Arcos hiperestaticos

1
Arcos planos. Definición
Directriz curva plana. Sección transversal despreciable.
Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>h
Varias condiciones de apoyo en los extremos.

2
Ejemplos
Puente romano (Córcega)
Puente del Milenio (Londres)Velódromo olímpico (Atenas)
Puente Michigan (Detroit) L=80 m

3
Teoría básica
Esfuerzos internos: N, M, Q
Hipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz
curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada
R >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio
curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.
Energía elástica:
2 2
*
2 2
m g
N M
U ds ds N T ds M T ds
EA EI
α α= + + −∫ ∫ ∫ ∫

4
Ecuaciones de equilibrio
Equilibrio radial:
Nuevo término asociado a N
Equilibrio de momentos:
s
dQ N
q
ds R
= +
dM
Q
ds
= −
M
M+dM
N
N+dN
Q
Q+dQ
ds
qs

5
Arco triarticulado (I)
Isostático
b=2 n=3 r=4 c=1
LA
h
fA
fB
LB
A
C
B
Se aplica la fórmula de los pórticos planos
6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0

6
Arco triarticulado (II)
0extAC
x A y A AC f C L M− + + =
0extCB
x B y B BC f C L M+ + =
LA
h
fA
fB
LB
A
CX
B
CY
CY
( )
0AC
AM =∑
( )
0BC
BM =∑
CX, CY

7
Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1)
q
AX
AY
CX
2 2
0
8 8 2
x y x y
qL qL qL
C C A A
f f
= − = = =
Gran reacción horizontal
en los apoyos (1/f)
q
L
f
Forma y(x) sin definir.
Por simetría: CY=0

8
Arco triarticulado sin momento flector (2)
NM
Q
x
q
qL/2
qL2
/8f
2 2
2 8 2
qL qL qx
M x y
f
= − −
2
2
4
( )
f
y Lx x
L
= − Parábola simétrica
0M =
2
cos sin cos 0
8 2
qL qL
Q qx
f
α α α= + − =
Sustituyendo forma parabólica

9
Arco triarticulado sin momento flector (3)
2
8
Clave
qL
N
f
= −
( )
1/22 2
16
8
A
qL
N L f
f
= − +
2
8
X
qL
N
f
= −
2
Y
qL
N qx= −
2
sin sin cos
2 8
qL qL
N qx
f
α α α= − −
1/24 2
2
2
64 4
L L
N q x xL
f
⎛ ⎞
⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Valor máximo en los apoyos
Es siempre de compresión
Proyección horizontal constante

10
Arco triarticulado parabólico. Deformación
L/2f
1/2
V=1
L/2f
1/2
0 1
cos sin
2 2
V L
N
f
α α= − −
0 0 01 1 1
( 0)V V V
CY N N ds M M ds N N ds
EA EI EA
Δ = + = =∫ ∫ ∫
0 1
sin cos
2 2
V L
Q
f
α α= −
Fuerza virtual unitaria

11
Arco triarticulado parabólico. Deformación
L/2f
1/2
V=1
L/2f
1/2
0 1
cos sin
2 2
V L
N
f
α α= − −
1 1 1 1
cos sin tan cos
2 2 2 2
CY
L L
N ds N ds
EA f EA f
α α α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜Δ = − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
1/24 2
2
2
64 4
L L
N q x xL
f
⎛ ⎞
⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )2
1 4
2
2
CY
L f
N L x dx
EA f L
⎛ ⎞− ⎟⎜Δ = − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫

12
Simplificaciones habituales
• Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial
0
0
0
0
sec
cos
1 1
cos cos
I
I I
EI EI
α
α
μ α μ α
= =
= = =
1
0
EA
γ = =
• Momento de inercia variable según la ley de la secante
Flexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno
Simplifica las integrales pues :
0 0( ) ( ) cos ( )f x ds f x ds f x dxμ μ α μ= =∫ ∫ ∫
I0 : momento de inercia en la clave

13
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1)
q
L
f
N0M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
0 2
( )
2
q
M Lx x= −
h=1 X1=Ax
1
M y= −
Parabólico
Sin energía de esfuerzo axial.
Inercia variable según la ley de la secante
2
2
4
( )
f
y Lx x
L
= −

14
1
M y= −
1 1 1 1 2
11
2 2
11 0 0
2
0
11
( )
( ) cos
8
15
f N N ds M M ds y ds
f y ds y dx
f L
f
γ μ μ
μ α μ
μ
= + = −
= − =
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Inercia variable según la ley de la secante

15
( )
( )
0 1 0 1
1
2
1
2
1 0
3
0
1
( )
2
cos ( )
2
15
D N N ds M M ds
q
D Lx x y ds
q
D Lx x y ds
q f L
D
γ μ
μ
μ α
μ
= − − =
= − − −
= − − −
=
∫ ∫
∫
∫
2
1
11 8
X
D qL
A
f f
= =
N0M0
Q0
x
q
qL/2
0 2
( )
2
q
M Lx x= −

16
2
0 2 2
2
4
( ) ( ) 0
2 8
X
q f qL
M M yA Lx x Lx x
L f
= − = − − − =
Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado
2
cos sin cos 0
8 2
qL qL
Q qx
f
α α α= + − =
Sustituyendo forma parabólica
N0M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
0 2
( )
2
q
M Lx x= −
1
M y= −
2
8
X
qL
A
f
=

17
2
8
Clave
qL
N
f
= −
( )
1/22 2
16
8
A
qL
N L f
f
= − +
2
8
X
qL
N
f
= −
2
Y
qL
N qx= −
2
sin sin cos
2 8
qL qL
N qx
f
α α α= − −
1/24 2
2
2
64 4
L L
N q x xL
f
⎛ ⎞
⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
N
Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)

18
Arco biarticulado parabólico. Carga puntual
( )
2
0
1 0
5
( ) cos
2 48
P f LP
D L x y ds
μ
μ α= − − − =∫
75
384
X
PL
A
f
=
max 0.0253 9 /50neg
M PL x L= − =
2
0 75
27
96
X
P x
M M yA x
L
⎛ ⎞
⎟⎜= − = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0.0547claveM PL=
M
P

19
Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1)
1 11X K=
IX=1
K21
K31
K11
K41
11 1 1 112
11
1 1
1f X X K
f y dsμ
= = = ≡
∫
1 1 2
11 ( )f M M ds y dsμ μ= = −∫ ∫
h=1
Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δIX
Caso 1
Condición de compatibilidad:

20
Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (2)
31 11 21 41 0K K K K= − = =
IX=1
K21
K31
K11
K41
1 112
11
1 1
X K
f y dsμ
= = ≡
∫
Cálculo de la columna 1
11
21
31 11
41
0
0
K
K
K K
K
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎢ ⎥
= −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎣ ⎦
Condición de compatibilidad: 11 1 1 11 0f X D D= + =

21
Arco biarticulado. Matriz de rigidez
2
1 0 1 0
0 0 0 01
1 0 1 0
0 0 0 0
L
y dsμ
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
K
Sólo aporta rigidez en la dirección X
IX JX
IY JY
y
Columnas 2 y 4 nulas
Columna 3 igual a la 1
Agrupando las 4 columnas

22
Arco biarticulado parabólico. Rigidez
Directriz parabólica.
Inercia según la secante: I=I0 sec α
I0 inercia en la clave
0
2
1 0 1 0
0 0 0 015
1 0 1 08
0 0 0 0
L
EI
Lf
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
K
Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta
pues no se ha considerado la energía de axial
2
2 2 2
0 0
0
8
cos
15
f L
y ds y ds y dx
EI
μ μ α μ= = =∫ ∫ ∫

23
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)
N0M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
1
M y= −0 2
( )
2
q
M Lx x= −h=1 X1=Ax
1 1 2
11
2 2
11
( )
2 3
2
f M M ds y Rd
R S e S eLR
f
EI
μ μ θ= = −
+ −
=
∫ ∫ cosy R eθ= −
y
L
R e
x
sin /2x R Lθ= +
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante. Sin energía de axial

24
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)
3 2 2 2
2 2
2 3 6 6
12 2 3
X
RL LeS e RL R eSq
X A
R S e S eLR
− − +
= =
+ −
2 2
max
( )
2 2 4 8
X X
q L L qL
M L R e A fA
⎛ ⎞⎟⎜= − − − = −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
0 1 2
1
3 2 2 2
1
( )
2
2 3 6 6
24
q
D M M ds Lx x y Rd
q
D RL LeS e RL R eS
EI
α
α
μ μ θ
+
−
= − = − − −
= − − +
∫ ∫
0 2
( ) ( cos )
2
X X
q
M M yA Lx x R e Aθ= − = − − −
Momento flector
Momento máximo en la clave x=L/2, θ=0
M0
M1
=-yAx
qL2
/8
f Ax

25
Arco biarticulado circular. Rigidez
cosy R eθ= −
Directriz circular: Radio R, Luz L.
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante
2 2 2
( cos ) ( cos )y ds R e ds R e Rd
α
α
μ θ μ θ μ θ
+
−
= − = −∫ ∫ ∫
2 2
1 0 1 0
0 0 0 02
1 0 1 02 3 R
0 0 0 0
L
EI
R S e S eL
⎡ ⎤−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−+ − ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
K
Particularizando la expresión general de la
rigidez del arco biarticulado

26
Arco atirantado
0t t tNλ ρ= −
Pretensión de montaje en el tirante: N0t
Positiva a tracción
No se transmite reacción horizontal en A.
Tampoco en B para cargas verticales
1
t
t t t
L
K E A
ρ = =
Error en longitud del tirante:
(positivo más largo)
Flexibilidad del tirante
0t t t tN K N= Δ +
( )t t t tN K λ= Δ −

27
Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad
3
0 1 0 1 1 0
1
15
t t t t t t
qf L
D M M ds N N N
μ
μ ρ λ λ= − − − = −∫
1 1 1 1 2
11
2
2 0
11 0
( ) (1) (1)
8
15
t t t t
t t
f M M ds N N y ds
f L
f y dx
μ ρ μ ρ
μ
μ ρ ρ
= + = − +
= + = +
∫ ∫
∫
Inercia según la secante:
I=I0 sec α
N0M0
Q0q
qL/2
0 2
( )
2
q
M Lx x= −
1
1
cos
M y
N α
= −
= −
Directriz parabólica
h=1 X1=Nt

28
Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante
3
0
0
1
2
011
15
8
1
15
t
t
t
t
qf L
N
D
X N
f Lf
μ
ρ
μ
ρ
+
= = =
+
Esfuerzo final en el tirante siempre positivo
para q hacia abajo y pretensión de tracción
La pretensión aumenta el
esfuerzo final en el tirante
Constante D > 1
Nota:
Si ρt=0 (tensor infinitamente rígido) sale Nt = q L 2 / 8f
como en el arco biarticulado

29
Arco atirantado. Momento flector
0 1 0 2
( ) ( )
2
t t
q
M M XM M N y Lx x y N= + = + − = − −
( )
2
2 8
C t
qLLM M x f N= = = −
M0
M1
=-yNt
M=M0
– y Nt
El tirante hace disminuir el
momento flector. Disminuye
más cuanto más arriba (y)
Momento sin tirante
(Punto A libre)
Momento en la clave C:
2
8
biart
C X
qL
M f A= −
Similar al arco biarticulado:

30
Arco atirantado. Esfuerzo axial
0 1
sin cos
2
t
qL
N N XN qx Nα α
⎛ ⎞
⎟⎜= + = − + −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N0
N=N0
– Nt cos
N1
= - cos
La tracción del tirante
aumenta el valor de la
compresión en el arco.
Axial sin tirante (Punto A libre)
(negativo)
Axial siempre de compresión
C tN N= −

31
Arco atirantado. Deformación del apoyo A
0
t
t t
t
N N
ρ
Δ
= +
0( )t t t tN N ρΔ = −
3
0
0
1
15
t t
qf L D
N
D D
μ
ρ
−
Δ = + t
D= denominador de la expresión
del esfuerzo en el tirante. D>1
Es igual a la deformación del tirante
Despejando la deformación:
Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:
Segundo sumando negativo.
La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo:
N
N0t
t

32
Arco atirantado pretensado. Resumen
2
( )
2
t
q
M Lx x y N= − −
sin cos
2
t
qL
N qx Nα α
⎛ ⎞⎟⎜= − + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3
0 0
15
t
t
t
qf L N
N
D D
μ
ρ
= +
La pretensión hace disminuir
la deformación del apoyo.
Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales
Axial siempre de compresión
- La tracción del tirante aumenta el
valor de la compresión en el arco
Aparece momento flector
- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector
Esfuerzo final en el tirante:
- siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción
- la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante
3
0
0
1
15
t t t
qf L D
N
D D
μ
ρ
−
Δ = +

33
Arco biempotrado
X
Y
A
A
A
M
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
X
A
B
N2M2
Q2
x
1
y
1
M y= − 1
cosN α= −
2
M x= 2
sinN α= − 3
1M = − 3
0N =
N1M1
Q1
x1
y
N0M0
Q0
x
y
q
N3M3
Q3
x1
y
Caso 0
Caso 1
Caso 2 Caso 3

34
Arco biempotrado
0 0
02 02 11 11 01
0 0
11 11 20 20 10
0
01 10 00
cos cos
sin sin
m g
x
y m g
A
g
N ds T ds T yds M ydsAI J I J I
I J I J I A N ds T ds T xds M xds
I I I M T ds M ds
γ α α α α μ
γ α α α α μ
α μ
⎧ ⎫⎪ + − +⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪⎪ ⎪+ − + ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪− + + − = + − −⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ − +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪⎪⎩
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ecuaciones de compatibilidad:
, 0,1,2m n
mnI x y ds m nμ= =∫
sin cosm n
mnJ dsγ α α= ∫
0
X Y AM M yA xA M= − + −
Esfuerzos finales:
0
cos sinX YN N A Aα α= − −
=f X D

35
Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
j k
jkf M M dsμ= ∫
2 2
2 3 2
0
2
8 2
15 3 3
3 3 2
2
3 2
Lf L f Lf
L f L L
EI
Lf L
L
⎡ ⎤
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
f
A
B
Energía axial nula
Inercia según la ley de la secante
1 2 3
1M y M x M= − = = −

36
0 j
jD M M dsμ= −∫ N0M0
Q0
x
y
q
2
0
2
qx
M = −
Coeficientes D
3
0
4
0
3
0
/10
/8
/6
qL f EI
qL EI
qL EI
⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
D
2
/8
/2
0
X
Y
A
qL fA
A qL
M
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
X
Mismas reacciones que en el arco isostático
No hay momento en los apoyos

37
2 2
0
0 0
2 8 2
X Y A
qx qL qL
M M yA xA M y x
f
= − + − = − − + + =
Momento flector: nulo !!
Axial: igual que en el arco isostático
2
8
Clave
qL
N
f
= −
( )
1/22 2
16
8
A
qL
N L f
f
= − +
1/24 2
2
2
64 4
L L
N q x xL
f
⎛ ⎞
⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
N

38
Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1)
N2M2
Q2
x
1
y
N1M1
Q1
x1
y
N0M0
Q0
x
y
N3M3
Q3
x1
y
Caso 0
Descargado
Caso 1
Caso 2 Caso 3
1 11
2 21
3 31
X
Y
A
X A K
X A K
X M K
= =
= =
= =
Columna 1 de K h=3

39
2 2
11
2 3 2
0 21
2 31
8 2
15 3 3 1
0
3 3 2
02
3 2
Lf L f Lf
K
L f L L
EI K
KLf L
L
⎡ ⎤
⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
i j
ijf M M dsμ= ∫
Inercia según la secante: I=I0 sec(α)
0+f X = D Δ
La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad.
El vector D es nulo, pues el caso 0 está descargado.
Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X

40
2 2
11 12 13
2 3 2
0 21 22 23
2 31 32 33
8 2
15 3 3 1 0 0
0 1 0
3 3 2
0 0 12
3 2
Lf L f Lf
K K K
L f L L
EI K K K
K K KLf L
L
⎡ ⎤
⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ 1
II II
−
=K f
II IIf K = I
Columna 3
Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad
Columna 1 Columna 2
Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I
Deformación impuesta

41
Arco biempotrado. Rigidez
Inercia según la secante.
I=I0 sec(α)
I0 inercia en la clave
2
3 2 3 2
2 2
0
2 2
3 2 3 2
2 2
2
15 45 15
2 4 20 0
12 6 12 6
0 0
156 9 6 3
2
45 15 45 15
4 2 4 20 0
12 6 12 6
0 0
15 156 3 6 9
2 2
45
4
15
2
IX
IY
I
JX
JY
J
Lf Lf Lf
L L L L
LfL L L LEI
Lf Lf Lf Lf
L L L L
Lf LfL L L L
Lf
P
P
M Lf
P
P
M
− −
⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
−− −
−
IX
IY
I
JX
JY
J
δ
δ
θ
δ
δ
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
IX
JX
IY JY
I J

42
Ejemplo 1
L
H
f
q
L
Rígido
axialmente
0
0 0
3 2
0 0
2
22
2
0
0
3
6
0
0
15
2
12 6
6 9 4
45 1
4
2
61
2
5
X X
Y Y
I
Lf
I I
L L
I I
L L
I
H H
A
E H
I
H
I
L
I
F
F
I MI
Lf H
f
θ
⎡ ⎤
+ +⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
−
−
−
⎥⎣ ⎦
+−
Δ
ΔArco parabólico, sin
energía de esfuerzo
axial, inercia según la
secante.
Pilar central infinitamente
rígido axialmente
X
Y
q
L
H
f

43
Ejemplo 1. Fuerzas
2
8
2
0
X
Y
qL
f
qL
F
F
M
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜− ⎟⎪ ⎜ ⎪⎟⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
qL/2
qL2
/8f qL2
/8f
qL/2M0
=0
Fuerzas de fase 0 en el arco
debidas a la fuerza q
qL2
/8f
qL/2
q
qL/2
qL2
/8f
No hay momentos en la fase 0

44
Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco
2
2
02
2
15 45 15
8
2 4 20 0
1
2 0
0
8
2
0
45
4
IX
IY
I
JX
JY
J
qL
f
Lf Lf Lf
qL
EI
qL
f
qL
Lf
P
P
M
P
P
M
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
3 2 3 2
2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
2 6 12 6
0
156 9 6 3
2
45 15 45 15
4 2 4 20 0
12 6 12 6
0 0
15 156 3 6 9
2 2
15
2
0
0
0
X
Y
L L L L
LfL L L L
Lf Lf Lf Lf
L L L L
Lf LfL L L L
Lf θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪− − ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− − − ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎩ ⎭
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ
Δ
−
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Hay momentos,
producidos por las deformaciones
del nudo I

45
Ejemplo 1. Flector en el arco
IX
IY
I
2
2
IY IX I
qx
M P x P y M
f
= − − −
2
0 0
2
0 0
3 2
0 0 0
2
45 15
8 4 2
12 6
2
15 6 9
2
X
IX
Y
IY
X Y
I
qL EI EI
P
f Lf Lf
qL EI EI
P
L L
EI EI EI
M
Lf L L
θ
θ
θ
Δ
= + −
Δ
= + +
Δ Δ
= − + +
Variación parabólica en x

46
Ejemplo 2
2
3
2
1 1
1
2
2
3
1
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
3
3
C C
X
C C
Y
X X
Y Y
X
Y
K
EA
H
K
E
EI
H
A
H
K
F
F
F
H
F
EI
K
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ
Δ
Δ−
Δ
Arco semi circular uniforme
2 3
2 16C C
C
EI EI
K
R S L π
= =
1X
1Y
q
L
H
R=L/2
2X
2Y
A
C
B

47
Ejemplo 2. Fuerzas
0
2
0
1
0
2
2
3
2
2
X
Y
Y
qL
F
qL
F
qL
F
π
= −
=
=
L=2R
1 2
qL/2
F1X
-F2X
3 2 2 2
0
1 2 2
2 3 6 6 2
12 2 3 3
X
RL LeS e RL R eSq qL
F
R S e S eLR π
− − +
= =
+ −

48
Ejemplo 2. Ecuación de equilibrio
3
1
1
2
3
2
3
20 0
3
0 0 0
2
2
0 0
3
0 0 0
2
3
C C
C C
X
Y
X
Y
qLK
EA qL
H
qL
K
E
H
E
A qL
I
H
EI
H
K
K
π
π
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦
Δ
Δ
Δ−
Δ
qL/2
q
qL/2
2qL 2qL

49
Ejemplo 3. Añadimos un tirante pretensado
( )
( )
0
0
3
3
1
1
2
2
20 0
3
0 0 0
2
3 2
0 0
3
0 0 0
2
3
C C
C C
X
Y
X
Y
K K N
K K
qLK
EA qL
H
EI qL
K
H
EA qL
H
N
EI
K
H
K
π
π
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢
+ −
⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
+
⎩ ⎭
−
−
⎣ ⎦
Δ
Δ
Δ−
Δ
1X
1Y
q
L
H
R=L/2
2X
2Y
A
C
B
K
Disminuyen las fuerzas
exteriores
Aumenta la rigidez (poco)

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