc., sólo entonces podremos pasar al número tres.

Tres en tres
Un conjunto de objetos ordenamos de tres en tres en el casillero del área de
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener tres
objetos, personas o cosas? Los niños podrían responder que tienen una
chompa con tres huecos, uno para el tronco y los brazos; que tienen un
perchero de pared para colgar tres sacos; que tienen una silla de tres patas;
que tienen sofá donde pueden sentarse tres personas, que tiene una mesa
triangular donde puede escribir tres personas, o simplemente, que pueden
contar tres objetos de un conjunto de objetos. Complementar esta actividad
con diferentes actividades de estimulación temprana en la construcción de
número. Acto seguido podemos complementar con dibujos de los objetos.
En conclusión, el niño y la niña tiene la noción del número tres cuando puede
señalar tres objetos de su entorno, sean estas animales, personas, piedritas,
etc, sólo entonces podremos pasar al número cuatro.

Cuatro en cuatro
Un conjunto de objetos ordenamos de cuatro en cuatro en el casillero del área
de registro de la Calculadora Inka:
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener
cuatro objetos, personas o cosas? Los niños podrían responder que tienen un
mesa para cuatro sillas, que una mesa tiene cuatro esquinas, que su
habitación tiene cuatro rincones, que su libro de cuentos tiene cuadro lados,
que su ropero tiene cuatro cajas, que su caballo tiene cuatro patas, que su
cuy tiene cuatro patas, que la mesa de su casa tiene cuatro patas, que la
combi donde viaja tiene cuatro ruedas o que es capaz de contar cuatro
objetos de un conjunto de objetos. Complementar esta actividad con
diferentes actividades de estimulación temprana en la construcción de
número. Acto seguido podemos complementar con dibujos de los objetos.
En conclusión, el niño y la niña tiene la noción del número cuatro cuando
puede señalar cuatro objetos de su entorno, sean estas animales, personas,
piedritas, etc., sólo entonces podremos pasar al número cinco.

Cinco en cinco
Un conjunto de objetos ordenamos de cinco en cinco en el casillero del área
de registro de la Yupana:
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener cinco
objetos, personas o cosas? Los niños podrían responder que tienen cinco
dedos en la mano, cinco dedos en los pies, o que tienen una quena de cinco
orificios, que la estrella de Belén tiene cinco aristas o puntas, que en su aula
hay cinco mesas o que son capaces de mostrar o señalar cinco panes, cinco
piedritas, cinco lapiceros, etc.
En conclusión, el niño y la niña tiene la noción del número cinco cuando
puede señalar cinco objetos de su entorno, sean estas animales, personas,
piedritas, etc., sólo entonces podremos pasar al número seis.

Seis en seis
Un conjunto de objetos ordenamos de seis en seis en el casillero del área de
Reflexionamos, ¿Qué objetos conocen que está diseñado para contener seis
objetos, personas o cosas? Los niños podrían responder que tienen una caja
donde quepa seis botellas, que tienen una mesa familiar para seis personas,
que tienen un carro de seis llantas, que tienen un ropero de cajas, un
perchero para colgar seis chompas o que pueden contar seis huevos de un
conjunto de huevos; seis piedras de un conjunto de piedras; seis lapceros de
un conjunto de seis lapiceros. Acto seguido podemos complementar con
dibujos de los objetos.
En conclusión, el niño y la niña tiene la noción del número seis cuando
puede señalar seis objetos de su entorno, sean estas animales, personas,
piedritas, etc., sólo entonces podremos pasar al número siete y así
sucesivamente hasta el nueve.
La numeración mecánica por repetición de números no forma el pensamiento
numérico.

1.1.1. Representación de números naturales.
Para representar los números naturales de una cifra a más es importante
explicar a los niños y niñas el valor posicional de las Yupana, el área de
cálculo, es decir, el área donde realizan operaciones básicas de suma y resta,
. Así los niños y niñas, cuando representen los números, tomaran conciencia
de su valor posicional de manera permanente.
Para el II y III ciclo señalas, explicitar el valor posicional hasta el orden las
decenas, para representar números naturales de 0 a 99.

Número uno y cuatro
Para representar el número uno es
importante colocar una cuenta en el
casillero de las unidades del área de
registro.
Para representar el número cuatro es
importante colocar cuatro cuentas en
el casillero de las unidades del área
de registro.
Número cinco y nueve
Para representar el número uno es
importante colocar una cuenta en el
casillero de las unidades del área de
registro y relacionar con su
correspondiente numeral, es decir el 1.
Para representar el número cuatro es
importante colocar cuatro cuentas en
el casillero de las unidades del área
de registro y relacionar con su
correspondiente numeral, es decir el
4.

La lectura de números de dos dígitos es cruzado, de derecha a izquierda.
Número diez y quince
Para representar el número diez,
realizará canjes de diez unidades por
una decena o simplemente contar 9
diez y colocar una cuenta en el
casillero de las decenas y quitar la
totalidad de unidades.
Para representar el número quince
conservar una cuenta en el casillero
de las decenas y luego contar cinco
cuentas en el casillero de las
unidades.
Número ochenta y seis; noventa y nueve
Para representar el número ochenta y
seis es importante colocar seis cuentas
en el casillero de las unidades y ocho
cuentas en el casillero de las decenas
del área de registro.
Para representar el número noventa y
nueve es importante colocar nueve
cuentas en el casillero de las
unidades y nueve cuentas en el
casillero de las decenas del área de
registro.

1.1.2. Numeración ascendente
Sobre la base del trabajo anterior de la noción del número, se pasa a
relacionar la noción de número con su respectivo numeral y aprender a contar
en forma ascendente. El niño y la niña tienen que diferenciar entre el número
y numeral. El número es la idea, noción que representa una cantidad, en
cambio, el numeral es el símbolo, el código con el cual se representa el
número, similar a la relación del fonema y la grafía. Por ello, es sumamente
importante desarrollar el concepto de número que sólo reconocer, dibujar el
numeral.
Los niños y niñas deben comprender que existe varias formas de contar en
forma ascendente sumando en uno, dos en dos, tres en tres, cuatro en cuatro
y reflexionar permanentemente, ¿cuántas unidades hay en nueve?, ¿cuántos
dos hay en nueve?, ¿cuántos tres hay en nueve?, ¿cuántos cuatros hay en
nueve?, ¿qué parte representa el tres del nueve?, ¿qué parte representa el
dos del ocho?, ¿qué parte representa el 4 del ocho?, ¿en cuánto es mayor el
ocho del cuatro?, ¿en cuanto es menor el cuatro del ocho?, etc. Cuánto más
se interrogue al niño y la niña sobre estas cuestiones ayudaremos a
desarrollar el pensamiento numérico y el lenguaje matemático.
Por otra parte, cuando se cuenta en forma ascendente los niños y niñas
deben tomar conciencia del número anterior y posterior; es decir, responder a
preguntas como, ¿cuál es el número que le antecede a 5?, ¿cuál es el
número que le sigue al número 5?, ¿Qué números están en medio de 5 y 8?,
¿qué números son el doble, triple de otros números?, etc. A continuación
veamos algunos ejemplos de sucesión de números ascendentes.

Números ascendentes de uno en uno hasta nueve:

Números ascendentes de dos en dos hasta ocho
Números ascendentes de tres en tres hasta nueve

1.1.3. Numeración descendente
La numeración en forma descendente de 9 a 1 no debe ser un acto
mecánico y memorístico, sino realmente el niño y la niña deben demostrar el
número de objetos con su correspondiente numeral. Conviene contar en
forma descendente de de uno en uno de 3 a 1, 4 a1, 5 a 1, 6 a 1, 7 a 1, 8ª 1, 9
a 1; de dos en dos de 8 a 0, de tres en tres de 9 a 0, de 4 en 4 de 8 a 0.
De 3 a 1
De 6 a 1

De 9 a 1

De dos en dos de 8 a 0

De tres en tres de 9 a 3
De cuatro en cuatro de 8 a 0
En conclusión de esta parte, debemos alertar, que los niños y niñas van
descubren el número antecesor por sustracción de uno, dos, tres, cuatro.

1.1.4. Contar números en la Calculadora Inka
Contar unidades de 1 a 9
Una vez que los niños y niñas hayan adquirido destrezas en la
representación de números naturales de 1 a 9, empezar a representar
números naturales de 1 a 9 en el área del cálculo de la Calculadora Inka con
su correspondiente registro de cantidades en el área de registro del lado
derecho.
Una regla básica es que no se puede poner dos fichas en las divisiones del
área de cálculo, sólo una cuenta.
El niño y la niña deben darse cuenta que el número 3 es la suma de 2 + 1; 4
es la suma de 2 + 2 ó 3+1; 6 es la suma de 5 + 1 ó 3+3; 7 es la suma de
5+2; 8 es la suma de 5+3 ó 5+1+2; 9 es la suma de 5+2+2.
Cuando representamos números en el área de cálculo, simultáneamente se
debe ir registrando las cantidades en el área de registro.
Cuando se llega contar 5+5 = 10, se debe realizar el canje de diez unidades
por una decena, diez decenas por una centena, diez centenas por unidad de
milla, diez unidades de millar por una decena de millar. Veamos algunos
ejemplos:

Numeración del 1 a 9 en el área de cálculo de la Calculadora Inka:

Cuando uno llega contar diez, es decir, 5+5, se debe realizar los canjes
correspondientes por una decena.
Representamos el número 10 en el área cálculo, es decir, colocamos una
ficha en los dos cincos, para sumar 5+5 y luego realizar el canje de diez
unidades por una decena.
En el área de Cálculo se va ir contando unidades, decenas, centenas,
unidades de millar, decenas de millar y cada vez que se llega a 5+5, se debe
realizar el canje inmediato por el valor posicional que corresponda en el
momento de la numeración o conteo.
Realizar el
canje de 10
unidades por
una decena.

1.1.5. Operaciones básicas
1.1.5.1. La adición sin llevar
Una vez que los niños y niñas tengan la destreza para contar en el área de
cálculo de la Calculadora Inka, realizar canjes y registrar resultados, está
capacitado para realizar operaciones aditivas de dos sumandos.
Una condición básica, es que los niños deben representar el primer
término o sumando en el lado izquierdo del área de cálculo y el segundo
término o sumando en el lado derecho, luego, analizar y realizar canjes de
2+1 por 3; 2+3 por 5; 2+2+1 por 5; 5+5 por 10; 5+3+2 por 10 y registrar la
suma total en el área de registro de la Calculadora Inka.
Es importantes que los niños y niñas resuelvan la siguientes adiciones con el
uso de la Calculadora Inka:
1+1; 1+2; 1+3; 1+4; 1+5; 1+6; 1+7; 1+8;
2+1; 2+2; 2+3; 2+4; 2+5; 2+6;
3+1; 3+2; 3+3; 3+4; 3+5;
4+1; 4+2; 4+3; 4+4; 4+5;
5+1; 5+2; 5+3; 5+4;
6+1; 6+2; 6+3;
7+1; 7+2;
8+1, etc.
9+0
Veamos algunos ejemplos:

Sumar 1+2
Primero representamos el
primer sumando e
inmediatamente ponemos
cuentas en el casillero de
las unidades.
Segundo, representamos
el segundo sumando e
inmediatamente
agregamos cuentas en el
casillero de las
unidades,
Tercero, retiramos las
cuentas del área de
registro y contamos el
número de cuentas que
se ha reunido, en este
caso, 1+2 es igual a 3.
Sumar 2+3
primer sumando e
las unidades.
inmediatamente
casillero de las
unidades,

Sumar 6+3
primer sumando e
las unidades.
inmediatamente
casillero de las
unidades,
Sumar 4+2
primer sumando e
las unidades.
inmediatamente
casillero de las
unidades,

1.1.5.2. La adición llevando
Para realizar adiciones de dos a más dígitos es importante sumar unidades
con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas e ir obteniendo
sumas parciales hasta obtener una suma total.
En la Calcula Inka se realizan canjes 5+5 por una decena, 2+3 por 5, 1+2 por
3, 1+1 por 2; en lo posible conviene quedar con el menor número de cuentas
en el área de cálculo.
Veamos algunos ejemplos:

Sumar 35+27
Primero representamos las
unidades del primer y
segundo sumando.
Segundo, realizamos los
canjes de unidades por
una decena, luego
ponemos las cuentas en
el casillero de las
unidades y las decenas.
Tercero, verificamos la
suma parcial, en este
caso es de 5+7 es igual a
12 y limpiamos el área
de cálculo de las cuentas
utilizadas.
Ahora veamos la suma de las decenas.
decenas del primer y
segundo sumando,
conservamos la suma
parcial de unidades.
Segundo, realizamos el
canje de diez decenas
por una centena y luego
colocamos las cuentas
en los casilleros de las
centenas y decenas.
suma total, en este caso
35+27es igual a 62 y
limpiamos el área de
cálculo de las cuentas
utilizadas.
CANJE

Sumar 55+28
segundo sumando.
una decena, luego
el casillero de las
utilizadas.
segundo sumando,
conservamos la suma
centenas y decenas.
utilizadas.
CANJE

Sumar 68+57
segundo sumando.
una decena, luego
el casillero de las
utilizadas.
segundo sumando,
conservamos la suma
centenas y decenas.
utilizadas.
CANJE
CANJE

1.1.5.3. La sustracción sin prestar
Para realizar una resta de números de una cifra sin prestar, es importante
que el niño y la niña sea capaz de reconocer el minuendo y sustrayendo, es
decir, el niño y la debe saber que siempre se resta al minuendo y para que
esto suceda, el minueto debe ser igual o mayor al sustrayendo.
Es importante, antes de pasar a restar número de dos cifras y prestando,
los niños y niñas deben resolver restas como: 9-9, 9-8, 9-7, 9-6, 9-5, 9-4, 9-3,
9-2, 9-1, 9-0, 8-8, 8-7, 8-6, 8-5, 8-4, 8-3, 8-2, 8-1,8-0, 7-7, 7-6, 7-5, 7-4, 7-3, 7-
2, 7-1, 7-0, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1, 6-0, 5-5, 5-4, 5-3, 5-2, 5-1, 5-0, 4-4, 4-
3, 4-2, 4-1, 4-0, 3-3, 3-2, 3-1, 3-0, 2-2, 2-1, 2-0, 1-1, 1-0.
Para restar número de dos a más cifras, es importante realizar restas
entre unidades, entre decenas, entre centenas. Veamos algunos ejemplos:
Restar 3 - 2
minuendo, 2+1
Segundo, realizamos la
resta de 2 unidades y la
diferencia lo
representamos con las
cuentas.
diferencia, en este caso
es 3-2 igual a 1

Restar 8 - 3
minuendo, 5+3
diferencia lo
cuentas.
es 8-3 igual a 5
Restar 9 - 4
minuendo, 5+2+2
diferencia lo
cuentas.
es 9-4 igual a 5

1.1.5.4. La sustracción prestando
Para realizar restas prestando, los niños y niñas deben saber, que cuando
el minuendo es menor al sustraendo, entonces debe prestarse 10 unidades
del orden de la decenas, para lo cual se realiza el canje de una decena por
diez unidades, así se podrá facilitar la resta. Veamos el siguiente ejemplo:

Restar 37 - 28
unidades del minuendo y
nos prestamos diez
unidades para restar 8
unidades y las 3 decenas,
se convierte en 2 decenas.
diferencia parcial lo
cuentas.
diferencia parcial, 15-
8=7.
Ahora restamos decenas; 2-2
decenas del minuendo que
ahora es 2, conservando la
diferencia parcial del área
de registro.
resta de 2 decenas y la
diferencia total lo
cuentas.
diferencia de 37 – 28 es
igual a 9.
PRESTAMO

Restar 45 - 28
unidades del minuendo y
nos prestamos diez
unidades para restar 8
unidades y las 4 decenas,
se convierte en 3 decenas.
diferencia parcial lo
cuentas.
diferencia parcial, 15-
8=7.
Ahora restamos decenas; 3-2
decenas del minuendo que
ahora es 3 = 2+1,
conservando la diferencia
parcial del área de
registro.
resta de 2 decenas y la
diferencia total lo
cuentas.
diferencia de 45 – 28 es
igual a 17.
PRESTAMO

1.1.5.5. Multiplicación
La multiplicación como suma abreviada, implicada que los niños y niñas
sepan identificar el primer factor o multiplicando como el número de cuentas
que se pondrán en cada casillero del área del registro y el segundo factor o
multiplicador, como el número de cajas en el cual se depositaran el primer
factor. Veamos algunos ejemplos:
Multiplicar 2x3
Primero representamos en
el área de cálculo la
multiplicación.
el segundo factor o
multiplicador como el
número de cajas, en este
caso es 3 casilleros.
Tercero, depositamos en
cada casillero el
multiplicando, luego
sumamos las tres cajas
para obtener el producto
final. 2x3= 2+2+2=6

Multiplicar 3x4
multiplicación.
el segundo factor o
cada casillero el
sumamos las siete cajas
final. 3x4= 3+3+3+3 =
12
Multiplicar 4x7
multiplicación.
el segundo factor o
cada casillero el
final. 4x7=
4+4+4+4+4+4+4 = 28

Multiplicar 6x8
multiplicación.
el segundo factor o
cada casillero el
final. 6x8 =
6+6+6+6+6+6+6+6 = 48
Multiplicar 9x9
multiplicación.
el segundo factor o
cada casillero el
sumamos las nueve cajas
final. 9x9 =
9+9+9+9+9+9+9+9+9=
99

1.1.5.6. División
En la división como proceso inverso de la multiplicación los niñas y niños
tienen que identificar el dividendo como la cantidad a repartir; el divisor como
las personas a quiénes se repartirán el dividendo, y el cociente como la
cantidad que les han tocado por partes iguales al divisor, y el residuo como la
parte que ha sobrado o que no ha alcanzado para seguir repartiendo por
partes iguales. Veamos algunos ejemplos.
Dividir 4 ÷ 2
división.
el divisor como el
Tercero, repartimos,
distribuimos
equitativamente el
dividendo, luego
verificamos cuánto hay
en cada casillero.

Multiplicar 9÷3
división
el divisor por el número
de casilleros, en este
Tercero, repartimos por
partes iguales el
dividendo y verificamos
cuánto hay en cada
casillero.
Multiplicar 8÷2
división
el divisor por el número
de casilleros, en este
Tercero, repartimos por
partes iguales el
dividendo y verificamos
cuánto hay en cada
casillero.

2. Yupana Inka del dibujo de Felipe Guamán Poma de Ayala para IV
y V Ciclos
Guamán Poma dibujó esta ilustración entre los años 1613 y 1615
como parte de uno de sus objetivos de reconstruir la identidad inka.
En este dibujo la Yupana tiene 4 columnas y 5 filas vista en sentido
vertical y no se sabía hasta poco el valor numérico de cada zona.
Luego de más de 500 años tratando de descifrar el sistema de
cálculo inca, los investigadores han concluido que el contador se
encontraba al lado derecho y no en la parte inferior de la Yupana.
Por otra parte, el ingeniero y profesor universitario, italiano, Nicolino
Pasquale descubrió que la Yupana Inka es multibase donde se
desarrolla bases numéricas desde el binario hasta la base 40 o

cuadragesimal. En estas bases, obviamente que el sistema decimal
también fue uno de los sistema que ha desarrollado y se expresan en
la organización de las familias como puriq (1 familia), chunka
kamayuq(10 familias), pachaka kamayuq (100 familias, waranqa
kamayuq(1000 familias),, chunka waranqa kamayuq(10000 familias).
Otro porte fundamental de Nicolino Pasquale haber descifrado que el
valor de las zonas tiene un valor numérico estándar de 1, 2, 3, 5 y las
columnas representan el valor numérico de los números y las filas las
bases numéricas.
La relación entre la Calculadora Inka y la Yupana Inka se
corresponden, a diferencia de que la Yupana inka dibujada por
Guamán Poma contiene el área de Registro y Calculo en la mis
columna.

Tomando como referencia la Yupana Inka en piedra, el contador se
ubica al derecho de la Yupana y cuando se gira el contador o
administrador se ubica en la parte inferior como se puede observar en
las siguientes ilustraciones.
En el siguiente imagen podemos explicitar como mayor detallar y
precisión. Las filas son zonas con valor numérico estándar de 1, 2, 3
y 5 y eso no debe cambiar por 1, como se usó en la Yupana en la
década anterior, con la supresión de la zona uno. Las columnas
representan el valor numérico desde el orden de las unidades hasta
una decena de millar.

Con fines didácticos, la Yupana dibujada por Guamán Poma, tendría
las siguientes características. Las columnas se han sombreado de
diferentes colores para que el niño y la niña diferencien con facilidad
el valor posicional de los números. En l descripción de la estructura
de la Yupana se explica más detalles.

2.1. Estructura de la Yupana Inka para trabajar números
naturales
La Yupana Inka dibujado por Guamán Poma, con fines estrictamente
didácticos tiene 5 columnas y 4 filas. Las columnas representan el
valor posicional de los números naturales desde la unidad hasta la
decena de millar y las filas representan las bases numéricas desde el
sistema binario al sistema cuadragesimal. Cada zona tiene un valor
numérico específico y son área de cálculo y registro a la vez. Con
files didácticos se ha agregado una columna vacía entre la centena y
la unidad de millar para que los niños y niñas puedan leer con
facilidad la representación de los millares.
El manejo de la Yupana de piedra constituye el conocimiento previo
para manejar la Yupana dibujada por Guamán Poma de Ayala.
Columna de las
unidades
Columna de las
decenas
Columna de las
centenas
Columna de las
unidades de millar
Columna de las
decenas de millar
Fila del valor 5
Fila del valor 2
Fila del valor 1
Fila del valor 3

Esta Yupana dibujada por Guamán Poma es recomendable usar en
niños y niñas del IV y V ciclo de la educación básica regular, pues su
estructura obliga a leer los números naturales realizando sumas
mentales de manera permanente, no permite una lectura mecánica y
automática de números, pues, se tiene que sumar mentalmente antes
de leer los números. Veamos ejemplos concretos en los procesos de
representación de números naturales y operaciones básicas.
2.2. Representación de números naturales.
La representación de números naturales desde las unidades hasta la
decena de millar implica ir sumando mentalmente los números, este
hecho, favorecer procesos internos, procesos cognitivos en la
construcción de la noción de número.
La representación del 4 va implicar una suma mental de 2+2 ó 1+3; la
representación del 6 va implicar la suma mental de 3+3 ó 5+1; la
representación de 7 es el resultado se sumar 5+2 ó 2+2+3; la
representación del 8 es consecuencia de sumar 5+3 ó 5+2+1,
2+2+1+3; el 9 es resulta de la suma de 5+2+2 ó 5+3+1, finalmente
tenemos el diez, que será el resultado de sumar 5+5 ó 5+3+2 y
cuando se llegue a 10 se debe realizar el canje inmediato por una
decena, centena, unidad de millar o decena de millar de acuerdo al
número que se esté representando en ese instante.

Veamos la representación de los números naturales, que están
representados en cada zona sombreado con punto negro.
Representación del número 1 y 5

Representación del número 7895 y 89 567
Canje de 10 unidades por una decena.
Es importante realizar los canjes cada vez que se llega a 10
unidades, 10 decenas, etc.

2.3. Operaciones básicas
2.3.1. La adición
Para sumar en la Yupana, primero se representa el primer
sumando sea ésta de una a más cifras, luego se va representando
las unidades para sumar unidades con unidades, del segundo
sumando, realizar los canjes al máximo, es decir, no puede haber
2+3, cuando se puede representar con 5; no puede representarse
2+1 cuando se puede representar con 3, esto ayudará a una mejor
lectura y manejo de las sumas parciales que se va generando. Una
vez que se haya sumado las unidades, ahora se procede a sumar
decenas entre decenas, luego centenas entre centenas, de ningún
debe representarse el segundo sumando en su totalidad, aunque
en la práctica es posible, para lograr un mejor proceso de la suma.
Veamos algunos ejemplos.
Suma de 8 + 7
Primero, representamos el primer sumando y luego el segundo
sumando.

Analizar qué canjes se deben realizar, en este caso, tenemos
canjear 5+5 por 1 decena, 2+3 unidades por 5 unidades como se
muestra en el siguiente gráfico.
Una vez identificado los canjes que debemos realizar, proceder a
mover las cuentas y la suma total de 8+7 sería 15, como se

El proceso de la suma es similar en todos los casos, con la
advertencia de ir sumando unidades con unidades, decenas con
decenas, centenas con centenas, unidad de millar con la unidad de
millar, decena de millar con la decena de millar. Veamos un
ejemplo de suma de números de dos cifras.
Suma de 38 +82
Primero representamos el primer sumando, como se muestra en la
siguiente imagen.
Ahora, procedemos a sumar 2 unidades e inmediatamente nos
damos cuenta que debemos realizar un canje de 3+2 por 5
unidades.

La suma parcial realizando el canje 3+2 por 5 nos genera la
necesidad de realizar un canje de 5+5 por una decena, como se
muestra en la siguiente imagen.

Después de realizar el canje de 5+5 por una decena, ahora
tenemos 4 decenas como suma parcial, como se muestra en la
imagen.
Ahora procedemos a sumar las decenas, en este caso, sumaremos 8
decenas, como se muestra en la imagen. Analizando, nos damos
cuenta que debemos realizar canjes de 3+3+1 por 5 y 2.
Realizando los canjes de 3+3+1 por 5 y 2, ahora surge la necesidad
de canjear 5+5 decenas por 1 centena, como se muestra en la
imagen.

Realizando el canje de 5+5 decenas por una centena, obtenemos
como suma total de 38+82 = 120 como se muestra en la imagen.
La Yupana por los múltiples canjes que va planteando en el proceso
de la suma, desarrolla enormemente la capacidad de análisis,

relación, comparación y amplía la visión periférica del ojo en la lectura
de los números.
Los procesos desarrollados paso a paso, es el mismo mecanismo
para sumar números de 3, 4, 5, 6, 7 a más cifras. El secreto radica en
realizar los canjes en cada columna de la Yupana e ir llevando las
excedencias a unidades superiores.
Ahora, veamos cómo de realizan sustracciones en la Yupana.
2.3.2. La sustracción
Para realizar una resta de números de una cifra sin prestar, es
importante que el niño y la niña reconocer el minuendo y
sustrayendo, es decir, el niño y la debe saber que siempre se resta
al minuendo y para que esto suceda, el minueto debe ser igual o
mayor al sustrayendo. Veamos el siguiente ejemplo:

Resta de 9 - 7
Primero representamos el minuendo.
Luego analizamos si podemos quitar el sustrayendo en este caso
quitar 7 unidades a las 9 unidades, como se muestra en la imagen.

Luego de quitar 7 unidades a 9 unidades obtenemos como difrencia 2
unidades.
Restar 45-19
Para restar números de dos o más cifras, primero representamos el
minuendo, como se muestra en la siguiente imagen.

Ahora, debemos quitar 9 unidades a 5 unidades y nos damos cuenta
que el minuendo es menor al sustraendo, entonces, nos prestaremos
10 unidades, es decir, canjearemos 1 decena por 5+2+2+1 para
facilitar la resta y quitamos 1 decena a 4 decenas, entonces se
convierte ahora en 3 decenas, por tanto, la ficha de dos unidades
corremos a la ficha de 1 decena, ahora tenemos en el orden de las
decena 2+1 =3 decenas.
Una vez que hayamos realizado el préstamo procedemos a restar 9
unidades como se muestra en la imagen.

La diferencia parcial es
Ahora procedemos a restar 1 decena a 3 decenas, vemos que el
minuendo es mayor al sustraendo, por lo tanto, no hay necesidad de
realizar préstamos.

La diferencia de 45 – 19 es 26, como se muestra en el siguiente
gráfico.
El procedimiento para restar números de más tres de cifras, es el
mismo procedimiento. El secreto radica en representar primero el
minuendo y luego ir restan el sustraendo partiendo de las unidades,
luego las decenas y así sucesivamente hasta una decena de millar,
que presenta la Yupana. Cuando realizamos un préstamo, por
ejemplo en la columna de las decenas, inmediatamente debe quitarse
una decena y convertir en 10 unidades, no debe dejarse para
después, pues generalmente los niños y niñas se olvidan de hacerlo y
no se obtiene la diferencia que se está buscando.

2.3.3. La multiplicación
Para multiplicar en la Yupana se representa con fichas de diferentes
colores el primer y segundo factor y reflexionar, de cuántas veces se
va sumar el primer factor, cuántas veces indica el segundo factor,
tomando conciencia de este detalle, el niño podría realizar sumas
sucesivas y obtener el productos final. Por ejemplo, si se tiene que
multiplicar 5x8, entonces podrá sumar 8 veces 5; 5+5+5+5+5+5+5+5
igual a 40, o lo contrario, 8x5, entonces, se suma 5 veces 8;
8+8+8+8+8 igual a cuarenta, de modo que en la yupana, se presenta
la suma de estos factores. El concepto clave es saber que el primer
factor se duplica las veces que indique el segundo factor. Es
imporante que los niños y niñas realicen las multiplicaciones del 1 a
9. Veamos este mismo ejemplo:
Multiplicar 8 x 5
Entonces, tomamos conciencia de que el 8 como primer factor se va
repetir 5 veces, las cuales, luego sumamos como 8+8+8+8+8 = 40
como se muestra en el siguiente gráfico.

Sin embargo los sabios Khipukamayuq realizan la Multiplicación
cruzando soguillas de color, donde contaban los nudos de
intersección, es así que tenían un color específico para las unidades,
decenas, centenas y millares y registraban primero en la Yupana
luego en los Khipus. Veamos algunos ejemplos.
Multiplicar 5 x 3
Trazar líneas oblicuas del primer factor de arriba para debajo de
izquierda a derecha y el segundo factor de arriba para debajo de
derecha a izquierda trabajado de formar rombos en las cuadrículas.
Luego representamos el producto de la multiplicación-

Multiplicar 4 x 4
Luego representamos el producto de la multiplicación.
Se cuenta, se suma los
nudos de intersección
intersecciones

Multiplicar 6 x 4
Se cuenta, se suma los
nudos de intersección
intersecciones

Multiplicar 9 x 9
Se cuenta, se
suma los
nudos de
intersección.

Primero trazamos las líneas oblicuas del primer factor con sentido de
izquierda a derecha luego el segundo factor de derecha a izquierda
dejando un espacio considerable entre las unidades y decenas,
formando rombos perfectos. Una vez trazado las líneas, ubicar los
ángulos de coincidencia en forma vertical para ubicar las unidades,
decenas, centenas y unidad de millar, luego contar los nudos de
intersección para obtener el producto final. Veamos algunos
ejemplos:
Multiplicar 11x11
Registrar en la Yupana el producto, es decir, 121.

Multiplicar 11x12
Registrar en la Yupana el producto, es decir, 132.

Multiplicar 211 x 312
Primero trazamos las líneas oblicuas del primer factor con sentido de
izquierda a derecha luego el segundo factor de derecha a izquierda
dejando un espacio considerable entre las unidades, decenas y
centenas, formando rombos perfectos. Una vez trazado las líneas,
ubicar los ángulos de coincidencia en forma vertical para ubicar las
unidades, decenas, centenas, unidad de millar, decena de millar
luego contar los nudos de intersección como se muestra en el
siguiente gráfico.
Registrar el producto de la multiplicación, es decir 65 832 como se

2.3.4. La división
En la Yupana Inka se representa como divisor el número de
columnas y como dividendo las cuentas de las columnas. Veamos
algunos ejemplos:
La división de 9÷3
Las columnas representarán el divisor y empezamos a repartir por
tanteo hasta dar con el cociente y residuo.
Distribuir el dividendo al número de veces del divisor. Es decir, ¿a
cuántos vamos a repartir?
En este caso, le tocó en partes iguales 3.

La división de 10÷3
Las columnas representarán el divisor y empezamos a repartir por
tanteo hasta dar con el cociente y residuo.
Distribuir el dividendo al número de veces del divisor. Es decir, ¿a
cuántos vamos a repartir? En este caso, le tocó en partes iguales 3
y sobra 1.

2.4. Representación de números decimales.
La Yupana adaptada con fines estrictamente didácticos para
trabajar con números decimales tiene las siguientes
características.
Veamos algunos ejemplos de representación de números
decimales.
Número decimal 0,1 / Un décimo

Número decimal 0,01 /
Un centésimo se representa de la siguiente manera:
Número decimal 0,001
Un milésimo se representa de la siguiente manera:

Número decimal 2,5
Dos unidades y cinco décimos se representan d e la siguiente
forma:
Cuarenta cinco unidades y veinte y ocho centésimos se
representan de la siguiente forma:

Sesenta y siete con trescientos veinte cinco milésimos se
representan de la siguiente forma:
Número decimal 20, 045
Veinte unidades con cuarenta y cinco milésimo se representan de
la siguiente forma:

3. Actividades pedagógicas con uso de la Calculadora y Yupana
Inka.
3.1. ACTIVIDAD N° 1: FORMAMOS UNA DECENA (NIVEL
BÁSICO)
I.-CAPACIDADES Y CONOCIMIENTOS: ¿Qué aprenderán?
Realizar canjes de diez unidades por una decena.
II.-MATERIALES: ¿Qué necesitarás?
Calculadora Inka y/o Yupana Inka. Por cada niño se debe considerar 20
cuentas, que puede ser fichas de ludo, semillas de eucalipto, botones, etc.
La Calculadora Inka y la Yupana Inka con su valor posicional posición (ver
fig.).
Un par de dados para cada pareja o grupo cuyas cuentas sólo sumen como
máximo entre los dos lados a 6; es decir, cada dado, sólo tiene la cuenta de
1, 2, y 3.
III.-ESTRATEGIAS: ¿Qué harás?, ¿Cómo lo harás?
Asegúrate que los alumnos tengan su Yupana o la Calculadora Inka.
Organiza a los alumnos en pares o grupos pequeños (3 – 4 niños o niñas)
Antes de iniciar el juego, deje que los niños y niñas manipulen y jueguen
libremente con los materiales.
Realizar canjes cada que se cuenta más de nueve cuentas.

Realizan un sorteo para saber el orden en que les tocará lanzar los dados.
Elegir a un participante que será el monitor, se encargará de hacer un
seguimiento de las acciones que realicen los participantes, que cumplan con
la realización de los canjes y que tomen sólo las cuentas que indiquen los
dados.
Colocar el material educativo Yupana o la Calculadora Inka al centro de la
mesa.
Por turnos cada integrante del grupo lanza los dados.
La suma de los puntos consignados en los dados, indica cuantas unidades
debe tomar del grupo de las cuentas.
Cada uno coloca el material que toma, en el lugar correcto del tablero de valor
de posición.
Gana el juego el primer jugador que llegue a formar una centena.
Con el último juego, debe llegar exactamente a formar una decena. Por
ejemplo, si tiene 6 unidades, debe sacar 4 o menos puntos, si saca mas de 4
no vale, pierde su turno.
Los niños y niñas tienen la opción de elegir lanzar uno o dos dados, de
acuerdo a las circunstancias del juego.
IV.-METACOGNICIÓN: Acciones de reflexión: ¿Cómo lo hicimos?
DURANTE EL DESARROLLO DEL JUEGO
Se recomienda monitorear los grupos para ir evaluando los logros y las
dificultades de los alumnos. Asimismo, es recomendable aprovechar estos
espacios para formular algunas preguntas de reflexión a los alumnos, como por
ejemplo:
Hasta este momento, ¿quién tiene más? ¿Quién tiene menos?
¿Cuánto le falta a María para llegar a 6 unidades?
¿Crees que si sacas 7 puntos lograrás formar una decena?

¿Cuántas unidades le faltan a Miguel para formar la decena?
Estas preguntas promueven el desarrollo del cálculo mental y refuerzan el valor
que representa cada una de las cuentas de la Yupana o la Calculadora Inka,
así como la comparación y representación de números.
AL FINALIZAR EL JUEGO
Con la finalidad de asegurar el éxito de los aprendizajes previstos a través del
juego, el docente podrá hacer algunas preguntas de reflexión final considerando
el ciclo a que pertenecen, como por ejemplo:
¿Cuántas unidades hay en una centena? ¿Cuántas decenas hay en una
centena? ¿Cuántas unidades hay en una decena?
¿Cuándo se realizan los canjes de unidades a decenas?
La respuesta a estas interrogantes reforzará el concepto y la comprensión del
sistema decimal de numeración y de valor posicional.
Reconocer que esta actividad es fundamental por que ayudará a los niños y
niñas a iniciarse el proceso de la adición de número de dos cifras.

3.2. ACTIVIDAD N° 2: FORMAMOS UNA CENTENA (Nivel
básico)
Realizar canjes de diez unidades por una decena, diez decenas por una
centena.
fig.).
Un par de dados para cada pareja o grupo.
dados.

mesa.
de posición.
Con el último juego, debe llegar exactamente a formar una centena. Por
ejemplo, si tiene 6 unidades, debe sacar 4 o menos puntos, si saca mas de 4
no vale, pierde su turno.
ejemplo:
¿Cuánto le falta a María para llegar a 6 unidades?
¿Crees que si sacas 7 puntos lograrás formar una decena?
¿Cuántas unidades le faltan a Miguel para formar la centena?

centena? ¿Cuántas unidades hay en una decena?
¿Cuándo se realizan los canjes de unidades a decenas, de decenas a
centenas?
niñas a iniciarse el proceso de la adición de número de tres cifras.

3.3. ACTIVIDAD N° 3: FORMAMOS UNA UNIDAD DE MILLAR
(NIVEL AVANZADO)
Realizar canjes de diez decenas por una centena, diez centenas por una
unidad de millar.
fig.).
Un par de dados en cuyas caras aparecen los números 10, 20, 30, 40, 50 y
60.
Un par de dados en cuyas caras aparecen los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30.

dados.
mesa.
de posición.
Con el último juego, debe llegar exactamente a formar una unidad de millar.
Por ejemplo, si tiene 96 decenas, debe sacar 4 decenas o menos puntos, si
saca mas de 4 decenas no vale, pierde su turno.

ejemplo:
¿Cuántas unidades le faltan a Miguel para formar la unidad de millar?
centena? ¿Cuántas unidades hay en una decena? ¿Cuántas centenas hay
en una unidad de millar? ¿Cuántas decenas hay en una unidad de millar?
centenas, centenas a unidad de millar?
niñas a iniciarse el proceso de la adición de número de cuatro cifras.

3.4. ACTIVIDAD N° 4: FORMAMOS UNA DECENA DE MILLAR
(NIVEL AVANZADO)
Realizar canjes de diez decenas por una centena, diez centenas por una
unidad de millar, diez unidades de millar por una decena de millar.
La Calculadora Inka y la Yupana Inka con su valor posicional (ver fig.).
60.

dados.
mesa.
de posición.
Con el último juego, debe llegar exactamente a formar una decena de millar.
Por ejemplo, si tiene 96 centenas, debe sacar 4 centenas o menos puntos, si
saca mas de 4 centenas no vale, pierde su turno.
ejemplo:
¿Cuántas unidades le faltan a Miguel para formar la decena de millar?

centena? ¿Cuántas unidades hay en una decena? ¿Cuántas centenas hay en
una unidad de millar? ¿Cuántas decenas hay en una unidad de millar?
¿Cuántas unidades de millar hay en una decena de millar?
centenas, centenas a unidad de millar, unidades de millar a decenas de
millar?
niñas a iniciarse el proceso de la adición de número de dos cifras.

3.5. ACTIVIDAD N° 5: JUGAMOS AL TABLERO VACÍO
Realizar canjes entre cuentas de diferentes valores posicionales de la Calculadora y
la Yupana Inka-
La Calculadora Inka y la Yupana Inka con su valor posicional (ver fig.).
Un par de dados normales.
60.
Organiza a los alumnos en pares o grupos pequeños.
Al igual que la actividad anterior, puedes utilizar otros materiales como piedritas,
chapitas, canicas por ejemplo.

Pide que cada alumno ubique como corresponda en el tablero de valor de
posición de la Calculadora Inka o en la Yupana Inka una centena, una decena y
una unidad.
Indica que realicen sorteo para saber quien inicia el juego.
Por turnos lanzan dados (2 dados normales para el III Ciclo, 2 dados en cuyas
caras aparecen los números 10, 20, 30, 40, 50 y 60 para el IV Ciclo, y 2 dados en
cuyas caras aparecen los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30 para el V Ciclo)
El número total de puntos que sale en los dados, indica cuántas unidades se
debe eliminar del tablero, ello exigirá que en algún momento se realice canjes.
Gana el juego, el primer participante que haya eliminado todas las piezas del
área de registro de la Calculadora Inka o del tablero de la Yupana Inka.
Con el último juego, debe eliminar una cantidad exacta de piezas. Por ejemplo, si
le quedan 6 unidades, debe sacar 6 o menos puntos, si saca mas de 6 no vale,
esto quiere decir que pasa el turno al siguiente. Cuando desea puede elegir
lanzar un sólo dado.
Monitorea los grupos para ir evaluando los logros y las dificultades de los alumnos.
Asimismo, es recomendable aprovechar estos espacios para formular algunas
preguntas de reflexión a los alumnos, como por ejemplo:
Marcos, ¿Cuánto debe retirar Gloria para que tenga igual cantidad que tu?
¿Qué piezas y cuántas de cada una debes retirar para quedarte sólo con 4
barras?
¿Cuánto le falta a María para quedarse con 3 deecenas?
Si sacas 6 puntos, ¿habrá necesidad de realizar canjes para poder retirar las
piezas?
¿Crees que si sacas 7 unidades lograrás eliminar una decena más?

¿Cuánto le falta quitar a Pedro para que necesariamente canjee una unidad
de millar? etc.
Estas preguntas promueven el desarrollo del conteo y cálculo mental. Refuerza el
conocimiento del valor de cada cuenta de la Calculadora Inka y de la Yupana Inka.
Esta actividad es fundamental para iniciar la operación de sustracción con canjes.

3.6. ACTIVIDAD N° 6: ADIVINAMOS NÚMEROS
Reconocer representaciones de números usando las cuentas de la Calculadora Inka
o de la Yupana Inka.
Yupana Inka.
Repartir la Calculadora Inka o Yupana Inka entre los niños y las niñas.
Organiza a los alumnos por equipos de trabajo (4 por cada equipo).
Entrega Calculadora Inka o Yupana Inka a cada equipo.
Los niños y niñas responden las siguientes interrogantes:
Si coloco una cuenta en dos, otra en el cinco y otra en el 1, del orden de las
unidades, ¿Qué número es?
Si coloco tres cuentas; una cuenta en el dos en la comuna de las unidades,
de las decenas y de las centenas, ¿Qué número es?
Si coloco cuatro cuentas; una cuenta en el dos de la columna de las
unidades, otra en el tres de la columna de las decenas y otra en la columna
de las unidades de millar, ¿Qué número es?, etc.
Algunas interrogantes pueden tener más de una respuesta.
Asegúrate que participen todos los integrantes del equipo al formular las
respuestas.
Los niños y niñas formulan 3 interrogantes en tarjetas, luego las intercambien
para que sean resueltas por otro equipo.
Socializan sus productos.

Monitorea los equipos de trabajo y analizar conjuntamente algunas posibles
respuestas que pudieran estar proponiendo.
Propón interrogantes como por ejemplo:
¿Cuántas centenas y cuántas decenas equivalen 230 unidades?
Escribe en el tablero de valor posicional números de tres o cuatro dígitos según el
ciclo de estudio a la que pertenecen el grupo de alumnos y formule algunas
interrogantes como por ejemplo:
¿Cómo se lee el número 960? Escribe en letras.
¿Cuál es el número que ocupa el orden de las centenas?
¿Cuántas decenas tiene el número?
¿Cuántas unidades hay? etc.
Estas interrogantes ayudarán a reforzar el concepto y la comprensión del
sistema de decimal de numeración.

3.7. ACTIVIDAD N° 7: BUSCANDO PAREJAS
Relacionan números con su representación gráfica en la Yupana Inka.
Yupana Inka.
Tarjetas de cartulina
Se juega en grupos pequeños, máximo 4 niños o niñas.
Elegir los turnos de participación.
Colocar las tarjetas volteadas en la mesa, formando 5 filas y 3 columnas.
Cada niño, por turnos, deberá voltear dos tarjetas.
Si las tarjetas representan el mismo número, el niño o niña se llevará las dos
tarjetas. Si no forman el mismo número, deberá volver a colocar las tarjetas
que volteó boca abajo.
Sigue el siguiente niño, hasta que se hayan recogido todas las tarjetas.

Los niños y niñas contabilizan las tarjetas.
Gana el juego el niño o niña que haya reunido la mayor cantidad de tarjetas.
Este juego puedes prepararlo para que sea una ficha auto instructiva que los
niños y niñas puedan hacer de forma autónoma, por ejemplo así:
BUSCANDO PAREJAS
¿Qué necesitamos?
Tarjetas recortadas.
¿Qué haremos?
Formen grupos de 3 a 4 niños o niñas.
Elijan los turnos de participación.
Coloquen las tarjetas boca abajo en la mesa, formando filas y columnas.
Cada niño, por turnos, deberá voltear dos tarjetas.
Si las tarjetas representan el mismo número, el niño o niña se llevará las tarjetas. Si no
forman el mismo número, deberá volver a colocar las tarjetas que volteó boca abajo.
Mira el ejemplo:

3.8. ACTIVIDAD N° 8: EL MÁS RÁPIDO GANA.
Componer y descomponer números naturales utilizando la Yupana Inka.
Papel o cartulina.
Yupana Inka.
Lápices.
Prepara para cada grupo un juego de 20 tarjetas y escribimos un número en
cada tarjeta del 0 al 9. Tarjetas numéricas.
Entrega a cada grupo un juego de tarjetas y la Yupana Inka.
Da las instrucciones a los niños y niñas:
Barajen las tarjetas.
Pongan las tarjetas boca abajo, formando una torre, sobre la mesa.
Acuerden los turnos de cada jugador.
Acuerden cuántas rondas vamos a jugar.
Escojan a uno de los miembros del grupo para que sea el coordinador. Se
encargará de repartir tres tarjetas a cada uno y ver si los miembros de su
grupo representan correctamente los números formados.
CUANDO JUEGUEN:
El coordinador repartirá a cada participante 3 tarjetas.
Cada jugador ordena los números tratando de formar el mayor número.
Todos los jugadores colocarán los números que formaron en centro de la
mesa, uno al lado del otro.

Comparan los números formados.
El niño que formó el mayor número se anotará un punto.
Los otros niños deberán representar el número que formaron utilizando la
Yupana Inka. Si representaron correctamente, se anotan un punto.
El coordinador y el niño que ganó revisan las representaciones de los demás
niños.
Gana al que tenga más puntos al terminar las rondas.

3.9. ACTIVIDAD N° 9: EL BINGO MATEMÁTICO
Interpreta, codifica y representa gráficamente números de tres dígitos (Unidades,
Decenas, Centenas)
Tarjetas del Bingo
Yupana Inka
Fichas para marcar las tarjetas de Bingo.
Lista de números
LISTA DE NÚMEROS PARA EL BINGO
353 = 3c + 5d + 3u = 35d + 3u = 300 + 50 + 3
931 = 9c + 3d + 1u = 93d + 1u = 900 + 31 + 1
705 = 7c + 0d + 5u = 70d + 5u = 700 + 5
650 = 6c + 5d + 0u = 65d + 0u = 600+ 50
962 = 9c + 6d + 2u = 96d + 2u = 900 + 60 + 2
27 = 2d + 7u = 20 + 7
759 = 7c + 5d + 9u = 75d + 9u = 700 + 50 + 9
453 = 4c + 5d + 3u = 45d + 3u = 400 + 50 + 3
104 = 1c + 0d + 4u = 10d + 4 = 100 + 4
320= 3c + 2d + 0u = 32d + 2 = 300 + 20
629 = 6c + 2d + 9u = 62d + 9 = 600 + 20 + 9
715= 7c + 1d + 5u = 71d + 5 = 700 + 10 + 5
289 = 2c + 8d + 9u = 28d + 9 = 200 + 80 + 9
829 = 8c + 2d + 9u = 82d + 9 = 800 + 20 + 9
150 = 1c + 2d + 0u = 15d = 100 + 50
540 = 4c + 4d = 54d = 500 + 40

484 = 4c + 8d + 4u = 48d + 4 = 400 + 80 + 4
509 = 5c + 0d + 9u = 50d + 9 = 500 + 9
9 = 9u
327 = 3c + 2d + 7u = 32d + 7 = 300 + 20 + 7
217 = 2c + 1d + 7u = 21d + 7 = 200 + 10 + 7
672 = 6c + 7d + 2u = 67d + 2 = 600 + 70 + 2
717 = 7c + 1d + 7u = 71d + 7 = 700 + 10 + 7
813 = 8c + 1d + 3u = 81d + 3 = 800 + 10 + 3
942 = 9c + 4d + 2u = 94d + 2 = 900 + 40 + 2
99 = 9d + 9u = 90 + 9
¿Cómo confeccionar el BINGO?
Confecciona una lista de números expresados de diferentes formas, por
ejemplo:
156 = 15 D + 6 U = 100 + 50 + 6 o la representación con la Yupana Inka.
Tu lista puede ser de 20 o 30 números, esto dependerá del número de
tarjetas que debas elaborar.
Confecciona tarjetas con 9 divisiones en las que colocarás algunos de los
números que haz preparado en la lista de números. Recuerda que cuando
termines de confeccionar las tarjetas debes haber considerado en ellas todos
los números de tu lista.
Forma grupos de 4 o 5 niños y niñas. Has que elijan su turno para la
participación.

Reparte la Yupana Inka, las fichas y las tarjetas preparadas a los que
participarán en el Bingo.
Lee uno de los números propuestos en la lista. Usa diferentes
representaciones del número para que los niños reconozcan.
El niño que participa primero deberá coger la Yupana Inka y representar el
número señalado por el profesor, colocarlo al centro de la mesa para que
todos puedan observar lo que ha hecho.
Los niños y niñas del grupo comprueban que el número representado es
correcto y luego lo ubican en sus tarjetas.
Los niños o niñas que tengan el número que has señalado en su tarjeta,
deben marcarlo con una ficha.
Lee nuevamente un número de tu lista y el niño que sigue en cada grupo
deberá representar el número con la Yupana Inka.
Cuando uno de los niños o niñas complete todos los casilleros de su ficha
dirá: Tarjeta llena.
Revisa su tarjeta y si los números que figuran en ella se encuentran en el
grupo de los números que has dicho, él será el ganador.
Puedes proponer que formen una fila o columna.

3.10. ACTIVIDAD N° 10: EL TABLERO DEL 100
Decenas, Centenas)
Un tablero del 100
Dados
Fichas para marcar las posiciones.
Dominó
Yupana Inka
Pega la hoja con el tablero en cartulina y plastifícala usando cinta de embalaje.
Indica las instrucciones a los niños:
Los niños y niñas participan en grupos de 4 o 5.

Todos inician el juego con una cantidad de fichas de la Yupana Inka (por ejemplo 3
centenas, 3 decenas y 3 unidades) colocar en el centro de la mesa una cantidad de
fichas de Yupana Inka (por ejemplo una unidad de millar, una centena, una decena).
Deben colocar su ficha al inicio del camino.
Tiran el dado y avanzan la cantidad de casilleros indicados por el dado. Si cae en
un casillero sombreado deberá colocar al centro de la mesa la cantidad de fichas
que se indica, si cae en los otros casilleros (no sombreados) deberá coger del centro
de la mesa la cantidad de material indicada en el casillero.
Cuando lleguen todos al final del camino, deberán comparar la cantidad de fichas de
Yupana Inka que tiene cada uno, ganará el juego el que tenga la mayor cantidad.

3.11. ACTIVIDAD N° 11: EL DOMINÓ DE NÚMEROS
Decenas, Centenas)
- Tarjetas de dominó
¿Cómo confeccionar el DOMINÓ?
Recorta las tarjetas de dominó
Prepara un juego para cada 4 o 5 niños de tu aula.
Si quieres preparar un DOMINÓ para un grado especifico (ten en cuenta el
campo numérico), si el dominó va a tener 28 fichas prepara una lista de 14
números expresados de diferentes formas, por ejemplo: 156 = 15 D + 6 U = 100
+ 50 + 6 o la representación con la Yupana Inka.
Confecciona las fichas del dominó.
En la primera ficha escribe en el lado izquierdo la palabra INICIO y en el lado
derecho una de las representaciones de un número de tu lista:
INICIO
15 D 5 U
En la segunda tarjeta deberás escribir en el lado izquierdo la pareja del
número representado y en el lado derecho otro número. Continua así hasta
llenar todas las tarjetas.

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