El documento presenta una serie de ejercicios sobre álgebra lineal que involucran conceptos como combinaciones lineales, conjuntos generadores, bases, dimensión de espacios vectoriales y subespacios. Se piden definiciones de estos términos y se evalúan proposiciones sobre ellos, así como determinar bases, dimensión y pertenencia a subespacios para diversos ejemplos.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE
DEBER #3
COMBINACION LINEAL, GENERACIÓN, BASES, DIMENSIÓN
1.- Defina:
1.1.- Combinación lineal de vectores.
1.2- Conjunto generador de un espacio vectorial V.
1.3.- Espacio generado por un conjunto de vectores.
1.4.- Conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V.
1.5.- Conjunto de vectores linealmente dependiente en un espacio vectorial V.
1.6.- Base de un espacio vectorial V.
1.7.- Dimensión de un espacio vectorial V.
2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique
apropiadamente su respuesta.
2.1.- Si B={u+v, u-v, v-w} es una base de un espacio vectorial V, entonces {u+w,v-w,2u+v+w}
es un conjunto generador de V.
2.2.- Sea V un espacio vectorial y H un subespacio de V, si H=L(B1)=L(B2) entonces B1=B2.
2.3.- Sea G=L{v1,v2,v3,x} y U=gen{v1,v2,v1+v3,v2+v3}. Si H=U entonces el conjunto {v1,v2,v3,x}
es linealmente dependiente.
2.4.- Sea {v1,v2,v3,v4} un conjunto generador de V y {v1,v5,v6,v7} un conjunto linealmente
dependiente en V, entonces dimV≤3.
2.5.- Si β es una base del espacio vectorial V y β’ una base de un subespacio de V, entonces
β’⊆β.
2.6.- Todo conjunto generador de un espacio vectorial V de dimensión n, tiene exactamente n
vectores.
2.7.- Si S={u,v} esun conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V
y w es una combinación lineal de S, entonces {u,v,w} es un conjunto linealmente
independiente.
2.8.- Si v es un vector de un espacio vectorial V, tal que v=α1v1+α2v2+…+αnvn y v=β1v1+β2v2+…
+βnvn , entonces ∀i∈Ν, αi=βi
2.9.- Si V es generado por el conjunto {u,v,x-2v,x,5u+w} entonces la dimV≤3
2.10.- Si H es un subespacio de V generado por {h1,h2,h3,h4} entonces dimH>4.
2.11.- Sea A una matriz cuadrada nxn y C1, C2, …, Cn matrices columnas de dimensión nx1. Si se
tiene que los vectores columnas AC1, AC2,…, ACn son linealmente independientes, entonces
C1, C2, …, Cn también lo son.
2.12.- Todo espacio vectorial tiene al menos una base.
2.13.- Si V es un espacio vectorial y V= L{ v1 , v2 , v3 , … , vn } entonces 0 ≤ dimV ≤ n
2.14.- Si {v1, v2, v3, … , vn}es un conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio
vectorial V, entonces dimV ≥ n.
2.15.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces cualquier conjunto con n vectores
linealmente independientes en V es una base de V.
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2. 3.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la
multiplicación por escalar de la siguiente manera:
( x1, y1 ) ⊕ ( x 2, y 2 ) = ( x1x 2, y1 + y 2 )
α • ( x, y ) = ( x α , αy )
a.-) ¿Es {(1,0), (1,1)} linealmente independiente?
b.-) ¿Genera {(1,0), (1,1), (e,0)} a V?
4.- Sea V=L{Senx, Cosx, Sen2x, 1+4Cos2x, Cos2x, 2} un espacio funcional y los subespacios de V:
H1=L{Sen2x, Cos2x}
H2=L{Sen2x, 1-2Cos2x, 3}
H3=L{Senx, Cosx}
Determine:
a.- Si 5∈H1
b.- Si Cos2x ∈H2
c.- Si tgx ∈H3
d.- Una base de V y la dimensión de V.
e.- Una base de H3
5.- Sea H = {(a + 2b) x + (−a + d ) x + 5bx − a + b + 3c + 2d + bx + c(− x + 3 x + x) + ex + (a + d + 2e) x + e}
3 2 2 3 2 3
un subespacio vectorial de P3. Determine:
a.-) Una base B1 de H
b.-) La dimensión de H
c.-) El valor de α∈ R para que x3+x2+3x+α2-13 ∈ H.
d.-) Una base de P3 que contenga a B1
 4 − 2 1   − 3 1 − 2   − 1 − 1 − 4 
6.- Sea H = L   , 
 , 
  un subespacio de M2x3, determine:
 3 2 − 1  − 2 − 2 2   0 a b 

a.- Los valores de a y b para que la dimensión de H sea 2
2 0 3
b.- Si v = 
 1 2 c  , el valor de c para que v∉H

 
 3 u  
7.- Sea V =   / u ∈ R 2 , a ∈ R + , b ∈ R  junto con las operaciones:

 a b  
 3 u1   3 u2   3 u1 + u2 

 a b  ⊕  a b  =  a .a b + b + 2 
    
 1 1  2 2  1 2 1 2 
3 u  3 αu 
α •
 a b  =  aα αb + 2α − 2 
  
   
un espacio vectorial, determine una base de V y la respectiva dimensión de V.
8.- Sea (V,⊕,•α) un espacio vectorial:
 x    x1   x 2   x1 + x 2 + 2   x   αx + 2α − 2 
            
V =  y  / x, y, z ∈ R  y1  ⊕  y 2  =  y1 + y 2  α • y =  αy 
 z    z   z   z + z −1  z   αz − α + 1 
    1  2   1 2     
Determine la base del subespacio H={(x,y,z)/x+y+z=-1} y la dimensión de H.
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3. 9.- Si H={A∈Mnxn/ A-AT=0}= Snxn , donde n∈Z ∧ n≥2, determine la dimH.
10.- Determine los valores de K para que el conjunto {-1+kx-x2,k-x-x2, -1-x+kx2} sea una base de
P2.
11.- Si H={ p∈Pn / p es par} es un subespacio vectorial de Pn donde n∈N∪{0} , determine la dimH
para toda n.
12.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio de V y dimH=dimV, entonces
H=V.
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