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MATRICES Orlando Miguel Ospino Ospino   Cod 2073782 Diego Leonardo Ferreira Ortiz Cod 2073477 Nafis Badrán Lizarazo  Cod 2072339 Erika Johana Villarreal Villarreal  Cod 2073468 Francy Guerrero Zabala  Cod 2080751 Diego Fernando Gómez Páez                Cod 2072320
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ,[object Object],--a  son los coeficientes constantes --  b  son los términos independientes constantes  --n  es el número de ecuaciones
NOTACIÓN MATRICIAL ,[object Object],[object Object],[object Object]
TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1 RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,   TRASPUESTA Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por  A t   ó  A T OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A. NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de  orden n . Diagonal principal  : son los elementos  a 11  , a 22  , ..., a nn    Diagonal secundaria  : son los elementos  a ij  con    i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. Diagonal principal :  Diagonal secundaria :  SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A t   , a ij  = a ji ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -A t   , a ij  = -a ji Necesariamente  a ii  = 0    DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo IDÉNTICA Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos. ORTOGONAL Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A -1  = A T   La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo NORMAL Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales. INVERSA Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A -1  = A -1 ·A = I MATRIZ BANDEAD A Es una matriz que tiene todos sus elementos cero, excepto los de una banda centrada en la diagonal principal.  Matriz  tridiagonal: ancho de banda de 3.  MATRIZ AMPLIADA O AUMENTADA Es la que está formada por la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes, los cuales se acostumbra separar con una línea de puntos.
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MULTIPLICACIÓN DE MATRICES  Ejemplo: hallar el producto de AB El orden de A es (5,3) y el de B es (3,2), luego el orden de la matriz producto será (5,2)
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NOTACIÓN MATRICIAL Ejemplo : determinar el determinante de la matriz A Se expande det A por medio de cofactores del renglón 1. Observe que a 11  = 1, a 12  = 2, a 13  = 3.
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Capitulo 4

  • 1. MATRICES Orlando Miguel Ospino Ospino   Cod 2073782 Diego Leonardo Ferreira Ortiz Cod 2073477 Nafis Badrán Lizarazo Cod 2072339 Erika Johana Villarreal Villarreal Cod 2073468 Francy Guerrero Zabala Cod 2080751 Diego Fernando Gómez Páez                Cod 2072320
  • 2.
  • 3.
  • 4. TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1 RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n , TRASPUESTA Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por  A t   ó  A T OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A. NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
  • 5. TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n . Diagonal principal : son los elementos  a 11 , a 22 , ..., a nn   Diagonal secundaria : son los elementos  a ij con   i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. Diagonal principal : Diagonal secundaria : SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A t   , a ij = a ji ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -A t   , a ij = -a ji Necesariamente  a ii = 0   DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
  • 6. TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo IDÉNTICA Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos. ORTOGONAL Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A -1 = A T La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
  • 7. TIPOS DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo NORMAL Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales. INVERSA Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A -1 = A -1 ·A = I MATRIZ BANDEAD A Es una matriz que tiene todos sus elementos cero, excepto los de una banda centrada en la diagonal principal. Matriz tridiagonal: ancho de banda de 3. MATRIZ AMPLIADA O AUMENTADA Es la que está formada por la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes, los cuales se acostumbra separar con una línea de puntos.
  • 8.
  • 9. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Ejemplo: hallar el producto de AB El orden de A es (5,3) y el de B es (3,2), luego el orden de la matriz producto será (5,2)
  • 10.
  • 11.
  • 12. NOTACIÓN MATRICIAL Ejemplo : determinar el determinante de la matriz A Se expande det A por medio de cofactores del renglón 1. Observe que a 11 = 1, a 12 = 2, a 13 = 3.
  • 13.
  • 14.
  • 15. MÉTODO GRAFICO Con el método grafico resuelva:
  • 16.
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  • 21.