Este documento describe cómo una empresa minera busca determinar el nivel de producción mensual de dos tipos de ladrillos (P-10 y P-12) que maximice sus ganancias. Presenta la problemática de la empresa, sus objetivos y marco teórico sobre derivadas parciales y optimización de variables. Luego, usando estos conceptos matemáticos, modela la ganancia como función de la producción y encuentra el nivel óptimo resolviendo las ecuaciones de las derivadas parciales.

1. Determinación de la ganancia máxima de una producción
mensual
Serkovich Pascual, Yuri Liseth
Docente Asesor: Juan Carlos Durand
Universidad Privada del Norte (UPN-LIMA), Escuela de Ingeniería Civil
Resumen
El Siguiente trabajo trata acerca de un Empresa
llamada Compañía Minera Luren S.A qué se
dedica a la fabricación de Ladrillos silico
Calcáreos de diferentes tipos de las cuales son
usados bastante en Tabiquerías y Muros. A la vez
la empresa ha encontrado una problemática
principal que hay en el proceso de producción de
dos Tipos de ladrillo que son el TIPO P-10 y el de
TIPO P-12, por cual desea saber su nivel de
producción mensual de cada uno de ellos para así
obtener una Ganancia máxima mensual.
Para resolver esta problemática planteada por la
empresa, se ha visto conveniente tomar en cuenta
dos temas importantes de la matemática que son:
DERIVARAS PARCIALES y OPTIMIZACION DE
VARIAS VARIABLES, mediante las cuales se ha
modelado el problema y según los cálculos
matemáticos correspondientes se ha resuelto la
interrogante que tenía la Compañía,
encontrándose así el nivel de producción que le
va generar una ganancia máxima mensual.
Por último se ha visto necesario tener en cuenta
ciertas recomendaciones que le ayudara a la
empresa a mejorar su producción y a la vez que
se mantenga con una ganancia máxima.
I.- Introducción
En este trabajo se ha tomado en cuenta
como ejemplo a la Compañía Minera
Luren S.A, quienes se dedican a la
fabricación y comercialización de
ladrillos silicos calcáreos entre otros
productos de concreto.
Para empezar indicaremos la
problemática de la empresa, la cual se
tomara para el planteamiento y solución
de la misma, luego se mencionaran sus
objetivos generales y específicos.
En la segunda parte detallaremos su
historia, función, misión, visión, donde es
usado dicho producto y detalles del
Ladrillo Silico calcáreo, así como sus
características.
Por ultimo usaremos Las Derivadas
Parciales y la Optimización de Varias
variables para hallar la Ganancia Máxima
Mensual en base al nivel de producción.
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2. Página 2
II.- Definición
1.- Problemática.-
La dificultad que se presenta en la
COMPAÑÍA MINERA LUREN para
hallar el nivel de producción que hay en
la fabricación de dos tipos de ladrillos
silico calcáreos y así ver la ganancia
máxima que se obtiene en base a dicha
producción o saber qué cantidades de
cada uno hay que vender mensualmente
para maximizar los beneficios y
determinar de ese modo cuál de los dos
productos les conviene fabricar mas
según dichos costos, es por ello que en
este caso veremos cómo usando algunos
principios matemáticos como Derivadas
parciales y Optimización de varias
variables, daremos solución a todas las
interrogantes de la empresa.
Entre las interrogantes que plantearemos
en esta ocasión serán los siguientes:
¿Cuál es el nivel producción de cada tipo
de ladrillo?
¿Cuál sería la ganancia máxima que se
obtendría en base a dicha producción?
¿Según los costos del producto, que
cantidades hay que vender para
maximizar el beneficio?
Para lo cual se ha propuesto que mediante
Derivadas parciales y Optimización de
varias variables vamos a hallar el Nivel
de producción de cada tipo de ladrillo, la
ganancia máxima y según los costos
determinar qué cantidades hay que
vender para maximizar el beneficio. De
esa manera la empresa podrá manejar un
equilibrio en la producción de sus
productos.
2.- Objetivos.-
2.1 Objetivo General
 Determinar la ganancia máxima
que se obtiene entre dos tipos de
ladrillos silicos calcáreos tales
como el P-10 y P-12 realizados
mensualmente para hallar el nivel
de producción, y saber qué
cantidades de cada uno hay que
vender para maximizar el
beneficio
2.2 Objetivo Especifico
 Hallar el nivel de producción que
proporciona una ganancia
 Hallar el número de unidades que
hay que vender de cada producto

3. 3.- Justificación.-
Estamos realizando este trabajo con la
finalidad de poder darle solución al tema
productivo que hay en la empresa, y
definir la ganancia máxima que puede
obtener según un nivel de producción
mensual de cada Tipo de ladrillo
mencionado mediante cálculos, aplicando
los temas matemáticos.
El presente informe técnico, corresponde
al estudio de productividad mensual y
ganancias obtenidas.
Es objeto del presente informe mostrar
los trabajos realizados, así como los
resultados y conclusiones obtenidas, en el
estudio de producción con fines de hallar
el nivel de producción mensual y
determinar la ganancia máxima o poder
maximizar el beneficio.
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4.- Fundamento Teórico.-
4.1 Definiciones básicas
Derivadas Parciales:
Las derivadas parciales es derivar una
función de una, dos o más con respecto a
una de ellas, manteniendo a las otras
como constantes.
Ejemplo: Si existe F(x,y), entonces la
derivada parcial sería la derivada parcial
respecto de “X” y también la derivada
parcial respecto de “Y”. Si existieran más
variables, se sigue derivando de la misma
manera dependiendo el número de
variables que existan dentro del
planteamiento de una función.
Notación.-
Optimización de Variables:
La Optimización consiste en maximizar o
minimizar una función de dos o más
variables real eligiendo sistemáticamente
valores de entrada (tomados de un
conjunto permitido) y computando
el valor de la función. De forma general,
la optimización incluye el descubrimiento
de los "mejores valores" de alguna
función objetivo dado
un dominio definido, incluyendo una
variedad de diferentes tipos de funciones
objetivo y diferentes tipos de dominios.
Se debe tener presente también que la
variable que se desea minimizar o
maximizar debe ser expresada como

4. función de otra de las variables
relacionadas en el problema y en otros
casos se pueden generar restricciones
para generar igualdad entre las variables
y así permita obtener dicha función.
Para poder maximizar o minimizar una
función se realiza las segundas derivadas
de la función y se evalúa los puntos
críticos, para luego ser traslada a la
matriz Hessiana:
Una vez trasladada a la Matriz Hessiana
se considera las siguientes restricciones
para determinar un máximo o mínimo
valor de la función.
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4.2 Marco teórico
4.2.1. Historia
La Compañía Minera Luren S.A. se
constituyó en Octubre del año 1956 y fue
promovida y formada por el Ing.
Alejandro Garland Melián, en calidad de
Gerente General y posteriormente
Presidente del Directorio, con la
significativa colaboración como
inversionistas, de importantes empresas
constructoras y de destacados
profesionales.
Durante más de 50 años, se ha llevado
una política de innovación constante, la
cual ha permitido ser pioneros en todos
los productos de cartera actual y de los
productos y procesos constructivos que se
ha desarrollado a lo largo de su vida
empresarial.
En los inicios solo se dedicaron al rubro
de Materiales de Construcción,
produciendo su propia cal viva, insumo
principal en la fabricación de las unidades
sílico calcáreo, para lo cual se tuvo que
construir los primeros y pequeños hornos
de calcinación en base a la quema de
petróleo, así como las instalaciones de
molienda. Posteriormente, se aumentó
significativamente las instalaciones y
capacidades productivas, lo que les
permitió convertirse en uno de los
principales proveedores de cal del país.
Hace más de 30 años, a solicitud del
Alcalde de Lima Arq. Eduardo Orrego se

5. aceptó el reto de producir ADOQUINES
para pavimentos denominados de
Concreto - Piedra, con la calidad que
fijaban las Normas Internacionales.
En el afán de encontrar nuevas técnicas
constructivas de la albañilería estructural
que aporten mejores soluciones a la
problemática habitacional que enfrenta el
país, hace más de 25 años se desarrolló
un sistema constructivo, económico y
seguro empleando BLOQUES
APILABLES denominados MECANO
para muros portantes de toda edificación.
Este sistema que implica un muro con
esqueleto de concreto armado
revolucionó la construcción de la
albañilería por su eficiente utilización,
sencillez y la gran rapidez que se obtiene
en el proceso, con una significativa
reducción de los costos. Posteriormente,
este sistema siguió evolucionando,
convirtiéndose en la Línea de Placas
Sílico Calcáreas P-7, P-10, P-12 y P-14,
para Muros Estructurales y Divisorios, la
cual goza actualmente de una aceptación
importante en el mercado de la
construcción.
Misión
Contribuir al desarrollo socioeconómico
del país a través del suministro de
productos que atiendan las necesidades
del sector construcción, minero e
industrial, cumpliendo permanentemente
con los ofrecimientos realizados
relacionados con calidad, cantidad,
oportunidad y servicio. Así mismo,
contribuir con el cuidado del medio
ambiente, evitando el uso indebido de las
tierras agrícolas para la fabricación de
unidades de albañilería de arcilla.
Visión
Ser reconocidos como líderes en calidad,
innovación y servicio de los productos
comercializados.
Uso
Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son
unidades sílico calcáreas especialmente
diseñadas para el uso en la construcción
de Muros de Tabiquería, es decir, muros
que solo servirán para dividir ambientes.
La principal ventaja de los muros
construidos con estos productos es la
factibilidad de poder ser empastados
directamente sin la necesidad de un
tarrajeo previo. De esta ventaja se
desprenden la mayoría de sus beneficios,
tales como: Menor costo directo, mayor
área Útil, mayor rapidez, eliminación de
tarrajeos interiores y tarrajeos rayados,
menor peso, menor cantidad de
actividades, menor cantidad de personal,
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6. obra más limpia y seca, menor
eliminación de material y menor acarreo
en obra, asegurando menores costos
indirectos. En otras palabras, se optimiza
todos los aspectos que tienen que ver con
la construcción de sus muros divisorios.
4.2.2. Descripción del Producto
Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son
unidades sílico calcáreas. El material
sílico calcáreo es una mezcla de cal,
agregados áridos y agua. El proceso se
inicial al mezclar la cal con la arena
extraída de nuestra cantera principal
ubicada en el cerro “Lomo de Corvina”
conjuntamente con el agua en el
Mezclador Principal. Esta mezcla reposa
durante un período de 3 horas en los silos
reactores para que la cal que es mezclada
en su estado “viva”, se hidrate al contacto
con el agua.
Posteriormente la mezcla es transportada
mediante fajas a un segundo proceso de
mezclado, donde se le agrega un árido
más grueso y el agua final del mezclado,
la que finalmente es llevada hacia las
diversas prensas, de fabricación y
tecnología 100% alemana.
En la prensa la mezcla es moldeada a
presión, lográndose las diversas unidades
sílico calcáreas que se ofrece, las mismas
que son manipuladas y colocadas en
carros plataforma para que puedan ser
trasladadas hasta el final del proceso.
Las unidades en “verde” son
inmediatamente trasladadas dentro de las
autoclaves, en las que permanecen
durante un período mínimo de 8 horas a
una presión de 16 atmósferas.
Transcurrido este proceso de
autoclaveado, el ladrillo está listo para ser
usado, no sin antes pasar por el proceso
de emparihuelado y enzunchado.
Figura 1
Figura 2
Características
Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son
especialmente diseñadas para la
construcción de Muros de Tabiquería, es
decir, muros que sirven para dividir
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7. ambientes. La principal ventaja de los
muros construidos con estos productos es
la factibilidad de poder ser empastados
directamente sin la necesidad de un
tarrajeo previo. De esta ventaja se
desprenden la mayoría de sus beneficios,
tales como: Menor costo directo, mayor
área Utilidad, mayor rapidez, menor peso,
menor cantidad de actividades, menor
cantidad de personal, obra más limpia y
seca, menor eliminación de material y
menor acarreo en obra. En otras palabras,
se optimiza todos los aspectos que tienen
que ver con la construcción de dichos
muros divisorios.
III.- Resultados
Para llevar a cabo la solución de la
Problemática, se consideró cierta
información:
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Producción del mes de Mayo
3,000 Unds. De Tipo P-10
1,000 Unds. De Tipo P-12
Precio Unitario de Cada tipo de ladrillo
LADRILLO TIPO P-10 S/. 8
LADRILLO TIPO P-12 S/. 10
Producción para el mes de junio
X = Unds. Producidas de P-10
Y = Unds. Producidas de P-12
Tabla 1 Especificaciones Técnicas de Cada tipo
de Ladrillo
 Planteamiento del Problema
1.- La Compañía Minera Luren S.A
determina que la ganancia o el beneficio
mensual que obtiene al producir X Unds.
De Ladrillo silico calcáreo P-10 y Y
Unds. De Ladrillo silico calcáreo P-12
esta denotado por “G”. Siendo esta la
Ganancia máxima que obtendrá según su
nivel de producción mensual.
a) Hallar el nivel de producción
mensual que proporciona una
ganancia
b) Determinar cuál sería la Ganancia
máxima mensual
 Solución del problema
1. Siendo la función de la Ganancia la
siguiente:
G(x,y) = 8x + 10y – (0.001) (x2+xy+y2)
– 10,000

8. a) Hallando el Nivel de Producción Mensual
# Primero sacaremos la derivada parcial
de la función G con respecto a “X” y “Y”
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Gx(x, y) = 8 – (0.001) (2x+y)
Gy(x, y) = 10 – (0.001) (x+2y)
# Luego igualaremos a “0” y
resolveremos para hallar el punto crítico
que se analizara en la Matriz Hessiana.
*.8.–.(0.001).(2x+y).=.0
* 10 – (0.001) (x+2y) = 0
2X.+.Y.=.8,000
X + 2Y = 10,000
- Igualando 1 y 2 tenemos el siguiente
punto crítico que será evaluado:
X= 2,000 y Y=4,000
Donde X=2,000 unds. Del Ladrillo Tipo
P-10
Donde Y=4,000 unds. Del Ladrillo Tipo
P-12
- Luego hallaremos las segundas
derivadas parciales de la función G
para considerarlo en la Matriz
Hessiana.
Siendo:
Gx(x, y) = 8 – (0.001) (2x+y)
Gy(x, y) = 10 – (0.001) (x+2y)
Obteniendo:
Gxx (x, y) = - 0,002
Gyy (x, y) = - 0,002
Gxy (x, y) = - 0,001
Entonces el nivel de producción mensual
del Ladrillo Tipo P-10 es de 2,000 Unds.
Y del Ladrillo Tipo P-12 es de 4,000
Unds.
b) Hallando el Beneficio Máximo Mensual
# Reemplazando en la Matriz Hessiana
para ver si hay un máximo o un mínimo
valor y Para ello se considerara lo
siguiente:
Tabla 2 Matriz Hessiana
Reemplazando datos:
-0.002 -0.001
H
=
= (0.000004) - (0.000001)
-0.001 -0.002
=
0,000003 > 0
El Gxx = -0.002 < 0
Tabla 3 Restricciones para hallar el máximo
valor de Ladrillo

9. Según los resultados obtenidos en la
matriz Hessiana, podemos ver que la
Determinante H > 0 y que la Gxx < 0, por
lo tanto se concluye que hay un Máximo
Valor
De Acuerdo al Planeamiento inicial
obtenemos lo siguiente:
a) Se Concluye que el Nivel de
Producción mensual que proporciona
una Ganancia es cuando se produce
X=2,000 Unds del Ladrillo Tipo P-10
Y=4,000 Unds del Ladrillo Tipo P-12
Tabla 4 Nivel de Producción de cada Tipo de
ladrillo mensualmente
b) Según el Nivel de Producción mensual
de cada Tipo de ladrillo, se deduce que
la Ganancia máxima mensual es la
Siguiente:
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G(x,y) = 8x + 10y – (0.001)(x2+xy+y2) – 10,000
Reemplazando:
GANANCIA MAXIMA ES S/. 18,000.00
IV.- Conclusiones
En primer lugar este trabajo nos ha
llevado a conocer más a fondo acerca de
los beneficios que se obtiene cuando se
trabaja algunas funciones matemáticas,
sobre todo ver que mediante ellos se
puede resolver diferentes tipos de
problemas matemáticos y en cualquier
ámbito empresarial etc.
En este trabajo se presentó la
Problemática principal que tenía La
Compañía Minera Luren s.a acerca de las
cantidades a producir mensualmente de
dos tipos de ladrillo que rotan más para
poder obtener una ganancia máxima, por
ello podemos concluir que en el momento
del análisis con respecto a su producción
ellos no habían considerado cierta
información necesaria para saber cuánto
deberían producir mensualmente de cada
uno.

10. El objetivo principal ha sido analizar el
proceso de producción y mediante los
cálculos matemáticos aplicados resolver
todas las interrogantes que la empresa
tenía acerca de su nivel de producción y
el beneficio máximo que obtendría en
base a ello.
Como conclusión final podemos resaltar
que la Aplicación de ciertos temas
matemáticos en este caso LAS
DERIVADAS PARCIALES Y
OPTIMIZACION DE VARIAS
VARIABLES son una gran herramienta
de trabajo que nos sirvió de ayuda para
poder definir, resolver y solucionar todas
las interrogantes que tenía la empresa
con respecto a cómo obtener una
ganancia máxima en base a una adecuada
producción del producto.
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V. - Referencias
THOMAS, George B. (2006). Calculo
de una Variable: Valores
extremos y puntos de silla,
Máximos y Mínimos. México:
Pearson Educación.
RON, Larson y BRUCE, Edwards
(2010). Calculo 2 de Varias
variables: Optimización de dos
variables. China: Interamericano
Editores S.A.
Sanchez, Guillermo (2008) Funciones de
Varias variables. Departamento
de Economía. Recuperado de
http://diarium.usal.es /guillermo
Canek. Cálculo diferencial,
Optimización. Recuperado de
http://canek.uam.mx/?secc=2

11. ANEXO I
Planta de la Compañía Minera Luren S.A
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ANEXO II
Tipos de Ladrillo Silico Calcáreo

12. ANEXO III
Modelo del ladrillo Silico Calcáreo
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12
ANEXO IV
Modelo del Ladrillo Placa P-10