Tema no. 2 semana 5

Tema No. 2
UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.4 Continuidad de una función en un punto
En un sentido informal, una función se describe como continua si puede graficarse sin levantar la pluma o el
lápiz del papel (es decir, no tiene brechas, ni saltos, ni interrupciones).
Las siguientes figuras indican las gráficas de cuatro funciones distintas. Las descritas en la figura a) y b) son
continuas porque pueden trazarse sin levantar el lápiz del papel.
Las de las figuras c) y d) no son continuas a causa de las “interrupciones” de las funciones.
Una función que no sea continua recibe el nombre de discontinua.
En seguida se da una definición más formal de la propiedad de la continuidad.
Definición:
Una función es continua en el punto si y solo si las siguientes tres condiciones se cumplen:
.fdeiomindoelenestáa,esesto;axendefinidaestá)x(f.1 =
existe)x(fLim.2
ax→
1

)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si f no cumple alguna de las condiciones anteriores decimos que f es discontinua en a y que a es un
punto de discontinuidad.
Ejemplos
En los siguientes ejercicios, determine si la función es continua o discontinua. Demuestre la continuidad o
discontinuidad gráficamente.
1. )x(f = 5 es continua en x = 7
Solución
Se debe verificar que las tres condiciones se cumplan:
Primera condición Segunda Condición Tercera condición
axendefinidaestè)x(f.1 = existe)x(fLim.2
ax→
)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si 7x = → 7a =
)7(f = 5, entonces
f está definida en 7x = ;
Lìmite por la izquierda:
55Lim
7x
=
−
→
Lìmite por la derecha:
55Lim
7x
=
+
→
Como )x(fLim
7x→
=
)7(f
5 = 5
Puesto que
5Lim
7x −→
= 5Lim
7x +→
Entonces
Existe55Lim
7x
=
→
Podemos observar que se cumplen todas las condiciones, Concluimos que la función 5)x(f = es continua
en 7x =
Gràfica:
2

2.





>
=
<
=
1x,x
1x,2
1x,x
)x(g
2
en el punto
Solución :
Usando la definición se tiene :
ax→
)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si 1x = → 1a =
2)1(g = , entonces
1xendefinidaestá)x(g =
1)1(xlim 22
1x
==
−→
1xlim
1x
=
+
→
Como )x(glim
1x→ ≠
)1(f
1 ≠ 2Puesto que
2
1x
xLim
−
→
= xLim
1x +
→
1 = 1
Entonces
Existe1)x(gLim
1x
=
→
Podemos observar que la tercera condición no es satisfecha, Concluimos que )x(f es discontinua en
1x =
La grafica de )x(f se muestra a continuación: Para el gráfico se puede auxiliar de tablas de valores.
Para x < 1 Para x > 1
x –1 0 1* x 1* 2
2
xy = 1 0 1 xy = 1 2
Nótese que los puntos marcados con un asterisco en realidad las funciones no los incluyen, pero proporcionan
una referencia de la continuidad o discontinuidad en la gráfica.
3

Observando la gráfica de f , notamos que
hay una ruptura de la gráfica en el punto
(1,1) así que la función es discontinua en
dicho punto.
3.




>−
≤−
=
2xsix
2
3
4
2xsi3x2
)x(f en el punto 2x =
Solución:
Condiciones:
ax→
)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si 2x = → 2a =
Sustituyendo en 3x2 − :
13)2(2)2(f =−=
Entonces,
2xendefinidaestá)x(f =
13)2(2
3x2lim
2x
=−=
−
−→
( )
134
2
2
3
4
x
2
3
4lim
2x
=−=
−=
−
+→
Como )x(flim
2x→
=
)2(f
1 = 1
Puesto que
3x2lim
2x
−
−
→
= x
2
3
4lim
2x
−
+
→
1 = 1
Entonces
Existe1)x(fLim
1x
=
→
Podemos observar que todas las condiciones son satisfechas, Concluimos que la función dada es continua en
.
para x ≤ 2 Para x > 2
x 1 2 x 2* 3 4
4

f(x)=
32 −x
-1 1 f(x)=
x
2
3
4 −
1 -1/2
- 0.5
- 2
Se observa que no tiene ninguna ruptura
o salto en el punto .
4.




<
>+
=
2xsix
2xsi2x
)x(h 2
en el punto 2x =
Solución:
ax→
)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si 2x = → 2a =
2xendefinidaestáno)x(h =
42xlim 22
2x
==
−→
422
2xlim
2x
=+=
+
+→
Como
)x(hlim
2x→
= )2(f
4 ≠ no esta definido
Puesto que
2
2x
xlim
−
→
= 2xlim
2x
+
+
→
Entonces
Existe4)x(hLim
2x
=
→
La primera condición y la tercera condición no son satisfechas:, Concluimos que la función dada es discontinua
en
5

Para x > 2 Para x < 2
x 2* 3 x 0 1 2*
f(x)= 2x + 4 5 f(x)= 2
x 0 1 4
5.




≤+
>−
=
3xsi2x
3xsi1x
xf 2
)( en 3x =
Solución:
ax→
)a(f)x(fLim.3
ax
=
→
Si 3x = → 3a =
sustituyendo en 2x2
+ :
112)3()3(f 2
=+= ,
entonces está definida
en 3x =
112)3(2xlim 22
3x
=+=+
−→
2131xlim
3x
=−=−
+→
Como )x(flim
3x→ ≠
)3(f
No existe ≠ 1 1
Puesto que
2xlim 2
3x
+
−→
≠ 1xlim
3x
−
+
→
11 ≠ 2
Entonces
=
→
)x(fLim
3x
∉ ExisteNo
6

La segunda y tercera condición no son satisfechas, Concluimos que la función dada es discontinua en 3x =
Para x > 3 Para 3x ≤
x 3* 4 x 0 1 2 3
f(x)=
1x −
2 3 f(x)= 2x2
+ 2 3 4 11
Ejercicios:
Analice la continuidad de las funciones dadas en el punto indicado. En caso de discontinuidad redefina la función,
siempre que sea posible, de forma tal que se vuelva continua en dicho punto. Construya la gráfica de la función.
1.
6.
2.
7.
3. 1x;
1x
1x2
)x(g =
−
−
=
8.
9.
7

4. 3xsi
3xsi8x
3xsi2x
)x(h 2
=




<−
≥−
=
5. 10.
8

Tema No. 3
UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.7 Límites al infinito.
2.8 Límites infinitos.
2.9 Asíntotas.
2.7) Limites al infinito
A menudo se desea conocer el comportamiento de una función conforme aumenta la variable independiente sin
límite alguno (“aproximándose” al infinito, tanto positivo como negativo)
Ahora examinaremos el comportamiento de la función
x
1
)x(f = cuando x se vuelve muy grande (infinita)
primero en sentido positivo y luego en al sentido negativo.
Para ello observe la tabla adjunta:
x 100 1000 10000 100000
x
1
)x(f =
0.01 0.001 0.0001 0.00001
De la tabla anterior podemos apreciar que, a medida que el valor de x se hace cada vez más grande, los
valores de la función )x(f se aproximan cada vez más a 0.
Es fácil percatarse que algo similar ocurre si x toma valores grandes pero negativos:
x -100 -1000 -10000 -100000
x
1
)x(f =
-0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001
En ambos casos, a medida que el valor de x tiende a valores grandes, la función )x(f se acerca al valor 0.
Lo anterior se expresa escribiendo respectivamente:
La grafica de la función
x
1
)x(f = mostrada a continuación nos ayuda a visualizar el comportamiento
predicho y confirmar los resultados.
9

Desde el punto de vista conceptual, para cuando significa poner en el denominador de la expresión
x
1
valores muy grandes positivos o negativos.
Obviamente esto conlleva a dividir el 1 entre un numero grande cuyo resultado será un número cercano a 0
.
En temas subsiguientes necesitaremos el siguiente resultado:
Conforme x se vuelve muy grande entonces también lo hace y en consecuencia la división de 1 por un
número muy grande tiende a 0 .
El resultado anterior también es válido en caso de la tendencia hacia ∞− y cuando la expresión este definida
para valores negativos.
En General:
0
x
1
lím px
=
∞→
0
x
1
lím px
=
∞−→
El límite obtenido es muy útil en el cálculo de límites al infinito de funciones racionales como lo ilustraremos en
los siguientes ejemplos.
Procedimiento para evaluar un límite al infinito de
)x(q
)x(p
)x(f =
Paso 1: Divida cada término de f(x) entre la potencia más alta p
x que está en el polinomio del denominador )x(q .
10

Paso2: Calcule )x(flím
x ∞→ o )x(flím
x ∞−→ utilizando los enunciados de limite al infinito.
Ejemplo 1: Determine el valor del siguiente límite al infinito:
Solución:
Paso 1: La potencia más alta en el denominador es . Divida el numerador y el denominador entre 2
x para
obtener
2
2
2
222
2
x
x
x
x
9
x
5
x
x2
x
x3
lim
−
+−
∞→
Simplificando:
1
x
9
x
5
x
2
3
lim
2
22
x
−
+−
∞→
Paso 2 : Utilizando los enunciados de límite al infinito:
=
10
003
−
+−
= 3
1
3
−=
−
Observe que, en el límite, todos los términos del penúltimo paso que contienen x en el denominador se
hacen 0 en virtud del resultado enunciado arriba.
Ejemplo 2: Encuentre el valor del límite:
Solución: Por medio del procedimiento indicado se tiene:
11

22
2
22
3
x
x
1
x
x
x
5
x
x2
lim
+
−
∞→
=
2
2
x
x
1
1
x
5
x2
lim
+
−
∞→
=
01
0x2
+
−
Observe que ahora el denominador tiende a 1 mientras que el numerador tiende a 0)(2 −∞ , un número
grande al cual se le resta 0 .
Por ello:
Del ejemplo anterior sacamos la siguiente conclusión:
Si el grado del numerador de una función racional es mayor que el del denominador, entonces la función no
tiene límite cuando .
(Es decir dicho límite será uno de los infinitos).
Ejemplo 3: Determine el valor del siguiente limite
Solución:
22
2
2
3
22
x
x
1
x
x
x
x3
x
x2
x
1
lim
−
−−
∞→
=
2
2
x
x
1
1
x3
x
2
x
1
lim
−
−−
∞→
=
01
x300
−
−−
Nótese que ahora el denominador tiende a 1 mientras que el numerador tiende a es decir
infinito por 3 negativo, lo cual obviamente es
En conclusión:
Ejercicios
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
12

1. 4. 7.
2. 5. 8.
3. 6.
2.8) Limites infinitos.
En apartados anteriores hemos considerado expresiones del tipo , esto es expresiones en donde tanto el
numerador como el denominador se aproximan a 0 .
Ahora examinaremos expresiones donde el denominador tiende a 0 pero el numerador tiende a un número
distinto de 0 .
Considere la función
x
1
)x(f = observe su comportamiento a medida que tomamos valores cercanos a 0 ya
sea por la derecha o por la izquierda
x -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001
x
1
)x(f =
x)
-10 -100 -1000 -10000
A medida que x se aproxima a 0 por la izquierda, la función )x(f toma valores cada vez más grandes pero
negativos,( tiende a infinito negativo),
x 0.1 0.01 0.001
x
1
)x(f =
x)
10 100 1000
Similarmente, si x se aproxima a 0 por la derecha la función )x(f tomara valores cada vez más grandes pero
positivos (tiende a infinito positivo).
De modo simbólico estos límites infinitos son escritos:
∞−=
−→ x
1
lim
0x
y ∞+=
+→ x
1
lim
0x
Consideremos ahora la función cuya grafica aparece a continuación y determinemos los límites cuando
nos acercamos a 1 por la izquierda y la derecha.
13

Es claro que, al acercarnos a 1 por la izquierda nuestra
función tomara valores negativos cada vez más grandes,
mientras que si el acercamiento a 1 se hace por el lado
derecho, la función toma valores cada vez más grandes
pero positivos. Entonces:
¡Cuidado con generalizar! No siempre cuando nos acercamos a cierto número por la izquierda el cual hace 0 el
denominador, el resultado será y cuando lo hacemos por la derecha el resultado será . En ocasiones
los resultados son opuestos.
En vista de lo anterior surge la pregunta evidente: ¿Sera posible determinar el resultado de límites infinitos sin
necesidad de recurrir a una gráfica? La respuesta es afirmativa. Solo necesitas hacer uso de las reglas elementales de
signos.
Ejemplo 1: Encuentre los limites laterales
Solución: Observe en detalle el procedimiento formal. Primero nótese que el valor 2 hace 0 el denominador pero
no el numerador.
Asimismo véase la importancia de la factorización
14

Comentarios: Después de factorizar (Diferencia de Cuadrados), se sustituye el valor de x .
Luego se realiza un análisis de signos teniendo cuidado con el 0 obtenido.
En nuestro caso ponemos porque al acercarnos a 2 a través de valores menores que 2 , la diferencia es
cercana a 0 pero negativa.
Tratamos formalmente al 0 como negativo y como la división de resulta +
Similarmente:
Recuerde, en realidad el 0 carece de signo pero usamos el recurso de asignarle signo con el fin de mostrar la
tendencia o naturaleza del acercamiento al 0 . La grafica de la función confirma la justeza de nuestro análisis.
Ejemplo 2: Encuentre los limites laterales
Solución: Efectuamos los cálculos de la manera sugerida:
15
Como ejercicio trate de obtener
los siguientes resultados que
también se aprecian en la gráfica:

Observe que el denominador 22
−−xx lo factorizamos.
La grafica de la función la cual se muestra a continuación confirma los resultados.
Ejercicios
Evalúe los límites siguientes:
1. 5.
8.
2. 6. 9.
3. 7. 10.
4.
2.9) Asíntotas
En este apartado estudiaremos un procedimiento para el trazado de curvas o representación gráfica de funciones
investigando la existencia de asíntotas.
Básicamente, una asíntota es una recta a la cual la gráfica de la función se acerca cada vez más.
16
Nuevamente, a manera de ejercicio obtenga
los límites siguientes (cuya validez también los
confirma la gráfica de la izquierda):

Existen asíntotas verticales, asíntotas horizontales y asíntotas oblicuas aunque estas últimas no serán objeto de
estudio en nuestro curso.
Asíntotas verticales:
En cada una de las figuras la línea punteada ax = es una asíntota vertical. Para ser precisos sobre esto,
necesitamos hacer uso de los límites infinitos.
En la figura (a) observe que cuando x se acerca a a ( +
→ax ), )x(f se vuelve positiva y tiende a infinito:
∞=
+→
)x(flim
ax
En la figura (b), cuando x se acerca a a ( +
→ax ), )x(f se vuelve negativa y tiende a menos infinito:
∞−=
+→
)x(flim
ax
En la figura (c) y (d) tenemos:
∞=
−→
)x(flim
ax
∞−=
−→
)x(flim
ax
respectivamente.
Desde el punto de vista visual, la curva que representa f crece sin límite alguno conforme la curva va
aproximándose a la línea ax = , pero sin tocarla nunca.
He aquí una definición formal de este fenómeno
Definición:
La recta es una asíntota vertical para la gráfica de la función si y solo si al menos uno de los
enunciados siguientes se cumple:
∞+=
−→
)x(flim
ax
ó ∞−
o
17

∞+=
+→
)x(flim
ax
ó ∞−
Asíntotas horizontales:
Una curva )x(fy = puede tener otro tipo de asíntota.
En la figura (a) conforme x crece sin límite ( ∞→x ), la gráfica )x(f se acerca a la recta horizontal by = . Esto
es,
b)x(flim
x
=
∞→
En la figura (b) cuando x tiende a infinito negativamente ( ∞−→x ), la grafica )x(f se acerca a la recta
horizontal by = . Esto es,
b)x(flim
x
=
∞−→
En cada caso la línea punteada y = b se llama asíntota horizontal, la que es una recta horizontal hacia la cual “tiende
la gráfica cuando ∞→x o cuando ∞−→x .
Definición:
Sea f una función no lineal. La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f si y solo si, por lo menos uno
de los siguientes enunciados es verdadero:
b)x(flim
x
=
∞+→ o b)x(flim
x
=
∞−→
Con las asíntotas verticales examinamos el comportamiento de una gráfica alrededor de valores específicos de x .
Sin embargo, con las asíntotas horizontales examinamos la gráfica cuando x crece o decrece sin límite.
Para determinar las asíntotas de una función:
18

1. Asíntotas Verticales: Determine los valores de x para los cuales la función crezca o disminuya sin límite. En
el caso de las funciones racionales esto ocurrirá en los valores de x que hacen cero el denominador.
Por consiguiente, el proceso para encontrar las asíntotas verticales en el caso de dichas funciones consiste en
igualar a 0 el denominador y resolver la ecuación resultante.
El valor o los valores de x obtenidos serán asíntotas verticales (siempre y cuando no anulen
también el numerador).
2. Asíntotas Horizontales: Determine los límites de )x(f cuando ∞→x y cuando ∞−→x
( )x(flim
x ∞+→ y )x(flim
x ∞−→ )
Ejemplo 1: Determine asíntotas verticales y horizontales de la función dada y haga un bosquejo de la gráfica:
Solución:
Determinando las asíntotas verticales:
Para ello igualamos a 0 el denominador 012xx2
=−+
Resolvemos la ecuación cuadrática resultante factorizando: 0)3x()4x( =−+
04x =+ y 03x =−
Por consiguiente hay dos asíntotas verticales: 4x −= y 3x =
Posterior a la determinación de las asíntotas verticales, un análisis de límites laterales conducirá a una mayor
claridad en el comportamiento de la función en la vecindad de dichas asíntotas:
Para 4x −= :
12xx
x1
lim 2
2
4x −+
−
−
−→
=
)3x()4x(
x1
lim
2
4x −+
−
−
−→
=
)7()0(
161
−−
−
= ∞−=
+
−
0
15
12xx
x1
lim 2
2
4x −+
−
+
−→
=
)3x()4x(
x1
lim
2
4x −+
−
+
−→
=
)7()0(
161
−+
−
= ∞+=
−
−
0
15
Para 3x = :
12xx
x1
lim 2
2
3x −+
−
−
→
=
)3x()4x(
x1
lim
2
3x −+
−
−
→
=
)0()7(
91
−+
−
= ∞+=
−
−
0
8
19

12xx
x1
lim 2
2
3x −+
−
+
→
=
)3x()4x(
x1
lim
2
3x −+
−
+
→
=
)0()7(
91
−+
−
= ∞+=
−
−
0
8
12xx
x1
lim 2
2
3x −+
−
+
→
=
)3x()4x(
x1
lim
2
3x −+
−
+
→
=
)0()7(
91
−+
−
= ∞+=
−
−
0
8
Determinando las asíntotas horizontales:
De acuerdo a lo indicado en la definición de asíntota horizontal debemos calcular
)x(flim
x ∞+→ o )x(flim
x ∞−→
Utilicemos el procedimiento para calcular límites al infinito:
12xx
x1
lim 2
2
x −+
−
∞→
222
2
2
2
2
x
x
12
x
x
x
x
x
x
x
1
lim
−+
−
∞→
=
2
2
x
x
12
x
1
1
1
x
1
lim
−+
−
∞→
=
001
10
−+
−
=
1
1−
= – 1
Por lo tanto, la recta será la asíntota horizontal.
Un último detalle: Podemos determinar los interceptos de la función con los ejes por los métodos
usuales, según lo aprendido en la asignatura Razonamiento Matemático.
Interceptos en x :
Igualando la función a 0 y recordando que el denominador no puede ser 0 se obtiene:
01 2
=−x
2
1 x=
2
1 x=±
2
1 x=± Luego la gráfica corta al eje x en los valores 1=x , 1−=x
Intercepto en y
Se encuentra evaluando x=0 en la funciòn
12xx
x1
)x(f 2
2
−+
−
= , para obtener:
Luego la gráfica corta al eje y en el valor y =
20

Para construir la gráfica ahora dibujamos las asíntotas verticales y horizontales con línea de puntos, tomamos en
cuenta la información adicional proporcionada por los límites laterales a las asíntotas verticales así como los
interceptos con los ejes.
Observe cuidadosamente el comportamiento de la función en la vecindad de las asíntotas.
Ejemplo 2: Apoyándose en un análisis de asíntotas y de interceptos construya la gráfica de la función:
Solución:
Asíntotas verticales:
Luego hay dos asíntotas verticales que son
Para :
21
Analice cuidadosamente como se refleja
en la gráfica la información que
proporcionan los límites laterales hacia las
asíntotas verticales. Asimismo nótese la
importancia de la asíntota horizontal: la
gráfica se acerca a ella a medida que nos
acerquemos a cualquiera de los infinitos.
A menudo causa desconcierto el
comportamiento grafico de la función en
la cercanía del origen de coordenadas.
Para tal efecto resultan de mucha ayuda
los interceptos con los ejes x e y. Dichos
puntos fueron resaltados en el diagrama
mostrado con ese fin.

Para :
Asíntota horizontal:
Por lo tanto, la recta es la asíntota horizontal.
Los interceptos en x se hallan de la condición:
El intercepto en y se determina haciendo x=0 en la función para obtener:
Combinando los resultados obtenemos la gráfica adjunta.
Ejercicios
22

Para cada una de las siguientes funciones, determine asíntotas verticales, asíntota horizontal, interceptos y construya
su gráfica de forma tal que se muestre claramente los elementos mencionados:
(Use papel milimetrado para mayor precisión en su trazado)
1.
x
1x
)x(h
+
= 7.
10x
8x3
y
+
−
= 13.
6x5x2
3x2x4
y
2
2
++
+−
=
2.
1x
x
y
−
= 8. 14.
3.
3x2
1x
)x(g
+
−
= 9. 15.
4.
1x2
1x2
y
−
+
= 10. 16.
5.
1x
6x3
y
−
−
= 11.
6.
2x
3x4
)x(f
+
+
= 12.
23

Tema no. 2 semana 5

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Tema no. 2 semana 5

Último

Tema no. 2 semana 5