Fundamentos de Boole

Fundamentos de Computadores
V. A. García Alcántara; M. Gascón de Toro; A. Leal Hernández Pág. - 1
Ca ∈
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Tema 2
LOGICA COMBINACIONAL.
2.1. ALGEBRA DE BOOLE.
Un conjunto C dotado de 2 operaciones algebraicas, suma (+) y producto lógico (.), es un
álgebra de Boole si y sólo si se verifican los siguientes postulados:
1.- Las operaciones son conmutativas.
a + b = b + a
∀ a y b E C
a • b = b • a
2.- Existen en C dos elementos neutros representados por 0 y 1 tales que:
a + 0 = 0 + a = a
∀ a E C
a • 1 = 1 • a = a
3.- Cada operación es distributiva respecto de la otra.
Suma respecto del producto:
a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
Producto respecto de la suma:
a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
4.- Para cada elemento a E C existe un elemento tal que:
Si los elementos que E C sólo pueden tomar dos valores bien diferenciados (V ó F, 0 ó 1) al
conjunto C con las dos operaciones anteriores se le llama Algebra de Conmutación, y cumple
los siguientes teoremas:
1º.- Teorema de dualidad.
Cada identidad de las anteriores permanece válida si se intercambian entre sí las operaciones
+ y • y los elementos neutros 0 y 1.
0
1
=•=•
=+=+
aaaa
aaaa

aaa
aaa
=•
=+
( )
( ) abaa
abaa
=+•
=•+
aa =
2º.- Para cada a E C se verifica que:
3º.- Teorema de idempotencia.
∀ a E C se verifica que:
4º.- Ley de absorción.
∀ a y b E C se verifica que:
5º.- En un álgebra de conmutación la suma lógica y el producto lógico son asociativos.
6º.- Teorema de involución.
∀ a E C se verifica que:
7º.- Leyes de Morgan.
El complemento de una suma es igual al producto de los complementos de los sumandos.
El complemento de un producto es igual a la suma de los complementos de los factores.
2.2. FUNCIONES. FORMAS DE REPRESENTACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Una función de un álgebra de conmutación está definida por unas expresión lógica en la que
se relacionan entre sí las variables binarias (directas o complementadas) mediante las
operaciones suma y producto lógico.
Una función lógica se puede definir de varias formas:
a) Mediante una expresión lógica no canónica:
b) Mediante la tabla de verdad: Se representa para cada combinación de valores de las
variables, el valor que toma la función.
00
11
=•
=+
a
a
....... ••••=++++ dcbadcba
....... ++++=•••• dcbadcba
abcF +=

cbaabcbacabcF +++=
=
=
=
=
cba
abc
bac
abc
10(2(
10(2(
10(2(
10((2
7111
5101
3011
1001
=
=
=
=
c b a F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
c) Mediante sus términos canónicos.
Un término canónico es toda suma o producto en aparecen todas las variables de la función
afirmadas o negadas.A los productos se les llama Productos Canónicos o Minitérminos.
Una función con “n” variables tiene 2n
términos canónicos. Para facilitar el trabajo con los
términos canónicos, a cada uno se le suele asignar un número decimal. Este número decimal
es el equivalente al número binario que se obtiene al sustituir las variables según el siguiente
criterio: las variables que aparecen en forma directa se sustituyen por un 1; las variables que
aparecen en forma negada se sustituyen por un 0.
Veamos un ejemplo:
Cada término lo podemos sustituir por el siguiente decimal:
Teniendo en cuenta, según acabamos de ver, que a cada término canónico lo podemos
sustituir por un número, la función la podremos expresar mediante la relación de términos
canónicos que la forman. A esta nueva forma de representación se la llama expresión de la
función en forma numérica.
Vistas las distintas formas de representar una función lógica, estudiaremos a continuación los
distintos procedimientos para simplificar una función lógica. Existen varios métodos:
a) Método algebraico.
b) Método de Karnaugh.
c) Método de Quine-McCluskey.
a) El método algebraico consiste en ir aplicando las propiedades del álgebra de Boole hasta
conseguir la reducción total.
Como se parte de la función en forma canónica se puede dar uno de estos dos casos:
1º.- Si viene dada en forma de suma de productos, se aplicarán las propiedades tratando de
reducir términos sabiendo que la suma de dos productos canónicos adyacentes es igual a un
( )∑=+++=
3
7,5,3,1cbaabcbacabcF

∑=
4
15138750 ),,,,,(f
ac ⋅
solo producto en el que se ha suprimido la variable en que difieren. Aplicando reiteradamente
esta propiedad se obtiene la expresión más sencilla en forma de suma de productos. A este
proceso se le llama minimización.
2º.- Si la expresión canónica viene dada en forma de producto de sumas, se aplicará la
propiedad que dice que el producto de dos sumas adyacentes es igual a una sola suma en la
que se suprime la variable en que difieren las sumas originales. Aplicando reiteradamente este
proceso se obtiene la expresión más sencilla en forma de producto de sumas. A este proceso
se le llama maximización.
2.2.1.- Método tabular de Karnaugh.
Se basa este método en la realización de una tabla en la cual los términos que sean adyacentes
se representarán en celdillas contiguas.
Dos términos se dice que son adyacentes cuando sólo difieren en una variable.
De la tabla de verdad se traspasará la información al mapa de Karnaugh, poniendo un 1 en las
celdillas correspondientes a términos canónicos de la función.
Seguidamente se agruparán las celdas contiguas que tengan un 1 según el siguiente orden:
a) Si no se pueden realizar agrupaciones de 16 casillas, se verá si se pueden agrupar 8
casillas.
b) Si no se pueden agrupar 8 casillas, se verá si es posible la agrupación de 4 casillas.
c) Si no se pueden agrupar 4 casillas, se verá si es posible agrupar 2 casillas
d) Cuando no se puedan agrupar 2 casillas, se tomarán los unos que queden sin agrupar.
Como norma general, toda agrupación deberá tener al menos un uno que no pertenezca a
ninguna otra agrupación.
Ejemplo:
El mapa de Karnaugh para esta función sería el siguiente:
Una vez realizados los grupos, para materializar
la simplificación se comprueban las variables que
aparecen con dos valores (0 y 1) en el grupo, siendo
eliminadas en el término resultante.
Así se puede ver en el ejemplo anterior que en el grupo
de cuatro unos la variable “d” aparece con el valor 0 y
1, por tanto desaparecerá del término simplificado.
La variable “c” aparece con valor 1, por tanto
aparece en el término simplificado de forma directa.
La variable “b” aparece con valor 0 y 1, por tanto desaparecerá del término simplificado.
La variable “a” aparece con valor 1 en las cuatro casillas, por tanto aparecerá en el término
simplificado de forma directa.
Por tanto, este grupo queda reducido al producto:
El grupo de dos unos se simplifica de idéntica forma:

ABf =
abc
abccaf +=
∏∑ Φφ
y
La variable “d” cambia de valor en las dos casillas agrupadas, por lo tanto queda eliminada.
La variable “c” toma el valor 0 en las dos casillas, por tanto aparecerá en el término
simplificado en forma negada. A las variables “b” y “a” les ocurre lo mismo que a la variable
c.
El término resultante sería, pues, el siguiente:
La función simplificada completa es la siguiente:
2.2.2.- Funciones incompletas.
Son aquellas funciones lógicas para las cuales para una o más combinaciones de entrada el
valor que toma la función puede ser indistintamente 0 ó 1. En la tabla de verdad se le asigna el
valor X y en representaciones canónicas se representan mediante los símbolos
Para simplificar estas funciones por Karnaugh, se toman las X que se necesiten (como si
fueran unos de la función) para realizar las mayores agrupaciones posibles con los unos de la
función. Las restantes se ignoran.
En cada grupo de los obtenidos para realizar la simplificación debe existir como mínimo un
1.
2.3.- PUERTAS LÓGICAS.
Las funciones lógicas se emplean para describir la correspondencia existente entre las
variables de entrada y de salida de un circuito.
Podemos abordar dos tipos diferentes de problemas:
a) Dado un circuito, obtener la función lógica que lo representa, o lo que es lo mismo,
analizar el circuito.
b) Dadas las especificaciones de funcionamiento de un circuito, obtener la función lógica que
las cumple y a partir de ella, obtener el circuito, o lo que es lo mismo, realizar la síntesis
del circuito.
Abordaremos estos dos problemas posteriormente. Ahora haremos un repaso rápido de los
circuitos que realizan las funciones básicas del álgebra de conmutación: las puertas lógicas.
a) Puerta AND.
Esta puerta lógica toma el valor 1 a su salida si y sólo sí todas las variables de entrada se
encuentran en estado 1.
Para el caso de una puerta de dos entradas, su tabla de verdad es la siguiente:
B A f
0 0 0 La expresión lógica de la salida es:
0 1 0
1 0 0

BAf +=
Af =
ABf =
1 1 1
El símbolo que utilizaremos para representar a esta puerta es el siguiente:
b) Puerta OR.
Esta puerta toma el valor 1 a la salida, sí y sólo sí al menos una de las variables de entrada se
encuentra en estado 1.
Para el caso de una puerta de dos entradas, su tabla de verdad es la siguiente:
B A f
0 0 0 La expresión lógica de su salida es:
0 1 1
1 0 1
1 1 1
El símbolo que utilizamos para representarla es el siguiente:
c) Puerta NOT , o Inversora.
Esta puerta sólo tiene una entrada y una salida. La salida toma el valor complementario de la
entrada.
Su tabla de verdad es la siguiente:
A f La expresión lógica de la salida es:
0 1
1 0
El símbolo que utilizamos para representarla es el siguiente:
d) Puerta NAND.
La salida de esta puerta es el producto lógico negado de las variables de entrada.
A B f La expresión lógica de la salida es la siguiente:
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

BAf +=
BABABAf ⊕=+=
BABABABAf ⊕=Θ=⋅+⋅=
El símbolo que utilizaremos para representarla es el siguiente:
e) Puerta NOR..
La salida de esta puerta es la suma lógica negada de las variables de entrada.. Su tabla de
verdad es la siguiente:
A B f La expresión lógica de su salida es la siguiente:
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
El símbolo que utilizamos para su representación es el siguiente:
f) Puerta Or – Exclusiva ó XOR.
Es una función que toma el valor 1 si y sólo si una de las dos variables de entrada toma el
valor 1.
A B f La expresión lógica de su salida es:
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
El símbolo que utilizamos para su representación es el siguiente:
g) Puerta Nor –Exclusiva ó XNOR..
Es una función que toma el valor 1 a su salida cuando ambas entradas se encuentran en el
mismo estado lógico. Su tabla de verdad es la siguiente:
A B f La expresión lógica de su salida es:
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

El símbolo lógico que utilizamos para su representación es el siguiewnte:
2.3.1.- OTRAS PUERTAS LÓGICAS.
a) Puerta AND-OR-INVERT.
Su misión es sustituir la función AND cableada evitando el empleo de puertas con colector
abierto. Se mejora de esta forma el tiempo de respuesta y el fan-out.
Su esquema lógica y la operación lógica que realiza se muestran en la figura adjunta.
A continuación se representa el esquema interno y el diagrama de conexiones del CI 7451 que
contiene dos puertas AND-OR-INVER.
b) Puertas triestado.
Son elementos muy utilizados en la estructura de los computadores.
En estas puertas, su salida puede trabajar con tres estados posibles:
• Nivel alto.
• Nivel bajo.
• Alta impedancia.

El estado llamado de “alta impedancia” en la práctica se puede considerar como si la salida se
comportase igual que un cable desconectado o en circuito abierto. Es como si la salida de la
puerta triestado quedase desconectada del circuito electrónico interno.
Las puertas triestado disponen de una entrada de control, llamémosla E, que puede ser activa a
nivel alto o bajo. Cuando la entrada E está activa, la puerta funciona normalmente. Cuando e
está inactiva, la salida de la puerta queda en alta impedancia.
Su símbolo lógico y tabla de verdad son los siguientes:
A E S
0 0 0 Z: Alta impedancia
1 0 1
0 1 Z E: Activa a nivel bajo.
1 1 Z
A E S
0 1 0 Z: Alta impedancia
1 1 1
0 0 Z E: Activa a nivel alto.
1 0 Z
Para finalizar podemos representar el efecto alta impedancia de una forma muy gráfica:
Los CI de la familia TTL 74125 y 74126 contienen cuatro buffers o amplificadores no
inversores triestado. El buffer o amplificador no inversor tiene la misión de obtener en su
salida el mismo nivel lógico aplicado a su entrada, pero amplificado.
c) Buffers amplificadores.
Estos dispositivos se emplean para incrementar la potencia de una señal sin afectar a su estado
lógico. Son capaces de aumentar el número de elementos que pueden conectarse a su salida,
tanto para el nivel lógico alto como para el bajo.
Ejemplos de CI de estas características son el 7407 (seis buffers en colector abierto) y el 7406
(buffer inversor).

2.4.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS COMBINACIONALES CON PUERTAS.
Para realizar el análisis de un circuito se ha de obtener la función lógica que lo representa.
Situándonos en las entradas del circuito, iremos obteniendo las funciones lógicas parciales
avanzando hacia la salida hasta llegar a ella.
Veamos un ejemplo:
3.5.- DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES CON PUERTAS.
Realizar el diseño de un circuito consiste en implementarlo a partir de las especificaciones
que se desea que cumpla.
El método general para llegar a implementar un circuito sería el siguiente:
1º.- A partir de las especificaciones de comportamiento del circuito deberemos ser capaces de
obtener su tabla de verdad.
2º.- Obtenida la tabla de verdad, deberemos simplificar la función o funciones lógicas para
obtener las expresiones más reducidas posible y así emplear el menor número de recursos
físicos para su realización (puertas lógicas).

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