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Algebra
lineal
Prof. Armando Almazán Gama

Matrices
• En algebra una ecuación lineal o de
primer grado es aquella en la que la
incógnita tiene un exponente 1.

Matrices
• También puede definirse a la ecuación lineal como
aquella ecuación que al graficarse resulta una recta
en el plano.
A estas también se les
conoce como función lineal

• Para poder resolver una ecuación lineal
se debe encontrar el valor de la incógnita
de acuerdo a los demás términos que la
rodean.
Matrices

Ejemplos:
• 1)
• 2)
• 3)

Matrices
• Existen ocasiones en que las ecuaciones
tienen mas de una incógnita en sus
términos

Para resolver este tipo de problemas se
necesitan el mismo numero de ecuaciones
que de incógnitas.
A esto se le conoce como sistemas de
ecuaciones.
Matrices

• Dependiendo del numero de incógnitas y
de ecuaciones será el tipo de sistema:
2x2, 3x3, 4x4, 5x5,…nxn
Matrices

• Los sistemas de ecuaciones pueden
resolverse de diferentes maneras
dependiendo del tipo de sistema.
Matrices

Solución de un sistema de 2x2
• Para resolver un sistema de 2x2 existen tres
métodos mas comunes:
a)Método de reducción.
b)Método de sustitución.
c)Método de igualación.

Ejemplo:
2X + 5Y =19
3X – 4Y = -6

Ejemplo:
• También se puede encontrar la solución
grafica de un sistema de ecuaciones de
2x2 tabulando una de las variables.
Solución única Sin solución Múltiples
soluciones

Ejemplos:
1)
2)
5m + n=-1
3m + 2n =5
6r – 5t = -11
7t – 8r =15

• 3) en un parque de diversiones 6
entradas de adulto y 8 de niño
costaron $880 y, 4 entradas de
adulto y 5 de niño $570. ¿Cuál es
el precio de cada entrada por
adulto y por niño?

Sistemas de 3x3
• Si al sistema de ecuaciones se le añade otra
incógnita, para resolverlo se debe tener otra
ecuación, de esta manera se tendrá un
sistema de 3x3
ax1 + by1 + cz1=l
ax2 + by2+ cz3=m
ax3 + by2 + cz3=n

• El método mas rápido de solución de
este tipo de sistemas es el método de
reducción, convirtiendo el sistema de 3x3
a uno de 2x2 para después obtener una
ecuación lineal
Sistemas de 3x3

Ejemplo:
x - 3y + 2z = -3
5x + 6y – z = 13
4x - y + 3z = 8

Matrices
• La información esencial de un sistema lineal
puede registrarse en forma compacta en una
formación rectangular llamada matriz, para el
caso de los sistemas 3x3 hasta nxn.

Tipos de matrices
• Las matrices se utilizan para describir sistemas
de ecuaciones lineales, y registrar los datos
que dependen de varios parámetros.

Matriz nula
• Se llama matriz nula a la que
tiene todos los elementos cero,
Por ejemplo:

• Se llama matriz fila a la que sólo
tiene una fila, es decir su
dimensión es (1xn).
• Por ejemplo:
Matriz fila

Matriz columna
• Se llama matriz columna a la que
sólo consta de una columna, es decir
su dimensión será (mx1).
• Por ejemplo:

Matriz cuadrada
• Una matriz es cuadrada cuando tiene
el mismo número de filas que de
columnas, es decir su dimensión es
(nxn):

Matriz rectangular
• Una matriz es rectangular si tiene
diferente número de filas que de
columnas.
• Ejemplo:

• Dentro de las matrices cuadradas llamaremos
diagonal principal a la formada por los
elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la
matriz:
Matriz rectangular

• En esta matriz su diagonal principal estaría
formada por 1, 5, 0.
• Se llama traza de la matriz a la suma de los
elementos de la diagonal. Es decir, Traza
(A)=a11+a22+a33 + . . . + ann, y en el caso de
D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
Matriz rectangular

• La diagonal secundaria es la formada por los
elementos a1n , a2 ,n−1 , a3,n−2 , . . ., an1 .
• En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.
Matriz rectangular

Matriz triangular
• Una matriz es triangular superior si todos
los elementos por debajo de la diagonal
principal son nulos.

Matriz triangular
• Y triangular inferior si son nulos todos los
elementos situados por encima de dicha
diagonal. Son ejemplos de estas
matrices:

Matriz diagonal
• Si una matriz es a la vez triangular
superior e inferior, sólo tiene elementos
en la diagonal principal. Una matriz de
este tipo se denomina matriz diagonal.

Matriz identidad
• Si una matriz diagonal tiene en su
diagonal principal sólo unos, se
denomina matriz unidad ó identidad. Se
suelen representar por In.

Operaciones con matrices
• Al igual que con las operaciones con
polinomios, también se pueden realizar
operaciones con matrices como suma, resta,
multiplicación y división de matrices.

Suma y resta
• En la suma o resta de matrices los miembros
de cada matriz se suman o restas en su
respectiva posición:

Ejemplos:
•Sea:
•Encuentra A+B y A-B.

Multiplicación
Cuando trabajamos con matrices, nos
referimos a los números reales como escalares.
El término multiplicación escalar se refiere al
producto de un número real por una matriz. En
la multiplicación escalar, cada entrada en
la matriz se multiplica por el escalar dado.

• Cuando se multiplican una matriz Amxo de
“m” filas por “o” columnas por una matriz
Bpxn de “p” filas por “n” columnas se realiza
la multiplicación de las o columnas por las p
filas generando una matriz Cmxn.
(Amxo)(Bpxn)= Cmxn
Multiplicación
Nota: Para que una matriz pueda multiplicarse por otra el numero
de filas debe ser el mismo que el numero de columnas.

Ejemplos:
A = -2 0
1 4
-7 5
β=-3
Encuentra β(A)

A = 2 4 -1 0 B = 2
4
-1
0
Encuentra
(A)(B)
Ejemplos:

X = 0 2
-1 5
4 8
12 10
Y = 4 3 6
5 7 -2
Encuentra (X)(Y)
Ejemplos:

J = -1 4 5
5 1 0
-2 3 1
I = 2 -1 0
1 3 2
-2 -3 5
Encuentra (J)(I)

Determinantes
• El determinante de una matriz siempre es un
número real y únicamente lo podremos
calcular para matrices cuadradas.

• El determinante de una matriz nos indica si
estamos ante un sistema singular o no
singular de ecuaciones lineales.
• Por ello, si el resultado del determinante es
cero (nulo), estaremos ante una matriz
singular, y si el resultado es distinto de cero,
estaremos ante una matriz no singular.
Determinantes

Otras aplicaciones pueden ser:
1. Nos permiten estudiar la posición relativa de rectas
y planos (sabemos que la posición relativa que
ocupan rectas y planos se puede calcular a través de
sistemas de ecuaciones lineales, que son resueltas por
determinantes de matrices).
2. Podemos obtener la ecuación implícita de un
plano (a través de un determinante nulo).
3. Son un instrumento para calcular áreas de figuras en
el plano.
4. Nos ayudan a calcular el rango de una matriz con
parámetros.
Determinantes

Calculo de determinantes
• Para una matriz se pueden seguir distintos
métodos para calcular su determinante.
• En una matriz de 2x2 el calculo de
determinante se realiza multiplicando
cruzando los términos de la matriz:

• Esta regla es un método que permite calcular
rápidamente el determinante de una matriz
cuadrada con dimensión de 3×3 o mayor. En
otras palabras, la regla de Sarrus consiste en
dibujar dos conjuntos de dos triángulos
opuestos mediante los elementos de la matriz.
Método de Sarrus

Método se Sarrus
El método de Sarrus se
puede resolver de
manera vertical u
horizontal.

Método de menores: en este método se cancela una
fila y una columna y se trata a las matrices de 2x2
resultantes.
Método de menores

Método de cofactores
• En el método de cofactores se emplea el método
de menores utilizando la formula:
Aij = (-1)i+jMij
• Donde:
• Aij= es el cofactor de la posición determinada.
• (-1)i+j es la posicion del termino.
• Mij= es el menor de dicha posicion.

Signos de una matriz conjugado
m= + - +
- + -
+ - +

• Una ves obtenido el cofactor este
se multiplica por el valor de los
términos a11, a12, a13,…anxn.
detA= (a11)(Aij) + (a12)(Aij) + (a13)(Aij)

Ejemplos: 1
• Encuentra la determinante de la siguiente
matriz.
A= 4 6
5-2

• Encuentra la determinante por el método de
Sarrus:
m= -1 4 5
5 1 0
-2 3 1
Ejemplos: 2

• Encuentra la determinante por el método de
menores.
A= 2 0 1
3 5 2
-3 0 2
Ejemplos: 3

• Encuentra el determinante de la matriz por el
método de cofactores.
J= 3 2 1
1 2 4
1 1 2
Ejemplos: 4

División
• La división de dos matrices es la multiplicación de
una matriz por la matriz inversa de la matriz divisora,
y al mismo tiempo, exige que la matriz divisora sea
una matriz cuadrada y que su determinante sea
distinto de cero.

Ejemplo:
• Dadas dos matrices cualesquiera:
• Acomodando las matrices se tiene que:

División
• En este caso estaríamos dividiendo la
matriz A por la matriz C.
• Entonces, si queremos emplear la
matriz C como matriz divisora, se debe
comprobar si la matriz es invertible o no.

Condiciones para que una matriz sea
inversa
Las condiciones son:
1. La matriz tiene que ser una matriz
cuadrada.
2. El determinante de la matriz tiene
que ser distinto de cero (0).

Condiciones para que una matriz sea
inversa
A continuación, evaluamos si podemos
continuar con la división de matrices o no:
1. Si la matriz C puede ser una matriz inversa,
continuamos con la división.
2. Si la matriz C no puede ser una matriz inversa
porque no cumple con las condiciones, no
podemos continuar la división con esta
matriz como matriz denominador o divisora.

Proceso para la división de matrices
• El orden para dividir dos matrices es el siguiente:
1. Determinar qué matriz va en el numerador y
qué matriz va en denominador. Recordar que la
matriz del denominador tiene que ser invertible.
En caso contrario no podrá hacerse la división.
2. Hacer la inversa de la matriz que vaya en el
denominador.
3. Multiplicar la matriz del numerador por la matriz
inversa.

Inversa de una matriz
• Sea una matriz nxn, y sea I la matriz identidad
entonces existe una matriz que al multiplica a A de
como resultado la matriz identidad, esta matriz es la
matriz inversa y se denota como A-1.
• (A-1 )(A)=I

Un método para determinar la inversa de una matriz es
multiplicar a la matriz por la inversa de su determinante:
𝐴−1
=
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝐴𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

Ejemplos
• Encuentra las matrices inversas de las
matrices A y B.
A = 7 5
-2 9
B= 3 2 5
2 -1 4
-1 2 1

Inversa de una matriz por Gaus-Jordan
• En el método de Gauss-Jordan se utiliza la
matriz identidad para determinar la inversa de
la matriz inicial.

Ejemplos: 1, 2
• Determina la matriz inversa de las siguientes
matrices por método de Gauss-Jordan
A = 1 3
2 4
B = 2 6
1 4

Ejemplos: 3, 4
2 1 3
X= -1 2 4
0 1 3
2 3 1
Y= 1 -1 2
0 1 0

• Dadas las siguientes matrices, dividir la
matriz E por la matriz G:
Ejemplo de división

Ejemplo de división
• Dadas las siguientes matrices, dividir la
matriz X por la matriz B:

Solución de sistemas de ecuaciones
con matrices
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer
grado) se utilizan comúnmente tres tipos de procedimientos:
1. Métodos algebraicos, clasificados como métodos de
sustitución, igualación o reducción.
2. Métodos gráficos, donde cada ecuación del sistema se
corresponde con un plano, en el caso de que el sistema
sea de tres incógnitas, de forma que las soluciones del
sistema coinciden con los puntos de intersección de todos
los planos.
3. Métodos matriciales, basados en el uso de la teoría de
matrices.

• El método de matrices para resolver sistemas
de ecuaciones lineales es solo el método de
eliminación disfrazado. Al usar matrices, la
notación se vuelve un poco más fácil.
Solución de sistemas de ecuaciones
con matrices

Solución de matrices, método de
Cramer
• Para resolver sistemas de ecuaciones
utilizando matrices existen diferentes
métodos.
• Uno de ellos es el método de Cramer, que
convierte el sistema de ecuaciones en una
matriz y lo soluciona utilizando los
determinantes.

• En este método se emplea la formula:

Ejemplos:
• Encuentra el valor de las variables de las
ecuaciones utilizando el método de Cramer:
5x - 2y=-2
-3x + 7y=-22
2x - y=0
3x + y =5

x + y + z = 2
2x - y + 2z =4
-3x + 2y + 3z = 8
Ejemplos:

x + 2y - z = 1
-3x + y + z =-5
x - y + 3z = 5
Ejemplos:

Método de Gauss
• En el método de gauss se determina el valor
de la ultima variable y a partir de esta se
determinan los valores X y Y utilizando las
ecuaciones originales
Ax1 + By1 + Cz1 = i
Ax2 + By2 + Cz2 = j
Ax3 + By3 + Cz3 = k

A1 B1 C1 i
m= A2 B2 C2 j
A3 B3 C3 k
A1x + B1y + C1z = i
A2x + B2y + C2z = j
A3x + B3y + C3z = k
A1 B1 C1 i´
0 B2 C2 j´
0 0 C3 k´
Método de Gauss

Ejemplos:
• Determina la solución del sistema de
ecuaciones por el método de Gauss.
5x + 2y=1
-3x + 3y =5
2x – y + z = 3
x + 2y – z = 4
x – 8y + 5z =-6

Método de Gauss-Jordan
• En el método de Gauss-Jordan se convierte la
matriz formada por los coeficientes del
sistema de ecuaciones en una matriz
identidad.

Ejemplo:
• El primer paso es convertir el sistema en una
matriz, asegurándose que todas las ecuaciones
estén en la forma estándar ( Ax + B y = C ), y usar
los coeficientes de cada ecuación para formar
cada renglón de la matriz.
• Hay que separar la columna de la derecha de los
términos independientes con una línea.
5x + y=-1
3x + 2y =5

• Enseguida, usamos las operaciones de
renglones de matrices para cambiar la matriz
2 × 2 en el lado izquierdo a la matriz
identidad .
Nota: Si las ecuaciones representadas
por la matriz original representan rectas
paralelas, no se podrá obtener la matriz
identidad usando las operaciones de
filas. En este caso, la solución puede no
existir o hay infinitamente muchas
soluciones para el sistema.

Ejemplo 2:
x - 2y + 3z = 11
4x + y – z = 4
2x - y + 3z = 10

Espacios vectoriales
• Un espacio vectorial es
un conjunto no vacío V
de objetos, llamados
vectores, en el que
están definidas dos
operaciones llamadas
suma y producto por
escalares.

• Estas operaciones están sujetas a diez reglas
para que los vectores puedan valer en u, v y w
contenidos en V y todos los escalares c y d.

• Si tomamos a V como un conjunto k dotado de
dos operaciones, suma y producto tal que:
• +:v(x,y) y u(x0,y0), entonces v+u=(x+x0,y+y0) y
cxv →(cx,xy)
A las que llamamos la suma y el producto de k,
respectivamente, que satisfacen las siguientes
condiciones:

• (K1) la suma es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) para cada a, b, c ∈ k;
• (K2) la suma es conmutativa: a + b = b + a para cada a, b ∈ k;
• (K3) hay un elemento neutro para la suma: existe un elemento 0 ∈ k tal que a + 0 =
a y 0 + a = a para todo a ∈ k;
• (K4) todo elemento de k posee un opuesto aditivo: para todo a ∈ k existe un
elemento a ′ ∈ k tal que a + a ′ = 0 y a ′ + a = 0;
• (K5) el producto es asociativo: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) para cada a, b, c ∈ k;
• (K6) el producto es conmutativo: a ⋅ b = b ⋅ a para cada a, b ∈ k;
• (K7) hay un elemento neutro para el producto: existe un elemento 1 ∈ k tal que a ⋅
1 = a y 1 ⋅ a = a para todo a ∈ k;
• (K8) todo elemento de k distinto de 0 posee un inverso multiplicativo: para cada a
∈ k distinto de 0, existe a ′ ∈ k tal que a ⋅ a ′ = 1 y a ′ ⋅ a = 1;
• (K9) el producto se distribuye sobre la suma: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c para cada a, b,
c ∈ k;
• (K10) los elementos neutros de la suma y del producto son distintos: 0 ≠ 1.

La condición (K3) afirma que existe un elemento
neutro para la suma y, de hecho, implica que
existe exactamente uno: en efecto, si 0 y 0 ′ son
dos elementos de k que son neutros para la
suma.

• Ejemplos de espacios vectoriales:
Vectores de R2: dimensión del espacio vectorial 2.
Vectores de R3: dimensión del espacio vectorial 3.
Matrices M2x2: dimensión del espacio vectorial 4.
Matrices M3x3: dimensión del espacio vectorial 9.

•Ejemplo:
•Sean los vectores u(1,-1),
v(2,1) y w(1,0) con
escalares c=2 y d=3,
comprueba los axiomas
planteados anteriormente.

Espacios vectoriales y matrices
• El conjunto de soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales homogéneo es un espacio
vectorial.

Subespacios vectoriales
Sea un espacio vectorial (V, K, +, *) entonces un
subespacio vectorial es un mismo espacio
vectorial que contiene los mismos componentes
pero siendo este un subconjunto de V.

• Dado que el subespacio vectorial
(S) esta contenido en V, entonces
se tiene que:
(S,K,+,*)

• Este subconjunto sera un subespacio vectorial
si cumple las propiedades de:
1. El 0 del espacio vectorial debe estar
contenido en S (0vЄS).
2. La suma de dos vectores pertencientes a V,
tambien debe pertenecer a S (u,v ЄS→u+v
ЄS)
3. c ЄK, u ЄS →c*u ЄS

Ejemplo
• Determina si la matriz Mmxn un subespacio
vectorial si se considera el espacio vectorial K
formado por las matrices nxn contenidas en K.
a11 a12…a1n
M= a21 a22…a2n
an1 an2…ann
La traza (Tr) de una matriz
es la suma de los
elementos de la diagonal
principal de la matriz, es
decir:
Tr(M)=a11+a22+…+ann

• Si la Tr de la matriz M es 0
entonces podemos decir que:
S={AЄMnxn(K):Tr(M)=0}

• Propiedad 1), si la matriz es una matriz nula
donde:
0 0…0
M= 0 0…0
0 0…0
Entonces la suma de su
diagonal principal es 0, por lo
que cumple la primer
propiedad de subespacios
vectoriales.

• Propiedad 2: las matrices M y N deben estar
contenidas en S (M,NЄS):
Tr(M)=0, Tr(N)=0; Tr(M+N)=Tr(M)+Tr(N)=0 M,NЄS
a11 a12…a1n
M= a21 a22…a2n
an1 an2…ann
b11 b12…b1n
N= b21 b22…b2n
bn1 bn2…bnn

• Propiedad 3), el producto de K por la matriz
pertenece al subconjunto S, (kMЄS)
• Tr(kM)= k(a11+a22…ann)=0 → kMЄS

Ejemplo 2:
• Sea V=R3 como espacio vectorial,
determina en que condiciones el
conjunto
S={(x,y,z)ЄR3:<(x,y,z),(a,b,c)>=d}
con (a,b,c)≠0 fijo.

Ejemplo 3:
•Determina si el espacio
vectorial {(1,1,0), (0,1,1),
(1,0,1)} es un sistema
generador de R3.

Combinación lineal
• Un vector V se dice
que es combinación
lineal de un conjunto
de vectores
c{u,u2,u3,…} si el
sistema V= α1u1+ α2u2+
α3u3+… tiene una única
solución.

Ejemplo 4:
•Demuestra si el siguiente
vector pertenece a R3, L={(-
1,1,0), (2,0,1), (1,2,-1)}

Ejemplo 5:
• Grafica y determina si los
vectores A(0,-1), B(3,5) y C(2,6)
con escalares c=3 y d=5
pertenecen a un espacio
vectorial R2.

Ejemplo 6:
•Determina si los vectores
V1(1,3), V2(2,-1) y V3(-1,-1)
son vectores de un sistema
generador de R2.

Ejemplo 7:
F(-1,1,2) y G(1,2,1) son
vectores generadores del
sistema R3.

Espacios nulos de una matriz
• El espacio nulo de una matriz A con
dimensiones mxn, que se escribe Nul A, es el
conjunto de todas las soluciones de la
ecuación homogénea Ax=0:
Nul A= {x:x esta en Rn y Ax=0}

• Considera el siguiente esquema de ecuaciones
homogéneas:
(1) X1-3x2-2x3=0
-5x1+9x2+x3=0
• En forma matricial este sistema se escribe
como Ax=0, donde:
A=
1 -3 -2
-5 9 1

• En este caso el conjunto de todas las x que
satisfacen (1) es el conjunto solución del
sistema (1). El conjunto de las x que satisfacen
a Ax=0 es el espacio nulo de la matriz A.

• Una descripción mas dinámica de Nul Aes el
conjunto de todas las x en Rn que se mapean
en el vector 0 de Rn mediante la
transformación lineal x → Ax:

Ejemplo 1:
• Sea A el siguiente sistema de ecuaciones
homogeneas:
(A) X1-3x2-2x3=0
-5x1+9x2+x3=0
y sea u= determina si u pertenece al espacio nulo
de A.
5
3
-2

• El espacio nulo de una matriz Amxn es un subespacio
de Rn, de manera equivalente, el conjunto de todas
las soluciones de un sistema Ax=0 de m ecuaciones
con n incógnitas es un subespacio de Rn.

Ejemplo 2:
• Encuentra el espacio generador para el
espacio nulo de la matriz Y utilizando las
variables libres.
Y= 1 -6 4 0
0 0 2 0

Ejemplo 3:
• Encuentra el espacio generador para el
espacio nulo de la matriz A utilizando las
variables libres.
A= -3 6 -1 1 -7
1 -2 2 1 -1
2 -4 5 8 -4

Espacio columna de una matriz
• Otro subespacio importante de una matriz es
su espacio de columna. A diferencia del
espacio nulo, el espacio columna se define
explícitamente empleando combinaciones
lineales.

• Definicion:
El espacio de columna de una matriz Amxn se
describe como Col. A, es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de las columnas de A. Si
A=Gen {a1, . . . , an}

• Como Gen {a1, . . . , an} es un subespacio de
acuerdo a la definición de Col A y el hecho de
que las columnas de A están en Rn se puede
deducir que:
• El espacio de columnas de una matriz Amxn es
un subespacio de Rn.

• Un vector tipoco de Col A se puede escribir
como Ax para alguna x, por que la notacion Ax
representa una combinacion lineal de
columnas de A como:
Col A= {b:b=Ax para alguna x en Rn}

• La notación Ax para vectores Col A muestra
también que Col A es el rango de la
transformación lineal x → Ax.

Ejemplo 1:
• Encuentra la matriz A tal que W=Col A si:
• W= : a,b en R
6a - b
a + b
-7a

Ejemplo 1.2:
•Dada la matriz del ejemplo
anterior determina su
espacio columna.

Ejemplo 2:
• Sea la matriz A obtén el espacio columna:
3 -1 -5 9
1 -1 -3 3
2 0 -2 6

Vectores linealmente dependientes e
independientes
• Varios vectores libres son linealmente
independientes si ninguno de ellos puede ser escrito
con una combinación lineal de los restantes, de
manera que si la combinación lineal es igual a cero,
entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero

• Para determinar la dependencia o
independencia lineal de un conjunto de
vectores se realiza la combinación lineal del
conjunto vectorial.
Sea: S= {V1, V2, V3}
Entonces: S= aV1 + bV2 + cV3=0

• Se opera la combinación lineal hasta obtener
los valores que toman los escalares a, b y c.
• Si a, b, c son iguales a 0, los vectores son
linealmente independientes.
• Si a, b, c son diferentes de 0, los vectores son
linealmente dependientes

• Los vectores linealmente dependientes
dependen uno del otro para formar al 0
vectorial, y los linealmente independientes
trabajan individualmente.

• Para determinar el 0 vectorial al que pertenece
cada conjunto de vectores se observa la
dimensión de dichos vectores:
• R2: (0,0)
• R3: (0,0,0)
• P2: (0X2+0X+0)
• P3: (0X3+0X2+0X+0)
• M2X2:
• M3X3:
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Ejemplo:
Estudia si son linealmente
dependientes o independientes
los vectores u(1,1,-1), v(2,-3,1) y
w(3,-4,6).

Ejemplo 2:
• Utiliza el método de Gauss
para determinar si los vectores
A(3,-1,7), B(1,2,0) y C(4,-2,1)
son linealmente dependientes
o independientes.

Ejemplo 3:
• Determinar si el siguiente
conjunto de vectores de R3: A
={(−1,0,2), (0,−4,2), (2,0,−4)} es
linealmente dependiente o
independiente.

El Wronskiano
• Se utiliza en el estudio de las ecuaciones
ordinarias, donde a veces puede ser utilizado
para mostrar que un conjunto de soluciones
es linealmente independiente.

• Utilizando el determinante de una matriz
formada por un conjunto de funciones se
puede saber si estas funciones son
linealmente dependientes o linealmente
independientes.
El Wronskiano

• Para u conjunto de funciones: f1,
f2, f3, … , fn el wronskiano se
define como:
• W(f1, f2, f3, …, fn)
El Wronskiano

Ejemplos:
• Sean las funciones: (Y1, Y2), el wronskiano se
define como.
• Donde (y´1, y´2) son las derivadas de las
funciones y1, y2.
W(y1,y2) = y1 y2
y´1 y´2

Ejemplo 2:
• Sean las funciones: (Y1, Y2, Y3), el wronskiano
se define como.
• Donde (y´1, y´2, y´3) son las derivadas de las
funciones y1, y2, y3, y, y´´1 y´´2 y´´3 son las
segunda derivada
W(y1,y2,Y3) = y1 y2 y3
y´1 y´2 y´3
y´´1 y´´2 y´´3

• Las funciones seran son linealmente
independientes se y silo si W(y1,y2)=0 y seran
linealmente dependientes si y silo si W(y1,y2
hasta yn)≠0
El Wronskiano

Ejemplo 1:
dador por las funciones
Y1=x2+5x, Y2=3x2-x, son L.I.
o L.D.

Ejemplo 2:
• Dadas las funciones: y1=2x2+3,
y2=4x3, y3=x2-2x, determina si
son LI o LD.

Base de un espacio vectorial
• Conjunto de vectores linealmente independientes
que funcionan como generadores de un espacio
vectorial.
A={V1,V2,V3,…,Vn}ЄV es una base de V si:
1) A debe ser u conjunto generador de V en Rn, es
decir todo elemento de V se podrá escribir con la
combinación lineal de A.

• 2) A debe ser un conjunto linealmente
independiente.
A={V1,V2,V3,…,Vn}ЄV es una base de V

• La importancia radica en que todo elemento
del espacio vectorial V se podrá escribir como
combinación lineal de A.

• Todas las bases tiene la misma cantidad de
elementos tal que estos elementos conjunto
de la base se le denomina dimensión:
Sea A={V1,V2,V3,…,Vn}ЄV en una base de V de
vectores pertenecientes a Rn, entonces la
dimensión es n

• Cualquier vector del espacio vectorial se podrá
escribir de manera única como combinación
lineal de los elementos de la base, esto
debido a que las coordenadas del vector salen
con respecto a una base fija V.

Ejemplo 1
• Sea el espacio vectorial
V={(1,0),(0,1)} comprueba que
esto es una base generadora
de R2.
• Base canónica

• Sean los vectores pertenecientes
a R3 B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} son
una base de R3.
• Base canónica
Ejemplo 2

• Sea L= {(-1,1,0),(2,0,1),(1,2,-1)}
demostrar que el conjunto L es
base de R3.
Ejemplo 3

•Verificar si
V={(1,2,1),(3,7,5),(2,6,7)} es
base de R3.
Ejemplo 4

Ejemplo 5
• Un banco gestiona tres cuentas A, B, y C, cuyo
capital se distribuye en acciones de tres
compañías P Q y R en la proporción que indica
la siguiente tabla:

• El banco desea ampliar capital de sus
tres cuentas. Comprueba que los
incrementos ( ) de la inversión del
banco en cada compañía que pueden
distribuirse entre las cuatro cuentas
sin crear excedentes es un
subespacio de R3 , calcula su
dimensión.

• Una empresa fabrica dos artículos A y B a
partir de dos materias primas P y Q. Cada
unidad de producto requiere las cantidades
que indica la siguiente taba.
Ejemplo 6

• La empresa dispone de un stock de 21 unidades
de P y 13 unidades de Q.
• a) Demostrar que los vectores (2,1) y (3,2) forman
una base de R2.
• b) Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el
vector (21,13) forme parte del espacio vectorial
formado por (2,1) y (3,2) y que nos indican el
número de unidades que podemos fabricar de
cada producto para que no existan excedentes.

Matriz de transición.
• Sean B1 y B2 dos bases de un espacio vectorial,
donde:
B1=(V1, V2, V3,…,Vn)
B2=(W1,W2,W3,…,Wn)
• Se puede establecer una matriz de transición
𝑀𝐵1
𝐵2 de la base B1 a la base B2.

• Esta matriz de transición es una matriz que
nos puede llevar entre diferentes bases de un
espacio vectorial.

Sean B1 y B2, obtener MB1
B2 dadas:
• B1 ={V1,V2,V3,…,Vn}
• B2={W1,W2,W3,…,Wn}
Se escriben los vectores del origen B1 como
combinacion lineal de los vectores destino B2.
MB1
B2

• V1=a11W1+a12W2+a13W3+…+a1nWn
• V2=a21W2+a22W2+a23W3+…+a2nWn
• V3=a31W3+a32W2+a33W3+…+a3nWn
• V4=an1Wn+an2W2+an3W3+…+annWn
[V1]B2= ,
a11
a12
a13
.
.
.
a1n
a21
a22
a23
.
.
.
a2n
a31
a32
a33
.
.
.
a3n
an1
an2
an3
.
.
.
ann
[V1]B2= ,[V1]B2= , . . .,[V1]B2=

• MB1
B2=([V1]B2, [V2]B2, [V3]B2,…, [Vn]B2)
a11
a12
a13
.
.
.
a1n
a21
a22
a23
.
.
.
a2n
a31
a32
a33
.
.
.
a3n
an1
an2
an3
.
.
.
ann
. . .
. . .
. . .
.
.
.
. . .
MB1
B2=

Ejemplo 1:
• Sean A={(1,0,0),(0,1,1),(1,-1,1)} y
B={(0,-1,-1),(1,0,1),(2,1,-3)}
dos bases de R3, obten MA
B

•Con el ejemplo anterior
ahora obten MB
A y si existe
relación entre MA
B y MB
A.
Ejemplo 2

Ejemplo 3:
• Obeten [V]B para cada uno de los
vectores siguientes utilizando la
matriz de transicion anterior.
[V1]A=
-1
4
3
[V2]A=
0
-2
4

Ejemplo 4:
• Dado el vector L= {(-1,1,0),(2,0,1),(1,2,-1)},
determina la matriz de transición a
V={(1,2,1),(3,7,5),(2,6,7)}

• El producto punto de un vector es el resultado
de la multiplicación de un vector por un valor
numérico (escalar) que da como resultado un
escalar.
Espacios con producto interno
Aplicable para
vectores de Rn

• El producto interno de un espacio vectorial es
la generalización del producto punto aplicable
para cualquier vector de Rn o matrices.

• A diferencia del producto
punto, el producto interno no
se utilizan unidades que nos
indiquen la magnitud del
vector, sin embargo se puede
cuantificar.

• Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los complejos
(C). Un producto interno en V es una función de VxV en C que
asigna a cada pareja ordenada (u,v) de vectores en V un
escalar (u|v)ЄC, llamado el producto de u por v, que satisface
las propiedades como:

Demostración
• Determina si el siguiente producto
de vectores es un producto interno
en R2:
(u|v)=x1y1-x1y2-x2y1+3x2y2
Donde u=(x1,x2); v=(y1,y2)

Ejemplo 2
• Obtener el producto de los vectores
a(-1,4) y b(6,-2)
Utilizando:
a) El producto interno usual.
b) El producto interno de el ejemplo
anterior.

Norma de un vector
• Sea V un espacio vectorial sobre C y sea
(u|v) un producto interno en V. se llama
norma de vЄV, y se representa con ||v||,
al numero real no negativo definido por:
||v||=(v|v)1/2

• En el plano R2 o en el espacio R3, la norma es la
magnitud o modulo del vector.
• De la definición de la norma y con el producto
interno usual en R3:
||v||=(v|v)1/2=(v.v)1/2
v=(x,y,z)
v.v=x2+y2+z2
||v||= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = |𝑣|
Norma de un vector

Ejemplo 3:
• Obtén la norma del vector v(-3,5)
utilizando:
a) El producto interno usual R2.
b) El producto interno definido por:
(u|v)=x1y1-x1y2-x2y1+3x2y2
Donde u=(x1,x2); v=(y1,y2)

Ejemplo 4:
•Obten la norma del
polinomio p(x)=4x2-5x+6 si:
•𝑝(𝑥) = 𝑖=0
2
𝑝 𝑖

Distancia entre vectores
• Sea V un espacio vectorial con producto
interno, y sean u,vЄV. Se llama distancia de u a
v, y se representa con d(u,v), al numero real
definido por:
•
d(u,v)=||v-u||

Ejemplo: 5
• Obtén la distancia entre las matrices A y B:
• Con el producto interno (A|B)=tr(ATB)
2 -1 1
4 2 5
3 0 1
-3 1 1
4 -3 2
1 1 -6
A= B=

Angulo entre dos vectores
• Sea V un espacio vectorial con producto
interno real y sean u, v dos vectores no nulos
de V se le llamara ángulo entre u y v al
numero real ϴ, en el intervalo 0≤ϴ≤π, tal que:
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
(𝐴|𝐵)
𝐴 𝐵

Ejemplo 6:
•Obtén el ángulo entre
las matrices del ejemplo
anterior.

Ejemplo 7:
• Obtén el ángulo que se forma
entre los vectores a(-1,4) y
b(6,-2) utilizando la regla de
correspondencia del ejemplo
2.

Proyección y componente de un vector
sobre otro vector
• Sean dos vectores u y v, la proyección de estos
vectores estaría dada por la perpendicular de
u sobre v de tal manera que la sombra de u se
proyecta sobre v, es decir Proyvu.
u
v
Proyvu
u v
Proyuv

• Las componentes que las proyección de un
vector sobre otro vector seria la magnitud de
la proyección, es decir:
|Proyvu|= Compvu y |Proyuv|= Compuv
sobre otro vector

• Para determinar la proyección de un vector
sobre otro se utiliza la formula de:
sobre otro vector
u
v
Proyvu
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝑢 =
𝑢 ∙ 𝑣
|𝑣|

• Para determinar la proyección de un vector
sobre otro se emplea la formula:
sobre otro vector
u
v
Proyvu
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 =
𝑢 ∙ 𝑣
|𝑣|2
𝑣

Ejemplo 1:
•Determina la proyección y
componentes de los
vectores u(2,5) y v(3,-4)

Ejemplo 2:
• Calcula las componentes y
proyecciones de los siguientes
vectores: f(2,2,3) y p(1,-2,0)

Ejemplo 3:
• Calcula las componentes y
proyecciones de los siguientes
vectores:
2 -1 1
4 2 5
3 0 1
-3 1 1
4 -3 2
1 1 -6
m= n=

Ortogonalidad y ortonormalidad de
vectores
• Ortogonalidad:
Sean dos vectores u y v De un espacio vectorial
V pertenecientes a Rn, estos serán ortogonales si
el ángulo que se forma entre ellos es de 90°.

• Otra definición de espacios ortogonales es:
Sea V un espacio con producto interno y sea
S={v1,v2,v3,…,vn} un conjunto de vectores de V.
Se dice que S es un conjunto ortogonal cuando:
vectores

• Si la norma de un vector ortogonal es igual a
1, se dice que el vector además de ser
ortogonal tambien se considera ortonormal.
vectores

Ejemplo: 1
•Determina si los
vectores de R2 w(1,-3) y
v(-2,4) son ortogonales
utilizando el producto
punto.

•Determina si los
vectores v1(1,2,1) y
v2(3,1,5) son
ortogonales.
Ejemplo: 2

Proceso de ortogonalización
• Sea V un espacio con producto interno y sea
G={v1,v2,v3,…,vn} un generador de V. el conjunto
G0={w1,w2,w3,…,wn} donde w1=v1:
• Para i =2,3,…,n; es un generador ortogonal de V.

Ejemplo de ortogonalización general
• Desarrolla la formula
anterior para un conjunto de
4 vectores cualquiera en Rn.
• G={v1,v2,v3,v4}

Ejemplo 1:
• Determina una base ortonormal a
partir del generador de R3 con el
producto interno usual.
B={(1,2,1),(0,1,4),(3,1,5)}

• https://www.youtube.com/watch?v=Ww6-
aoPdmEc&ab_channel=PaolaRing

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