Este documento contiene un resumen de 5 temas sobre capitalización y descuento simple y compuesto, rentas, préstamos y empréstitos divididos en 3 bloques.

1. Contenidos del curso
Tema 0: Introducción
BLOQUE 1
Tema 1: Capitalización y descuento simple
Tema 2: Capitalización y descuento compuesto
BLOQUE 2
Tema 3: Rentas
BLOQUE 3
Tema 4: Préstamos
Tema 5: Empréstitos

2. SUMARIO
1. Concepto de interés compuesto
2. Los tantos
1. Relación entre los tantos
2. Conversión de tantos anuales en periodales
3. Distinción entre tantos efectivos y nominales
3. La TAE
4. Comparación entre el interés simple y el interés
compuesto
5. Descuento compuesto
6. Tanto único equivalente
7. Criterios de selección de inversiones: El VAN y el
TIR

3. 1-Concepto de interés compuesto
Un banco nos presta a 800€ durante 3 años cobrándonos
un interés del 6%, que se va acumulando al principal cada
año.
¿Cuánto nos pagará?
Operación financiera
Los intereses producen intereses, pasan a engrosar
el capital principal en cada periodo

4. Solución
Gráfica financiera
800 ¿Vf=M?
0 1 2 3
Capital: C=800
interés: i=6%
Tiempo: t=3 años
M1=800*(1+0,06)
M2=800*(1+0,06)*(1+0,06)=800*(1+0,06)2
M3=M=800*(1+0,06)2*(1+0,06)=800*(1+0,06)3=952,81

5. Otra pregunta:
¿cuántos intereses habrá pagado?
Gráfica financiera
800 M
0 1 2 3
Capital: C=800
Montante: M=952,81
Intereses=M-C=952,81-800=152,8128

6. Generalizando....
El Montante en capitalización compuesta:
M=C(1+i)t
El Interés en capitalización compuesta
I=M-C=C(1+i)t-C=C[(1+i)t-1]
La capitalización compuesta es un Ley
Financiera a en la que los intereses se
acumulan al capital: Los intereses producen
nuevos intereses cada periodo

7. Observaciones
Es necesario que el tiempo y el rédito vengan
dados en la misma unidad temporal y de no
ser así deben ser trasladados:
El tiempo lo puedo trasladar de la forma
habitual: 11 meses 11/12 años
El interés no puede ser trasladado de la forma
habitual: Un interés mensual del 1% NO ES
un interés anual del 12%

8. Ejercicio 17 (Carlos Gimeno)
Obtener el montante de un capital de
125.000 € invertido durante 10 años y 5
meses a una tasa de interés efectivo
compuesto del 6,32%

9. Solución
Gráfica financiera
125.000 ¿Vf=M?
0 1 2.............10+5/12
Capital: C=125.000
interés: i=6,32%
Tiempo: t=10 años y 5 meses (5/12 años)
M1=125.000*(1+0,0632)
M2=125.000*(1+0,0632)*(1+0,0632)=125.000*(1+0,0632)2
................................
M10=M=125.000*(1+0,0632)10+(5/12)=236.673,30€

10. Observaciones
Si cada periodo tiene un tipo de interés
distinto habrá que calcular el montante
capitalizando periodo por periodo
800 ¿Vf=M?
0 1 2 3
i=2% i=3% i=4%
M=800*(1+0,02)*(1+0,03)*(1+0,04)=
=874,0992

11. Observaciones
Diremos que:
Dos capitales
Un capital con un conjunto de capitales
Dos conjuntos de capitales
...son equivalentes en un momento t si sus
valores en ese momento coinciden

12. 2-Los tantos
i=efectivo anual
i(m)=efectivo periodal (por periodo)
i(12)= efectivo mensual
i(4)=efectivo trimestral
i(3)=efectivo cuatrimestral
i(2)=efectivo semestral
i(6)=efectivo bimensual
j(m)=nominal, sólo me sirve de referencia,
SIEMPRE ES ANUAL

13. 2.1-Relación entre los tantos
j ( m)
i(m)*m=j(m) por tanto =i(m)
i(2)*2=j(2)
m
Si tengo el nominal y quiero obtener un efectivo
periodal puedo dividir el nominal para el número de
periodos.
i
i(m)*m≠i por tanto i(m) ≠
m
Si tengo el efectivo anual y quiero obtener el efectivo
periodal NO PUEDO dividir el efectivo anual para el
número de periodos

14. 2.2- Conversión i en i(m)
Para 12 meses:
M=C*(1+i(12))12
Para un año M=C*(1+i)1
Como es lo mismo un año que 12 meses
C*(1+i(12))12=C*(1+i)1
(1+i(12))12=1+i
En general: 1+i=(1+i(m))m
j ( m) m
Como i(m)= j ( m) 1+i=(1+ )
m m
A partir de aquí despejo lo que me haga falta

15. EJEMPLO
Se plantean dos alternativas de inversión:
la primera genera intereses semestrales a un
tanto i1(2)=6%
la segunda genera intereses trimestrales a un
tanto i2(4)=3,75%.
¿Qué valor debería tener i1(2) para
representar la misma rentabilidad efectiva
que la segunda alternativa?

16. Solución
i1(2)=6% 1+i=(1+i(m))m
--------> i1=(1+0,06)2-1=0,1236=12,36%
i2(4)=3,75%. 1+i=(1+i(m))m
----> i2=(1+0,0375)4-1=0,15865=15,865%
1+i=(1+i(m))m 0,15865=(1+i2(2))2-1
-----> i2(2)=(1,15865)1/2-1
i2(2)=7,64%

17. 2.3-Cómo distinguir entre j(m), i , i(m)
El interés nominal (j(m)) me lo pueden enunciar de
las siguientes formas:
Interés nominal
Interés convertible
Interés devengable
Interés capitalizable
...con abono de intereses cada...
Capitalización periodal (semestral, bimensual...)
El interés efectivo anual (i) me lo pueden enunciar de
las siguientes formas:
Interés
Interés efectivo
Tasa efectiva
Capitalización anual

18. Cómo distinguir entre j(m), i , i(m)
El interés efectivo periodal (i(m)) me lo
pueden enunciar de las siguientes formas:
Tasa periodal (semestral, mensual...)
Interés periodal (bimensual, trimestral...)

19. Ejercicio 1
Se deben 100.000€ pagaderos en 2 años y
300.000€ pagaderos en 5 años.
El acreedor consiente en la liquidación de
estas deudas mediante un pago único al
cabo de tres años, valorando la operación a
un 6% convertible semestralmente.
Determinar el importe de este pago único.

20. Solución al
ejercicio 1
100.000 (X) 300.000
0 1 2 3 4 5 j(2)=0,06
i(2)=0,03
X=100.000*(1+0,03)1*2+300.000*(1+0,03)-2*2=106.090+266.546,1143
X=372.636,1143€

21. Ejercicio 2
Una persona tiene las siguientes deudas:
50.000€ con vencimiento dentro de 1 año sin
intereses
65.000€ con intereses al 4% convertible
cuatrimestralmente, con vencimiento dentro
de 5 años.
¿Cuál es el importe del pago único que se
debería hacer dentro de 3 años, si el tanto
aplicable es el 7% convertible trimestralmente?

22. Solución al
ejercicio 2
65.000 50.000 X
0 1 2 3 4 5
0, 07 2*4 0, 04 0, 07
X=50.000*(1+ ) +65.000*(1+ 3 ) 5*3*(1+ )-2*4
4 4
X=126.455,8209€

23. Ejercicio 3
Una persona adquiere un bien por 15.000€.
Inicialmente desembolsa 3.750€ y al cabo de
un año y medio entrega 6.000€.
¿Cuál será el pago final que se deberá hacer al
cabo de 3 años suponiendo un interés del 4,5%
efectivo semestral?.

24. Solución al
ejercicio 3
(15.000-3.750) 6000 X
0 1 1,5...............................3 i(2)=0,045
15.000-3.750=6.000*(1+0,045)-3+X*(1+0,045)-6
X=7.803,43€

25. Ejercicio 4
Se invierte un capital X en una entidad financiera que
abona un interés del 9,75% nominal trimestral
durante 3 años.
Al mismo tiempo otro capital inferior en 25.000€ a X
es invertido en otra entidad financiera generando un
interés nominal bimensual del 3%. Esta segunda
inversión se mantendrá 4,5 años.
¿Qué importes se han invertido si a los dos años el
interés generado por el primer capital es superior al
generado por el segundo en 100.000€?

26. Solución al
ejercicio 4
X X2
y y2
0 1 2
X Valorado en 2
0, 0975
X2=X(1+ 4 )2*4=1,21247214*X
Ix=1,21247214*X-X=0,21247214*X
y Valorado en 2
0, 03 2*6
Y2=(X-25.000)*(1+ ) =(X-25.000)*1,06167781
6
Iy=(X-25.000)*1,06167781-(X-25.000)=(X-25.000)*0,06167781
Ix=Iy+100.000
0,21247214*X=(X-25.000)*0,06167781+100.000
X=652.929,58
Y=627.929,58

27. EJERCICIOS A RESOLVER
Manual de “Gestión Financiera”
(tema 3)
1 a 10
12 a 18
24 a 28
32
34, 35

28. 3- LA TAE
Se denomina TAE (Tasa anual equivalente),
al total producido por 1 € que se invierte un
año, después de descontados gastos y
comisiones de la operación.
Si no existen gastos ni comisiones i=TAE

29. EJEMPLO 1
Invirtiendo hoy 1.000.000 €, dentro de 4 años
me devuelven 1.500.000 €.
¿Cúal es la TAE de la operación?

30. Solución
Gráfica financiera
1.000.000 1.500.000
0 1 2 3 4
M4=1.000.000*(1+i)4=1.500.000
1.500.000
(1+i)4= =1,5
1.000.000
i=1,51/4-1=0,1066819=10,67%=TAE

31. EJEMPLO 2
invierto hoy y durante 4 años, 1.000.000 €,
siendo el interés que me produce la inversión
del 5% efectivo anual. La operación la realizo
a través de una entidad financiera que me
cobra por cada gestión un 1%. ¿Cuál es la
TAE de la operación?

32. Solución
Gráfica financiera
1.000.000 ¿M?
0 1 2 3 4
M4=1.000.000*(1+0,05)4=1.215506
1.000.000*1,01 1.215.506*0,99
0 1 2 3 4
1.000.000*1,01*(1+i)4= 1.215.506*0,99
(1+i)4=1,1914366 i=TAE=1,19143661/4-1=4,47%

33. Ejercicio 1
Determinar la TAE de las siguientes
operaciones:
A presta a B, 15.000€ y se compromete a
devolver 18.000€ al cabo de un año y medio
A presta a B, 15.000€, A cobra una comisión
de por la operación de 100€ y B devolverá
18.000€ al cabo de 485 días
A presta a B 15.000€ y éste devolverá
8.000€ al cabo de un año y 9.150€ al cabo
de 2.

34. Solución al
ejercicio 1
15.000 18.000
0 1 1,5 años
18.000=15.000(1+i)1,5
i=TAE=12,9243%

35. Solución al
ejercicio 1
15.000-100 18.000
0 1............................... 485 días
14.900(1+i)485/365=18.000
i=TAE=15,285912%

36. Solución al
ejercicio 1
15.000 8.000 9.150
0 1 2
15.000=8.000*(1+i)-1+9.150*(1+i)-2
despejando resulta ecuación de segundo grado,
tomamos la solución +
i=TAE=9,196%

37. Nomenclaturas
TAE: tasa (o tanto) anual efectiva, tasa (o
tanto) anual equivalente
TAEC: tasa anual efectiva de coste (para
operaciones de pasivo)
TAER: tasa anual efectiva de rendimiento de
una inversión (para operaciones de activo)
En las operaciones simples:
TASC: Tasa anual simple de coste de
negociación

38. EJEMPLO 1 (manual gestión financiera)
Un efecto de 30.000€, que vence dentro de
90 días, se presenta hoy a negociar en una
institución bancaria con las siguientes
condiciones:
Tanto de negociación 10%
Comisión 0,7% mínimo 3€
Obtener
El líquido de la negociación
El TASC de la operación

39. Solución
Gráfica financiera
¿VL? 30.000
0 1 2 3 4
90 - 7
VL=30.000-30.000*0,1* *30.000=29.040€
360 1.000
TASC
29.040 30.000
0 1 2 3 4
90
30.000=29.040*(1+r* )
360
r=TASC=0,1322

40. EJEMPLO 2 (manual gestión financiera)
Un efecto de 30.000€, que vence dentro de
90 días, se presenta hoy a negociar en una
institución bancaria con las siguientes
condiciones:
Tanto de negociación 10%
Comisión 0,7% mínimo 3€
Obtener
El líquido de la negociación
La TAEC de la operación

41. Solución
Gráfica financiera
¿VL? 30.000
0 1 2 3 4
90 - 7
VL=30.000-30.000*0,1* *30.000=29.040€
360 1.000
TAEC
29.040 30.000
0 1 2 3 4
30.000=29.040*(1+i)90/360
i=TAEC=0,1389

42. EJERCICIOS A RESOLVER
Manual de “Gestión Financiera”
(tema 4)
13 a) c) y d)
(tema 3)
38 a 40
49 a 53

43. 4- Interés simple-Interés compuesto
Compuesto
Simple
Para periodos inferiores al año
capitaliza mas la ley simple que la
compuesta: t<1 simple
M=1 Para periodos superiores al año
capitaliza mas la ley compuesta que
la simple: t>1 compuesta
Para periodos de un año capitalizan
lo mismo
t=1

44. Interés simple-Interés compuesto
Para periodos que incluyan años, meses y
días: 2 años, tres meses y 20 días:
Convenio Lineal
Los periodos completos los capitalizo en
compuesto (2 años)
Los periodos restantes en simple
Convenio exponencial
Capitalizo todo en compuesto
En la práctica es el que mas se usa

45. Ejemplo
Invertimos un capital de 500.000 € en una
operación que devenga el 8% trimestral
(i(4))durante 3 años, 2 meses y 15 días.
¿Cuál será el montante obtenido?

46. Solución Convenio lineal
Gráfica financiera
500.000 M
0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días
Tiempo completo: 12 trimestres
75
Resto trimestres
90
M=500.000*(1+0,08) 12*(1+0,08* 75 )=1.343.024 €
90

47. Solución Convenio exponencial
Gráfica financiera
500.000 M
0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días
Tiempo completo: 12 trimestres
Resto 0,83333 trimestres
M=500.000*(1+0,08)12,833=1.342.481 €
Ejercicio 19 T3 Gestión financiera

48. 5- Descuento Compuesto
Por cuestiones operativas, dado que las
operaciones comerciales suelen ser a corto o
medio plazo, el que se utiliza es el descuento
compuesto racional
Es la operación matemáticamente inversa a
la capitalización compuesta
E C
0 1 2 3
C=E*(1+i)t E=C*(1+i)-t

49. ¿Si tuviéramos d?
De forma análoga a la de la capitalización
compuesta (el descuento de cada periodo se
acumula al siguiente) podemos comprobar que:
E=C*(1-d)t
Por tanto igualando descuento comercial y racional:
d
C*(1-d)t=C*(1+i)-t i=
1− d

50. 6-TANTO ÚNICO EQUIVALENTE
Hemos obtenido 600.000 € de una herencia y
realizamos las siguientes inversiones:
100.000 € hoy y durante 4 años al 2%
200.000 € el segundo año y durante 3 años al
3%
300.000 € el tercer año y durante 2 años al
4%
¿A que tanto % deberíamos invertir los 600.000 €
para que nos proporcione el mismo rendimiento?

51. Solución
Gráfica financiera
100.000 200.000 300.000 M
0 1 2 3 4
M=100.000*(1+0,02)4+200.000*(1+0,03)3+300.000*(1+0,04)2=
=651.268,62
600.000 651.268,62
0 1 2 3 4
651.268,62=600.000*(1+i)4 i=0,0207096=2,2%

52. Generalizando...
Se denomina tanto medio al tanto al que hay
que invertir un capital suma matemática de
otros capitales de forma que su inversión nos
proporcione el mismo rendimiento que la
suma de los rendimientos de los capitales
invertidos independientemente a distintos
tipos de interés

53. EJERCICIOS A RESOLVER
Manual de “Gestión Financiera”
(tema 3)
28
30, 31
36
Manual de “Valoración de las operaciones
financieras”
(tema 2)
5a8
12 a 14
18

54. 7-Criterios de selección de
inversiones: El VAN y el TIR
Una inversión supone hoy un desembolso
único de 5.978,07 € y un cobro de 8.000 €
dentro de 5 años. Si el tanto de valoración es
el 4% compuesto anual, averiguar:
El valor actual de cobros y pagos
(ejemplo del manual de Gestión financiera)

55. Solución
Gráfica financiera
5.978,07
0 1 2............................5
V.A(pagos) = 5.978,07
8.000
0 1 2 3 4
V.A(cobros) =8.000*(1+0,04)-4= 6.575,42
Como VA(cobros)>VA(pagos) Diremos que el Valor Actual Neto (VAN)
de esta inversión es positivo

56. Generalizando....
Se llama Valor Actual Neto (VAN) de una
inversión a la diferencia entre los cobros
actualizados que genera y los pagos
actualizados que exige:
VAN= VA(cobros)-VA(pagos)
Para que una inversión sea rentable es
necesario que el valor actualizado de los
cobros que genera sea superior al valor
actualizado de los pagos que exige o sea que
su VAN>0

57. Generalizando....
El caso límite para realiza una inversión
estará en VAN=0, o sea
VA(cobros)=VA(pagos)
Al tanto de interés compuesto anual que
hace que los cobros actualizados se igualen
a los pagos actualizados, o sea que hace que
el VAN sea igual a 0 se le denomina Tanto
Interno de rendimiento (TIR)

58. Ejemplo (manual de gestión financiera)
Una inversión supone hoy un desembolso
único de 40.000 € y reportará unos cobros
de 27.000 € dentro de 1 año y 20.000 dentro
de 2 años. averiguar:
La tasa de interés compuesto anual a partir de la
cual es rentable la inversión

59. Solución
Gráfica financiera
40.000
0 1 2............................n
V.A(pagos) = 40.000
27.000 20.000
0 1 2............................n
V.A(cobros) =27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-2
VA(cobros)=VA(pagos)
27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-1 = 40.000--------- i=12,1%

60. EJERCICIOS A RESOLVER
Manual de “Gestión Financiera”
(tema 3)
37
41 a 48

61. Concluimos...
El VAN se mide en unidades monetarias, y
tiene distinto valor según el tanto de
valoración
El TIR tiene un único valor por cada inversión
y se mide en pocentajes
El TIR hace que el VAN sea igual a 0
Una inversión será mas rentable cuanto
Mayor sea su TIR
Una inversión será rentable siempre que su
TIR sea superior al tanto de mercado