Problemas tipo admisión UNI, ECUACIONES CUADRÁTICAS, ECUACIONES BICUADRADAS, ECUACIONES RECÍPROCAS, INECUACIONES, ECUACIONES CON RADICALES, ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON RADICALES, INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON DOS VARIABLES
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Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Ecuaciones
1. Chapter 1
Ecuaciones
1.1
Ecuaciones
lineales
Ejemplo: Verificar si las siguientes
ecuaciones son equivalentes
2x x + 2 x + 3
−
=
3
4
6
2x x + 3 4x + 3
−
=
3
5
15
Ejercicios:
Forma general de una ecuaci´n lineal
o
ax − b = 0 Soluci´n ⇒ x =
o
−b
a
1.Halle el valor de x en la siguiente
ecuaci´n
o
x
−1
1
4
√ +√
√
√2 √ = √
7+ 2
3+ 2
7+ 3
donde a, b ∈ R y adem´s a = 0.
a
Observaciones:
i) Si a = 0 y b = 0, la ecuaci´n no
o
tiene soluci´n.
o
ii) Si a = 0 y b = 0, la ecuaci´n tiene
o
infinitas soluciones.
(a) 10
(d) 13
Al resolver una ecuaci´n lineal el objeo
tivo es llevarla a la forma general mediante las herramientas algebraicas ya
conocidas.
Ejemplo: Resolver la siguiente
ecuaci´n lineal
o
(b) 11
(c) 12
(e) 14
Sugerencia: Racionalize el miembro
derecho.
2.Halle el valor de x en la siguiente
ecuaci´n.
o
x−a x−b x−c
−
=
ab
ac
bc
adem´s se cumple que abc = 0.
a
2x x + 2 x + 3
−
=
3
4
6
(a) abc
a2 + b2
(c)
c2
a2
(e)
a+b−c
Ecuaciones equivalentes
Son aquellas ecuaciones que tienen la
misma o mismas soluciones(mismo conjunto soluci´n).
o
1
(b) a + b + c
b2
(d)
a+b−c
2. 2
ACADEMIA NOSTRADAMUS
Sugerencia: Multiplique por abc en
ambos miembros.
3.Halle el conjunto soluci´n de la siguio
ente ecuaci´n
o
x − 2n x − 3n 23x − 4n
x+n+
+
=
−2n
3
5
15
donde (n = 0)
(a) n
(d) 5
(b) 2n
(c) 4
(e) N.A.
Sugerencia: Recuerde las observaciones.
4.Halle el
1 1
4 3
valor de x
1
(x − 4) − 3 − 2 − 1 = 0
2
(a) 43
(d) 46
(b) 44
(c) 45
(e) 47
Ecuaciones con valor absoluto
Ejemplo 1:
ecuaci´n
o
|3x + 5| = 4
Ejemplo 2: Resuelva
|2x + 3| = x + 1
Propiedad 1: Sean f (x) y g(x) funciones no nulas, la ecuaci´n
o
|f (x)| = |g(x)|
tiene por ecuaciones equivalentes:
f (x) = g(x) o f (x) = −g(x)
´
Ejemplo: Resuelva
Sugerencia: Despeje 1 a la derecha.
|2x − 3| = |x + 1|
Valor absoluto
El valor absoluto de un n´mero real
u
a ∈ R, denotado por |a|, es por
definici´n:
o
|a| =
a,
−a,
si a ≥ 0 ´
o
si a < 0
Ejemplos:
|3| = 3
| − 3| = 3
|0| = 0
√
√
| − 5| = 5
Resuelva la siguiente
Ejercicios: Resuelva las siguientes
ecuaciones:
1. |x − 1| = x.
2. |6x − 7| = 3.
3. |3x + 1| = 2x + 7.
4. |3x + 2| = |5x − 3|.
5.
|x + 1|
= 7, x = 1/2.
2x − 1
Ecuaciones de 2do. Grado
3. 3
ALVARO NAUPAY
Forma general de una ecuaci´n de
o
2do. grado
Ejemplo 1: Resuelva
ax2 + bx + c = 0
Ejemplo 2: Resuelva
donde a, b, c ∈ R y a = 0
Observaci´n: Las ecuaciones de
o
2do. grado siempre tienen dos soluciones, estas pueden ser iguales o diferentes.
Ejemplos:
1.Resuelva la siguiente ecuaci´n
o
x2 − 9 = 0
2.Resuelva la siguiente ecuaci´n
o
25x2 − 16 = 0
3.Resuelva la siguiente ecuaci´n utio
lizando el m´todo de completaci´n de
e
o
cuadrados
x2 + 6x − 7 = 0
4.Resuelva las siguientes ecuaciones por
el m´todo de completaci´n de cuadrae
o
dos
i) x2 − 8x − 9 = 0
ii) 2x2 − 4x − 8 = 0
iii) 3x2 − 12x − 9 = 0
M´todo de factorizaci´n
e
o
Si la forma general de una ecuaci´n de
o
2do. grado podemos expresarla de la
siguiente manera
(x − m)(x − n) = 0
donde m, n ∈ R, entonces las soluciones
son
x1 = m ´ x2 = n
o
x2 + x − 6 = 0
x2 − 25 = 0
Ejercicios: Resuelva por aspa simple
las siguientes ecuaciones
1. x2 + x − 2 = 0.
2. x2 − 10x + 21 = 0.
3. x2 − 16 = 0
4. x2 − 7 = 0
M´todo general de resoluci´n
e
o
Supongamos que tenemos la siguiente
ecuaci´n general de 2do. grado
o
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a = 0, entonces las
soluciones de esta ecuaci´n son
o
√
−b + b2 − 4ac
x1 =
y
2a
√
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
la expresi´n que se repite en ambas soluo
2
ciones, b −4ac, la llamaremos discriminante y la denotaremos por el s´
ımbolo
△, es decir
△ = b2 − 4ac
reescribiendo las soluciones tendriamos
√
−b + △
x1 =
y
2a
√
−b − △
x2 =
2a
Ejemplos: Resolver las siguientes
ecuaciones
4. 4
ACADEMIA NOSTRADAMUS
1. x2 − 3x − 4 = 0
2. Producto de ra´
ıces
2. x2 − 6x + 9 = 0
x1 x2 =
3. x2 − 5x + 1 = 0
3. Suma de las inversas
4. −2x2 − 3x + 1 = 0
1
1
−b
+
=
x1 x2
c
Propiedades del discriminante
El discriminante nos permite saber las
caracter´
ısticas de las soluciones, sin
necesidad de calcularlas.
a) Si △ > 0 entonces las soluciones son
n´meros reales y diferentes.
u
b) Si △ = 0 entonces tiene una soluci´n
o
de multiplicidad dos.
c) Si △ < 0 entonces las raices son
n´meros complejos conjugados.
u
Ejemplos: Analizar el discriminante
de las siguientes ecuaciones
1. 2 − 5x2 = 0
con x1 = 0 y x2 = 0
Ejemplo 1: Halle la suma y el producto de las ra´
ıces de la siguiente
ecuaci´n
o
4x2 − 7x − 5 = 0
Ejemplo 2: Si la suma de las inversas
de las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica
ıces
o
a
mx2 + (2m − 1)x − 7(m − 1) = 0
es 11/35, halle las ra´
ıces.
Reconstrucci´n de la ecuaci´n
o
o
cuadr´tica a partir de sus ra´
a
ıces
2. 2x2 − x + 5 = 0
Sean las ra´ x1 y x2 de una ecuaci´n
ıces
o
cuadr´tica, entonces se cumple que
a
3. x2 + x + 1 = 0
4. 2 + 4x − x2 = 0
(x − x1)(x − x2) = 0
2
5. x − 4x − 2 = 0
operando
Relaci´n entre las ra´
o
ıces y los
coeficiente de la ecuaci´n
o
Sea la ecuaci´n:
o
ax2 + bx + c = 0 a = 0
se tiene las siguientes relaciones
1. Suma de ra´
ıces
x1 + x2 = −
c
a
b
a
x2 − xx1 − xx2 + x1 x2 = 0
x2 − (x1 + x2)x + (x1x2) = 0
x2 − Sx + P = 0
donde
S = x1 + x2
P = x1 x2
Suma
Producto
Ejemplo: Halle la ecuaci´n cuadr´tica
o
a
cuyas ra´ son 7 y −5
ıces
5. 5
ALVARO NAUPAY
Propiedad 2: Si dos ecuaciones
cuadr´ticas completas: ax2 + bx + c = 0
a
2
y mx + nx + p = 0 son equivalentes,
entonces se cumple que
a
b
c
= =
m n p
(a) m = −9, n = 13/2 (b) 10, 12/5
(c) 2, 2/3
(d) 3/2, 7/8
(e) N.A.
4.Calcule la soluci´n de la ecuaci´n
o
o
Ejemplo: Si las siguientes ecuaciones
cuadr´ticas son equivalentes
a
(−2a + 3)x2 + 9x + 6 = 0
3x2 + (22 − 5b)x − 2 = 0
calcule ab.
1
√ =
11 − 2 x
(a) 30
(d) 13
3
√ +
7 − 2 10
(b) 5
4
√
8+4 3
(c) 20
(e) 10
Sugerencia: Tranformar en radicales simples.
Problemas:
1.Determinar la ecuaci´n de 2do. grado
o
de ra´
ıces m y n (m > n) si se sabe
que x2 + (m − 1)x − m − 1 = 0, tiene
soluci´n unica(ra´ iguales), adem´s
o ´
ıces
a
2
las ecuaci´n x −(n+1)x+n = 0 tiene
o
una ra´ igual a 3.
ız
(a) x2 − 8x + 15
(c) x2 − 7x + 15
(e) x2 − x + 9
(b) x2 − 8x + 5
(d) x2 − 3x + 1
2.Determine la suma de los cuadrados
de las ra´ de al ecuaci´n
ıces
o
(2k + 2)x2 + (4 − 4k)x + k − 2 = 0
sabiendo que las ra´ son rec´
ıces
ıprocas.
(a) 8/9
(d) 42/9
presentan las mismas soluciones.
(b) 82/9
(c) 28/9
(e) 24/9
Nota: Dos ra´
ıces son rec´
ıprocas cuando su producto es uno.
3.Calcule m y n si las ecuaciones:
(2m + 1)x2 − (3m − 1)x + 2 = 0
(n + 2)x2 − (2n + 1)x − 1 = 0
5.Si los cuadrados de las 2 ra´ reales
ıces
2
de la ecuaci´n: x + x + c = 0 suman
o
9, entonces el valor de c es;
(a) − 5
(d) 5
(b) − 4
(c) 4
(e) − 9
6.El producto de los valores de k, para
que la ecuaci´n: 3x2 +4k(x−1)+2x =
o
0 tenga soluci´n unica es:
o ´
(a) 0
(d) − 1/4
(b) − 1
(c) 1/4
(e) − 4
7.Si x1 , x2 son ra´
ıces de la ecuaci´n
o
2
x + px + q = 0; calcule
(x1 − 1)(x2 − 1) − 1
(a) q − p
(d) 0
(b) q + p
(c) 1
(e) p
8.Si a y b son las ra´ de la ecuaci´n:
ıces
o
2
x − 6x + c = 0; entonces el valor de:
a2 + b2 + 2c
9