1) El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de colas, incluyendo las características clave de los sistemas de cola, la notación utilizada y algunos modelos de cola simples. 2) Se describen las seis características principales para definir un sistema de cola: patrón de llegadas, patrón de servicio, disciplina de cola, capacidad del sistema, número de canales de servicio y número de etapas de servicio. 3) También se introducen conceptos como procesos de Poisson, distribuciones exponencial

1. Teoría de Colas
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Teoría de Colas.
José Pedro García Sabater
Grupo ROGLE
Departamento de Organización de Empresas
Universidad Politécnica de Valencia.
Curso 2010 / 2011
Parte de estos apuntes está basado en la
fundamental obra “Fundamentals of Queueing
Theory” por Donald Gross y Carl Harris. Pero
también Factory Physics (Hopps and Spearman)
y Manufacturing Systems Modelling and
Analysis (Curry y Feldman) junto con un
pequeño aporte del que firma como autor han
contribuido.

2. Teoría de Colas
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Contenido
1. Introducción ..............................................................................................................................5
2. Descripción de un sistema de colas.............................................................................................5
2.1 Características de los sistemas de colas ..............................................................................6
2.1.1 PATRÓN DE LLEGADA DE LOS CLIENTES ................................ 6
2.1.2 PATRONES DE SERVICIO DE LOS SERVIDORES....................... 6
2.1.3 DISCIPLINA DE COLA ................................................................... 7
2.1.4 CAPACIDAD DEL SISTEMA.......................................................... 7
2.1.5 NÚMERO DE CANALES DEL SERVICIO...................................... 7
2.1.6 ETAPAS DE SERVICIO................................................................... 8
2.1.7 RESUMEN........................................................................................ 8
2.2 Notación básica .................................................................................................................8
2.2.1 NOMENCLATURA.......................................................................... 8
2.3 Como medir el rendimiento de un sistema........................................................................10
2.4 Algunos resultados generales...........................................................................................11
2.4.1 RESULTADOS Y RELACIONES................................................... 11
2.5 Como recoger datos en un sistema de colas ......................................................................12
2.6 Los procesos de Poisson y la distribución exponencial......................................................14
2.6.1 PROPIEDADES DEL PATRÓN DE LLEGADAS (O SERVICIO) POISSON-
EXPONENCIAL ............................................................................................ 14
2.6.2 GENERALIZACIONES AL PROCESO POISSON-EXPONENCIAL15
2.7 Procesos de nacimiento y muerte en el estado estacionario ...............................................16
2.8 Otras distribuciones. ........................................................................................................17
2.8.1 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DE TIPO DISCRETO.
18
2.8.2 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DE TIPO CONTINUO.
18
3. Modelos de colas simples.........................................................................................................20
3.1 El sistema M/M/1............................................................................................................20
3.2 Colas con servidores en paralelo M/M/C..........................................................................21
3.3 Colas con servidores en paralelo y limite de capacidad M/M/c/K......................................23
3.4 La fórmula de Erlang (M/M/C/C)....................................................................................25
3.5 Colas sin límites de servidores (M/M/ ) ........................................................................26

3. Teoría de Colas
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3.6 Colas con límite en la fuente............................................................................................26
3.7 Cuando el servicio depende del número de clientes ..........................................................27
3.8 Colas con impaciencia .....................................................................................................28
3.8.1 LOS QUE NO SE UNEN A LA COLA ........................................... 28
3.8.2 LOS QUE ABANDONAN .............................................................. 28
3.9 Aproximación a los Problemas G/G/c...............................................................................30
3.9.1 M/G/1.............................................................................................. 30
3.9.2 G/G/1 .............................................................................................. 30
3.9.3 G/G/C.............................................................................................. 31
3.10 Otras fuentes de variabilidad en el tiempo de servicio.......................................................31
3.10.1 FALLOS (AVERÍAS) Y REPARACIONES.................................... 32
3.10.2 INTERACCIÓN HOMBRE MÁQUINA. ........................................ 32
4. Series y Redes..........................................................................................................................33
4.1 Introducción ....................................................................................................................33
4.2 Colas en serie ..................................................................................................................35
4.3 “Redes de Jackson abiertas”.............................................................................................36
4.3.1 “REDES DE JACKSON ABIERTAS CON MÚLTIPLES TIPOS DE CLIENTES”
37
4.4 “Redes de Jackson cerradas”............................................................................................37
4.4.1 EL ANÁLISIS DEL VALOR MEDIO............................................. 38
5. Simulación...............................................................................................................................41
5.1 Elementos de un Modelo de Simulación...........................................................................41
5.2 Modelización de las Entradas...........................................................................................42
5.3 Análisis de Resultados.....................................................................................................42
5.4 Validación del Modelo.....................................................................................................43
6. Problemas................................................................................................................................44
6.1 Encargado de Bibliotecas.................................................................................................44
6.2 Mantenimiento de Coches................................................................................................44
6.3 Comidas Rápidas.............................................................................................................44
6.4 Coordinación de transmisiones.........................................................................................45
6.5 Sucursal Bancaria............................................................................................................45

4. Teoría de Colas
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6.6 Mantenimiento de Maquinaria .........................................................................................46
6.7 Alquiler de Ordenadores..................................................................................................46
6.8 Lavadero de Coches.........................................................................................................46
6.9 Dimensionando el Puerto.................................................................................................47
6.10 Central Telefónica ...........................................................................................................47
6.11 Cursos OnLine.................................................................................................................48
6.12 Mantenimiento Dispensadores .........................................................................................48
6.13 Peluquería Maripuri.........................................................................................................48
6.14 Dispensario Gratuito........................................................................................................48
6.15 Estación ITV ...................................................................................................................49
6.16 Mantenimiento de Robots ................................................................................................49
6.17 Puliendo motores.............................................................................................................49
6.18 Nuevo concepto de supermercado....................................................................................50
6.19 Centralita Telefónica .......................................................................................................50
6.20 Mantemiento ...................................................................................................................51
6.21 Reparaciones Electrónicas ...............................................................................................51
6.22 Restaurante Chino Gran Muralla......................................................................................51
6.23 Aglomerados JPK............................................................................................................52
6.24 Ascensores PKJu .............................................................................................................56
6.25 Juguetes KP.....................................................................................................................58
6.26 Mejora de Un Servicio de Atención Telefónico ................................................................62
6.27 Colas en el parque de atracciones.....................................................................................64
6.28 Automatismos JCP.........................................................................................................66

5. Teoría de Colas
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1. Introducción
Todos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al
esperar en una cola. El fenómeno de las colas nos parece natural: esperamos en el coche al estar en un
tapón, o un semáforo mal regulado, o en un peaje; esperamos en el teléfono a que nos atienda un
operador y en la cola de un supermercado para pagar....
Generalmente como clientes no queremos esperar, los gestores de los citados servicios no quieren
que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?
La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es)
menor que la capacidad demandada. Esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que
aumenten la capacidad. En estos casos la pregunta es: ¿Compensa invertir?
La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos analíticos.
2. Descripción de un sistema de colas
Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio,
esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos
se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.
El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede
significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir
en una impresora en red.
Figura 1 Un sistema de cola básico
Aunque la mayor parte de los sistemas se puedan representar como en la figura 1, debe quedar
claro que una representación detallada exige definir un número elevado de parámetros y funciones.
La teoría de colas fue originariamente un trabajo práctico. La primera aplicación de la que se
tiene noticia es del matemático danés Erlang sobre conversaciones telefónicas en 1909, para el cálculo
de tamaño de centralitas. Después se convirtió en un concepto teórico que consiguió un gran
desarrollo, y desde hace unos años se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige un
importante trabajo de análisis para convertir las fórmulas en realidades, o viceversa.
servicio
clientes que
abandonan
clientes
llegando
clientes
servidos

6. Teoría de Colas
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2.1 Características de los sistemas de colas
Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un
sistema de colas:
a) Patrón de llegada de los clientes
b) Patrón de servicio de los servidores
c) Disciplina de cola
d) Capacidad del sistema
e) Número de canales de servicio
f) Número de etapas de servicio
Algunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes.
2.1.1 Patrón de llegada de los clientes
En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una
cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos
llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente
o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución
probabilística de éstos.
También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es
demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.
Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le
llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.
2.1.2 Patrones de servicio de los servidores
Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle,
para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual.
El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando
más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el

7. Teoría de Colas
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patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo
transcurrido.
2.1.3 Disciplina de cola
La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos
de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO
(atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la
disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con
prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de
clientes.
En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada
en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que
está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el
cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda
situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe
el que está siendo atendido.
2.1.4 Capacidad del sistema
En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en
la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser
considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.
2.1.5 Número de canales del servicio
Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para
todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se
habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas
independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.
En la figura 1 se dibujó un sistema mono-canal, en la figura 2 se presenta dos variantes de
sistema multicanal. El primero tiene una sóla cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola
cola para cada canal.

8. Teoría de Colas
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Fig. 2 Sistemas de cola multicanal
Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera
independiente.
2.1.6 Etapas de servicio
Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente
puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvo
que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por
un servidor diferente.
En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitual
en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos.
Un sistema multietapa se ilustra en la figura.3
Figura 3: Sistema Multietapa con retroalimentación.
2.1.7 Resumen
Las anteriores características bastan, de modo general, para describir cualquier proceso.
Evidentemente se puede encontrar una gran cantidad de problemas distintos y, por tanto, antes de
comenzar cualquier análisis matemático se debería describir adecuadamente el proceso atendiendo a
las anteriores características.
Una elección equivocada del modelo lleva a unos resultados erróneos, y en muchos casos no
analizar adecuadamente nos puede llevar a pensar que el sistema no es posible de modelar.
2.2 Notación básica
2.2.1 Nomenclatura
= Número de llegadas por unidad de tiempo
= Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado

9. Teoría de Colas
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c= Número de servidores en paralelo





c
: Congestión de un sistema con parámetros: (,, c)
N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t
Nq(t): Número de clientes en la cola en en el instante t
Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t
Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}
N: Número de clientes en el sistema en el estado estable
Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}
L : Número medio de clientes en el sistema
Lq : Número medio de clientes en la cola
Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola
S : Representa el tiempo de servicio
T = Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema
Wq= E[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola
W=E[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema
r: número medio de clientes que se atienden por término medio
Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado
Tabla 2: Nomenclatura básica
Con el paso del tiempo se ha implantado una notación para representar los problemas de colas
que consta de 5 símbolos separados por barras.
A / B / X /Y / Z
A: indica la distribución de tiempo entre llegadas consecutivas
B: alude al patrón de servicio de servidores
X: es el número de canales de servicio
Y: es la restricción en la capacidad del sistema
Z: es la disciplina de cola

10. Teoría de Colas
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En la tabla 1 se presenta un resumen de los símbolos más utilizados.
Característica Símbolo Explicación
Distribución de tiempos de
llegada (A)
Distribución de tiempos de
servicio (B)
M
D
Ek
Hk
PH
G
Exponencial
Determinista
Erlang tipo-k (k=1,2,...)
Mezcla de k exponenciales
Tipo fase
General
Número de servidores 1,2,...,
Disciplina de cola FIFO
LIFO
RSS
PR
GD
Servir al primero que llega
El último que llega se sirve
primero
Selección aleatoria de servicio
Prioridad
Disciplina general
Tabla 1 Simbología de la notación
El símbolo G representa una distribución general de probabilidad, es decir, que el modelo
presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribución estadística (siempre que sean
Variables IID- Independientes e Idénticamente Distribuidas).
Si no existe restricción de capacidad (Y = ) y la política de servicio es FIFO, no se suelen
incorporar dichos símbolos en la notación así:
M/D/3 es equivalente a M/D/3//FIFO
y significa que los clientes entran según una distribución exponencial, se sirven de manera
determinista con tres servidores sin limitación de capacidad en el sistema y siguiendo una estrategia
FIFO de servicio.
La notación anteriormente representada, por general, deja demasiados casos por resolver, pero
es suficiente para los casos más importantes.
2.3 Como medir el rendimiento de un sistema
La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipo: a) establecer mecanismos para medir la
efectividad del sistema o b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).
Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de
operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de
“no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales.
A partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información
necesaria para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas
de un proceso de atención al cliente.

11. Teoría de Colas
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En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede
dar en alguno de los siguientes tres aspectos:
a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)
b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)
c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)
2.4 Algunos resultados generales
Se presentan en este apartado algunos resultados y relaciones para problemas G/G/1 o G/G/c.
Estos resultados son válidos para cualquier problema de colas y por tanto serán utilizados en el
resto de desarrollo.
2.4.1 Resultados y relaciones
Si 1 el sistema tenderá a crecer inexorablemente.
El número de clientes en el instante t, n(t), es el número de llegadas que han ocurrido hasta t
menos el número de servicios completados hasta t.
El número medio de clientes en el sistema y en la cola se puede calcular de diferentes maneras:
  



0n
npnnEL
   



1cn
nqq PcnnEL
Little, en su famosa fórmula, establece una relación entre la longitud de la cola y el tiempo de
espera:
L=  W
Lq =  Wq
El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo de espera de un
cliente en la cola,

1
 qWW

12. Teoría de Colas
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El número de clientes que por término medio se están atendiendo en cualquier momento es:
 


  qq WWLLr
En un sistema de un único servidor:
0
11 1
1)1( pppnpnLL
n
nn
n n
nq   






La probabilidad de que un sistema de un único servidor esté vacío es p0=1-
La probabilidad de que un servidor (de un sistema de c servidores en paralelo) esté ocupado en
el estado estable es:





c
pb
El tiempo de estancia del cliente (i+1) en la cola es:







00
0
)()()(
)()()()()()(
1
iii
q
iii
q
iii
qi
q
TSWsi
TSWsiTSW
W
donde S(i)
es el tiempo de servicio del cliente i, y T(i)
es el tiempo que transcurre desde la
llegada del cliente y hasta la llegada del cliente (i+1)
2.5 Como recoger datos en un sistema de colas
A priori se puede pensar que el método más adecuado para recoger datos al analizar un sistema
es establecer una plantilla y recoger los datos sobre el sistema cada cierto tiempo. Esta técnica es
“orientada al tiempo”
Es mejor, sin embargo, utilizar una técnica de recogida de información asociada a eventos.
“La información se recoge cuando algo ocurre”
En una cola convencional los únicos datos a recoger son:
a) cada cuánto llega un cliente
b) cuánto se tarda en servir a cada cliente
No es necesario recoger más información para, a partir de las relaciones expuestas en el
apartado anterior, definir cualquier medida de efectividad.
Ejemplo

13. Teoría de Colas
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Sea un sistema G/G/1. Sean los siguientes datos de entrada:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tiempo entre llegadas entre i+1 e i 2 1 3 1 1 4 2 5 1 2 2 -
Tiempo de servicio al cliente 1 3 6 2 1 1 4 2 5 1 1 3
De la tabla anterior se puede extraer la siguiente información:
Reloj
(t)
Entrada/sa
lida
del cliente
i
Tiempo en
que el cliente
i entra en
servicio
Tiempo en
que el cliente
i sale del
servicio
Tiem-
po en
la cola
Tiemp
o en el
sistem
a
Tamaño de
colas
después de
t
Clientes en
el sistema
después de
t
0 1-E 0 1 0 1 0 1
1 1-S 0 0
2 2-E 2 5 0 3 0 1
3 3-E 5 11 2 8 1 2
5 2-S 0 1
6 4-E 11 13 5 7 1 2
7 5-E 13 14 6 7 2 3
8 6-A 14 15 6 7 3 4
11 3-D 2 3
12 7-A 15 19 3 7 3 4
13 4-D 2 3
14 8-A;5-D 19 21 5 7 2 3
15 6-D 1 2
19 P-A;7-D 21 26 2 7 1 2
20 10-A 26 27 6 7 2 3
21 8-D 1 2
24 11-A 27 28 3 4 2 3
26 12-A;9-D 28 31 2 5 2 3
27 10-D 1 2
28 11-D 0 1
31 12-D 0 0
A partir de la anterior información obtenida se puede decir que:
31
12
 clientes por unidad de tiempo
30
12
 clientes por unidad de tiempo
El tiempo medio de estancia en la cola es de
12
40
El tiempo medio de estancia en el sistema es de
12
70
De aquí y a partir de la fórmula de Little

14. Teoría de Colas
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31
40
12
40
31
12
31
70
12
70
31
12


qq WL
WL


2.6 Los procesos de Poisson y la distribución
exponencial
La mayor parte de los modelos de colas estocásticas asumen que el tiempo entre diferentes
llegadas de clientes siguen una distribución exponencial. O lo que es lo mismo que el ritmo de llegada
sigue una distribución de Poisson*
.
En esta sección se verán las características de una distribución de Poisson y como se relacionan
con la distribución exponencial. Posteriormente se analizan las más importantes propiedades y algunas
generalizaciones al adoptar tal patrón de llegadas. Se cierra el apartado con argumentos que apoyan el
uso de la distribución de Poisson. Adoptar la distribución de Poisson implica que la probabilidad de
que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:
t
n
n e
n
t
tp  

!
)(
)(
El tiempo entre llegadas se define, de este modo, como la probabilidad de que no llegue ningún
cliente:
t
etp 
)(0
siendo por tanto una distribución exponencial.
2.6.1 Propiedades del Patrón de llegadas (o servicio) Poisson-
Exponencial
El uso de este patrón de llegada (o de servicio) tiene, entre otras las siguientes propiedades:
P1 El número de llegadas en intervalos de tiempo no superpuestos es estadísticamente
independiente
*
Es habitual también admitir que el ritmo de atención de cliente cuando el servidor está ocupado tiene
una distribución de Poisson y la duración de la atención al cliente una distribución exponencial.

15. Teoría de Colas
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P2 La probabilidad de que una llegada ocurra entre el tiempo t y t+t es t+o(t), donde 
es la tasa de llegada y o(t) cumple
( )
lim 0
t o
o t
t 



. De hecho o(t) se podría entender
como la probabilidad de que llegue más de uno.
P3 La distribución estadística del número de llegadas en intervalos de tiempo iguales es
estadísticamente equivalente
  stste
n
st
stP st
n
n 

 
,0,
!
)(
)( )(
P4 Si el número de llegadas sigue una distribución de Poisson el tiempo entre llegadas sigue
una distribución exponencial de media (1/) y al contrario
t
o
t
n
n etPe
n
t
tP  
 )(
!
)(
)(
P5 Si el proceso de llegada es Poisson, los tiempos de llegada son completamente aleatorios
con una función de probabilidad uniforme sobre el periodo analizado.
  kk
T
k
Tenllegadasktttf
!
),0/,...,,( 21 
P6 Para conocer los datos que definen un proceso de Poisson solo es necesario conocer el
número medio de llegadas
P7 Amnesia de la Distribución exponencial: La probabilidad de que falten t unidades para
que llegue el siguiente cliente es independiente de cuanto tiempo llevamos sin que llegue
ningún cliente.
   010 0/1 ttTPtTTP rr 
2.6.2 Generalizaciones al Proceso Poisson-Exponencial
a) Variabilidad de 
Se puede admitir que  varíe con el tiempo. En este caso
 
t
o
n
tm
n dsstm
n
tm
etP )()(,
!
))((
)( )(

b) Llegadas múltiples

16. Teoría de Colas
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Se puede admitir que en cada evento de llegada aparezcan i clientes, donde:


n
i
i
1

En este caso la probabilidad de que en el instante t hayan aparecido m clientes es:
   
 )(
!
)(
)( k
m
k
t
r c
k
t
emtNP

donde
)(k
mc es la probabilidad de que k ocurrencias den un resultado total de m clientes.
2.7 Procesos de nacimiento y muerte en el estado
estacionario
Un proceso estocástico es la abstracción matemática de un proceso empírico, cuyo desarrollo
está gobernado por alguna ley de probabilidad.
Desde el punto de vista de la teoría de probabilidades, un proceso estocástico se define como
una familia de variables aleatorias {X(t),tT} definidas sobre un horizonte T. X(t) es el estado del
sistema.
Se dice que un proceso estocástico {X(t),t=0,1,...} es un proceso de Markov si, para cualquier
conjunto de n instantes t1<t2<...<tn, la distribución de X(t) depende únicamente del valor de X(tn-1). Es
decir:
“ Dada la situación presente, el futuro es independiente del pasado y el proceso carece
de memoria”
Una cola, con proceso de llegada Poisson-Exponencial de media , y con proceso de servicio
Poisson-Exponencial de media , se puede modelizar como una cadena de Markov continua, donde
en cada intervalo infinitesimal de tiempo puede ocurrir un nacimiento (llegada) o una muerte (salida)
 
  1)(),(1
0)(),(1


ntottttennnP
ntottttennnP
nr
nr


Al representar las anteriores probabilidades se ha considerado que las tasas de llegada y de
servicio ( y  respectivamente) dependen del número de elementos en el sistema.
Una representación gráfica de un fragmento de la cadena de Markov generada es la
representada en la siguiente figura:

17. Teoría de Colas
Página 17 de 66
Figura 4: Fragmento de cadena de Markov
Es interesante conocer las probabilidades en el estado estacionario de que haya n elementos en
el sistema. n elementos en el sistema se refleja porque la cadena de Markov está en el estado n.
En situación estacionaria, se puede decir que el “balance de flujo” alrededor del estado n debe
ser 0 (sino no sería estable). Así las probabilidades de entrada en el estado n , deben ser iguales a la
probabilidad de las salidas:
0n1111   nnnnnnnn PPPP 
En el origen
1100 PP  
De las anteriores ecuaciones se puede extraer que:



n
i i
i
n PP
1
1
0


y dado que
1
0

n
i
iP
se puede calcular


 



1 1
1
0
1
1
n
n
i i
i
P


Aunque la resolución de las anteriores ecuaciones parece complicada, no es estrictamente
necesario conocer cómo se puede resolver para poderlas aplicar. Sólo en el caso de que nuestra
realidad no sea aplicable a un problema ya resuelto deberíamos profundizar en los diferentes métodos
que permiten resolver nuestro problema.
2.8 Otras distribuciones.
No todas las llegadas ni todos los servicios se pueden simular mediante una poisson/exponencial.
Existen otras distribuciones que se ajustan mejor a otros procesos reales.
n-1 n n+1
 
 

18. Teoría de Colas
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En la práctica se puede considerar que son necesarios tres elementos:
a) Conocer todas las distribuciones para tener un conocimiento claro de las posibilidades de
caracterización una determinada distribución.
b) Conocer un procedimiento para establecer, vía inferencia estadística, cual es la distribución de
una determinada muestra.
c) Ser capaz de calcular la media y la desviación típica de un proceso en función de una muestra.
2.8.1 Principales distribuciones estadísticas de tipo Discreto.
Las distribuciones estadísticas de tipo discreto toman valores de un conjunto finito de
posibilidades. En teoría de colas son relevantes porque permiten representar el número de clientes en
un intervalo de tiempo.
Si las posibles ocurrencias son un conjunto finito y uniforme de valores (e.g. el lanzamiento de un
dado perfecto) se conoce como variable Uniforme Discreta. Si la variable se da entre los valores a y
b enteros, la media de la distribución es (a+b)/2 y la varianza es ((b-a+1)^2-1)/12
Si la probabilidad de cada ocurrencia es diferente, la más sencilla de todas las distribuciones de
Bernouilli donde la variable puede sólo tomar dos valores (e.g. chico o chica, A o B) con una cierta
probabilidad p para el primero miembro del par, que suele denominarse éxito. La media es p y la
varianza es p(1-p)
La distribución Binomial representa la probabilidad de obtener k sucesos A con probabilidad p, a
partir de n intentos. Es por tanto la suma de n Bernouilli de probabilidad p. La media es np y la
varianza es np(1-p)
La distribución Geométrica representa la probabilidad de obtener la primera ocurrencia A en el
lanzamiento n. Esta variable tiene un rango infinito aunque sigue siendo discreta. La media es 1/p y la
varianza es (1-p)/p^2
También tiene un rango infinito la conocida como Poisson en la que se representan ocurrencias
para un conjunto grande e independiente de eventos distribuidos a lo largo del espacio o del tiempo La
distribución tiene propiedades matemáticas interesantes que la hacen muy utilizada. La media es  y la
varianza es también .
2.8.2 Principales distribuciones estadísticas de tipo Continuo.
Cuando las ocurrencias pueden tomar valores dentro de un rango continuo las distribuciones son
de tipo continuo. En teoría de colas son especialmente adecuadas para representar intervalos de
tiempo.

19. Teoría de Colas
Página 19 de 66
La Continua Uniforme toma valores equiprobables en un determinado rango [a,b]. La media de
esa función es (a+b)/2 y la varianza es (b-a)^2/12
La exponencial (o negativa exponencial) es la complementaria de la distribución de Poisson. Su
media es 1/ y la varianza es 1/^2
La Erlang[k,β] es una distribución que es la suma de k exponenciales de media β/k. La media de
dicha distribución es β y la varianza es β^2/k.
De hecho la distribución Erlang es una parte de una clase más amplia que son las distribuciones
gamma. Cada función gamma es definida por dos parámetros α y β. La media es βα y la varianza es
αβ^2
La distribución Weibull permite describir la rutprua de
La distribución Normal
La distribución logNormal
 Continua-Uniforme
 Exponencial
 Erlang
 Gamma
 Weibull
 Normal
 LogNormal

Comentar las ventajas y los inconvenientes de las otras.

20. Teoría de Colas
Página 20 de 66
3. Modelos de colas simples
El propósito de este apartado es exponer diferentes modelos de colas. No es excesivamente
complicado conocer el origen de las fórmulas, y puede ser un ejercicio interesante cuando las
condiciones de partida no son exactamente las aquí consideradas. Sin embargo se ha optado por la
exposición de los resultados directos ya que se pretende la aplicación de éstos y no su consecución.
Todos los resultados se obtienen para el estado estable.
3.1 El sistema M/M/1
Una cola M/M/1 tiene un único servidor y las tasas de llegada y de servicio siguen una
distribución de Poisson, siendo por tanto:
La tasa de llegada es a(t)= e-t
La tasa de salida es a(t)=e.t
La probabilidad de que haya n clientes es:
  n
-1Pn  con


 
El número medio de clientes en la cola es:
  








0
1
00
)1()1(
n
n
n
n
n
n nnpnnEL 
Como
2
0
1
)1(
1
)
1
1
(
)(



















n
n
n
n
n
De donde








1
L
Y aplicando las relaciones fundamentales del apartado 1.5
 

1L
W
)(
2



qL



qW

21. Teoría de Colas
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La cola media cuando el sistema no está vacío es:









0
'
q
q
q N
N
EL
Otro resultado interesante es conocer cual es la probabilidad de que haya X o más elementos en
el sistema.
X
XnP  )(
3.2 Colas con servidores en paralelo M/M/C
Un sistema con servidores en paralelo se caracteriza porque hay más de un servidor que ejecuta la
misma función con la misma eficiencia.
Se define


r mientras que la tasa de ocupación del sistema es



·c

Cuando se consideran c servidores en paralelo, las tasas de llegada y de servicio pasan a ser:
t
tn
n
eta
etb








)(
)(
donde






cnc
cnn
n
1



La probabilidad de que haga n clientes en un sistema de este tipo es:







cnP
n
cnP
cc
n
n
n
ncn
nP
1
!
!
0
0




Siendo la probabilidad de que el sistema esté vacío:
1
)1(!!
1
1
0
0 










 
 c
r
c
r
n
r
P
c
n
cn
La longitud de la cola medida es:

22. Teoría de Colas
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02
)1(!
P
c
r
L
c
q




El tiempo medio de espera en la cola:
02
)1)((!
P
cc
rL
W
c
q
q 








Y por tanto,
02
)1)((!
11
P
cc
r
WW
c
q 








02
)1(!
P
c
r
rL
c










Para facilitar el cálculo de Lq se ha considerado interesante incluir el siguiente ábaco que relaciona
el valor de  con Lq para distintos valores de c.
Ábaco para el cálculo de la longitud de la cola (Lq)

23. Teoría de Colas
Página 23 de 66
3.3 Colas con servidores en paralelo y limite de
capacidad M/M/c/K
En algunos sistemas la cola no puede albergar a un número indefinido de clientes. En este caso
se dice que el sistema es de capacidad limitada. El límite lo fija el parámetro K que incluye a los
servidores. Las probabilidades de cada estado del sistema







cnP
n
KncP
cc
n
n
n
ncn
nP
1
!
!
0
0







































1
1
1
!!
1)1(
!!
0
1
11
0
11
0




cKc
n
cn
c
n
cn
c
r
n
r
cK
c
r
n
r
P
La longitud media de la cola es:
 cKcK
c
q cK
c
rP
L 


 


)1)(1(1
)1(!
1
2
0
)1( Kq PrLL 
)1( KP
L
W


 
1
)1(



K
q
P
L
W
Para facilitar el cálculo de Lq se ha considerado interesante incluir los siguientes ábacos que
relacionan el valor de  con Lq para distintos valores de K-c.

24. Teoría de Colas
Página 24 de 66

25. Teoría de Colas
Página 25 de 66
3.4 La fórmula de Erlang (M/M/C/C)
Existe un caso especial de la cola con límite de capacidad y es cuando este límite coincide con
el número de servidores. Es decir, no se puede generar cola.
Esta situación da lugar a la distribución de probabilidad conocida como Erlang.
La probabilidad de que haya n elementos en el sistema.
 

 c
i
i
n
n
i
nP
0 !
)/(
!
/


La probabilidad de que el sistema esté lleno es:



r
i
r
c
r
P c
i
i
c
c ,
!
!
0
Lo sorprendente de esta fórmula es que es válida, independientemente del tipo de distribución del
servicio y por tanto es válida para M/G/C/C

26. Teoría de Colas
Página 26 de 66
Los valores más relevantes son:
)1·( CPrL 
)1( CP
L
W



3.5 Colas sin límites de servidores (M/M/)
En ocasiones se puede estar diseñando un sistema donde el número de servidores simultáneos
no sea un límite (por ejemplo acceso a un servidor de red).
Si el tiempo de servicio tiene igual distribución con el número de servidores (n=n).
La probabilidad de que haya n clientes simultáneamente es:




rn
n
er
P
rn
n 0
!


L

1
W
3.6 Colas con límite en la fuente
Hasta ahora se ha asumido que la población que alimenta a la cola es infinita. También se
puede trabajar con la suposición de colas finitas. Éstas están compuestas de un número M limitado de
clientes, que en caso de entrar en el sistema tendría un tiempo de servicio medio de .
Y la probabilidad de que un cliente fuera del sistema entre en el periodo t y t+t es:
)( totn 
Con las anteriores suposiciones
 MnnM
Mnn

 0)(
0

  cnn
cncn

 0

Usando los mismos conceptos que siempre

27. Teoría de Colas
Página 27 de 66
 
 








MncPr
cc
n
cnPr
P n
cn
M
n
nM
n
n
!
!
1
0
0
  





  

 

1
0
0
!
!
11
c
n
M
cn
n
cn
nM
nn r
cc
n
rPP
De aquí puede salir P0
El número medio de clientes en el sistema y el resto de relaciones es:


M
n
nnPL
1
)( LMrLLq 
)( LM
L
W


 )( LM
L
W
q
q



3.7 Cuando el servicio depende del número de clientes
En ocasiones el tiempo de atención a los clientes puede variar dependiendo del tamaño de la
cola






kn
kn
n
11



Asumiendo que la llegada de clientes sigue una distribución de Poisson de media , se puede
decir que:
1
1
0
11
1
01
kn
kn0















 
P
P
P knk
n
n

























 

1,1
1
1,1
11
1
1
1
1
11
1
1
1
0








k
P
kk
El tamaño de cola media es:

28. Teoría de Colas
Página 28 de 66
   















2
1
1
2
1
1
111
0
)1(
)1(
)1(
)1(1



 kkkk
PL
kkk
)1( 0PLLq 

L
W 

q
q
L
W 
3.8 Colas con impaciencia
Se dice que los clientes son impacientes si tienden a unirse a la cola sólo si no es demasiado
larga, o si el tiempo que creen que les queda por esperar es suficientemente corto. Un tercer tipo de
impaciente es el que va cambiando de cola entre colas paralelas.
La literatura únicamente considera los dos primero tipos de clientes impacientes: los que no se
unen a la cola o las que la abandonan antes de tiempo
3.8.1 Los que no se unen a la cola
El cliente que no se une a la cola lo hace porque ya hay demasiados clientes antes. Si para
todos los clientes “demasiados” fuera la misma cantidad (k) el problema sería M/M/c/K. Sin embargo
lo normal es que k no sea constante para cada cliente. Por tanto la modelización es un poco diferente.
Se puede asumir para ello que el ratio de llegada , se ve afectado por una serie monótona decreciente
tal que
10 1   nnnn bbb 
En este caso


n
i
i
n
n bPP
1
10 )(


3.8.2 Los que abandonan
Se puede asumir que este tipo de clientes tiene una cierta probabilidad de irse si hay n clientes
en la cola r(n), donde
r(0)=r(1)=0
Este nuevo proceso tiene un ratio de salida )(nrn  
Por tanto

29. Teoría de Colas
Página 29 de 66
 





n
i
in
n
i i
i
n
ir
b
PPP
1
1
0
1
1
0
)(



donde
)(
1 1
1 1
0
ir
b
P i
n
n
i
n

 

 
  


30. Teoría de Colas
Página 30 de 66
3.9 Aproximación a los Problemas G/G/c
Todos los desarrollos anteriores se basan en que las entradas y el servicio se distribuyen mediante
procesos que siguen una distribución de Poisson/Exponencial.
Pero, ¿y si no siguen dichos procesos?
3.9.1 M/G/1
Los clientes, en este modelo, siguen llegando con una distribución de Poisson de media , pero
asumimos que son atendidos por un proceso más general de duración media 1/ y de desviación típica
σ.
En 1932 Pollaczek y Khintchine desarrollaron la fórmula denominada “P-K” que permite evaluar
la longitud de la cola media.
2
2 2
2 1
L

 

 

 
 
  
 
 
 
De la anterior relación se extrae directamente el tiempo de estancia en cola.
2
2 2
2 1
qW

 




 
 
 
 
 
 
(Curry y Feldman, 2010) proponen una modificación de la fórmula que es bastante interesante
(además de exacta) pues proporciona una relación directa entre las colas M/M/1 y las colas M/G/1
permitiendo utilizar tablas ya conocidas.
   
2
1
1 1
2
z
q qW M G W M M
  
  
 
   
Es de destacar que
2 2
  es el coeficiente de variación al cuadrado de los tiempos de servicio.
3.9.2 G/G/1
Cuando la entrada tampoco sigue una distribución exponencial se puede utilizar la aproximación
de difusión Kingman para calcular el valor del tiempo de espera en cola en función de los coeficientes

31. Teoría de Colas
Página 31 de 66
de variación al cuadrado de la entrada y de la salida. De hecho esta es una aproximación que además
es siempre una cota superior.
   
2 2 2 2
1 1
2
e s
Wq G G Wq M M
    
  
 
   
U otra forma de escribirla sería la siguiente.
 
2 2 2 2
1
1
2 1
e s
Wq G G
    
 
  
   
  
 
Existen otras aproximaciones como la de Kraemer y Langenbach que mejoran la calidad del
resultado. En cualquier caso es interesante notar el efecto que tiene la variabilidad (ya sea a la entrada
o a la salida) en el tiempo de estancia en cola.
3.9.3 G/G/c
Si el caso G/G/1 ya es una generalización no exacta, menos exacta aún es la generalización G/G/c.
En cualquier caso dado que el error es pequeño es interesante la siguiente fórmula que permite
calcular el tiempo de estancia medio en cola para un sistema cualquiera..
 
 
2 2 2 2 2 2 1
1
2 1
c
e s
Wq G G c
c
    
 
 
 
  
 

 
3.10 Otras fuentes de variabilidad en el tiempo de
servicio.
A partir de los resultados anteriores se puede derivar que reducir la variabilidad en el tiempo de
servicio tiene el mismo efecto que aumentar la capacidad de la máquina.
Las fuentes principales de variabilidad en el tiempo que un elemento ha de estar en el sistema son
las siguientes:
a) Variabilidad del tiempo de proceso natural (lo analizado hasta ahora).
b) Paradas y reparaciones aleatorias.
c) Disponibilidad de operarios.
d) Tiempos de preparación y descarga de máquinas. Este tipo de variabilidad se debe analizar
desde la consideración de lotes, y por tanto se tratará más adelante.

32. Teoría de Colas
Página 32 de 66
3.10.1 Fallos (averías) y Reparaciones.
Las averías o Fallos (y su correspondiente tiempo de reparación) reducen la disponibilidad de la
máquina, incrementando su saturación, pero también incrementan la duración del tiempo de servicio
de aquel producto que tiene la “mala suerte” de quedarse atascado durante la avería.
La disponibilidad (availability) de la máquina sujeta a Fallos y Reparación se calcula del siguiente
modo:
[ ]
[ ] [ ]
i
i i
E F
a
E F E R


A partir de esta definición Hopp and Spearman desarrollan la expresión para el tiempo de servicio
efectivo y su coeficiente de variación asociado
 
[ ]a
e
E T
E T
a

 
    
 
2
2 2 2
1 ]1 [i i
e e s
S
C R a a E R
C C T C
E T
 
  
A partir de estos valores es posible calcular los tiempos de espera utilizando la aproximación al
problema M/G/1 ya expresada anteriormente con la siguiente formulación.
 
2 2
2 1
a e e
q e
e
C C
W E T


 
  
 
En esta fórmula hay que destacar que la tasa de utilización efectiva viene afectada por la
disponibilidad del recurso tras eliminar el tiempo que está parado.
e
a

 
3.10.2 Interacción hombre máquina.
Hasta este momento siempre se ha considerado que sólo un recurso (o conjunto de los mismos) era
limitador de la capacidad de la máquina. Podría ser que tuviéramos que considerar que hay dos
recursos asociados a la utilización de la máquina: por ejemplo la máquina misma y un operario que le
haga la preparación antes de empezar a ejecutar.
Desafortunadamente para este caso tan habitual no hay una solución general y habría que recurrir a
diagramas de estado para calcular todos los parámetros básicos.

33. Teoría de Colas
Página 33 de 66
En ese caso la codificación de cada uno de los estados es básica para obtener e interpretar algún
resultado.
La propuesta de Curry y Feldman para un sistema con dos máquinas idénticas y un operador es
que cada estado lo representa una tripleta (n,i,j) donde n es el número de trabajos en el sistema, i y j
son el estado de cada una de las máquinas, pudiendo ser 0;s;p. 0 indica que la máquina está vacía y
parada, s indica que la máquina está sometida a un setup y p indica que la máquina está en
producción.
4. Series y Redes
4.1 Introducción
En este capítulo se realiza una introducción al tema de las redes de colas. Esta es un área de
gran interés investigador y de aplicación, con problemas muy complicados de plantear y de resolver.
Por este motivo se presenta únicamente una introducción de los conceptos básicos aunque su
aplicabilidad en el modelado de sistemas de fabricación es más que evidente.
Las Redes de Colas se pueden describir como un grupo de nodos (sean k), en el que cada nodo
representa una instalación de servicio.
Dicha instalación puede constar de ci servidores (i=,1...k) En el caso más general los clientes
pueden entrar en cualquier nodo y, después de moverse por la red, pueden salir en cualquier nodo.
Dentro de las Redes de Colas, se pondrá especial interés en las denominadas “Redes de
Jakcson”. Estas tienen las siguientes características:
1. Las llegadas desde el exterior al nodo i siguen un proceso de Poisson de media i
2. Los tiempos de servicio en cada nodo y son independientes y siguen una distribución
negativa exponencial con parámetro i, que podría ser dependiente del estado
3. La probabilidad de que un cliente que haya completado su servicio en el nodo i vaya al
nodo j es rij con i=1,2,....,k, j=0,1,...,k.
4. ri,0 indica la probabilidad de que un cliente abandone desde el nodo i
Si añadimos las características i y ri,0 para todo i estamos en el caso de las “Redes de Jackson
cerradas” Si no se da el caso anterior el problema se denomina de “Redes de Jackson abiertas”
Se consideran tres tipo de redes de Jackson:
a) Las redes de Jackson “en serie”

34. Teoría de Colas
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b) Las redes de Jackson “en general”
c) Las redes de Jackson “cerradas”
En cualquier caso las primeras son una variante reducida de las segundas.

35. Teoría de Colas
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4.2 Colas en serie
Se dice que un sistema de colas es “en serie” si






10
1
i
i
ri

y








casosdemáslosen0
01
1111
jki
kiij
rij
Figura 6: Sistema en serie.
Los clientes entran en el nodo 1 y salen en el nodo k, después de pasar por cada uno de los
nodos.
Consideraremos únicamente el caso de capacidad infinita de almacén entre cada etapa de la
serie. Dado que no existe limitación en la capacidad, cada estación puede analizarse de modo
separado.
Por tanto es necesario entender como salen los clientes de la primera etapa dada las
características de la entrada y de la etapa de servicio (i, i, ci)
Se puede demostrar que la salida de los clientes de un sistema M/M/c/ tienen una
distribución idéntica a la de la entrada, es decir Poisson con media . Por tanto una serie se compone
de k M/M/ci/  colas independientes, siempre que la entrada sea Poisson, el servicio sea exponencial
y no haya restricciones de capacidad.
La probabilidad de que en un instante dado haya n1 clientes en la etapa 1, n2 en la etapa 2... nk
en la etapa k es simplemente
Pn1,n2...nk=Pn1·Pn2·....·Pnk
..
.

36. Teoría de Colas
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4.3 “Redes de Jackson abiertas”
Se considera que son redes de Jackson abiertas cuando:
a) La llegada externa a cualquier nodo es Poisson i
b) Todos los servidores de cada etapa tiene un servicio exponencial de media i
c) De cada etapa i un cliente se mueve a otra etapa con probabilidad rij, y al exterior con
probabilidad ri,0
Figura 7: Ejemplo de una Red Abierta de Jackson
El ratio de llegada i a cada etapa se obtiene mediante las denominadas “ecuaciones de tráfico”


k
j
jijii r
1

de donde R


y por tanto
1
)( 
 RI

Definiendo
ii
i
i
c 

  La probabilidad de que en el estado estacionario haya ni clientes en el
nodo 1, n2 en el nodo 2, etcétera:
 oi
ii
n
i
nknnn P
na
r
P
i
)(
...321
donde
i
i
ir









 
iii
cn
i
iii
i
cncc
cnn
na ii
!
)( 1
)(
/, 
ii
n
i
oiio
na
r
PP
i
concretamente si ci=1  i
i
i
i
ii
0,ir
0,ir
0,ir
0,ir
0,ir
jir,

37. Teoría de Colas
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kn
kk
nn
knnnP  )1...()1()1( 21
21 2211... 
Cada etapa se comporta de modo independiente. Esto no significa que se comporte como
Poisson, aunque el comportamiento del valor medio permite considerar cada cola como una M/M/1
independiente. Así pues:
i
i
iL




1 i
i
i
L
W


La espera total esperada en el sistema es:


i
iL
W

4.3.1 “Redes de Jackson abiertas con múltiples tipos de clientes”
Es una generalización bastante evidente que cada cliente tenga una matriz de ruta R(t)
, siendo
t=1...n el tipo de cliente.
Para abordar este problema en primer lugar hay que resolver las “ecuaciones de tráfico” de
modo separado
1)()()(
)( 
 ttt
RI

A partir del resultado anterior


n
t
t
1
)(

Todos los resultados anteriores son ahora aplicables. Además la presencia media de un cliente
de tipo t se puede calcular como:
in
iii
t
it
i LL )()2()1(
)(
)(
... 



4.4 “Redes de Jackson cerradas”
Si ri=0 y ri,0=0 para todo i, tenemos un sistema de colas cerradas lo que es equivalente a un
sistema con N clientes continuamente viajando a través de la red.

38. Teoría de Colas
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Figura 8: Ejemplo de Red Cerrada
Si ci=1 para todo i, las “ecuaciones de tráfico” son:
 

k
j
jjij
k
j
jijiii rr
11

Como estas ecuaciones son redundantes es posible asignar un valor cualquiera a cualquier i
(por ejemplo 1=1). Las probabilidades en el estado estacionario son:
nk
k
nn
knnn
NG
P  ...
)(
1 2
2
1
1...21

donde  

Nnknn
nk
k
nn
NG
...21
2
2
1
1 ...)( 
En general, para cualquier valor de ci
)()(
1 )(
1
...21
ii
in
i
k
i
knnn
naNG
P



Donde






 
iii
cn
i
iii
ii
cncc
cnn
na ii
!
!
)(
  

Nnknn ii
in
i
k
i na
NG
...21
)(
1 )(
)(

4.4.1 El análisis del valor medio
El método anterior de analizar las redes de colas cerradas de Jackson tiene un coste
computacional elevado. Fundamentalmente debido a la coste de calcular G(N)
ri,j

39. Teoría de Colas
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El método del Análisis del Valor Medio (MVA), que se explica en este apartado, no requiere
calcular G(N) reduciendo de este modo el citado coste computacional. Este método se basa en que la
fórmula de Little es aplicable a través de toda la red.
Sea
i
i
i
NL
NW

)1(1
)(


donde
Wi(N)= Tiempo medio de espera en el nodo i para una red con N clientes
i= Ratio de servicio medio en el nodo i
Li(N-1)= Número medio de clientes en el nodo i si hay N-1 clientes en el sistema
Según la fórmula de Little:
Li(N)=i(N)Wi(N)
Si pudiéramos calcular i(N), podríamos evaluar Wi y Li empezando desde N=0 hasta N=n de
modo recursivo.
Sea iiiv  · , entonces, por las ecuaciones de tráfico:
 
j
j
jiji irvv
01
Dado que la anterior relación es redundante porque la red es cerrada, establecemos vl=1 y
resolvemos para los otros nodos.
Definimos Pi(n,N) como la probabilidad marginal de que en el nodo i hayan n clientes si en la
red cerrada hay N clientes
En general
)1,1(
)(
)(
),(  NnP
n
N
NnP i
ii
i
i


donde








i
ii
i
cj
cj
na
na
n
)1(
)(
)(
1


40. Teoría de Colas
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El algoritmo MVA considerando múltiples servidores es el expresado a continuación siguiente:
Paso 1 Resolver las ecuaciones de tráfico


k
j
jiji rvv
1
asumiendo vl=1
Paso 2 Inicializar Li(0), pi(0,0)=1, pi(j,0)=0  i=1..k, j0
Paso 3 Para n=1 hasta N, calcular
Paso3.1 



2
0
1
)1,()1()1(1(
1
)(
c
j
iii
ii
i injpjcnL
c
nW

Paso 3.2

 k
i
ii
l
nWv
n
n
1
)(
)( con 1lv
Paso 3.3 liivnn ili  ,)()( 
Paso 3.4 inWnnL ii  )()()( 
Paso 3.5 njkinjP
j
n
njP i
ii
i
i ..1,..1)1,1(
)(
)(
),( 



41. Teoría de Colas
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5. Simulación
Algunos problemas no se pueden resolver mediante métodos analíticos. Entre otras razones
podrían citarse la existencia de patrones no normalizados de entrada y de servicio, una gran
complejidad del sistema a modelar o la naturaleza de la disciplina de cola.
Además , en ocasiones, los resultados analíticos son para un estado estacionario que nunca se
alcanza, porque el sistema se interrumpe antes de abandonar el estado transitorio.
En estos casos el análisis de las colas mediante simulación puede ser una buena técnica para
encontrar el resultado.
Hay que destacar, en cualquier caso que, si existen los modelos analíticos, éstos se deberían
utilizar. Aunque la simulación permite resolver, o aproximar la resolución, de muchos problemas
intratables no es la panacea dado que resolver mediante simulación es equiparable a realizar una
experimentación. Por tanto hay que utilizar todas las herramientas asociadas al diseño y análisis de
experimentos: Recogida y Análisis de Datos, realización de la experimentación, análisis y consistencia
de resultados, etc.
Otro de los defectos del uso de la simulación frente a los métodos analíticos, se presenta cuando el
objetivo es el diseño de un sistema y no su evaluación. En ese caso el análisis por simulación no
permite utilizar técnicas de optimización convencionales, aunque hay que admitir que algunas
herramientas de simulación incorporan técnicas de optimización estocástica para resolver este tipo de
problemas
5.1 Elementos de un Modelo de Simulación
Cuatro son los elementos a tener en cuenta al abordar un modelo de simulación de teoría de colas,
supuesto diseñado el modelo “físico”:
a) Selección de los datos de entrada
b) Simulación.
c) Análisis de los resultados
d) Validación del modelo.
Dado que estamos interesados en modelizar sistemas estocásticos, los datos de entrada deben
representar del modo más fiable posible la realidad. En ocasiones se usan datos extraídos de la misma
para reconocer la estructura de los datos de entrada. La ejecución de la simulación actualmente se
realiza mediante paquetes informáticos avanzados (los denominados VIMS). El análisis de resultados
tiene que ver con el cálculo de la efectividad del sistema mediante las técnicas estadísticas apropiadas.

42. Teoría de Colas
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Además la validación del modelo es una exigencia que muchas veces se olvida al realizar modelos, q
consiste en comprobar que el sistema reacciona como lo hace la realidad.
5.2 Modelización de las Entradas
La Modelización de las Entradas es un requerimiento no sólo de la simulación, sino de cualquier
tipo de análisis probabilístico y numérico.
Los dos mayores problemas en la modelización de los datos de entrada son la selección de la
familia de distribuciones estadísticas y una vez estimada la familia estimar los parámetros que definen
la función de los diferentes entradas.
El primero de los dos problemas es evidentemente el más complicado mientras que el segundo
sólo es abordable una vez se ha resuelto la selección de la familia de distribuciones estadísticas.
En muchos casos los paquetes de simulación suelen llevar una herramienta de ajuste estadístico.
Cuando esto no ocurra deberemos recurrir a las diferentes técnicas estadísticas para definir tanto las
familias como los parámetros.
5.3 Análisis de Resultados
Alcanzar conclusiones válidas a partir de los resultados requiere un gran y cuidadoso esfuerzo.
Cuando se simulan sistemas estocásticos, no es posible extraer conclusiones a partir de una única
simulación que por naturaleza es estadística.
Por tanto para obtener conclusiones es necesario diseñar y ejecutar experimentos de una manera
lógica y comprehensiva.
Existen dos tipos de modelos de simulación: continuos o interrumpidos. Un modelo interrumpido
simularía por ejemplo un banco que abre a las 8:00 y cierra a las 14:00, vaciando la cola al final del
servicio. Sin embargo un modelo continuo se podría asociar a un sistema productivo donde el trabajo
con el que se acaba un día, es con el que se comienza al día siguiente. En este último caso es cuando
interesan los resultados en el estado estacionario.
En los sistemas que conducen a modelos interrumpidos el estado estacionario es generalmente
irrelevante. Lo que importa es el valor medio calculable al recoger un cierto número de resultados,
admitiendo siempre que lo que se obtiene es un valor medio estimado en un intervalo de confianza.
En los sistemas que conducen a modelos continuos el problema es un poco más complicado,
porque hay que eliminar de las muestras el estado transitorio, aunque la definición de estado
transitorio exigiría el reconocimiento del estado estable y por tanto del estado transitorio.

43. Teoría de Colas
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Los más importantes paquetes de simulación llevan incorporado herramientas que realizan estos
ejercicios mediante los cuales se pueden calcular los anteriormente citados intervalos de confianza.
5.4 Validación del Modelo
La validación de los modelos es probablemente el paso más importante, y probablemente también
el paso más obviado por aquellos que modelizan.
Antes de iniciar el proceso de realizar un modelo de simulación es necesario que el modelizador se
familiarice con el sistema que tiene que estudiar. Para ello es necesario involucrar a todos los niveles
de personal implicados en el proceso que va a ser simulado. En ese caso uno de los problemas que
aparece es el exceso de detalles en el modelo que lo convierten en improductivo.
El primer y fundamental paso en la validación es verificar que el programa hace lo que está
previsto que haga. Otro paso es definir el grado de credibilidad, es decir hasta que punto los que van a
usar el modelo consideran que el mismo tiene una utilidad y representa la realidad en la media que
nos interesa. Para ello es necesario que los objetivos del estudio, las medidas de rendimiento y el nivel
de detalle debe pactarse y mantenerse en el nivel más simple posible.
Cuando sea posible, los resultados de las simulaciones se deben comprobar con la realidad. Si esta
no estuviera disponible habría que intentar reproducir modelos teóricos con soluciones conocidas
mediante métodos analíticos.

44. Teoría de Colas
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6. Problemas
6.1 Encargado de Bibliotecas
Un estudiante trabaja como encargado de una biblioteca por las noches y es el único en el mostrador
durante todo su turno de trabajo. Las llegadas al mostrador siguen una distribución de Poisson con una
media de 8 por hora. Cada usuario de la biblioteca es atendido de uno en uno, y el tiempo de servicio
sigue una distribución exponencial con una media de 5 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme cola?
b) ¿Cuál es la longitud media de la cola?
c) ¿Cuál es el tiempo medio que un cliente pasa en la biblioteca hasta que le han
atendido?
d) ¿Cuál es el tiempo medio que un cliente pasa en la cola esperando a que le atiendan?
e) El estudiante pasa su tiempo en que no hay clientes clasificando artículos de revistas.
Si puede clasificar 22 fichas por hora como media cuando trabaja continuamente,
¿cuántas fichas puede ordenar durante su trabajo?
6.2 Mantenimiento de Coches
Una compañía de alquiler de coches tiene un servicio de mantenimiento de coches (revisión del aceite,
frenos, lavado…) que sólo es capaz de atender los coches de uno en uno y que trabaja 24 horas al día.
Los coches llegan con una media de 3 coches por día. El tiempo que dura el servicio de mantenimiento de
un coche sigue una distribución exponencial de media 7 horas. El servicio de mantenimiento cuesta a la
compañía 375 euros por día. La compañía estima en 25 euros/día el coste de tener el coche parado sin
poderse alquilar. La compañía se plantea la posibilidad de cambiar el servicio de mantenimiento por uno
más rápido que puede bajar el tiempo de mantenimiento a una media de horas, pero esto también supone
un incremento del coste. ¿Hasta que valor puede aumentar el coste para que la compañía contrate los
nuevos servicios de mantenimiento?
6.3 Comidas Rápidas
Nuestro local de comida rápida, “Panis”, tiene mucho que aprender sobre teoría de colas. Insta a los
clientes a que formen 3 colas en las que se distribuyen de forma aleatoria delante de los empleados
durante el periodo de comidas diario. Además han instalado entre las tres colas barreras para que los
clientes no se pasen a otras colas para prevenir que la gente se “cambie de cola”. Llegan los clientes

45. Teoría de Colas
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según una distribución de Poisson con una media de 60 por hora y el tiempo en que un cliente es servido
varía según una distribución exponencial de media 150 segundos. Asumiendo el estado permanente del
sistema, ¿cuál es el tiempo medio de estancia del cliente en el restaurante hasta que ha sido atendido? El
gerente de “Panis” ha creído ahora que es preferible una única cola para distribuir finalmente a los tres
servidores y por tanto las barreras son eliminadas. ¿cuál es el tiempo de espera de este modo?
6.4 Coordinación de transmisiones
Una organización está actualmente envuelta en el establecimiento de un centro de telecomunicaciones
para tener una mejor capacidad de las mismas. El centro deberá ser el responsable de la salida de los
mensajes así como de la entrada y distribución dentro de la organización. El encargado del centro es el
responsable de determinar los operadores que deben trabajar en él. Los operarios encargados de la salida
de mensajes son responsables de hacer pequeñas correcciones a los mensajes, mantener un índice de
códigos y un fichero con los mensajes salientes en los últimos 30 días, y por supuesto, transmitir el
mensaje. Se ha establecido que este proceso es exponencial y requiere una media de 28 min/mensaje. Los
operarios de transmisión trabajarán en el centro 7 horas al día y cinco días a la semana. Todos los
mensajes salientes serán procesados según el orden en que se vayan recibiendo y siguen una distribución
de Poisson con una media de 21 por cada 7 horas diarias. Los mensajes deben ser atendidos en 2 horas
como máximo. Determina el número mínimo de personal que se necesita para cumplir este criterio de
servicio.
6.5 Sucursal Bancaria
Una pequeña sucursal de un banco tiene dos empleados, uno para los pagos y otro para los cobros. Los
clientes llegan a cada caja siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20/hora. (el total de
llegada al banco es de 40/hora). El tiempo de servicio de cada empleado es una exponencial de media 2
minutos. El encargado de la sección está pensando hacer un cambio en que los dos operarios puedan
hacer tanto pagos como cobros para evitar situaciones en que una cola está llena y la otra parada. Sin
embargo, se estima que cuando los empleados se encarguen de las dos cosas el tiempo de servicio
aumentará a una media de 2,4 minutos. Compara el sistema que se emplea ahora con el propuesto,
calculando el total de gente en el banco, el tiempo medio que pasaría un cliente en el banco hasta que es
atendido, la probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos y el tiempo medio que están
parados los empleados.

46. Teoría de Colas
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6.6 Mantenimiento de Maquinaria
La empresa “Refrigeración Hermanos Pérez” debe elegir entre dos tipos de sistema para el mantenimiento
de sus camiones. Se estima que los camiones llegarán al puesto de mantenimiento de acuerdo con una
distribución de Poisson de uno cada 40 minutos y se cree que este ratio de llegada es independiente del
sistema que haya. El primer tipo de sistema puede atender a dos camiones en paralelo, y cada camión se
le haría todo el servicio en una media de 30 minutos (el tiempo sigue una distribución exponencial). En el
segundo sistema sólo se podría atender a un camión pero el tiempo medio en que se realiza el
mantenimiento de un camión es de 15 minutos (distribución exponencial). Para ayudar al encargado de la
decisión responda las siguientes cuestiones:
a) ¿cuántos camiones habrá por término medio habrá en cualquiera de los dos sistemas?
b) ¿Cuánto tiempo pasará cada camión en el taller en cualquiera de los dos sistemas?
c) El encargado estima que cada minuto que un camión pasa en el taller reduce los
beneficios en 2 euros. Se sabe que el sistema de dos camiones en paralelo tiene un
coste de un euro por minuto. ¿Qué debería costar el segundo sistema para que no haya
diferencia económica entre los dos?
6.7 Alquiler de Ordenadores
La empresa “Computadoras Reunidas”, que alquila ordenadores, considera necesario revisarlos una vez al
año. La primera alternativa, con un coste de 750.000 € es hacer un mantenimiento manual en el que cada
ordenador necesitaría un tiempo que sigue una distribución exponencial con una media de 6 horas. La
segundo opción sería un mantenimiento con máquinas, con un coste de un millón de euros, en este caso el
tiempo de mantenimiento es de 3 horas con una distribución exponencial. Para ambas alternativas los
ordenadores llegan siguiendo una distribución de poisson de media 8 horas. El tiempo en que está parado
un ordenador tiene un coste de 150 € por hora. ¿Qué alternativa debe elegir la empresa? Se asume que la
empresa trabaja 24 horas, 365 días al año.
6.8 Lavadero de Coches
Un pequeño autoservicio de lavado en el que el coche que entra no puede hacerlo hasta que el otro haya
salido completamente, tiene una capacidad de aparcamiento de 10 coches, incluyendo el que está siendo
lavado. La empresa ha estimado que los coches llegan siguiendo una distribución de Poisson con una
media de 20 coches/hora, el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial de 12 minutos. La
empresa abre durante 10 horas al día. ¿Cuál es la media de coches perdidos cada día debido a las
limitaciones de espacio?

47. Teoría de Colas
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6.9 Dimensionando el Puerto
La compañía “Gasolinas y Aceites SA” trabaja con petróleo, como no podía ser de otra manera, que
descarga del puerto y lleva a la refinería. En el puerto tiene 6 muelles de descarga y 4 equipos para la
descarga del barco. Cuando los muelles están llenos, los barcos se desvía a muelles de espera hasta que
les toca su turno. Los barcos llegan según una distribución de poisson con una media de uno cada 2 horas.
Para descargar el barco se necesita una media de 10 horas, siguiendo una distribución exponencial. La
compañía desea saber los siguientes datos
a) Por término medio, ¿cuántos barcos hay en el puerto?
b) Por término medio, ¿cuánto tiempo pasa un barco en el puerto?
c) ¿cuál es la media de llegada de los barcos a los muelles de espera?
d) La compañía estudia la posibilidad de construir otro muelle de descarga. La
construcción y mantenimiento del puerto costaría X € al año. La compañía estima que
desviar un barco hacia los muelles de espera cuando los muelles de descarga están
llenos tiene un coste de Y €. ¿Cuál es la relación entre X e Y para que la compañía
construya otro puerto de descarga?
6.10 Central Telefónica
La compañía aérea “Siberia” tiene una centralita de teléfonos con 3 líneas. La empresa tiene un pico de
llamadas durante 3 horas, en las que algunos clientes no pueden ponerse en contacto con la empresa
debido al intenso tráfico de llamadas (se sabe que si las tres líneas están siendo utilizadas al cliente no se
le puede retener). La compañía estima que, debido a la fuerte competencia, el 60% de las llamadas no
respondidas utiliza otra compañía. Durante las horas punta las llamadas siguen una distribución de
Poisson con una media de 20 llamadas hora y cada telefonista emplea 6 minutos por cada llamada
(distribución exponencial). El beneficio medio de un viaje es de 210 euros, ¿cuánto dinero se pierde
diariamente debido a llamadas no contestadas? Se supone que durante las horas que no son críticas se
cogen todas las llamadas. Si cada empleado cuesta a la compañía 24 euros/hora y un empleado debe
trabajar 8 horas al día, ¿cuál es el número óptimo de empleados? Las horas punta siempre son a la misma
hora. La centralita no se cierra nunca y la puede atender un solo empleado cuando no hay hora punta. Se
asume que el coste de añadir una línea es despreciable.

48. Teoría de Colas
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6.11 Cursos OnLine
La academia “Grandes Escritores” ofrece un curso por correspondencia para aprender a escribir. Las
solicitudes son aceptadas en cualquier momento y el curso empieza inmediatamente. La llegada de nuevas
solicitudes sigue una distribución de Poisson con una media de 8 cada mes. Se estima que el tiempo
medio en que se acaba el curso es de 10 semanas (distribución exponencial). Por término medio, ¿cuántos
alumnos hay matriculados en la academia en cualquier momento?
6.12 Mantenimiento Dispensadores
Las máquinas que dispensan billetes para el metro en la compañía “RNFV”se suelen estropear cada 45
horas. Se supone que el único reparador de la estación tarda 4 horas en reparar la máquina. Se asume que
los dos tiempos son la media de una distribución exponencial. ¿Cuál es el mínimo número de máquinas
que debe haber para asegurarse que haya al menos 5 máquinas en servicio con una probabilidad mayor
que 0.95?
6.13 Peluquería Maripuri
La peluquería m@ripuri está dirigida y gestionada únicamente por su propietaria.. Atiende según el
principio de que el primero que entra es el primero que sale. La peluquería, dado su carácter cibernético
está muy ocupada los sábados por la mañana y la propietaria se plantea la posibilidad de contratar a una
ayudante. Así pues, hace un estudio y se da cuenta de que los clientes llegan con una distribución de
poisson de media 5 clientes por hora. Debido a su excelente reputación los clientes están dispuestos a
esperar lo que haga falta. La propietaria, señora Purificación, sigue con sus estudios y estima que el
tiempo medio en el que atiende un cliente es de 10 minutos según una distribución exponencial. Decide
primero calcular el número medio de clientes en el salón y el número de medio de clientes esperando un
corte de pelo . Sólo tiene 4 sillas además del sillón de peluquera, ¿cuál es la probabilidad de que llegue un
cliente y no encuentre sitio?, ¿cuál es la probabilidad de que alguien espere más de 45 minutos?
6.14 Dispensario Gratuito
Uno de los hospitales de la ciudad de Valencia ofrece todos los miércoles por la noches revisiones gratis
de vista. Un test necesita, por término medio, 20 minutos distribuyéndose según una exponencial. Los
clientes llegan según una distribución de Poisson de media 6/hora, y los pacientes se atienden según
norma FIFO. Los encargados del hospital desean saber que cantidad de personal sanitario deben disponer.
Para ello habría que calcular para diferentes cantidades de doctores:1) ¿cuál es el número medio de gente
esperando? 2) el tiempo medio que un cliente pasa en la clínica y 3) el tiempo medio que los doctores
están parados

49. Teoría de Colas
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6.15 Estación ITV
Una estación de ITV cuenta con tres puestos para inspección y en cada uno sólo puede ser atendido un
coche. Cuando un coche sale de un puesto la vacante es ocupada por otro que está en cola. La llegada de
coches sigue una distribución de Poisson con una media de un coche por minuto en sus horas punta, que
duran tres horas. En el parking sólo caben 4 vehículos. El tiempo de inspección sigue una distribución
exponencial de media 6 minutos. El inspector jefe desea saber el número medio de coches en la estación,
el tiempo medio (incluida la inspección) de espera, y el número medio de coches en cola debido a que los
puestos están ocupados. ¿Cuántos coches tendrán que volver en otro momento?
6.16 Mantenimiento de Robots
Una fábrica de semiconductores usa cinco robots para la fabricación de sus placas de circuitos. Los robots
se estropean periódicamente, y la compañía tiene dos reparadores para las reparaciones. Cuando un robot
es arreglado, el tiempo hasta que el siguiente se rompe se cree que es una exponencial distribuida con una
media de 30 horas. La empresa tiene suficiente trabajo en cola para asegurarse que todos los robots en
condiciones de trabajar estarán funcionando. El tiempo de reparación se distribuye según una exponencial
de media 3 horas. Al encargado le gustaría saber el número medio de robots operativos en cualquier
momento, el tiempo que un robot tarda en ser reparado, el porcentaje de tiempo en que algún operario
está parado.
6.17 Puliendo motores
Pepe y Juan han patentado un invento para pulir automóviles y han montado su propia empresa, para ello
han alquilado un viejo local. El local solo se abre los sábados Los clientes son atendidos según norma
FIFO. Se supone que su local está situado en una zona donde pueden aparcar y esperar los clientes sin
problemas. La máquina de pulir puede funcionar a dos velocidades, a mímina velocidad tarda una media
de 40 minutos y la máxima tarda una media de 20 minutos, se pueden asumir los tiempos distribuidos de
forma exponencial. Los clientes llegan según una distribución de Poisson de media 30 minutos. Juan tiene
un curso de teoría de colas y ha decidido estudiar el efecto de dos políticas: 1) poner la máquina a
máxima velocidad si hay alguien esperando y 2) poner a máxima velocidad solo si hay más de uno
esperando (3 o más en el sistema). La velocidad se puede cambiar en cualquier momento, incluso si la
máquina está trabajando. Se quiere saber el tiempo medio de espera bajo estas dos política.

50. Teoría de Colas
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6.18 Nuevo concepto de supermercado
Jon Ros, presidente de Mercanona, está experimentando una nuevo tipo de tiendas y para ello ha
remodelado una de ellos como sigue. En vez de las típicas colas en el cajero ha puesto una sala donde
esperar tu turno para pagar. Conforme van llegando los clientes, una vez hecha la compra, pasan a la sala,
si todos los cajeros están ocupados entonces cogen número y esperan sentados. Tan pronto como una caja
esté libre el siguiente número será llamada para que pase por ella. En la sala no hay límite de clientes que
puedan estar esperando. El ingeniero estima que durante las horas punta los clientes llegan de acuerdo a
una distribución de Poisson de media 40 por hora, tardan por término medio ¾ de hora para llenar sus
carros (distribución exponencial). El tiempo que tarda un cajero en pasar toda la compra tiene de media 4
minutos (exponencial), independientemente de la cantidad de compra (cada caja tiene un cajero y un
embolsador). Ros quiere saber lo siguiente:
a) ¿Cuál es el número mínimo de cajas durante las horas punta?
b) Si se pone una caja más que el mínimo requerido, ¿cuál es el tiempo medio de espera
en la cola? ¿Cuánta gente habrá en cajas? ¿cuánta gente habrá en todo el
supermercado?
6.19 Centralita Telefónica
La compañía de seguros “La Otra Vida” tiene una centralita telefónica. Las llamadas llegan según una
distribución de media 35 cada hora. Los clientes llaman para dos cosas: para reclamaciones o para
solicitar información, para ello deben apretar el botón 1 o el 2. Se cree que el tiempo que tarda un cliente
en tomar la decisión y apretar el botón tiene una media de tiempo de 30 segundos según una distribución
exponencial. Las llamadas realizadas solo pueden ser procesadas por este contestador de una en una, si
alguien llama mientras tanto se le pone una bonita música, se le dice que espere y se le pone en cola.
Aproximadamente el 55% de las llamadas son para reclamaciones, el resto para demanda de servicios. El
nodo de reclamaciones tiene 3 servidores en paralelo y se estima que el tiempo medio en que atiende un
cliente es de 6 minutos (exponencial). El nodo de solicitud de información tiene 7 servidores en paralelo
con un tiempo de servicio medio de 20 minutos (exponencial). Se asume que puede haber todos los
clientes que se quieran esperando en los nodos. Alrededor del 2% de llamadas que van al nodo de
reclamaciones acaban en el de demanda de información, y el 1% que llama al nodo de demanda de
información se va al nodo de reclamaciones. Se desea saber por término medio el tamaño de las colas en
cada nodo y el tiempo medio que un cliente pasa en el sistema.

51. Teoría de Colas
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6.20 Mantemiento
Se desea que dos máquinas estén operativas el máximo tiempo posible. La máquina se rompe de
acuerdo con una exponencial de media . Una vez rota, una maquina tiene una probabilidad r12 de ser
reparada localmente por un responsable de mantenimiento que trabaja con una media de tiempo de 2.
Con probabilidad 1- r12 la máquina debe ser reparada por un especialista, que también trabaja según
una exponencial de media 3. Después de una reparación local, existe una probabilidad r23 de que la
máquina requiera un servicio especial. Después del servicio con el especialista la máquina siempre se
pone a trabajar. Se desea saber cómo se distribuyen los tiempos de estancia de las máquinas en
reparación.
6.21 Reparaciones Electrónicas
Una empresa de reparación de electrónica sirve a la mayoría de los minoristas de electrodomésticos de
la región. Recibe aparatos para arreglar según una distribución de Poisson de media 9 a la hora. Todos
los aparatos nada más llegar son inspeccionados por un especialista que determina a que sección debe
ir dependiendo del tipo de reparación si es básica, si la debe ver un especialista, si debe enviar el
aparato al fabricante y por tanto mandados a un almacén para ser enviado. Alrededor del 17% es
enviado a fabrica. De los restantes, el 57% va a reparaciones generales y el 43% es enviado a un
experto. Todos los aparatos reparados van al almacén para ser enviados, sin embargo el 5% que va a
reparaciones generales vuelve al inicio para ser nuevamente clasificado. Debido a la variedad de los
aparatos enviados y la variedad de problemas la distribución exponencial es una adecuada
representación para la clasificación, reparación y envío. Solo hay una persona en la selección y tarda
una media de 6 minutos por aparato. Hay tres personas en reparaciones generales y tardan por término
medio 35 minutos por aparato (incluidos los que son devueltos a clasificación). Hay cuatro expertos y
tardan por término medio 65 minutos en reparar un aparato (estos aparato siempre salen arreglados).
Hay dos muelles de embarque, cada uno de ellos tarda una media de 12,5 minutos en embalar un
aparato. El ingeniero de la empresa se pregunta cuantos aparatos hay por término medio en cada nodo,
el tiempo que pasa en cada nodo y el tiempo medio que está un aparato en la empresa desde que es
recibido y clasificado hasta que es empaquetado.
6.22 Restaurante Chino Gran Muralla
El restaurante chino “Gran Muralla” sirve dos tipos de platos para llevar, los rollitos de primavera y el
pollo frito. Hay dos ventanas separadas, una para cada menú. Los clientes llegan según una
distribución de Poisson de media 20 /hora. El 60% va a por rollitos y el resto a por el pollo. El 20% de
los que van a por los rollitos pasan luego a por pollo y el resto abandona el restaurante. El 10% de los
que primero se han puesto en la ventana del pollo pasan luego a por rollitos de primavera y el resto

52. Teoría de Colas
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abandona el restaurante. Se tarda 4 minutos en servir los rollitos y 5 minutos en servir el pollo frito, el
tiempo de servicio es exponencial. ¿Cuánta gente hay por término medio en el restaurante? ¿Cuál es el
tiempo medio de espera en cada ventanilla? Si alguien quiere los dos menús ¿Cuánto tiempo pasa en
el restaurante?
6.23 Aglomerados JPK
Una empresa de fabricación de puertas de madera tiene una unidad de negocio que
fabrica puertas de muebles de cocina. Dichas puertas, de dimensiones diferentes según
pedidos, reciben un tratamiento en 3 etapas. El número de puertas que la unidad de negocio
fabrica son alrededor de 50000 puertas al año. La primera etapa es capaz de procesar 220
puertas al día. La segunda etapa consta de dos máquinas que procesan cada una 140
puertas al día. La tercera etapa es una etapa manual, para la que se dispone de 3
trabajadores que tardan aproximadamente 5 minutos por puerta. Los días tienen 480
minutos y los años 240 días. Se pueden suponer tiempos distribuidos según una negativa
exponencial tanto para las llegadas de pedidos como para los ritmos de producción.
a) ¿Cuál es el número de puertas que habrá en cada etapa, incluyendo las puertas en las
máquinas y las que están siendo procesadas por los operarios?
b) ¿En que afectaría al sistema anterior que en la etapa segunda se colocara un limitador
de capacidad, mediante el cual no se aceptaran al almacén previo a dicha etapa más
de 5 puertas?
c) Suponga que en el sistema original la demanda de puertas asciende a 70000
puertas/año. Si se opta por no comprar una máquina nueva en la primera etapa,
¿Cuántas horas extra al día debe trabajar la primera máquina? ¿En qué afectaría dicho
cambio a los plazos de entrega? ¿Cómo se comportarían los almacenes?
d) Suponga que en el sistema original la demanda de puertas asciende a 70000
puertas/año. Si se opta por no comprar una máquina nueva en la primera etapa,
¿Cuántas horas extra al día debe trabajar la primera máquina? ¿En qué afectaría dicho
cambio a los plazos de entrega? ¿Cómo se comportarían los almacenes?
e) Suponga que en la segunda etapa, no hay dos si no tres máquinas. Dichas máquinas
tardan en estropearse 3 días desde que se arreglan y un mecánico tarda de media 5
horas en arreglarlas cada vez. Sólo se dispone de un mecánico. ¿Tiene este sistema
suficiente capacidad para hacer frente a la demanda?
f) Sobre el caso anterior ¿Qué porcentaje de tiempo sólo hay una máquina trabajando? ¿
Y ninguna? ¿Qué ocurre con los almacenes durante este tiempo que hay menos de
dos máquinas trabajando?

53. Teoría de Colas
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g) Sobre el caso anterior ¿Qué opinión le merece que vaya uno de los trabajadores de la
tercera sección a ayudar al mecánico cuando haya dos o más máquinas estropeadas?
Debe sustentar la opinión con datos, suponga para ello que el trabajador de la tercera
sección se comporta como un mecánico más, cuando trabaja como tal.
h) (1 punto) ¿Cuál sería en el caso anterior la probabilidad de que hubiera más de una
máquina estropeada?
Resolución
a) ¿Cuál es el número de puertas que habrá en cada etapa, incluyendo las puertas en las
máquinas y las que están siendo procesadas por los operarios?
En la primera etapa se tiene un problema M/M/1 (=208,33 puertas/día; =220
puertas/día) L1=17,85 puertas.
En la segunda etapa se tiene un problema M/M/2 (=208,33 puertas/día; =140
puertas/día) L1=3,33 puertas.
En la tercera etapa se tiene un problema M/M/3 (=208,33 puertas/día; 1/=5
minutos/puerta) L1=3,55 puertas.
b) ¿En que afectaría al sistema anterior que en la etapa segunda se colocara un limitador
de capacidad, mediante el cual no se aceptaran al almacén previo a dicha etapa más
de 5 puertas?
En primer lugar el sistema dejaría de ser una serie de colas convencional porque se
limita la capacidad de una de ellas. Esta sería una cola M/M2/7 Pero para saber cómo
afectaría lo mejor es saber el porcentaje de veces que el almacén estaría lleno
P(n=7)=4,1%. Por tanto durante un 3,8% de las ocasiones la primera etapa no podría
trabajar al estar bloqueado el sistema posterior, dado que la primera etapa trabaja al 95%,
la probabilidad de que el bloqueo del sistema afecte a la producción total es alta.
c) Si en el sistema original el tiempo medio de entrega de una puerta es de 5 días.
¿Cuántas puertas hay?
El número de puertas en el sistema el L=·W=1041’7 puertas
d) Suponga que en el sistema original la demanda de puertas asciende a 70000
puertas/año. Si se opta por no comprar una máquina nueva en la primera etapa,
¿Cuántas horas extra al día debe trabajar la primera máquina? ¿En qué afectaría dicho
cambio a los plazos de entrega? ¿Cómo se comportarían los almacenes?
70000 puertas al año son 291,67 puertas al día. Por tanto habría que trabajar 2,6 horas
más al día. El almacén anterior a la primera etapa aumentaría en 71 puertas cada día, y se
reduciría en la misma cantidad cada noche(o cuando se hagan las horas extra), pasando a

54. Teoría de Colas
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aumentar el almacén en la siguiente etapa. Los siguientes almacenes prácticamente no lo
notarían. La cola media, dependería de cuantas horas extra se trabajaran cada noche,
puesto que si sólo se trabajara lo estrictamente imprescindible la cola sería infinita.
e) Suponga que en la segunda etapa, no hay dos si no tres máquinas. Dichas máquinas
tardan en estropearse 3 días desde que se arreglan y un mecánico tarda de media 5
horas en arreglarlas cada vez. Sólo se dispone de un mecánico. ¿Tiene este sistema
suficiente capacidad para hacer frente a la demanda?
Este es un sistema con fuente finita. El número de máquinas que estarán siendo
reparadas por término medio es de 0,67. Por tanto se tienen 2,33 máquinas trabajando, y
por tanto es más que suficiente ya que 2,33*140>208.
f) (1 punto) Sobre el caso anterior ¿Qué porcentaje de tiempo sólo hay una máquina
trabajando? ¿ Y ninguna? ¿Qué ocurre con los almacenes durante este tiempo que hay
menos de dos máquinas trabajando?
Sólo hay una máquina trabajando cuando hay dos estropeadas P2=13,4%
No hay ninguna trabajando si todas están estropeadas P3=2,7%
Cuando hay menos de dos máquinas trabajando el nivel de almacén antes de la
segunda etapa crece. Y por tanto aumenta el plazo total de entrega.
g) (2 puntos) Sobre el caso anterior ¿Qué opinión le merece que vaya uno de los
trabajadores de la tercera sección a ayudar al mecánico cuando haya dos o más
máquinas estropeadas? Debe sustentar la opinión con datos, suponga para ello que el
trabajador de la tercera sección se comporta como un mecánico más, cuando trabaja
como tal.
A priori, si hay dos máquinas estropeadas, el ritmo al cual pasan puertas a la tercera
etapa es de 140 puertas/día. Con dos operarios es posible abastecer 192 puertas al día,
con lo que no pasaría nada. Además el porcentaje de veces que hay dos máquinas
estropeadas es muy bajo en el nuevo sistema.
h) (1 punto) ¿Cuál sería en el caso anterior la probabilidad de que hubiera más de una
máquina estropeada?
0 1 2 3
  


55. Teoría de Colas
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P0
0,56536
409
P1
0,35335
256
P2
0,07361
512
P3
0,00766
824
La probabilidad de que hubiera más de una máquina estropeada sería 8%
0 1 2 3
  


56. Teoría de Colas
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6.24 Ascensores PKJu
Una sección de una empresa fabrica puertas metálicas para ascensores. Las puertas para ascensores
pueden tener una gran variedad de formatos, colores y huecos para vidrios variables.
Se puede admitir que el proceso de producción se compone de 4 etapas consecutivas pero
independientes. La empresa trabaja alrededor de 220 días al año. Cada día tiene 7 horas y 30 minutos
de trabajo efectivo. Durante el pasado año se recibieron pedidos por una cantidad de 8.500 puertas.
Los pedidos tienen una cantidad variable de unidades, y los ajustes de cambio de partida, aunque
importantes en ocasiones, no parecen repercutir en los ritmos de producción promedio de las
diferentes etapas de trabajo.
La primera etapa se realiza simultáneamente por dos equipos de trabajo, con un ritmo promedio
cada uno de ellos de una puerta cada 20 minutos. La segunda etapa la realiza un equipo de trabajo con
un tiempo de ciclo promedio de 11 minutos por puerta. La tercera etapa requiere del uso de otra
máquina con un tiempo de ciclo promedio de 10 minutos por puerta.
Por último la cuarta etapa es de preparación final. Como es un trabajo principalmente manual, que
realiza un único operario, tiene un tiempo de ciclo de 18 minutos por unidad, y se dispone de tantos
trabajadores como se requieran, pues irán viniendo de otras secciones siempre que haya una puerta por
preparar.
a) Modele el problema según teoría de colas, estableciendo los parámetros básicos, asumiendo
tiempos promedio exponenciales.
b) ¿Cuál será el número medio de puertas que habrá en el sistema?.
c) ¿Cuántos trabajadores serán necesarios normalmente en la cuarta etapa?.
d) Si un pedido tiene 30 puertas ¿Cuánto tiempo tardará en promedio en ser servido?
e) ¿Cuál es el tiempo promedio previsto de entrega de una puerta? Si le dicen que el tiempo de
entrega promedio es de 5 días. ¿A qué puede ser debido?. Proponga un mecanismo de
corrección.
f) Cual será el efecto sobre la cantidad de puertas en la primera etapa si en lugar de dos equipos de
trabajo con tiempos de ciclo como los citados se establece un único equipo más eficiente con un
tiempo de ciclo de 9 minutos por unidad.
Al exponer el funcionamiento de la tercera etapa se ha simplificado el proceso. Realmente existen
tres máquinas que pueden realizar la misma función, aunque en realidad nunca hay más de una
fabricando. Las citadas máquina se estropean cada 5 horas en promedio (distribución negativa

57. Teoría de Colas
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exponencial). Disponemos de 2 equipos de mantenimiento en nuestra empresa, que pueden poner en
funcionamiento la máquina de nuevo en un tiempo promedio de 1 hora.
g) Modele la situación de la 3ª etapa según cadenas de Markov, para el caso expuesto.
h) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna máquina disponible?
Solución:
El problema propuesto es una serie de colas con una entrada =38’6 puertas/día.
a) La primera etapa es una cola M/M/2 con =38’6 puertas/día. y =22,5 puertas/día
La segunda etapa es una cola M/M/1 con =38’6 puertas/día. y =40,9 puertas/día
La tercera etapa es una cola M/M/1 con =38’6 puertas/día. y =45 puertas/día
La cuarta etapa es una cola M/M/ con =38’6 puertas/día. y =25 puertas/día
b) L1= 6,53 L2= 17 L3=6,07 L4= 1,54 LT=31,14 puertas
c) L= W WT= 0,806 días = 6,05 horas
d) Habrá 1,54 trabajadores por término medio.
e) El tiempo que tardará será el de salir la primera 0,806 días más el que tardan en salir las 29
restantes. 0,806 + 29/ =0,806+0,751=1,557 días = 11,68 horas
f) Si en realidad tardan 5 días en salir, es porque en el sistema hay puertas de más. La cantidad de
puertas que hay es L=·(W-29/)=162 puertas de más.

58. Teoría de Colas
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6.25 Juguetes KP
Una empresa de transformados plásticos tiene 4 secciones (A,B,C,D). Los productos que fabrica se
pueden clasificar en 5 categorías, con demandas anuales diferentes.
Los productos de categoría 1 tienen una demanda anual de alrededor de 500 unidades, y sus
especificaciones los harán circular por la sección A, luego la sección B y por último la sección C.
Los productos de categoría 2 tienen una demanda anual de alrededor de 3000 unidades, y sus
especificaciones los harán circular por la sección A, luego la sección B y por último la sección D.
Los productos de categoría 3 tienen una demanda anual de alrededor de 2000 unidades, y sus
especificaciones los harán circular por la sección B y la sección D.
Los productos de categoría 4 tienen una demanda anual de alrededor de 2000 unidades, y sus
especificaciones los harán circular por la sección A y la sección C.
Los productos de categoría 5 tienen una demanda anual de alrededor de 1000 unidades, y sus
especificaciones los harán circular por la sección B y la sección C.
Sabiendo que el ritmo de producción por hora en una máquina de tipo A es de 2 unidades, el de B
es de 2 unidades, el de C es de 4 unidades y el de D es de 2 unidades por hora. Sabiendo que el año
tiene 220 días laborables de 8 horas cada uno y asumiendo tiempos de servicio exponenciales.
Preguntas
a) Modele el problema definiendo los parámetros básicos para cada sección (,  ).
b) Defina el número de máquinas imprescindibles en cada sección.
c) Asumiendo que los niveles de inventario se mantendrán en los mínimos imprescindibles,
¿Cuál es el tiempo medio esperado de producción de un producto en el sistema?
d) Si el tiempo medio de entrega de un producto es de 10 días laborables ¿Cuál es el nivel
medio de inventario en el sistema?
e) Suponga que en la sección B hacen falta dos máquinas. La experiencia con esas máquinas
indica que requieren un cierto mantenimiento con distribución exponencial con media cada 5
días y que el tiempo que dura dicho mantenimiento se distribuye exponencialmente con
media de 1 día. ¿Cuántas máquinas hacen falta para que haya al menos dos máquinas
funcionando el 90% del tiempo?.
f) En el caso anterior, ¿cuántas máquinas habrá en funcionamiento por término medio?
Resolución

59. Teoría de Colas
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El problema es una red de Jackson abierta con 4 nodos.
A=5500 u/a B=3000 u/a C=0 u/a D=0 u/a
64,0
5500
3500
ABr 36,0
5500
2000
ACr 23,0
6500
1500
BCr 77,0
6500
5000
BDr
Las características de cada nodo son:
Nodo   
A 5500 5500 3520
B 3000 6500 3520
C 0 3500 7040
D 0 5000 3520
El número de máquinas a ubicar en cada nodo son:
Nodo
Número de
Máquinas
A 2
B 2
C 1
D 2
Para calcular el tiempo esperado medio en el sistema es necesario conocer la cola en cada nodo:
Nodo   
Núm
Máq  L
A 5500 5500 3520 2 0.781 4.01
A
C
B
D
A =5500 u/a B =3000 u/a
rAB=0,64
rAC=0,36
rBC=0,23
rBD=0,77
rC0=1 rD0=1
A
C
B
D
A =5500 u/a B =3000 u/a
rAB=0,64
rAC=0,36
rBC=0,23
rBD=0,77
rC0=1 rD0=1