Este documento presenta información sobre ecuaciones, incluyendo definiciones de ecuaciones numéricas, literales, lineales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver ecuaciones lineales usando teoremas de transformación y cómo algunas ecuaciones no lineales pueden reducirse a ecuaciones lineales. También proporciona ejemplos de diferentes tipos de ecuaciones y sus conjuntos de soluciones.

1. Demetrio Ccesa Rayme

2. Sean los siguientes Polinomios en “x”:
P(x) = 5x + 2, x {-1; 0; 1; 3; 4; 9}
Q(x) = x2 + 3x - 1, x {-2; -1; 0; 3; 9}
Evaluar y completar el siguiente cuadro:
x -2 -1 0 1 3 4 9
P(x)
Q(x)
x -2 -1 0 1 3 4 9
P(x) --- -3 2 7 17 22 47
Q(x) -3 -3 -1 --- 17 --- 107
VALOR NUMÉRICO

3. ECUACIÓN
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones
matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un
determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
Ejemplo 1: x – 6 = 10 x
Ejemplo 2: x2 – 2 = x + 4
Ejemplo 3: x3 = x
se verifica para x = 8
( 1 solución o 1 RAÍZ)
se verifica para x = 2 ó x = 3
( 2 soluciones o 2 RAÍCES)
se verifica para x = 0 ó x = 1 ó x = 1
( 3 soluciones o 3 RAÍCES)
CONJUNTO SOLUCIÓN:
Se llama conjunto solución o conjunto de soluciones a aquel conjunto cuyos
elementos verifican la igualdad de las expresiones que forman una ecuación.
Para el ejemplo 1: C.S. = {8}
Para el ejemplo 2: C.S. = {2 ; 3}
Para el ejemplo 3: C.S. = {1; 0; 1}

4. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
1. Ecuaciones numéricas
Ejemplo: 3x + 5 = 10(2x – 3 )+7
2 . Ecuaciones literales
Ejemplo: ax + b = a(b – x )
SEGÚN LOS COEFICIENTES DE SUS VARIABLES
SEGÚN SU GRADO
1. Ecuaciones lineales o de primer grado
Ejemplo: 7x – 2(x + 1) = 3x +2
2 . Ecuaciones de segundo grado
Ejemplo: 2x2 + 3x = 6 – 2x

5. 1. Ecuación Compatible
Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución;
puede ser determinada o indeterminada
a) Determinada: Tiene un número finito de soluciones.
b) Indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones.
Ejemplos: 2x + 8 = x + 11 C.S. = {3}
x(x+2)(x–3) = 0 C.S. = {2; 0; 3}
Ejemplo: 5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3
2. Ecuación Incompatible
Es aquella que no tiene solución.
Ejemplo:
C.S. = {… 2; 1; 0; 1; 2; ... }
C.S. = { } ó C.S. =3x + 5 = 8 + 3x
SEGÚN EL TIPO DE SOLUCIÓN
No existe ningún valor de x que verifique la igualdad.

6. ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede
escribirse en la forma:
ax + b = 0
donde a y b son constantes y a ≠ 0.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos o más ecuaciones se definen como equivalentes si el Conjunto
Solución es común para todas.
Ejemplos:
1) 2(x – 5) = x – 4 C.S = {6}
2) x – 6 = 0 C.S = {6}
Luego las dos ecuaciones son equivalentes.

7. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Resolver una ecuación es un proceso que consiste en determinar todas las
soluciones o raíces que verifican la ecuación, o bien, demostrar que éstas no
existen.
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES
Teorema I: “Las ecuaciones F(x) = G(x) y F(x) – G(x) = 0, son
equivalentes ”
Ejemplo.- Si: 2x – 1 = x + 4
Teorema II: ”Las ecuaciones G(x) = F(x) y F(x) + l = G(x) + l, son
equivalentes para cualquier número real l”.
Ejemplo.- Si: 3x + 7 = x + 4
Teorema III: Para todo número real l distinto de cero, las ecuaciones:
F(x) = G(x) y l. F(x) = l . G(x), son equivalentes.
Ejemplo.- Si: 5x- 9 = x - 2
 (2x – 1) – (x + 4 ) = 0
 3x + 7 + (-7) = x + 4 + (-7)
 3.(5x - 9) = 3.(x – 2)

8. x x
5 6
4 3

 
x
x x
2 2
1
 

ECUACIONES QUE CONDUCEN A UNA ECUACIÓN LINEAL
Existe un conjunto de situaciones problémicas que se plantean por medio de
ecuaciones racionales no lineales (de grado diferente de 1), que al
resolverlas se reducen a una ecuación lineal.
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Llamamos ecuación fraccionaria a aquel tipo de ecuación racional en el
que las incógnitas se encuentran en los denominadores.
Ejemplos:

9. ECUACIONES LITERALES O PARAMÉTRICAS
Una ecuación se denomina literal o paramétrica cuando al menos una
cantidad conocida se representa por una letra (denominada
parámetro).
Ejemplo.
ECUACIONES CON RADICALES
Una ecuación se denomina irracional si por lo menos una incógnita forma
parte de algún radicando.
Ejemplo. x x3 2 2   
y y3 3   
= 0ax + bx + c
Ecuación lineal de una incógnita (x) y de parámetros a, b y c.