Se desarrolla los pendulos acoplados mediante diferentes conceptos: leyes de newton, conservación de la energía, formulación lagrangiana.

1. Universidad Tecnol´ogica de Pereira, Ingenier´ıa F´ısica, ISSN 0122-1701, 1
MEC´ANICA CL´ASICA
P´ENDULOS ACOPLADOS
Autor:Dayan Steban Giraldo Santamaria1
,
dayangiraldo-1995@utp.edu.co
Ingenier´ıa F´ısica, Universidad Tecnol´ogica De Pereira, Colombia
Se tiene el sistema f´ısico de p´endulos acoplados co-
mo se muestra en la figura 1, se encontrara las
ecuaciones de movimiento por 3 m´etodos diferen-
tes: leyes de newton, conservaci´on de la energ´ıa y
finalmente por la formulaci´on lagragiana. Las con-
diciones de movimiento son:
θ1(0) = θ0 θ2(0) = θ0
˙θ1(0) = 0 ˙θ2(0) = 0
Ademas se graficara como es el comportamiento de
θ1 y θ2 L.I entre si en coordenadas normales(Φ)
cuando la constante del resorte es muy peque˜na
(K 0) a lo que se conoce como acoplamiento
d´ebil.
Figura 1: P´endulos Acoplados
Antes de empezar a analizar el sistema por alguno
de los m´etodos, se designara un sistema de coorde-
nadas que sera el mismo para los 3 desarrollos como
se muestra en la figura 2.
Figura 2: Sistema De Coordenadas
LEYES DE NEWTON
Como es habitual se realizan las sumatorias de fuer-
zas en los ejes de coordenadas (x,y), las fuerzas se
describen en la figura 3.
Figura 3: Identificaci´on De Fuerzas
Cuerpo 1:
Fy = m¨y Fx = m¨x
T1cosθ1 − Fg1 = m¨y − T1senθ1 + Fr1 = m¨x
T1cosθ1−mg = m¨y k(x2−x1)−T1senθ1 = m¨x
Cuerpo 2:
Fy = m¨y Fx = m¨x
T2cosθ2 − Fg2 = m¨y − T2senθ2 − Fr2 = m¨x
T2cosθ2−mg = m¨y −k(x2−x1)−T2senθ2 = m¨x
Como los dos cuerpos tienen las mismas masas (m)
y las fuerzas de restituci´on por parte del resorte son
proporcionales, T1 = T2 = T, las ecuaciones enton-
ces quedan:
Cuerpo 1:
Tcosθ1 −mg = m¨y k(x2 −x1)−Tsenθ1 = m¨x
Cuerpo 2:
Tcosθ2−mg = m¨y −k(x2−x1)−Tsenθ2 = m¨x
Despejando la tension de la ecuaci´on de fuerzas de
la componente y:
Cuerpo 1:
T =
m¨y + mg
cosθ1
T =
m(¨y + g)
cosθ1
Cuerpo 2:
T =
m¨y + mg
cosθ2
T =
m(¨y + g)
cosθ2

2. Universidad Tecnol´ogica de Pereira, Ingenier´ıa F´ısica, ISSN 0122-1701, 2
Como:
g >> ¨y =⇒ m(¨y + g) = mg
Quedando la tension:
Cuerpo 1:
T =
mg
cosθ1
Cuerpo 2:
T =
mg
cosθ2
Si reemplazamos la tension en la ecuaci´on de las
fuerzas en la componente x:
Cuerpo 1:
k(x2 − x1) − Tsenθ1 = m¨x
k(x2 − x1) − (
mg
cosθ1
)senθ1 = m¨x
Cuerpo 2:
−k(x2 − x1) − Tsenθ2 = m¨x
−k(x2 − x1) − (
mg
cosθ2
)senθ2 = m¨x
Por relaciones trigonom´etricas se puede establecer
(x1, x2) en funcion de (θ1, θ2):
Figura 4: Relaci´on trigonom´etrica
Entonces:
x1 = ιsenθ1 x2 = ιsenθ2
Si consideramos un sistema f´ısico que tiene unas
oscilaciones peque˜nas θ << 15◦
, por medio de una
aproximaci´on de primer grado de las series de Ma-
claurin:
senθ ≈ θ cosθ ≈ 1
Se simplifica la relaci´on trigonom´etrica
x1 = ιsenθ1 x2 = ιsenθ2
x1 = ιθ1 x2 = ιθ2
¨x1 = ι¨θ1 ¨x2 = ι¨θ2
De igual manera se simplifica las ecuaciones de fuer-
zas para el cuerpo 1 y el cuerpo 2:
Cuerpo 1:
kι(θ2 − θ1) − mgθ1 = mι ¨θ1
k
m
θ2 −
k
m
θ1 −
g
ι
θ1 = ¨θ1
¨θ1 + (
k
m
+
g
ι
)θ1 −
k
m
θ2 = 0
Cuerpo2:
−kι(θ2 − θ1) − mgθ2 = mι ¨θ2
−
k
m
θ2 +
k
m
θ1 −
g
ι
θ2 = ¨θ2
¨θ2 + (
k
m
+
g
ι
)θ2 −
k
m
θ1 = 0
Del an´alisis resulta un sistema de dos ecuaciones di-
ferenciales de segundo orden simultaneas con acople
que se resolver´an luego del an´alisis de la conserva-
ci´on de la energ´ıa y la formulaci´on lagragiana
¨θ1 + (
k
m
+
g
ι
)θ1 −
k
m
θ2 = 0 (1)
¨θ2 + (
k
m
+
g
ι
)θ2 −
k
m
θ1 = 0 (2)
CONSERVACI´ON DE LA ENERG´IA
Se considera el mismo modelo f´ısico acoplado de la
figura 1, pero su an´alisis sera con el teorema de la
conservaci´on de la energ´ıa
E = T + V = cte
˙E = 0
Se identifican las diferentes energ´ıas que contiene
el sistema, energ´ıas cin´eticas y energ´ıas potenciales
(gravitatorias, el´asticas).
Cuerpo 1:
E1 = T1 + V1
T1 =
1
2
m|ν1|
2
V1 = mgh1
Cuerpo 2:
E2 = T2 + V2
T2 =
1
2
m|ν2|
2
V2 = mgh2
Energ´ıa potencial el´astica del sistema:
Ve =
1
2
k(x2 − x1)2
Con la figura 5 se puede relacionar las diferentes
inc´ognitas con θ para reducir el numero de varia-
bles.
Figura 5: Relaciones Variables Con θ

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x = ιsen(θ) y = ιcos(θ)
˙x = ι ˙θcos(θ) ˙y = −ι ˙θsen(θ)
h = ι(1 − cosθ)
Ademas un an´alisis a la velocidad del sistema
ν = xi + yj
ν.ν = ˙x2
+ ˙y2
˙x >> ˙y
ν.ν = ˙x2
La energ´ıa del sistema viene expresada por:
E = E1 + E2 + Ve
E =
1
2
mι2
( ˙θ1
2
cos2
θ1 + ˙θ2
2
cos2
θ2)
+mgι2
[(1 − cosθ1) + (1 − cosθ2)]
+
1
2
kι2
(senθ2 − senθ1)2
Si consideramos nuevamente un sistema f´ısico de
peque˜nas oscilaciones θ << 15◦
y por series de ma-
claurin:
Aproximaci´on primer grado:
Senθ ≈ θ cosθ ≈ 1
Aproximaci´on segundo grado:
1 − cosθ ≈
θ2
2
La ecuaci´on de energ´ıa queda expresada:
E =
1
2
mι2
( ˙θ1
2
+ ˙θ2
2
)+mgι2
(
θ2
1
2
+
θ2
2
2
)+
1
2
kι2
(θ2−θ1)2
˙E = ˙θ1(mι2 ¨θ1 + (mgι + kι2
)θ1 − kι2
θ2)
+ ˙θ2(mι2 ¨θ2 + (mgι + kι2
)θ2 − kι2
θ1) = 0
Si ˙θ = 0 entonces θ = cte y el sistema no tendr´ıa
movimiento alguno, por ende debe ser ˙θ = 0 y las
ecuaciones del movimiento seria:
mι2 ¨θ1 + (mgι + kι2
)θ1 − kι2
θ2 = 0
mι2 ¨θ2 + (mgι + kι2
)θ2 − kι2
θ1 = 0
Si dividimos ambas ecuaciones por mι2
la ecuaci´on
(3) es igual a la ecuaci´on (1) y la ecuaci´on (4) es
igual a la ecuaci´on (2) quedando un sistema de dos
ecuaciones diferenciales simultaneas iguales al an´ali-
sis por las leyes de newton, se resolver´an luego del
an´alisis por formulaci´on lagrangiana.
¨θ1 + (
k
m
+
g
ι
)θ1 −
k
m
θ2 = 0 (3)
¨θ2 + (
k
m
+
g
ι
)θ2 −
k
m
θ1 = 0 (4)
FORMULACI´ON LAGRANGIANA
Se realiza un an´alisis por formulaci´on lagrangiana
para el sistema f´ısico tratado en la figura 1, nueva-
mente se identifican las diversas energ´ıas que confor-
man el sistema, igual que en el teorema de conserva-
ci´on de la energ´ıa hay energ´ıas cin´eticas, potenciales
y el´asticas, se tiene la ecuaci´on de Lagrange:
L = T − V
Energ´ıas cin´eticas:
T = T1 + T2
T1 =
1
2
m|ν1|
2
T2 =
1
2
m|ν2|
2
Energ´ıas Potenciales (gravitatorias y el´asticas):
V = V1 + V2 + Ve
V1 = mgh1
V2 = mgh2
Ve =
1
2
k(x2 − x1)2
Con la figura 5 se puede relacionar las diferentes
inc´ognitas con θ para reducir el numero de varia-
bles.
x = ιsen(θ) y = ιcos(θ)
˙x = ι ˙θcos(θ) ˙y = −ι ˙θsen(θ)
h = ι(1 − cosθ)
Ademas un an´alisis a la velocidad del sistema
ν = xi + yj
ν.ν = ˙x2
+ ˙y2
˙x >> ˙y
ν.ν = ˙x2
El lagrangiano del sistema es el siguiente::
L =
1
2
mι2
( ˙θ1
2
cos2
θ1+ ˙θ2
2
cos2
θ2)−mgι2
((1−cosθ1)+(1−cosθ2)
−
1
2
kι2
(senθ2 − senθ1)2
Si consideramos nuevamente un sistema f´ısico de
peque˜nas oscilaciones θ << 15◦
y por series de ma-
claurin:
Aproximaci´on primer grado:
Senθ ≈ θ cosθ ≈ 1
Aproximaci´on segundo grado:
1 − cosθ ≈
θ2
2

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La ecuaci´on de Lagrange para los p´endulos acopla-
dos es la siguiente:
L =
1
2
mι2
( ˙θ1
2
+ ˙θ2
2
)−mgι2
(
θ2
1
2
+
θ2
2
2
)−
1
2
kι2
(θ2−θ1)2
Las ecuaciones de Euler-Lagrange:
d
dt
∂L
∂ ˙θ1
−
∂L
∂θ1
= 0
d
dt
∂L
∂ ˙θ2
−
∂L
∂θ2
= 0
Operando las ecuaciones de Euler-Lagrange:
∂L
∂ ˙θ1
= mι2 ˙θ1
d
dt
∂L
∂ ˙θ1
= mι2 ¨θ1
∂L
∂θ1
= −mgι2
θ1 − kι2
(θ2 − θ1)
∂L
∂ ˙θ2
= mι2 ˙θ2
d
dt
∂L
∂ ˙θ2
= mι2 ¨θ2
∂L
∂θ2
= −mgι2
θ2 − kι2
(θ2 − θ1)
Reemplazando en las ecuaciones de Euler-Lagrange:
mι2 ¨θ1 + (mgι + kι2
)θ1 − kι2
θ2 = 0
mι2 ¨θ2 + (mgι + kι2
)θ2 − kι2
θ1 = 0
Si dividimos ambas ecuaciones por mι2
la ecuaci´on
(5) = ecuaci´on (3) = ecuaci´on (1) y la ecuaci´on (6)=
ecuaci´on (4) = ecuaci´on (2) quedando un sistema
de dos ecuaciones diferenciales simultaneas iguales
al an´alisis por las leyes de newton y conservaci´on
de energ´ıa.
¨θ1 + (
k
m
+
g
ι
)θ1 −
k
m
θ2 = 0 (5)
¨θ2 + (
k
m
+
g
ι
)θ2 −
k
m
θ1 = 0 (6)
SOLUCI´ON A SISTEMA DE DOS ECUA-
CIONES DIFERENCIALES SIMULTA-
NEAS:
El an´alisis del sistema f´ısico de dos p´endulos aco-
plados por las leyes de Newton, la conservaci´on
de la energ´ıa y la formulaci´on lagrangiana nos ha
llevado a las mismas dos ecuaciones diferenciales
simultaneas:
¨θ1 + (
k
m
+
g
ι
)θ1 −
k
m
θ2 = 0
¨θ2 + (
k
m
+
g
ι
)θ2 −
k
m
θ1 = 0
La representaci´on matricial del sistema es la si-
guiente:
1 0
0 1
¨θ1
¨θ2
+
g
ι + k
m − k
m
− k
m
g
ι + k
m
θ1
θ2
=
0
0
A lo que es igual:
I ¨θ + Kθ = 0
Donde K es la matriz de acoplamiento, I la matriz
identidad, se puede entonces deducirlas ecuaciones
diferenciales en coordenadas normales con la ecua-
ci´on de valores propios para eliminar el acoplamien-
to existente en la matriz K.
KT = λT
KT − λT = 0
KT − λIT = 0
T(K − λI) = 0
T = 0 |K − λI| = 0
T =
t11 t12
t21 t22
T1 =
t11
t21
T2 =
t12
t22
K =
k
m + g
ι − k
m
− k
m
k
m + g
ι
λI =
λ 0
0 λ
K − λI =
k
m + g
ι − λ − k
m
− k
m
k
m + g
ι − λ
|K − λI| = 0
(
k
m
+
g
ι
− λ)2
− (
k
m
)2
= 0
(
k
m
+
g
ι
− λ +
k
m
)(
k
m
+
g
ι
− λ −
k
m
) = 0
λ1 =
g
ι
+
2k
m
λ2 =
g
ι
Vector propio T1 con λ1
−
k
m
1 1
1 1
t11
t21
=
0
0
t11 + t21 = 0
t11 = −t21
T1 = t11
1
−1
Vector propio T2 con λ2
k
m
1 −1
−1 1
t12
t22
=
0
0
t21 − t22 = 0
t21 = t22
T2 = t21
1
1

5. Universidad Tecnol´ogica de Pereira, Ingenier´ıa F´ısica, ISSN 0122-1701, 5
Ahora tenemos que t11 = t21
Entonces ||t11|| = ||t21|| = 1
||t11|| =
1
√
2
||t21|| =
1
√
2
T1 =
1
√
2
1
−1
T2 =
1
√
2
1
1
T =
1
√
2
1 1
−1 1
T−1
=
1
√
2
1 −1
1 1
Ahora podemos eliminar el acoplamiento de la ma-
triz K reescribiendo las ecuaciones del sistema en
coordenadas normales:
I ¨Φ + K Φ = 0
K = TKT−1
1 0
0 1
¨Φ1
¨Φ2
+
λ1 0
0 λ2
Φ1
Φ2
=
0
0
1 0
0 1
¨Φ1
¨Φ2
+


2k
m
+
g
ι
0
0
g
ι

 Φ1
Φ2
=
0
0
El sistema de las dos ecuaciones diferenciales en
coordenadas normales o propias linealmente inde-
pendiente son:
¨Φ1 + (
2k
m
+
g
ι
)Φ1 = 0
¨Φ2 + (
g
ι
)Φ2 = 0
ω2
1 =
2k
m
+
g
ι
ω2
2 =
g
ι
Los modos propios del movimiento oscilatorio de los
p´endulos acoplados son:
Φ1(t) = A1sen(ω1t + δ)
Φ2(t) = A2sen(ω2t + δ)
Si Consideramos la constante del resorte muy pe-
que˜na k ≈ 0 a lo que se le conoce como acoplamien-
to debil, resulta que ω1 = ω2 y por consiguiente
Φ1 = Φ2 = Φ que describen un movimiento arm´oni-
co simple:
¨Φ + ω2
Φ = 0
Φ(t) = Asen(ωt + δ)
Considerando Una amplitud de A=2 cm y una lon-
gitud ι = 50cm se grafica el movimiento arm´onico
simple para Φ1 = Φ2 = Φ con un desface δ = 0 Con
las condiciones: Φ(0) = Φ0 = 0,02m y ˙Φ(0) = 0
Figura 6: Gr´afica de Φ
Para el modo general del sistema de p´endulos aco-
plados se tiene:
Φ = T−1
X
ΦT = TT−1
X
X = TΦ
x1
x2
=
1
√
2
1 1
−1 1
A1sen(ω1t + δ)
A2sen(ω2t + δ)
ιθ1
ιθ2
=
1
√
2
1 1
−1 1
A1sen(ω1t + δ)
A2sen(ω2t + δ)
Las ecuaciones de modo general para θ1 y θ2
θ1(t) =
1
√
2ι
(A1sen(ω1t + δ) + A2sen(ω2t + δ))
θ2(t) =
1
√
2ι
(−A1sen(ω1t + δ) + A2sen(ω2t + δ))
Referencias
[1] H. Goldstein MEC´ANICA CL´ASICA, E. 2,
Editorial Reverte S.A, 1987.
[2] J.Marion, DIN´AMICA CL´ASICA DE LAS
PART´ICULAS Y SISTEMAS,E.1, Editorial
Reverte S.A,1981