Este documento presenta los conceptos básicos de la estática de fluidos. Introduce los objetivos de comprender las distribuciones de presión hidrostática, usar la ley fundamental de la hidrostática y determinar fuerzas sobre superficies sumergidas. Explica los estados de la materia, incluyendo sólidos, líquidos, gases y plasma, y define un fluido. Describe propiedades físicas como densidad, peso específico, presión y viscosidad. Finalmente, establece que la presión varía con la altura en un fluido en reposo según

1. ESTATICA DE FLUIDOS
PRESENTADO POR
OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIA
DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS
UNASAM- HUARAZ-PERÚ
© 2011

2. I. OBJETIVOS:
Al finalizar la unidad el alumno está
en las condiciones de
• Entender el concepto de distribuciones de presiones
hidrostáticas.
• Usar la ley fundamental de la hidrostática en la
medición de presiones mediante el uso de
manómetros
• Determinar fuerzas hidrostáticas sobre superficies
sumergidas y los centros de presiones
Determinar las fuerzas de flotación y sus
correspondientes puntos de aplicación

3. II. INTRODUCCIÓN
Mecanica de fluidos
Gases Líquidos Estatica Dinámica
Fi 0 Fi 0 ← Flujos
Estabilidad Buoyantez
Air, He, Ar, Agua, aceites,
N2, etc. alcoholes, etc. Presiónre Compressible
Incompresible
Laminar
Surface
Turbulento
Tension
Estable/inestable
Compressibility Density Viscosity Vapor Viscoso/ sin
viscocidad
Pressure
CAPITULO I Dinámica de
Capitulo II. fluidos
INTRODUCCIÓN Estatica de
fluidos

4. III. DEFINICIÓN DE FLUIDO
Un fluido es la sustancia que cambia su forma
continuamente siempre que este sometido a un esfuerzo
cortante, sin importar que tan pequeño sea.

5. Estados de la materia
La materia puede existir en cuatro estados:
SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA
Cada uno de estos estados depende de la fuerza de
cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo

6. SOLIDOS
 Tienen volumen y forma
definida.
 Sus moléculas tienen
ubicaciones específicas
debido a fuerzas eléctricas
 Vibran alrededor de sus posiciones
de equilibrio.
 Pueden ser modeladas como esferas
rígidas unidas por resortes

7. SOLIDOS
 Cuando se aplica fuerzas
externas al sólido, éste puede
estirarse o comprimirse. En el
modelo de resortes, estos se
estiran o comprimen
 Si se suprime la fuerza el
sólido recupera su forma original:
esta propiedad se concoce como
elasticidad

8. SOLIDO CRISTALINO
1. Los átomos dentro del
cristal tienen una
estrucctura ordenada
2. En la figura se presenta
el cloruro de sodio,
Las esferas grises son los iones
sodio y las verdes el ion cloro

9. SOLIDOS AMORFOS
1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente
como se muestra en la figura
Entre otros se tiene a los vidrios.

10. LIQUIDOS
1. Tienen volumen
definido pero no tienen
forma definida
2. Existen a temperaturas
mayores que los
sólidos
2. Las moléculas se
mueven aleatoriamente
dentro del líquido
Las fuerza intermoleculaleres no son suficientes
para mantener las moléculas en posiciones fijas

11. PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS
1. Propiedades hidrostáticas:
a) Presión
b) Tensión superficial
c) Boyantez
2. Propiedades hidrodinámicas:
a) Viscocidad
b) Flujo y transporte

12. GASES
1. No tienen volumen ni forma definida
2. Las moleculas de un gas se encuentran en
continuo movimiento
3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas
muy débiles
4. La distancia promedio entre sus moléculas es
mucho mayor que el tamaño de las moleculas

13. PLASMA
1. Materia caliente a muy alta temperatura
2. Muchos de los electrones en estas sustancias se
encuentran libres de sus átomos
3. Esto da como resultado una gran cantidad de
iones libres electricamente cargados
4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas

14. PROPIEDADES FISICAS DE
LOS FLUIDOS
Una propiedad es una carácterística de una sustancia , la
cual es invariante cuando está en un estado particular
Las propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cuales
dependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energia
momentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales son
independientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico,
densidad, energía especifica, etc
La propiedades intensivas son los valores de las propiedades
que se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico,
gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión de
vapor, compresibilidad

15. DENSIDAD
La densidad , de una sustancia es una medidad de la
concentración de la materia, y se expresa como la masa
por unidad de volumen
Matemáticamente se expresa
x, y , z , t lim *
m dm
V V V x, y, z, t
dV
La densidad es función de la presión y de la temperatura
y su unidad SI es el kg/m3
Para cuerpos homogéneos
m
V

16. Densidad de algunas sustancias
Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103
Hielo 0,917 Agua 1,00
Aluminio 2,7 Glicerina 1,26
Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806
Cobre 8,92 Benceno 0,879
Plata 10,5 Aire 1,29
Plomo 11,3 Oxigeno 1,43
Oro 19,3
Platino 21,4

17. PESO ESPECÍFICO
El peso específico , es la fuerza debido a la gravedad
sobre la masa contenida en la unidad de volumen de una
sustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen.
Matematicamente se expresa
W
V
Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el
sistema británico. Por otro lado, debido a que
w = mg = ρVg, la ecuación del peso específico puede
escribirse mg
g
V

18. GRAVEDAD ESPECIFICA
Es una cantidad que permite comparar la
densidad de unas sustancia con la del agua si el
fluido es un líquido y con la del aire si es un gas
Matematicamente se expresa
sus
r
w
Debido a que la densidad es función de la presión y
la temperatura, para los valores precisos de la
gravedad específica debe expresarse la presión y la
temperatura

19. PRESIÓN
La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una
magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una
fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial
implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una
manifestación normal a la superficie.
Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro
de una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la
 
superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es A An , en

donde n, es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza

que ejercerá el fluido sobre ΔA es F . Entonces la presión no es más
sino la fuerza por unidad de área, esto es:
F F dF
p p lim A
p
A A 0
dA

20. Módulo de elasticidad volumétrico (Ev)
Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la
aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se
almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos
se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas
convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica
se define mediante el módulo de elasticidad volumétrico,
cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un embolo
al que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura
dp
EV
dV
V1

21. Viscosidad (µ)
Cuando se observa el movimiento de fluidos se
distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero
es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que
las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras
en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento
es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del
movimiento de las partículas observándose remolinos de
varios tamaños.
Para determinar la viscosidad consideremos el flujo
laminar de un fluido real que está confinado a moverse
entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la
figura

22. Viscosidad (µ)
• Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia
la derecha. El esfuerzo cortante será
F dF
lim
A 0 A dA
• La rapidez de deformación será
d
rapidez de deformación lim
t 0 t dt

23. Viscosidad (µ)
• Por otro lado de la figura se observa además que la
distancia Δl entre los puntos M y M’ es
l v t
• Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse
como
l y

24. Viscosidad (µ)
• Igualando estas ecuaciones
v
v t y
t y
• Llevando al límite se tiene
d dv
dt dy

25. Viscosidad (µ)
• Para fluidos newtonianos d dv
dt dy
• En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le
llama “coeficiente de viscosidad dinámica”
• En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema
c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada
como poise

26. Viscosidad (µ)
• La viscosidad no depende en gran medida de la presión.
Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido
disminuye con un aumento en la temperatura mientras que
en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas
tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas
tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas
grandes presentes entre moléculas.
• Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre
moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir
un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas
tienen una alta movilidad y generalmente están separadas
existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas
interactúan chocando unas con otras dando lugar a una
disminución en la viscosidad.

27. ESTATICA DE FLUIDOS
• Un fluido se considera estático si todas sus partículas
permanecen en reposo o tienen la misma velocidad
constante con respecto a una distancia de referencia
inercial. En esta sección se analizará la presión y sus
variaciones a través del fluido así como se estudiará las
fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.

28. Presión en un punto
• Para determinar la presión en un punto interior a un fluido
consideremos un elemento de fluido en forma de cuña
como se muestra en la figura. Debido a que la cuña esta
en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas
que existen son perpendiculares a las superficies.

29. Presión en un punto
• Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las
direcciones mostradas y teniendo en cuenta que F = pA,
resulta
Fy 0
Fx 0
1 1
p1 dxdz p3 dxds sen 0
p4 2 dydz p5 2 dydz 0
p5 p4 p1 p3
Fz 0
p2 dxdy p3 dx ds cos dW 0
1
p2 p3 2 dz

30. Presión en un punto
• Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación
de presión en dirección horizontal, mientras que la úlitma
ecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de
la presión dicha variación depende de la densidad del
fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia
de alturas. Sin embargo en el límite cuando dz, tiende a
cero, la ecuación se escribe
p2 p3
• Por tanto
p1 p2 p3

31. Variación de la presión en un fluido en
reposo. Ecuación fundamental de la
hidrostática
• Las variaciones de presión en una determinada dirección
se obtienen estudiando las variaciones que la presión
experimenta a lo largo de una dirección horizontal y
vertical.

32. Variación de la presión en un fluido en
reposo. Ecuación fundamental de la
hidrostática
• Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se
cumple.
Fx 0
px
px dydz px
px
dx dydz 0 0
x x
Fy 0 py
p y dxdz py
py
dy dxdz 0
0
y y
Fz 0
pz
pz dxdy pz
pz
dz dxdy dW 0 g
z z

33. Variación de la presión en un fluido
incomprensible
• Se ha demostrado anteriormente que la presión experimenta
variaciones en la dirección vertical, además se ha mostrado
que la presión depende de la densidad así como de la
aceleración de la gravedad varía con la altura entonces
afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos
ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la
gravedad como una constante, de otro lado como se trata
de un fluido incompresible la densidad es constante
entonces la ecuación se escribe.
pz dpz
g g constante
z dz

34. Variación de la presión en un
fluido incomprensible
• Para el sistema de referencia mostrado la variación de
presión de un fluido incompresibles es

35. Variación de la presión en un
fluido incomprensible
• A partir de este resultado, se observa que un incremento
en la elevación (dz, positivo) corresponde a una
disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las
presiones en los puntos z1 y z2, respectivamente, la
ecuación puede integrarse obteniendo
p2 z2
dpz g dz p2 p1 g z2 z1
p1 z1
• Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte
superior como se ve en la Figura , la presión a cualquier
profundidad h = z1 – z2 es
p p0 gh

36. Variación de la presión en un fluido
incomprensible
• La presión ejercida por el aire es constante
• La presión ejercida por el líquido varía con la
profundidad

37. Variación de la presión con la profundidad
• La presión en un fluido en reposo es
independiente de la forma del recipiente que lo
contiene.
• La presión es la misma en todos los puntos de
un plano horizontal en un fluido dado

38. Principio de Pascal.
• Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad,
cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a
cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez
por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece:
“Un cambio en la presión aplicada a un fluido
encerrado en un depósito se transmite íntegramente
a cualquier punto del fluido y a las paredes del
recipiente que l contiene”

39. Principio de Pascal. Prensa hidraulica
• Una de las aplicaciones más importantes del principio de
Pascal es la prensa hidráulica
F1 F2 F2 A2
P1 P2
A1 A2 F1 A1

40. Variación de la presión para fluidos compresibles
Gases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal
forma que debe considerarse la variación de la densidad
dp
Note: γ = ρg , no es constante y g
dz
p R Constante universal de
Ley de gases ideales Asi RT
gases
T es la temperatura
ρ es la densidad
Entonces,
Para condiciones isotérmicas, T es constante, T : o

41. Presión absoluta y
manométrica

42. El Barómetro
• Fue inventado por Torricelli
• Permite medir la presión
atmosférica local.
• Consta de un tubo largo de
vidrio cerrado por un extremo y
abierto por el otro y una
cubeta con mercurio
patm pvapor , Hg Hg h
0 Hg h
patm Hg h

43. El Barómetro

44. El manómetro
 Los manómetros son
dispositivos que sirven
para medir la diferencia
de presión.
 Uno de ellos es el
manómetro en U
p2 p3
pA 1 1h p0 h
1 1
pA p0 h
1 1 h
1 1
p A,man h
2 2 h
1 1

45. El manómetro diferencial
• Ambos extremos del tubo contienen depósitos.La presión
diferencial será

46. EJEMPLO 01
• Una Tanque de gasolina está conectado a un manómetro
de presión a través de un manómetro doble-U, como se
muestra en la figura. Si
la lectura del manómetro es de 370 kPa, determine la
presión en el manómetro de la línea de la gasolina.

47. EJEMPLO 02
• Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los
tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º
alrededor del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los
tanques serán necesarios para mantener inalterables las
posiciones de los fluidos?

48. EJEMPLO 03
• ¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B de
los tanques?

49. EJEMPLO 04
• Determine la presión del aire en el recipiente de la
izquierda, si la cota del líquido manométrico en el
tubo en A es 32,5 m

50. EJEMPLO 05
• Los fluidos del manómetro invertido de la figura se
encuentran a 20 °C. Si pA –pB = 97 kPa. ¿Cuál es
la altura H en centímetros

51. EJEMPLO 06
• La presión del punto A de la figura es de 25 lb/in2.
Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es
la presión del aire a la cual se encuentra la cámara
cerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891

52. EJEMPLO 07
• Para el sistema de manómetros mostrados en la
figura, determine la lectura h del manómetro en U

53. EJEMPLO 08
• Los dos tanques de agua son conectados a través
de un manómetro de mercurio mediante tubos
inclinados, como se muestra en la figura. Si la
diferencia de presiones entre los dos tanques es 20
kPa. Determine las cantidades a y

54. Fuerza hidrostática
Una válvula de una compuesta de una presa se encuentra
sometida a presiones distribuidas como se muestra en la
figura

55. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana horizontal sumergida
Consideremos la
superficie sumergida
mostrada en la figura
La fuerza hidrostática
sobre dA será
 
dF pdAk
La fuerza hidrostática
resultante será
 
FR pdAk
A

56. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana horizontal sumergida
Teniendo en cuenta la
variación de la presión
con la profundidad
 
FR p0 gh dAk
A
Debido a que todos los
puntos de la superficie
está, a la misma
profundidad
 
FR p0 gh dAk
 A 
FR p0 gh Ak

57. Fuerza hidrostática:
CENTRO DE PRESIONES
El centro de presiones se determina aplicando el teorema
de momentos
El momento de la fuerza
resultante con respecto a los ejes
x ó y es igual al momento del
conjunto de fuerzas distribuidas
respecto al mismo eje x ó y. Es
decir
xC FR xpdA
A
yC FR ypdA
A

58. Fuerza hidrostática:
CENTRO DE PRESIONES
Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión
a una profundidad h en la ecuación (), tenemos
xC p0 gh A x p0 gh dA
A
1
xC xdA xC x
AA
yC p0 gh y p0 gh dA
A
1
yC ydA yC y
AA
Esta ecuaciones indican que la
fuerza hidrostática esta dirigida
hacia abajo y esta aplicada en el
centroide de la región

59. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana inclinada sumergida
Considere la superficie
inclinada un ángulo
Para encontrar la fuerza
resultante se divide a la
superficie en elementos
de área dA.
Debido a que el fluido
esta en reposo no existe
esfuerzos cortantes,
entonces la fuerza FR
actuará
perpendicularmente a
dA. Esto es

60. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana inclinada sumergida
La fuerza hidrostática será
 
dF pdAk
Teniendo en cuenta que la
presión a una profundidad
h es p = po + ρgh
 
dF p0 0 gh dAk
De la figura se tiene además
que h = y senθ, entonces
 
dF p0 0 gysen dAk

61. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana inclinada sumergida
La fuerza resultante será

FR p0 ρgysen dAk ˆ
A

FR ˆ
p0 Ak gsen ydAkˆ
A
Teniendo en cuenta la definición
de centroide ydA yCG A
A

FR ( p0 A ˆ
gsen yCG A)k
De la figura se observa hCG yCG sen

FR ( p0 ˆ
ghCG ) Ak
La magnitud de la
fuerza hidrostática será
FR pCG A

62. Centro de presiones
El punro de aaplicación de la
fuerza resultante se determina
aplicando el principio de
momentos
Momento respecto al eje x
yCP FR ydF y ( p0 h)dA
y ( p0 y sen )dA
p0 ydA sen y 2 dA
yCP FR p0 yCG A sen I xx
Donde I xx y 2 dA es el momento de inercia respecto al eje x
A

63. Centro de presiones
Utilizando el teorema de los ejes
paralelos
2
I xx IG, x y ACG
Entonces se tiene
2
yCP pCG A p0 yCG A sen ( I G , x yCG A)
( p0 sen yCG ) yCG A sen I G , x
( p0 hCG ) yCG A sen I G , x
yCP pCG A pCG yCG A sen I G , x
sen I G , x
yCP yCG
pCG A

64. Centro de presiones
Momento respecto al eje x
xCP FR xdF x( p0 h)dA
x( p0 y sen )dA
p0 xdA sen xydA
xCP FR p0 yCG A sen I xy
Donde I xy xydA es el producto
A
de inercia del área. Utilizando el
teorema de steiner se tiene
I xy I G , xy xCG yCG A

65. Centro de presiones
Entonces se tiene
xCP pCG A p0 xCG A sen ( I G , xy xCPG yCG A)
( p0 sen yCG ) xCG A sen I G , xy
( p0 hCG ) xCG A sen I G , x
xCP pCG A pCG xCG A sen I G , xy
sen IG , xy
xCP xCG
pCG A

66. FUERZA RESULTANTE
La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre una
superficie plana de una placa completamente sumergida en
un fluido homogéneo es igual al producto de la presión en el
centro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dicha
placa y está actuando en el centro de presiones

67. Propiedades geométricas de regiones
conocidas

68. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical

69. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical: Prisma de presiones
 Consideremos una superficie vertical de altura h y ancho b
como se muestra en la figura.
 La fuerza hidrostática resultante es
h
FR pCG A hCG A ( )(bh)
2

70. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical
 Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del
prisma de presiones

71. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical
 Su punto de aplicación será
sen90 (bh3 /12) h h
yCP yCG
(h / 2)(bh) 2 6
2
yCP h
3

72. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical
 Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre
(compuerta) como se muestra en la figura

73. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical
La fuerza resultante se obtiene
sumando el paralelepípedo de
presiones más la cuña de presiones

74. Fuerza hidrostática sobre una superficie
plana vertical
La fuerza resultante se obtiene
sumando el paralelepípedo de
presiones más la cuña de presiones
FR V paralelipipedo V prisma
FR F1,( ABDE ) F2,( BCD )
FR ( h1 ) A (h2 h1 ) A
La localización de la fuerza
resultante se obtiene tomando
momentos. Es decir
Donde

75. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS
• El momento de inercia del
área alrededor del eje x,
es
• El momento de inercia del
área alrededor del eje y,
es
• El productor de inercia

76. Teorema de los ejes paralelos
• El momento del area con
respecto a ejes paralelos
se expresa en la forma

77. EJEMPLO 01
• La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es
basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en
posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va
a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3.
Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la
bisagra A cuando el depósito se llena hasta una
profundidad d = 2,9 m.

78. EJEMPLO 02
• La compuerta de 6 m de ancho mostrada en la
figura se mantiene en la posición mostrada en la
figura mediante un momento M aplicado en
sentido antihorario. Halle el valor de dicho
momento para mantener cerrada la compuerta

79. EJEMPLO 03
• Una placa rectangular AB,
mostrada en sección vertical
tiene 4 m de altura por 6 m
de anchura(normal al plano
de la figura) y bloque el
extremo de un depósito de
agua de 3 m de profundidad.
La placa se encuentra
articulada en A y en el
extremo inferior es sostenida
por una pared horizontal.
Encuentre la fuerza en B
ejercida por el muro de
contención

80. EJEMPLO 04
• La compuerta vertical
accionada por el resorte está
engoznada por su borde
superior A según un eje
horizontal y cierra el extremo
de un canal rectangular de
agua dulce de 1,2 m de
anchura (normal al plano del
papel). Calcular la fuerza F
que debe ejercer el resorte
para limitar la profundidad
del agua a h =1,8 m.

81. EJEMPLO 05
• El eje de la compuerta de 2 m de ancho
normal plano del papel fallará con un
momento de 160 kN.m. Determine el máximo
valor de la profundidad del líquido h. El peso
específico del líquido es 10 kN/m3.

82. EJEMPLO 06
• La presa de concreto está diseñada para que su cara AB
tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra.
Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se
incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que
actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que
actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho
de 60 pies. w =62.4 lb/pies3.

83. EJEMPLO 07
• El aire del espacio superior del tanque cerrado es
mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la
atmosférica- Determine la fuerza resultante
ejercida por el aire y el agua sobre uno de los
extremos del tanque

84. EJEMPLO 08
• Un cilindro hidráulico
acciona la palanca
articulada que cierra la
compuerta vertical
venciendo la presión del
agua dulce represada al
otro lado. La compuerta es
rectangular con una
anchura de 2 m
perpendicular al plano del
dibujo. Para una altura de
agua h = 3 m, calcular la
presión p del aceite
actuante sobre el pistón de
150 mm del cilindro
hidráulico

85. EJEMPLO 09
• Una placa rectangular
uniforme AB,
representada en sección,
tiene una masa de 1600
kg y separa los dos
cuerpos de agua dulce en
un depósito que tiene una
anchura de 3 m (normal al
plano de la figura).
Determine la tensión T del
cable soportante.

86. EJEMPLO 10
• En la figura se representa la
sección normal de una
compuerta rectangular AB de
dimensiones 4m por 6m que
cierra el paso de un canal de
agua dulce (ρ = 1000 kg/m3).
La masa de la compuerta es de
8500 kg y está engoznada en un
eje horizontal que pasa por C.
Determine: (a) La fuerza
ejercida por el agua sobre la
compuerta, (b) el punto de
aplicación de dicha fuerza y (c)
la fuerza vertical P ejercida por
la cimentación sobre el borde
inferior A de la compuerta.

87. EJEMPLO 11
• Calcular la magnitud, dirección y localización de la
fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el
extremo del tanque cilíndrico de la figura.

88. EJEMPLO 12
• Una placa rectangular,
mostrada de perfil en la
figura, tiene una altura de
274 cm y una anchura de
244 cm (normal al papel)
y separa depósitos de
agua dulce y petróleo. El
petróleo tiene una
densidad relativa de 0,85.
determine la altura h que
ha de alcanzar el agua
para que sea nula le
reacción en B.

89. EJEMPLO 13
• Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida
para mantener cerrada la cubierta de esta caja.
La cubierta tiene una anchura de 3m de
perpendicular a plano del dibujo.

90. EJEMPLO 14
• En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única
resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por
la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El
ancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1
g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.

91. EJEMPLO 15
• La compuerta rígida OBC, tiene 5 m de ancho
normal al plano del dibujo. Despreciando el peso
de la compuerta, y suponiendo que el peso de la
bisagra es despreciable. Determine la magnitud de
la fuerza P necesaria para mantener cerrada la
compuerta.

92. EJEMPLO 16
• En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se
construye un dique temporal clavando dos tablas a los
pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una
tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin
tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la
dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC
para mover la tabla AB.

93. EJEMPLO 17
• La compuerta AB está situada al final del canal de agua de
6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la
figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su
extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción,
determine las reacciones en A y B.

94. EJEMPLO 18
• Una compuerta colocada en el extremo de un canal de
agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas
de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta
está articulada en A y descansa sin fricción sobre un
apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones
en A y D.

95. EJEMPLO 19
• Al final de un canal de agua dulce se encuentra una
compuerta en forma de prisma que está sostenida por
medio de un pasador y una ménsula colocados en A y
descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El
pasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajo
del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la
profundidad del agua d para la cual se abrirá la
compuerta.

96. EJEMPLO 20
• Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado
contiene la gasolina con una densidad de ρ = 700 kg/m3
a una profundidad de 4 m, como se muestra en la
Figura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y
2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentra
en la partición. El agua se va añadiendo lentamente hacia
el lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será el
inicio para abrir la puerta?

97. EJEMPLO 21
• Una puerta rectangular que
es de 2 m de ancho se
encuentra en la pared
vertical de un tanque que
contiene agua como se
muestra en la Figura. Se
desea que la puerta se abra
automáticamente cuando la
profundidad del agua en la
parte superior de la puerta
llegue a los 10m.(a) ¿A qué
distancia, d, si el eje
horizontal sin rozamiento se
encuentra? (b) ¿Cuál es la
magnitud de la fuerza en la
puerta cuando se abra?

98. EJEMPLO 22
• Una puerta rectangular
con una anchura de 5 m
se encuentra en el lado en
declive de un tanque
como se muestra en la
Figura. La puerta está
articulada a lo largo de su
borde superior y se
mantiene en posición por
la fuerza P. Despreciando
la fricción de la bisagra y
el peso de la
puerta. Determinar el
valor requerido de P.

99. EJEMPLO 23
• Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo
con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar mediante
un cable flexible horizontal como se muestra en la
Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada
en el punto A. La fricción de la bisagra es
insignificante. Determine la tensión en el cable

100. EJEMPLO 24
• Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su
centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y
descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine
la magnitud, dirección y localización de la fuerza total
sobre la compuerta debido al agua.

101. EJEMPLO 25
• Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de altura
tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º,
con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la
superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección
y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el
área triangular.

102. EJEMPLO 26
• Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la
figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de
alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg.
Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.

103. EJEMPLO 27
• La compuerta AB es una placa
rectangular de 280 Kgf que tiene
1,5 m de altura y 1,1 m de anchura
y se utiliza para cerrar el canal de
desagüe en la parte inferior de un
depósito de petróleo. A
consecuencia de la condensación en
el depósito, se recoge agua dulce
en la parte inferior del canal.
Calcular el momento M respecto del
eje del pasador en B necesario para
cerrar la compuerta contra la acción
de las fuerzas hidrostáticas del
agua y del petróleo, la densidad
relativa del petróleo es 0,85.

104. Ejemplo 28
• La compuerta
rectangular mostrada
en la figura tiene 1, 2
m de ancho y un
resorte se encarga de
mantenerla cerrada.
Cuando la compuerta
está cerrada la fuerza
de compresión sobre el
resorte vale 15000 N.
Determine el valor de H
para que la compuerta
empiece a abrirse.

105. Ejemplo 29
• En la figura: (a)
determine la fuerza
resultante que actúa
sobre la compuerta
ABC debido a la presión
hidrostática; (b)
¿Cuáles son las
reacciones en el piso A
y en el perno C?.
Considere que b = 1,5
m; c = 1,25 m; d = 2
m y el ancho de la
compuerta es 1,5 m.

106. Ejemplo 30
• Una placa plana cierra
una abertura triangular
existente en la pared
vertical del depósito
que contiene un líquido
de densidad ρ . La
placa está articulada en
el borde superior O del
triángulo. Determine la
fuerza P requerida para
cerrar la compuerta
venciendo la presión
del líquido.

107. Ejemplo 31
• La tapa de la abertura de
20 por 30 cm del depósito
está roblonada, siendo
despreciables las
tensiones iniciales en los
roblones. Si el depósito se
llena con mercurio (DR =
13,6) hasta el nivel que se
indica. Determine: (a) La
fuerza ejercida por el
mercurio sobre la tapa de
la abertura y (b) la
tensión inducida en cada
uno de los roblones A y B.

108. Ejemplo 31
• Las caras de un canjilón
en forma de V para agua
dulce, representado en
sección, están articuladas
por su intersección común
que pasa por O y unidas
por un cable y un
torniquete colocados cada
183 cm a lo largo del
canjilón. Determine la
tensión T que soporta
cada torniquete.

109. Ejemplo 31
• En la figura puede verse la
sección de una compuerta ABD
que cierra una abertura de 1,5
m de anchura en un calla de
agua salada. Para el nivel del
agua indicado. Determine la
fuerza de compresión F del
vástago del cilindro hidráulico
que mantenga una fuerza de
contacto de 3 kN por metro de
anchura de compuerta a lo
largo de la línea de contacto
que pasa por A. La compuerta
pesa 17 kN y su centro de
gravedad está en G.

110. Ejemplo 31
• Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el
momento de esta fuerza respecto del fondo de
la compuerta.

111. Ejemplo 31
• Una compuerta rectangular uniforme de peso
W, altura r y longitud b es sostenida por
goznes en A. Si e peso específico del fluido es
γ , determine el ángulo θ requerido si la
compuerta debe permitir flujo cuando d = r

112. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa
perpendicularmente, cambia de dirección continuamente.
por tanto la magnitud y punto de aplicación de FR se
determina determinando sus componentes horizontal y
vertical.

113. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura,
permite el cálculo de las componentes de la fuerza
resultante ejercida por la superficie AB, F’H y F’V , sobre el
fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas
FH y FV . Es decir
Fx FBC FH 0
FH FBC
Fy FV FAC WABC 0
FV FAC WABC
FH debe ser colineal con FBC
y FV colineal con la
resultante de FAC y WABC

114. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen
las componentes de las fuerzas resultantes producidas por
distribuciones de presión sobre superficies curvas

115. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• La componente horizontal • Es decir
actuando sobre dA será
zCP FH zdAyz
dFH dF sen p sen dA
• La fuerza resultante 1
horizontal será
zCP zdAyz
FH
FH p sen dA
• Teniendo en cuenta la
geometria de la figura
FH zdAyz zCG Ayz , proy
A
• El punto de aplicación de FH
se obtiene aplicando el
teorema de momentos

116. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Esto es:
• La componente horizontal FH de la fuerza debida a
las presiones sobre una superficie curva es igual a la
fuerza debía a las presiones que se ejercería sobre la
proyección de la superficie curva. El plano vertical
de proyección es normal a la dirección de la
componente.
FH zCG Ayz , proy
• El punto de aplicación de la fuerza horizontal se
encuentra en el centro de presiones del área
proyectada
1
zCP zdAyz
FH

117. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
La componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es

118. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• La componente vertical La componente vertical
actuando sobre dA será debida a las presiones
sobre una superficie
dFV dF cos p cos dA curva es igual al peso
• La fuerza resultante del fluido situado
horizontal será verticalmente por
encima de la superficie
FV p cos dA
curva y extendida hasta
la superficie libre.
A
• Teniendo en cuenta la
geometria de la figura
FH pdAxy hdAxy
A A
• Pero hdAyx =dV, entonces
FV V

119. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• La línea de acción de la componente vertical se determina
igualando los momentos de las componentes diferenciales
verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con
el momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje,
esto es
xCP FV xdV
xCP xdV
V
1
xCP xdV
V

120. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
• Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del
volumen de fluido real imaginario que se extiende
por encima de la superficie curva hasta la superficie
libre real o imaginaria.

121. Ejemplo 01
• Determine completamente la fuerza hidrostática
ejercida por el agua ( =1000 kg/m3) sobre la
compuerta cuarto circular de 4 m de radio y ancho
b = 30 m

122. Ejemplo 02
• La compuerta cuarto circular de 2 m de longitud mostrada
en la figura se encuentra articulada en la parte inferior.
Determine: (a) la fuerza horizontal y vertical ejercida por el
agua sobre la compuerta, (b) la reacción en la articulación
y (c) la fuerza P necesaria para mantener la compuerta en
dicha posición

123. Ejemplo 03
• Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la
compuerta mostrada en la figura si H = 6 m, R =
2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud

124. Ejemplo 04
• ¿Qué fuerza P se requiere para mantener cerrada
la compuerta de 4 m de anchura que se muestra
en la figura?

125. Ejemplo 05
• Calcular la fuerza P necesaria para mantener el
objeto cilíndrico de 10 m de longitud en la
posición que se muestra

126. Ejemplo 06
• El cilindro de la figura tiene anchura de 1 m. El
líquido que se encuentra a su izquierda es agua.
Calcular las fuerzas hidrostáticas que se ejercen
sobre el cilindro y el momento creado en el centro
del mismo por dichas fuerzas.

127. Ejemplo 07
• Hallar las componentes vertical y horizontal, valor
y punto de aplicación, sobre la compuerta de la
figura cuyo perfil responde a la ecuación de una
parábola y una longitud perpendicular al papel de
dos metros. El líquido que retiene la compuerta
tiene un peso especifico de 9000 N/m3.

128. Ejemplo 08
• En la compuerta de la figura que posee una
anchura perpendicular al papel de 1m. Calcular la
resultante y línea de aplicación de las fuerzas
horizontales y verticales y el momento que crean
en el punto 0.

129. Ejemplo 09
• El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa
2450 daN y tiene una longitud de 1.5 m., normal
al dibujo. Determinar las reacciones en A y B en
kgf despreciando rozamientos.

130. Ejemplo 10
• Calcular la fuerza F necesaria para mantener la
compuerta mostrada en la figura en la posición
cerrada. Considere que R = 60 cm y que la
compuerta tiene un ancho de 1,2 m

131. Ejemplo 11
• La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tiene
una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del
papel) y regula la circulación de agua dulce sobre el borde
B. La compuerta tiene un peso total de 30840 N y está
articulada por su borde superior A. Determine la fuerza
mínima necesaria para mantener cerrada la compuerta.
Desprecie el grosor frente a su radio de 275 cm.

132. Ejemplo 11
• El costado correspondiente al agua de una presa de
hormigón tiene forma parabólica de vértice en A.
Determinar la posición b del punto B de la base en que
actúa la fuerza resultante del agua contra el frente C de la
presa.

133. Ejemplo 12
• El apoyo semicónico BC de 1,2 m de radio y 1,8 m de altura, se utiliza
para soportar el cuarto de esfera AB de 1,2 m de radio, sobre la cara
de corriente arriba de un dique. Determine: (a) La magnitud, dirección
y punto de aplicación de la fuerza horizontal hidrostática sobre el
cuarto de esfera; (b) La magnitud y dirección de la fuerza vertical
hidrostática sobre el cuarto de esfera; (c) La magnitud y la
localización de las componentes horizontal y vertical de la fuerza
hidrostática ejercida por el agua sobre la superficie semicónica BC

134. Ejemplo 13
• La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de
circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las
componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática
sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto
de aplicación y el momento que crean en el punto O.

135. Ejemplo 14
• ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos
secciones del tanque están completamente
aisladas una de la otra por el tabique AB?.

136. Ejemplo 14
• En la figura se muestra un tanque que se encuentra
herméticamente dividido en dos partes que contienen agua
y aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se
encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa
como partición EC y se extiende por igual en el agua por
encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el
diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos
sobre la esfera?.

137. Ejemplo 15
• Un tronco está en equilibrio como se muestra en la figura.
Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite sobre el
tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre el tronco,
(c) La fuerza ejercida por el muro sobre el tronco y (d) El
peso específico relativo del tronco si su longitud es de 4m
m y R = 0,6 m.

138. Ejemplo 16
• El agujero que hay en el fondo del depósito de la
figura, está cerrado con un tapón cónico cuya
densidad es 400 kg/m3. Determine la fuerza F
necesaria para mantener cerrado el depósito.

139. Ejemplo 17
• El depósito cuya sección recta se muestra en la figura,
tiene 2 m de anchura y está lleno de agua a presión.
Determine las componentes de la fuerza requerida para
mantener el cilindro de 1 m de radio en la posición
mostrada, despreciando el peso del mismo.

140. Ejemplo 18
• Un taque se encuentra dividido en dos cámaras
independientes. La presión del aire actúa en ambas
secciones. Un manómetro mide la diferencia entre éstas
presiones. Una esfera de madera (DR = 0,60) se coloca
en la pared tal como se muestra. Determine: (a) La fuerza
vertical sobre la esfera, (b) la magnitud (solamente) de la
fuerza horizontal resultante causada por los fluidos.

141. Ejemplo 19
• Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa
sobre la superficie semiesférica mostrada en la figura

142. Ejemplo 20
• ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido
por todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad
relativa del aceite es 0,8.

143. Ejemplo 21
• El apoyo semicónico se usa para soportar una torre
semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un
dique. Calcular la magnitud, dirección y sentido de las
componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por
el agua sobre el apoyo: (a) cuando la superficie del agua
se encuentra en la base del semicilindro; (b) cuando la
superficie del agua se encuentra a 1,2 m sobre este
punto.

144. Ejemplo 22
• Determine la fuerza P, necesaria para que la
compuerta parabólica mostrada se encuentre en
equilibrio. Considere que H = 2 m y el ancho de la
compuerta es 2 m.

145. Ejemplo 23
• La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizada para
retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene la forma de
tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, está
articulada en B y se apoya en A. Determine las fuerza de
reacción en A y B.

146. Ejemplo 24
• En la figura se muestra un depósito abierto de gasolina
cuya densidad relativa es 0,72 que tiene una anchura de 4
m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud
de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que
la gasolina ejerce sobre la superficie curva; (b) la
magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el
fluido sobre la superficie curva

147. Ejemplo 25
• La cúpula semiesférica mostrada en la figura pesa 30 kN,
está llena de agua y sujeta al suelo por medio de seis
tornillos igualmente espaciados. Determine la fuerza que
soporta cada tornillo.

148. Ejemplo 26
• Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante del
agua sobre el tapón cónico sólido

149. Ejemplo 27
• Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene
8 m de profundidad. Determine la fuerza hidrostática
resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la
longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho

150. Ejemplo 28

151. Ejemplo 29
• Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo de
fluido estático. Calcule la magnitud de las componentes
horizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluido
ejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie
mide 3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido
es agua (Calcular en sistema Ingles consistente.

152. Ejemplo 29
• El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo
semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua.
Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante
sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y
dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los
fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.

153. Ejemplo 29
F1V V
ace sobrela sup. F2V 1
( Vcilindro ) 1
( Vesfera )
aceite 2 w 4
1 1
acei . 2 Vcilindro 4 Vesfera R2 H 1 4 R3
aceite w ( )
1 1 4 .R 3 2 4 3
acei . .R 2 H
2 4 3
(32 )(5) (33 )
(32 )(5) .(33 )
900 1000
900 2 3
2 3
F2V 91891, 6 kgf (2)
F1V 38170, 4 kgf ............................(1)

154. • Fuerza horizontal
F1H pCG Apro. FH pCG Apro.
R2 4R R2
h h
acei . acei . w ( )
acei . CG
2 3 2
4(3) (3 ) 2 4 x3 (32 )
900 5 900(5) 1000( )
3 2 3 2
 

F1H 47417,3 kg .................(3) FH 81617,3 kg .................................(4)

155. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente
sumergido en un fluido experimenta una fuerza
ascendente que actúa sobre él llamada fuerza de
empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la
diferencia de presiones existentes sobre las superficies
superior e inferior. Las leyes de boyantez o empuje se
enuncian:
1° Un cuerpo sumergido en un fluido
experimenta una fuerza de flotación (empuje)
verticalmente hacia arriba igual al peso de
fluido que desaloja.
2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de
fluid equivalente a su propio peso.

156. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un
cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se
muestra en la Figura

157. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• La fuerza de flotación o empuje sobe el cuerpo sumergido
es la diferencia entre la componente vertical debida a la
presión sobre la parte inferior AMB y la componente vertical
de la fuerza debida a la presión sobre la parte superior
AUB. Esto es
dFB dFV' dFV
p ' dA pdA
( p0 h2 )dA ( p0 h1 )dA
(h2 h1 )dA
dFB hdA
• Pero hdA =dV, entonces
dFB dV FB
V
dV Vsumerg

158. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación
se toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un
eje conveniente y se iguala al momento de la resultante
con respecto al mismo eje, esto es
yC FB ydV
V
ydV
V
yC
dV
V
La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a
través del centroide del volumen de fluido desplazado.

159. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal
como se muestra en la figura, la fuerza de flotación viene
expresada en la forma
FB Vdesplazado W f gVS
• Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el
peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje ,
por tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de
fluido equivalente a su propio peso

160. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN
• Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de
separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra e la
figura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de
sección recta dA, es
dFB ( p2 p1 )dA
( 1H 2 2h) 1 ( H h1 ) dA
dFB ( 2 h2 h )dA
1 1
FB ( 2 h2 h )dA
1 1
FB V
1 1 V
2 2
Para ubicar la fuerza de
flotación se toma momentos
respecto a un eje
convenientemente elegido
esto es yC FB 1 y1dV1 2 y2dV2

161. ESTABILIDAD DE CUERPOS
SUMERGIDOS
• La estabildad rotacional de un cuerpo sumergido depende
de la ubicación del centro de gravedad G y el centro de
flotación B.
– Cuando G se encuentra debajo de B: Estable
– Cuando G se encuentra sobre B: Inestable
– Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.

162. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS
• Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser
estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la
figura a. Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de
fluido desplazado se mueve a un nuevo punto C’, que se muestra en
la figura b. Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un
momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la
altura metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta
el punto de intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación
con la fuerza de flotación después de la rotación. Si GM es positiva
como se muestra, el cuerpo es estable; si GM es negativa (M está
debajo de G) el cuerpo es inestable.

163. Ejemplo 01
• ¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga?.
La barcaza tiene 6 m de ancho.

164. Ejemplo 02
• Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es
forzada dentro del agua mediante una fuerza de
150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál
es la profundidad d ?.

165. Ejemplo 03
• El tapón circular de 0,25 m de diámetro y 0,025 m de
espesor tiene un peso específico de 76 kN/m3. Calcular el
diámetro D de la esfera de peso despreciable para que la
válvula se abra cuando el agua tenga 1,5 m de
profundidad. Considere que el peso del cable es
despreciable.

166. Ejemplo 04
• El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3
m cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se
mantiene en la posición mostrada por la acción
de la cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El
ángulo θ cuando h= 0,9 m, (b) El valor mínimo
de h para que θ sea 90º.

167. Ejemplo 05
• El cuerpo homogéneo A de la figura es un cono circular
recto (ρ = 640kg/m3). El cuerpo B (ρ = 2400kg/m3) se fija
a A mediante un alambre. Si los cuerpos están en
equilibrio en la posición mostrada. Determinar: (a) El
volumen del bloque B, (b) La resultante de la fuerza que
el fluido ejerce sobre la superficie lateral del cono

168. Ejemplo 06
• Los cuerpos A y B de la figura son
dos cilindros sólidos y homogéneos,
la sección transversal de cada
cilindro es 0,09 m2. Las densidades
de los cilindros A y B son de 1800 y
2600 kg/m3, respectivamente. Un
resorte de tensión (uno que sólo
actúa a tensión) interconecta a A
con el fondo del tanque. En la figura
se representa al resorte sin
deformar. Calcule la posición de la
superficie del cilindro A con respecto
a la superficie correspondiente del
cilindro B cuando el módulo de
elasticidad del resorte es 900 N/m.

169. Ejemplo 07
• Los dos bloques prismáticos A
y B de la figura son de madera
(ρm= 600 kg/m3). Las áreas de
las secciones transversales son
0,045 m2 para A y 0,108 m2
para B. La barra CD se
construyó con la misma
madera y el área de su sección
transversal es 0,018 m2.
Calcular la distancia que el
bloque B debe subir o hundirse
para que el sistema recobre su
configuración de equilibrio.

170. Ejemplo 08
• La cáscara de acero semicilíndrica co los extremos
cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa m del
lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara para
que ésta sobresalga del agua la mitad de su radio de 150
mm. La densidad del acero es de 7700 kg/m3 y la
densidad del plomo es 11300 kg /m3.

171. Ejemplo 09
• Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones
de 0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m
por 0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de
longitud y 0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se
muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es
0,4. La balsa flota en agua. Sobre la balsa debe colocarse
un cuerpo W de 150 kg. Determine: (a) La ubicación de W
para que la balsa flote nivelada; (b) La distancia entre la
parte superior de la balsa y la superficie del agua.

172. Ejemplo 10
• La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene
en posición horizontal por el ancla de concreto
(24 kN/m3). Calcular el peso total mínimo que
puede tener el ancla de concreto.

173. Ejemplo 10
• Una baliza de canal consta de un
cilindro de acero hueco de 300 mm
de diámetro y 90 kg de masa, que
se ancla en el fondo con un cable
como se indica. Con la marea alta,
h = 0,6 m. Determine la tensión T
en el cable. Hallar así mismo el
valor de h cuando el cable se afloja
al bajar la marea. La densidad del
agua marina es de 1030 kg/m3.
Supóngase que la baliza está
lastrada para que se mantenga en
una posición vertical.

174. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
• Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido
tal como se muestra en la Fig., sometido a una
aceleración uniforme horizontal. En la figura se observa
que después de ser sometido a dicha aceleración el líquido
por si mismo se dispone de tal forma que se mueve como
un sólido sometido a una fuerza aceleradora.
•

175. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
• Para determinar la variación de presión en dirección
vertical se considera el DCL de una porción de fluido en
forma vertical y se aplica la segunda ley de Newton.
Fy ma y
dF2 dF1 dW m(0)
p2 dA p1dA gdV
( p2 p1 )dA ghdA
p2 p1 gh

176. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
• Para determinar la variación de presión en la dirección
horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal
como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley
de Newton, esto es

177. TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS
• La aplicación de la ley de Newton nos da
Fy ma y
dF1 dF2 dm(ax )
p0 gh1 dA p0 gh1 dA LdAax
• Simplificando se tiene
g ( h1 h2 ) Lax
(h1 h2 ) ax
L g
ax
tg
g

178. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo
un fluido, en dirección vertical con una aceleración ay . La
figura, muestra en este caso la superficie libre permanece
horizontal durante el movimiento. Es decir la presión en
planos horizontales permanece constante, pero en dirección
vertical no,

179. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical
se tiene Fy ma y
dF2 dF1 dm(a y )
( p2 p1 )dA gdV dVa y
( p2 p1 )dA ghdA hdAa y
p2 p1 h( g a y )
Esta ecuación indica que
la presión varía con la
profundidad y con la
aceleración del depósito

180. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
• Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene
Fy ma y
dF2 dF1 dW dm(a y )
( p1 p2 )dA gdV dVa y
( p1 p2 )dA ghdA hdAa y
p2 p1 h( g a y )
En el caso de que el tanque se
suelta desde el reposo, es decir
tiene un movimiento de caída libre
p2 p1 h( g g )
p2 p1

181. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS

182. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
• Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la
presión en la dirección vertical es análoga al caso
hidrostático, esto es
Fz maz
dF2 dF1 dW 0
pz
pdA ( p dz )dA g (dz )(dA)
z
pz
g
z

183. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
• Analizando el movimiento en dirección normal se tiene
Fn man
dF2' dF1' (dm)an
pr 2
( pr dr )dA pr dA (dr )(dA) r
r
pr 2
r
z
• En la dirección azimutal
p
0

184. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
• La variación total de la presión será
Remplazando C
pr pz p se obtiene
dp dr dz d
r z 2 2
r
2 p p0 g ( z0 z)
dp rdr gdz 2
• Integrando indefinidamente
2
dp rdr gdz
2 2
r
p gz C
2
• La constante C esta dada por
p0 gz0 C
C p0 gz0

185. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
• La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene
haciendo debido a que en la superficie libre la presión es ,
entonces tenemos
2
r
p0 p0 g ( z0 z)
2
2 2
r
Z Z0
2g
Esta ecuación indica que la superficie
libre es un paraboloide de revolución
Cuando existe una superficie libre en el recipiente
que está girando el volumen que ocupa el fluido
que está debajo de la superficie libre del
paraboloide de revolución tiene que ser igual al
volumen de fluido que tenía cuando estaba en
reposo.

186. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
• En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su
eje, la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared
del cilindro es según la ecuación
2 2
r 0
h0
2g
Por otro lado, debido a que el volumen del
paraboloide de revolución es igual a la mitad del
volumen del cilindro circunscrito, el volumen del
líquido por encima del plano horizontal es,
2 2 4 2
1 2 r 0 r 0
V ( r0 )( )
2 2g 4g

187. EJEMPLO 01
• Un depósito rectangular de 8 m de longitud , 3 m
de profundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m
de agua. Si está sometido a una aceleración
horizontal en la dirección de su longitud de 2,45
m/s2. (a) Calcular la fuerza total sobre cada uno
de los extremos del depósito debido a la l acción
del agua y (b) demostrar que la diferencia entre
estas fuerza es igual a la fuerza no equilibrada,
necesaria para acelerar la masa líquida

188. EJEMPLO 02
Si el depósito del problema anterior se llena de
agua y se acelera en la dirección de su longitud
con una aceleración de 1,52 m/s2. ¿Cuántos litros
de agua se verterán del depósito?

189. EJEMPLO 03
• Un recipiente que contiene agua se acelera
paralelamente y hacia arriba de un plano inclinado
30° con respecto a la horizontal con una
aceleración de 3,66 m/s2. ¿Qué ángulo formará la
superficie libre con la horizontal?.

190. EJEMPLO 04
Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite de
densidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerza que
actúa sobre uno de los lados del depósito cuando: (a) se
somete a una aceleración vertical y dirigida hacia arriba de
4,9 m/s2 y (b) cuando la aceleración de 4,9 m/s2 es
vertical y dirigida hacia abajo.
M

191. EJEMPLO 05
• Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua.
Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en
dirección horizontal tal como se muestra en la
figura. ¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie
libre del agua alcanza una orientación fija con
respecto al tanque?.

192. EJEMPLO 06
• Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado
pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la
acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a
uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes
del depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor
tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la
profundidad es mayor?.

193. EJEMPLO 06
• El tanque rectangular cerrado mostrado en la figura tiene
1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, está lleno
con gasolina en sus tres cuartas partes y la presión en el
espacio de aire arriba de la gasolina es de 140 kPa. Calcular
las presiones en las esquinas de éste tanque cuando se le
acelera horizontalmente según la dirección de su longitud,
a 4,5 m/s2. Considere que la densidad de la gasolina es 680
kg/m3.

194. EJEMPLO 07
• Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a
de 0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la
pared izquierda AB cuando se alcanza una configuración
estable del agua con respecto al tanque?: El ancho del
tanque es de 1,5 pies.

195. EJEMPLO 08
• Un depósito cilíndrico
abierto de 2 m de altura y 1
m de diámetro , contiene
1,5 m de agua. Si el cilindro
gira alrededor de su eje
geométrico . (a) ¿Qué
velocidad angular se puede
alcanzar sin que se derrame
nada de agua?. (b) ¿Cuál es
la presión en el fondo del
depósito en C y en D cuando
= 6 rad/s?.

196. EJEMPLO 09
• Considere qu el depósito del
problema 08 se encuentra
cerrado y que el aire en la
parte superior del cilindro es
de 1,9 kg/cm2. Cuando se
hace girar al cilindro a una
velocidad angular de 12
rad/s. ¿Cuáles son las
presiones, en los puntos C
y D?

197. EJEMPLO 10
• Un depósito cilíndrico abierto de 1,2 m de diámetro y 1,8
m de profundidad se llena con agua y se le hace girar a 60
RPM. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la
profundidad en el eje?.

198. EJEMPLO 11
• Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m
de diámetro se llena con agua hasta una profundidad de
1,2 m. Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en
el espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión
en la intersección de la pared y el fondo del tanque cuando
este se hace girar alrededor de su eje central vertical a 150
RPM.

199. CONCLUSION: