Este documento presenta los conceptos básicos de las matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué es una matriz, sus tipos y operaciones con ellas. Luego define el determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades, incluyendo cómo calcular determinantes de orden 2 o más. Finalmente, invita al lector a ampliar sus conocimientos sobre este tema a través de recursos adicionales como videos y apuntes.

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA 1º LADE y LADE-TUR. Presentación realizada por Mª Luisa Vílchez Lobato TEMA 1

2. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Contenidos 1.1. Definición de matriz de orden m x n. Tipos de matrices. 1.2. Operaciones con matrices. 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes. 1.4. Amplía tus conocimientos.

3. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1. Definición de matriz de orden m x n ¿Qué es una matriz de orden m x n?  Si m  n, A es rectangular  Si m = n, A es cuadrada 2 x 3 3 x 3 1 x 4 4 x 1 a 23 a 33 2 x 2 Matriz Nula, 

4. Sea A cuadrada de orden n.  A es diagonal si son nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal  A es triangular superior si son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal principal  A es triangular inferior si son nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1. Tipos de matrices Diagonal principal de A

5. Sea A cuadrada de orden n.  A es simétrica si son iguales los elementos simétricos respecto de la diagonal principal  A es antisimétrica si son nulos los elementos de la diagonal principal y opuestos los elementos simétricos respecto de la misma TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1. Tipos de matrices Diagonal principal de A

6. OPERACIONES CON MATRICES SUMA: A + B , matrices del mismo orden -1 4 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL:  A TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.2. Operaciones con matrices

7. TRASPUESTA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n: A t Observación: si A es cuadrada, entonces: A simétrica  A t = A A antisimétrica  A t = -A PRODUCTO DE DOS MATRICES: AB El número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B A m x n B n x p = C m x p TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.2. Operaciones con matrices

8. 2 x 3 3 x 4 TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.2. Operaciones con matrices (-1)(-1)+2  2+0  0=5 (-1)  1+2  5+0  (-2)=9

9. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA  Cálculo de un determinante de orden 2: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 - a 13 a 22 a 31 - a 21 a 12 a 33 - a 23 a 32 a 11 TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada  Cálculo de un determinante de orden 3: Regla de Sarrus

10. Menor complementario del elemento a ij : es el determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y la columna j. Se denota por  ij . Sea A una matriz cuadrada de orden n TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada  Cálculo de un determinante de orden superior a 3

11. Adjunto del elemento a ij : En el ejemplo anterior, A 13 = 23, A 41 =13 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES: 3. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces su determinante es igual a cero. 1. El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales 2. Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos nulos, entonces el determinante de la matriz es igual a cero. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

12. 5. El valor de un determinante no varía si a una fila (resp. columna) se le suman las demás filas (resp. columnas), multiplicadas por cualesquiera números reales. 4. Si una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de las restantes filas (o columnas), entonces el determinante es nulo. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades. C 3 =2C 1 -C 2 F 1 +F 2 +2F 3

13. 6. El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) cualquiera, por sus adjuntos correspondientes. Aplicamos esta propiedad para resolver determinantes de cualquier orden. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades. 1  A 11 +1  A 12 +0  A 13 =

14. Ejercicio propuesto: comprobar que si se aplica la propiedad 6 con otra fila o columna, el valor del determinante es el mismo. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

15. Esta propiedad simplifica notablemente el cálculo de determinantes que tienen una fila o columna con todos los elementos nulos excepto uno. Por ejemplo: Cualquier determinante puede expresarse en la forma anterior, sin más que emplear la propiedad 5. Por ejemplo: C 2 -2C 1 C 3 +C 1 TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.