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  2. 2. Estimado(a) profesor(a), bienvenido(a) al tercer módulo. Esta vez, aprenderás algunos principios y estrategias que te ayudarán en tu ejercicio profesional para que tus estudiantes puedan resolver problemas multiplicativos, y en este proceso construir y reconstruir las nociones de multiplicación y división. Para iniciar, abordaremos algunas recomendaciones de cómo trabajar el doble y el triple de un número, así como el reparto en dos y tres partes iguales; luego, la clasificación de los PAEV multiplicativos, estrategias sugeridas y recomendaciones de cómo ayudar a los estudiantes a resolver exitosamente estos problemas multiplicativos. - ¿Cómo introduzco la noción de multiplicación? - ¿Cómo iniciar la noción de división? - ¿Cuándo se inician las tablas de multiplicar? Veamos este problema: Rosario tiene el triple de la cantidad de plumones que hay en una caja ¿Cuántos plumones tiene Rosario? Módulo 3 Estrategias para resolver PAEV multiplicativos 1
  3. 3. La aproximación que los estudiantes deben realizar a la multiplicación y división siempre debe ir posterior a la construcción de la noción de adición y sustracción, pues estas son la base para la comprensión de las acciones que implica la multiplicación, como “juntar tantas veces, reiterar tantas veces, añadir tantas veces, reunir tantas veces, reiterar, etc.” (Godino, 2004, p. 209), y las acciones propias de la división, como “repartir en partes iguales, hacer grupos iguales, restar reiteradamente, distribuir equitativamente, compartir, fraccionar, trocear, partir, etc.” (Godino, et. al., p. 210). El problema presentado ha sido tomado de uno de los reportes que la UMC (Oficina de Medición de la Calidad de los Aprendizajes) entregó a los docentes luego de la ECE (Evaluación Censal de Estudiantes) de 2.° de primaria. En este grado, si bien los estudiantes trabajan la noción de doble y triple, se espera que la comprendan a partir de sumas reiteradas de la misma cantidad; por ello, este problema podría ser resuelto de la siguiente manera: Con material concreto (por ejemplo, los cubitos del material Base Diez) Tiene 18 plumones Gráficamente (por ejemplo, con marcas de seis en seis) Tiene 18 plumones Operativamente (sumando tres veces 6) 6 + 6 = 12 12 + 6 = 18 Tiene 18 plumones Para llegar a la exitosa solución del problema, previamente, se debe haber trabajado en clase problemas en los cuales se haya tenido que juntar varias veces una misma cantidad. Por ejemplo, se trata de haber propuesto en clases preguntas como estas: 2
  4. 4. Estas podrían ser algunas de las estrategias usadas por los estudiantes de segundo grado: Otros casos que ayudan a construir la noción multiplicativa, que se inicia en segundo grado de primaria, es de reiterar la misma cantidad varias veces. ¿Cuántos tentáculos habrá entre tres pulpos? 3
  5. 5. El problema que a continuación se presenta puede ser planteado a estudiantes de segundo grado que evidencian mayor avance, recuerde que es importante atender a la diversidad en el aula, veamos: Algunos estudiantes de segundo grado podrían desarrollar las siguientes estrategias 1 : 1 Respuestas de estudiantes tomadas de las guías de orientaciones didácticas para la enseñanza de la mul- tiplicación y división en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de Educación Básica de Buenos Aires. ¿Cuántas patas se contarán si tenemos cinco gatos? 4
  6. 6. En la solución de estos dos últimos ejemplos (problema de los pulpos y de los gatos), un estudiante con estrategias más concretas podría haber usado chapitas o tapitas de plástico para representar las patas del gato o los tentáculos del pulpo, y bolsitas para representar a los animales. Si como docente sugieres esta estrategia a tus estudiantes, recuérdales que deben llenar en cada bolsa 8 tapitas (caso del pulpo) o 4 tapitas (caso del gato); además, podrías preguntarles: ¿Cuántas bolsitas debemos tener? Se espera que respondan que deben tener 3 bolsitas con 8 tapitas de plástico cada una (caso del pulpo) o 5 bolsitas con 4 tapitas de plástico (caso del gato); así, se indica la cantidad de “veces” que deben sumar 8 tentáculos (pulpo) o 4 patas (gato). El procedimiento descrito es una manera concreta e intuitiva de ir trabajando paulatinamente las primeras nociones de la multiplicación. En estos inicios es importante que los estudiantes afronten el problema con sus propios recursos: material concreto, dibujos, conteos, sumas o restas. Es importante que tus estudiantes usen las estrategias utilizando el material concreto o gráficas con facilidad, conviene formular y responder con ellos preguntas como estas: ¿Es necesario realmente dibujar todos los pulpos o todos los gatos? ¿Se puede dibujar solo un animal y contar las patas varias veces (según como señale el problema)? Esta reflexión tiene la finalidad de ayudarlos a darse cuenta de la conveniencia de usar marcas que representen los elementos del problema. Unida a esta opción de usar marcas, conviene dialogar con los estudiantes y hacerles notar la conveniencia de realizarlas ordenadamente, a fin de no confundirse y contar más veces de las necesarias u omitir contar alguna de ellas. Para introducir la noción de mitad o de reparto en tres partes iguales, la dinámica a seguir es similar, solo que en esta ocasión la noción base es la sustracción. Veamos algunos casos que ejemplifican este proceso: Un abuelo tiene 8 caramelos y le da la mitad a cada uno de sus dos nietos. ¿Cuántos caramelos recibe cada nieto? 5
  7. 7. Las posibles estrategias que usarían los estudiantes se muestran a continuación: Con material concreto (por ejemplo, botones que van repartiendo uno a uno en dos filas hasta usar los ocho que tienen) Gráficamente (por ejemplo, con puntos en una tabla, que van colocando uno a uno para cada nieto hasta usar los 8 botones) Nieto 1 Nieto 2 Operativamente (restando varias veces una misma cantidad hasta quedar en cero) Nieto 1: 8 – 2 = 6 4 – 2 = 2 tendrá 4 caramelos Nieto 2: 6 – 2 = 4 2 – 2 = 0 tendrá 4 caramelos Veamos el siguiente problema que puede ser trabajdo cuando tus estudiantes manifiesten mayor avance: Digamos que entregas en clase a cada estudiante un “album” con cuatro páginas y además les entregas 28 figuritas (o stickers), además les das la consigna de que peguen todas las figuritas en las páginas, cuidando que 6
  8. 8. haya la misma cantidad en cada página. Algunas respuestas2 reales que se obtuvieron de esta actividad se muestran a continuación: Vemos que algunos niños repartieron las 28 figuritas en cada página y llegaron a la conclusión de que si pegaban 7 en cada página no sobraba ninguna. Estos niños y niñas llegaron a esta respuesta porque emplearon el reparto de 1 en 1 o de 2 en 2 hasta agotar las 28 figuritas. En cambio, otros(as) pegaron 6 en cada página y anotaron que les sobraban 4. En casos como este, conviene preguntar a la clase si se pueden seguir repartiendo las figuritas que sobran; esta pregunta motivará a los estudiantes a intervenir hasta que toda la clase concluya que siete figuritas es lo que debe ir en cada página. Con el trabajo de las nociones de doble, triple, mitad y tercera parte, que se trabajan en segundo grado, se cubren los preámbulos para iniciar en tercer grado el trabajo de que el estudiante comprenda la multiplicación y el producto como cantidad de elementos o medida resultante de grupos de igual número de elementos, transitar por el concepto de campo ordenado (mediante los arreglos rectangulares: filas y columnas), la escritura convencional, la construcción de la tabla como un todo integrado, la construcción de propiedades; reservando la propiedad distributiva y la del cero para cuarto grado. Todos estos aprendizajes deben construirse a partir de la resolución de problemas. 2 Dirección general de educación básica de Buenos Aires, op. cit. 7
  9. 9. Una de las creencias erróneas que aún existe en nuestras escuelas y hogares es considerar que para multiplicar, primero, se debe aprender las tablas de multiplicar “de memoria”. Por ejemplo: si preguntamos a un estudiante cuánto es 6 × 7 y responde inmediatamente 42, esta respuesta no es evidencia contundente de que comprende qué significa ni los procedimientos que debe seguir para obtenerla. Las tablas de multiplicar deben construirse con los niños y las niñas haciendo que ellos brinden explicaciones descriptivas y deductivas, es decir, establezcan relaciones entre los números para comprender el origen de cada producto y, después, solo después, memorizarlo. La memorización es uno de los actos finales del proceso de aprendizaje, lo primero es asegurar la comprensión de la noción multiplicativa y de las acciones que esta conlleva. Las primeras multiplicaciones que se formalizan son las multiplicaciones por 1 y por 10. Luego, se construye la tabla de multiplicar del 2, la cual se ha construido antes con las soluciones de distintos problemas. Después, la tabla del 5, asociándola a la del 10 y a la noción de mitad, y la tabla del 3. Posteriormente, y a partir de la tabla del 2 y apoyándonos en la propiedad conmutativa, se construye la tabla del 4. La tabla del 6 se construye análogamente a partir de la tabla del 3. Se prosigue con las tablas del 8 y del 9, relacionándolas con las del 2 y del 3, respectivamente, y la noción de triple. Las últimas en completarse son las tablas del 7, del 11 y del 12: hacer notar con ayuda de la propiedad conmutativa que ya se saben varios de estos productos. En el siguiente enlace: http://es.wikihow.com/aprender-las-tablas-de-multiplicar podrás encontrar consejos prácticos para ayudar a tus estudiantes en este necesario aprendizaje. Adicionalmente, es muy importante tener en cuenta lo que Castro y Rico3 (1995) nos recomiendan sobre este punto: Se debe dedicar un curso completo a la construcción de la tabla de multiplicar y a su empleo en la resolución de todo tipo de problemas. No debe importar que los datos numéricos sean pequeños, lo realmente importante es la comprensión de todas las relaciones que pueden expresarse mediante la estructura multiplicativa y la variedad de significados —variables semánticas—con las que dichas relaciones pueden expresarse. Al igual que con la suma y resta, no existen combinaciones más sencillas para el producto, salvo la regla general que aumenta la dificultad conforme aumentan los factores. Por razones obvias, resultan más fáciles de memorizar las tablas de 5 y 10. 3 Cuando mencionan que se debe dedicar todo un curso, se refieren a trabajar la construcción de las ta- blas de multiplicar a lo largo de un grado. 8
  10. 10. La tabla de multiplicar, una vez construida, se olvida. Por ello al curso siguiente conviene recordarle al niño de nuevo cuáles son los significados más usuales del producto y cómo se construye la tabla. A partir de ahí debe irse exigiendo cierto grado de memorización en el que se combinen la fijación de algunos datos y el uso de la estructura interna de relaciones entre la totalidad de ellos. Carece de todo sentido el exigir una memorización mecánica total de la tabla. El énfasis no hay que ponerlo en la repetición sino en la comprensión. Aun así, conviene que el alumno recuerde el mayor número posible de resultados o al menos sepa cómo obtenerlos. Castro y Rico. 1995. p. 51 - ¿Cuáles son los PAEV multiplicativos? - Qué estrategias deben usar los estudiantes para resolverlos? - ¿Cuáles son las principales dificultades que tienen los estudiantes en estos problemas? Así como vimos en el módulo anterior que existen problemas aditivos que por su estructura semántica dan origen a cuatro clases de PAEV, en los problemas multiplicativos (que incluyen tanto acciones asociadas a multiplicar como a dividir) la estructura semántica del enunciado origina diferentes clases de problemas: los problemas de razón o proporcionalidad, los problemas de comparación multiplicativa y los problemas de combinatoria o producto cartesiano. A efectos de este módulo, nos dedicaremos solo a los problemas que, según el nuevo Diseño Curricular y demás documentos oficiales4 , corresponden abordar en el IV Ciclo de la EBR: los PAEV multiplicativos de razón o proporcionalidad y los de comparación. 4 Rutas del Aprendizaje (2015), Cuadernos de trabajo (2015) y Mapas de progreso (2015). 9
  11. 11. Problemas de estructura multiplicativa de una etapa: multiplicación o división Para este caso se desarrollarán dos tipos de problemas: 1. Multiplicación-división- razón Son problemas de proporcionalidad directa Multiplicación-razón 1 Multiplicación-razón 2 Multiplicación-razón 3 División participación-razón División cualición o agrupamiento 3.° grado 2. Problemas de comparación Multiplicación- Comparación en más División-partitiva-comparación en más. División agrupación comparación en más. 3.° grado 4.° grado Como sabemos, en los problemas de razón o de proporcionalidad existe esta relación entre dos magnitudes y son problemas en los cuales uno de los términos es 1, es decir, la razón es referida a la unidad. Veamos con ejemplos cómo se presenta esta estructura multiplicativa. Un litro de leche rinde 4 vasos. ¿Cuántos vasos rendirán 3 litros de leche? 10
  12. 12. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Proporcionalidad - razón uno (hallar el total) Acción implícita (responde el estudiante) Reiterar tantas veces la misma cantidad. Posibles estrategias de solución • Si el estudiante está aún construyendo la noción multiplicativa, lo más seguro es que opte por una estrategia apoyada en material concreto, como formar tres grupos de cuatro y luego contar todo. 1 vez 4 2 veces 4 3 veces 4 • Si ya está entrando a una fase de representación gráfica, puede hacer grupos de cuatro aspas o dibujar los vasos e indicar que cada grupo es un litro de leche; finalmente, contará todo desde el inicio o irá contando de corrido a medida que avanza con cada grupo. • Si, en cambio, ya tiene la noción de multiplicación construida, es muy probable que opte por una estrategia operativa y plantee una multiplicación de tres por cuatro. Rinde 12 vasos 1.° jarra = 4 vasos 2.° jarra = 8 vasos 3.° jarra = 12 vasos 3 × 4 = 12 Rinden 12 vasos 11
  13. 13. Veamos otros ejemplos de cómo se presentan los PAEV multiplicativos de proporcionalidad. En cada caso, las posibles estrategias que presentaremos ilustrarán las distintas fases de construcción de la noción multiplicativa en la que podrían encontrarse los estudiantes, con la finalidad de que identifiques estas características en los tuyos y les brindes el apoyo que necesitan. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Proporcionalidad - división cuotitiva (hallar el número de unidades) Acción implícita (responde el estudiante) Partir, fraccionar Posibles estrategias de solución • Puede optar (o le puedes sugerir) la estrategia de simulación, en la cual él (o ella) será el estudiante que compra cuadernos. Deberá tener varios carteles con el precio (S/ 5) y colocarlos uno junto al otro hasta llegar a los 20 soles gastados. Luego, en cada cartel de precio asignará un cuaderno, contará los cuadernos y responderá que se compraron 4 cuadernos. Un cuaderno cuesta 5 soles. ¿Cuántos cuadernos compró Mario si gastó 20 soles? S/ 5 S/ 5 S/ 5 S/ 5 12
  14. 14. • También puede darse el caso de repartir los 20 soles en monedas de 5 soles, las cuales graficará y asociará con un cuaderno a la vez, para finalmente responder que Mario compró 4 cuadernos. • Una estrategia operativa podría ser dividir 20 entre 5. NUEVOS SOLES NUEVOS SOLES NUEVOS SOLES NUEVOS SOLES S/ 20 # cuadernos 1 2 3 4 20 ÷ 5 = 4 20 5 4 Carmen ha comprado 24 lápices para todo el año escolar y los repartirá por igual entre sus tres hijos. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada hijo? 13
  15. 15. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Proporcionalidad - división partitiva (hallar el valor de la unidad) Acción implícita (responde el estudiante) Repartir en partes iguales. Posibles estrategias de solución • Hace el reparto uno a uno entre tres compañeros (que simulan ser los hijos de Carmen), para finalmente responder que a cada hijo (como a cada compañero) le corresponden 8 lápices. • Puede que empiece a dibujar en una tabla de tres columnas (una por cada hijo) cierta cantidad de lápices (5 u otro valor) y, luego, termine de repartir los que aún tiene hasta que todos los hijos tengan 8 lápices. • Sabe que la cantidad a repartir son los 24 lápices (dividendo) y debe repartirla entre tres personas (divisor), por lo que propone el algoritmo de la división. Hijo 1 Hijo 2 Hijo 3 24 ÷ 3 = 8 14
  16. 16. En estos problemas, una señal de que el estudiante no está comprendiendo la noción multiplicativa y, por lo tanto, requiere más trabajo concreto y mayor apoyo a fin de que no se aleje de lo esperado para el grado, es cuando tiende a sumar o restar los valores dados, por ejemplo5 : Este tipo de respuestas claramente comunican que los estudiantes no comprenden qué significan los valores en el problema ni de qué trata o qué acción demanda, a diferencia de las variadas estrategias que hemos visto que pueden usar, donde se evidencia que comprenden la estructura multiplicativa pero que están en niveles distintos de concretización de los procedimientos de multiplicación o división. Dentro de estos tres tipos de problemas de proporcionalidad o razón multiplicativa, el primer caso es el más sencillo para los estudiantes, pues fácilmente se asocia a una suma iterativa o a la multiplicación directa; mientras que los casos de división cuotitiva o partitiva, si bien tienen algunos elementos de la multiplicación, estos no son los dos factores, por lo que se debe usar el proceso inverso (noción de división). Te recomendamos revisar las páginas 95 a 99 de las Rutas del Aprendizaje (2015) del IV ciclo antes de continuar. Recordemos ahora la segunda estructura multiplicativa que se propone trabajar con los estudiantes del IV Ciclo de primaria: los PAEV multiplicativos de comparación. En esta estructura se utilizan tres tipos de expresiones comparativas, según refiere Castro (1994) en su tesis doctoral: “comparación de superioridad que se forma incluyendo la expresión ‘más... que’; comparación de igualdad que se forma con ‘tanto... como’ o ‘tan... como’, y la comparación 5 Imágenes tomadas de una investigación de Mary Poveda, para la Fundación Fumigas, p. 2. 1. ¿Cuántos pedazos de 20 metros se pueden cortar de un rollo de piola de 140 metros? 2. Compré 12 dulces, cada uno a S/ 26 ¿Cuántos pague en total? 15
  17. 17. de inferioridad que se forma con ‘menos... que’”. (p. 31). Veamos las comparaciones de aumento y disminución en la tabla que el mismo Enrique Castro presenta: Ahora, trabajaremos problemas en los que se presentan estas estructuras y cómo los estudiantes pueden afrontarlas. Al igual que en el caso anterior, presentaremos la secuencia de aproximación a la formalidad operativa de la estructura multiplicativa. El tanque del edificio A tiene 22 litros de agua y el tanque del edificio B tiene el triple de agua que A. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque del edificio B? Tabla 1.3. Comparación de aumento y de disminución Referente Comparado c = 6 ∙ r (Comparado = 6 x referente) A2 A1 Referente Comparado c = 6 : r (Comparado = referente : 6) A2 A1 16
  18. 18. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - ampliación de la magnitud (hallar la magnitud amplificada) Acción implícita (responde el estudiante) Reiterar tantas veces la misma cantidad. Posibles estrategias de solución • Con el material base 10, formará 22 (tanque del edificio A) y lo reiterará tres veces para formar la cantidad de litros de agua del tanque del edificio B. Luego, reagrupará este total y responderá que en el tanque de B hay 66 litros de agua. Tanque edificio A: Tanque edificio B: • Puede usar la adición reiterada de la misma cantidad para dar la respuesta final. Tanque A: 22 litros Tanque B: 22 litros + 22 litros + 22 litros = 66 litros • Formula una multiplicación de 22 (multiplicando) por 3 (multiplicador). 22 × 3 = 66 En un día de trabajo, el taxista Abel gana 150 soles y el taxista Bruno gana 600. ¿Cuántas veces mayor es la cantidad de dinero que gana Bruno con relación a Abel? 17
  19. 19. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - división cuotitiva (hallar el factor de comparación) Acción implícita (responde el estudiante) Encajar un número de veces exactas una cantidad en otra. Posibles estrategias de solución • Grafica una recta numérica con escala 50 en 50, hasta 600 o más, y cuenta el número de saltos de 150 en 150 que contiene 600. Responde que Bruno gana 4 veces lo que gana Abel. • Resta reiteradamente 150 de 600 hasta llegar a cero; luego, cuenta las veces que tuvo que efectuar esa sustracción y responde el problema. 600 – 150 = 450 450 – 150 = 300 300 – 150 = 150 150 – 150 = 0 Bruno gana 4 veces lo que gana Abel. • Formula una división en la que 600 es el dividendo y 150 es el divisor. Concluye que Bruno gana el cuádruple de lo que gana Abel. 600 150 4 600 ÷ 150 = 4 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 6500 Alicia tiene 240 puntos en el juego “Saltarines”. Es seis veces el puntaje acumulado por Daniel. ¿Cuántos puntos tiene Daniel? 18
  20. 20. Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - reducción de la magnitud (hallar el valor de la magnitud reducida) Acción implícita (responde el estudiante) Repartir en partes iguales, formar grupos de igual tamaño. Posibles estrategias de solución • Arma, con material base diez, seis grupos con una cantidad de puntos (digamos que 20); luego, al ver que sobran puntos, aumenta a cada grupo de 10 en 10 hasta agotar los 240 puntos. Finalmente, responde que Daniel tiene 40 puntos. • Mediante el modelo de barras, compara los puntos de Alicia (barra de seis secciones) con los de Daniel (barra de una sección) y empieza a asignar valores a cada sección hasta decidir que valen 40 puntos, lo que equivale al puntaje de Daniel. Alicia 30 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 40 Daniel Daniel tiene 40 puntos. • Plantea una división entre 240 (magnitud a reducir) y 6 (factor de comparación). 240 ÷ 6 = 40 Al igual que en la estructura multiplicativa de proporcionalidad, de estos tres casos de comparación multiplicativa, el primero suele ser el más sencillo para los estudiantes, pues es una aplicación directa de la noción de multiplicación; en los otros dos casos, uno de los factores no es conocido, por lo que se requiere trabajar con estrategias vinculadas a la noción de división. 19
  21. 21. El aprendizaje de la multiplicación y de la división presenta dificultades ya estudiadas por diversos autores. Citaremos a Martínez (1993), quien a su vez es citado por Godino en el texto Didáctica de las Matemáticas para Maestros (2004, pp. 210-211): a) Vocabulario y conceptos En situaciones de multiplicación, los términos “cada”, “a cada uno”, “para cada uno”, etc., tienen un sentido que, normalmente, no ha sido trabajado por los niños con anterioridad. Otra dificultad puede ser el empleo de la palabra “producto”. b) Nivel de abstracción En el caso de la multiplicación, el multiplicando es un número que indica la medida de una cantidad de magnitud, es decir, es un estado, mientras que el multiplicador nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (es una razón o una comparación). Para calcular el coste de 3 kg de peras a 2 euros el kilo, multiplicamos 3 × 2 = 6 y decimos que el resultado es 6 euros; 3 es la medida de la cantidad de peso de las peras y 2 el precio (medida del valor económico) por unidad de peso, es decir, la razón entre el valor económico y el peso. El resultado también puede ser una cantidad de una naturaleza diferente de los factores (área o volumen; mientras que los factores son longitudes o longitud y área). Todo esto supone un nivel de generalidad o abstracción superior y, por tanto, origen de dificultades en el proceso de estudio. En el caso de la división, debemos tener en cuenta la existencia de dos sentidos bien distintos para esa operación: - según se considere como “resta sucesiva” de una cantidad fija d de otra D y lo que se debe hallar es el número de veces (q) que se puede restar hasta agotar D (la división como agrupamiento) - o bien el sentido de “reparto en partes iguales” de una cantidad D entre un número dado de “sujetos” d, donde lo que se debe hallar es a cuánto tocan (q) (la división como distribución o reparto). c) Dificultades en operaciones La primera dificultad que suele pasar desapercibida es que una simple multiplicación como 123 × 12 es, en realidad, un conjunto variado de multiplicaciones que se escalonan y se combinan de acuerdo con unas reglas específicas. Este proceso queda notablemente oscurecido en el algoritmo habitual al suprimir pasos intermedios, lo que sin duda es una fuente de dificultades y errores. Estas dificultades son mayores incluso en el cálculo de la división donde deben realizarse procesos de tanteo, aparte de aplicar de manera coordinada las operaciones de multiplicación, adición y sustracción. d) Solución de problemas El estudio de la estructura semántica de los problemas multiplicativos y el análisis de los tipos de cantidades que intervienen como factores muestran¬¬ la gran complejidad de este campo conceptual cuyo estudio integral abarca un período bastante dilatado de tiempo. …Parece que resuelven mejor las situaciones multiplicativas de razón que las de comparación (salvo cuando en estas últimas la incógnita está en el primer término de la comparación), resultándoles las de combinación más difíciles de resolver que las otras. Dentro de las situaciones de razón, los problemas de reparto parecen ser más fáciles que los de agrupamiento. 20
  22. 22. Nuestro rol como docentes, ahora que conocemos de manera sistematizada las principales dificultades que significa para los estudiantes afrontar estas estructuras multiplicativas, es apelar siempre a la construcción de la noción paso a paso, priorizando las estrategias de simulación o manipulación de material concreto, de modo que visualicen de qué trata el problema y descubran qué deben hacer. De esta manera, ellos mismos irán migrando poco a poco a estrategias más gráficas hasta ver la ventaja de las estrategias operativas, especialmente, cuando se trata de cifras grandes. Sin embargo, este es un proceso que no tiene tiempo definido y que debe ser valorado inicialmente en la adecuada selección de la estrategia; posteriormente, con la seguridad que van demostrando los estudiantes, cobra la misma importancia la adecuada solución del problema. Comentemos dos estrategias usadas para resolver el siguiente problema: 2. Alvaro empacó de a 8 botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó? En esta estrategia, el estudiante comunica que comprende la situación multiplicativa, aunque está aún en la fase de trabajo aditivo. Convendría hacerlo reflexionar con preguntas como estas: ¿Cuánto es el doble de 8? ¿Cuántas veces usaste el doble de 8 en tu procedimiento? ¿Podrías escribirlo de otra manera? De esta forma, lo podemos aproximar a usar el doble o el triple de un mismo valor, para posteriormente proponerle problemas en los que necesite optimizar su tiempo y recursos, y, así, pueda valerse de la multiplicación. 2. Alvaro empacó de a 8 botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó? Álvaro empacó, de 8 en 8, botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó? 21
  23. 23. En esta estrategia, se puede apreciar que la noción multiplicativa también está comprendida y el estudiante está un paso adelante en su proceso de formalización respecto del estudiante anterior, pues va duplicando los valores que relaciona hasta dar con la respuesta. Se sugiere ayudar al estudiante a notar el uso de la tabla del 8, pidiéndole que escriba en una tabla de tres columnas el número de botones que va en cada bolsa (primera columna), el número de bolsas (segunda columna) y el total de botones en la tercera columna. Así, lo ayudamos a construir la tabla del 8 y a hacerlo consciente de su uso. Este estudiante, a pesar de no desarrollar el algoritmo de la multiplicación, claramente comunica que asocia la estructura del problema con la expresión operativa de la multiplicación. Quizá su inconveniente sea que no sabe las tablas de multiplicar, sin embargo, como ha trabajado variadas estrategias en sus procesos previos de solución de problemas, encuentra la manera de resolver el producto de 3 × 450. Cuando trabajemos estas estructuras, recordemos que lo que se debe valorar es el proceso mismo de solución del problema: si lo comprendió, si lo asoció a las estructuras correctas, si la estrategia usada es pertinente (aun cuando no sea la más económica en tiempo) y, finalmente, si lo resolvió; si hay fallas en esta última etapa, quizá sea por error de cálculo o falta de organización en el proceso seguido. Recapitulemos lo visto en este módulo compartiendo soluciones dadas por estudiantes al siguiente problema multiplicativo que se propone en el kit de evaluación de salida de 4.° grado: ¿Cuánto habrá que pagar por 3 tablets que cuestan S/ 450 soles cada una? Todos los estudiantes de un colegio de Bagua realizarán un paseo para conocer la fortaleza de Kuélap. Para esto contratarán buses que pueden llevar hasta 40 personas. Si en total, 316 personas irán de paseo, ¿cuántos buses serán necesarios contratar? 22
  24. 24. Estamos ante un problema multiplicativo de proporcionalidad, del tipo de división cuotitiva. Algunas de las posibles estrategias de solución usadas por los estudiantes fueron las siguientes: En ambos casos, las soluciones son correctas. Aun cuando en la segunda estrategia no se diga 8 buses, se señala que se debe contar con un bus adicional a los 7 calculados inicialmente. En estos casos se evidencia comprensión de la estructura multiplicativa y uso de la multiplicación y división. En caso de que el estudiante manifieste una respuesta errada, como responder que se necesitan 7 buses, el docente debe ayudarlo sugiriéndole revisar el problema y usar las siguientes estrategias: Con material concreto: base diez y cajita Mackinder Las personas están representadas por el material base diez y los buses por las cajitas. Cantidad de buses # personas 1 40 ? falta el cociente 316 23
  25. 25. Canjeando las centenas a decenas y haciendo el reparto de personas en la cajita Mackinder, tenemos: Luego, se cuentan los buses representados por las cajitas donde caben 40 personas; también, el de 36, pues es válido según la condición del problema. En total, son 8 buses. Por restas sucesivas: 316 – 40 = 276 196 – 40 = 156 276 – 40 = 236 156 – 40 =116 236 – 40 = 196 116 – 40 =76 76 – 40 = 36 Como siete veces se quita 40, el cociente o resultado hasta ahora es 7 buses, sobrando 36 personas, las cuales pueden entrar en otro bus, ya que según la condición del problema pueden entrar en un bus hasta 40 personas. Por lo tanto, la respuesta es 8 buses. Ahora, veamos una actividad propuesta en la página 61 del Cuaderno de trabajo de 4.° grado: 24
  26. 26. Los 6 integrantes del equipo 1 recibirán palitos de chupete para armar barquitos. Si Manuel les debe repartir 42 palitos equitativamente, ¿cuántos palitos recibirá cada integrante? a. Dibuja los palitor de chupete que recibirá cada estudiante. b. Expresa el reparto con una división. Cada integrante recibirá Recordemos que antes de pedir que los estudiantes desarrollen alguna estrategia de solución, debemos asegurarnos de que comprendan el problema. Tal como se sugirió en el módulo anterior, lo mejor es empezar solicitándoles que cuenten de qué trata el problema, sin leerlo, con sus propias palabras, ayudándolos a resaltar las relaciones que se establecen entre las cantidades mencionadas en la situación propuesta. En este caso, se podría preguntar: ¿Cada integrante debe recibir el mismo número de palitos de chupete? ¿Cuántos palitos se deben repartir? ¿Entre cuántos estudiantes se deben repartir los palitos? ¿Qué nos preguntan? Para ayudarlos a ubicar la estrategia (aunque está sugerida ya en el Cuaderno de trabajo), podemos pedir que asocien este caso con otro similar trabajado en clase: ¿Hemos visto algún caso similar en clase? ¿Qué hicimos en ese caso? ¿Resultará esa estrategia en este problema? También es válido sugerir, después de desarrolladas las estrategias planteadas en el Cuaderno, solicitar otras formas de solución y compartir aquellas innovadoras, e incluso las erróneas, para hacer la corrección entre toda la clase. Como recomendación final de este módulo, les compartimos la secuenciación que propone Godino (2004, pp. 209-210) para el trabajo con la multiplicación y el procedimiento operativo de la división: = 25
  27. 27. En un principio, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma como con la multiplicación, hasta que el alumno observe que con la multiplicación y más con el uso de las tablas, es más rápido y seguro. Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (el multiplicador); se refiere a un “objeto” (número de veces que se repite la acción) de naturaleza diferente que el multiplicando. En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias, habría que comenzar por el producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas (figurativas), esquemáticas y simbólicas. … El aprendizaje del cálculo de la división requerirá también tener en cuenta las fases manipulativa, gráfica (figurativa) y simbólica, y la siguiente secuenciación: • Una cifra en el dividendo y una en el divisor. • Dos cifras en el dividendo y una en el divisor: ab : c, distinguiendo los casos, a > c, y a < c. Se pueden presentar dificultades cuando exista un cero en el cociente. • Tres o más cifras en el dividendo y dos cifras en el divisor: abc entre d. Los casos en que pueden surgir dificultades son: - Cuando hay que tomar tres cifras en el dividendo. - Cuando hay que colocar ceros en el cociente. 26
  28. 28. Referencias bibliográficas Castro, E. (1994). Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa. Granada: Universidad de Granada - Facultad de Ciencias de la Educación. Castro, E., Rico, L., & Castro, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá: Grupo editorial Iberoamérica. Dirección de Educación General Básica. (2001). Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. Documento N.° 2. Buenos Aires: Dirección General de Cultura y Educación. Dirección de Educación General Básica. (2001). Orientaciones didácticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB. Documento N.° 4. Buenos Aires: Dirección General de Cultura y Educación. Godino, J., & otros. (2004). Didáctica de las Matemáticas para Maestros. Universidad de Granada - Facultad de Ciencias de la Educación. Recuperado de: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Ministerio de Educación del Perú. (2015). Rutas del Aprendizaje. IV Ciclo - Matemática. Dirección de Educación Básica Regular. Lima: Autor. Ministerio de Educación del Perú. (2015). Cuadernos de trabajo de Matemática. 4.° grado de primaria. Dirección de Educación Básica Regular. Lima: Autor. Poveda, M. (s.f.). El desarrollo del pensamiento multiplicativo. Recuperado de: http://www.ricardovazquez.es/MATEMATICASarchivos/MULTIPLICACION/ estructura%20multi/El%20desarrollo%20del%20pensamiento%20multiplicativo. pdf 27

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