Este documento presenta una serie de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. En los primeros apartados se pide integrar ecuaciones diferenciales, hallar factores integrantes, calcular soluciones generales y soluciones que satisfagan condiciones iniciales. Los apartados siguientes tratan sobre sistemas de ecuaciones diferenciales, resolviendo problemas de valores iniciales y hallando soluciones generales y particulares. Los últimos apartados se centran en el estudio de puntos singulares, desarrollos en serie de soluciones y clasificación de soluc
I. Este documento presenta 19 problemas relacionados con ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo determinar conjuntos de soluciones, resolver ecuaciones, y calcular valores relacionados con las raíces de ecuaciones cuadráticas.
II. Los problemas requieren aplicar conceptos como conjuntos de soluciones, sumas y productos de raíces, ecuaciones cuadráticas recíprocas, puntos de tangencia, entre otros.
III. La resolución de los problemas permite practicar diversas habilidades algebraicas necesarias para comprender plenamente las
Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de variables separables y analiza cualitativamente las soluciones alrededor de las singularidades. Se definen las singularidades y se estudian las soluciones de formas diferenciales de variables separables, encontrando que dividen el dominio en subrectángulos. Las soluciones toman la forma de curvas de nivel. Se analizan ejemplos específicos y se clasifican los tipos de singularidades según el parámetro en la ecuación.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento contiene varios ejercicios sobre parábolas. Calcula vértices, ejes de simetría, puntos de intersección y pertenencia a parábolas. También representa gráficamente algunas parábolas.
Este capítulo presenta ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales de primer orden. Los ejercicios cubren temas como determinar si una ecuación diferencial es separable, resolver ecuaciones diferenciales separables y no separables, y resolver problemas con valores iniciales. También se discuten conceptos como soluciones únicas, dominios de soluciones y aplicaciones a temas como la radioactividad y el enfriamiento/calentamiento.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Este documento trata sobre la ecuación cuadrática y la función cuadrática. Explica que una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2, y normalmente se expresa como ax2 + bx + c = 0. También describe cómo clasificar ecuaciones cuadráticas, derivar la fórmula general para resolverlas y analizar funciones cuadráticas, incluyendo cortes con los ejes x e y y extremos relativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
I. Este documento presenta 19 problemas relacionados con ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo determinar conjuntos de soluciones, resolver ecuaciones, y calcular valores relacionados con las raíces de ecuaciones cuadráticas.
II. Los problemas requieren aplicar conceptos como conjuntos de soluciones, sumas y productos de raíces, ecuaciones cuadráticas recíprocas, puntos de tangencia, entre otros.
III. La resolución de los problemas permite practicar diversas habilidades algebraicas necesarias para comprender plenamente las
Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de variables separables y analiza cualitativamente las soluciones alrededor de las singularidades. Se definen las singularidades y se estudian las soluciones de formas diferenciales de variables separables, encontrando que dividen el dominio en subrectángulos. Las soluciones toman la forma de curvas de nivel. Se analizan ejemplos específicos y se clasifican los tipos de singularidades según el parámetro en la ecuación.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento contiene varios ejercicios sobre parábolas. Calcula vértices, ejes de simetría, puntos de intersección y pertenencia a parábolas. También representa gráficamente algunas parábolas.
Este capítulo presenta ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales de primer orden. Los ejercicios cubren temas como determinar si una ecuación diferencial es separable, resolver ecuaciones diferenciales separables y no separables, y resolver problemas con valores iniciales. También se discuten conceptos como soluciones únicas, dominios de soluciones y aplicaciones a temas como la radioactividad y el enfriamiento/calentamiento.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Este documento trata sobre la ecuación cuadrática y la función cuadrática. Explica que una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2, y normalmente se expresa como ax2 + bx + c = 0. También describe cómo clasificar ecuaciones cuadráticas, derivar la fórmula general para resolverlas y analizar funciones cuadráticas, incluyendo cortes con los ejes x e y y extremos relativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y describe sus componentes y métodos de resolución. Las ecuaciones de segundo grado se componen de tres términos - cuadrático, lineal y constante - y existen tres clases: completas, puras y mixtas. Se resuelven encontrando las raíces mediante factorización, la fórmula cuadrática, o resolviendo ecuaciones incompletas. El vértice y los puntos de corte con los ejes x e y proporcionan información para graficar la parábola.
Resolución de sistema de ecuaciones cuadráticasTamara Vargas
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas de dos tipos: 1) uno formado por una ecuación lineal y una cuadrática, y 2) uno formado por dos ecuaciones cuadráticas. Para el primer tipo, la solución depende de si las ecuaciones se intersectan en un punto, dos puntos o no se intersectan. Para el segundo tipo, la solución también depende de la intersección y puede haber infinitas soluciones si las ecuaciones son iguales. El documento provee ejemplos resueltos de ambos tipos
1) La ecuación de la recta L1 paralela a L2 y ubicada a la derecha de esta, con distancia de 10 unidades al origen, es 3x + y - 10 = 0.
2) La ecuación de la parábola cóncava hacia arriba, con foco en el centro de la elipse dado y lado recto uniendo los focos de la elipse, es y - 1 = (x - 1)2/6.
3) Se califican varias proposiciones sobre ecuaciones y funciones como verdaderas o falsas, justific
Coeficientes indeterminados enfoque de superposiciónTensor
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo encontrar una solución particular al igual que la solución general, la cual es la suma de la solución complementaria y la solución particular. También incluye ejemplos ilustrativos y dos problemas resueltos paso a paso usando este método.
Este documento describe ecuaciones de segundo grado con una incógnita, incluyendo definiciones, clasificaciones, métodos de solución y conclusiones. Explica que una ecuación de segundo grado es aquella donde el mayor exponente de la incógnita es 2, y puede clasificarse como completa o incompleta. Para resolverla, se encuentran los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación, conocidos como raíces.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento explica las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su definición, partes, historia, ejemplos y clasificación. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2. Se pueden clasificar como completas, incompletas puras o incompletas mixtas dependiendo de los coeficientes. Se proporcionan ejemplos y una práctica de clasificación.
Tema ii ecuciones diferenciales de segundo orden matematica iv utsJulio Barreto Garcia
Este documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el siglo XVII, Newton y Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a clasificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. En el siglo XVIII, la familia Bernoulli formuló y resolvió ecuaciones que modelaban problemas mecánicos. Más adelante, matemáticos como Euler, Lagrange y Laplace hicieron importantes contribuciones y generalizaron el tratamiento de ecuaciones diferenciales ordinarias y par
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado. Define qué son las ecuaciones de segundo grado, cómo pueden expresarse y los tres métodos para resolverlas: factorización, completación de cuadrados y la fórmula general. También distingue entre ecuaciones de segundo grado completas e incompletas y explica cómo determinar el número de soluciones a partir del discriminante.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Curso intersemestral. Métodos de integración y aplicaciones. PGYCPablo García y Colomé
El documento presenta diferentes métodos y aplicaciones de la integral definida. Explica el teorema fundamental del cálculo y muestra ejemplos de cálculo de áreas bajo curvas, determinación de la ordenada media y resolución de integrales mediante sustitución, fracciones parciales y tablas de integración.
Este documento define una ecuación diferencial de primer orden y explica cómo resolver problemas de valor inicial asociados con estas ecuaciones. Explica que una solución a un problema de valor inicial es única siempre que las funciones involucradas sean continuas en la región rectangular que contiene el punto de valor inicial. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales de primer orden.
1) Una ecuación es una igualdad que involucra cantidades desconocidas llamadas incógnitas.
2) Existen ecuaciones algebraicas, trascendentes, lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales.
3) Los métodos para resolver ecuaciones incluyen factorización, completar cuadrados y la fórmula cuadrática.
1) El documento trata sobre la dinámica del sólido rígido y contiene conceptos como la matriz de paso, velocidad angular, teorema de Coriolis, momento lineal y angular, movimiento plano y general de un sólido rígido, y energía cinética.
2) Se define un sólido rígido como un sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cambian en el tiempo, y tiene un máximo de 6 grados de libertad.
3) La velocidad de un punto en un sólido ríg
Este documento presenta 7 problemas de física cuántica relacionados con el capítulo 1 sobre los orígenes de la física cuántica. Los problemas cubren temas como la radiación de cuerpo negro, el efecto Compton, la producción de electrones por luz incidente en una superficie de cesio, y las relaciones de incertidumbre en mecánica cuántica.
Este documento presenta conceptos clave de la ingeniería química como fluidos, flujo laminar y turbulento, densidad de flujo de materia, velocidad de flujo, transferencia de calor, masa y momento. Explica que los fluidos son sustancias que fluyen y cambian de forma, y que el flujo puede ser laminar u turbulento. También define conceptos como fracción, conducción y diferentes mecanismos de transferencia de propiedades entre sistemas.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y describe sus componentes y métodos de resolución. Las ecuaciones de segundo grado se componen de tres términos - cuadrático, lineal y constante - y existen tres clases: completas, puras y mixtas. Se resuelven encontrando las raíces mediante factorización, la fórmula cuadrática, o resolviendo ecuaciones incompletas. El vértice y los puntos de corte con los ejes x e y proporcionan información para graficar la parábola.
Resolución de sistema de ecuaciones cuadráticasTamara Vargas
El documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas de dos tipos: 1) uno formado por una ecuación lineal y una cuadrática, y 2) uno formado por dos ecuaciones cuadráticas. Para el primer tipo, la solución depende de si las ecuaciones se intersectan en un punto, dos puntos o no se intersectan. Para el segundo tipo, la solución también depende de la intersección y puede haber infinitas soluciones si las ecuaciones son iguales. El documento provee ejemplos resueltos de ambos tipos
1) La ecuación de la recta L1 paralela a L2 y ubicada a la derecha de esta, con distancia de 10 unidades al origen, es 3x + y - 10 = 0.
2) La ecuación de la parábola cóncava hacia arriba, con foco en el centro de la elipse dado y lado recto uniendo los focos de la elipse, es y - 1 = (x - 1)2/6.
3) Se califican varias proposiciones sobre ecuaciones y funciones como verdaderas o falsas, justific
Coeficientes indeterminados enfoque de superposiciónTensor
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo encontrar una solución particular al igual que la solución general, la cual es la suma de la solución complementaria y la solución particular. También incluye ejemplos ilustrativos y dos problemas resueltos paso a paso usando este método.
Este documento describe ecuaciones de segundo grado con una incógnita, incluyendo definiciones, clasificaciones, métodos de solución y conclusiones. Explica que una ecuación de segundo grado es aquella donde el mayor exponente de la incógnita es 2, y puede clasificarse como completa o incompleta. Para resolverla, se encuentran los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación, conocidos como raíces.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento explica las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su definición, partes, historia, ejemplos y clasificación. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2. Se pueden clasificar como completas, incompletas puras o incompletas mixtas dependiendo de los coeficientes. Se proporcionan ejemplos y una práctica de clasificación.
Tema ii ecuciones diferenciales de segundo orden matematica iv utsJulio Barreto Garcia
Este documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el siglo XVII, Newton y Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a clasificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. En el siglo XVIII, la familia Bernoulli formuló y resolvió ecuaciones que modelaban problemas mecánicos. Más adelante, matemáticos como Euler, Lagrange y Laplace hicieron importantes contribuciones y generalizaron el tratamiento de ecuaciones diferenciales ordinarias y par
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado. Define qué son las ecuaciones de segundo grado, cómo pueden expresarse y los tres métodos para resolverlas: factorización, completación de cuadrados y la fórmula general. También distingue entre ecuaciones de segundo grado completas e incompletas y explica cómo determinar el número de soluciones a partir del discriminante.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Curso intersemestral. Métodos de integración y aplicaciones. PGYCPablo García y Colomé
El documento presenta diferentes métodos y aplicaciones de la integral definida. Explica el teorema fundamental del cálculo y muestra ejemplos de cálculo de áreas bajo curvas, determinación de la ordenada media y resolución de integrales mediante sustitución, fracciones parciales y tablas de integración.
Este documento define una ecuación diferencial de primer orden y explica cómo resolver problemas de valor inicial asociados con estas ecuaciones. Explica que una solución a un problema de valor inicial es única siempre que las funciones involucradas sean continuas en la región rectangular que contiene el punto de valor inicial. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales de primer orden.
1) Una ecuación es una igualdad que involucra cantidades desconocidas llamadas incógnitas.
2) Existen ecuaciones algebraicas, trascendentes, lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales.
3) Los métodos para resolver ecuaciones incluyen factorización, completar cuadrados y la fórmula cuadrática.
1) El documento trata sobre la dinámica del sólido rígido y contiene conceptos como la matriz de paso, velocidad angular, teorema de Coriolis, momento lineal y angular, movimiento plano y general de un sólido rígido, y energía cinética.
2) Se define un sólido rígido como un sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cambian en el tiempo, y tiene un máximo de 6 grados de libertad.
3) La velocidad de un punto en un sólido ríg
Este documento presenta 7 problemas de física cuántica relacionados con el capítulo 1 sobre los orígenes de la física cuántica. Los problemas cubren temas como la radiación de cuerpo negro, el efecto Compton, la producción de electrones por luz incidente en una superficie de cesio, y las relaciones de incertidumbre en mecánica cuántica.
Este documento presenta conceptos clave de la ingeniería química como fluidos, flujo laminar y turbulento, densidad de flujo de materia, velocidad de flujo, transferencia de calor, masa y momento. Explica que los fluidos son sustancias que fluyen y cambian de forma, y que el flujo puede ser laminar u turbulento. También define conceptos como fracción, conducción y diferentes mecanismos de transferencia de propiedades entre sistemas.
Este documento presenta los apuntes de la asignatura Ecuaciones Diferenciales I. Contiene cuatro capítulos principales: 1) Ecuaciones de primer orden, 2) Sistemas y ecuaciones lineales, 3) Soluciones por medio de series, y 4) Mapas de fases. Cada capítulo cubre diferentes temas relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de resolución, existencia y unicidad de soluciones, estabilidad, transformada de Laplace, y análisis cualitativo de sistemas. El
1) El documento presenta una serie de 20 problemas de mecánica y ondas. 2) Los problemas tratan temas como momentos de inercia, energía cinética, oscilaciones, sistemas de referencia, entre otros. 3) Los problemas van desde cálculos simples hasta sistemas más complejos y piden determinar grandezas físicas, ecuaciones de movimiento y condiciones de equilibrio.
Este documento presenta las notas de un curso de electromagnetismo impartido en la Universidad Complutense de Madrid. Incluye una bibliografía de libros de texto sobre electromagnetismo y agradece la colaboración de un estudiante en la preparación de figuras. El índice general anticipa que las notas cubren temas como las ecuaciones de Maxwell, problemas de contorno en campos electrostáticos y magnetostáticos, energía y fuerzas en dichos campos, y una introducción a las ondas electromagnéticas.
Este documento presenta conceptos fundamentales de dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds, la ecuación de continuidad, la ecuación de Cauchy, la constitución de un fluido newtoniano y la ecuación de Navier-Stokes.
1) La tensión inicial en la barra es de 500 kgf.
2) La presión final en el cilindro es de 2 kgf/cm2.
3) El peso específico del líquido es el doble que el del agua.
Dos cuerpos de masas 250g y 200g están unidos por un hilo que pasa por una polea. El documento explica cómo calcular la aceleración de los cuerpos (1.09 m/s2) y la tensión en el hilo (2.18 N) aplicando la segunda ley de Newton al sistema formado por los dos cuerpos y el hilo, y considerando las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo de manera individual.
Este documento explica el método de variación de parámetros para obtener soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas. El método propone que la solución particular tenga la misma forma que la solución general de la ecuación homogénea asociada, pero permitiendo variar los parámetros. Esto conduce a un sistema de ecuaciones que determina las funciones de variación de los parámetros y por lo tanto la solución particular. Se ilustra el método con tres ejemplos.
1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias involucran funciones de una variable y sus derivadas ordinarias, mientras que las ecuaciones en derivadas parciales involucran funciones de más de una variable y derivadas parciales.
2) Una ecuación diferencial de primer orden puede escribirse como dy/dx = f(x,y) y se dice que es de variables separables si puede escribirse como dy/y = g(x)dx.
3) La solución de una ecuación diferencial satisface la ecuación al sustituir la función
1) Se presentan 20 problemas relacionados con ecuaciones diferenciales, incluyendo determinar ecuaciones diferenciales a partir de condiciones dadas, clasificar ecuaciones, obtener soluciones generales y particulares, y verificar soluciones. Los problemas abarcan temas como modelado matemático, funciones, derivadas, integración y sustituciones en ecuaciones diferenciales.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
El documento describe cómo obtener las envolventes y trayectorias ortogonales de familias de curvas solución de EDOs. Para encontrar la envolvente, se deriva la solución general respecto a un parámetro y se sustituye en la ecuación. Para las trayectorias ortogonales, se iguala la pendiente de la solución general a su inversa y se resuelve la nueva EDO. Se proveen ejemplos ilustrativos de ambos métodos.
1) La desigualdad trata sobre la resolución de inecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c ≤ 0. 2) Explica que la solución depende de si el discriminante Δ = b2 - 4ac es positivo, negativo o cero, lo que determina si las raíces son reales o no. 3) Proporciona detalles sobre cómo obtener el conjunto solución en cada caso analizando el signo de a y el valor de las raíces.
1. El apéndice presenta ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y métodos para resolverlas. Incluye ejercicios de clasificación, demostración de soluciones, determinación de constantes, y resolución de problemas de valores iniciales.
2. Se explican conceptos como ecuaciones exactas, factores integrantes, y soluciones generales y particulares. También se analizan propiedades de las ecuaciones homogéneas.
3. El documento contiene 25 ejercicios para que el lector aplique los métodos trat
Guía n° 07 Resolución de problemas matemáticos IIKarlos Rivero
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre ecuaciones de segundo grado. Explica conceptos como la forma general de una ecuación de segundo grado, soluciones, discriminante, ecuaciones completas e incompletas. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo identificar coeficientes, determinar soluciones, y resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas utilizando la fórmula general o métodos de factorización. El documento también incluye una sección de autoevaluación para comprobar la comprensión del
El documento presenta varios ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. Inicia explicando que las soluciones a muchas de las integrales involucradas se encuentran en otra sección. Luego presenta una serie de problemas numerados para resolver mediante separación de variables, sujetos a condiciones iniciales en algunos casos.
Ecuaciones diferenciales edwards y penney ed.4 capítulo 3.1Juan Beltrán
Este documento presenta una serie de problemas relacionados con ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de segundo orden. Se proporcionan ecuaciones diferenciales homogéneas e inhomogéneas junto con funciones y condiciones iniciales, y se piden resolver los problemas encontrando soluciones particulares que satisfagan las condiciones. También se analizan conceptos como independencia lineal, soluciones generales, curvas solución y transformaciones que simplifican ecuaciones diferenciales. El documento contiene más de 50 problemas para practicar diferentes temas rel
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra resueltos, incluyendo inecuaciones, expresiones algebraicas y conjuntos solución. Se resuelven 10 ejercicios numéricos con respuestas de opción múltiple.
1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.
El documento explica las ecuaciones de segundo grado, incluyendo su forma, cómo resolverlas y el número posible de soluciones. Las ecuaciones de segundo grado toman la forma ax2 + bx + c = 0 y pueden tener dos soluciones reales distintas, una solución real doble, o ninguna solución real, dependiendo del valor del discriminante b2 - 4ac. El documento también proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes métodos de resolución.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver este tipo de ecuaciones como separación de variables, uso de campos de direcciones e isóclinas, y teoremas de existencia y unicidad. También presenta ejemplos resueltos de problemas de valor inicial y condiciones iniciales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que una ecuación trigonométrica involucra una variable angular afectada por una función trigonométrica, mientras que una inecuación incluye desigualdades con funciones trigonométricas. También resume métodos para resolver este tipo de ecuaciones y da ejemplos numéricos de problemas.
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)George Montenegro
La semana 1 cubre teoría de exponentes y ecuaciones de primer grado, con 15 ejercicios resueltos como ejemplos. Los ejercicios involucran operaciones con exponentes, simplificación de expresiones, resolución de ecuaciones y cálculo de valores numéricos.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con condición inicial se expresa de la forma dy/dx=f(x,y), y(x0)=y0. También describe las ecuaciones de variables separables, que pueden resolverse mediante integración directa. Finalmente, menciona algunos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial se expresa de una forma determinada. También describe el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales donde es posible separar las variables. Finalmente, menciona algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden convertir fácilmente en ecuaciones de variables separables.
Este documento trata sobre la cinemática de fluidos. Explica las diferencias entre sólidos, líquidos y gases, y define conceptos como partícula fluida, líneas en un fluido, viscosidad y ley de Newton. También describe la presión en un fluido estático, la ley de Pascal, y la aproximación del continuo para modelar la dinámica de fluidos.
Este documento presenta un resumen de oscilaciones pequeñas en sistemas mecánicos. Introduce conceptos como las matrices de masa y rigidez, las frecuencias normales y las coordenadas normales. Aplica estos conceptos al análisis de oscilaciones en sistemas de muelles y una molécula triatómica lineal, resolviendo las ecuaciones del movimiento y determinando los modos normales de vibración.
Tema5 Características Generales de las Ondasrafarrc
1) El documento describe las características de las ondas en una cuerda elástica con masas separadas y en una cuerda vibrante continua. 2) Se determinan los modos normales de vibración y las frecuencias propias para ambos casos. 3) También se analizan conceptos como la reflexión y transmisión de ondas al encontrarse con una discontinuidad en la cuerda.
1) El documento discute las ondas en sólidos elásticos y fluidos, incluyendo ondas longitudinales en sólidos y gases, y ondas superficiales en agua. 2) Describe cómo las ondas se propagan a través de diferentes materiales a velocidades que dependen de propiedades como el módulo de Young y la compresibilidad. 3) También cubre conceptos como la relación de dispersión, el frente de onda, y las características de ondas planas, esféricas y de superficie.
El documento introduce los conceptos de energía, trabajo y fuerzas conservativas y no conservativas. Explica que la energía mecánica de un cuerpo es la suma de su energía cinética y potencial, y que se conserva cuando actúan fuerzas conservativas. También define el trabajo realizado como la fuerza aplicada en la dirección del movimiento, y que cuando hay fuerzas no conservativas como rozamiento, la energía mecánica no se mantiene constante.
El documento describe investigaciones realizadas en el proyecto TRACER de la Universidad Carlos III de Madrid sobre diferentes problemas resueltos mediante algoritmos evolutivos. Se detallan cuatro métodos para distribuir cargas en una esfera, predicciones de mareas mediante algoritmos genéticos, y la búsqueda de funciones hash robustas a cambios de bits mediante programación genética.
El documento describe investigaciones realizadas en el proyecto TRACER de la Universidad Carlos III de Madrid sobre diferentes problemas resueltos mediante algoritmos evolutivos. Se detallan cuatro métodos para distribuir cargas en una esfera, predicciones de mareas mediante algoritmos genéticos, y la búsqueda de funciones hash robustas a cambios de bits mediante programación genética.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
200. Efemerides junio para trabajar en periodico mural
Edi probs09 10
1. Curso 2009–10 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupos A, B y D
Hoja 1.
1.1. Integrar las ecuaciones siguientes:
a/ .5x C 2y 3/y0 D 9 12x 5yI b/ y0 D ex yI c/ y0 D y C sen xI d/ y0 D cos x y y2 sen x
cos2 x
I
e/ y0 D 2xy y2
x2 I f/ y0 D xC2y
x I g/ y0 D y
xCy3 I h/ y0 D x C x
y I i/ y0 D 1 2
xCy I j/ .y0/2 D 9y4:
1.2. Hallar un factor integrante de la forma .x C y2/ para la ecuación 3y2 x C 2y.y2 3x/
dy
dx
D 0.
1.3. Calcular los polinomios de primer grado que son solución de la ecuación: y0 y2 Cx.x 2/ D 0. Escribir
la solución general de la ecuación en términos de una integral.
1.4. a) Comprobar que una ecuación de la forma y0 D xn 1f .y C axn/ se convierte en una de variables
separadas haciendo el cambio ´ D y C axn. b) Hallar la solución general de y0 D 2x.y C x2/2.
1.5. Integrar mediante cambios de variables: dy
dx
D f a1xCb1yCc1
a2xCb2yCc2
Á
. Resolver en particular dy
dx
D xC2yC2
2xCyC6 .
1.6. Estudiar existencia y unicidad, resolver si se puede y dibujar las curvas integrales:
a/ y0 D .x 4y/ 2
I b/ y0 D x 1
y I c/ y0 D y y2
x I d/ y0 D 3xyC2y2
x2Cxy
I e/ y0 D 1 y 2I
f/ y0 D x2 C y2I g/ y0 D x2 y2I h/ y0 D x jyjI i/ y0 D cos.x y/I j/ y0 D y .2C2 cos x/y2I
k/ y0 D x
y xyI l/ y0 D y2
x2 2I m/ y0 D
p
x
y I n/ y0 D 1 C y2=3I ñ) y0 D y2 ay3I o/ y0 D 2xy
ay2 x2 :
1.7. Integrar la ecuación diferencial y0 D y yC2x 1
xCy
. ¿Cuántas soluciones verifican y.0/ D 0?
1.8. Dibujar aproximadamente las soluciones de y0 D
p
y=x y determinar cuántas de ellas satisfacen cada uno
de los siguientes datos iniciales: i) y. 1/ D 1; ii) y.1/ D 0; iii) y.1/ D 1.
1.9. Sea xy0 D y C x sen x. Imponer un dato inicial para el que existan infinitas soluciones y otro para el que
haya solución única.
1.10. Sea y0 D 1C 2
y x . Hallar su solución general y la ó las soluciones (si existen) que satisfagan y.1/ D 1.
Dibujar aproximadamente sus curvas integrales.
1.11. Sea la familia de hipérbolas xy D C. Escribir la ecuación diferencial de la que son curvas integrales.
Hallar las trayectorias ortogonales a ellas (las curvas que las cortan perpendicularmente). Resolver el mismo
problema para las circunferencias x2 C y2 D 2Cx y las parábolas y2 C 2Cx D C2.
1.12. Sea y0 D .y x C 1/2. Hallar su solución general. Dibujar aproximadamente sus soluciones. Precisar
cuántas soluciones satisfacen: i) y.0/ D 0, ii) y.0/ D 2.
1.13. i) Resolver la ecuación xy0 D .1 x/y C x2. ii) Para todo .x0; y0/ 2 R2
, discutir cuántas soluciones
cumplen la condición inicial y.x0/ D y0. iii) Localizar los puntos del plano en los que y00 D 0.
1.14. Resolver la ecuación de Bernoulli y0 D 3
x .y y2=3/. Precisar cuántas soluciones de la ecuación satisfa-
cen: i) y. 1/ D 1; ii) y.0/ D 1; iii) y.1/ D 0.
1.15. Sea dy
dx
D y2C2xy
x2C2y2 . Probar que tiene un factor integrante que sólo depende de y. Hallar todas las solucio-
nes que sean rectas. Hallar la ó las soluciones (si existen) que satisfacen i) y.1/ D 0, ii) y.1/ D 1.
1.16. Sea y0 D jxj y. a) Precisar cuántas soluciones satisfacen y.0/ D 0. b) Dibujar aproximadamente sus
soluciones. c) Escribir la solución con y.0/ D 1 para todos los valores de x para los que esté definida.
2. Hoja 2.
2.1. Resolver los problemas de valores iniciales:
a/ Px D
2 1
1 2
Á
x; x.0/ D
1
0
Á
I b/ Px D
3 4
1 1
Á
x; x.0/ D
1
0
Á
I c/ Px D
0 1 2
0 0 1
4 0 5
!
x; x.0/ D
0
0
1
!
:
2.2. Hallar la solución general de los sistemas: a) x0
1 D x1 C x2 C x3; x0
2 D 2x1 C x2 x3; x0
3 D x2 C x3;
b) x0
1 D x2 C x3; x0
2 D x1 C x3; x0
3 D x1 C x2; c) x0
1 D x1; x0
2 D x1 C 2x2; x0
3 D x1 x3.
2.3. Hallar la solución de
8
<
:
x0 D x 4y C 2´
y0 D x 3y C ´
´0 D x 2y C 1
con x.0/ D 2 ; y.0/ D ´.0/ D 1, y precisar su estabilidad.
2.4. Escribir las soluciones de las ecuaciones diferenciales:
a/ Rx x D e2t ; b/ Rx C x D tet cos t; c/ Rx C x D tan t; d/ x000 C 2x00 C 5x0 D 5t; e/ x.4/C 4x D tet cos t;
f/ .t C 1/ Rx Px D .t C 1/2; g/ t2 Rx 2x D t3et ; h/ t2 Rx t.t C 2/ Px C .t C 2/x D 0 :
2.5. Hallar las soluciones de los problemas de valores iniciales siguientes:
a/
x000 C 5x00 C 8x0 C 4x D 8e 2t
x.0/ D 1; x0.0/ D 1; x00.0/ D 9
b/
x00 C x0 D f .t/
x.0/ D 1; x0.0/ D 0
; f .t/ D
t C 1 ; t Ä 1
3 t ; t 1
c/
t3x000 C t2x00 2tx0 C 2x D 2t4
x.1/ D x0.1/ D x00.1/ D 0
d/
tx00 .t C 1/x0 C x D t2et
x.1/ D x0.1/ D 0
e/
x00 C 2tx0 D 2t
x.1/ D x0.1/ D 1
2.6. Sea x000 C5x00 C4x0 Ccx D t. Hallar una solución particular para todo valor de la constante real c. Hallar
la solución general para c D 10. Discutir la estabilidad de la ecuación según los valores de c.
2.7. Hallar la solución de:
a/
8
<
:
x0 D x 2y t
y0 D 2x 3y t
x.0/ D y.0/ D 1
b/
8
<
:
x0 D 2x C y
y0 D 3x C 4te3t
x.0/ D y.0/ D 1
c/
8
<
:
x0 D x y
y0 D 2x y
x.0/ D 1; y.0/ D 2
d/
8
<
:
x0 D 2x y
y0 D x C j2 tj
x.0/ D 0; y.0/ D 1
2.8. Hallar K.t/ de forma que la solución de
Rx C 2 Px C 2x D f .t/
x.0/ D Px.0/ D 0
se escriba x.t/ D
R t
0 K.t s/f .s/ds.
2.9. Sea x000 C 2x00 C .1 C a/x0 C 4a2x D e t , con a 2 R. i) Para a D 0, hallar la solución que satisface
x.0/ D 0 ; x0.0/ D 0 ; x00.0/ D 1. ii) Hallar una solución particular de la ecuación para todos los valores de
a. iii) Precisar para qué valores de a la ecuación es asintóticamente estable.
2.10. Considérese la ecuación u000 C a u00 C 3u0 C 9u D e3x, con a 2 R. i) Hallar su solución general para
a D 5 y para a D 3. ii) Determinar su estabilidad en función del parámetro a.
2.11. Sea y0 D Ay C f .t/ con A D
0
B
@
0 0 1 0
c 0 0 1
1 2c 0 0
0 1 2c 2c
1
C
A, c 2 R, f .t/ D
0
B
@
t2
0
0
0
1
C
A, y sea b D
0
B
@
1
0
2
0
1
C
A :
i) Si c D 0, hallar la matriz fundamental ˚.t/ del sistema homogéneo con ˚.0/ D 1 y la solución del no
homogéneo con y.0/ D b. ii) Hallar los valores de c para los que el sistema es asintóticamente estable.
2.12. Sea
8
<
:
x0 D 4y C ´
y0 D ´ 4
´0 D a´ 2x
i) Para a D 5 hallar la solución con x.0/ D 2; y.0/ D 3; ´.0/ D 0.
[Ayuda: el sistema tiene una solución constante.]
ii) Discutir la estabilidad del sistema según los valores de la constante a.
3. Hoja 3.
3.1. Clasificar los puntos singulares de las ecuaciones:
a/ x2
y00
C
1 C x
1 x
y0
C y sen x D 0; b/ xy00
C y0
C y ln jxj D 0; c/ .sen x/y00
C xy0
C 4y D 0 :
3.2. Sea 4t2x00 3x D t2. a) Calcular el desarrollo hasta orden 4 en torno a t D 1 de la solución de la
homogénea que cumple x.1/ D 0; x0.1/ D 1. b) Hallar la solución general de la ecuación no homogénea.
3.3. ¿Cuántas soluciones linealmente independientes tiene .x 1/x2y00 C y D 0 en el intervalo 0 < x < 1?
¿Cuántas son de la forma xr
P
n 0
cnxn? ¿Y de la forma .x 1/r
P
n 0
cn.x 1/n?
3.4. Resolver x2y00 C xy0 C x2 1
4 y D 0 mediante una sustitución de la forma y.x/ D x u.x/.
3.5. Sea 2x2.1 C x2/y00 x.3 C 7x2/y0 C 2.1 C 2x2/y D 0 . a) Hallar una solución que no sea analítica en
x D 0 . b) Calcular la solución general de la ecuación en términos de funciones elementales.
3.6. Calcular una solución analítica en x D 0 de la ecuación x.1 x/y00 C Œ .1 C ˛ C ˇ/xy0 ˛ˇy D 0.
3.7. Estudiar las soluciones en el punto x D 0 de la ecuación .1 x2/y00 xy0 C p2y D 0, y calcular para
qué valores de p las soluciones son polinomios.
3.8. a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de una solución no trivial de xu00 u0 C 4x3u D 0 que se
anule en x D 0 y expresarla en términos de funciones elementales. b) Hallar la solución general de la ecuación.
Hacer un cambio de variable independiente de la forma s D xn y comprobar el resultado.
3.9. La ecuación diferencial u00 C 2u0
x .e x 1/2
u D 0 aparece en el estudio de las vibraciones de una
molécula diatómica. i) Hallar hasta x4 el desarrollo en serie de una de sus soluciones. ii) ¿Están todas las
soluciones acotadas en x D 0?
3.10. Sea x2y00 Cxy0 C.x 1
4 /y D 0. a) Hallar el desarrollo de una solución acotada en x D 0. b) Determinar
si hay soluciones linealmente independientes de la anterior de la forma y D xr
1P
kD0
ckxk.
3.11. Sea .x C 1/2y00 C .x2 1/y0 C 2y D 0. Calcular una solución analítica en x D 1 y estudiar si existe
alguna solución linealmente independiente de la anterior que sea analítica en x D 1.
3.12. Dada .x2 1/y00 C xy0 4y D 0, calcular una solución analítica en x D 1. ¿Es analítica en x D 1?
¿Cuántas soluciones analíticas linealmente independientes hay en el intervalo . 1; 1/?
3.13. Sea x2y00 C x2y0 C .x 2/y D 0. Comprobar que y D 1
x es solución. Hallar los tres primeros términos
no nulos del desarrollo en serie de una solución que se anule en x D 0.
3.14. Hallar el desarrollo en torno a x D 0 de la solución de .1 x/.1 2x/y00 C 2xy0 2y D 0 con
y.0/ D y0.0/ D 1. Hallar las raíces del polinomio indicial para cada punto singular regular. Estudiar cuántas
soluciones de la ecuación satisfacen y.1/ D 0, y0.1/ D 1.
3.15. Sea 2
p
xy00 y0 D 0. Precisar si x D 0 es punto singular regular de la ecuación. Calcular, hasta tercer
orden, el desarrollo en serie en torno a x D 1 de la solución que cumple y.1/ D y0.1/ D 1.
3.16. Sea x.x 1/y00 C 2.2x 1/y0 C 2y D 0. Probar que existe una solución analítica en torno a x D 0 y
calcularla. Estudiar si todas las soluciones de la ecuación tienden a 0 cuando x ! 1.
3.17. Hallar una solución no nula de la ecuación 2x2 y00 C x.x C 1/y0 .2x C 1/y D 0 que sea analítica en
x D 0. ¿Están acotadas todas las soluciones de dicha ecuación en un entorno del origen?
3.18. Sea xy00 C .1 x2/y0 C pxy D 0. Precisar, resolviendo por series en torno a x D 0, todos los valores
de la constante p para los que hay soluciones polinómicas y escribir uno de estos polinomios para p D 4.
4. Hoja 4.
4.1. Representar en el plano de fases las órbitas de los siguientes sistemas lineales:
a/ Px D x C y; Py D x y I b/ Px D x C y; Py D y x I c/ Px D y; Py D x C 1 :
4.2. Dibujar el mapa de fases de los sistemas:
a/ Px D y.x C 1/; Py D x.1 C y3/I b/ Px D 4x 2y; Py D 2x xyI c/ Px D yex; Py D ex 1I
d/ Px D 1 x C 3y; Py D x C y 1I e/ Px D y 2xy; Py D y2 2xI f/ Px D x2 2xy; Py D y2 2xy
4.3. Dibujar el mapa de fases de las ecuaciones: a/ Rx D 4 Px 4x I b/ Rx D x x3 I c/ Rx D .1 x2/ Px x :
4.4. Estudiar, usando coordenadas polares, los sistemas:
a/ Px D y C x.1 x2
y2
/; Py D x C y.1 x2
y2
/ I b/ Px D y C x
q
x2Cy2; Py D x C y
q
x2Cy2 :
4.5. Clasificar los puntos críticos de los sistemas: a/ Px D x3 y; Py D x C y3 I b/ Px D x2 y; Py D xey.
4.6. Sea el sistema Px D x x2y; Py D y x3. Hallar sus órbitas, localizar todas las órbitas que sean rectas y
dibujar el mapa de fases.
4.7. Sean los sistemas: a) Px D sen y, Py D sen x; b) Px D 2xy, Py D 1 x2 Cy2; c) Px D x C2xy, Py D y2 1.
Dibujar su mapa de fases y estudiar qué soluciones están definidas para todo t 2 R.
4.8. Sea (S) x0 D 4x C2y, y0 D x C5y. Dibujar el mapa de fases de (S). Hallar la solución de (S) que satisface
x.0/ D 2; y.0/ D 1. Hallar la expresión de las órbitas de (S).
4.9. Sea el sistema Px D 1 C y x2, Py D 2xy. Clasificar sus puntos críticos, resolver la ecuación diferencial
de las órbitas y dibujar aproximadamente su mapa de fases.
4.10. Sea x00 D .x0/2 x. Hallar sus órbitas, dibujar el mapa de fases y hallar la solución de la ecuación que
cumple x.2/ D 1=2, x0.2/ D 1.
4.11. Clasificar, según los valores de a, los puntos críticos de x00 D sen.axCx0/, a > 0. Dibujar el mapa de
fases para a D 2.
4.12. Una partícula se mueve por el eje x según Rx D x.x2 C 9/ 2. Dibujar e interpretar el mapa de fases. Si
la partícula pasa por el origen con velocidad v D 1=3, ¿qué velocidad tiene cuando pasa por x D 4? ¿Cuánto
tiempo tarda en llegar a x D 4?
4.13. Sea x00 D .ax x0/.2 C x0/. a) Clasificar sus puntos críticos elementales según los valores de a. b) Para
a D 3=2, dibujar el mapa de fases y hallar la solución x.t/ con x.1/ D 0; x0.1/ D 2.
4.14. Clasificar, en función de los valores de k 0, los puntos críticos de Rx D 1 x2 k Px. Dibujar el mapa
de fases para k D 0, k D 1 y k D 3 y dar una interpretación física de las órbitas.
4.15. Dibujar el mapa de fases de Rx D x.1 x Px/. Si x0.t/ es la solución que cumple x0.1/ D 2, Px0.1/ D 0,
hallar el lim
t!1
x0.t/.
4.16. Sea Px D x , Py D 2y y2 C x4. Hallar la expresión de sus órbitas y dibujar su mapa de fases. [Ayuda:
y D ˙x2 son soluciones de la ecuación de las órbitas].
5. Soluciones hoja 1.
1.1. a/ y2 C 6x2 C 5xy 3y 9x D C; b/ y D log.C C ex/; c/ y D Cex 1
2 .sen x C cos x/;
d/ y D cos x C 2 cos2 x
Cex cos x sen x ; e/ y D x2
CCx ; f/ y D Cx2 x; g/ x Cy 1
2 y3 D 0;
h/ y 1
2 x2 log j1 C yj D C; i/ y x C log jx C y 1j D C; j/ y D 1
C˙3x .
1.2. .x C y2/ D 1
.xCy2/3 . Solución: x y2
.xCy2/2 D C.
1.3. yp.x/ D x 1 ; y.x/ D x 1 C ex2 2x
k
R x
es2 2sds
.
1.4. a)
R d´
f .´/Cna
D 1
nxn C C; b) y D tan.x2 C C/ x2.
1.5. Si c1 D c2 D 0; ´ D y=x; si c2
1 C c2
2 ¤ 0 y a1b2 a2b1 D 0; ´ D a1x C b1y;
si c2
1 C c2
2 ¤ 0; a1b2 a2b1 ¤ 0;
a1x0 C b1y0 C c1 D 0
a2x0 C b2y0 C c2 D 0
; t D x x0; ´ D y y0; u D ´=t.
Solución: .x 2/2 C 4.x 2/.y C 2/ .y C 2/2 D C .
1.6.
y
x
y
x
y
x
4y C log
ˇ
ˇ
ˇ
x 4yC2
x 4y 2
ˇ
ˇ
ˇ D C No resoluble y D x
CCx
y
x
y
x
y
x
y2 C 2xy D Cx4 y C 1
2 log
ˇ
ˇ
ˇ
1 y
1Cy
ˇ
ˇ
ˇ x D C No resoluble
y
x
y
x
y
x
No resoluble
x 1 C Ce x
y 0
x 1 C Cex
y Ä 0
y D x 2 arctan 1
C x
6. (más 1.6)
y
x
y
x
y
x
y D 1
Ce xC2Csen xCcos x y2 D 1 C Ce x2
y D x Cx3C2
1 Cx3
y
x
y
x
y2 D 4
3 x3=2 C C y1=3 arctan y1=3 D x
3 C C
x C 1
y a log
ˇ
ˇ
ˇ
y
1 ay
ˇ
ˇ
ˇ D C; a > 0 y D 1
C x ; a D 0 x C 1
y a log
ˇ
ˇ
ˇ
y
1 ay
ˇ
ˇ
ˇ D C; a < 0
x2y y2
x2
3
a
Á
D C; a < 0 y D C
x2 ; a D 0 x2y y2
x2
3
a
Á
D C; a > 0
1.7. Solución general: y2 C 2xy Ce2x D 0. Las soluciones y.x/ D 0; y.x/ D 2x verifican y.0/ D 0.
1.8. Solución única para i) e iii).
Satisfacen y.1/ D 0 infinitas soluciones, como por ejemplo
y Á 0 e yc.x/ D
0 ; x < c2
.
p
x c/2 ; x c2 ; para todo c 1.
y
t
1.9. Si y.x0/ D y0 con x0 ¤ 0 hay solución única.
Todas las soluciones y D Cx C x
R x sen s
s ds cumplen y.0/ D 0.
7. K=3K=2
K=–1
K=0
1
–2
K=∞
0 K=1/3
–1
t+2√t
t–2√t
1.10. ´ D y x o exacta. Solución general: y D x ˙
p
4x C C.
La única solución con y.1/ D 1 es y D x 2
p
x.
1.11. xy D C ) y C xy0 D 0I ortogonales: y0 D x
y ) x2 y2 D C .
x2 C y2 D 2Cx ) y0 D y2 x2
2xy I ortogonales: y0 D 2xy
x2 y2 ) x2 C y2 D Cy .
y2 C 2Cx D C2 ) yy0 D x ˙
p
y2 C x2I ortogonales: y0 D y
x˙
p
y2Cx2
) y2 C 2Cx D C2 .
K=4
K=4
K=9
K=1
K=0
1
–2
K=1
0
K=9
1.12. Solución general: y D xC 2
Ce 2x 1
.
Existe solución única para cualquier dato inicial.
i) y D x (no incluida en la solución general);
ii) y D x 2.
1.13. i) y.x/ D x.1 C Ce x/.
ii) Solución única si x0 ¤ 0, infinitas si x0 D y0 D 0, ninguna si x0 D 0; y0 ¤ 0.
iii) y D x (recta solución) y x D 2 (curva de puntos de inflexión).
1.14. Solución: y D .1 C Cx/3 (e y D 0). i) Solución única. ii) y iii) Infinitas soluciones.
1.15. .y2C2xy/ .y/ .x2C2y2/ .y/dy
dx
D 0 exacta si 0 D 2
y , de donde (por ejemplo) .y/ D 1
y2 . Las
soluciones verifican y D 0 ó x2 C xy 2y2 D Cy.
Soluciones rectas: y D 0; y D x; y D x
2 .
i) y D 0 , ii) y D x, soluciones únicas.
1.16. a) Única solución para cualquier dato inicial.
c) y D
1 x; x Ä 0
x 1 C 2e x; x 0 1
–1
8. Soluciones hoja 2.
2.1. a/ x.t/ D 1
2
Â
e t C e 3t
e t e 3t
Ã
b/ x.t/ D et
Â
1 C 2t
t
Ã
c/ x.t/ D
0
@
e t e 2t 3te 2t
e t e 2t 2te 2t
e t 4te 2t
1
A
2.2. a/ x D C1
0
@
3
4
2
1
Ae t C C2
0
@
0
1
1
1
Ae2t C C3
2
4
0
@
1
1
0
1
A C
0
@
0
1
1
1
A t
3
5e2t ;
b/ x D C1
0
@
1
1
1
1
Ae2t C C2
0
@
1
1
0
1
Ae t C C3
0
@
1
0
1
1
Ae t ; c/ x D C1
0
@
2
2
1
1
Aet C C2
0
@
0
1
0
1
Ae2t C C3
0
@
0
0
1
1
Ae t .
2.3. x D 2t C 2e t ; y D t C e t ; ´ D 1 C t . D 1 doble, D 0 ) estabilidad no asintótica.
2.4. a) x D C1et C C2e t C 1
3 e2t ;
b) x D C1 cos t C C2 sen t C 1
25Œ.5t 2/ cos t C .10t 14/ sen tet ;
c) x D C1 cos t C C2 sen t cos t log j sec t C tan tj ;
d) x D C1 C .C2 cos 2t C C3 sen 2t/e t C t2
2
2t
5 ;
e) x D .C1 cos t C C2 sen t/et C .C3 cos t C C4 sen t/e t C t
32 Œ.3 t/ cos t C t sen t et ;
f) x D C1.t2 C 2t/ C C2 C t3
3 C t2
2 ;
g) x D C1t2 C C2
1
t C .t 2 C 2
t /et ;
h) x D C1t C C2tet .
2.5. a/ x.t/ D e t C 4t2e 2t ; b/ x.t/ D
1
2 t2 1 ; t Ä 1
1
2 t2 C 4t 6 C 2e1 t ; t 1
c/ x.t/ D 1
15 t4 5t2 C 5t 1
t ; d/ x.t/ D .t C 1/e C 1
2 .t2 5/et ; e/ x.t/ D t.
2.6. a) xp D t
c
4
c2 , si c ¤ 0; xp D t2
8
5t
16, si c D 0. b) x D C1et C e 3t ŒC2 cos t C C3 sen t t
10
1
25.
c) Asintóticamente estable si 0 < c < 20, estable si c D 0; 20 e inestable para los demás c.
2.7. a/ .1 t/
Â
1
1
Ã
; b/ 1
16
Â
.8t2 4t C 17/e3t e t
.8t2 C 12t C 13/e3t C 3e t
Ã
; c/ e t
Â
cos
p
2t
p
2 sen
p
2tp
2 sen
p
2t C 2 cos
p
2t
Ã
,
d/
Â
t
2t 1
Ã
si t Ä 2 ;
Â
t C .8 2t/et 2
1 2t C .10 2t/et 2
Ã
si t 2 .
2.8. K.t/ D e t sen t.
2.9. i) x D 1
2 t2e t . ii) La anterior, si a D 0 ; x D 4te t , si a D 1=4 ; x D 1
a.4a 1/
e t , si a ¤ 1; 1=4 .
iii) Asintóticamente estable si a 2 . 1
2 ; 0/ [ .0; 1/.
2.10. i) u D 1
8 x2e3x C C1 e x C e3x.C2 C C3 x/ ; u D 1
72 e3x C C1 e 3x C C2 cos
p
3x C C3 sen
p
3x.
ii) Asintóticamente estable si a > 3, inestable si a < 3 y estable si a D 3.
2.11. i) ˚.t/ D
0
B
@
cos t 0 sen t 0
0 cos t 0 sen t
sen t 0 cos t 0
0 sen t 0 cos t
1
C
A. ii)
0
B
@
cos t 2t
0
t2
2 sen t
0
1
C
A. iii) 1
4 < c < 1
3
p
4
.
2.12. i) x D 10 12e t ; y D 1 C 4e t ; ´ D 4 4e t .
ii) Asintóticamente estable si a < 4, estable si a D 4, inestable si a > 4.
9. Soluciones hoja 3.
3.1. a) x D 0 , singular irregular; x D 1 , singular regular.
b) x D 0 , singular irregular. c) x D n , singulares regulares.
3.2. a) x D .t 1/ C 1
8 .t 1/3 1
8 .t 1/4 C . b) x D C1 jtj3=2 C C2 jtj 1=2 C 1
5 t2.
3.3. En 0 < x < 1 hay dos soluciones linealmente independientes.
x D 0 punto singular regular con r D .1 ˙
p
5/=2; hay dos soluciones l.i. de la forma xr
P
n 0
cnxn.
x D 1 singular regular con r D 1; 0; hay sólo una solución de la forma: y1 D .x 1/
P
n 0
cn.x 1/n,
pues para la otra l.i. y2 D
P
n 0
bn.x 1/n C c y1 log.x 1/ resulta ser c D b0.
3.4. Eligiendo D 1=2 se obtiene u00 C u D 0. Solución: y.x/ D .A cos x C B sen x/=
p
x.
3.5. a) y2.x/ D x1=2 , solución no analítica. b) y.x/ D C1x1=2 C C2.x2 C 3
7 x4/ .
3.6. ¤ 0; 1; 2; : : : ) y.x/ D
1P
nD0
.˛/n.ˇ/n
nŠ. /n
xn Á F.˛; ˇ; I x/, donde .˛/n D ˛.˛ C1/ .˛ Cn 1/.
D 0; 1; 2; : : : ) y.x/ D x1 F.˛ C 1; ˇ C 1; 2 I x/.
3.7. y1.x/ D 1
P1
nD1
p2.22 p2/ ..2n 2/2 p2/
.2n/Š
x2n ; y2.x/ D xC
P1
nD1
.12 p2/.32 p2/ ..2n 1/2 p2/
.2nC1/Š
x2nC1.
Hay soluciones polinómicas cuando p es entero.
3.8. i) x D 0 punto singular regular, r D 2; 0. u1.x/ D
P1
kD0
. 1/k
.2kC1/Š
x2.2kC1/ D sen.x2/ :
ii) u.x/ D C1 sen.x2/ C C2 cos.x2/.
3.9. x D 0 singular regular, r D 0; 1. u1 D 1 C x4
20 C . La otra solución no está acotada en x D 0.
3.10. a) x D 0 singular regular, r D ˙1=2. y1 D
P1
kD0
. 1/n
nŠ.nC1/Š
xkC1=2 está acotada en x D 0.
b) Para la otra y2 D
P1
kD0 bkxk 1=2 C ay1 log x resulta ser a D b0.
3.11. a) x D 1 singular regular, r D 2; 1. y1 D .x C 1/2e .xC1/ es solución analítica en x D 1.
b) Reduciendo el orden: y2 D .x C 1/2e .xC1/
R xC1 et
t2 dt que no es analítica en x D 1.
3.12. x D 1 singular regular, r D 1
2 ; 0. Analítica en x D 1 es y2 D 1 C 4.x 1/ C 2.x 1/2 D 2x2 1,
que también lo es en x D 1. Las dos soluciones del punto regular x D 0 son analíticas en . 1; 1/.
3.13. x D 0 singular regular, r D 2; 1. Se anula en x D 0: y1 D x2.1 3
4 x C 3
10 x2 /.
O reduciendo el orden: y2 D 1
x
R
e xx2dx D 1
x
R
.x2 x3 C x4
2 /dx D 1
3 x2 1
4 x3 C 1
10x4 .
3.14. x D 0 regular ! y D
P1
kD0 ckxk ! ck D 3.k 2/ck 1 2.k 3/ck 2
k
; c0 D c1 D 1 ! y D
P1
kD0 xk.
x D 1=2 (con r D 2; 0) y x D 1 (con r D 0; 1) son singulares regulares.
Como y D c1x C c2
1 x ninguna solución satisface esos datos.
3.15. x D 0 no es singular regular. y D 1 C .x 1/ C 1
4 .x 1/2 C O..x 1/4/.
3.16. x D 0 singular regular, r D 0; 1 ! y1 D
P1
kD0 ckxk analítica ! y1 D
P1
kD0 xk D 1
1 x .
Haciendo x D 1
s se tiene s2.1 s/y00 2sy0 C 2y D 0, cuyas soluciones ! 0 cuando s ! 0 (r D 2; 1).
3.17. x D 0 punto singular regular. r D 1; 1=2 ) no todas las soluciones están acotadas en el origen.
Solución analítica en x D 0: y.x/ D x 1 C x
5 .
3.18. r D 0 doble; y1 D
P1
kD0 ckxk; recurrencia: ck D p kC2
k2 ck 2; c1 D 0 D c3 D .
Si p D 2n; n D 0; 1; : : :, entonces y1 es un polinomio de grado 2n. Si p D 4, y1 D 1 x2 C 1
8 x4 .
11. 4.4.
a)
r0 D r.1 r2/
Â0 D 1
b)
r0 D r2
Â0 D 1
y
x
y
x
a) b)
4.5. El origen es el único punto crítico en los dos casos. Es un foco inestable de a) y un centro de b).
4.6. Órbitas: y2
2
x2
2
y
x D C.
Órbitas rectas:
y D x; y D x; x D 0.
y
x
4.7. No están definidas 8t las soluciones asociadas a la órbita x D 0 de b) y a las órbitas de c) con jyj > 1.
yy
y
x xx
a) b) c)
4.8. Solución: x D 2e3t ; y D e3t . Órbitas: .2y C x/.y x/ 2 D C.
4.9. .0; 1/ es un centro; .˙1; 0/ son puntos silla. Órbitas: y2 C 2y.1 x2/ D C.
4.10. Órbitas: y2 D Ce2x C x C 1
2 . Solución: x D t2
4
1
2 .
4.8, 4.9, 4.10.
y
y
v
x x
x
12. 4.11. .2k
a ; 0/ son sillas.
..2k 1/
a ; 0/ son: nodos estables si 0 < a Ä 1=4
y focos estables si a > 1=4 .
v
x
4.12.
Velocidad: v D 1=5 .
Tiempo: T D
R 4
0
p
9 C x2dx D 10 C 9
2 log 3 .
v
x
4.13. a) Si a D 0 , es x D 0 recta de puntos críticos (no elementales).
El origen (único punto crítico si a ¤ 0) es:
silla si a > 0, nodo estable de dos tangentes si 0 > a > 1
2 ,
nodo estable de una tangente si a D 1
2 y foco estable si 1
2 > a.
b) x D 2 2t . –2
4.14. . 1; 0/ es silla 8k. .1; 0/ es centro si k D 0, foco estable si 0 < k < 2
p
2, nodo estable si k 2
p
2.
x x
k=1 k=3
k=0
x
v v v
4.15. 4.16. y D x2 C 2x2
Cex2
1
.
21
2
lim
t!C1
x0.t/ D 1 .