Este documento presenta ejercicios resueltos sobre definiciones y propiedades de límites y derivadas. Contiene temas como límites laterales, límites infinitos, asíntotas, continuidad en puntos y intervalos, límites trascendentes y trigonométricos, derivación por incrementos, derivadas de funciones compuestas e inversas, y derivación de funciones implícitas. El objetivo es resolver ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de cálculo diferencial e integral.

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS.
CARRERA DE INGENIERÍA AGROPECUARIA ESPE. SANTO DOMINGO.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
UNIDAD: 1
PRODUCTO DE UNIDAD
TEMA: EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS
LÍMITES Y DERIVADAS
INTEGRANTES:
Manzano Andrea
Sanabria Diana
Quenguán Tatiana
DOCENTE: Ing. Nelson Ninabanda
FECHA DE ENTREGA: 25/05/2015.
PERIODO ACADÉMICO:
ABRIL- AGOSTO /2015.
NCR: 1982

2. EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Y DERIVADAS
OBJETIVO GENERAL:
 Resolver ejercicios de las definiciones y propiedades de los
límites y derivadas
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Plantear ejercicios de los límites y derivadas.
 Aplicar la definición de derivadas y límites para la
resolución de los ejercicios.
 Explicar de manera clara y precisa los ejercicios resueltos.

3. Límites Laterales
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto contiene a a, excepto
posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que
se escribe como:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
= 𝑳
Si la siguiente proposición es verdadera:
Dada cualquier ∈ > 0, no importa cuán pequeña sea, existe una 𝛿 >0 tal que:
0< ( 𝒙 − 𝒂) < 𝜹 entonces 0< ( 𝑭(𝒙) − 𝑳) <∈
Definición de límite por la derecha:
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a, c) entonces, el límite de
f(x), conforme x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂+
= 𝑳
Si para cualquier ∈ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 >0 tal que
Si 0< 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 entonces ( 𝑭(𝒙)− 𝑳) <∈
Definición de límite por la izquierda:
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d, a)
Entonces, el límite de f(x), conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se denota por:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂−
= 𝑳
Si para cualquier ∈ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 >0 tal que
Si 0< 𝒂 − 𝒙 < 𝜹 entonces ( 𝑭(𝒙)− 𝑳) <∈

4. LIMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO
Se estudian las funciones cuyos valores crecen o decrecen sin límite conforme la variable
independiente se acerca cada vez más a un número fijo.
Definiciónde valoresde funciónque crecen sin límite.
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto l que contiene a a,
excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual
se escribe como
I. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
= +∞
Si para cualquier número N > o existe 𝛿 > 0 tal que
Si 0< ( 𝒙 − 𝒂) < 𝜹 entonces 𝒇(𝒙) < 𝑵
Definición de valores de función que decrecen sin límite.
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto l que contiene a a,
excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual
se escribe como
I. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
= −∞
Si para cualquier número N < o existe 𝛿 > 0 tal que
Si 0< ( 𝒙 − 𝒂) < 𝜹 entonces 𝒇(𝒙) < 𝑵
Teorema de límite:
Si r escualquiernúmeroentero positivo,entonces
 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙 𝒓
= +∞
 𝐥𝐢𝐦 𝒇( 𝒙)
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙 𝒓
= −∞ si r es impar
+∞ si r es par
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS

5. Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que,
por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre
ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota
de la función.
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma .
Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda
(cuando ) y otra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente
forma:
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la izquierda).
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la derecha).
Asíntota vertical
La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los
siguientes enunciados es verdadero:
II. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂+
= +∞
III. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂+
= −∞
IV. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂−
= +∞
V. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂−
= −∞
Asíntota oblicua:
Una recta de ecuación y = mx + n
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
EN UN PUNTOY EN UN INTERVALO ABIERTO
Se dice que una funcionescontinuaenun intervaloabiertosi ysolosi escontinuaen cada númerodel
intervalo abierto .

6. Se hara referenciaotraveza la funcionhdel ejemplo1.Como h no estádefinidaencualquierintervalo
abierto que contenga a -2 o 2, no se puede considerar
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
ℎ( 𝑥) 𝑜
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
ℎ( 𝑥). La contnuidad es un
número, no permite que h sea continua en -2 o 2. En consecuencia para discutir la cuestion de la
continuidad de h en el intervalo cerrado (-2, 2 ), para concluir le continuidad en un extremo de un
intervalocerrado.Paraesto,primerose definecontinuidadporladerechaycontinuidadporlaizquierda.
Teorema
Si la funciongescontinuaena y la función ƒ escontinuaeng(a),entonceslafuncióncompuesta ƒ oges
continua en a.
Demostración: puesto que g es continua en a, entonces
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒈( 𝒙) = 𝒈(𝒂)
Comolafunción ƒ escontinuaeng(a),se puedeaplicaralafuncioncompuestaƒ og,de loque se obtiene
𝒍𝒊𝒎
𝒙 → 𝒂
(ƒ o g )( 𝒙) =
𝒍𝒊𝒎
𝒙 → 𝒂
ƒ (g(x))
= ƒ (
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 ( 𝑥))
= ƒ ( g(a)) (por (4))
= ( ƒ o g ) (a) lo cual demuestra que ƒ o g es continua en a.
Continuidad en un intervalo cerrado
Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado (a,b) si y solo si
es continua en el intervalo abierto (a,b) así como continua por la derecha en a y
continua por la izquierda en b.
LIMITES TRACENDENTES Y TRIGONOMÉTRICOS
Teorema
La función seno es continua en 0
Demostración: Se demostraráque se cumplenlastres condicionesnecesariasparala continuidaden
en número.

7. Demostración:se demostraráque se cumplenlastrescondiciones necesariasparalacontinuidadenun
número.
( i ) sen 0 = 0
( ii )
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
. 𝑡
=
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
.
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
𝑡
= 1 . 0
= 0
( iii )
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
sent = sen0
Por tanto, la funcionsenoescontinuaen0.
Teorema
La función seno es continua en 0.
Demostración: Se verificara que se cumplen las tres condiciones necesarias para la continuidad en un
número.En la verificacionde la condición( ii ) se utilizaráel hechode que la funciónsenoescontinua
en 0, y se sustutuirá cos t por √1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 porque cos t > o cuando −
1
2
𝜋 < 𝑡 <
1
2
𝜋.
( i ) sen 0 = 0
( ii )
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑐𝑜𝑠 𝑡 =
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡
= √
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡)
= √1 − 0
= 1
( iii )
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
cos t = cos 0
De este modo , la función coseno es continua en 0.
Teorema
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en sus dominios.

8. Derivación por incrementos
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia
que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se
representa por el símbolo
Δx, que se lee "delta x' '.
Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento, Δx entonces Δx
indicará el incremento correspondiente de la función f (x) (o sea, de la variable
dependiente y).
El incremento Δx siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que
corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el
incremento Δx. Por ejemplo, considerémosla función
Y= 𝑥2
DERIVADAS DE UNA FUNCION COMPUESTA
Reglas de la cadena
Si la funciong esdiferenciableenx yla funcionƒ es diferenciable eng(x) ,entonceslafuncion
compuestaƒ o g es diferenciable enx,y
( ƒ o g)’(x) =ƒ ‘(g(x)) g’(x)
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
Si ƒ es unafuncionunoa uno consideradacomoel conjuntode paresordenados(x ,y),entoncesexiste
una funcionƒ-1
,llamadainversade ƒ,que esel conjuntode paresordenados( y,x ) definidapor.
X= ƒ -1
si y solosi y = ƒ (x)
El dominiode ƒ-1
esel contradominiode ƒ yel contradominiode ƒ-1
esel dominiode ƒ
1) Dx(senu ) = cos u Dx u 4) Dx(cos u ) = -sen u Dx u
2) Dx(tanu ) = sec2
u Dx u 5) Dx(cot u ) = - csc2
u Dx u
3) Dx(secu ) = secu tan u Dx u 6) Dx(csc u ) = -csc u cot u Dx u

9. Teorema
Supongaque la funcionƒ escontinuay creciente enel intervalocerrado( a,b ).Entonces
( i ) ƒ tiene unainversaƒ-1
definidaen [ ƒ(a), ƒ(b)]:
( ii ) ƒ-1
escreciente en [ ƒ(a), ƒ(b)]:
( iii ) ƒ-1
es continuaen [ ƒ(a), ƒ(b)].
Teorema
Supongaque la funcionƒ escontinuay decreciente enel intervalocerrado( a,b ).Entonces
( i ) ƒ tiene unainversaƒ-1
definidaen [ ƒ(b), ƒ(a)]:
( ii ) ƒ-1
escreciente en [ ƒ(b), ƒ(a)]:
( iii ) ƒ-1
es continuaen [ ƒ( 𝑏), ƒ(a)].
Teorema
Supongaque la función ƒ escontinuay monotonaenel intervalocerrado(a,b) yseay = ƒ’(x).Si ƒ’(x)
existe yesdiferentede ceropara todax en(a,b),entoncesladerivadade lafuncioninversaƒ-1
,defina
por x = ƒ-1
(y),existeyestadadapor.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Derivación de funciones implícitas
Cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y,
entonces y se llama función implícita de x. Por ejemplo, la ecuación
X2 - 4 Y = O
Define y como función implícita de x . Es claro que por medio de esta ecuación x se
define igualmente como función implícita de y.

10. A veces es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto
a una de las variables, obteniendo así una función explícita. Así, por ejemplo, la
ecuación (1) puede resolverse con respecto a y, obteniéndose
Y = -x2, 4
Donde aparece y como función explícita de x. En un
caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante
resolución sea imposible I o demasiado complicada para una aplicación cómoda.
Derivación de funciones implícitas.
Cuando y se define como función implícita de x I puede no ser conveniente (como
hemos dicho en el artículo anterior) el resolver la ecuación para obtener y como
función explícita de x, o x como función explícita de y.
Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla:
Derivar la ecuación, término a término, considerando y corno función de X, y de la
ecuación resultante despejar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS.
Seno inversa:
La función seno inversa está definida por:
Coseno inversa:
La función coseno inversa está definida por:
Tangente inversa:
La función tangente inversa está definida por:
Cotangente inversa:
La función cotangente inversa está definida por:
Secante inversa:

11. La función secante inversa está definida por:
Cosecante inversa:
La función cosecante inversa está definida por:
Identidades Trigonométricas
Estas identidades son:
sin2θ + cos2θ = 1
1 + cot2θ = csc2
tan2θ + 1 = sec2
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las
mismas causas que un límite. Cuando para una función en un punto existen derivadas por la
derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto.
De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables:
 Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un
salto o una discontinuidad.
 Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en
este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la
izquierda, serán distintas.

12. Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad, ni en n porque
no coinciden las derivadas laterales.
Funciones continuas y derivables
Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están estrechamente
relacionadas. Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:
 Una función f (x) derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es
necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
 Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no
derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso
es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha
y por la izquierda, pero son diferentes).
Ejemplo de función no derivable en x = 1 por la presencia de un punto anguloso.
Así pues, la noción de derivabilidad es más restringida que la de continuidad, ya que todas las
funciones derivables son continuas, pero no a la inversa.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
En la definición de límites de una función Se la determinaba la existencia de un
límite en base a una gráfica o tabla de valores numéricos, por lo que esto no es práctico
y es aconsejable evaluar los límites de manera análitica.Para ello es importante
considerar y utilizar las propiedades de los límites:

13. LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
LIMITES INFINITOS

14. Decimos que lim f(x)= si para los valores de x próximos a a, x→ a los valores
de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se
quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a, ∂) y x ≠ a, entonces f(x)>k.
Análogamente, lim f(x) = –
x→a
LIMITES AL INFINITO
Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la
izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:
• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a
L.
x→
•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a
L.
x→
DERIVADA DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA
Trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la Es el
proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función derivada de la función.
Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).
FORMULAS DE LAS DERIVADAS TRIGONOMETRICAS

15. DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA
Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada
logarítmica, aun cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo,
dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se
tiene que
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es
la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la
derivada del producto y así obtener
, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la
suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están
definidas).
Lmb(x)=
𝟏
𝒍𝒏𝒃
𝒍𝒎𝒙
DEFINICIÓN E INTERPRETACIÓN DEL LÍMITE (INTUITIVA Y RIGUROSA)
lim
𝑥→3
(7 − 3x) = −2 ∈ =4cm

16. 7-3x=0 x y f(x)=(7 − 3x)
-3x=-7 7 0 L=-2
X=
7
3
0 2.33
X=2.33
Condición:
0< ( 𝑎 − 𝑥1) < 𝛿 − 0< ( 𝑌 − 𝐿) <∈
0< ( 𝑥2 − 𝑎) < 𝛿 + 0< ( 𝐿 − 𝑌) <∈
0< ( 𝑥 − 𝑎) < 𝛿 0< ( 𝐹(𝑥) − 𝐿) <∈
Si 0< ( 𝒙 − 𝒂) < 𝜹 → 0< ( 𝑭(𝒙) − 𝑳) <∈
7-3X-(-2) <4 7-3X-(-2) >-4
-3x<4-2-7 -3x>-4-2-7
-3x<-5 -3x>-13
X=
−5
−3
X=
−13
−3
X=1.67 x=4.33
+ 3-1.67=1.33 -4.33-3=1.33
𝛿 = 1.33
lim
𝑥→3
(1 + 3x) = −5 ∈ =4cm
1+3x=0 x y f(x)=(1 + 3x)
3x=-1 1 0 L=-5
X=
−1
3
0 -0.33

17. X=-0.33
Condición:
0< ( 𝑎 − 𝑥1) < 𝛿 − 0< ( 𝑌 − 𝐿) <∈
0< ( 𝑥2 − 𝑎) < 𝛿 + 0< ( 𝐿 − 𝑌) <∈
0< ( 𝑥 − 𝑎) < 𝛿 0< ( 𝐹(𝑥) − 𝐿) <∈
Si 0< ( 𝒙 − 𝒂) < 𝜹 → 0< ( 𝑭(𝒙) − 𝑳) <∈
1+3X-+5 <1.8 1+3X-+5 >-1.8
3x<1.8-5-1 3x>-1.8-5-1
3x<-4.2 3x>-7.8
X=
−4.2
3
X=
−7.8
3
X=--1.4 x=-2.6
+[−2 − (−1.4)] =-0.6 -[−2.6 − (−2)]=-0.6
𝛿 = 0.66
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
(2𝑥 + 1) = 9 L=9

18. 2x+1=0 f(x)=2x+1
2x=-1 ∈= 1𝑐𝑚
𝑥 =
−1
2
X=-0,5
Condición
−0 < ( 𝑎 − 𝑥1) < 𝛿 0 < (𝐿 − 𝑌) <∈
+0 < (𝑥2 − 𝑎) < 𝛿 0 < (𝑌 − 𝐿) <∈
0 < (𝑋 − 𝑎) < 𝛿 0 < (𝑓( 𝑥) − 𝐿) <∈
2𝑥 + 1 − 9 < 1 2𝑥 + 1 − 9 > −1 x y
2𝑥 < 1 + 9 − 1 2𝑥 > −1 + 9 − 1 1 0
𝑥 =
9
2
𝑥 =
7
2
0 -0,5
𝑥 < 4.5 x=3.5
(+) 4.5-4=0.5
𝛿 = ( 𝑥 − 𝑎) = 0.5
(-) 4-3.5=0.5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
(2𝑥 + 7) = −1
2x+3=0 f(x)= 2x+7

19. 2x=-7 L= -1
X= -
7
2
є= 3
X=3,5
Condicion
−0 < ( 𝑎 − 𝑥1) < 𝛿 0 < (𝐿 − 𝑌) <∈
+0 < (𝑥2 − 𝑎) < 𝛿 0 < (𝑌 − 𝐿) <∈
0 < (𝑋 − 𝑎) < 𝛿 0 < (𝑓( 𝑥) − 𝐿) <∈
2𝑥 + 7 − (−1) < 3 2𝑥 + 7 − (−1) > −3
2𝑥 + 7 + 1 < 3 2𝑥 + 7 + 1 > −3
2𝑥 < 3 − 7 − 1 2𝑥 > −3 − 7 − 1
2𝑥 < −5 2𝑥 > −
11
2
x y
𝑥 = −
5
2
x=-5.5 7 0
𝑥 < −2.5 0 -
7
2
(+)-4-(-2.5)=-1.5
δ= (x-a)=1.5
(-)-4-(-5.5)=1.5
Lim=𝑥 =
𝑋2−1
X+1
= −2 X Y

20. -1 0
0 1
(X+1) (X-1) =(X-1)
X+1
CONDICION:
0< ( 𝑎 − 𝑥) < 𝛿 0< (𝑙 − 𝑓(𝑥) <∈
0< ( 𝑥 − 𝑎) < 𝛿 0< ( 𝑦 − 𝑙) <∈
0< (𝑥 − 𝑎) < 𝛿 0< (𝑓( 𝑥) − 𝑙) <∈
X-1-(-2)< 1.5 X-1-(-2)> −1.5
X-1+2< 1.5 X-1+2> −1.5
X< 1.5 + 1 − 2 X> −1.5+ 1 − 2
X< 0.5 X > −2.5
=-1.5 R -2.5-(-1)
-2,5+1 = -1.5
PROPIEDADES DE LÍMITES

21. Lim=
𝒙 𝟐−𝟒𝟗
𝐱−𝟕
X→ 𝟕
(X+7)(x-7) (X+7)
X-7
Lim=(x+7) = (7+7)
X→ 7 =14 R
Lim=
𝒛 𝟐−𝟐𝟓
𝐳+𝟓
Z→ −5
(Z+5)(z-5) (Z+5)
Z+5
Lim= (z-5) = (-5-5)
Lim→ −5 lim=-10 R
Lim=
𝒔 𝟑−𝟏
𝐬−𝟏
S→ 𝟏
(S-1)(𝑆2
+ 5 + 12
) (S-1) (𝑆2
+ 5 + 1)
(S-1)( 𝑆2
+ 𝑆 + 1) S-1
Lim= 12
+ 1 + 1
Lim= 3 R
Lim=
𝒚 𝟑+𝟖
𝐲+𝟐

22. Y→ −𝟐
(Y+2)(𝑦2
− 2𝑦 + 𝑦2
)
Y+2
=(𝑦2
− 2𝑦 + 𝑦2
)
= (-2)2
-2 (-2)+(-2)2
Lim=4+4+4 lim=12
Lim=𝒙 =
√ 𝒙 –𝟏
𝐱−𝟏
X→ 𝟏
(√𝑥2-12
)
X-1(√ 𝑥+1)
X-1 1
X-1(√ 𝑥+1) √ 𝑥 + 1
=
1
2
= 0.5 R
LÍMITES LATERALES

23. Ejercicios:
1. − lim
𝑥→−5−
= |x − 5|
(x-5) ≥ 0 x y x y
-(x-5) < 0 5 0 4 1
6 1 3 2
7 2 1 4
|x|= x-5, si x ≥ 5
-x+5, si x < 5
lim
𝑥→𝟓−
(−x + 5) = 0
lim
𝑥→𝟓−
(x − 5) = 0
R= El límite de lim
𝑥→𝟓−
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝟓−
𝑓( 𝑥)
Es una funcióndiscontinuaen0
2.-F(x) = 2, si x < -2
√4 − 𝑥2, si -2 ≤ x ≤ 2
-2 si x > 2
lim
𝑥→𝟐−
√4 − 𝑥2 = 0
= √4 − ( 𝟐−
)2
= √4 − 4
= 0
lim
𝑥→−2−
2 = 2
R= El límite de lim
𝑥→𝟐−
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝑓( 𝑥)
Es una funcióndiscontinua en2
3.-F(x) = 3+|2x-4 |
F(x) =3+2x-4 F(x) =3-2x-4

24. =2x-4 =2x+7
2x > -1 =2x < 7
X y x y
-1 -3 7 -7
0 -1 6 -5
1 1 5 -3
2 3 4 -1
F(x) =2x-1 F(x) =2x+7
=2(2)-1 =-2(2)+7
=4-1 =-4+7
=3 =3
R= El límite de F(x) =3+2x-4 =F(x) =3-2x-4
Es una función discontinua
4.-F(x) = x- 2, si x < 0
𝑥2
Si x ≥ 0
lim
𝑥→𝟎−
(x − 2) = −2
lim
𝑥→𝟎−
( 𝑥2) = 0
x- 2 𝑥2
X y x y
-1 -3 0 0
-2 -4 1 1
-3 -5 2 4
R= El límite de lim
𝑥→𝟎−
𝑓( 𝑥) ≠ lim
𝑥→𝟎− 𝑓( 𝑥)
Es una función discontinua
5.-F(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ 1 0
1.8 x Si 10 < x

25. lim
𝑥→𝟏𝟎−
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝟐−
2𝑥 lim
𝑥→𝟏𝟎+
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝟐+
1.8𝑥
=20 =18
R= El límite de lim
𝑥→𝟏𝟎−
𝑓( 𝑥) ≠ lim
𝑥→𝟏𝟎+
𝑓( 𝑥)es
Es una función discontinua
Grafica:
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO

26. 1) Lim=
𝟑𝐱
𝟐𝐱−𝟏
Lim→
𝟏
𝟐
=𝑥 =
3
1
2
2
1
2
=
3
2
= ∞
0
2) Lim=
𝟑𝐱+𝟓
𝟐𝐱+𝟐
Lim x→ ∞
Lim→ ∞ 𝑥 =
3𝑥
𝑥
+
5
𝑥
2𝑥
𝑥
+
2
𝑥
Lim→ ∞ 𝑥 =
3+
5
𝑥
2+
2
𝑥
= 𝑥 =
3+
5
∞
2+
2
∞
=
3
2
R
3) F(x)= 4
(x-5)2
X→ ∞
Lim=
4
𝑥2
𝑥2−
10
𝑥2+
25
𝑥2
4
1−
−10
∞
+
25
∞
= 0 R

27. Lim= 4
X→ 𝟓 (x2
-5)2
=
4
(4.99)
=
4
0
=-∞
Lim= 4
X→ 5 (x2
-5)2
=
4
(4.99)
=
4
0+
= +∞
4) 𝒙 =
𝟑
𝐗+𝟏
Lim→ 𝟏
=
3
1+1
=
3
0
= +∞
=
3
1+1
=
3
0
= −∞
5) Lim=
𝟔𝐱+𝟐
𝟒𝐱+𝟑

28. Lim x→ ∞
Lim→ ∞ 𝑥 =
6𝑥
𝑥
+
2
𝑥
4𝑥
𝑥
+
3
𝑥
Lim→ ∞ 𝑥 =
6+
2
𝑥
4+
3
𝑥
=
6+
2
∞
4+
3
∞
=
𝟔
𝟒
R
CÁLCULO DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS

29. 1.- 𝑓( 𝑥) =
𝑥3+2
𝑥2−4
ASÍNTOTA OBLICUA: 𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑏
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥3
+ 2
𝑥2 − 4
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥3
+ 2
𝑥(𝑥2 − 4)
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥3
+ 2
𝑥3 − 4𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥3
𝑥3 +
2
𝑥3
𝑥3
𝑥3 −
2𝑥
𝑥3
𝑚 = lim
𝑥→∞
1 +
2
𝑥3
1 −
4
𝑥3
=
1 +
2
∞
1 −
4
∞
= 1
𝑏 = lim
𝑥→∞
[ 𝑓( 𝑥) − 𝑥] = lim
𝑥→∞
[
𝑥3 + 2
𝑥2 − 4
− 𝑥]
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥3 + 2 − 𝑥( 𝑥2 − 4)
𝑥2 − 4
] =
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥3 + 2 − 𝑥3 + 4𝑥
𝑥2 − 4
]
𝑏 = lim
𝑥→∞
4𝑥 + 2
𝑥2 − 4
= lim
𝑥→∞
4𝑥
𝑥2 +
2
𝑥2
𝑥2
𝑥2 −
4
𝑥2
𝑏 = lim
𝑥→∞
4
𝑥
+
2
𝑥2
1 −
4
𝑥2
=
4
∞
+
2
∞
1 −
4
∞
= 0
𝑦 = 𝑥 + 0
ASÍNTOTA VERTICAL EN: 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 2

30. 𝑓( 𝑥) =
𝑥3
+ 2
𝑥2 − 4
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑥3 +2
𝑥2 −4
= +∞
lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝑥3 +2
𝑥2 −4
= −∞
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑥3 + 2
𝑥2 − 4
= +∞
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥3 + 2
𝑥2 − 4
= −∞
GRAFICODE f(x)

31. 2.- 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−2𝑥+2
𝑥−1
ASÍNTOTA OBLICUA: 𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑏
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑥 − 1
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2 −2𝑥+ 2
𝑥(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→∞
𝑥2 −2𝑥+2
𝑥2 − 𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 −
2𝑥
𝑥2 +
2
𝑥2
𝑥2
𝑥2 −
𝑥
𝑥2
𝑚 = lim
𝑥→∞
1 −
2
𝑥
+
2
𝑥2
1 +
1
𝑥
=
1 −
2
∞
+
2
∞
1 +
1
∞
=
𝑚 = 1
𝑏 = lim
𝑥→∞
[ 𝑓( 𝑥) − 𝑥] = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 − 2𝑥 + 2
𝑥 − 1
− 𝑥]
𝑏 = lim
𝑥→∞
−𝑥 + 2
𝑥 − 1
= −1
Y=x-1
Grafica:

32. 3.- 𝑓( 𝑥) =
5𝑥2−3𝑥+4
𝑥+1
ASÍNTOTA OBLICUA: 𝑦 = 𝑚𝑥+ 𝑏
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥 + 1
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→∞
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥2 + 𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
5𝑥2
𝑥2 −
3𝑥
𝑥2 +
4
𝑥2
𝑥2
𝑥2 +
𝑥
𝑥2
=
𝑚 = lim
𝑥→∞
5 −
3
𝑥
+
4
𝑥2
1 +
1
𝑥
=
5 −
3
∞
+
4
∞
1 +
1
∞
=
𝑚 = 5
𝑏 = lim
𝑥→∞
[ 𝑓( 𝑥) − 5𝑥] = lim
𝑥→∞
[
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥 + 1
− 5𝑥]
𝑏 = lim
𝑥→∞
5𝑥2 − 3𝑥 + 4 − 5𝑥( 𝑥 + 1)
𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
5𝑥2 − 3𝑥 + 4 − 5𝑥2 − 5𝑥
𝑥 + 1
𝑏 = lim
𝑥→∞
−8𝑥 + 4
𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
−
8𝑥
𝑥
+
4
𝑥
𝑥
𝑥
+
1
𝑥
𝑏 = lim
𝑥→∞
−8 +
4
𝑥2
1 +
1
𝑥
=
−8 +
4
∞
1 +
1
∞
= −8
𝑦 = 5𝑥 − 8
ASÍNTOTA VERTICALEN: 𝑥 = −1
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1+
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥 + 1
= +∞
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1−
5𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥 + 1
= −∞

33. 4. 𝑓( 𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥 − 1
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 1
𝑥 − 1
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2 + 1
𝑥(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 1
𝑥2 − 𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 +
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2 −
𝑥
𝑥2
𝑚 = lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥2
1 −
1
𝑥
=
1 +
1
∞2
1 −
1
∞
= 1
𝑏 = lim
𝑥→∞
[ 𝑓( 𝑥) − 𝑥] = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 + 1
𝑥 − 1
− 𝑥]
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 + 1 − 𝑥( 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
] =
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 + 1 − 𝑥2 + 𝑥
𝑥 − 1
]
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
= +∞
Grafica:

34. 4. 𝑓( 𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥2 +
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2 −
𝑥
𝑥2
𝑚 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
+
1
𝑥2
1 −
1
𝑥
=
1
∞
+
1
∞2
1 −
1
∞
= 1
𝑏 = lim
𝑥→∞
[ 𝑓( 𝑥) − 𝑥] = lim
𝑥→∞
[
𝑥 + 1
𝑥 − 1
− 𝑥]
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 + 1 − 𝑥( 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
] =
𝑏 = lim
𝑥→∞
[
𝑥2 + 1 − 𝑥2 + 𝑥
𝑥 − 1
] =
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
= +∞
Grafica:

35. EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ABIERTO
f(x)= √ 𝑥 :g(x)= 9-x2
f= [g(x)]
= √9 − 𝑥2
9 − 𝑥2
≥ 0 −∞ ∞
−(9 − 𝑥2) ≥ 0 -3 0 3
𝑥2
− 9 ≤ 0
𝑥2
≤ 9
𝑥 ≤ ±3
−3 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑥2
− 9 ≤ 0 −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 3) ≤ 0
𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 3 𝑥 = −3
𝑓[ 𝑔( 𝑥)] = √9 − 𝑥2
Y
-X X
-Y
(X-3) - - +
(X-+3) - + +
(X-3)(X+3) + - +
X Y
-3 0
1 2.8
-2 2.2
-3 0
1 0.28
2 2.2
3 0

36. 𝑓[ 𝑔(𝑥)] = √𝑎 − (3)2=0
𝑙𝑖𝑚√𝑎 − 𝑥2=√9(−3)2 = 0 Si es continua Si a=3
𝑓(3) = lim 𝑓[ 𝑔(𝑥)]
f(x) = √x ; 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
− 16
ℎ( 𝑥) = 𝑓[ 𝑔( 𝑥)]
= √𝑥2 − 16
= 𝑓[ 𝑥2
− 16]
𝑥2
− 16 ≥ 0
𝑥2
≥ 16
𝑥 ≥ ±4
Y
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
√𝑥2
− 16
= √16− 16
=0
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
√𝑥2
− 16 -X X
= √16 − 16
=0
X Y
± 4 0
± 5 3
± 6 4.5

37. f(X) = √X ;g(x) = x2
+ 4
f[g(x)] = √x2 + 4
√x2 + 4
Y
-X X
-Y
X Y
± 4 4.5
± 3 3.6
± 2 2.8
±1 2.2

38. 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 𝑔( 𝑥) =
1
𝑥 − 2
1
𝑥−2
≥ 0 Y
𝑙𝑖𝑚√
1
𝑥−2
√1
√ 𝑥−2
1
√ 𝑥−2
x-2=0 x-2> 0
x=2 x>2
-X X
√
1
𝑥−2
-Y
X Y
3 1
5 0.5
6 0.3
8 0.4

39. 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2+
√
1
𝑥 − 2
√
1
2+2
= Si existe
𝑓( 𝑥) = {
𝑥2
√9 − 𝑥2
𝑥 + 5
3 < 𝑥
𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓(𝑥)
𝑥 < −3
 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2
lim
𝑥→3
𝑥2
+ 2 = 32
+ 2 = 1
 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 5
lim
𝑥→−3
𝑥 + 5 = −3 + 5 = 2 -3 0 3
 √9 − 𝑥2
9-x2> 0 [−3,3]
|9 − 𝑥2| > 0
𝑥2
− 9 = 0
𝑥 < ±3
−3 < 𝑥 < 3
Y
- X X
-Y
X Y
4 18
4.1 18
X Y
-4 1
-5 0
(X-3) - - +
(X-3)(X+3) + - +
(X+3) - + +

40. CONTINUIDAD DE UN INTERVALO CERRADO
EJERCICIOS:
1.- h(x)= √4 − 𝑥2
lim
𝑥→𝟐−
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟐−
√4 − 𝑥2 lim
𝑥→𝟐+
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟐+
√4 − 𝑥2
=h (-2) =h (2)
R= La h(x) es continua en el intervalo cerrado [-2; 2]
Grafica:

41. 2.- F(x) = x - 1, si 0 ≤ x ≤ 2
𝑥2
Si 2< x ≤ 3
lim
𝑥→𝟐−
𝑓(0) = lim
𝑥→𝟐−
x − 1 lim
𝑥→𝟐+
𝑓(3) = lim
𝑥→𝟐+
𝑋2
=-1 =9
La F(x) es discontinua en 2 en el intervalo cerrado [0; 3]
Grafica:

42. 3. - h(x) = √25 − 𝑥2
lim
𝑥→𝟓−
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟓−
√25 − 𝑥2 lim
𝑥→𝟓+
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟓+
√25 − 𝑥2
=h (-5) =h (5)
R= La h(x) es continua en el intervalo cerrado [-5; 5]
Grafica:
4. 𝑔( 𝑥) =
2
𝑥−4
lim
𝑥→𝟒−
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→𝟒−
2
𝑥−4
lim
𝑥→𝟒+
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→𝟒+
2
𝑥−4
𝑔(2) = lim
𝑥→𝟐−
2
𝑥−4
𝑔(5) = lim
𝑥→𝟐+
2
𝑥−4
= - 1 = 2
La g(x) esdiscontinuaen4enel
intervalocerrado [2;5]
Grafica

43. 5.- h(x)= √9 − 𝑥2
lim
𝑥→𝟑−
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟑−
√9 − 𝑥2 lim
𝑥→𝟑+
ℎ( 𝑥) = lim
𝑥→𝟑+
√9 − 𝑥2
=h (-3) =h (3)
R= La h(x) escontinuaenel intervalocerrado[-3;3]
Grafica:

44. . LÍMITES TRASCENDENTES Y TRIGONOMÉTRICOS
1. −𝑓( 𝑥) =
𝑥
cos 𝑥
=
lim 𝑥
𝑥 → 0
lim 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥 → 0
=
0
1
= 0
2. −𝑓( 𝑥) =
1 − cos4𝑥
𝑥
=
4𝑙𝑖𝑚
4𝑥 → 0
1 − cos4𝑥
4𝑥
= 4.0 = 0
3. −𝑓( 𝑥) =
tan 𝑥
2𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
sin 𝑥
cos 𝑥
2𝑥
=
1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
sin 𝑥
𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
1
cos 𝑥
=
1
2
∗ 1.1 =
1
2
4. −𝑓( 𝑥) =
𝑥2 + 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
( 𝑥 + 3) 𝑥
sin 𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
( 𝑥 + 3)
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥
sin 𝑥
= 3.1 = 3

45. 5. −𝑓( 𝑥) =
1cos2𝑥
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
1 − cos2𝑥
𝑥
∗
𝑥
sin 3𝑥
=
2𝑙𝑖𝑚
2𝑥 → 0
1 − cos2𝑥
2𝑥
∗
1
3
∗
3𝑥
sin 3𝑥
= 2.0.
1
3
∗ 1 = 0

46. DERIVACIÓN POR INCREMENTOS
Ejercicios:
1.-𝐅( 𝐱) = 𝟕 − 𝟔𝐱 − 𝒙 𝟐
F(x) = −𝑥2
− 6x + 7
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
(−𝑥 − ∆𝑥)2
− 6( 𝑥 + ∆𝑥) + 7
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2
− 6𝑥 − 6∆𝑥 + 7
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2𝑥∆𝑥 − ∆𝑥2
− 6∆𝑥
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2𝑥∆𝑥
∆𝑥
−
∆𝑥2
∆𝑥
−
6∆𝑥
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
= 2𝑥 −∆𝑥 − 6
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 6
2.-𝐅( 𝐱) = 𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟗𝐱 −2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
(𝑥 + ∆𝑥)3
− 6(𝑥 + ∆𝑥)2
− 9( 𝑥 + ∆𝑥) − 2
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
(x3 − 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3)− 6(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 9x – 9∆x – 2
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
x3 − 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 − 6x2 + 12x∆x + 6∆x2 – 9x – 9∆x – 2
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
−3x2∆x
∆𝑥
+
3x∆x2
∆𝑥
+
∆x3
∆𝑥
−
12x∆x
∆𝑥
−
6∆𝑥
∆𝑥
−
9∆𝑥
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
(− 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 − 12x∆x− 6∆x2 – 9∆x )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3𝑥2
− 12𝑥 − 9

47. 3.F(x) = 𝑥3
+ 2𝑥2
– 3x – 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
(x + ∆x)3 + 2(x + ∆x) 2 – 3(x + ∆x) – 1
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
(x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3x2 + 4x – 3
4.-F(x) = 2𝑥2
− 9𝑥 + 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2(𝑥 + ∆𝑥)2
− 9( 𝑥 + ∆𝑥) + 4
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2( 𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2)− 9𝑥 − 9∆𝑥 + 4
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2𝑥2
+ 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2
− 9𝑥 − 9∆𝑥 + 4
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
2𝑥2
+ 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2
− 9𝑥 − 9∆𝑥 + 4
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
4𝑥∆𝑥
∆𝑥
+
2∆𝑥2
∆𝑥
−
9∆𝑥
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
= 4𝑥 +2∆𝑥 − 9
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥 − 9

48. 5.-F(x) = 3𝑥2
− 12𝑥 + 8
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3(𝑥 + ∆𝑥)2
− 12( 𝑥 + ∆𝑥) + 8
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3( 𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2)− 12𝑥 − 12∆𝑥 + 8
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3𝑥2
+ 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥2
− 12𝑥 − 12∆𝑥 + 8
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
3𝑥2
+ 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥2
− 12𝑥 − 12∆𝑥 + 8
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
[
6𝑥∆𝑥
∆𝑥
+
3∆𝑥2
∆𝑥
−
12∆𝑥
∆𝑥
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
= 6𝑥 +3∆𝑥 − 12
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥 − 12

49. DERIVADAS COMPUESTAS
𝑦 = (𝑥 − 2)
1
2⁄
(𝑥+ 3)
1
3⁄
= [(𝑥 − 2)
1
2⁄
]
,
(𝑥 + 3)
1
3⁄
+ (𝑥 − 2)
1
2⁄
[(𝑥 + 3)
1
3⁄
]
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= [
1
2
(𝑥 − 2)−1
2⁄ ( 𝑥),] (𝑥 + 3)
1
3⁄
+ (𝑥 − 2)
1
2⁄ [
1
3
(𝑥 + 3)−2
3⁄ ( 𝑥),]
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥 + 3)
1
3⁄
2( 𝑥 − 2)
1
2⁄
+
( 𝑥 − 2)
1
2⁄
2( 𝑥 + 3)
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3(𝑥 + 3)
2
3⁄
(𝑥 + 3)
1
3⁄
+ (𝑥 − 2)
1
2⁄
(𝑥 − 2)
1
2⁄
6(𝑥 − 2)
1
2⁄
(𝑥 − 3)
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3( 𝑥 + 3) + 2( 𝑥 − 2)
6( 𝑥 − 2)
1
2⁄ ( 𝑥 − 3)
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥 + 9 + 2𝑥 − 4
6(𝑥 − 2)
1
2⁄
(𝑥 − 3)
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5𝑥 + 5
6√( 𝑥 − 2)3( 𝑥 − 3)46
5
6
(𝑥 + 1)
√(𝑥 − 2)3(𝑥− 3)46

50. 𝑦 = (2 + 𝑥)
1
3⁄
(1 − 𝑥)
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= [(2 + 𝑥)
1
3⁄
]
,
(1 − 𝑥)
2
3⁄
+ (2 + 𝑥)
1
3⁄
[(1 − 𝑥)
2
3⁄
]
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= [
1
3
(2 + 𝑥)−1
3⁄ ( 𝑥),]
,
(1 − 𝑥)
2
3⁄
+ (2 + 𝑥)
1
3⁄ [
2
3
(1 − 𝑥)−1
3⁄ (−𝑥),]
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 − 𝑥)
2
3⁄
3(2 + 𝑥)
2
3⁄
+
2(2 + 𝑥)
1
3⁄
3(1 − 𝑥)
1
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 − 𝑥)
2
3⁄
(1 − 𝑥)
1
3⁄
+ 2(2 + 𝑥)
1
3⁄
(2 + 𝑥)
2
3⁄
3(2 + 𝑥)
2
3⁄
(1 − 𝑥)
1
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 − 𝑥) − 2(2 + 𝑥)
3(2 + 𝑥)
2
3⁄ (1 − 𝑥)
1
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 − 𝑥 − 4 − 𝑥
3(2 + 𝑥)
2
3⁄
(1 − 𝑥)
1
3⁄
−3 − 2𝑥
3√(2 + 𝑥)3(1 − 𝑥)3
𝑦 =
𝑎𝑥
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑎𝑥), ( 𝑥2 + 𝑎2 ) + 𝑎𝑥 (𝑥2 + 𝑎2),
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎 𝑥2 + 𝑎3 + 2𝑎𝑥2
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑎 𝑥2 + 𝑎3
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎(− 𝑥2 + 𝑎3 )
𝑥2 + 𝑎2
−𝑎(𝑥2 − 𝑎3 )
𝑥2 + 𝑎2

51. 𝑦 =
𝑥2
𝑥 + 𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑥2), ( 𝑥 + 𝑎) + (𝑥2) (𝑥 + 𝑎),
(𝑥 + 𝑎)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥 (𝑥 + 𝑎) 𝑥2 (1)
(𝑥 + 𝑎)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 𝑥2 + 2𝑎𝑥 − 𝑥2
(𝑥 + 𝑎)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑎𝑥 − 𝑥2
(𝑥 + 𝑎)2
𝑦 =
𝑥2
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑥2), ( 𝑥2 + 𝑎2)+ (𝑥2) (𝑥2 + 𝑎2),
(𝑥2 + 𝑎2)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(2𝑥)( 𝑥2 + 𝑎2)− (𝑥2) (2𝑥),
(𝑥2 + 𝑎2)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 𝑥3 + 2𝑎2 𝑥 − 2𝑥3
(𝑥2 + 𝑎2)2
2𝑎2 𝑥
(𝑥2 + 𝑎2)2

52. DERIVADA INVERSA
𝑦 = (𝑎 +
𝑏
𝑥2)3
3(𝑎 +
𝑏
𝑥2)2 𝑏𝑥−2−1
3 ( 𝑎 +
𝑏
𝑥2
)
2
− 2 𝑏𝑥−3. 𝑏𝑥
−6𝑏
𝑥3
(
𝑎 + 𝑏
𝑥2
)
2
√
𝑎2−𝑥2
𝑎2+𝑥2= (
𝑎2−𝑥2
𝑎2+𝑥2)
1
2
𝑦 =
1
2
(𝑎2
− 𝑥2
)
1
2(𝑎2
− 𝑥2
)1
(𝑎2
+ 𝑥2
)
1
2 − (𝑎2−
𝑥2
)
1
2
1
2
(𝑎2
− 𝑥2
)
1(−1)
2 (𝑎2
− 𝑥2
)1
(𝑎2 − 𝑥2)2
𝑦 =
−𝑥(𝑎2
+ 𝑥2
)
1
2(𝑎2
+ 𝑥2
)
1
2 − 𝑥(𝑎2
− 𝑥2
)
1
2 (𝑎2
− 𝑥2
)
1
2
(𝑎2 − 𝑥2)
1
2(𝑎2 + 𝑥2)
1
2
(𝑎2 − 𝑥2)
1
2
𝑦 =
−𝑎𝑥2
− 𝑥3
− 𝑎𝑥2
− 𝑥3
(𝑎2 − 𝑥2)
1
2(𝑎2 + 𝑥2)
1
2
(𝑎2 − 𝑥2)
1
2
𝑦 =
2𝑎𝑥2
(𝑎2 − 𝑥2)
1
2(𝑎2 + 𝑥2)
1
2
(𝑎2 − 𝑥2)
1
𝑦 =
2𝑎𝑥2
(𝑎2 − 𝑥2)(𝑎2 − 𝑥2)
1
2(𝑎2 + 𝑥2)
1
2
𝑦 =
2𝑎𝑥2
(𝑎2 − 𝑥2)√𝑎2 − 𝑥2 √𝑎2 + 𝑥2

53. 𝑦 =
𝑎2+𝑥2
𝑎2−𝑥2
𝑦 =
(𝑎2
+ 𝑥2
)1
(𝑎2
− 𝑥2
) − (𝑎2
+ 𝑥2
)(𝑎2
− 𝑥2
)1
(𝑎2 − 𝑥1)2
𝑦 =
𝑥2(𝑎2−𝑥2)−(𝑎2+𝑥2)−(2𝑥2)
(𝑎2−𝑥1)2
𝑦 =
𝑥2
𝑎2
− 𝑥4
+ 𝑥2
𝑎2
− 𝑥4
(𝑎2 − 𝑥1)2
𝑦 =
−2𝑥4
(𝑎2 − 𝑥1)2
𝑠 = 𝑡√ 𝑎2 + 𝑡2
(𝑡)1√ 𝑎2 + 𝑡2 + (𝑡)(√ 𝑎2 + 𝑡2 )1
√ 𝑎2 + 𝑡2
1
+ 𝑡
1
2√ 𝑎2 + 𝑡2
2(𝑎
2
+ 𝑡2
)
1
2
(𝑎
2
+ 𝑡2
)
1
2 + 𝑡
2√ 𝑎2 + 𝑡2
2(𝑎2
+ 𝑡2
)
1
2 + 𝑡
2√ 𝑎2 + 𝑡2
𝑎2 +2𝑡2
√ 𝑎2 + 𝑡2

54. 𝑦 =
2𝑥
𝑥+3
𝑦𝑥 + 3𝑦 = 2𝑥
yx-2x=3y
x(y-2)=-3y
x= 3𝑦
𝑦−2
y=−3𝑥
𝑥−2
y1
=
(3x)1(x− 2) − (−3x)(x − 2)1
(x − 2)2
y1
=
(−3)(x− 2) − (−3x)
(x − 2)2
y1
=
−3x+ 6 + 3x
(x − 2)2
y1
=
6
(x− 2)2

55. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Ejercicios:
𝟏. −√ 𝒙 + √ 𝒚 = √ 𝒂
𝑥
1
2 + 𝑦
1
2 = 0
(
1
2
) 𝑥
1
2
−1
( 𝑥)´ + (
1
2
) 𝑦
1
2
−1
( 𝑦)´
1
2
𝑥
−
1
2 +
1
2
𝑦
−
1
2( 𝑦)´
1
2√ 𝑥
= −
1
2√ 𝑦
( 𝑦)´
𝑦´ =
1
2√ 𝑥
−
1
2√ 𝑦
𝑦´ = −
2√ 𝑦
2√ 𝑥
𝑦´ = −
√ 𝑦
√ 𝑥
𝑦´ = −√
𝑦
𝑥
2.- 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
=𝒓 𝟐
2𝑥2−1( 𝑥)´ + 2𝑦2−1( 𝑦´) = 0
=2x+2y 𝑦´
2x=2y 𝑦´
𝑦´ = −
2𝑥
2𝑦
𝑦´ = −
𝑥
𝑦

56. 𝟑. −𝐱
𝟐
𝟑 + 𝐲
𝟐
𝟑 = 𝐚
𝟐
𝟑
(
2
3
) 𝑥
2
3
−1
( 𝑥)´ + (
2
3
) 𝑦
2
3
−1
( 𝑦)´ = 0
2𝑥
−
1
3
3
+
2𝑦
−
1
3
3
( 𝑦)´
2
3 √ 𝑥3 =
2
3 √ 𝑦3
( 𝑦)´
𝑦´ =
−
2
3 √ 𝑥3
−
2
3 √ 𝑦3
𝑦´ = −
6 √ 𝑥3
6 √ 𝑦3
𝑦´ = −√
𝑥
𝑦
3
4._ 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑎𝑥𝑦 + 𝑦3
3𝑥3−1( 𝑥)´ − 3𝑎( 𝑥´. 𝑦 + 𝑥. 𝑦´) + 3𝑦3−1( 𝑦´) = 0
3𝑥2
− 3𝑎(𝑥 + 𝑦) + 3𝑦2( 𝑦´)
3𝑥2
− 3𝑎𝑥 − 3𝑎𝑦 + 3𝑦2( 𝑦´)
(3𝑦2( 𝑦´)− 3𝑎𝑦))= 3𝑥2
− 3𝑎𝑥
Y´=
3y(y−a)
3𝑥(𝑥−𝑎)

57. 𝟓. _ =. √
𝒚
𝒙
+√
𝒙
𝒚
= 𝟔
(
𝑦
𝑥
)
1/2
+ (
𝑥
𝑦
)
1/2
= 6
1
2
(
𝑦
𝑥
)
−
1
2
(
𝑦
𝑥
)´ +
1
2
(
𝑥
𝑦
)
−1/2
(
𝑥
𝑦
)´ = 0
1
2
(
𝑥
𝑦
)
1/2
(
𝑦´𝑥 − 𝑦𝑥´
𝑥2
)+
1
2
(
𝑦
𝑥
)
1/2
(
𝑥´𝑦 − 𝑥𝑦´
𝑦2
) = 0
1
2
(
𝑥
𝑦
)
1/2
(
𝑦´𝑥 − 𝑦
𝑥2
) = −
1
2
(
𝑦
𝑥
)
1/2
(
𝑦 − 𝑥𝑦´
𝑦2
)
(
𝑦´𝑥 − 𝑦
𝑥2
) = √
𝑦2
𝑥2
(
𝑦 − 𝑥𝑦´
𝑦2
)
(
𝑦´𝑥 − 𝑦
𝑥2
) =
𝑥
𝑦
(
𝑦 − 𝑥𝑦´
𝑦2
)
(
𝑦´𝑥 − 𝑦
𝑥
) = (
𝑦 − 𝑥𝑦´
𝑦
)
𝑦´𝑥
𝑥
−
𝑦
𝑥
=
𝑦
𝑦
−
𝑥𝑦´
𝑦
𝑦´ +
𝑥𝑦´
𝑦
= 1 +
𝑦
𝑥
𝑦´
1+𝑥
𝑦
=
1+𝑦
𝑥
𝑦´
𝑦 + 𝑥
𝑦
=
𝑥 + 𝑦
𝑥
𝑦´ =
𝑥 + 𝑦
𝑥
𝑦 + 𝑥
𝑦
𝑦´ =
𝑥
𝑦

58. DERIVADA DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA
1) eax
senbx
y= (senbx)2
= 2(senbx)2-1
(senbx)
=2(senbx) (cosbx) (bx)
= 2cosbx × senbx
= eax
2senbx+eax
2senbx (cosbx) (b)
= eax
2senbx+2eax
(cosbx) (senbx)
=eax
senbx (senbx)+b cosbx R
2) y=e2x
cos2
6x
= (cos6x)2
= 2(cos6x)2-1
(cos6x)
= 2(cos6x) (-sen6x) (6x)
= -12 sen6x *cos6x
= e2x
2cos2
6x+e2x
2cos6x (-sen6x) (6)
=2e2x2cos26x-12e2xsen6x cos6x
=2e2x
cos6x (cos6x-6sen6x) R
3) y=lm senax
=
1
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)
sen (ax)
=
1
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)
cos (ax) (ax)
= cos (ax) (a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=cos a R

59. 4) S= e-t
cos2t
=e-t
(cos2t)+ (cos2t) (e-t
)
=e-t
(-sen2t) (2t)+ (cos2t) e-t
(-t)
= e-t
(sen2t) (2)+ (cos2t) (1)
=-2e-t
(sen2t)-(cos2t) e-t
=-e-t
(sen2t)-(cos2t) R
5) Y= lm tg
𝒙
𝟐
=
1
𝑡𝑔
𝑥
2
(tg
𝑥
2
)
=
1
𝑡𝑔
𝑥
2
(senc-2 𝑥
2
)(
𝑥
2
)
=(
𝑠𝑒𝑐
𝑥
2
𝑡𝑔
𝑥
2
)
1
2
=
1
2
sen2 𝑥
2
(
1
𝑡𝑔
𝑥
2
)
=
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑥
2
𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
R

60. DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA
y= lm √
𝟐𝑿−𝟓
𝟑𝑿+𝟏
=
1
2𝑋−5
3𝑋+1
(
2𝑋−5
3𝑋+1
)
=√
3𝑋+1
2𝑋−5
1
2
(
2𝑋−5
3𝑋+1
)
(2𝑋−5)(3𝑋+1)−(2𝑋−5)(3𝑋+1)
(3𝑋+1)
=√
3𝑋+1
2𝑋−5
√
3𝑋+1
2(3𝑋+1)
)
(2)(3𝑋+1)−(2𝑋−5)(3)
(3𝑋+1)
=√
3𝑋+1
2𝑋−5
6𝑋+2−6𝑋+15
(3𝑋+1)
=
17
2(2𝑋−5)(3𝑋+1)
R
2) lm√
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙
=
1
2
1
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
[
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)−(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)
]
=
1
2
1
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
[
( 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)−(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(−𝑐𝑜𝑠𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)
]
=
1
2
1
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
[
2𝑐𝑜𝑠𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)
]
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥

61. =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑐𝑥 R
3) lm
√ 𝑿 𝟐+𝟏 −𝒙
√ 𝑿 𝟐+𝟏 +𝒙
Lm (√ 𝑋2 + 1 − 𝑥) − 𝑙𝑚(√ 𝑋2 + 1 + 𝑥)
=
1
√𝑋2+1 −1
( √ 𝑋2 + 1 − 𝑥 )-
1
√𝑋2+1 −1
( √ 𝑋2 + 1 + 𝑥 )
=
1
√𝑋2+1 −1
(
𝑥
√𝑋2+1
−1
1
) −
1
√𝑋2+1 +1
(
𝑥
√𝑋2+1
−1
1
)
=
𝑥√𝑋2+1
√𝑋2−𝑥
(
𝑥−√𝑋2+1
√𝑋2+1
) –
1
√𝑋2+1 +1
(
𝑥+√𝑋2+1
√𝑋2+1
)
𝑥−√𝑋2+1
√ 𝑋2+1
√ 𝑋2+1 −𝑥
−
𝑥+√𝑋2+1
√ 𝑋2+1
√ 𝑋2+1 +𝑥
=
𝑥−√𝑋2+1
√𝑋2+1−𝑥
−
𝑥+√𝑋2+1
√𝑋2+1+𝑥
=
√𝑋2+1
𝑋2+1
-
√𝑋2+1
𝑋2+1
=
√𝑋2+1− √𝑋2+1
𝑋2+1
= =
−2√𝑋2+1
𝑋2+1
𝑹
4)
𝒍𝒎.𝒙
𝒙
=
( 𝑙𝑚) 𝑥−( 𝑙𝑚) 𝑥 (𝑥)
𝑥2
=
1
𝑥
𝑥−𝑙𝑚(1)
𝑥2
=
𝑥
𝑥
−𝑙𝑚𝑥
𝑥2
=
𝑥−𝑥𝑙𝑚𝑥
𝑥
𝑥2

62. =
𝑥(1)−𝑙𝑚𝑥
𝑥2
=
1−𝑙𝑚𝑥
𝑥2 𝑹
5) lm (𝒙 𝟐
. 𝒆 𝒙
)
= lm
𝟏
( 𝒙 𝟐).𝒆 𝒙
(𝒙 𝟐
. 𝒆 𝒙
)
=
𝟏
( 𝒙 𝟐).𝒆 𝒙
𝟐𝒙 𝒆 𝒙
+ 𝒙 𝟐
𝒙
=
𝒙.𝒆 𝒙(𝟐+𝒙)
𝒙 𝟐.𝒆 𝒙
=
𝟏
( 𝒙 𝟐).𝒆 𝒙
(
𝟐+𝒙
𝒙
)
=
𝟐
𝒙
R

63. CONCLUSIONES
 Se realizó los ejercicios planteados de los límites y derivadas.
 Se aplicó la teoría de cada uno de los temas.
 Se explicó los ejercicios paso a paso para una mejor comprensión
RECOMENDACIONES
 Leer cuidadosamente los ejercicios planteados y tratar de entenderlo.
 Antes de realizar cualquier ejercicio leer primero la teoría.
BIBLIOGRAFIA:
http://www.vitutor.com/fun/4/a_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme
http://www.vitutor.com/fun/3/c_1.html