Este documento presenta un resumen de oscilaciones pequeñas en sistemas mecánicos. Introduce conceptos como las matrices de masa y rigidez, las frecuencias normales y las coordenadas normales. Aplica estos conceptos al análisis de oscilaciones en sistemas de muelles y una molécula triatómica lineal, resolviendo las ecuaciones del movimiento y determinando los modos normales de vibración.
Adomian decomposition method for solving higher order boundary value problemsAlexander Decker
This document presents an application of the Adomian decomposition method to solve higher order boundary value problems. The Adomian decomposition method assumes a series solution for the unknown quantity and decomposes the nonlinear operator into a series of polynomials. The document outlines how the method can be applied to solve third order singular boundary value problems and fourth order beam bending problems. It describes the key steps of the Adomian decomposition method and introduces the inverse operators used to obtain approximate solutions to the boundary value problems.
This document outlines numerical methods for finding roots of nonlinear equations presented by Dr. Eng. Mohammad Tawfik. It introduces the fixed point, Newton-Raphson, and secant methods. The fixed point method rearranges the equation to an iterative form where the next estimate is a function of the previous. Newton-Raphson linearizes the function to get faster convergence. The secant method does not require derivatives by using the slope between previous points. Convergence conditions and algorithms are provided for each method. Students are assigned homework problems from the textbook.
1. The document discusses the gamma and beta functions, which are defined in terms of improper definite integrals and belong to the category of special transcendental functions.
2. Several properties and examples involving the gamma and beta functions are provided, including their relationship via the equation β(m,n)= Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n).
3. Dirichlet's integral and its extension to calculating areas and volumes are covered. Four examples demonstrating the application of gamma and beta functions are worked out.
In this slide fourier series of Engineering Mathematics has been described. one Example is also added for you. Hope this will help you understand fourier series.
Let Pn(x) be the Legendre polynomial of degree n. Then the generating function for Pn(x) is given by:
∞
1
Pn(x)tn = √
n=0
1 − 2xt + t2
Differentiating both sides with respect to t, we get:
∞
∑nPn(x)tn-1 = -xt(1 − 2xt + t2)-1/2 + (1 − 2xt + t2)-3/2
n=1
Multiplying both sides by (1 − 2xt + t2)1/2, we get:
∞
∑
This document discusses ordinary differential equations (ODEs). It defines ODEs and differentiates them from partial differential equations. ODEs can be classified by type, order, and linearity. Initial value problems involve solving an ODE with initial conditions specified at a point, while boundary value problems involve conditions at boundary points. The document provides examples of solving first- and second-order initial value problems. It also discusses the existence and uniqueness of solutions to initial value problems under certain continuity conditions on the functions defining the ODE.
Fractional calculus is a generalization of differentiation and integration to non-integer orders. Some key points:
1) Fractional differentiation allows for differentiation of arbitrary non-integer order, not just integers like 1, 2, 3.
2) The concept was first explored in the 17th century but several mathematicians contributed definitions and approaches over subsequent centuries.
3) Fractional integration involves taking the nth integral of a function where n is any real number, not just integers. This can be done using the Riemann-Liouville definition or the Laplace transform.
Este documento resume los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple y las oscilaciones. Explica que los movimientos periódicos se pueden describir mediante una función senoidal, con parámetros como la amplitud, la frecuencia, el periodo y la fase. También describe que la velocidad, la aceleración y la fuerza en un movimiento armónico simple se pueden calcular mediante derivadas, y que este tipo de movimiento ocurre cuando hay una fuerza restauradora, como la de un resorte. Finalmente, introduce conceptos como las oscilaciones forzadas y
Adomian decomposition method for solving higher order boundary value problemsAlexander Decker
This document presents an application of the Adomian decomposition method to solve higher order boundary value problems. The Adomian decomposition method assumes a series solution for the unknown quantity and decomposes the nonlinear operator into a series of polynomials. The document outlines how the method can be applied to solve third order singular boundary value problems and fourth order beam bending problems. It describes the key steps of the Adomian decomposition method and introduces the inverse operators used to obtain approximate solutions to the boundary value problems.
This document outlines numerical methods for finding roots of nonlinear equations presented by Dr. Eng. Mohammad Tawfik. It introduces the fixed point, Newton-Raphson, and secant methods. The fixed point method rearranges the equation to an iterative form where the next estimate is a function of the previous. Newton-Raphson linearizes the function to get faster convergence. The secant method does not require derivatives by using the slope between previous points. Convergence conditions and algorithms are provided for each method. Students are assigned homework problems from the textbook.
1. The document discusses the gamma and beta functions, which are defined in terms of improper definite integrals and belong to the category of special transcendental functions.
2. Several properties and examples involving the gamma and beta functions are provided, including their relationship via the equation β(m,n)= Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n).
3. Dirichlet's integral and its extension to calculating areas and volumes are covered. Four examples demonstrating the application of gamma and beta functions are worked out.
In this slide fourier series of Engineering Mathematics has been described. one Example is also added for you. Hope this will help you understand fourier series.
Let Pn(x) be the Legendre polynomial of degree n. Then the generating function for Pn(x) is given by:
∞
1
Pn(x)tn = √
n=0
1 − 2xt + t2
Differentiating both sides with respect to t, we get:
∞
∑nPn(x)tn-1 = -xt(1 − 2xt + t2)-1/2 + (1 − 2xt + t2)-3/2
n=1
Multiplying both sides by (1 − 2xt + t2)1/2, we get:
∞
∑
This document discusses ordinary differential equations (ODEs). It defines ODEs and differentiates them from partial differential equations. ODEs can be classified by type, order, and linearity. Initial value problems involve solving an ODE with initial conditions specified at a point, while boundary value problems involve conditions at boundary points. The document provides examples of solving first- and second-order initial value problems. It also discusses the existence and uniqueness of solutions to initial value problems under certain continuity conditions on the functions defining the ODE.
Fractional calculus is a generalization of differentiation and integration to non-integer orders. Some key points:
1) Fractional differentiation allows for differentiation of arbitrary non-integer order, not just integers like 1, 2, 3.
2) The concept was first explored in the 17th century but several mathematicians contributed definitions and approaches over subsequent centuries.
3) Fractional integration involves taking the nth integral of a function where n is any real number, not just integers. This can be done using the Riemann-Liouville definition or the Laplace transform.
Este documento resume los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple y las oscilaciones. Explica que los movimientos periódicos se pueden describir mediante una función senoidal, con parámetros como la amplitud, la frecuencia, el periodo y la fase. También describe que la velocidad, la aceleración y la fuerza en un movimiento armónico simple se pueden calcular mediante derivadas, y que este tipo de movimiento ocurre cuando hay una fuerza restauradora, como la de un resorte. Finalmente, introduce conceptos como las oscilaciones forzadas y
1) La energía cinética y potencial de la varilla se expresan en función de las coordenadas x (abscisa) y θ (ángulo). La energía cinética incluye términos cuadráticos, lineales y constantes de x y θ, y sus derivadas. El potencial incluye términos debidos a la gravedad y a una fuerza centrífuga ficticia.
2) Las ecuaciones de Lagrange para la dinámica de la varilla son dos ecuaciones diferenciales en x e θ.
3) Existe una integral
1. El documento describe un modelo estructural de una torre esbelta compuesta por dos barras rígidas articuladas entre sí y en la base. Se calculan las ecuaciones de movimiento del sistema y se obtienen las frecuencias y modos normales de vibración.
2. La posición vertical es un equilibrio estable, como se demuestra al analizar la matriz hessiana del potencial en ese punto.
3. Se obtienen dos frecuencias propias de vibración adimensionales de 0,289 y 39,996, con sus respectivos modos normales as
1) El documento trata sobre arcos planos, definiéndolos como arcos con una directriz curva plana y sección transversal despreciable. 2) Presenta ejemplos de arcos planos como puentes y explica su teoría básica basada en la hipótesis de Navier. 3) Explica el análisis de arcos triarticulados y biarticulados sometidos a cargas uniformes y puntuales, resolviendo las ecuaciones de equilibrio y determinando las deformaciones.
Este documento presenta el análisis del movimiento de una varilla AB contenida en un disco y unida a dos resortes. Se obtienen las ecuaciones de Lagrange y se estudian las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio θ = π/4. Finalmente, se calculan las posibles posiciones de equilibrio y se comprueba que θ = π/4 es estable, mientras que θ = 3π/4 y θ = 5π/4 son inestables.
Este documento presenta un resumen de 8 horas de contenido sobre vibraciones y ondas sonoras. Incluye temas como la ley de Hooke, el movimiento armónico simple, energía potencial elástica y cinética, movimiento de un péndulo, ondas y su propagación, y características del sonido. También cubre conceptos como superposición e interferencia de ondas, ondas estacionarias, y niveles de intensidad de ondas sonoras.
Este documento presenta un modelo dinámico de un vehículo con dos masas suspendidas y analiza su comportamiento. 1) Se derivan las ecuaciones diferenciales del movimiento. 2) Se calculan las frecuencias propias y modos normales de vibración libre. 3) Para una velocidad dada, se obtiene la solución de régimen permanente cuando la carretera es una senoide.
1. Se analiza el movimiento de un carretón de masa 2m unido por muelles a puntos fijos, sobre el que se apoya una varilla de masa m y longitud R.
2. Se obtienen las ecuaciones de Lagrange del sistema y se linealizan para pequeñas oscilaciones.
3. Para R=1 y k=mg/R, las frecuencias propias son ω1=0.717593√g y ω1=1.386382√g, con modos de oscilación {1,1.020695} y {1,-
Este documento describe el proceso de transformar un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden a coordenadas normales utilizando la transformación de Laplace. Explica que las ecuaciones de estado del sistema se pueden escribir en forma matricial y luego aplicar la transformación de Laplace para encontrar las coordenadas normales. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de transformar una ecuación diferencial de segundo orden homogénea a coordenadas normales.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de límites, derivadas parciales y ecuaciones diferenciales parciales de funciones de varias variables. Los ejercicios incluyen calcular límites, derivadas parciales primeras y segundas de funciones, encontrar puntos críticos, y verificar que funciones satisfacen ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Laplace y la ecuación del calor.
Este documento presenta un análisis de dos péndulos acoplados mediante tres métodos: leyes de Newton, conservación de la energía y formulación lagrangiana. Estos métodos conducen a un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas que describen el movimiento de los péndulos. El documento analiza el sistema físico, identifica las fuerzas y energías involucradas, y deriva las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de los péndulos acoplados a través de los tres métodos.
Este documento contiene resúmenes de 12 ejercicios de dinámica. Cada ejercicio presenta un problema de movimiento de una o más partículas sometidas a fuerzas, y proporciona la solución analítica al problema mediante el uso de las leyes de Newton y el cálculo. Los ejercicios cubren una variedad de fuerzas y condiciones iniciales, y las soluciones incluyen expresiones para la velocidad, posición, aceleración y otros parámetros en función del tiempo.
Este documento resume conceptos clave de la mecánica cuántica. Explica que la mecánica cuántica es indeterminista a diferencia de la mecánica clásica que es determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. También introduce los principios de incertidumbre de Heisenberg y explica que la función de onda describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herramienta fundamental
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
Este documento describe ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables. Explica que estas ecuaciones pueden convertirse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de separación de variables. También cubre conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, principio de superposición, y ejemplos como la ecuación del calor unidimensional y la ecuación de onda unidimensional, incluyendo problemas de valores en la frontera.
1) El documento presenta cuatro ejercicios sobre conceptos fundamentales de elasticidad como tensión, deformación, ley de Hooke y criterios de resistencia. 2) Los ejercicios incluyen calcular componentes de tensión, determinar deformaciones a partir de desplazamientos, aplicar la ley de Hooke y encontrar valores críticos según criterios de resistencia. 3) Los cálculos involucran conceptos como tensor de tensiones, circunferencia de Mohr, direcciones principales y parámetros elásticos.
El documento trata sobre el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio ocurre cuando una masa oscila de un lado a otro de su punto de equilibrio debido a una fuerza recuperadora, como la de un resorte. Define el movimiento armónico simple y presenta ecuaciones que describen la elongación, velocidad y aceleración de un cuerpo que oscila de esta manera. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, energía potencial y energía cinética en el contexto del movimiento armónico simple.
1. El documento describe diferentes tipos de ecuaciones de ondas lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones de ondas, la ecuación de Korteweg-de Vries, y sus soluciones como solitones. 2. La ecuación de Korteweg-de Vries admite soluciones en forma de solitones, que son ondas que mantienen su forma al propagarse. 3. También se describen métodos para obtener otras soluciones como soluciones elípticas y a través de reducciones de similitud que conducen a las ecuaciones de Pain
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación. Explica cómo generar las matrices asociadas a problemas como la ecuación del calor y cómo implementar los métodos iterativos utilizando MATLAB. Además, discute las condiciones necesarias para la convergencia de cada método.
Este documento presenta un problema de mecánica sobre un marco articulado con barras y un aro que rueda sobre una de las barras. Se piden las ecuaciones del movimiento, la linealización de las ecuaciones para pequeñas oscilaciones, y el cálculo de las frecuencias propias para un caso particular. Se resuelve el problema obteniendo las ecuaciones del movimiento, la condición para que el equilibrio sea estable, y las frecuencias propias del sistema.
Este documento presenta las notas de un curso de electromagnetismo impartido en la Universidad Complutense de Madrid. Incluye una bibliografía de libros de texto sobre electromagnetismo y agradece la colaboración de un estudiante en la preparación de figuras. El índice general anticipa que las notas cubren temas como las ecuaciones de Maxwell, problemas de contorno en campos electrostáticos y magnetostáticos, energía y fuerzas en dichos campos, y una introducción a las ondas electromagnéticas.
Este documento presenta los apuntes de la asignatura Ecuaciones Diferenciales I. Contiene cuatro capítulos principales: 1) Ecuaciones de primer orden, 2) Sistemas y ecuaciones lineales, 3) Soluciones por medio de series, y 4) Mapas de fases. Cada capítulo cubre diferentes temas relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de resolución, existencia y unicidad de soluciones, estabilidad, transformada de Laplace, y análisis cualitativo de sistemas. El
1) La energía cinética y potencial de la varilla se expresan en función de las coordenadas x (abscisa) y θ (ángulo). La energía cinética incluye términos cuadráticos, lineales y constantes de x y θ, y sus derivadas. El potencial incluye términos debidos a la gravedad y a una fuerza centrífuga ficticia.
2) Las ecuaciones de Lagrange para la dinámica de la varilla son dos ecuaciones diferenciales en x e θ.
3) Existe una integral
1. El documento describe un modelo estructural de una torre esbelta compuesta por dos barras rígidas articuladas entre sí y en la base. Se calculan las ecuaciones de movimiento del sistema y se obtienen las frecuencias y modos normales de vibración.
2. La posición vertical es un equilibrio estable, como se demuestra al analizar la matriz hessiana del potencial en ese punto.
3. Se obtienen dos frecuencias propias de vibración adimensionales de 0,289 y 39,996, con sus respectivos modos normales as
1) El documento trata sobre arcos planos, definiéndolos como arcos con una directriz curva plana y sección transversal despreciable. 2) Presenta ejemplos de arcos planos como puentes y explica su teoría básica basada en la hipótesis de Navier. 3) Explica el análisis de arcos triarticulados y biarticulados sometidos a cargas uniformes y puntuales, resolviendo las ecuaciones de equilibrio y determinando las deformaciones.
Este documento presenta el análisis del movimiento de una varilla AB contenida en un disco y unida a dos resortes. Se obtienen las ecuaciones de Lagrange y se estudian las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio θ = π/4. Finalmente, se calculan las posibles posiciones de equilibrio y se comprueba que θ = π/4 es estable, mientras que θ = 3π/4 y θ = 5π/4 son inestables.
Este documento presenta un resumen de 8 horas de contenido sobre vibraciones y ondas sonoras. Incluye temas como la ley de Hooke, el movimiento armónico simple, energía potencial elástica y cinética, movimiento de un péndulo, ondas y su propagación, y características del sonido. También cubre conceptos como superposición e interferencia de ondas, ondas estacionarias, y niveles de intensidad de ondas sonoras.
Este documento presenta un modelo dinámico de un vehículo con dos masas suspendidas y analiza su comportamiento. 1) Se derivan las ecuaciones diferenciales del movimiento. 2) Se calculan las frecuencias propias y modos normales de vibración libre. 3) Para una velocidad dada, se obtiene la solución de régimen permanente cuando la carretera es una senoide.
1. Se analiza el movimiento de un carretón de masa 2m unido por muelles a puntos fijos, sobre el que se apoya una varilla de masa m y longitud R.
2. Se obtienen las ecuaciones de Lagrange del sistema y se linealizan para pequeñas oscilaciones.
3. Para R=1 y k=mg/R, las frecuencias propias son ω1=0.717593√g y ω1=1.386382√g, con modos de oscilación {1,1.020695} y {1,-
Este documento describe el proceso de transformar un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden a coordenadas normales utilizando la transformación de Laplace. Explica que las ecuaciones de estado del sistema se pueden escribir en forma matricial y luego aplicar la transformación de Laplace para encontrar las coordenadas normales. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de transformar una ecuación diferencial de segundo orden homogénea a coordenadas normales.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de límites, derivadas parciales y ecuaciones diferenciales parciales de funciones de varias variables. Los ejercicios incluyen calcular límites, derivadas parciales primeras y segundas de funciones, encontrar puntos críticos, y verificar que funciones satisfacen ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Laplace y la ecuación del calor.
Este documento presenta un análisis de dos péndulos acoplados mediante tres métodos: leyes de Newton, conservación de la energía y formulación lagrangiana. Estos métodos conducen a un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas que describen el movimiento de los péndulos. El documento analiza el sistema físico, identifica las fuerzas y energías involucradas, y deriva las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de los péndulos acoplados a través de los tres métodos.
Este documento contiene resúmenes de 12 ejercicios de dinámica. Cada ejercicio presenta un problema de movimiento de una o más partículas sometidas a fuerzas, y proporciona la solución analítica al problema mediante el uso de las leyes de Newton y el cálculo. Los ejercicios cubren una variedad de fuerzas y condiciones iniciales, y las soluciones incluyen expresiones para la velocidad, posición, aceleración y otros parámetros en función del tiempo.
Este documento resume conceptos clave de la mecánica cuántica. Explica que la mecánica cuántica es indeterminista a diferencia de la mecánica clásica que es determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. También introduce los principios de incertidumbre de Heisenberg y explica que la función de onda describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herramienta fundamental
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
Este documento describe ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables. Explica que estas ecuaciones pueden convertirse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de separación de variables. También cubre conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, principio de superposición, y ejemplos como la ecuación del calor unidimensional y la ecuación de onda unidimensional, incluyendo problemas de valores en la frontera.
1) El documento presenta cuatro ejercicios sobre conceptos fundamentales de elasticidad como tensión, deformación, ley de Hooke y criterios de resistencia. 2) Los ejercicios incluyen calcular componentes de tensión, determinar deformaciones a partir de desplazamientos, aplicar la ley de Hooke y encontrar valores críticos según criterios de resistencia. 3) Los cálculos involucran conceptos como tensor de tensiones, circunferencia de Mohr, direcciones principales y parámetros elásticos.
El documento trata sobre el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio ocurre cuando una masa oscila de un lado a otro de su punto de equilibrio debido a una fuerza recuperadora, como la de un resorte. Define el movimiento armónico simple y presenta ecuaciones que describen la elongación, velocidad y aceleración de un cuerpo que oscila de esta manera. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, energía potencial y energía cinética en el contexto del movimiento armónico simple.
1. El documento describe diferentes tipos de ecuaciones de ondas lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones de ondas, la ecuación de Korteweg-de Vries, y sus soluciones como solitones. 2. La ecuación de Korteweg-de Vries admite soluciones en forma de solitones, que son ondas que mantienen su forma al propagarse. 3. También se describen métodos para obtener otras soluciones como soluciones elípticas y a través de reducciones de similitud que conducen a las ecuaciones de Pain
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajación. Explica cómo generar las matrices asociadas a problemas como la ecuación del calor y cómo implementar los métodos iterativos utilizando MATLAB. Además, discute las condiciones necesarias para la convergencia de cada método.
Este documento presenta un problema de mecánica sobre un marco articulado con barras y un aro que rueda sobre una de las barras. Se piden las ecuaciones del movimiento, la linealización de las ecuaciones para pequeñas oscilaciones, y el cálculo de las frecuencias propias para un caso particular. Se resuelve el problema obteniendo las ecuaciones del movimiento, la condición para que el equilibrio sea estable, y las frecuencias propias del sistema.
Este documento presenta las notas de un curso de electromagnetismo impartido en la Universidad Complutense de Madrid. Incluye una bibliografía de libros de texto sobre electromagnetismo y agradece la colaboración de un estudiante en la preparación de figuras. El índice general anticipa que las notas cubren temas como las ecuaciones de Maxwell, problemas de contorno en campos electrostáticos y magnetostáticos, energía y fuerzas en dichos campos, y una introducción a las ondas electromagnéticas.
Este documento presenta los apuntes de la asignatura Ecuaciones Diferenciales I. Contiene cuatro capítulos principales: 1) Ecuaciones de primer orden, 2) Sistemas y ecuaciones lineales, 3) Soluciones por medio de series, y 4) Mapas de fases. Cada capítulo cubre diferentes temas relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de resolución, existencia y unicidad de soluciones, estabilidad, transformada de Laplace, y análisis cualitativo de sistemas. El
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. En los primeros apartados se pide integrar ecuaciones diferenciales, hallar factores integrantes, calcular soluciones generales y soluciones que satisfagan condiciones iniciales. Los apartados siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones diferenciales, resolviendo problemas de valores iniciales y hallando soluciones generales y particulares. Los últimos apartados se centran en el estudio de puntos singulares, desarrollos en serie de soluciones y clasificación de soluc
Este documento presenta 7 problemas de física cuántica relacionados con el capítulo 1 sobre los orígenes de la física cuántica. Los problemas cubren temas como la radiación de cuerpo negro, el efecto Compton, la producción de electrones por luz incidente en una superficie de cesio, y las relaciones de incertidumbre en mecánica cuántica.
1) El documento trata sobre la dinámica del sólido rígido y contiene conceptos como la matriz de paso, velocidad angular, teorema de Coriolis, momento lineal y angular, movimiento plano y general de un sólido rígido, y energía cinética.
2) Se define un sólido rígido como un sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cambian en el tiempo, y tiene un máximo de 6 grados de libertad.
3) La velocidad de un punto en un sólido ríg
Este documento trata sobre la cinemática de fluidos. Explica las diferencias entre sólidos, líquidos y gases, y define conceptos como partícula fluida, líneas en un fluido, viscosidad y ley de Newton. También describe la presión en un fluido estático, la ley de Pascal, y la aproximación del continuo para modelar la dinámica de fluidos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds, la ecuación de continuidad, la ecuación de Cauchy, la constitución de un fluido newtoniano y la ecuación de Navier-Stokes.
Tema5 Características Generales de las Ondasrafarrc
1) El documento describe las características de las ondas en una cuerda elástica con masas separadas y en una cuerda vibrante continua. 2) Se determinan los modos normales de vibración y las frecuencias propias para ambos casos. 3) También se analizan conceptos como la reflexión y transmisión de ondas al encontrarse con una discontinuidad en la cuerda.
1) El documento discute las ondas en sólidos elásticos y fluidos, incluyendo ondas longitudinales en sólidos y gases, y ondas superficiales en agua. 2) Describe cómo las ondas se propagan a través de diferentes materiales a velocidades que dependen de propiedades como el módulo de Young y la compresibilidad. 3) También cubre conceptos como la relación de dispersión, el frente de onda, y las características de ondas planas, esféricas y de superficie.
1) El documento presenta una serie de 20 problemas de mecánica y ondas. 2) Los problemas tratan temas como momentos de inercia, energía cinética, oscilaciones, sistemas de referencia, entre otros. 3) Los problemas van desde cálculos simples hasta sistemas más complejos y piden determinar grandezas físicas, ecuaciones de movimiento y condiciones de equilibrio.
El documento introduce los conceptos de energía, trabajo y fuerzas conservativas y no conservativas. Explica que la energía mecánica de un cuerpo es la suma de su energía cinética y potencial, y que se conserva cuando actúan fuerzas conservativas. También define el trabajo realizado como la fuerza aplicada en la dirección del movimiento, y que cuando hay fuerzas no conservativas como rozamiento, la energía mecánica no se mantiene constante.
El documento describe investigaciones realizadas en el proyecto TRACER de la Universidad Carlos III de Madrid sobre diferentes problemas resueltos mediante algoritmos evolutivos. Se detallan cuatro métodos para distribuir cargas en una esfera, predicciones de mareas mediante algoritmos genéticos, y la búsqueda de funciones hash robustas a cambios de bits mediante programación genética.
El documento describe investigaciones realizadas en el proyecto TRACER de la Universidad Carlos III de Madrid sobre diferentes problemas resueltos mediante algoritmos evolutivos. Se detallan cuatro métodos para distribuir cargas en una esfera, predicciones de mareas mediante algoritmos genéticos, y la búsqueda de funciones hash robustas a cambios de bits mediante programación genética.
2. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 2/232/23
Ejemplo introductorio
Tres muelles de longitud natural l y
dos masas m que se mueven sobre una
recta horizontal. La separación entre
las paredes es 3l. El sistema tiene dos
grados de libertad
T =
1
2
m ˙x 2
1 + ˙x 2
2
V =
1
2
k x1 − l
2
+
1
2
k x2 − x1 − l
2
+
1
2
k 3l − x2 − l)2
∂V
∂xi eq
= 0 =⇒ x01 = l y x02 = 2l
3. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 3/233/23
Definimos las posiciones respecto al equilibrio xi ≡ xi − x0i.
L = T − V =
1
2
m ˙x2
1 + ˙x2
2 − k x2
1 − x1x2 + x2
2 =⇒
m¨x1 + 2kx1 − kx2 = 0
m¨x2 + 2kx2 − kx1 = 0
Introducimos la siguiente notación matricial
K = k
2 −1
−1 2
M = m
1 0
0 1
q =
x1
x2
L =
1
2
˙q t
M ˙q +
1
2
q t
Kq
M ¨q + Kq = 0 −→ q = CA cos(ωt + δ)
4. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 4/234/23
K − ω2
M · A = 0 det |K − ω2
M| = 0 =⇒
ω2
1 = k/m
ω2
2 = 3k/m
donde ωi son las frecuencias normales.
Solución general cuando imponemos la condición At
iMAj = δij :
q =
2
i=1
CiAi cos(ωit + δi) A1 =
1
√
2m
1
1
A2 =
1
√
2m
1
−1
Sea A la matriz cuyas filas son las componentes de los vectores Ai, es decir,
Aij es la componente j del vector Ai
A =
1
√
2m
1 1
1 −1
5. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 5/235/23
Coordenadas normales : Qi ≡ Ci cos(ωit + δi) =⇒ ¨Qi + ω2
i Qi = 0
x1 = 1√
2m
(Q1 + Q2)
x2 = 1√
2m
(Q1 − Q2)
=⇒
Q1 = m
2 (x1 + x2)
Q2 = m
2 (x1 − x2)
=⇒ Q = AMq
Lagrangiano en coordenadas normales :
L =
1
2
˙Q2
1 + ˙Q2
2 −
1
2
k
m
Q2
1 + 3Q2
2
L =
1
2
˙
Q t
I
˙
Q −
1
2
Q t
ω2
Q I ≡
1 0
0 1
ω2
≡
ω2
1 0
0 ω2
2
Las matrices ahora son diagonales y las coordenadas son independientes.
6. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 6/236/23
Tratamiento general
Energía potencial
Sistema natural con n grados de libertad (q1, . . . , qn) y al menos una con-
figuración de equilibrio estable q01, . . . , q0n:
∂V
∂qk eq
= 0
Desarrollamos el potencial en torno a q0 con V (q0) ≡ 0
V (q ) =
n
k=1
∂V
∂qk eq
(qk − q0k) +
1
2
n
k=1
n
l=1
∂2
V
∂qk∂ql eq
(qk − q0k)(ql − q0l)
7. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 7/237/23
El primer es nulo por la condición de equilibrio. Haciendo el cambio qk ≡
qk − q0k y definiendo la matriz
Kkl ≡
∂2
V
∂qk∂ql eq
=⇒ V (q) =
1
2
n
k=1
n
l=1
Kklqkql
La matriz K es simétrica y definida positiva (Kll > 0 y todos los determi-
nantes hasta orden n × n son también positivos).
8. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 8/238/23
Energía cinética
Como el sistema es natural
T =
1
2
n
k=1
n
l=1
Mkl(q ) ˙qk ˙ql
donde ˙ql = ˙ql.
Mkl(q ) Mkl(q0) =
∂2
T
∂ ˙qk∂ ˙ql eq
≡ Mkl
No es necesario tener en cuenta términos de orden superior en el desarrollo
de Mkl(q ). Dichos términos dan lugar a contribuciones de tercer orden
o superior cuando se introducen en la expresión de T, puesto que deben
multiplicarse por términos de segundo orden de la forma ˙qk ˙ql.
9. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 9/239/23
Lagrangiano y ecuaciones del movimiento
L =
1
2
n
k=1
n
l=1
(Mkl ˙qk ˙ql − Kklqkql) =⇒ M ¨q + Kq = 0
Introduciendo la solución qk = CkAk cos(ωkt + δk) tenemos
K − ω2
kM · Ak = 0 =⇒ det |K − ω2
kM| = 0
Frecuencias normales : M−1
KAk = ω2
kAk k = 1, 2, . . . n
Algo de álgebra elemental
M = ˜OD(µ1, . . . , µn) ˜Ot
M1/2
= ˜OD(
√
µ1, . . . ,
√
µn) ˜Ot
M−1/2
= ˜OD(1/
√
µ1, . . . , 1/
√
µn) ˜Ot
M1/2
y M−1/2
son simétricas.
10. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 10/2310/23
La matriz
M−1/2
KM−1/2
es simétrica y definida positiva.
M−1/2
KM−1/2
Bk = ω2
kBk Bk ≡ M1/2
Ak
ω2
k > 0 y los vectores Bk son ortogonales dos a dos.
Bt
k · Bj = δkj =⇒ At
k · M · Aj = δkj
de donde resulta que
δkj =
n
r=1
n
s=1
AkrMrsAjs =
n
r=1
n
s=1
AkrMrsAt
sj =⇒ AMAt
= I
11. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 11/2311/23
Modos y coordenadas normales
La solución general es
q =
n
k=1
Ck Ak cos(ωkt + δk)
Modo normal
=⇒ qi(t) =
n
k=1
CkAki cos(ωkt + δk)
Coordenadas normales : Qk(t) = Ck cos(ωkt + δk) , Ck, δk constantes.
qi(t) =
n
k=1
QkAki =⇒ q = At
Q =⇒ Q = AMq
Evidentemente verifican ¨Qk + ω2
kQk = 0 , k = 1, 2, . . . n
Cuando existe una frecuencia normal nula se dice que se trata de un modo
de traslación, y entonces Qk = αt + β.
12. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 12/2312/23
Energía cerca del equilibrio
Como q = At
Q tendremos
E =
1
2
˙q t
M ˙q +
1
2
q t
Kq =
1
2
˙
Q t
AMAt
˜1
˙
Q +
1
2
Q t
AKAt
ω2
Q
Tenemos que encontrar la matriz ω2
. Definimos S ≡ At
−1
,
ω2
= AMAt
SM−1
KAt
De la ecuación de autovalores M−1
KAk = ω2
kAk, de donde
n
s=1
M−1
K
rs
Aks = ω2
kAkr
13. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 13/2313/23
Multiplicando por Srj y sumando para todos los valores de r
n
r=1
n
s=1
Sjr M−1
K
rs
S−1
sk
= ω2
k
n
r=1
Sjr S−1
rk
δjk
Por tanto,
ω2
= D(ω2
1, . . . ω2
n)
de manera que la energía se escribe como
E =
1
2
˙
Q t ˙
Q +
1
2
Q t
ω2
Q =
1
2
n
k=1
˙Q2
k + ω2
kQ2
k
n osciladores armónicos independientes.
21. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 21/2321/23
La solución del sistema homogéneo (r = 0) es
xo
1
xo
2
= C1
1
−1
cos(
√
3αt + δ1) + C2
1
1
cos(αt + δ2)
Entrada escalón
r(t) = Rθ(t) θ(t) =
0 t ≤ 0
1 t > 0
Una solución particular es xp
1 = R/3 y xp
2 = 2R/3. Utilizando las condicio-
nes iniciales x1(0) = x2(0) = 0 y ˙x1(0) = ˙x2(0) = 0 resulta que la solución
para t > 0 es
x1(t) =
R
3
+
R
6
cos(
√
3αt) −
R
2
cos(αt)
x2(t) =
2R
3
−
R
6
cos(
√
3αt) −
R
2
cos(αt)
23. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 23/2323/23
Si ocurre que el acoplamiento entre las masas es débil (k k) tendremos
que ω+ k/m y ω− (k /2k)ω+ ω+.
La energía se transfiere de una
partícula a otra en un tiempo
igual a T/4 = π/2ω−.
Descargue una animación en formato GIF
y la hoja de trabajo de Maple empleada
para generarla