Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como matrices asociadas a sistemas, el teorema de Rouché-Fröbenius para clasificar sistemas, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss, ecuaciones matriciales y la regla de Cramer. También cubre sistemas homogéneos y sistemas dependientes de parámetros.

1. UD 3: SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
PROF: ALFONSO NAVARRO
MATEMÁTICAS II

2. ÍNDICE
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.1. Introducción
1.2. Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones
2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS.
3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
3.1. Método de Gauss
3.2. Por ecuación matricial
3.3. Regla de Cramer
4. SISTEMAS HOMOGÉNEOS
5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS

3. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
1.1. Introducción
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una
expresión
del tipo:
Si representamos la gráfica de cada ecuación, obtendremos dos
rectas. El punto de corte de ambas rectas, si existe, será la única
solución del sistema.
3SISTEMASDEECUACIONES

4. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
Ejemplo: Resuelve gráficamente los siguientes sistemas
3SISTEMASDEECUACIONES

5. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
Resumiendo,
3SISTEMASDEECUACIONES
SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
COMPATIBLE
DETERMINADO
(SCD) SOLUCIÓN
ÚNICA
INDETERMINADO
(SCI) INFINITAS
SOLUCIONES
INCOMPATIBLE (SI) SIN SOLUCIÓN

6. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
Sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas
En general se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
a un conjunto de relaciones de la forma:
3SISTEMASDEECUACIONES
donde 𝑥1, 𝑥2, …𝑥 𝑛 son las incógnitas, los números 𝑎𝑖𝑗 son los coeficientes
de las incógnitas y los 𝑏𝑖 son los términos independientes.
El conjunto de números reales ordenados 𝛼1,𝛼2, …𝛼 𝑛 será solución del
sistema si satisface todas las ecuaciones del mismo.

7. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
1.2. Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
podemos expresarlo como producto de matrices, A·X = B, de esta
forma:
3SISTEMASDEECUACIONES

8. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINALES
A recibe el nombre de matriz de coeficientes o matriz del sistema:
B se denomina matriz de los términos independientes:
Y llamamos matriz X a la matriz columna formada
por las incógnitas:
A partir de las matrices A y B definimos la matriz ampliada:
3SISTEMASDEECUACIONES

9. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
2.1. Teorema de Rouché-Fröbenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m
ecuaciones y n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el
rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz
ampliada.
Sistema ecuaciones es compatible ⇔ ran(A) = ran(A*)
Si estudiamos los rangos de las matrices nos podemos encontrar con
las siguientes situaciones:
3SISTEMASDEECUACIONES
Discutir un sistema de ecuaciones consiste en clasificarlo. Es decir,
determinar si su solución es única, si hay infinitas soluciones o sino
existe.

10. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
3SISTEMASDEECUACIONES
ran(A)=ran(A*)
Sistema compatible
(SC)
ran(A)=n
Sistema compatible
determinado (SCD)
ran(A)<n
Sistema compatible
indeterminado (SCI)ran(A)≠ran(A*)
Sistema
incompatible (SI)
n = número incógnitas.

11. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
3SISTEMASDEECUACIONES
Grado de indeterminación
Cuando ocurre que el sistema es SCI, hay que analizar su grado de
indeterminación, es decir, el número parámetros con el que se puede
expresar la solución.
En un sistema de p ecuaciones donde ran(A) = p, se cumple que:
Grado de indeterminación = n – ran(A)
Ejemplo. En el siguiente sistema: 5x – y + 3z = 6
Tenemos que ran(A) = ran(A*) = 1 < 3 = n = nº de incógnitas
Además ran(A) = 1 = p = nº de ecuaciones, entonces el grado de
indeterminación es 3 – 1 = 2.
La solución puede ser: 𝑥 = 𝜆, 𝑦 = 𝜇, 𝑧 =
6−5𝜆+𝜇
3
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ.

12. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
3SISTEMASDEECUACIONES
Ejemplo. Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones:

13. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
3SISTEMASDEECUACIONES
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las
siguientes:
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el
rango de A' pueden ser a lo sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada
de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min (m,n)
Vemos que |A| = 4 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor
de orden 3 de la matriz A', también rg(A ') = 3.
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.

14. 2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBENIUS
3SISTEMASDEECUACIONES
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las
siguientes:
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el
rango de A' pueden ser a lo sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de
orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.
Empezamos estudiando el rango de A. Vemos que rg(A) = 2.
Como los menores orlados son ambos nulos rg(A') = 2.
Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 < 3 y el sistema es compatible
indeterminado.

15. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
3.1. Método de Gauss
Este método consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente,
aplicando las transformaciones de Gauss, hasta conseguir un sistema
escalonado.
Sistema escalonado: es aquél en el que cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior. Dicho de otro modo, se trata de ir anulando
coeficientes de las incógnitas hasta que sea posible organizarlos en una matriz
triangular. Así, por ejemplo, si partiendo del sistema:
para resolverlo no tendríamos más que ir sustituyendo el valor de la variable
obtenida en una ecuación en la ecuación anterior, y así sucesivamente.
3SISTEMASDEECUACIONES

16. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
El análisis de la última ecuación es fundamental, y pueden ocurrir los
siguientes casos:
3SISTEMASDEECUACIONES
Ejercicio. Resuelve y discute los siguientes sistemas por el método
de Gauss:

17. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
3.2. Por ecuaciones matriciales
La expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales nos ofrece
otro mecanismo de resolución del sistema a partir de la matriz inversa
de la matriz de los coeficientes.
Si la matriz A tiene matriz inversa, es decir, si se cumple que:
• m = n : el sistema tiene que tener tantas ecuaciones como
incógnitas, es decir, la matriz de los coeficientes debe ser cuadrada.
• 𝐴 = 0 : el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser
distinto de cero, para que la matriz tenga inversa.
Por ejemplo, en una ecuación matricial de la forma A · X = B , podemos
escribir:
A · X = B  X = A-1B
3SISTEMASDEECUACIONES

18. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
Ejemplo. Resuelve mediante la matriz inversa el sistema:
3SISTEMASDEECUACIONES

19. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
3.3. Regla de Cramer
Definición sistema de Cramer
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de
Cramer si cumple las siguientes condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. (m=n)
2. El determinante formado por los coeficientes de las incógnitas es
distinto de cero. ( 𝐴 ≠ 0)
Regla de Cramer
La Regla de Cramer dice que: "un sistema de n ecuaciones con n
incógnitas, en el cual el determinante de la matriz de los coeficientes es
distinto de cero, admite una solución y sólo una, es decir, es un sistema
compatible determinado".
3SISTEMASDEECUACIONES

20. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
La solución de un sistema de Cramer puede calcularse como:
siendo ∆i el determinante que resulta de sustituir la columna de la
incógnita i–ésima por la matriz de términos independientes:
3SISTEMASDEECUACIONES

21. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
Caso de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas por ejemplo:
3SISTEMASDEECUACIONES

22. 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
Ejercicio. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer:
3SISTEMASDEECUACIONES

23. 4. SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Sistema homogéneo
La expresión de un sistema homogéneo de m ecuaciones con n
incógnitas es la siguiente:
3SISTEMASDEECUACIONES
Una de las características más relevantes de los sistemas
homogéneos es que todos ellos son compatibles, es decir, siempre
tienen solución, ya que la última columna de la matriz ampliada, A*,
tiene todos sus elementos nulos, lo cual deja invariable el rango de la
matriz de los coeficientes y, por lo tanto, rango (A) = rango (A*).
Puede ser entonces:
- SCD si rango (A) = rango (A*) = r = n (nºincógnitas)
- SCI si rango (A) = rango (A*) = r < n (nºincógnitas)

24. 5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE
PARÁMETROS
Pasos a seguir:
1. Se determinan los valores críticos del parámetro para los que
pueden ser diferentes los rangos de las matrices A y A*.
2. Se hallan los rangos de A y A* para los valores críticos y para el
resto de valores dependientes del parámetro.
3. Se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius.
3SISTEMASDEECUACIONES
Ejemplo
Discutir el siguiente sistema de
ecuaciones en función del parámetro «a».

25. 5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE
PARÁMETROS
3SISTEMASDEECUACIONES
Solución
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las
siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como
el de A' pueden ser a lo sumo 3 ya que A es una matriz es de orden 3
y A' una matriz 3 × 4.

26. 5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE
PARÁMETROS
3SISTEMASDEECUACIONES
Observamos que:
por lo cual ran(A) ≥ 2 y ran(A') ≥ 2 ya que dicho menor es menor de
las dos matrices.
Ahora vemos que:
Consecuentemente

27. 5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE
PARÁMETROS
3SISTEMASDEECUACIONES
Veamos que ocurre con rg(A'):
- Si a ≠ -1 y a ≠2 entonces rg(A') = 3 ya que |A| es un menor no nulo
de orden 3 de A'.
- Si a = -1 ó a = 2 tenemos que ver qué ocurre con el ocurre con el
otro orlado del determinante de menor de orden 2 que tomamos
antes:
Si a = -1 el menor es no nulo, de manera que rg(A') = 3.
Si a = 2 el menor es nulo, de manera que rg(A') = 2.
En resumen:

28. 5. SISTEMAS DEPENDIENTES DE
PARÁMETROS
3SISTEMASDEECUACIONES