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- 1. Universidad nacional José Faustino Sánchez Carrión FACULTAD : Ciencias E. A. P : Matemática Aplicada CURSO : ALGEBRA LINEAL DOCENTE :SIFUENTES DAMIAN PABLO ALFREDO CICLO : IV ALUMNO : Jimenez Trujillo, Junior 2020
- 2. FORMA BILINEAL sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo ǀK. Una aplicación f: V ∗ 𝑉 → 𝐾 se dice que es una forma bilineal si ∀ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ V y ∀𝛼, ʙ ∈ 𝐾, 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 ∶ f(v1+v2,v3) = f(v1,v3) + f(v2,v3) f(αv1,v2) = αf(v1,v2) f(v1,v2 + v3) = f(v1,v2) + f(v1,v3) f(v1,βv2) = βf(v1,v2) observaciones: el termino “bilineal” indica que f es lineal respecto de los dos vectores o elementos de V. el uso del termino "forma” en ves de “aplicación “ indica que la imagen es un escalar del cuerpo IK.
- 3. Propiedades: f(0V ,U) = f(u,0V ) = 0 ∀u,v ∈ V f(−u,v) = −f(u,v) = f(u,−v) notación: f(u,v) = ρ ∈ IK
- 4. Se dice que la forma bilineal f de V × V en IK es simétrica si ∀u,v ∈ V se cumple f(u,v) = f(v,u). Consideraremos a partir de ahora únicamente formas bilineales definidas en V = 𝐼𝑅𝑛, espacio vectorial sobre el cuerpo IR.
- 5. Matriz asociada para el espacio 𝑅𝑛 y considerando la base canónica {𝑒1 ,………,𝑒𝑛} se tiene f(x,y) = [𝑥1 , … … … … … . , 𝑥𝑛] con G = 𝑓𝑒1,𝑒1 …. 𝑓(𝑒1,𝑒𝑛) 𝑓(𝑒𝑛 , 𝑒1) … 𝑓(𝑒𝑛,𝑒𝑛) f(x,y)=XGY
- 6. a) f(3, −2), (8, −6) = [3 − 2] 8 9 10 11 8 −6 =2 b) f(8,−6) , (3, −2) = [8 − 6] 8 9 10 11 3 −2 =0 c) f (7,−5) , (8, −6) = [ 7−5] 8 9 10 11 8 −6 =0
- 8. Diagonalizacion bilineal simétrica Sea V un espacio vectorial sobre R. Se dice que la aplicación f : V × V → R es una forma bilineal en V si se verifica ∀λ ∈ R, ∀→ 𝑥 ,→ 𝑥 ,→ 𝑦 ,→ 𝑦 ∈ V 1. f(→ 𝑥 ,→ 𝑥 ′ ,→ 𝑦 ) = 𝑓( → 𝑥 ,→ 𝑦 ) + 𝑓(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) 2. f(ƛ→ 𝑥 ,→ 𝑦 )=ƛf(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) 3. f(→ 𝑥 ,→ 𝑦 + → 𝑦 ) = f(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) +f(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) 4. f(→ 𝑥 ,ƛ→ 𝑦 )=ƛf(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) Dada una forma bilineal f : V × V → R donde dim(V) = n, existe una matriz F ∈ 𝑀𝑛∗𝑛(R) tal que: f(→ 𝑥 ,→ 𝑦 )= (𝑥1,𝑥2,…………,𝑥𝑛) F 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛 ∀ → 𝑥 ,→ 𝑦 ∈ 𝑉 la matriz asociada a la forma bilineal f en la base B es la matriz F construida de la forma siguiente : 𝑓𝑖𝑗=f(→ 𝑒𝑖 → 𝑒𝑗 ) i,j =1,2,………….,n siendo B = {→ 𝑒1 ,→ 𝑒2 } una base de V .
- 9. Cambio de base Sea f : V × V → R una forma bilineal y B = {→ 𝑒1 ,→ 𝑒2 ,…………..,→ 𝑒𝑛 }, B′ ={→ 𝑉1 ,→ 𝑣2 ,…………, 𝑣𝑛 }bases de V. entonces las matrices asociadas a f respecto a B y B′ verificaban 𝐹′𝐵′=𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵𝐶𝐵𝐵′ demostración: si notamos por 𝑋𝐵 =(𝑋1,………..,𝑋𝑛), 𝑋𝐵 ′ =(𝑋′1,…………….,𝑋𝑛), 𝑌𝐵 = (𝑌1,……………,𝑌𝑛) , 𝑌𝐵 ′ =(𝑌′1 ,……………….,𝑌′𝑛) sabemos que : f(→ 𝑋 ,→ 𝑌 ) =(𝑋1,…………..,𝑋𝑛)𝐹𝐵 𝑌1 ⋮ 𝑌𝑛 , f(→ 𝑋 ,→ 𝑌 ) =( 𝑋′1 ,…………, 𝑋′𝑛 )𝐹′𝐵′ 𝑌′1 ⋮ 𝑌′𝑛
- 10. Además 𝐶𝐵𝐵′ 𝑋′1 ⋮ 𝑋′𝑛 = 𝑋1 ⋮ 𝑋𝑛 , 𝐶𝐵𝐵′= 𝑌′1 ⋮ 𝑌′𝑛 = 𝑌1 ⋮ 𝑌𝑛 (𝑋1 ,…………..,𝑋𝑛 ) =( 𝑋1 ⋮ 𝑋𝑛 ) al T=[𝐶𝐵𝐵′( 𝑋′1 ⋮ 𝑋′𝑛 )]𝑡 = (𝑋′1,………….,𝑋′𝑛)𝐶′𝐵𝐵′ sustituyendo: f(→ 𝑋 , → 𝑌 ) =(𝑋′1,…………,𝑋′𝑛) 𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵𝐶𝐵𝐵′ 𝑌′1 ⋮ 𝑌′𝑛 =(𝑋′1,…………,𝑋′𝑛)𝐹′𝐵′ 𝑌′1 ⋮ 𝑌′𝑛 entonces. 𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵 𝐶𝐵𝐵′ =𝐹′𝐵′
- 11. Definicion: Dos matrices A, A′ ∈ 𝑀𝑛∗𝑛(R) se dice que son congruentes si existe una matriz no singular C tal que A′ =C′ AC Las matrices asociadas una forma bilineal en bases distintas son congruentes entre sí. Definición: Una forma bilineal f : V × V → R es simétrica si.∈ V son conjugados con respecto a f si F(→ 𝑋 ,→ 𝑌 )=f(→ 𝑌 ,→ 𝑋 ) ∀ → 𝑋 ,→ 𝑌 ∈ 𝑉 Si la matriz asociada a f es simétrica en alguna base, entonces se trata de una forma bilineal simétrica. La matriz asociada será simétrica en cualquier base. DEFINICION: Sea f : V × V → R forma bilineal simétrica. Se dice que: dos vectores → 𝑋 ,→ 𝑌 ∈ V son conjugados con respecto a f si: f(→ 𝑋 ,→ 𝑌 )= 0 definición:→ 𝑥 x ∈ V es autoconjugado con respecto a f si f(→ 𝑋 ,→ 𝑋 )=0
- 12. Definicion: Sea f : V × V → R una forma bilineal simétrica. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación ω : V → R → 𝑥 → ω (→ 𝑋 ) = f(→ 𝑋 ,→ 𝑋 ) observaciones: → 𝑥 ∈ V es autoconjugado con respecto a f cuando ω (→ 𝑋 ) = 0 La matriz de la forma cuadrática es la de la forma bilineal simétrica. Definicion:Sea ω : V → R una forma cuadrática. Se llama forma polar de ω a la forma bilineal simétrica: f : V × V → R (→ 𝑋 ,→ 𝑌 ) → f(→ 𝑥 ,→ 𝑦 ) = 1 2 (ω(→ 𝑋 +→ 𝑌 ) − ω(→ 𝑋 )− ω(→ 𝑌 )) DEFINICION: . Una aplicación ω : V → R es cuadrática si verifica: ω(λ→ 𝑋 )=𝜆2 ω(→ 𝑋 ) ∀λ ∈ R, ∀ → 𝑋 ∈ V
- 13. Diagonalización de formas bilineales simétricas