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2.4 Ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas
2.4.1 Ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas en una variable son aquellas ecuaciones en
una variable, en las cuales el mayor grado al cual aparece la variable es 2.
Ellas se reducen a la forma ax2 + bx + c = 0 (a ∈ R, b ∈ R,c ∈ R ,x ∈ R, a ≠ 0).
Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado consiste en determinar
los valores para los cuales se satisface la ecuación anterior. Esos valores son
las raíces de la ecuación cuadrática.
Ejemplo 1
Identifica cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas.
Fundamenta por qué.
a)

3p2+5p =0

b)

2,1x2+2,7x+0,6=0,

c)

(y +1)(y-1)=y2+ 3y + 88,

d)

4a 2–6a –54=0,

e)

n2+1=n2–1

f)

16-5b + 32b2=0,

g)

0= 4x 2 + 12x +

9
2

h) p2+3p-38=p-3
i) 3x2-26x-9=2x2+(x-13)2-178
Resolución:
Son ecuaciones cuadráticas las de los incisos a), b), d), f), g) y h), porque la
variable de mayor grado aparece elevada al exponente 2, una vez simplificada
la ecuación.
Observa que no basta con apreciar el término de mayor grado; es necesario
calcular y reducir términos semejantes para determinar el grado de la ecuación.
Toma nota de que pueden existir términos a ambos lados del símbolo de
igualdad y que el término cuadrático puede estar en cualquier posición.
La ecuación e) se reduce a 1 = –1 o 0 =2. Su solución es el conjunto vacío;
para cualquier valor que se le asigne a la variable se obtendrá una proposición
falsa, por eso la ecuación es una contradicción. Esta situación se debe
diferenciar de f), donde el problema reside en que no hay solución en R. La
ecuación i) se satisface para todos los valores de la variable y por eso es una
identidad.

1
Para resolver una ecuación cuadrática se transponen todos los términos para
un solo miembro y se iguala a cero, se realizan las operaciones indicadas, se
reducen los términos semejantes, al llegar a la expresión de segundo grado
igualada a cero (ax2 + bx + c = 0), se factoriza y se iguala a cero cada factor,
resolviendo así dos ecuaciones; en caso que no se pueda factorizar, se calcula
el discriminante (D = b2 – 4ac).
Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales: x1,2 =

−b ± D
.
2a

Si D = 0, la ecuación tiene una única solución, que en este caso es una raíz
doble o una raíz de multiplicidad 2: x1,2 =

−b
.
2a

Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
•

¡Elabora la secuencia de pasos para resolver una ecuación cuadrática!

Ejemplo 2
Determina el conjunto solución de la ecuación x 2–2x –3 = 0, si el dominio
básico de la variable es N y Z.
Resolución:
Como la expresión está ya reducida a la forma ax 2 + bx + c = 0 debemos factorizar el
miembro izquierdo. Aplicamos el teorema de Vieta y buscamos dos números que
multiplicados den –3 y sumados –2, que son –3 y +1 precisamente, por lo que el
trinomio se descompone como (x–3) (x + 1). Igualando a cero cada factor, se obtienen
dos ecuaciones. En N la ecuación x +1 = 0 no tiene solución, por lo que la única
solución posible es x = 3 y por tanto el conjunto solución es S = {3}. En Z son posibles
dos soluciones: x1=3 y x2= –1 y por ende el conjunto solución es S = {–1; 3}. ♦
Ejemplo 3
Juan y Pedro resolvieron cada uno la ecuación x 2 – x = 3x – 1 como se indica a
continuación. Indica quién la resolvió correctamente y fundamenta tu respuesta.
Juan
Pedro
x2 – x = 3x – 1
x 2 – x = 3x – 1
x2 – 4x+3 = 0
(x–3)(x–1)=0
x1=3, x2=1

x(x –1) = 3 (x –1)
x=3

x(x –1) = 3 (x –1)
Resolución:
Juan fue quien resolvió la ecuación correctamente, porque Pedro dividió ambos
miembros de la ecuación dada por el binomio (x–1), que se anula para x 0 = 1,
el cual es un valor del dominio de definición de la ecuación. Como esta
transformación no es equivalente, se perdió una solución de la ecuación, dado
que la ecuación x = 3 obtenida no es equivalente a la original. ♦

2
Ejemplo 4.
Halla los valores de la variable para los cuales 4z 2 = 3z + 11
Resolución:
Primero se lleva la expresión a la forma 4z 2 – 3z – 11 = 0. Como no hay
términos semejantes ni se puede factorizar fácilmente, apliquemos la fórmula
para hallar el discriminante:
D = b2 – 4ac = ((-3)2 – 4(4)(-11)) = (9 + 176) = 185 > 0
Luego existen dos soluciones:
z1,2 =

−b ± D
3 ± 185 3 ± 13,6
=
≈
2a
8
8

z1 ≈ 2,1 z2 ≈ −1,3 ♦
Ejemplo 5
Determina, en caso de existir, los valores de a para los cuales se cumple que:
5a –7 = 3a2 + 1
Resolución:
5a – 7 – 3a2 - 1 = 0
–3a2 + 5a – 8 = 0
Como no se puede factorizar fácilmente; apliquemos la fórmula para hallar el
discriminante D = (5)2 – 4(-3)(-8) = 25 – 96 = – 71 < 0, luego la ecuación no
tiene soluciones reales. ♦
Ejemplo 6
Resolver la siguiente ecuación 4y4 – 4y2 + 1 = 0.
Resolución:
Este tipo de ecuación se denomina ecuación bicuadrática y se transforma en
una cuadrática mediante el cambio de variable y 2 = z. De este modo,
obtenemos 4z2 – 4z + 1 = 0.
Transformándola en (2z – 1)2 = 0 resulta la raíz doble z1,2 =

1
.
2

Haciendo el cambio de variable en sentido inverso, resulta:
y2=z1 , por tanto y1,2= ±

2
2

Análogamente, para y2=z2, resulta y3,4 = ±

2
♦
2

Ejemplo 7
Si una de las raíces de la ecuación x2 –8x + k = 0 es 3, entonces ¿cuál es la otra?
¿Cuál es el valor de k?

3
Resolución:
Sabemos que x1 + x2 = – b y que x 1 = 3. Se tiene entonces:
x1 + x2 = –( –8)
3 + x2 = 8, luego x 2 = 5
Como x1.x2 = k, 3.x2 = k
Sustituyendo a x2:
3.5= k, luego k = 15♦
Ejemplo 8
Determina k en la ecuación 2x2 + k x + 9 = 0 para que una raíz sea el doble de
la otra.
Resolución:
Para aplicar el teorema de Vieta se debe llevar la ecuación 2x 2 + k x + 9 = 0 a
la forma x2+ bx + c = 0. Por tanto se hace necesario extraer factor común 2.
Entones se obtiene:
x2 +

k
x +
2

9
=0
2

x : es una raíz 2 x : es la otra raíz, luego el problema quedaría planteado de
la siguiente manera:
ARREGLAR FRACCIONES
x2 + k

9 = 0 de donde x . 2 x = 9 (1) y x + 2 x = - k (2)
2x +
2
2
2

Luego de 2 x2=
x1= 3

2

9

y

De x + 2 x = - k
3x=- k

2
9 , lo que significa que,
2 (1) resulta x =
4

x2= - 3

2

2 (2) se obtiene:

2

6x=–k
k= – 6 x
Sustituyendo: –6 ( 3 ) = –9

2

–6 ( – 3 ) = 9

2

Respuesta: k puede tomar los valores -9 y 9. ♦
Ejemplo 9
Demuestra que el binomio P (x)= x 2+1 no se puede escribir como el producto
de dos binomios con coeficientes en R.
Resolución:

4
Supongamos que es posible, es decir, que :
x2 +1= (x–a)(x–b)= x2– (a+b)x + ab = x2– ax – bx + ab, donde a, b ∈ R y
ab = 1, –a – b = 0, luego b = –a.
Entonces ab = –a2 = 1, lo cual es una contradicción, pues el cuadrado de todo
número real es positivo. Luego, no se puede factorizar en R.
Esto se puede demostrar también fundamentando la no existencia de raíces
reales por ser el discriminante menor que cero.♦
2.4. 2 Funciones cuadráticas
Como vimos en el epígrafe anterior hay fenómenos de la vida práctica que
pueden ser representados por funciones lineales como son los movimientos
rectilíneos uniformes, los cambios de temperatura y otros, pero existen
movimientos uniformemente acelerados u otros fenómenos naturales que no
pueden ser representados por una línea recta. En la figura se ilustra el
lanzamiento de una pelota, la cual describe una trayectoria que se llama
parabólica.

¿Qué diferencia existe entre las características, representación gráfica y las
relaciones de fenómenos de este tipo?
Analicemos la siguiente situación:
Ejemplo 1
Estudiando la composición del aire entre las hojas de un prado de hierba alta,
se ha observado que la concentración de dióxido de carbono ( CO 2 ) varía
según las distintas horas del día como resultado de la intensidad de la
fotosíntesis que realizan las plantas. Se han tomado datos durante las 24
horas de un día y se ha llegado a que la concentración viene dada por la
fórmula c = 2t2 – 48t + 550
t: hora del día y c: concentración de C O2 en volúmenes por millón (v.p.m)
tiempo( en h)
Concentración
de C O2 (v.p.m)

0

6

12

18

(v.p.m 334
550

262

334

t
2t2 – 48t + 550

Fundamenta por qué la correspondencia que a cada t le asocia un número de
la forma 2t2 - 48t + 550 es una función.
Resolución:
Es una función, pues a través de las operaciones que se realizan, de
potenciación, multiplicación, adición y sustracción, se asocia a cada número
5
real no negativo (t) un único número real positivo que corresponde al volumen
por millón de CO2 para el tiempo dado. ♦
Es evidente que no es una función lineal, ya que su ecuación no es de la forma
y =mx+ n.
¿Qué tipo de función es?
La correspondencia f que a cada x∈ℜ le hace corresponder el número real
f(x)= ax2 + bx + c (a≠0), donde a, b, c son números reales dados, se denomina
función cuadrática o de segundo grado.
La representación gráfica de esta función es una parábola.
Comparemos el ejemplo dado con la definición anterior ¿a qué conclusión
podemos llegar?
La ecuación c = 2t 2 – 48t + 550 del ejemplo responde a la forma
y = ax2 + bx + c, por lo que representa una función cuadrática o de segundo
grado, donde a = 2, b = – 48, c = 550.
(t) es la variable independiente y (c) es la variable dependiente
Son ejemplos de funciones cuadráticas:
y = 3x2 – 7x + 1 ( a = 3; b =– 7 ; c = 1)
A = –l2 + 9

(

s = 5t2 – 0,1 t

l < 3)

(a = – 1; b = 0; c = 9)

(a = 5; b = – 0,1; c = 0)

Las funciones definidas por una ecuación de la forma y = ax 2 (a ≠ 0)
Ejemplo 2
Analicemos la función cuadrática y = x2
Observa que a = 1, mientras que b = c = 0
Si tomamos algunos puntos, por ejemplo, el origen y dos puntos simétricos, es
decir,
x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = –1 , y = 1, podremos esbozar la
gráfica, pero mientras más puntos representemos más nos aproximaremos a la
forma del gráfico de la función. Asumimos sin demostración que la gráfica
puede ser realizda sin necesidad de levantar el lápiz de la hoja de papel.
La representación gráfica de esta función y = x2 se muestra en la figura. Es
una parábola que abre hacia arriba y tiene como vértice el punto
V(0; 0).
y = x2

De esta gráfica pueden obtenerse las propiedades de la
función:
Dominio: ℜ
El dominio de esta función cuadrática es el
conjunto de los números reales. Solo varía si se hacen
restricciones.

FALTA DENOTAR LOS EJES
COORDENADAS EN LA FIGURA.

Y EL ORIGEN DE

6
Imagen:[0,+∞) Los valores que toman las imágenes son solo los reales no
negativos, ya que ningún número real elevado a un exponente par puede ser
negativo.
Ceros: x0 = 0 porque es el valor que anula la función.(la gráfica corta al eje
de abscisas en x0 = 0)
Valor mínimo:: y0 = 0 , lo alcanza para x0= 0 , el punto V(0; 0) es el vértice de la
parábola.
Valor máximo: No tiene, dado que el conjunto de los números reales no
negativos no es acotado.
Monotonía:
x < 0: A medida que crecen los valores del
valores de la imagen.

dominio van decreciendo los

x > 0:A medida que crecen los valores del dominio van creciendo los valores
de la imagen.
Es decir:
Para x < 0 la función es monótona decreciente.
Para x > 0 la función es monótona creciente
Signo: La función es positiva para todos los valores del dominio, salvo para
x0=0.
Simétrica: La gráfica es simétrica respecto al eje y.( recta de ecuación x = 0)
Paridad : Es par. ¿Por qué?
Existen funciones pares, impares y otras que no son ni pares ni impares,¿cómo
determinar la paridad de una función?
f es par si y solo si para todo x ∈ Dom f, –x∈Dom f se tiene que: f(−x) = f(x)
f es impar s si y sólo si para todo x∈ Dom f, –x∈Dom f se tiene que: f(−x) = −f(x)
La función cuadrática de ecuación y = x 2 es par, porque para cada elemento del
dominio y su opuesto la imagen es la misma, es decir, se cumple que
x2 = (-x)2.♦
¿Qué significa geométricamente que una función es par o impar?
Si es par, su gráfico es simétrico respecto al eje y (la recta de ecuación x = 0)

7
Si es impar su gráfico es simétrico respecto al origen de coordenadas.
Posteriormente analizaremos esto en detalle.
El gráfico de una función g del tipo g(x) = a x2 se obtiene a través de una
dilatación respecto al eje x de la gráfica de f(x)=x2 cuando a > 1 . Su
representación gráfica se “separa” del eje de las abscisas a partir del gráfico de
la función f.
Si se representa gráficamente la función y = x2 y y=3x2 en un mismo sistema
de ejes coordenados se observa que la gráfica de esta última se obtiene por
una dilatación con respecto al a la de y=x 2 .

•

Ponga un ejemplo de función dilatada a partir de una cualquiera de las
funciones representadas

Una función g del tipo g(x) = a x2 se obtiene a través de una contracción
respecto al eje x del gráfico de f(x)=x 2 cuando 0< a< 1 . Su representación
gráfica se “aproxima” al eje de las abscisas a partir del gráfico de la función f.
Si se representa gráficamente la función y = x 2 y y=¼ x2 en un mismo sistema
de ejes coordenados se observa que la gráfica de esta última se obtiene por
una contracción con respecto a la de y=x 2 .

Fig. 14

8
•

Ponga un ejemplo de función contraída a partir de una cualquiera de las
funciones representadas.

Una función g del tipo g(x) = –x 2 se obtiene a través de una reflexión
axial de f(x) = x2 con respecto al eje de las abscisas.. Su representación
gráfica sufre una simetría axial con respecto al gráfico de la función f(x),
tomando como eje de simetría el eje de las abscisas.

FALTA ESCRIBIR Y = X2 Y = –X2 EN LA GRÁFICA

En general, el gráfico de y = ax 2 (a ≠ 0) se puede obtener del gráfico de y = x 2 por una
dilatación respecto al eje x si a > 1; por una contracción respecto a este propio eje si
0 < a < 1 y por una reflexión, si a = –1. Para los restantes valores de a (a ≠ 0) se
puede obtener el gráfico a partir de una composición de los movimientos anteriores.

9
Resumen de las propiedades de las funciones y = ax 2 (a≠0)
Propiedades

a>0

a< 0

Dominio

ℜ

ℜ

Vértice

V(0; 0)

V(0; 0)

Imagen

{y∈ℜ; y ≥ 0}

{y∈ℜ; y ≤ 0}

x0 = 0

x0 = 0

x>0

x>0

monótona creciente

monótona decreciente

x <0

x<0

monótona decreciente

monótona creciente

y0 = 0 mínimo

y0= 0 máximo

Parábola

Parábola

que abre hacia arriba.

que abre hacia abajo.

Respecto al eje y ( x = 0)

Respecto al eje y ( x = 0)

Ceros
Monotonía

Máximo o Mínimo
Gráfica
Simetría

Las funciones definidas por una ecuación de la forma y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
Las funciones de la forma y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) tienen como dominio de
definición el conjunto de los números reales, salvo que se declare lo contrario,
es decir, que este se restrinja a un intervalo dado.
En general, la gráfica de estas funciones son parábolas. Estas funciones
alcanzan un mínimo (o un máximo) en la abscisa del vértice V (x V,yV) de la
parábola.
Cuando a > 0 las parábolas abren hacia arriba y la ordenada y V del vértice es
su valor mínimo.
Cuando a < 0, abren hacia abajo y la ordenada y V del vértice es su valor
máximo.
Por esta razón el conjunto imagen de la función son todos los valores de esta
mayores o iguales (menores o iguales) que su valor mínimo si abre hacia
arriba (valor máximo si abre hacia abajo). Dicho valor mínimo o máximo
coincide en cada caso con la ordenada del vértice.
Para determinar los ceros se procede igual que con las funciones lineales: Se
sustituye la ordenada por cero, obteniendo la ecuación ax 2 + bx + c = 0, de
donde resulta una ecuación cuadrática que puede tener dos soluciones, una
solución o ninguna solución real, en dependencia del valor del discriminante
D = b2 – 4ac de la ecuación de segundo grado que la define.
(I)

Si D = b2 – 4ac > 0 existen dos soluciones reales; es decir, dos
ceros que son:

10
x1 =

(II)

−b+ D
2a

ó

x2 =

Si D = b2 – 4ac = 0 existe una solución real, es decir, un cero, que
es:
x= −

(III)

−b− D
2a

b
2a

Si D = b2 – 4ac < 0 no tiene solución real, luego no tiene ceros.

Si para el cálculo de los ceros resulta más cómoda la descomposición factorial,
se puede hacer por esta vía.
En relación con el signo de la función se deben diferenciar los siguientes
casos:
ESTAS FIG. NO SE VEN
1er caso: a >0
Si D > 0, la función es negativa para
−b − D
−b + D
<x<
2a
2a
y positiva para
x>

−b + D
−b − D
o para x <
2a
2a

Si D = 0, la función es positiva para
todo x ∈ R, excepto para x = −

b
.
2a

Si D < 0, la función es positiva
para todo x ∈ R.

11
2do caso: a < 0
Si D > 0, la función es positiva para
−b − D
−b + D
<x<
2a
2a
y negativa para
x>

−b + D
−b − D
o para x <
.
2a
2a

Si D = 0, la función es negativa para
todo x ∈ R excepto para x = −

b
.
2a

Si D < 0, la función es negativa
para todo x ∈ R.

La monotonía debe analizarse a la derecha y a la izquierda de la abscisa del
vértice. Si la parábola abre hacia arriba, la función es monótona decreciente
para x < x V y monótona creciente para x > x V . Si la parábola abre hacia abajo,
la función es monótona ____________para x < x V y monótona __________
para x > x V .
La gráfica de la función es simétrica con respecto a la recta de ecuación x = −
Consideremos una función g del tipo g(x) = [f(x + d)] + e. Su gráfica se obtiene
a partir del gráfico de la función f (x)= x 2 mediante una traslación de |d|
unidades en la dirección del eje de las abscisas, “hacia la derecha” si
d < 0 y “hacia la izquierda” si d > 0 y |e| unidades “hacia arriba” si e > 0 y
“hacia abajo” si e < 0.

12

b
.
2a
Así , la función g(x)=(x–1) 2 +1 es una traslación de f(x)=x2 en una unidad en el
sentido positivo del eje x y en una unidad en sentido positivo del eje y.

OJO gráfico

Para representar gráficamente una función cuadrática f cualquiera puedes
seguir el procedimiento siguiente:
(1) Calcular los ceros si los posee.
 b  b 
(2) Calcular las coordenadas del vértice V  −
 2a ; f  − 2a  





(3) Calcular las coordenadas de algunos puntos y sus simétricos respecto al
eje de la parábola.
(4) Representar los puntos determinados en un sistema de coordenadas
rectangulares.
(5) Unir los puntos representados mediante una parábola.
Ejemplo 3
Representa gráficamente e indica las propiedades de las siguientes funciones
(dominio, imagen, ceros, valor máximo o mínimo y monotonía):
a) f(x) = x2 – 9

b) g(x) = –x2 – 2x –1

c) h(x) = x2 – 4x – 5

Resolución:
a) Si analizamos esta función, su gráfica se obtiene por una traslación en el
sentido negativo del eje de las ordenadas, 9 unidades (a partir de y = x 2). Su
vértice es V(0; – 9 )
Dom f: ℜ

Imf: {y∈ℜ; y ≥ – 9}

Ceros: x2 – 9 = 0
(x + 3)(x – 3) = 0
x+3=0

ó

x–3=0

Los ceros son: x1 =– 3 ó x2 = 3 (D > 0)
Tiene valor mínimo:

yV = – 9

en x V= 0 .

Monotonía: creciente para x > 0 y decreciente para x < 0
13
Su representación gráfica es:

Observa que f (x) tiene una ecuación de la forma y= x2 + e El vértice es V(0; e )
b ) g(x) = –(x2 + 2x + 1)
= –(x + 1)

.

2

La gráfica de g, se obtiene por una traslación en el sentido negativo del eje x, 1
unidad (hacia la izquierda) y por una reflexión respecto a este mismo eje. Su
vértice es V(–1; 0)
Dom g: ℜ

Im g:{ y∈ℜ; y ≤ 0}

Cero: –(x + 1)2 = 0
x+1=0
x = –1 tiene un solo cero (D = 0)
Tiene valor máximo yV = 0 para xV = –1.
Monotonía: decreciente para x > –1 y creciente para x < –1
Su representación gráfica es:

Observa que g(x) es de la forma y = –(x + d)2 .El vértice es V(–d; 0 )
14
c) h(x) = x2 – 4x– 5
La gráfica de h, se obtiene aplicándole a la parábola y = x 2 una composición de
dos traslaciones, como apreciaremos posteriormente.
Dom h: ℜ
Para determinar la imagen, debemos hallar el vértice, pues la
imagen de una parábola que abre hacia arriba(a>0), es y ≥ yV.
xV = −

b
−4
=−
= 2 , de donde, yV = (2)2 – 4 (2 ) – 5 =– 9, V(2; – 9)
2a
2

Im h: {y∈ℜ; y ≥ – 9 }
Ceros: x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
Los ceros de h son:

x1 = 5 ó x2 = – 1

Tiene valor mínimo yv= –9 para xv=2.
Monotonía: creciente para x> 2 y decreciente para x<2.
¿Podríamos llevar la ecuación que define la función h a la forma (x + d) 2 + e?
¿Cómo? Pues haciendo un completamiento cuadrático, ya que la forma
y= (x + d)2 + e de escribir la ecuación de una función cuadrática en ocasiones
nos facilita la obtención de algunas propiedades. Como el coeficiente del
término cuadrático es 1 y conocemos las coordenadas del vértice,podemos
escribir la ecuación de la función como sigue::
y = x2 – 4x– 5 = (x – 2)2 – 9
 Haz la gráficade esta función con ayuda del simulador del software Eureka
de la colección Futuro ♦
Las funciones cuadráticas de la forma f(x) = x 2+e ó f(x) = –x2+e son pares, no
así las que tienen formas que difieren de esta.
Ejemplo 4
De la función y = x 2 − 4x + 3 se conoce que su dominio es el intervalo
− 1 ≤ x ≤ 5 y que la abscisa de su vértice es 2. Determina su conjunto imagen.
Resolución:
Para determinar el conjunto imagen se debe determinar primeramente la
ordenada del vértice:
y V = (2)2 − 4(2) + 3 = −1 .
Como la abscisa del vértice es igual a 2, y 2 equidista de los extremos del
intervalo que constituye el dominio de definición de la función, a saber de –1
y 5, basta determinar el valor de la función para uno de estos extremos.
Hagámoslo para x = –1.
y = ( −1)2 − 4( −1) + 3 = 8
Por consiguiente el conjunto imagen es: Im f = { y ∈R : 1 ≤ y ≤ 8} .

15
Ejemplo 5.
Completa la siguiente tabla de acuerdo a los datos que aparecen, considerando que
se trata de traslaciones y /o reflexiones respecto a la parábola y = x 2:
DEJAR ESPACIO PARA LA ÚLTIMA COLUMNA
Ecuación

Conjunto

Ceros Signo

Monotonía mínimo

imagen

Gráfico

máximo

a) y = x2 – 4
b)

{y∈R:y ≤ 0} xo = 3

Crece solo
para
x<3

c)

No negativa Crece solo Mínimo
siempre

para

yo = 0

x > 2
d)

-4

-1

e)y=½(x2+5x+4)
Resolución:
a) ¿Qué elementos podemos determinar primero? Pueden ser los ceros o el valor
mínimo o la imagen o el gráfico. Evidentemente esta ecuación proporciona
suficiente información .
¿Qué transformación sufre esta función? Una traslación en el sentido negativo del
eje de las ordenadas de 4 unidades.El vértice de la parábola es el punto (0;-4), luego
las imágenes son:
.
Determinamos los ceros:

Im f ={y ∈ ℜ con y≥
-4}

y= x2 – 4 tenemos 0= x2 – 4
0= ( x + 2 )( x – 2 )
Ceros:
x1 = –2 ; x2 = 2

16
¿Cuál sería su gráfico?
GRAFICO

MEJORAR GRÁFICO

2

-2
-4

b) La ecuación es y = –(x – 3) 2, lo que se deriva de la información que se brinda. El
signo de la función es negativo en todo su dominio salvo en la x V=3, la abscisa del
vértice y posee un valor máximo yV = 0 en xV= 3.
 Construye el gráfico de la función.
c) Si es no negativa siempre, el valor mínimo es y V=0 y es creciente solo para las x >2,
entonces la ecuación es y = ( x –2)2 y su gráfico es:

2

d) Tenemos la gráfica de la función:

-4

-1

El gráfico nos indica los ceros de la función. Con ellos podemos escribir la ecuación de
la forma y= ax2 + bx +c, porque si un cero es –4 y el otro es –1 tenemos que:
y= (x+4 )( x +1)= x2 +5x +4.
Podemos decir también que la función es negativa para x ∈ ℜ con –4 < x < –1.
 b  b 
b
5
5 2
5
9
Como V  −
 2a ; f  − 2a   entonces xV = − 2a = − 2 yv= (- 2 ) +5(-. 2 )+4= – 4







9
4

Su conjunto imagen es: y ∈ R : y ≥ −  4
Crece para las x > –

5
5
decrece para x <–
2
2

Su valor mínimo es y = –

9
.
4

17
2
La ecuación se puede escribir también como: y =  x + 5  − 9 .

2
4


Resuelve el inciso e)
Ejemplo 6
Dado h(x) = 3x2 + 24x + 50 expresa la función h(x) en la forma
+ e.

h(x) = a(x + d) 2

Resolución:
Para expresar la función en la forma pedida en el ejercicio,
realizar el completamiento cuadrático.
Observa que la función está dada en la forma

debemos

y= ax 2 + bx + c.

Luego primeramente debe extraerse el factor común h(x) = 3(x 2 + 8x +

50
).
3

¿Cuál es el complemento? Para que el trinomio sea cuadrado perfecto el tercer
término debe ser 16. Entonces, sumamos 16 y restamos 48 que es el producto
de 16⋅3 de la siguiente forma:
h(x) = 3(x2 + 8x + 16) + (50 - 48 ) = 3(x + 4)2 + 2
De esta forma ya ha sido expresada la función de la manera pedida, lo cual
facilita el análisis de las propiedades de la función ♦
 Haz lal gráficade esta función con ayuda del simulador del software Eureka
de la colección Futuro. Expresa las propiedades de la función.
Ejemplo 7
Se quiere construir una cerca rectangular, para lo cual se dispone de 10 m de
cerca metálica.
a) ¿Qué dimensiones debe tener la cerca para que el área sea máxima?
b) ¿Si se utiliza una pared de la casa cuáles serían las dimensiones si
mantenemos que el área sea máxima?
Resolución: OJO se perdió gráfico
a) Sean a y b los lados del cercado rectangular. Como se dispone de 10m de tela
metálica, se debe cumplir la siguiente relación para el perímetro P del rectángulo:
P = 2 (a+b)
10 = 2 (a+b)

(1)

Luego, podemos expresar el lado b en función del lado a como:
b = 5–a

(2)

En consecuencia, el área A del cercado rectangular debe satisfacer la relación:
A = a (5–a) = –a2 + 5a (3)
Nótese que esta expresión no tiene sentido para a ≤ 0 y a ≥ 5 , dado que el área no
puede ser negativa. Para a 1 = 0 y a2 = 5 la expresión se anula, de lo que podemos
inferir que estos valores son los ceros de la función A (a), cuya gráfica es una parábola
que abre hacia abajo. Luego su valor máximo lo toma cuando a es igual a la abscisa
18
del vértice. Como la parábola es simétrica, ha de esperarse entonces que dicha
abscisa sea 2,5, lo cual se puede verificar aplicando la fórmula:
aV =

−5
=2,5
2( −1)

Sustituyendo en (2) este valor para a, hallaremos que b también es igual a 2,5.
Por tanto, el cercado tendrá un área máxima de 6,25 m 2 cuando este tenga la forma de
un cuadrado de 2,5 m de lado.
En general se cumple que:
De todos los polígonos de n lados con igual perímetro (área) es el regular el que tiene
mayor área (perímetro).
b) Ahora se debe cumplir la siguiente relación para el perímetro P del rectángulo:
P = 2 a+b
10= 2 a+b

(1)

Expresando la longitud del lado b en función de la del lado a, obtenemos:
b =10–2a

(2)

Por consiguiente el área A del cercado debe satisfacer la relación:
A = a (10–2a) = –2a2 + 10a (3)
Nótese que esta expresión tampoco tiene sentido para a ≤ 0 y a ≥ 5 .Haciendo un
análisis similar al del inciso anterior nos damos cuenta que la abscisa del vértice es
también 2,5, de modo que a = 2,5 y b = 5.
Por tanto, el cercado tendrá un área máxima de 12,5 m 2 cuando este tenga la forma de
un rectángulo de 2,5 m x 5 m de lado. ♦
 Completa la tabla con las propiedades de la función f(x) = ax 2+bx+c(a≠0)
Propiedades

a>0

a< 0

Dominio
Vértice
Imagen
Ceros
Monotonía
Máximo o Mínimo
Gráfico
Simetría
2.4.3 Inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática en una variable es una inecuación que se puede
reducir a una de las formas siguientes;
ax2 + bx + c > 0,
ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ≥ 0,
ax2 + bx + c ≤ 0

19
con a, b, c números reales dados, x ∈ R y a ≠ 0.
Para resolver una inecuación cuadrática se trata generalmente de llevarla a
una de las formas anteriores, con a >0, en cuyo caso la parábola
correspondiente a la función f(x) = ax2 + bx + c abre hacia arriba.
En el caso que la función tenga dos ceros reales x 1,x2 con x1<x2, la función será
negativa para los valores comprendidos entre estos dos y no negativa fuera de
este intervalo.
+
+

–

x
1

x
2

En el caso que la función tenga un cero doble, será positiva para todos los
valores reales, excepto para el propio cero.

+

+

x
1

En el caso que no tenga ceros (discriminante negativo) y por ende su gráfico no
intercepte al eje x, será positiva para todos los valores de su dominio de
definición.
Ejemplo 1
Determina el conjunto solución de la inecuación x 2 + 6x +9 > 0.
Como en el trinomio no hay términos semejantes y está comparado con 0, hay
que factorizar la expresión algebraica, es decir:
(x + 3)2 > 0
Esta inecuación se satisface para todos los valores reales, salvo para x = –3
El conjunto solución es S = R  {–3}

20
Luego x2 + 6x + 8 ≥ 0 para (-∞;-4]

∪

[-2;+∞) ♦

Ejemplo 2
Determina el conjunto solución de:
a). x2 ≤ x + 6
b). x4 + 15x2 ≥ 16
Resolución:
a) Para resolver la inecuación cuadrática es necesario transponer todos los
términos para un mismo miembro y comparar con cero:
x2 ≤ x + 6
Análisis de signos
x2 – x - 6 ≤ 0
(x - 3)(x + 2) ≤ 0
Ceros:

+

–
–2

+
3

x1= 3; x2= –2
S = [-2;3]= { x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 3}
b) Al
transformar la inecuación
x4 + 15x2 -16 ≥ 0.

x 4 + 15x2 ≥ 16 se

obtiene que

Estamos en presencia de un trinomio bicuadrático.
En su descomposición se obtiene: (x2 + 16)(x2 -1) ≥ 0
El factor x2 + 16 no se descompone y siempre es positivo, luego solo se trabaja
con el segundo factor (x2 – 1) ≥ 0 que al factorizar queda (x + 1)(x – 1) ≥ 0.
Como los ceros de x2 – 1 son 1 y -1, entonces la solución de la inecuación es:
S= (-∞;-1] ∪ [1;+∞)= { x ∈ R : x ≤ −1 ó x ≥ 1} ♦
Ejemplo 3.
Un cuerpo posee una velocidad en cm/s dada por la ecuación v = t 4 – 4t2 + 10.
Determina para qué intervalo de tiempo la velocidad será mayor que 10 cm/s
en el intervalo (0;9].
Resolución:
Como se quiere determinar el intervalo de tiempo donde la velocidad será
mayor que10, esto se plantea de la siguiente forma t 4 – 4t2 + 10 > 10, para
resolver la inecuación encontrada se procede de forma análoga a la anterior,
luego t4 – 4t2 > 0. Descomponiendo en factores, tendremos t 2(t + 2)(t – 2) > 0.
Para el análisis de signo solo tendremos

21
Como los valores son no negativos, la respuesta correcta es: la velocidad será
mayor que10 cm/s a partir de los 2s hasta los 9s. ♦

Resumen
Para resolver una inecuación cuadrática se pueden seguir los pasos siguientes:
- Se trasponen todos sus términos para un solo miembro y se compara con 0.
- Se reducen los términos semejantes.
- Se hallan los ceros del trinomio de segundo grado asociado a la inecuación.
- Se traza una recta numérica y se sitúan los ceros del trinomio.
- Se sitúan los signos de acuerdo al signo de la función en cada uno de los
intervalos
- Se seleccionan el o los intervalos que satisfacen la inecuación, teniendo en
cuenta que los ceros del trinomio pueden o no incluirse, en dependencia de si
la desigualdad es estricta o no.
Ejercicios (epígrafe 2.4)
1.

Sin resolver la ecuación, averigua si los pares de números que se dan en
cada caso son raíces de la ecuación correspondiente:

a) x2 – 7x + 28 = 0

;3;4

c) x2 – 6x + 2 = 0 ; 3-

7

d) 2x2 + x -6 = 0 ; -2 ; 3

;3+

2

b) x2 -2x -3 = 0 -1; 3
7

e) x2 + x + 1 = 0 ; -

1
1
± 2 ; -- − 2
2
2

2. En un bosque hay dispersas x casetas de guardas; cada una está unida
a las restantes por caminos diferentes. Exprese el número de caminos
posibles en función de las casetas.
3.

Expresa el área de un triángulo isósceles rectángulo en función de la
longitud de sus catetos.

4.

El área de un cuadrado es de 100 cm 2, entonces el perímetro de un
cuadrado que sus lados midan la mitad del lado de este será de:
____ 10 cm
____ 20 cm
____ 18 cm
____ 40 cm

5.

El área de un cuadrado es de 81 cm 2, entonces el perímetro de un
cuadrado que sus lados midan la mitad del lado de este será de:
____ 10 cm
____ 20 cm
____ 18 cm
____ 40 cm

6.

Un triángulo tiene 3 metros más de altura que de base y su área es de
20 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
____ Base: 8 m ; Altura: 5 m
____ Base: 5 m ; Altura: 8 m
____ Base: 4 m ; Altura: 10 m

7.

____ Base: 10 m ; Altura: 4 m

Determina cuál de las siguientes ecuaciones es una identidad:

22
___(x-9)x-(x-9)9=(x-9)2
___(x-9)(x+y)=x2+xy-9x+9y
___(x-9)2+81=x2
___(x-9)2+2(x-9)+1=(x+10)2
8.

Resuelve las siguientes ecuaciones
2

a)

a 2


− 0,6 
 3




=0

b) 4(m – 15) (m + 4)(m −18) = 0
c) (m2 – 8)(m2 + 8) = 0
9.

Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) b (b + 3) = 4
b) x (2x + 5) = x (x – 3)
c) 2c (c – 1) + (c + 1)2 = 10
d) 5a2 + 4a + 1 = a ( 3a – 2)
e) (2x – 2) (x + 2) – (x +1) (x – 1) = 5
f) (y – 8)(3y – 9) = (2y + 4) (y – 5)

10.

Marca con una cruz la proposición verdadera:

1)

____

La

ecuación

es equivalente a la
( 4a − 5)( a + 1) = 0 en el dominio de los números reales.

2)

___La ecuación

3)

____ La ecuación (a – 1)2 + (a – 1) – (5 – 3a2) = 0 no es equivalente a la

4a 3 − a 2 = 5a

ecuación

( 4a − 5)2 (a + 1)
es equivalente a la ecuación
=0
4a − 5
( 4a − 5)( a + 1) = 0 en el dominio de los números reales.

ecuación 4a2 – a + 5 = 0 en el dominio de los números reales.
11. Marca con una cruz la proposición verdadera:
1) ___ Si el discriminante de una ecuación cuadrática es mayor que cero,
entonces la ecuación tiene exclusivamente soluciones racionales.
2)

___Si el discriminante de una ecuación cuadrática es igual a cero,
entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución.

3)

____Si el discriminante de una ecuación cuadrática es menor que cero,
entonces la ecuación cuadrática tiene soluciones irracionales.

23
12.

13.

Sea y = 2x + 3 la ecuación de una recta. Si el punto de coordenadas
(a2 + 3a; 23) pertenece a la recta, halla los valores de a correspondientes.
Forma las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:

a) x1= -2

x2 = 5

b) x1 = 2 x2= -3

d)x1= 2 +
e)x1= 1 -

6
3

; x2= 2 x2 = 1 +

6

;

3.

c) x1 = 2 x2 = 3
14.

Una raíz de la ecuación x2 -9x + k = 0 es 5. Halla la otra raíz.

15.

Una raíz de la ecuación 3x2 -11x + k = 0 es 3 .Halla la otra raíz.

16.
17.

Una raíz de la ecuación 2x2 – 7x + k = 0
determina el valor de k.

es 2.Halla la otra raíz y

Halla dos números cuya suma ¨ s¨ y el producto sea ¨p ¨, si:

a) s = 11 p = 30

d) s = 19 p = -120

b) s = -3 p = 40

e) s = 4 p = 1.

c) s = 10 p = 23
18.

Resolver las ecuaciones:

a). (x + 5)2 – (x + 1)2 – 16x = (x - 1)2 – (x - 5)2
b). (m – 1)2 – 5(m – 1) = 14
c).

x2
x
− = 3(x – 5).
6
2

d) (x – 6)(x – 4) + x(x + 9) = 18 – 9x
e). (2x + 3)(x – 7) + (x + 7)(x + 6) = 22x
f). (6u + 7)(3u – 4) – (–3u2 – 11u – 25) = 2 – (2u + 3)2
19.

Demuestra que las raíces de la ecuación
(a + c – b)x2 + 2cx + (b + c – a) = 0
son racionales.

20.

Determina los valores que puede tomar m para que la ecuación
x2 – mx – (m + 1) = 0 tenga dos soluciones reales.

21.

Demuestra que no existen dos números reales tales que su producto sea
7 y su suma 2.

22.

Demuestra que si x es una raíz de la ecuación x 2 –px + q, entonces p-x es
también raíz de esta ecuación.

23.

La fórmula S = v0t + ½at2 es una ecuación de segundo grado en variable
t, donde a y v0 son valores conocidos. Calcula S para que las dos
soluciones de la ecuación sean iguales.

24.

Determina los valores de a, a ∈ R, a ≠ 1, tales que la ecuación
(a – 1)x2 +2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 en variable x tenga una solución única.

24
25.
26.

Las raíces x1 y x2 de la ecuación cuadrática x2+ px + 12=0 tienen la
siguiente propiedad: x1–x2=1. Halla los posibles valores del coeficiente p.
Resuelve:
2

1

a )x 3 + 7 x 3 +12 = 0

27.

2
b)4 x − = 5 − x −1

c )x17 = x

En cada una de las ecuaciones cuadrática dadas, determina el valor de
k, de modo que se cumpla la condición dada.
Ecuación

Condición

a)4x2 – kx + 7=0

Suma de las soluciones igual a 3

b) kx2 +6x + 32=0

Suma de las raíces igual a –2

c) 7x2 – 3kx + 41=0

Suma de las soluciones igual a 0

d) 8x2 + 5x –6k=0

Producto de las raíces es 9.

e) x2 +9x + k=0

Una raíz es el doble de la otra.

f) x2 – kx + 18=0

Una solución es el duplo de la otra.

g) x2 – 4x + k=0

La diferencia de las raíces es igual a
6.

h) x2 – 7x + k – 4=0

La diferencia de las raíces es igual a
5.

i) 3kx2 – 5x + 4k – 26=0

Producto de las raíces es –3.

j) 4x2 +10 + k + 3=0

Una raíz es el recíproco de la otra.

2

k) 5x – (k+2)x + 7k–6=0
l) kx2 +(3k–4) x –5=0
m) 4x2
2k+7=0
28.

+5kx

–x

Una solución es 2.
Una raíz es igual a

+

1
.
2

Una raíz es igual a −

2
.
3

Sea la ecuación de segundo grado ax2+bx+c = 0 (a≠0). Demuestra que:
a)

Si una raíz es la opuesta de la otra, entonces b = 0.

b)

Si la suma de las raíces es igual a su producto, entonces b +c
=0.

c)
d)

Si las raíces son recíprocas, entonces a = c.
Si la diferencia de las raíces es igual a su producto, entonces su
discriminante es igual a c2.

e)
f)

29.

Si una raíz es el duplo de la otra, entonces 2b 2–9ac=0.
2
Si una solución es el triplo de la otra, entonces 3b =ac.

16

Sea la función h definida por la ecuación

25
1

m ≠ 
3


y = (3m–1)x2–2(m+1)x+m

¿Para qué valores del parámetro m, la representación gráfica de h no interseca
al eje de las abscisas?
30.

En el sistema de coordenadas se ha trazado el grafico de la función f de
ecuación:
f ( x) = x 2 − 4 x + c , en el intervalo -3 ≤ x ≤ 7.
y

Determina la respuesta correcta:
a) Los ceros de la función son:
1) __-3 y 5
3)___ -2 y 5

2

2) ___-3 y 2
4) ___ -1 y 5

3

7
5
y

x

b) La función alcanza su valor mínimo para:
1)___ x = -3

2) __ x =0

3)__ x = 2

4) ___x = 5

c) La función es creciente y negativa para:
1) __ 2 ≤ x≤ 5
31.

2) __ 2≤x ≤ 7

3) __x > 2

4)___ 2 < x < 5

Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales
falsas:

a) Toda función cuadrática corta al eje de las abscisas al menos en un
punto.___
b) La parábola y= x2 + 2x -3 tiene por vértice ( 2 ;3).___
c) Si f( x) = ( x+3)2 , entonces f es siempre positiva _____.
d) Si g(x) = 2x2 – 4x, entonces cuando x = 0 la función se anula.___
32.

Dada la función: f ( x) = x 2 + 2 x −15

a) Halla los ceros de la función
b) Halla la ordenada y v del vértice de la parábola
c) Diga el conjunto imagen de la función.
d) La función es creciente en el intervalo:
---x< 0
33.

----x> 0

---x ≤ .-1

___x ≥ −1

La gráfica representa una función de la
forma f(x) =–x2 + p x + q

y
y

a) Determina un intervalo donde la función sea
decreciente y positiva.

3

5

x
26
b) Para que valor del dominio la función alcanza su valor máximo
c) Halla el cero de la función.
d) Escribe la ecuación de la función
Dada la función h(x) = (x – 2)2 – 1.

34.

a).Determina el valor de la abscisa para que la ordenada sea 3.
b).Determina el valor de la ordenada para cuando la abscisa es –4.
35.

Representa gráficamente las siguientes funciones y analiza sus
propiedades (dominio, imagen, ceros, monotonía, eje de simetría, máximo
o mínimo, signo y paridad):
a). y = x2 – 4

d). y = (x – 5)2

b). y = x2 – 5x – 6

e). f(x) = (x + 4)2 – 3

c). y = - x2 + 3x

f). g(x) = –2 x2 –7x + 4

El punto V(-2, -9) es el vértice de la parábola y = x 2 + bx – 5:

36.

a) Represéntala gráficamente.
b) Determina la imagen de la función.
c) Di un intervalo donde la función sea creciente y positiva.
d) Por qué puede afirmarse que la función no tiene paridad?.
Los ceros de la función f(x) = x2 + bx +c son 8 y -2:

37.

a) ¿Para qué valores de la variable independiente
negativas?.

las imágenes de

f son no

b) Halla el mínimo de la función.
c) Di cuál es la monotonía de la función para x < -3.
d) Escribe la ecuación de la función.
e) Halla el intercepto de la función con el eje “y”.
38.

La función g(x) = ax2 – 20x + 4 tiene un solo cero
es y = 0.

y su valor mínimo

a). Halla la ecuación de la función.
b). Determina el eje de simetría de la parábola.
39.

Dado los siguientes gráficos de funciones cuadráticas:
B

A
3

-2

-3
-1

Determina en cada caso:
a) La imagen de la función.

27
b) Su ecuación.
c) Un intervalo donde la función sea creciente.
40.

. Dada la función y = 2x2 + 4x – 6:

a). Halla sus ceros
b). Halla su valor máximo o mínimo.
c). Determina su imagen.
d). Represéntala gráficamente en el intervalo –3 ≤ x ≤ 0.
41.

La recta y = -2x + 5 corta a la parábola f(x) = x 2 – 6x + c en dos puntos
A y B. Si A(4 ; -3):

a). Halla la ecuación de f.
b). Determina las coordenadas de B.
c). Di la monotonía de f en el intervalo (-2;2).
42.

Sea f(x) = x2 + 10x + 24, una función cuadrática.

a).Determina todos los valores del dominio de f para los cuales se cumple que f(x) > 0.
b).Calcula f( ( 10 ) + 360 .
43.

Dada la función f(x) = (x + 3)2 – 4.

a).Determina si la función es positiva o negativa en el intervalo (-18; -6).
b).Calcula los valores de x para los cuales se cumple que f(x) = 5.
c).Calcula

44.

15
7
−
.
6
4 f ( 0 ) − 125
81 − 4

Si f(x) = x2 – 8x + 12:

a) Determina su imagen.
b) Di si es par, impar o si no tiene paridad.
45.

Sean las funciones reales h y g definidas por:

h(x) = 3x2 + 8x + 4 y

g(x) = 2x2 – 3.

Determina los valores reales de x para los cuales se cumpla que h(x) = g(x).
46.

¿Para qué valores de k la función y = x2 + 4x + k – 2:
a) tiene un solo cero

47.

b) tiene dos ceros

c) no tiene ceros?

La recta x = 1,5 es el eje de simetría de la parábola y = x 2 + px –18

a) Analiza la monotonía de la función.
b) Halla su ecuación
c) Halla su valor mínimo.
d) Di el signo de la función para las x < -3.
e) Di un intervalo donde la función sea creciente y sus imágenes sean negativas.

28
f) Analiza si la recta de ecuación y = x – 27 tiene puntos comunes con la parábola.
48.

El valor máximo de una función cuadrática es 12 y lo alcanza en x = -1.
Si uno de los ceros de la función es –3:

a). Halla el otro cero de la función.
b). Halla la ecuación de la función.
c). Escribe un intervalo donde la función sea creciente.
d). ¿Para qué valores de x ∈ [-3, 2) las imágenes de la función son no positivas?
e). Esboza su gráfico en el intervalo [-1;1].
49.

Sean dadas las funciones f y g por sus ecuaciones f ( x ) =

x2
2

y

x
g( x ) = +1 .
2

a)
b)
50.

Determina las coordenadas de los puntos A y B donde se
intersecan las representaciones gráficas de las funciones f y g.
Calcula la longitud del segmento de extremos A y B:

Expresa las ecuaciones siguientes en al forma f(x) = a (x–h) 2+k
a)

f(x) = x2 –4x+5

b)

f(x)=2x2 –6x+4

c)

f(x)=3x2 +24x+50

d)

f(x)= −

e)

f(x)=2x(x–6)+22

f)
51.

3 2
x +9x–34
4

f(x)=0,4x2 –2,4x+4,6

Una función cuadrática g se obtiene de la función f : R → R
con
f (x) = x2 mediante una traslación de 2 unidades en la dirección positiva del
eje de las abscisas y una traslación de 3 unidades en la dirección negativa
del eje de las ordenadas.

La ecuación funcional de g es:
(
___ g( x ) = x −3)2 + 2
___ _ g( x ) = ( x + 2) 2 −3

52.

___
___

g( x ) = −x 2 + 4 x − 7
g( x ) = x 2 − 4 x +1

Una función cuadrática f tiene las siguientes propiedades:
a. El eje de simetría de su gráfico es x = −3 .
b. Sus imágenes satisfacen la condición:

7 y 3 +11 ≥ 4

Su ecuación funcional es:

29
___ f ( x ) = ( x +3)2
___ f ( x ) = x 2

53.

___ f ( x ) = −x 2

+1

−6 x −10

___ f ( x ) =( x −3)2

+ 6 x +8

Sea la función real definida por la ecuación

−1

f ( x ) = x 2 +bx −8 .




1
2

a) Calcula el valor del parámetro b, si se conoce que f  −  = −

23
.
4

b) Considera b = 2 y halla los puntos donde la representación gráfica de f
interseca al eje de las abscisas.
c) Determina el valor mínimo de la función dada en el inciso anterior y
represéntala gráficamente.
54.

(Ecología).-

ALTURA (m)
0,84

0

2,52

LONGITUD (m)

En la gráfica se ha representado la trayectoria de uno de los animales saltarines,
cuyo salto generalmente es parabólico. A partir de los datos que se dan en la
gráfica encuentra la ecuación que describe el recorrido.
55. Marca con una cruz la proposición verdadera:
1) ___La inecuación (x + 3)(x – 5) ≤ 0 se satisface para los valores reales
de la variable tales que − 3 ≤ x ≤ 5 .
2) ___La inecuación (x – 3)(x + 5)<0 se satisface para los valores reales de
la variable tales que − 5 ≤ x ≤ 3 .
3) ___ La inecuación (x + 7) (x –2) ≥ 0 se satisface para los valores reales
de la variable tales que x ≤ −7 ó x ≥ 2 .
56.

Halla todos los valores de y que verifiquen las desigualdades dadas a
continuación:

a). y2 – 2y < 15
c). y2 –5y + 17 > 2y + 35

b). 36 – 12y ≤ -y2
d). y2 + 12y + 5 ≥ 21y - 9

30
57.

Asocia a las inecuaciones de la columna A su conjunto solución en la
columna B

Columna A
a). x2 – 10x + 25 ≥ 0
b). x2 – 4x < 0
c). x2 + 3 ≤ 0
d). x2 > 2x + 3
e). x2 – 4 > 4 - 2x
f). x(x – 1) + (x + 2)(x + 1) > 2x +6
g). 2x2 + 7x – 4 ≤ 0
58.

Columna B
1). ( −∞; −4 ) ∪ ( 2; ∞ )
2). [ -4;½]
3). (– ∞ ; 0) ∪ ( 4; ∞ )
4). (– ∞ ;– 2 ) ∪ ( 2 ;
5). ℜ
6). φ
7). (-∞;-1) ∪ (3;+∞);

∞)

Demuestra que para todo x≠y pertenecientes a R*(R  {0}), siempre se
verifica que:
x y
+ >2
y x

59.

Determina el dominio de la variable en las siguientes expresiones :
a).

5 x −1

b). 3 1 − x 2 c).

x ( x 2 − 9)

d) 4 x3 + x 2 − 4x − 4

60.

Mostrar que la media aritmética de dos números positivos es siempre
mayor o igual que la media geométrica. ( La igualdad tiene lugar cuando
dichos números son iguales)

61.

Determina m para que se verifique la desigualdad 3x 2–2mx+12>0, para
x∈R.

62.

Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2+bx+c = 0
(a≠0), entonces halla la ecuación cuadrática cuyas soluciones o raíces
son:
a)

x1
x2
y
x2
x1

b)(x1+x2)2 y (x1–x2)2

Sugerencia:
a. Halla la suma y el producto de las nuevas raíces y usa la relación
x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2.
b. Halla la suma y el producto de las nuevas raíces y usa la relación
(x1–x2)2=(x1+x2)2–4x1x2.
63.

Sea la ecuación de segundo grado (m–1)x2+2(m + 1)x = –m (m ≠ 1).

¿Para qué valores del parámetro m, el conjunto solución de la ecuación dada
es S =∅?
64.

Sean x1 y x2 soluciones de la ecuación x 2–px+36=0. Determina el valor de
p. para que se cumpla la siguiente relación:
1
1
5
+
=
x1 x 2 12
31
65.

El producto de un número disminuido en 5 por el número aumentado en 5
es 75. Hallar el número.

66. El área de autoconsumo de una escuela primaria tiene forma rectangular.
Dentro de esta área se utilizará una parte de forma cuadrada para sembrar
condimentos y el resto para sembrar hortalizas. Si el área A del rectángulo
se representa por el trinomio 2 x 2 –7x –15 y el perímetro P del cuadrado se
representa por el binomio 4x-12.
a) Analiza para qué valores de x real
anteriormente.

tiene sentido lo expresado

b) ¿Cuál es el polinomio que representa el área que se destinará a la
siembra de hortalizas?.
c) Calcula el 56% del área de la parte que se destinará a la siembra
de hortaliza, sabiendo que: x = 60,3 m.
d) Si el área se quiere cercar con tres pelos de alambre. Calcule el
costo de la obra si cada metro de alambre cuesta 0.35 pesos.
67.

Halla un número de dos cifras en que la cifra de las decenas sea igual al
cuadrado de la cifra de las unidades, y la suma de las cifras sea 12.

68.

Muestra que si dos números positivos tienen suma constante, su
producto es máximo cuando ellos son iguales.

69.

Divide el número 8 en dos partes, tales que la suma de sus cuadrados
sea mínima.

70.

Divide un segmento de 12 cm de longitud en dos segmentos tales que la
longitud del cuadrado de la longitud del mayor sea el cuádruplo del producto
del menor por la longitud del segmento dado.

71.

Calcula el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm,
sabiendo que uno de sus catetos es igual a la semisuma de la hipotenusa y
el otro ca teto.

72.

Si el radio de un círculo aumenta en 3,0 cm, el área aumenta en 60 cm 2.
Calcula aproximadamente el perímetro del círculo primitivo

73.

Especialistas plantean que el crecimiento “ y” de un niño en libras ,se
relaciona con su peso actual “ x” mediante la fórmula y = cx ( 21 – x) donde
c es una constante positiva y se cumple que 0 < x < 21. ¿ A qué peso se
tiene la tasa máxima de crecimiento?

74.

El largo de un rectángulo excede en 2,0 dm a su ancho y su diagonal es
7,0 cm mayor que su largo. Calcula el perímetro y área del rectángulo.

75.

Una caja en forma de prisma tiene un volumen de 1,5 m 3 y su base es un
rectángulo cuyo largo excede al ancho en 5,0 dm y su altura es50 cm.
Calcula:
a) Las dimensiones de la caja.
b) El área lateral del prisma.

32
76.

Con una pieza de cinc de forma rectangular con 4,0 cm más de largo que
de ancho se construye una caja de 840 cm 3 de capacidad cortando un
cuadrado de 6,0 cm de lado de cada esquina y doblando los bordes.
a) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
b) Varía condiciones en el problema anterior y formula un nuevo
problema.

77.

Dado un triángulo equilátero de lado a, se lleva a partir de cada vértice
sobre los lados y en el mismo sentido, una longitud x. Luego se unen los
puntos obtenidos. ¿Qué longitud debe tomarse para que el área del
triángulo que se forma sea la tercera parte del triángulo primitivo?

78.

La siguiente figura muestra un arco de puente que tiene forma de
parábola. El vértice S se halla en el medio del arco. La forma de la
parábola está determinada por los segmentos AB =100m y OS =10m.
a) Selecciona un sistema de coordenadas apropiado y escribe la ecuación
del arco de parábola.
b) Calcula la longitud los puntales señalados en el esquema, si la
separación entre ellos es de 10 m.
S
A

79.

O

B

La velocidad (en metros por segundo) de una masa oscilando en el
extremo de un péndulo está dada por la ecuación v=0,5 2 − x , donde x es
el desplazamiento vertical (en centímetros) de la masa desde su posición
de reposo.
a) Halle los valores admisibles para x, de acuerdo con las condiciones del
problema.
b) Despeje x, en función de v, y represente gráficamente la función x(v).
c) Explique la relación entre esta gráfica y el comportamiento físico de la
masa, cuando está oscilando.

80.

Se necesita construir un canalón con una lámina larga rectangular de
12 dm de ancho. Se deben doblar dos orillas hacia arriba para que queden
perpendicular al fondo.¿Cuántos decímetros de ancho deben tener tales
orillas para que el canalón tenga capacidad máxima?
canalón

81.

Sea un segmento AB de longitud igual a 4,0 dm. Determina sobre él o
su prolongación un punto M, tal que la suma de las áreas de los triángulos
equiláteros construidos sobre MA y MB sea mínima. Calcula el valor de
la suma de las áreas de los referidos triángulos equiláteros.

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  • 1. 2.4 Ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas 2.4.1 Ecuaciones cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas en una variable son aquellas ecuaciones en una variable, en las cuales el mayor grado al cual aparece la variable es 2. Ellas se reducen a la forma ax2 + bx + c = 0 (a ∈ R, b ∈ R,c ∈ R ,x ∈ R, a ≠ 0). Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado consiste en determinar los valores para los cuales se satisface la ecuación anterior. Esos valores son las raíces de la ecuación cuadrática. Ejemplo 1 Identifica cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas. Fundamenta por qué. a) 3p2+5p =0 b) 2,1x2+2,7x+0,6=0, c) (y +1)(y-1)=y2+ 3y + 88, d) 4a 2–6a –54=0, e) n2+1=n2–1 f) 16-5b + 32b2=0, g) 0= 4x 2 + 12x + 9 2 h) p2+3p-38=p-3 i) 3x2-26x-9=2x2+(x-13)2-178 Resolución: Son ecuaciones cuadráticas las de los incisos a), b), d), f), g) y h), porque la variable de mayor grado aparece elevada al exponente 2, una vez simplificada la ecuación. Observa que no basta con apreciar el término de mayor grado; es necesario calcular y reducir términos semejantes para determinar el grado de la ecuación. Toma nota de que pueden existir términos a ambos lados del símbolo de igualdad y que el término cuadrático puede estar en cualquier posición. La ecuación e) se reduce a 1 = –1 o 0 =2. Su solución es el conjunto vacío; para cualquier valor que se le asigne a la variable se obtendrá una proposición falsa, por eso la ecuación es una contradicción. Esta situación se debe diferenciar de f), donde el problema reside en que no hay solución en R. La ecuación i) se satisface para todos los valores de la variable y por eso es una identidad. 1
  • 2. Para resolver una ecuación cuadrática se transponen todos los términos para un solo miembro y se iguala a cero, se realizan las operaciones indicadas, se reducen los términos semejantes, al llegar a la expresión de segundo grado igualada a cero (ax2 + bx + c = 0), se factoriza y se iguala a cero cada factor, resolviendo así dos ecuaciones; en caso que no se pueda factorizar, se calcula el discriminante (D = b2 – 4ac). Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales: x1,2 = −b ± D . 2a Si D = 0, la ecuación tiene una única solución, que en este caso es una raíz doble o una raíz de multiplicidad 2: x1,2 = −b . 2a Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. • ¡Elabora la secuencia de pasos para resolver una ecuación cuadrática! Ejemplo 2 Determina el conjunto solución de la ecuación x 2–2x –3 = 0, si el dominio básico de la variable es N y Z. Resolución: Como la expresión está ya reducida a la forma ax 2 + bx + c = 0 debemos factorizar el miembro izquierdo. Aplicamos el teorema de Vieta y buscamos dos números que multiplicados den –3 y sumados –2, que son –3 y +1 precisamente, por lo que el trinomio se descompone como (x–3) (x + 1). Igualando a cero cada factor, se obtienen dos ecuaciones. En N la ecuación x +1 = 0 no tiene solución, por lo que la única solución posible es x = 3 y por tanto el conjunto solución es S = {3}. En Z son posibles dos soluciones: x1=3 y x2= –1 y por ende el conjunto solución es S = {–1; 3}. ♦ Ejemplo 3 Juan y Pedro resolvieron cada uno la ecuación x 2 – x = 3x – 1 como se indica a continuación. Indica quién la resolvió correctamente y fundamenta tu respuesta. Juan Pedro x2 – x = 3x – 1 x 2 – x = 3x – 1 x2 – 4x+3 = 0 (x–3)(x–1)=0 x1=3, x2=1 x(x –1) = 3 (x –1) x=3 x(x –1) = 3 (x –1) Resolución: Juan fue quien resolvió la ecuación correctamente, porque Pedro dividió ambos miembros de la ecuación dada por el binomio (x–1), que se anula para x 0 = 1, el cual es un valor del dominio de definición de la ecuación. Como esta transformación no es equivalente, se perdió una solución de la ecuación, dado que la ecuación x = 3 obtenida no es equivalente a la original. ♦ 2
  • 3. Ejemplo 4. Halla los valores de la variable para los cuales 4z 2 = 3z + 11 Resolución: Primero se lleva la expresión a la forma 4z 2 – 3z – 11 = 0. Como no hay términos semejantes ni se puede factorizar fácilmente, apliquemos la fórmula para hallar el discriminante: D = b2 – 4ac = ((-3)2 – 4(4)(-11)) = (9 + 176) = 185 > 0 Luego existen dos soluciones: z1,2 = −b ± D 3 ± 185 3 ± 13,6 = ≈ 2a 8 8 z1 ≈ 2,1 z2 ≈ −1,3 ♦ Ejemplo 5 Determina, en caso de existir, los valores de a para los cuales se cumple que: 5a –7 = 3a2 + 1 Resolución: 5a – 7 – 3a2 - 1 = 0 –3a2 + 5a – 8 = 0 Como no se puede factorizar fácilmente; apliquemos la fórmula para hallar el discriminante D = (5)2 – 4(-3)(-8) = 25 – 96 = – 71 < 0, luego la ecuación no tiene soluciones reales. ♦ Ejemplo 6 Resolver la siguiente ecuación 4y4 – 4y2 + 1 = 0. Resolución: Este tipo de ecuación se denomina ecuación bicuadrática y se transforma en una cuadrática mediante el cambio de variable y 2 = z. De este modo, obtenemos 4z2 – 4z + 1 = 0. Transformándola en (2z – 1)2 = 0 resulta la raíz doble z1,2 = 1 . 2 Haciendo el cambio de variable en sentido inverso, resulta: y2=z1 , por tanto y1,2= ± 2 2 Análogamente, para y2=z2, resulta y3,4 = ± 2 ♦ 2 Ejemplo 7 Si una de las raíces de la ecuación x2 –8x + k = 0 es 3, entonces ¿cuál es la otra? ¿Cuál es el valor de k? 3
  • 4. Resolución: Sabemos que x1 + x2 = – b y que x 1 = 3. Se tiene entonces: x1 + x2 = –( –8) 3 + x2 = 8, luego x 2 = 5 Como x1.x2 = k, 3.x2 = k Sustituyendo a x2: 3.5= k, luego k = 15♦ Ejemplo 8 Determina k en la ecuación 2x2 + k x + 9 = 0 para que una raíz sea el doble de la otra. Resolución: Para aplicar el teorema de Vieta se debe llevar la ecuación 2x 2 + k x + 9 = 0 a la forma x2+ bx + c = 0. Por tanto se hace necesario extraer factor común 2. Entones se obtiene: x2 + k x + 2 9 =0 2 x : es una raíz 2 x : es la otra raíz, luego el problema quedaría planteado de la siguiente manera: ARREGLAR FRACCIONES x2 + k 9 = 0 de donde x . 2 x = 9 (1) y x + 2 x = - k (2) 2x + 2 2 2 Luego de 2 x2= x1= 3 2 9 y De x + 2 x = - k 3x=- k 2 9 , lo que significa que, 2 (1) resulta x = 4 x2= - 3 2 2 (2) se obtiene: 2 6x=–k k= – 6 x Sustituyendo: –6 ( 3 ) = –9 2 –6 ( – 3 ) = 9 2 Respuesta: k puede tomar los valores -9 y 9. ♦ Ejemplo 9 Demuestra que el binomio P (x)= x 2+1 no se puede escribir como el producto de dos binomios con coeficientes en R. Resolución: 4
  • 5. Supongamos que es posible, es decir, que : x2 +1= (x–a)(x–b)= x2– (a+b)x + ab = x2– ax – bx + ab, donde a, b ∈ R y ab = 1, –a – b = 0, luego b = –a. Entonces ab = –a2 = 1, lo cual es una contradicción, pues el cuadrado de todo número real es positivo. Luego, no se puede factorizar en R. Esto se puede demostrar también fundamentando la no existencia de raíces reales por ser el discriminante menor que cero.♦ 2.4. 2 Funciones cuadráticas Como vimos en el epígrafe anterior hay fenómenos de la vida práctica que pueden ser representados por funciones lineales como son los movimientos rectilíneos uniformes, los cambios de temperatura y otros, pero existen movimientos uniformemente acelerados u otros fenómenos naturales que no pueden ser representados por una línea recta. En la figura se ilustra el lanzamiento de una pelota, la cual describe una trayectoria que se llama parabólica. ¿Qué diferencia existe entre las características, representación gráfica y las relaciones de fenómenos de este tipo? Analicemos la siguiente situación: Ejemplo 1 Estudiando la composición del aire entre las hojas de un prado de hierba alta, se ha observado que la concentración de dióxido de carbono ( CO 2 ) varía según las distintas horas del día como resultado de la intensidad de la fotosíntesis que realizan las plantas. Se han tomado datos durante las 24 horas de un día y se ha llegado a que la concentración viene dada por la fórmula c = 2t2 – 48t + 550 t: hora del día y c: concentración de C O2 en volúmenes por millón (v.p.m) tiempo( en h) Concentración de C O2 (v.p.m) 0 6 12 18 (v.p.m 334 550 262 334 t 2t2 – 48t + 550 Fundamenta por qué la correspondencia que a cada t le asocia un número de la forma 2t2 - 48t + 550 es una función. Resolución: Es una función, pues a través de las operaciones que se realizan, de potenciación, multiplicación, adición y sustracción, se asocia a cada número 5
  • 6. real no negativo (t) un único número real positivo que corresponde al volumen por millón de CO2 para el tiempo dado. ♦ Es evidente que no es una función lineal, ya que su ecuación no es de la forma y =mx+ n. ¿Qué tipo de función es? La correspondencia f que a cada x∈ℜ le hace corresponder el número real f(x)= ax2 + bx + c (a≠0), donde a, b, c son números reales dados, se denomina función cuadrática o de segundo grado. La representación gráfica de esta función es una parábola. Comparemos el ejemplo dado con la definición anterior ¿a qué conclusión podemos llegar? La ecuación c = 2t 2 – 48t + 550 del ejemplo responde a la forma y = ax2 + bx + c, por lo que representa una función cuadrática o de segundo grado, donde a = 2, b = – 48, c = 550. (t) es la variable independiente y (c) es la variable dependiente Son ejemplos de funciones cuadráticas: y = 3x2 – 7x + 1 ( a = 3; b =– 7 ; c = 1) A = –l2 + 9 ( s = 5t2 – 0,1 t l < 3) (a = – 1; b = 0; c = 9) (a = 5; b = – 0,1; c = 0) Las funciones definidas por una ecuación de la forma y = ax 2 (a ≠ 0) Ejemplo 2 Analicemos la función cuadrática y = x2 Observa que a = 1, mientras que b = c = 0 Si tomamos algunos puntos, por ejemplo, el origen y dos puntos simétricos, es decir, x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = –1 , y = 1, podremos esbozar la gráfica, pero mientras más puntos representemos más nos aproximaremos a la forma del gráfico de la función. Asumimos sin demostración que la gráfica puede ser realizda sin necesidad de levantar el lápiz de la hoja de papel. La representación gráfica de esta función y = x2 se muestra en la figura. Es una parábola que abre hacia arriba y tiene como vértice el punto V(0; 0). y = x2 De esta gráfica pueden obtenerse las propiedades de la función: Dominio: ℜ El dominio de esta función cuadrática es el conjunto de los números reales. Solo varía si se hacen restricciones. FALTA DENOTAR LOS EJES COORDENADAS EN LA FIGURA. Y EL ORIGEN DE 6
  • 7. Imagen:[0,+∞) Los valores que toman las imágenes son solo los reales no negativos, ya que ningún número real elevado a un exponente par puede ser negativo. Ceros: x0 = 0 porque es el valor que anula la función.(la gráfica corta al eje de abscisas en x0 = 0) Valor mínimo:: y0 = 0 , lo alcanza para x0= 0 , el punto V(0; 0) es el vértice de la parábola. Valor máximo: No tiene, dado que el conjunto de los números reales no negativos no es acotado. Monotonía: x < 0: A medida que crecen los valores del valores de la imagen. dominio van decreciendo los x > 0:A medida que crecen los valores del dominio van creciendo los valores de la imagen. Es decir: Para x < 0 la función es monótona decreciente. Para x > 0 la función es monótona creciente Signo: La función es positiva para todos los valores del dominio, salvo para x0=0. Simétrica: La gráfica es simétrica respecto al eje y.( recta de ecuación x = 0) Paridad : Es par. ¿Por qué? Existen funciones pares, impares y otras que no son ni pares ni impares,¿cómo determinar la paridad de una función? f es par si y solo si para todo x ∈ Dom f, –x∈Dom f se tiene que: f(−x) = f(x) f es impar s si y sólo si para todo x∈ Dom f, –x∈Dom f se tiene que: f(−x) = −f(x) La función cuadrática de ecuación y = x 2 es par, porque para cada elemento del dominio y su opuesto la imagen es la misma, es decir, se cumple que x2 = (-x)2.♦ ¿Qué significa geométricamente que una función es par o impar? Si es par, su gráfico es simétrico respecto al eje y (la recta de ecuación x = 0) 7
  • 8. Si es impar su gráfico es simétrico respecto al origen de coordenadas. Posteriormente analizaremos esto en detalle. El gráfico de una función g del tipo g(x) = a x2 se obtiene a través de una dilatación respecto al eje x de la gráfica de f(x)=x2 cuando a > 1 . Su representación gráfica se “separa” del eje de las abscisas a partir del gráfico de la función f. Si se representa gráficamente la función y = x2 y y=3x2 en un mismo sistema de ejes coordenados se observa que la gráfica de esta última se obtiene por una dilatación con respecto al a la de y=x 2 . • Ponga un ejemplo de función dilatada a partir de una cualquiera de las funciones representadas Una función g del tipo g(x) = a x2 se obtiene a través de una contracción respecto al eje x del gráfico de f(x)=x 2 cuando 0< a< 1 . Su representación gráfica se “aproxima” al eje de las abscisas a partir del gráfico de la función f. Si se representa gráficamente la función y = x 2 y y=¼ x2 en un mismo sistema de ejes coordenados se observa que la gráfica de esta última se obtiene por una contracción con respecto a la de y=x 2 . Fig. 14 8
  • 9. • Ponga un ejemplo de función contraída a partir de una cualquiera de las funciones representadas. Una función g del tipo g(x) = –x 2 se obtiene a través de una reflexión axial de f(x) = x2 con respecto al eje de las abscisas.. Su representación gráfica sufre una simetría axial con respecto al gráfico de la función f(x), tomando como eje de simetría el eje de las abscisas. FALTA ESCRIBIR Y = X2 Y = –X2 EN LA GRÁFICA En general, el gráfico de y = ax 2 (a ≠ 0) se puede obtener del gráfico de y = x 2 por una dilatación respecto al eje x si a > 1; por una contracción respecto a este propio eje si 0 < a < 1 y por una reflexión, si a = –1. Para los restantes valores de a (a ≠ 0) se puede obtener el gráfico a partir de una composición de los movimientos anteriores. 9
  • 10. Resumen de las propiedades de las funciones y = ax 2 (a≠0) Propiedades a>0 a< 0 Dominio ℜ ℜ Vértice V(0; 0) V(0; 0) Imagen {y∈ℜ; y ≥ 0} {y∈ℜ; y ≤ 0} x0 = 0 x0 = 0 x>0 x>0 monótona creciente monótona decreciente x <0 x<0 monótona decreciente monótona creciente y0 = 0 mínimo y0= 0 máximo Parábola Parábola que abre hacia arriba. que abre hacia abajo. Respecto al eje y ( x = 0) Respecto al eje y ( x = 0) Ceros Monotonía Máximo o Mínimo Gráfica Simetría Las funciones definidas por una ecuación de la forma y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) Las funciones de la forma y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) tienen como dominio de definición el conjunto de los números reales, salvo que se declare lo contrario, es decir, que este se restrinja a un intervalo dado. En general, la gráfica de estas funciones son parábolas. Estas funciones alcanzan un mínimo (o un máximo) en la abscisa del vértice V (x V,yV) de la parábola. Cuando a > 0 las parábolas abren hacia arriba y la ordenada y V del vértice es su valor mínimo. Cuando a < 0, abren hacia abajo y la ordenada y V del vértice es su valor máximo. Por esta razón el conjunto imagen de la función son todos los valores de esta mayores o iguales (menores o iguales) que su valor mínimo si abre hacia arriba (valor máximo si abre hacia abajo). Dicho valor mínimo o máximo coincide en cada caso con la ordenada del vértice. Para determinar los ceros se procede igual que con las funciones lineales: Se sustituye la ordenada por cero, obteniendo la ecuación ax 2 + bx + c = 0, de donde resulta una ecuación cuadrática que puede tener dos soluciones, una solución o ninguna solución real, en dependencia del valor del discriminante D = b2 – 4ac de la ecuación de segundo grado que la define. (I) Si D = b2 – 4ac > 0 existen dos soluciones reales; es decir, dos ceros que son: 10
  • 11. x1 = (II) −b+ D 2a ó x2 = Si D = b2 – 4ac = 0 existe una solución real, es decir, un cero, que es: x= − (III) −b− D 2a b 2a Si D = b2 – 4ac < 0 no tiene solución real, luego no tiene ceros. Si para el cálculo de los ceros resulta más cómoda la descomposición factorial, se puede hacer por esta vía. En relación con el signo de la función se deben diferenciar los siguientes casos: ESTAS FIG. NO SE VEN 1er caso: a >0 Si D > 0, la función es negativa para −b − D −b + D <x< 2a 2a y positiva para x> −b + D −b − D o para x < 2a 2a Si D = 0, la función es positiva para todo x ∈ R, excepto para x = − b . 2a Si D < 0, la función es positiva para todo x ∈ R. 11
  • 12. 2do caso: a < 0 Si D > 0, la función es positiva para −b − D −b + D <x< 2a 2a y negativa para x> −b + D −b − D o para x < . 2a 2a Si D = 0, la función es negativa para todo x ∈ R excepto para x = − b . 2a Si D < 0, la función es negativa para todo x ∈ R. La monotonía debe analizarse a la derecha y a la izquierda de la abscisa del vértice. Si la parábola abre hacia arriba, la función es monótona decreciente para x < x V y monótona creciente para x > x V . Si la parábola abre hacia abajo, la función es monótona ____________para x < x V y monótona __________ para x > x V . La gráfica de la función es simétrica con respecto a la recta de ecuación x = − Consideremos una función g del tipo g(x) = [f(x + d)] + e. Su gráfica se obtiene a partir del gráfico de la función f (x)= x 2 mediante una traslación de |d| unidades en la dirección del eje de las abscisas, “hacia la derecha” si d < 0 y “hacia la izquierda” si d > 0 y |e| unidades “hacia arriba” si e > 0 y “hacia abajo” si e < 0. 12 b . 2a
  • 13. Así , la función g(x)=(x–1) 2 +1 es una traslación de f(x)=x2 en una unidad en el sentido positivo del eje x y en una unidad en sentido positivo del eje y. OJO gráfico Para representar gráficamente una función cuadrática f cualquiera puedes seguir el procedimiento siguiente: (1) Calcular los ceros si los posee.  b  b  (2) Calcular las coordenadas del vértice V  −  2a ; f  − 2a       (3) Calcular las coordenadas de algunos puntos y sus simétricos respecto al eje de la parábola. (4) Representar los puntos determinados en un sistema de coordenadas rectangulares. (5) Unir los puntos representados mediante una parábola. Ejemplo 3 Representa gráficamente e indica las propiedades de las siguientes funciones (dominio, imagen, ceros, valor máximo o mínimo y monotonía): a) f(x) = x2 – 9 b) g(x) = –x2 – 2x –1 c) h(x) = x2 – 4x – 5 Resolución: a) Si analizamos esta función, su gráfica se obtiene por una traslación en el sentido negativo del eje de las ordenadas, 9 unidades (a partir de y = x 2). Su vértice es V(0; – 9 ) Dom f: ℜ Imf: {y∈ℜ; y ≥ – 9} Ceros: x2 – 9 = 0 (x + 3)(x – 3) = 0 x+3=0 ó x–3=0 Los ceros son: x1 =– 3 ó x2 = 3 (D > 0) Tiene valor mínimo: yV = – 9 en x V= 0 . Monotonía: creciente para x > 0 y decreciente para x < 0 13
  • 14. Su representación gráfica es: Observa que f (x) tiene una ecuación de la forma y= x2 + e El vértice es V(0; e ) b ) g(x) = –(x2 + 2x + 1) = –(x + 1) . 2 La gráfica de g, se obtiene por una traslación en el sentido negativo del eje x, 1 unidad (hacia la izquierda) y por una reflexión respecto a este mismo eje. Su vértice es V(–1; 0) Dom g: ℜ Im g:{ y∈ℜ; y ≤ 0} Cero: –(x + 1)2 = 0 x+1=0 x = –1 tiene un solo cero (D = 0) Tiene valor máximo yV = 0 para xV = –1. Monotonía: decreciente para x > –1 y creciente para x < –1 Su representación gráfica es: Observa que g(x) es de la forma y = –(x + d)2 .El vértice es V(–d; 0 ) 14
  • 15. c) h(x) = x2 – 4x– 5 La gráfica de h, se obtiene aplicándole a la parábola y = x 2 una composición de dos traslaciones, como apreciaremos posteriormente. Dom h: ℜ Para determinar la imagen, debemos hallar el vértice, pues la imagen de una parábola que abre hacia arriba(a>0), es y ≥ yV. xV = − b −4 =− = 2 , de donde, yV = (2)2 – 4 (2 ) – 5 =– 9, V(2; – 9) 2a 2 Im h: {y∈ℜ; y ≥ – 9 } Ceros: x2 – 4x – 5 = 0 (x – 5)(x + 1) = 0 Los ceros de h son: x1 = 5 ó x2 = – 1 Tiene valor mínimo yv= –9 para xv=2. Monotonía: creciente para x> 2 y decreciente para x<2. ¿Podríamos llevar la ecuación que define la función h a la forma (x + d) 2 + e? ¿Cómo? Pues haciendo un completamiento cuadrático, ya que la forma y= (x + d)2 + e de escribir la ecuación de una función cuadrática en ocasiones nos facilita la obtención de algunas propiedades. Como el coeficiente del término cuadrático es 1 y conocemos las coordenadas del vértice,podemos escribir la ecuación de la función como sigue:: y = x2 – 4x– 5 = (x – 2)2 – 9  Haz la gráficade esta función con ayuda del simulador del software Eureka de la colección Futuro ♦ Las funciones cuadráticas de la forma f(x) = x 2+e ó f(x) = –x2+e son pares, no así las que tienen formas que difieren de esta. Ejemplo 4 De la función y = x 2 − 4x + 3 se conoce que su dominio es el intervalo − 1 ≤ x ≤ 5 y que la abscisa de su vértice es 2. Determina su conjunto imagen. Resolución: Para determinar el conjunto imagen se debe determinar primeramente la ordenada del vértice: y V = (2)2 − 4(2) + 3 = −1 . Como la abscisa del vértice es igual a 2, y 2 equidista de los extremos del intervalo que constituye el dominio de definición de la función, a saber de –1 y 5, basta determinar el valor de la función para uno de estos extremos. Hagámoslo para x = –1. y = ( −1)2 − 4( −1) + 3 = 8 Por consiguiente el conjunto imagen es: Im f = { y ∈R : 1 ≤ y ≤ 8} . 15
  • 16. Ejemplo 5. Completa la siguiente tabla de acuerdo a los datos que aparecen, considerando que se trata de traslaciones y /o reflexiones respecto a la parábola y = x 2: DEJAR ESPACIO PARA LA ÚLTIMA COLUMNA Ecuación Conjunto Ceros Signo Monotonía mínimo imagen Gráfico máximo a) y = x2 – 4 b) {y∈R:y ≤ 0} xo = 3 Crece solo para x<3 c) No negativa Crece solo Mínimo siempre para yo = 0 x > 2 d) -4 -1 e)y=½(x2+5x+4) Resolución: a) ¿Qué elementos podemos determinar primero? Pueden ser los ceros o el valor mínimo o la imagen o el gráfico. Evidentemente esta ecuación proporciona suficiente información . ¿Qué transformación sufre esta función? Una traslación en el sentido negativo del eje de las ordenadas de 4 unidades.El vértice de la parábola es el punto (0;-4), luego las imágenes son: . Determinamos los ceros: Im f ={y ∈ ℜ con y≥ -4} y= x2 – 4 tenemos 0= x2 – 4 0= ( x + 2 )( x – 2 ) Ceros: x1 = –2 ; x2 = 2 16
  • 17. ¿Cuál sería su gráfico? GRAFICO MEJORAR GRÁFICO 2 -2 -4 b) La ecuación es y = –(x – 3) 2, lo que se deriva de la información que se brinda. El signo de la función es negativo en todo su dominio salvo en la x V=3, la abscisa del vértice y posee un valor máximo yV = 0 en xV= 3.  Construye el gráfico de la función. c) Si es no negativa siempre, el valor mínimo es y V=0 y es creciente solo para las x >2, entonces la ecuación es y = ( x –2)2 y su gráfico es: 2 d) Tenemos la gráfica de la función: -4 -1 El gráfico nos indica los ceros de la función. Con ellos podemos escribir la ecuación de la forma y= ax2 + bx +c, porque si un cero es –4 y el otro es –1 tenemos que: y= (x+4 )( x +1)= x2 +5x +4. Podemos decir también que la función es negativa para x ∈ ℜ con –4 < x < –1.  b  b  b 5 5 2 5 9 Como V  −  2a ; f  − 2a   entonces xV = − 2a = − 2 yv= (- 2 ) +5(-. 2 )+4= – 4       9 4 Su conjunto imagen es: y ∈ R : y ≥ −  4 Crece para las x > – 5 5 decrece para x <– 2 2 Su valor mínimo es y = – 9 . 4 17
  • 18. 2 La ecuación se puede escribir también como: y =  x + 5  − 9 .  2 4   Resuelve el inciso e) Ejemplo 6 Dado h(x) = 3x2 + 24x + 50 expresa la función h(x) en la forma + e. h(x) = a(x + d) 2 Resolución: Para expresar la función en la forma pedida en el ejercicio, realizar el completamiento cuadrático. Observa que la función está dada en la forma debemos y= ax 2 + bx + c. Luego primeramente debe extraerse el factor común h(x) = 3(x 2 + 8x + 50 ). 3 ¿Cuál es el complemento? Para que el trinomio sea cuadrado perfecto el tercer término debe ser 16. Entonces, sumamos 16 y restamos 48 que es el producto de 16⋅3 de la siguiente forma: h(x) = 3(x2 + 8x + 16) + (50 - 48 ) = 3(x + 4)2 + 2 De esta forma ya ha sido expresada la función de la manera pedida, lo cual facilita el análisis de las propiedades de la función ♦  Haz lal gráficade esta función con ayuda del simulador del software Eureka de la colección Futuro. Expresa las propiedades de la función. Ejemplo 7 Se quiere construir una cerca rectangular, para lo cual se dispone de 10 m de cerca metálica. a) ¿Qué dimensiones debe tener la cerca para que el área sea máxima? b) ¿Si se utiliza una pared de la casa cuáles serían las dimensiones si mantenemos que el área sea máxima? Resolución: OJO se perdió gráfico a) Sean a y b los lados del cercado rectangular. Como se dispone de 10m de tela metálica, se debe cumplir la siguiente relación para el perímetro P del rectángulo: P = 2 (a+b) 10 = 2 (a+b) (1) Luego, podemos expresar el lado b en función del lado a como: b = 5–a (2) En consecuencia, el área A del cercado rectangular debe satisfacer la relación: A = a (5–a) = –a2 + 5a (3) Nótese que esta expresión no tiene sentido para a ≤ 0 y a ≥ 5 , dado que el área no puede ser negativa. Para a 1 = 0 y a2 = 5 la expresión se anula, de lo que podemos inferir que estos valores son los ceros de la función A (a), cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo. Luego su valor máximo lo toma cuando a es igual a la abscisa 18
  • 19. del vértice. Como la parábola es simétrica, ha de esperarse entonces que dicha abscisa sea 2,5, lo cual se puede verificar aplicando la fórmula: aV = −5 =2,5 2( −1) Sustituyendo en (2) este valor para a, hallaremos que b también es igual a 2,5. Por tanto, el cercado tendrá un área máxima de 6,25 m 2 cuando este tenga la forma de un cuadrado de 2,5 m de lado. En general se cumple que: De todos los polígonos de n lados con igual perímetro (área) es el regular el que tiene mayor área (perímetro). b) Ahora se debe cumplir la siguiente relación para el perímetro P del rectángulo: P = 2 a+b 10= 2 a+b (1) Expresando la longitud del lado b en función de la del lado a, obtenemos: b =10–2a (2) Por consiguiente el área A del cercado debe satisfacer la relación: A = a (10–2a) = –2a2 + 10a (3) Nótese que esta expresión tampoco tiene sentido para a ≤ 0 y a ≥ 5 .Haciendo un análisis similar al del inciso anterior nos damos cuenta que la abscisa del vértice es también 2,5, de modo que a = 2,5 y b = 5. Por tanto, el cercado tendrá un área máxima de 12,5 m 2 cuando este tenga la forma de un rectángulo de 2,5 m x 5 m de lado. ♦  Completa la tabla con las propiedades de la función f(x) = ax 2+bx+c(a≠0) Propiedades a>0 a< 0 Dominio Vértice Imagen Ceros Monotonía Máximo o Mínimo Gráfico Simetría 2.4.3 Inecuaciones cuadráticas Una inecuación cuadrática en una variable es una inecuación que se puede reducir a una de las formas siguientes; ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0 19
  • 20. con a, b, c números reales dados, x ∈ R y a ≠ 0. Para resolver una inecuación cuadrática se trata generalmente de llevarla a una de las formas anteriores, con a >0, en cuyo caso la parábola correspondiente a la función f(x) = ax2 + bx + c abre hacia arriba. En el caso que la función tenga dos ceros reales x 1,x2 con x1<x2, la función será negativa para los valores comprendidos entre estos dos y no negativa fuera de este intervalo. + + – x 1 x 2 En el caso que la función tenga un cero doble, será positiva para todos los valores reales, excepto para el propio cero. + + x 1 En el caso que no tenga ceros (discriminante negativo) y por ende su gráfico no intercepte al eje x, será positiva para todos los valores de su dominio de definición. Ejemplo 1 Determina el conjunto solución de la inecuación x 2 + 6x +9 > 0. Como en el trinomio no hay términos semejantes y está comparado con 0, hay que factorizar la expresión algebraica, es decir: (x + 3)2 > 0 Esta inecuación se satisface para todos los valores reales, salvo para x = –3 El conjunto solución es S = R {–3} 20
  • 21. Luego x2 + 6x + 8 ≥ 0 para (-∞;-4] ∪ [-2;+∞) ♦ Ejemplo 2 Determina el conjunto solución de: a). x2 ≤ x + 6 b). x4 + 15x2 ≥ 16 Resolución: a) Para resolver la inecuación cuadrática es necesario transponer todos los términos para un mismo miembro y comparar con cero: x2 ≤ x + 6 Análisis de signos x2 – x - 6 ≤ 0 (x - 3)(x + 2) ≤ 0 Ceros: + – –2 + 3 x1= 3; x2= –2 S = [-2;3]= { x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 3} b) Al transformar la inecuación x4 + 15x2 -16 ≥ 0. x 4 + 15x2 ≥ 16 se obtiene que Estamos en presencia de un trinomio bicuadrático. En su descomposición se obtiene: (x2 + 16)(x2 -1) ≥ 0 El factor x2 + 16 no se descompone y siempre es positivo, luego solo se trabaja con el segundo factor (x2 – 1) ≥ 0 que al factorizar queda (x + 1)(x – 1) ≥ 0. Como los ceros de x2 – 1 son 1 y -1, entonces la solución de la inecuación es: S= (-∞;-1] ∪ [1;+∞)= { x ∈ R : x ≤ −1 ó x ≥ 1} ♦ Ejemplo 3. Un cuerpo posee una velocidad en cm/s dada por la ecuación v = t 4 – 4t2 + 10. Determina para qué intervalo de tiempo la velocidad será mayor que 10 cm/s en el intervalo (0;9]. Resolución: Como se quiere determinar el intervalo de tiempo donde la velocidad será mayor que10, esto se plantea de la siguiente forma t 4 – 4t2 + 10 > 10, para resolver la inecuación encontrada se procede de forma análoga a la anterior, luego t4 – 4t2 > 0. Descomponiendo en factores, tendremos t 2(t + 2)(t – 2) > 0. Para el análisis de signo solo tendremos 21
  • 22. Como los valores son no negativos, la respuesta correcta es: la velocidad será mayor que10 cm/s a partir de los 2s hasta los 9s. ♦ Resumen Para resolver una inecuación cuadrática se pueden seguir los pasos siguientes: - Se trasponen todos sus términos para un solo miembro y se compara con 0. - Se reducen los términos semejantes. - Se hallan los ceros del trinomio de segundo grado asociado a la inecuación. - Se traza una recta numérica y se sitúan los ceros del trinomio. - Se sitúan los signos de acuerdo al signo de la función en cada uno de los intervalos - Se seleccionan el o los intervalos que satisfacen la inecuación, teniendo en cuenta que los ceros del trinomio pueden o no incluirse, en dependencia de si la desigualdad es estricta o no. Ejercicios (epígrafe 2.4) 1. Sin resolver la ecuación, averigua si los pares de números que se dan en cada caso son raíces de la ecuación correspondiente: a) x2 – 7x + 28 = 0 ;3;4 c) x2 – 6x + 2 = 0 ; 3- 7 d) 2x2 + x -6 = 0 ; -2 ; 3 ;3+ 2 b) x2 -2x -3 = 0 -1; 3 7 e) x2 + x + 1 = 0 ; - 1 1 ± 2 ; -- − 2 2 2 2. En un bosque hay dispersas x casetas de guardas; cada una está unida a las restantes por caminos diferentes. Exprese el número de caminos posibles en función de las casetas. 3. Expresa el área de un triángulo isósceles rectángulo en función de la longitud de sus catetos. 4. El área de un cuadrado es de 100 cm 2, entonces el perímetro de un cuadrado que sus lados midan la mitad del lado de este será de: ____ 10 cm ____ 20 cm ____ 18 cm ____ 40 cm 5. El área de un cuadrado es de 81 cm 2, entonces el perímetro de un cuadrado que sus lados midan la mitad del lado de este será de: ____ 10 cm ____ 20 cm ____ 18 cm ____ 40 cm 6. Un triángulo tiene 3 metros más de altura que de base y su área es de 20 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones? ____ Base: 8 m ; Altura: 5 m ____ Base: 5 m ; Altura: 8 m ____ Base: 4 m ; Altura: 10 m 7. ____ Base: 10 m ; Altura: 4 m Determina cuál de las siguientes ecuaciones es una identidad: 22
  • 23. ___(x-9)x-(x-9)9=(x-9)2 ___(x-9)(x+y)=x2+xy-9x+9y ___(x-9)2+81=x2 ___(x-9)2+2(x-9)+1=(x+10)2 8. Resuelve las siguientes ecuaciones 2 a) a 2   − 0,6   3    =0 b) 4(m – 15) (m + 4)(m −18) = 0 c) (m2 – 8)(m2 + 8) = 0 9. Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) b (b + 3) = 4 b) x (2x + 5) = x (x – 3) c) 2c (c – 1) + (c + 1)2 = 10 d) 5a2 + 4a + 1 = a ( 3a – 2) e) (2x – 2) (x + 2) – (x +1) (x – 1) = 5 f) (y – 8)(3y – 9) = (2y + 4) (y – 5) 10. Marca con una cruz la proposición verdadera: 1) ____ La ecuación es equivalente a la ( 4a − 5)( a + 1) = 0 en el dominio de los números reales. 2) ___La ecuación 3) ____ La ecuación (a – 1)2 + (a – 1) – (5 – 3a2) = 0 no es equivalente a la 4a 3 − a 2 = 5a ecuación ( 4a − 5)2 (a + 1) es equivalente a la ecuación =0 4a − 5 ( 4a − 5)( a + 1) = 0 en el dominio de los números reales. ecuación 4a2 – a + 5 = 0 en el dominio de los números reales. 11. Marca con una cruz la proposición verdadera: 1) ___ Si el discriminante de una ecuación cuadrática es mayor que cero, entonces la ecuación tiene exclusivamente soluciones racionales. 2) ___Si el discriminante de una ecuación cuadrática es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución. 3) ____Si el discriminante de una ecuación cuadrática es menor que cero, entonces la ecuación cuadrática tiene soluciones irracionales. 23
  • 24. 12. 13. Sea y = 2x + 3 la ecuación de una recta. Si el punto de coordenadas (a2 + 3a; 23) pertenece a la recta, halla los valores de a correspondientes. Forma las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son: a) x1= -2 x2 = 5 b) x1 = 2 x2= -3 d)x1= 2 + e)x1= 1 - 6 3 ; x2= 2 x2 = 1 + 6 ; 3. c) x1 = 2 x2 = 3 14. Una raíz de la ecuación x2 -9x + k = 0 es 5. Halla la otra raíz. 15. Una raíz de la ecuación 3x2 -11x + k = 0 es 3 .Halla la otra raíz. 16. 17. Una raíz de la ecuación 2x2 – 7x + k = 0 determina el valor de k. es 2.Halla la otra raíz y Halla dos números cuya suma ¨ s¨ y el producto sea ¨p ¨, si: a) s = 11 p = 30 d) s = 19 p = -120 b) s = -3 p = 40 e) s = 4 p = 1. c) s = 10 p = 23 18. Resolver las ecuaciones: a). (x + 5)2 – (x + 1)2 – 16x = (x - 1)2 – (x - 5)2 b). (m – 1)2 – 5(m – 1) = 14 c). x2 x − = 3(x – 5). 6 2 d) (x – 6)(x – 4) + x(x + 9) = 18 – 9x e). (2x + 3)(x – 7) + (x + 7)(x + 6) = 22x f). (6u + 7)(3u – 4) – (–3u2 – 11u – 25) = 2 – (2u + 3)2 19. Demuestra que las raíces de la ecuación (a + c – b)x2 + 2cx + (b + c – a) = 0 son racionales. 20. Determina los valores que puede tomar m para que la ecuación x2 – mx – (m + 1) = 0 tenga dos soluciones reales. 21. Demuestra que no existen dos números reales tales que su producto sea 7 y su suma 2. 22. Demuestra que si x es una raíz de la ecuación x 2 –px + q, entonces p-x es también raíz de esta ecuación. 23. La fórmula S = v0t + ½at2 es una ecuación de segundo grado en variable t, donde a y v0 son valores conocidos. Calcula S para que las dos soluciones de la ecuación sean iguales. 24. Determina los valores de a, a ∈ R, a ≠ 1, tales que la ecuación (a – 1)x2 +2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 en variable x tenga una solución única. 24
  • 25. 25. 26. Las raíces x1 y x2 de la ecuación cuadrática x2+ px + 12=0 tienen la siguiente propiedad: x1–x2=1. Halla los posibles valores del coeficiente p. Resuelve: 2 1 a )x 3 + 7 x 3 +12 = 0 27. 2 b)4 x − = 5 − x −1 c )x17 = x En cada una de las ecuaciones cuadrática dadas, determina el valor de k, de modo que se cumpla la condición dada. Ecuación Condición a)4x2 – kx + 7=0 Suma de las soluciones igual a 3 b) kx2 +6x + 32=0 Suma de las raíces igual a –2 c) 7x2 – 3kx + 41=0 Suma de las soluciones igual a 0 d) 8x2 + 5x –6k=0 Producto de las raíces es 9. e) x2 +9x + k=0 Una raíz es el doble de la otra. f) x2 – kx + 18=0 Una solución es el duplo de la otra. g) x2 – 4x + k=0 La diferencia de las raíces es igual a 6. h) x2 – 7x + k – 4=0 La diferencia de las raíces es igual a 5. i) 3kx2 – 5x + 4k – 26=0 Producto de las raíces es –3. j) 4x2 +10 + k + 3=0 Una raíz es el recíproco de la otra. 2 k) 5x – (k+2)x + 7k–6=0 l) kx2 +(3k–4) x –5=0 m) 4x2 2k+7=0 28. +5kx –x Una solución es 2. Una raíz es igual a + 1 . 2 Una raíz es igual a − 2 . 3 Sea la ecuación de segundo grado ax2+bx+c = 0 (a≠0). Demuestra que: a) Si una raíz es la opuesta de la otra, entonces b = 0. b) Si la suma de las raíces es igual a su producto, entonces b +c =0. c) d) Si las raíces son recíprocas, entonces a = c. Si la diferencia de las raíces es igual a su producto, entonces su discriminante es igual a c2. e) f) 29. Si una raíz es el duplo de la otra, entonces 2b 2–9ac=0. 2 Si una solución es el triplo de la otra, entonces 3b =ac. 16 Sea la función h definida por la ecuación 25
  • 26. 1  m ≠  3  y = (3m–1)x2–2(m+1)x+m ¿Para qué valores del parámetro m, la representación gráfica de h no interseca al eje de las abscisas? 30. En el sistema de coordenadas se ha trazado el grafico de la función f de ecuación: f ( x) = x 2 − 4 x + c , en el intervalo -3 ≤ x ≤ 7. y Determina la respuesta correcta: a) Los ceros de la función son: 1) __-3 y 5 3)___ -2 y 5 2 2) ___-3 y 2 4) ___ -1 y 5 3 7 5 y x b) La función alcanza su valor mínimo para: 1)___ x = -3 2) __ x =0 3)__ x = 2 4) ___x = 5 c) La función es creciente y negativa para: 1) __ 2 ≤ x≤ 5 31. 2) __ 2≤x ≤ 7 3) __x > 2 4)___ 2 < x < 5 Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas: a) Toda función cuadrática corta al eje de las abscisas al menos en un punto.___ b) La parábola y= x2 + 2x -3 tiene por vértice ( 2 ;3).___ c) Si f( x) = ( x+3)2 , entonces f es siempre positiva _____. d) Si g(x) = 2x2 – 4x, entonces cuando x = 0 la función se anula.___ 32. Dada la función: f ( x) = x 2 + 2 x −15 a) Halla los ceros de la función b) Halla la ordenada y v del vértice de la parábola c) Diga el conjunto imagen de la función. d) La función es creciente en el intervalo: ---x< 0 33. ----x> 0 ---x ≤ .-1 ___x ≥ −1 La gráfica representa una función de la forma f(x) =–x2 + p x + q y y a) Determina un intervalo donde la función sea decreciente y positiva. 3 5 x 26
  • 27. b) Para que valor del dominio la función alcanza su valor máximo c) Halla el cero de la función. d) Escribe la ecuación de la función Dada la función h(x) = (x – 2)2 – 1. 34. a).Determina el valor de la abscisa para que la ordenada sea 3. b).Determina el valor de la ordenada para cuando la abscisa es –4. 35. Representa gráficamente las siguientes funciones y analiza sus propiedades (dominio, imagen, ceros, monotonía, eje de simetría, máximo o mínimo, signo y paridad): a). y = x2 – 4 d). y = (x – 5)2 b). y = x2 – 5x – 6 e). f(x) = (x + 4)2 – 3 c). y = - x2 + 3x f). g(x) = –2 x2 –7x + 4 El punto V(-2, -9) es el vértice de la parábola y = x 2 + bx – 5: 36. a) Represéntala gráficamente. b) Determina la imagen de la función. c) Di un intervalo donde la función sea creciente y positiva. d) Por qué puede afirmarse que la función no tiene paridad?. Los ceros de la función f(x) = x2 + bx +c son 8 y -2: 37. a) ¿Para qué valores de la variable independiente negativas?. las imágenes de f son no b) Halla el mínimo de la función. c) Di cuál es la monotonía de la función para x < -3. d) Escribe la ecuación de la función. e) Halla el intercepto de la función con el eje “y”. 38. La función g(x) = ax2 – 20x + 4 tiene un solo cero es y = 0. y su valor mínimo a). Halla la ecuación de la función. b). Determina el eje de simetría de la parábola. 39. Dado los siguientes gráficos de funciones cuadráticas: B A 3 -2 -3 -1 Determina en cada caso: a) La imagen de la función. 27
  • 28. b) Su ecuación. c) Un intervalo donde la función sea creciente. 40. . Dada la función y = 2x2 + 4x – 6: a). Halla sus ceros b). Halla su valor máximo o mínimo. c). Determina su imagen. d). Represéntala gráficamente en el intervalo –3 ≤ x ≤ 0. 41. La recta y = -2x + 5 corta a la parábola f(x) = x 2 – 6x + c en dos puntos A y B. Si A(4 ; -3): a). Halla la ecuación de f. b). Determina las coordenadas de B. c). Di la monotonía de f en el intervalo (-2;2). 42. Sea f(x) = x2 + 10x + 24, una función cuadrática. a).Determina todos los valores del dominio de f para los cuales se cumple que f(x) > 0. b).Calcula f( ( 10 ) + 360 . 43. Dada la función f(x) = (x + 3)2 – 4. a).Determina si la función es positiva o negativa en el intervalo (-18; -6). b).Calcula los valores de x para los cuales se cumple que f(x) = 5. c).Calcula 44. 15 7 − . 6 4 f ( 0 ) − 125 81 − 4 Si f(x) = x2 – 8x + 12: a) Determina su imagen. b) Di si es par, impar o si no tiene paridad. 45. Sean las funciones reales h y g definidas por: h(x) = 3x2 + 8x + 4 y g(x) = 2x2 – 3. Determina los valores reales de x para los cuales se cumpla que h(x) = g(x). 46. ¿Para qué valores de k la función y = x2 + 4x + k – 2: a) tiene un solo cero 47. b) tiene dos ceros c) no tiene ceros? La recta x = 1,5 es el eje de simetría de la parábola y = x 2 + px –18 a) Analiza la monotonía de la función. b) Halla su ecuación c) Halla su valor mínimo. d) Di el signo de la función para las x < -3. e) Di un intervalo donde la función sea creciente y sus imágenes sean negativas. 28
  • 29. f) Analiza si la recta de ecuación y = x – 27 tiene puntos comunes con la parábola. 48. El valor máximo de una función cuadrática es 12 y lo alcanza en x = -1. Si uno de los ceros de la función es –3: a). Halla el otro cero de la función. b). Halla la ecuación de la función. c). Escribe un intervalo donde la función sea creciente. d). ¿Para qué valores de x ∈ [-3, 2) las imágenes de la función son no positivas? e). Esboza su gráfico en el intervalo [-1;1]. 49. Sean dadas las funciones f y g por sus ecuaciones f ( x ) = x2 2 y x g( x ) = +1 . 2 a) b) 50. Determina las coordenadas de los puntos A y B donde se intersecan las representaciones gráficas de las funciones f y g. Calcula la longitud del segmento de extremos A y B: Expresa las ecuaciones siguientes en al forma f(x) = a (x–h) 2+k a) f(x) = x2 –4x+5 b) f(x)=2x2 –6x+4 c) f(x)=3x2 +24x+50 d) f(x)= − e) f(x)=2x(x–6)+22 f) 51. 3 2 x +9x–34 4 f(x)=0,4x2 –2,4x+4,6 Una función cuadrática g se obtiene de la función f : R → R con f (x) = x2 mediante una traslación de 2 unidades en la dirección positiva del eje de las abscisas y una traslación de 3 unidades en la dirección negativa del eje de las ordenadas. La ecuación funcional de g es: ( ___ g( x ) = x −3)2 + 2 ___ _ g( x ) = ( x + 2) 2 −3 52. ___ ___ g( x ) = −x 2 + 4 x − 7 g( x ) = x 2 − 4 x +1 Una función cuadrática f tiene las siguientes propiedades: a. El eje de simetría de su gráfico es x = −3 . b. Sus imágenes satisfacen la condición: 7 y 3 +11 ≥ 4 Su ecuación funcional es: 29
  • 30. ___ f ( x ) = ( x +3)2 ___ f ( x ) = x 2 53. ___ f ( x ) = −x 2 +1 −6 x −10 ___ f ( x ) =( x −3)2 + 6 x +8 Sea la función real definida por la ecuación −1 f ( x ) = x 2 +bx −8 .   1 2 a) Calcula el valor del parámetro b, si se conoce que f  −  = − 23 . 4 b) Considera b = 2 y halla los puntos donde la representación gráfica de f interseca al eje de las abscisas. c) Determina el valor mínimo de la función dada en el inciso anterior y represéntala gráficamente. 54. (Ecología).- ALTURA (m) 0,84 0 2,52 LONGITUD (m) En la gráfica se ha representado la trayectoria de uno de los animales saltarines, cuyo salto generalmente es parabólico. A partir de los datos que se dan en la gráfica encuentra la ecuación que describe el recorrido. 55. Marca con una cruz la proposición verdadera: 1) ___La inecuación (x + 3)(x – 5) ≤ 0 se satisface para los valores reales de la variable tales que − 3 ≤ x ≤ 5 . 2) ___La inecuación (x – 3)(x + 5)<0 se satisface para los valores reales de la variable tales que − 5 ≤ x ≤ 3 . 3) ___ La inecuación (x + 7) (x –2) ≥ 0 se satisface para los valores reales de la variable tales que x ≤ −7 ó x ≥ 2 . 56. Halla todos los valores de y que verifiquen las desigualdades dadas a continuación: a). y2 – 2y < 15 c). y2 –5y + 17 > 2y + 35 b). 36 – 12y ≤ -y2 d). y2 + 12y + 5 ≥ 21y - 9 30
  • 31. 57. Asocia a las inecuaciones de la columna A su conjunto solución en la columna B Columna A a). x2 – 10x + 25 ≥ 0 b). x2 – 4x < 0 c). x2 + 3 ≤ 0 d). x2 > 2x + 3 e). x2 – 4 > 4 - 2x f). x(x – 1) + (x + 2)(x + 1) > 2x +6 g). 2x2 + 7x – 4 ≤ 0 58. Columna B 1). ( −∞; −4 ) ∪ ( 2; ∞ ) 2). [ -4;½] 3). (– ∞ ; 0) ∪ ( 4; ∞ ) 4). (– ∞ ;– 2 ) ∪ ( 2 ; 5). ℜ 6). φ 7). (-∞;-1) ∪ (3;+∞); ∞) Demuestra que para todo x≠y pertenecientes a R*(R {0}), siempre se verifica que: x y + >2 y x 59. Determina el dominio de la variable en las siguientes expresiones : a). 5 x −1 b). 3 1 − x 2 c). x ( x 2 − 9) d) 4 x3 + x 2 − 4x − 4 60. Mostrar que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica. ( La igualdad tiene lugar cuando dichos números son iguales) 61. Determina m para que se verifique la desigualdad 3x 2–2mx+12>0, para x∈R. 62. Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2+bx+c = 0 (a≠0), entonces halla la ecuación cuadrática cuyas soluciones o raíces son: a) x1 x2 y x2 x1 b)(x1+x2)2 y (x1–x2)2 Sugerencia: a. Halla la suma y el producto de las nuevas raíces y usa la relación x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2. b. Halla la suma y el producto de las nuevas raíces y usa la relación (x1–x2)2=(x1+x2)2–4x1x2. 63. Sea la ecuación de segundo grado (m–1)x2+2(m + 1)x = –m (m ≠ 1). ¿Para qué valores del parámetro m, el conjunto solución de la ecuación dada es S =∅? 64. Sean x1 y x2 soluciones de la ecuación x 2–px+36=0. Determina el valor de p. para que se cumpla la siguiente relación: 1 1 5 + = x1 x 2 12 31
  • 32. 65. El producto de un número disminuido en 5 por el número aumentado en 5 es 75. Hallar el número. 66. El área de autoconsumo de una escuela primaria tiene forma rectangular. Dentro de esta área se utilizará una parte de forma cuadrada para sembrar condimentos y el resto para sembrar hortalizas. Si el área A del rectángulo se representa por el trinomio 2 x 2 –7x –15 y el perímetro P del cuadrado se representa por el binomio 4x-12. a) Analiza para qué valores de x real anteriormente. tiene sentido lo expresado b) ¿Cuál es el polinomio que representa el área que se destinará a la siembra de hortalizas?. c) Calcula el 56% del área de la parte que se destinará a la siembra de hortaliza, sabiendo que: x = 60,3 m. d) Si el área se quiere cercar con tres pelos de alambre. Calcule el costo de la obra si cada metro de alambre cuesta 0.35 pesos. 67. Halla un número de dos cifras en que la cifra de las decenas sea igual al cuadrado de la cifra de las unidades, y la suma de las cifras sea 12. 68. Muestra que si dos números positivos tienen suma constante, su producto es máximo cuando ellos son iguales. 69. Divide el número 8 en dos partes, tales que la suma de sus cuadrados sea mínima. 70. Divide un segmento de 12 cm de longitud en dos segmentos tales que la longitud del cuadrado de la longitud del mayor sea el cuádruplo del producto del menor por la longitud del segmento dado. 71. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm, sabiendo que uno de sus catetos es igual a la semisuma de la hipotenusa y el otro ca teto. 72. Si el radio de un círculo aumenta en 3,0 cm, el área aumenta en 60 cm 2. Calcula aproximadamente el perímetro del círculo primitivo 73. Especialistas plantean que el crecimiento “ y” de un niño en libras ,se relaciona con su peso actual “ x” mediante la fórmula y = cx ( 21 – x) donde c es una constante positiva y se cumple que 0 < x < 21. ¿ A qué peso se tiene la tasa máxima de crecimiento? 74. El largo de un rectángulo excede en 2,0 dm a su ancho y su diagonal es 7,0 cm mayor que su largo. Calcula el perímetro y área del rectángulo. 75. Una caja en forma de prisma tiene un volumen de 1,5 m 3 y su base es un rectángulo cuyo largo excede al ancho en 5,0 dm y su altura es50 cm. Calcula: a) Las dimensiones de la caja. b) El área lateral del prisma. 32
  • 33. 76. Con una pieza de cinc de forma rectangular con 4,0 cm más de largo que de ancho se construye una caja de 840 cm 3 de capacidad cortando un cuadrado de 6,0 cm de lado de cada esquina y doblando los bordes. a) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? b) Varía condiciones en el problema anterior y formula un nuevo problema. 77. Dado un triángulo equilátero de lado a, se lleva a partir de cada vértice sobre los lados y en el mismo sentido, una longitud x. Luego se unen los puntos obtenidos. ¿Qué longitud debe tomarse para que el área del triángulo que se forma sea la tercera parte del triángulo primitivo? 78. La siguiente figura muestra un arco de puente que tiene forma de parábola. El vértice S se halla en el medio del arco. La forma de la parábola está determinada por los segmentos AB =100m y OS =10m. a) Selecciona un sistema de coordenadas apropiado y escribe la ecuación del arco de parábola. b) Calcula la longitud los puntales señalados en el esquema, si la separación entre ellos es de 10 m. S A 79. O B La velocidad (en metros por segundo) de una masa oscilando en el extremo de un péndulo está dada por la ecuación v=0,5 2 − x , donde x es el desplazamiento vertical (en centímetros) de la masa desde su posición de reposo. a) Halle los valores admisibles para x, de acuerdo con las condiciones del problema. b) Despeje x, en función de v, y represente gráficamente la función x(v). c) Explique la relación entre esta gráfica y el comportamiento físico de la masa, cuando está oscilando. 80. Se necesita construir un canalón con una lámina larga rectangular de 12 dm de ancho. Se deben doblar dos orillas hacia arriba para que queden perpendicular al fondo.¿Cuántos decímetros de ancho deben tener tales orillas para que el canalón tenga capacidad máxima? canalón 81. Sea un segmento AB de longitud igual a 4,0 dm. Determina sobre él o su prolongación un punto M, tal que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre MA y MB sea mínima. Calcula el valor de la suma de las áreas de los referidos triángulos equiláteros. 33