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PROBLEMA 11.1
El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 1.5t4 - 30t2 + 5t
+ 10, donde "x" y "t" se expresan en metros y segundos respectivamente.
D)Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t =
4s.
SOLUCION:
Tenemos que: x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 1O
v = dx/dt = x´
x' = 6t3 - 60t + 5 = v
a = dv/dt
x´´ = 18t2 - 60 = a
Evaluamos cuando t = 4s
v = x´= 6(4)3 - 60(4) + 5
v = 149 m/s
a = x´´ = 18(4)2 - 60
a = 228 m/s2
Distancia = x = 1.5(4)4 - 30(4)2 + 5(4) + 10
x = 60 m
Problema 11.5
El movimiento de una partícula está definido por la relación 𝑥 = 6𝑡2 + 3𝑡 + 32 donde
“x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente.
Determine el tiempo, posición y velocidad cuando 𝑎 = 0.
Posición:
𝑥 = 6(
2
3
)
4
− 2 (
2
3
)
3
− 12(
2
3
) + 3(
2
3
) + 3 = 0.259𝑚
Velocidad, 1ra Derivada:
24𝑡3 − 6𝑡2 − 14𝑡 + 3 = 24 (
2
3
)
3
− 6(
2
3
)
2
− 24 (
2
3
) + 3 = −8.56 𝑚
𝑠⁄
Aceleración, 2da derivada:
72𝑡2 − 12𝑡 − 24 = 0
𝑥 =
−(12) ± √(−12)2 − 4(72)(−24)
2(72)
=
12 ± 84
144
=
96
144
=
2
3
= 0.667𝑠𝑒𝑔
11.7 el movimiento de una partida esta definido por la relación:
𝑥 = 𝑡3 − 6𝑡2 − 36𝑡 − 40
Donde x y t se expresan en “ft” y “s” respectivamente. Determine:
a) Cuando V=0
b) La velocidad, la aceleración y distancia total viajando cuando x=0
a)
posición x= (6)3-(6)(6)2-36(6)-40= -256m
velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 ecuacion de 2°grado.
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−2)±√(−12)2−4(3)(−36)
2(3)
=
12±24
6
=
36
6
= 6𝑠
Aceleración 2° derivada 6t-12= 6(6)-12= 24
𝑚
𝑠2
Ecuación de 3° grado (método de Rufiny)
𝑥 = 𝑡3 − 6𝑡2 − 36𝑡 − 40=0
1 -5 -36 -40
10 10 40 40
1 4 4 0
X1=10
𝑡2+4t+4
1
4
4
-2
-2 -4
1 2 o
X2=-2
1 2
-2 -2
-
1
0
X3=-2
t=10 s
velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0
3(10)2-12(10)-36= 144
𝑚
𝑠
Aceleración 2° derivada
6(10)-12= 48 𝑚
𝑠2⁄
0 ≤ t ≤ 6
X0= (0)3-6(0)2-36 (0)-40
X0=40m
X6=(6)3-6(6)2-36(0)-40
X6=-256m
| 𝑥10 − 𝑥6| = |216 − (−256)| = 472 m
𝑥 𝑇= 216+472= 688m
11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-8m/s^2. Si
se sabe que x=20m cuando t=4s y x=4m cuando la velocidad 16m/s determinar
a) el tiempo cuando la velocidad es cero b) La velocidad y la distancia total
cuando el tiempo=11s.
x = 20m
x = 4m
t = 4seg
v =16m / s
-8ò dt
v = -8t +C
x
ò dx = -8t +C
4
t
ò
x - 20 = -
8t2
2
4
t
+C
t
1 4
t
x - 20 = -4t - -4(42
)éë ùû+C(t - 4)
x - 20 = -4t2
+ 64+C(t - 4)
x = -4t2
+C(t - 4)+ 64+ 20
x = -4t2
+C(t - 4)+84-3
x = -4t2
+(16 -8t)(t - 4)+84
-4t2
+16t - 64+8t2
-32t +84
-4t2
-16t + 20 = 4
+4t2
-16t +16 = 0
(2t - 4)(2t - 4)
4t2
-8t -8t +16
2t - 4
t =
-4
2
t =
-4
2
t1 = -2 t2 = -2
a = 8t +16 = 8(2)+16 = 32
v = -8t +C = -8(2)+32 = m / s
x = -4(2)2
+32(2)- 4+84
x = 4m
6s 0seg 10 seg
-256 -40m 0m
a = -8m / s2
v = -8t +C
x = -4t2
+C(t - 4)+84
Sustituyendo 16 en 2
-8t +C =16
C =16+8t
Luego 4 en 3
Problema 11.11
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo cuando t =
0, la velocidad de la partícula es 𝑉 = 16
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
. Si se sabe que 𝑉 = 15
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
y para X
= 20 pulgadas cuando t = 1s. Determine la velocidad, la posición y la distancia
total recorrida cuando t = 7s.
Datos:
t = 0 V =
16
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
V = 15
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
t = 1s
X = 20 pulg
V = ?
X = ? Cuando t = 7s
𝑋𝑡 = ?
a) v = 0 v = -8t -C
t =
V -C
8
=
0 -32
8
= 4s
b)vll = vll = -8t +C
vll = -8(11+32) = -56m / s
xo = -4(0)+32(0 - 4)+84
= -44m
x4 = 20m
xll = -176m
x4 - xo = 64
xll - x4 = 196
64+196 = 260m
Solución:
a = Kt K = constante
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐾𝑡 = 𝑎
Integrando con t = 0 y V = 16
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝐾𝑡 𝑑𝑡
1
0
𝑣
16
𝑉 − 16 =
1
2
𝐾𝑡2
𝑉 = 16 +
1
2
𝐾𝑡2 (
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
)… …… …… …(1)
Sustituyendo 𝑉 = 15
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
y t = 1s en ecu. (1)
[15
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
] = 16 +
1
2
𝐾(1 − 0)2
𝐾 =
15 − 16
1
2
=
−1
1
2
= −2… …… …… …(2)
Sustituyendo ecu. (2) en ecu. (1)
𝑉 = 16 +
1
2
(−2) 𝑡2 = 16 −
2
2
𝑡2 = 16 − 𝑡2
𝑉 = 16 − 𝑡2
∫ 𝑑𝑥 = ∫ (16 − 𝑡2) 𝑑𝑡
𝑡
1
𝑋
20
𝑋 − 20 = 16𝑡 −
1
3
𝑡3 ∫ .
𝑡
1
𝑋 − 20 = −
1
3
𝑡3 + 16𝑡 − 16 +
1
3
𝑋 = −
1
3
𝑡3 + 16𝑡 − 16 +
1
3
+ 20
𝑋 = −
1
3
𝑡3 + 16𝑡 +
13
3
… …… …… …… (3)
Sustituyendo t = 7s en la ecu. (1)
𝑉 = 16 − 𝑡2 = 16 − (7)2 = 16 − 49
𝑉 = −33
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑠
… …… …… …… .(4)
Sustituyendo t = 7s en la ecu. (3)
𝑋7 = −
1
3
(7)3 + 16(7) +
13
3
= 2 𝑝𝑢𝑙𝑔.
Cuando V = 0
𝑉 = 16 − 𝑡2 = 0
𝑡2 = 16
𝑡 = √16 = 4𝑠.
Sustituyendo en la ecu. (3)
𝑋4 = −
1
3
(4)3 + 16(4) +
13
3
= 47 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑋0 = −
1
3
(0)3 + 16(0) +
13
3
=
13
3
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝟎 ≤ 𝒕 < 4 4 ≤ 𝑡 < 7
| 𝑋4 − 𝑋0| = |47 −
13
3
| = 42.6 𝑝𝑢𝑙𝑔.
| 𝑋7 − 𝑋4| = |47 − 2| = 45 𝑝𝑢𝑙𝑔
Distancia total:
𝑋 𝑇 = 42.6 + 45 = 87.6 𝑝𝑢𝑙𝑔.
11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la
relación a = A − 6t2 donde A es una constante en t=0. La partícula
inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 segundo y v=30m/s
determine: a) Los tiempos en la que velocidad e cero. b) La
distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 segundos
Datos.
t=0 x=8m
v=0
t=1seg. v=30m/s
a) v =0 t=?
b) x total=? t=5seg.
Solucion:
dv
dt
= a = A − 6t2
∫ dv = ∫ (A − 6t2)dt
t
0
v
0
v − 0 = At − 2t3(m/s)
v = At − 2t3 …… .. (1)
30 = A(1) − 2(1)3
A = 30 + 2 = 32 …… (2)
sustituyendo la ecuacion 2 en la ecuacion 1
dx
dt
= v = 32t − 2t3 … …… .(3)
integrando.
∫ dx = ∫ (32t − 2t3)dt
t
0
x
8
x − 8 = 16t2 −
1
2
t4 … …. .(4)
a)cuando v = 0 de la ecuacion 3:
v = 32t − 2t3 = 0
simplificando:
V= 2t(16t − t2) = 0
2t = 0 16 − t2
t =
0
2
= 0 4 = t
por lo que ∶
𝐭 = 𝟒 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬
b) t = 0seg. ,4seg., 5 seg. dela ecuacion 4:
x0 − 8 = 16(0)2 −
1
2
(0)4 = 0
x0 = 8
x4 = 16(4)2 −
1
2
(4)4 + 8 = 136m
x5 = 16(5)2 −
1
2
(5)4 + 8 = 95.5m
0 ≤ t ≤ 4 4 ≤ t ≤ 5
|x4 − x0| = |136m − 8m| = 128m
|x5 − x4| = |95.5m − 136m| = 40.5m
𝐱 𝐓 = 𝟏𝟐𝟖𝐦 + 𝟒𝟎. 𝟓𝐦 = 𝟏𝟔𝟖. 𝟓𝐦
11.7. Una partícula oscilante entre los puntos X = 40 mm y X = 160
mm con una aceleración a = k ( 100 - X), donde a y X son
expresiones en mm/s’2, respectivamente. La velocidad de la
partícula es 18 mm/s cuando X = 100 mm y es cero por lo tanto X =
40 mm y X = 160 mm. Determine: a) El valor de k, b) La velocidad
cuando X = 120 mm.
Problema 11.17
Datos:
X=40mm x=160mm
A=k (100-X) k=cte.
V= 18 mm/s X= 100mm
V= 0 X= 40mm
a) k =?
b) V =? V = 120 mm
Solución:
V * dv/dx = a = k (100-X)
∫ 𝑉 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑣
0
𝑋 = ∫ 𝑘(100 − 𝑋)𝑑𝑥
𝑋
40
½ V’2 – (0) = K∫ 100 𝑑𝑥 − 𝑘 ∫ 𝑋 𝑑𝑥
𝑋
40
𝑋
40
½ V’2 = K (100X-1/2X’2) I
𝑋
40
½ V’2 = k (100X-1/2X’2)-(100*40-1/2*40’2)
½ V’2 = k (100X-1/2 X’2 - 3200)…………… ecu. 1
a) Sustituyendo la v=18 mm/s y x= 100mm en la ecu. 1.
½ (18)’2 = k (100(100)- ½ (100’2 - 3200))
k = 0.0900s’2
b) Cuando X= 120 mm V=?
½ V’2 = 0.09 (100*120 – ½ (120)’2 - 3200)= 144
V= (+-) 16.97 mm/s
Problema 11.21
A partir de X=0 con una velocidad inicial, dada una partícula una
aceleración a=08 √ 𝑣2 + 49 , donde a y v se expresa en m/s2 y
m/s, respectivamente. Determinar
a) la posición de la partícula cuando V=24
𝑚
𝑠
b) la velocidad de la partícula cuando X=40 m.
DATOS.
X=0
V=0
a= 0.8 √ 𝑣2 + 49
a) X=0 V=24
𝑚
𝑠
b) V=0 X=40 m
Solución:
v
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= a=0.8 √ 𝑣2 + 49
Despejando para pasar la velocidad del otro lado de la igualdad
𝑉 𝑑𝑣
√ 𝑣2+49
= 0.8 = ∫ 0.8 𝑑𝑥
𝑥
0
[√ 𝑣2 + 49 ]( 𝑣
0
) = 0.8x √ 𝑣2 + 49 - √02 + 49 = 0.8x √ 𝑣2 + 49 - 7 =
0.8 x
Aplicando los límites.
√ 𝑣2 + 49 -7 =0.8 x …. 1
a) sustituyendo V = 24
𝑚
𝑠
para encontrar X.
√242 + 49 -7 = 0.8 x X= 22.5 m.
b) Sustituyendo X= 40 m para encontrar V = ?
√242 + 49 -7 = 0.8 (40) V = 38.4
𝑚
𝑠
Problema 11.33
Un automovilista entra a una carretera a 45
𝑘𝑚
ℎ
y acelera
uniformemente asta 99
𝑘𝑚
ℎ
. De acuerdo con el odómetro del automóvil
la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba.
Determinar.
a) La aceleración del automóvil.
b) El tiempo que se requiere para alcanzar 99
𝑘𝑚
ℎ
.
Datos:
𝑉0 = 45
𝑘𝑚
ℎ
𝑉 = 99
𝑘𝑚
ℎ
𝑋 = 0.2 𝐾𝑚
𝑋0 = 0
Solución:
a) a=?
b) t=?
𝑉2 = 𝑉0
2
+ 2𝑎(𝑋 − 𝑋0)
𝑎 =
𝑉2 − 𝑉0
2
(𝑋 − 𝑋0)(2)
𝑎 =
(99
𝑘𝑚
ℎ
)
2
− (45
𝑘𝑚
ℎ
)
2
(0.2𝐾𝑚 − 0)(2)
=
7776
𝐾𝑚2
ℎ2
0.4𝐾𝑚
𝑎 = 19440
𝑘𝑚
ℎ2
(
1000𝑚
1𝐾𝑚
) (
1ℎ
3600𝑠
)
2
= 1.5
𝑚
𝑠2
𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 ∴ 𝑡 =
𝑉 − 𝑉0
𝑎
𝑡 =
(99
𝑘𝑚
ℎ
) − (45
𝑘𝑚
ℎ
)
19440
𝑘𝑚
ℎ2
=
54
𝑘𝑚
ℎ
19440
𝑘𝑚
ℎ2
= 2.77 × 102ℎ (
3600𝑠
1ℎ
) = 10 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠.
Problema 11.3
El movimiento de una partícula está definido por la relación 𝑥 =
5
3
𝑡3 −
5
2
𝑡2 − 30𝑡 + 8, donde 𝑥 𝑦 𝑡 se expresan en pies y segundos,
respectivamente. Determinar el tiempo, la aceleración cuando 𝑣 = 𝑜.
𝑉 = 5𝑡2 − 5𝑡 − 30
0 = 5𝑡2 − 5𝑡 − 30
𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−5) ± √(−5)2 − 4(5)(−30)
2(5)
𝑡1 =
5 + 25
10
=
30
10
= 3 𝑠𝑒𝑔.
𝑡1 =
5 − 25
10
=
20
10
= 2 𝑠𝑒𝑔.
𝑥 =
5
3
(3)3 −
5
2
(3)2 − 30(3) + 8
𝑥 = −59.5𝑓𝑡
𝑎 = 10𝑡 − 5
𝑎 = 10(3) − 5
𝑎 = 30 − 5
𝑎 = 25
𝑓𝑡
𝑠2
PROBLEMA
Solución.
Datos.
a=11 ft/s2
Va=30 Mi/hr.
tb= ¿
Vb= ¿
X0 = 0
X=160 ft
V= 30 mi/h(
5280 𝑓𝑡
1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
(
1ℎ
3600 𝑠
) ∴ v= 44 ft/s
Usando x= x0 + Vot+
1
2
a t2
∴ 160 = 0 + 44 ft/s+
1
2
11 ft/s2
t2
.
Igualandoa cero: - 160 + 44 t + 5.5 t2
= 0 ; Usamos formulageneral x=
−𝑏
+
−
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
X=
−44
±
−
√442−4(5.5)(−160)
2 (5.5)
; 𝑥 =
−44±73.86
11
= 𝑥1 = 2.71𝑠 ; 𝑥2 = −10𝑠 ; por lo tanto el tiempoes 2.71 seg
b)
Vb=Va+ at ; Vb= 44 ft/s+ 11 ft/s2
(2.71 s) ; Vb = 73.81 ft/s
3600 𝑠
1 ℎ𝑟
(
1𝑚𝑙
5280 𝑓𝑡
) = 50.4 𝑚𝑖/ℎ este valordebe
convertirse apies/segundo.
50.4 mi/h(
3600 𝑠
1 𝑚𝑖
)(
1 ℎ
3600 𝑠
) = 73.79 ft/s
11.37. Un atleta en una carrera de 100m acelera de manera uniforme
durante los primeros 35m y luego corre con una velocidad
constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 35m es de
5.4s determine:
a) Su aceleración
b) Su velocidad final
c) El tiempo en que completa la carrera
PROCEDIMIENTO.
0 ≤ X < 35
35 ≤ X ≤ 100m
Cuando X=35m t=5.4s C) 35 ≤
X< 100
XB= XA + VAt +
1
2
𝑎𝑡2 X = Xo
+ Vo (t – t1)
XB = 0 + 0t +
1
2
a (5.4𝑠)2 100 =
35 + (12.96 𝑚
𝑠⁄ ) (t2 – 5.4s)
XB = 35m Despejo la ecuación t2 =
10.41s
35 = a (14.58)
a) a = 2.4005 𝑚
𝑠⁄
b) 35 ≤ X < 100
𝑉2 = 0 + 2ª (x – 0)
X = 35m
𝑉2 = 2 (2.4005)(35m)
V = 12.96 𝑚
𝑠⁄
11.39 Un oficial de policía en una patrulla estacionada en una
zona donde la rapidez es de 70 km/h observa el paso de un
automóvil que marcha a una rapidez constante. Al oficial le parece
que el conductor podría estar intoxicado y arranca la patrulla,
acelera uniformemente hasta 90 km/h en 8 s y mantiene una
velocidad constante de 90 km/h, alcanza al automovilista 42 s
después. Si se sabe que transcurrieron 18 s antes de que el
oficial empezara a perseguir al automovilista.
Determine:
a) la distancia que recorrió el oficial antes de alcanzar al
automovilista.
b) la rapidez del automovilista.
a)
V = Vo +a (t-to)
Despejando la aceleración
a = ( Vo+V ) / (t-to)
a = ( 0 + 25 m/s ) / ( 26s – 18s ) =3.125 m/s2
X = Xo + Vo ( t – to ) + ½ a ( t - to)
X = 0 + 0 ( 26 - 18 ) + ½ ( 3.125 m/s2 ) = 100
Xp= 100 (25m/s) ( 42s – 26s)=
Xp= 500 m/s
b)
500 m/s = V ( 42s )
V = 11.9 m/s (1km/1000m) (3600s/1hr)=
V = 42.84 Km/h

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Problemas resueltos de dinamica

  • 1. PROBLEMA 11.1 El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 10, donde "x" y "t" se expresan en metros y segundos respectivamente. D)Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 4s. SOLUCION: Tenemos que: x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 1O v = dx/dt = x´ x' = 6t3 - 60t + 5 = v a = dv/dt x´´ = 18t2 - 60 = a Evaluamos cuando t = 4s v = x´= 6(4)3 - 60(4) + 5 v = 149 m/s a = x´´ = 18(4)2 - 60 a = 228 m/s2 Distancia = x = 1.5(4)4 - 30(4)2 + 5(4) + 10 x = 60 m Problema 11.5 El movimiento de una partícula está definido por la relación 𝑥 = 6𝑡2 + 3𝑡 + 32 donde “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine el tiempo, posición y velocidad cuando 𝑎 = 0. Posición: 𝑥 = 6( 2 3 ) 4 − 2 ( 2 3 ) 3 − 12( 2 3 ) + 3( 2 3 ) + 3 = 0.259𝑚 Velocidad, 1ra Derivada:
  • 2. 24𝑡3 − 6𝑡2 − 14𝑡 + 3 = 24 ( 2 3 ) 3 − 6( 2 3 ) 2 − 24 ( 2 3 ) + 3 = −8.56 𝑚 𝑠⁄ Aceleración, 2da derivada: 72𝑡2 − 12𝑡 − 24 = 0 𝑥 = −(12) ± √(−12)2 − 4(72)(−24) 2(72) = 12 ± 84 144 = 96 144 = 2 3 = 0.667𝑠𝑒𝑔 11.7 el movimiento de una partida esta definido por la relación: 𝑥 = 𝑡3 − 6𝑡2 − 36𝑡 − 40 Donde x y t se expresan en “ft” y “s” respectivamente. Determine: a) Cuando V=0 b) La velocidad, la aceleración y distancia total viajando cuando x=0 a) posición x= (6)3-(6)(6)2-36(6)-40= -256m velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 ecuacion de 2°grado. 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−2)±√(−12)2−4(3)(−36) 2(3) = 12±24 6 = 36 6 = 6𝑠 Aceleración 2° derivada 6t-12= 6(6)-12= 24 𝑚 𝑠2 Ecuación de 3° grado (método de Rufiny) 𝑥 = 𝑡3 − 6𝑡2 − 36𝑡 − 40=0 1 -5 -36 -40 10 10 40 40 1 4 4 0
  • 3. X1=10 𝑡2+4t+4 1 4 4 -2 -2 -4 1 2 o X2=-2 1 2 -2 -2 - 1 0 X3=-2 t=10 s velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 3(10)2-12(10)-36= 144 𝑚 𝑠 Aceleración 2° derivada 6(10)-12= 48 𝑚 𝑠2⁄ 0 ≤ t ≤ 6 X0= (0)3-6(0)2-36 (0)-40 X0=40m X6=(6)3-6(6)2-36(0)-40 X6=-256m
  • 4. | 𝑥10 − 𝑥6| = |216 − (−256)| = 472 m 𝑥 𝑇= 216+472= 688m 11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-8m/s^2. Si se sabe que x=20m cuando t=4s y x=4m cuando la velocidad 16m/s determinar a) el tiempo cuando la velocidad es cero b) La velocidad y la distancia total cuando el tiempo=11s. x = 20m x = 4m t = 4seg v =16m / s -8ò dt v = -8t +C x ò dx = -8t +C 4 t ò x - 20 = - 8t2 2 4 t +C t 1 4 t x - 20 = -4t - -4(42 )éë ùû+C(t - 4) x - 20 = -4t2 + 64+C(t - 4) x = -4t2 +C(t - 4)+ 64+ 20 x = -4t2 +C(t - 4)+84-3 x = -4t2 +(16 -8t)(t - 4)+84 -4t2 +16t - 64+8t2 -32t +84 -4t2 -16t + 20 = 4 +4t2 -16t +16 = 0 (2t - 4)(2t - 4) 4t2 -8t -8t +16 2t - 4 t = -4 2 t = -4 2 t1 = -2 t2 = -2 a = 8t +16 = 8(2)+16 = 32 v = -8t +C = -8(2)+32 = m / s x = -4(2)2 +32(2)- 4+84 x = 4m 6s 0seg 10 seg -256 -40m 0m
  • 5. a = -8m / s2 v = -8t +C x = -4t2 +C(t - 4)+84 Sustituyendo 16 en 2 -8t +C =16 C =16+8t Luego 4 en 3 Problema 11.11 La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo cuando t = 0, la velocidad de la partícula es 𝑉 = 16 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 . Si se sabe que 𝑉 = 15 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 y para X = 20 pulgadas cuando t = 1s. Determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7s. Datos: t = 0 V = 16 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 V = 15 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 t = 1s X = 20 pulg V = ? X = ? Cuando t = 7s 𝑋𝑡 = ? a) v = 0 v = -8t -C t = V -C 8 = 0 -32 8 = 4s b)vll = vll = -8t +C vll = -8(11+32) = -56m / s xo = -4(0)+32(0 - 4)+84 = -44m x4 = 20m xll = -176m x4 - xo = 64 xll - x4 = 196 64+196 = 260m
  • 6. Solución: a = Kt K = constante 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝐾𝑡 = 𝑎 Integrando con t = 0 y V = 16 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝐾𝑡 𝑑𝑡 1 0 𝑣 16 𝑉 − 16 = 1 2 𝐾𝑡2 𝑉 = 16 + 1 2 𝐾𝑡2 ( 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 )… …… …… …(1) Sustituyendo 𝑉 = 15 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 y t = 1s en ecu. (1) [15 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 ] = 16 + 1 2 𝐾(1 − 0)2 𝐾 = 15 − 16 1 2 = −1 1 2 = −2… …… …… …(2) Sustituyendo ecu. (2) en ecu. (1) 𝑉 = 16 + 1 2 (−2) 𝑡2 = 16 − 2 2 𝑡2 = 16 − 𝑡2 𝑉 = 16 − 𝑡2 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ (16 − 𝑡2) 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑋 20 𝑋 − 20 = 16𝑡 − 1 3 𝑡3 ∫ . 𝑡 1 𝑋 − 20 = − 1 3 𝑡3 + 16𝑡 − 16 + 1 3 𝑋 = − 1 3 𝑡3 + 16𝑡 − 16 + 1 3 + 20
  • 7. 𝑋 = − 1 3 𝑡3 + 16𝑡 + 13 3 … …… …… …… (3) Sustituyendo t = 7s en la ecu. (1) 𝑉 = 16 − 𝑡2 = 16 − (7)2 = 16 − 49 𝑉 = −33 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑠 … …… …… …… .(4) Sustituyendo t = 7s en la ecu. (3) 𝑋7 = − 1 3 (7)3 + 16(7) + 13 3 = 2 𝑝𝑢𝑙𝑔. Cuando V = 0 𝑉 = 16 − 𝑡2 = 0 𝑡2 = 16 𝑡 = √16 = 4𝑠. Sustituyendo en la ecu. (3) 𝑋4 = − 1 3 (4)3 + 16(4) + 13 3 = 47 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑋0 = − 1 3 (0)3 + 16(0) + 13 3 = 13 3 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝟎 ≤ 𝒕 < 4 4 ≤ 𝑡 < 7 | 𝑋4 − 𝑋0| = |47 − 13 3 | = 42.6 𝑝𝑢𝑙𝑔. | 𝑋7 − 𝑋4| = |47 − 2| = 45 𝑝𝑢𝑙𝑔 Distancia total: 𝑋 𝑇 = 42.6 + 45 = 87.6 𝑝𝑢𝑙𝑔.
  • 8. 11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = A − 6t2 donde A es una constante en t=0. La partícula inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 segundo y v=30m/s determine: a) Los tiempos en la que velocidad e cero. b) La distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 segundos Datos. t=0 x=8m v=0 t=1seg. v=30m/s a) v =0 t=? b) x total=? t=5seg. Solucion: dv dt = a = A − 6t2 ∫ dv = ∫ (A − 6t2)dt t 0 v 0 v − 0 = At − 2t3(m/s) v = At − 2t3 …… .. (1) 30 = A(1) − 2(1)3 A = 30 + 2 = 32 …… (2) sustituyendo la ecuacion 2 en la ecuacion 1 dx dt = v = 32t − 2t3 … …… .(3) integrando. ∫ dx = ∫ (32t − 2t3)dt t 0 x 8 x − 8 = 16t2 − 1 2 t4 … …. .(4) a)cuando v = 0 de la ecuacion 3: v = 32t − 2t3 = 0
  • 9. simplificando: V= 2t(16t − t2) = 0 2t = 0 16 − t2 t = 0 2 = 0 4 = t por lo que ∶ 𝐭 = 𝟒 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 b) t = 0seg. ,4seg., 5 seg. dela ecuacion 4: x0 − 8 = 16(0)2 − 1 2 (0)4 = 0 x0 = 8 x4 = 16(4)2 − 1 2 (4)4 + 8 = 136m x5 = 16(5)2 − 1 2 (5)4 + 8 = 95.5m 0 ≤ t ≤ 4 4 ≤ t ≤ 5 |x4 − x0| = |136m − 8m| = 128m |x5 − x4| = |95.5m − 136m| = 40.5m 𝐱 𝐓 = 𝟏𝟐𝟖𝐦 + 𝟒𝟎. 𝟓𝐦 = 𝟏𝟔𝟖. 𝟓𝐦
  • 10. 11.7. Una partícula oscilante entre los puntos X = 40 mm y X = 160 mm con una aceleración a = k ( 100 - X), donde a y X son expresiones en mm/s’2, respectivamente. La velocidad de la partícula es 18 mm/s cuando X = 100 mm y es cero por lo tanto X = 40 mm y X = 160 mm. Determine: a) El valor de k, b) La velocidad cuando X = 120 mm. Problema 11.17 Datos: X=40mm x=160mm A=k (100-X) k=cte. V= 18 mm/s X= 100mm V= 0 X= 40mm a) k =? b) V =? V = 120 mm Solución: V * dv/dx = a = k (100-X) ∫ 𝑉 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑣 0 𝑋 = ∫ 𝑘(100 − 𝑋)𝑑𝑥 𝑋 40 ½ V’2 – (0) = K∫ 100 𝑑𝑥 − 𝑘 ∫ 𝑋 𝑑𝑥 𝑋 40 𝑋 40 ½ V’2 = K (100X-1/2X’2) I 𝑋 40 ½ V’2 = k (100X-1/2X’2)-(100*40-1/2*40’2) ½ V’2 = k (100X-1/2 X’2 - 3200)…………… ecu. 1
  • 11. a) Sustituyendo la v=18 mm/s y x= 100mm en la ecu. 1. ½ (18)’2 = k (100(100)- ½ (100’2 - 3200)) k = 0.0900s’2 b) Cuando X= 120 mm V=? ½ V’2 = 0.09 (100*120 – ½ (120)’2 - 3200)= 144 V= (+-) 16.97 mm/s Problema 11.21 A partir de X=0 con una velocidad inicial, dada una partícula una aceleración a=08 √ 𝑣2 + 49 , donde a y v se expresa en m/s2 y m/s, respectivamente. Determinar a) la posición de la partícula cuando V=24 𝑚 𝑠 b) la velocidad de la partícula cuando X=40 m. DATOS. X=0 V=0 a= 0.8 √ 𝑣2 + 49 a) X=0 V=24 𝑚 𝑠 b) V=0 X=40 m Solución: v 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = a=0.8 √ 𝑣2 + 49 Despejando para pasar la velocidad del otro lado de la igualdad 𝑉 𝑑𝑣 √ 𝑣2+49 = 0.8 = ∫ 0.8 𝑑𝑥 𝑥 0 [√ 𝑣2 + 49 ]( 𝑣 0 ) = 0.8x √ 𝑣2 + 49 - √02 + 49 = 0.8x √ 𝑣2 + 49 - 7 = 0.8 x Aplicando los límites. √ 𝑣2 + 49 -7 =0.8 x …. 1
  • 12. a) sustituyendo V = 24 𝑚 𝑠 para encontrar X. √242 + 49 -7 = 0.8 x X= 22.5 m. b) Sustituyendo X= 40 m para encontrar V = ? √242 + 49 -7 = 0.8 (40) V = 38.4 𝑚 𝑠 Problema 11.33 Un automovilista entra a una carretera a 45 𝑘𝑚 ℎ y acelera uniformemente asta 99 𝑘𝑚 ℎ . De acuerdo con el odómetro del automóvil la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determinar. a) La aceleración del automóvil. b) El tiempo que se requiere para alcanzar 99 𝑘𝑚 ℎ . Datos: 𝑉0 = 45 𝑘𝑚 ℎ 𝑉 = 99 𝑘𝑚 ℎ 𝑋 = 0.2 𝐾𝑚 𝑋0 = 0 Solución: a) a=? b) t=? 𝑉2 = 𝑉0 2 + 2𝑎(𝑋 − 𝑋0) 𝑎 = 𝑉2 − 𝑉0 2 (𝑋 − 𝑋0)(2) 𝑎 = (99 𝑘𝑚 ℎ ) 2 − (45 𝑘𝑚 ℎ ) 2 (0.2𝐾𝑚 − 0)(2) = 7776 𝐾𝑚2 ℎ2 0.4𝐾𝑚
  • 13. 𝑎 = 19440 𝑘𝑚 ℎ2 ( 1000𝑚 1𝐾𝑚 ) ( 1ℎ 3600𝑠 ) 2 = 1.5 𝑚 𝑠2 𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 ∴ 𝑡 = 𝑉 − 𝑉0 𝑎 𝑡 = (99 𝑘𝑚 ℎ ) − (45 𝑘𝑚 ℎ ) 19440 𝑘𝑚 ℎ2 = 54 𝑘𝑚 ℎ 19440 𝑘𝑚 ℎ2 = 2.77 × 102ℎ ( 3600𝑠 1ℎ ) = 10 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. Problema 11.3 El movimiento de una partícula está definido por la relación 𝑥 = 5 3 𝑡3 − 5 2 𝑡2 − 30𝑡 + 8, donde 𝑥 𝑦 𝑡 se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determinar el tiempo, la aceleración cuando 𝑣 = 𝑜. 𝑉 = 5𝑡2 − 5𝑡 − 30 0 = 5𝑡2 − 5𝑡 − 30 𝑡 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−5) ± √(−5)2 − 4(5)(−30) 2(5) 𝑡1 = 5 + 25 10 = 30 10 = 3 𝑠𝑒𝑔. 𝑡1 = 5 − 25 10 = 20 10 = 2 𝑠𝑒𝑔. 𝑥 = 5 3 (3)3 − 5 2 (3)2 − 30(3) + 8 𝑥 = −59.5𝑓𝑡 𝑎 = 10𝑡 − 5 𝑎 = 10(3) − 5 𝑎 = 30 − 5 𝑎 = 25 𝑓𝑡 𝑠2
  • 14. PROBLEMA Solución. Datos. a=11 ft/s2 Va=30 Mi/hr. tb= ¿ Vb= ¿ X0 = 0 X=160 ft V= 30 mi/h( 5280 𝑓𝑡 1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 ( 1ℎ 3600 𝑠 ) ∴ v= 44 ft/s Usando x= x0 + Vot+ 1 2 a t2 ∴ 160 = 0 + 44 ft/s+ 1 2 11 ft/s2 t2 . Igualandoa cero: - 160 + 44 t + 5.5 t2 = 0 ; Usamos formulageneral x= −𝑏 + − √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 X= −44 ± − √442−4(5.5)(−160) 2 (5.5) ; 𝑥 = −44±73.86 11 = 𝑥1 = 2.71𝑠 ; 𝑥2 = −10𝑠 ; por lo tanto el tiempoes 2.71 seg b) Vb=Va+ at ; Vb= 44 ft/s+ 11 ft/s2 (2.71 s) ; Vb = 73.81 ft/s 3600 𝑠 1 ℎ𝑟 ( 1𝑚𝑙 5280 𝑓𝑡 ) = 50.4 𝑚𝑖/ℎ este valordebe convertirse apies/segundo. 50.4 mi/h( 3600 𝑠 1 𝑚𝑖 )( 1 ℎ 3600 𝑠 ) = 73.79 ft/s
  • 15. 11.37. Un atleta en una carrera de 100m acelera de manera uniforme durante los primeros 35m y luego corre con una velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 35m es de 5.4s determine: a) Su aceleración b) Su velocidad final c) El tiempo en que completa la carrera PROCEDIMIENTO. 0 ≤ X < 35 35 ≤ X ≤ 100m Cuando X=35m t=5.4s C) 35 ≤ X< 100 XB= XA + VAt + 1 2 𝑎𝑡2 X = Xo + Vo (t – t1) XB = 0 + 0t + 1 2 a (5.4𝑠)2 100 = 35 + (12.96 𝑚 𝑠⁄ ) (t2 – 5.4s) XB = 35m Despejo la ecuación t2 = 10.41s 35 = a (14.58) a) a = 2.4005 𝑚 𝑠⁄ b) 35 ≤ X < 100 𝑉2 = 0 + 2ª (x – 0) X = 35m
  • 16. 𝑉2 = 2 (2.4005)(35m) V = 12.96 𝑚 𝑠⁄ 11.39 Un oficial de policía en una patrulla estacionada en una zona donde la rapidez es de 70 km/h observa el paso de un automóvil que marcha a una rapidez constante. Al oficial le parece que el conductor podría estar intoxicado y arranca la patrulla, acelera uniformemente hasta 90 km/h en 8 s y mantiene una velocidad constante de 90 km/h, alcanza al automovilista 42 s después. Si se sabe que transcurrieron 18 s antes de que el oficial empezara a perseguir al automovilista. Determine: a) la distancia que recorrió el oficial antes de alcanzar al automovilista. b) la rapidez del automovilista. a) V = Vo +a (t-to) Despejando la aceleración a = ( Vo+V ) / (t-to) a = ( 0 + 25 m/s ) / ( 26s – 18s ) =3.125 m/s2 X = Xo + Vo ( t – to ) + ½ a ( t - to) X = 0 + 0 ( 26 - 18 ) + ½ ( 3.125 m/s2 ) = 100 Xp= 100 (25m/s) ( 42s – 26s)= Xp= 500 m/s b) 500 m/s = V ( 42s ) V = 11.9 m/s (1km/1000m) (3600s/1hr)= V = 42.84 Km/h