1) El documento presenta el método numérico de Runge-Kutta y su implementación para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. 2) Explica las ecuaciones diferenciales ordinarias, el método de Runge-Kutta de segundo y tercer orden, y algoritmos para resolver problemas numéricamente. 3) El método de Runge-Kutta mejora la aproximación del método de Euler al permitir el cálculo de varias derivadas intermedias para aproximar mejor la solución desconocida.

1. 2819402457454463415245745<br /> UNIVERSIDAD CENTROCCIODENTAL<br />“LISANDRO ALVARADO”<br />DECANATO DE AGRONOMIA<br />PROGRAMA DE ING. AGROINDUSTRIAL<br />NUCLEO OBELISCO<br />BARQUISIMETO-ESTADO LARA<br /> CATEDRA COMPUTACION APLICADA <br />Ecuaciones Diferenciales Ordinarias<br />Método Runge-Kutta.<br />Implementación de Sistemas Numéricos<br />Integrantes<br /> Alvarado Jean C.<br /> Osuna Desirée <br /> Silva Leonor <br />Suarez Edgar<br /> Barquisimeto, Enero 2011 <br />Introducción<br />Los métodos numéricos constituyen una herramienta muy valiosa para la resolución de problemas prácticos de Ingeniería, se pueden definir a los métodos numéricos como las técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas, ó también como el grupo de conocimientos matemáticos relacionados con el diseño y análisis de algoritmos necesarios para resolver problemas de ciencia e ingeniería por ello el objetivo de este trabajo es presentar de manera sencilla el método numérico de Runge-Kutta y la implementación de los sistemas numéricos en el computador.<br />El trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: en primer lugar se presenta las ecuaciones diferenciales ordinarias, luego el método numérico de Runge-Kuta de segundo orden y de tercer orden, seguidamente algoritmos para la resolución de ejercicios en el computador; esquema de discretización del método de Runge-Kutta de segundo orden y de tercer orden y por último las aplicaciones del método de Runge-Kutta.<br /> <br />Ecuaciones Diferenciales Ordinarias<br />Ecuaciones diferenciales<br />Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, <br />Las ecuaciones diferenciales se dividen en: <br />Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.<br />Ecuaciones en Derivadas Parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. <br />Orden <br />El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella.<br />Grado <br />El grado de una ecuación diferencial es una potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la derivada este dada en forma polinomial.<br />Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial. <br />Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es 3.La ecuación que no es de la forma (3), es una ecuación no lineal. <br />Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.<br />Ecuación Diferencial Lineal<br />La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:<br />an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx<br />Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x, y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.<br />Las ecuaciones diferenciales contienen derivadas de una o más variables dependientes con respeto a una sola variable independiente<br /> Ordinarias <br />Las ecuaciones diferenciales contiene derivadas de una o más variables dependientes con respeto a dos o más variables independienteTipo<br /> Parciales <br />F= (x, y, y’)=0 (dy/dx) F=(x, y, y’, y’’) =0 (dy /dx ) F=(x, y, y’, y’’, y’’’)=0 F=(x, y, y’………………. y(n))=0 Primer grado<br />426339032385395859041910Orden Segundo grado<br /> Tercer grado<br /> Orden n<br />Las variables independientes y y todos sus derivados son de primer grado.Cada coeficiente de y y sus derivados dependen solamente de la variable independiente x (puede ser constante)<br />Grado Lineales <br />Ecuaciones diferenciales<br />Solución: <br />Se define como una relación sin derivadas entre las variables que satisface a la ecuación<br /> <br />Solución Particular: <br />Se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes arbitrarias (Ecuación de una curva llamadas curvas integrales de la ecuación diferencial) <br />Solución General:<br /> Solución que contiene todas o casi todas sus soluciones (primitiva). <br />Interpretación Geométrica: <br />Las ecuaciones diferenciales se expresan geométricamente mediante la interpretación de un problema mediante trazos en una recta. Así a cada punto del plano le corresponde una pendiente. <br />Trayectorias: <br />Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo un ángulo constante w, se llama una trayectoria w de la familia. <br />La trayectoria de intersección, que forma un ángulo de 90º de una familia y sus pendientes son perpendiculares entre si se denomina “Trayectoria Ortogonal”. <br />Para hallar las trayectorias ortogonales se utilizara las curvas integrales de la ecuación diferencial: <br />f(x,y, y´-tgw/1+y`tgw)=0<br />Existencia: <br />Se dice que hay existencia cuando existe una solución real para la expresión y se cumplen las siguientes condiciones: <br />Continuidad de f(x,y) en R <br />Acotamiento de f(x,y) por R <br />Unicidad:<br />Se dice que existe unicidad, cuando se cumple lo siguiente: <br />Continuidad de f(x,y) y ȭf/ ȭy en R <br /> Acotamiento de f(x,y) y ȭf/ ȭy por R <br />Aunque existen excepciones donde solo se cumple una de las condiciones o ninguna de las dos.<br />Campo Direccional:<br /> Al conjunto de los segmentos que resultan de la terna (x,y,y´) <br />Métodos de Runge-Kutta <br />Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta<br />El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.<br />La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta \"
cerca\"
a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos de estas derivadas intermedias.<br />Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler para resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f(t, y), y(t0) = y0, sin necesidad de calcular derivadas de orden superior.<br />Recordemos que, de acuerdo con la teoría, la expresión general de los métodos explícitos de las etapas de Runge Kutta es:<br />156781540640<br />1043940202565<br />1929765-175895Donde a ij = 0 para j ≥ i y = C i<br />Fundamento<br />Al resolver un PVI o un PF, el objetivo es hallar una función y(t) que verifique en [a,b] los requisitos del problema. Conscientes de la imposibilidad de obtener una fórmula que exprese y(t), nos contentaremos con obtener los valores que la solución toma en algunos puntos de [a,b]; es decir, obtendremos una tabla de valores de y(t) en [a,b]. Esto puede parecer, a primera vista, frustrante, pero para la mayor parte de las necesidades reales es completamente suficiente; pensemos que realmente, incluso para una función expresada mediante una fórmula, un ordenador solo puede dar sus valores en un número finito de puntos, ya que maneja un número limitado de cifras. El valor de la solución en un punto “C” distinto de los considerados se obtiene mediante interpolación, o resolviendo de nuevo el problema en el intervalo [a,c].<br />Así, una técnica de solución consiste en dividir el intervalo [a,b] mediante una malla de puntos a = t0 < tl < … < tn = b, llamados puntos soporte, y obtener los valores yi = y(ti), i = 1, 2, …, n, de la solución en los puntos de la malla.<br />Una manera frecuente y sencilla (no la mejor en todos los casos) de tomar los ti, consiste en dividir el intervalo [a,b] en n partes iguales, siendo n un natural. Así, los puntos son ti = a + ih, i = 0, …, n. Al valor h =(b - a)/n se lo denomina paso de integración. Utilizaremos en lo sucesivo paso constante en todos los casos.<br />Sin embargo, las técnicas más eficientes requieren de un ajuste adaptativo del paso, acomodándose continuamente al comportamiento de la solución en las cercanías del punto de cálculo actual; por ejemplo, si se sospecha que la solución es rápidamente variable será necesario disminuir el paso, lo que supone realizar más operaciones y estar sujeto a errores de redondeo; pero si la solución varía poco, con pasos más largos se obtendrán buenas aproximaciones y se ahorrará esfuerzo computacional y evitará innecesarios errores de redondeo. <br />Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:<br />yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h<br />Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.<br />Donde las a son constantes y las k son:<br />k1 = f(xi,yi)<br />k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)<br />k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)<br />Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.<br />Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n.<br />n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor<br />Condiciones de Orden<br />1539240271145Los métodos de Runge-Kutta son métodos de un paso con función de incremento<br />1177290327025Si hacemos hn = 0, entonces ki = f(xn,yn) para todo i = 1,2,...,s. Así,<br />1977390229235Por tanto, un método de Runge-Kutta es consistente si y solo si<br />Por otra parte, puesto que las etapas ki son evaluaciones de la función f, no es difícil convencerse de que φ satisface una condición de Lipschitz con respecto a su segunda variable si f satisface una condición de Lipschitz en y. Así pues, la condición de consistencia es suficiente para garantizar la convergencia. Veamos que también es necesaria.<br />Teorema<br /> Un método de Runge-Kutta es convergente si y solo si es consistente.<br />Prueba<br /> Si es convergente, en particular lo es para el problema<br />y'(x) = 1, y(0) = 0,<br />3539490460375Cuya solución es y(x) = x. El método, aplicado a este problema con paso fijo h, se reduce a <br />yn+1 = yn+h<br />Tomando como valor de arranque y0 = 0 tenemos que la solución numérica viene dada por<br />262509054610360616554610<br />yn = nh = xn <br />2787015148590Por tanto<br /> y(xn) − yn = xn <br />La solución numérica converge a la teórica si y solo si se cumple la condición de consistencia.<br />Métodos de Runge-Kutta de 2do. Orden<br />El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.<br />La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto x=x0 , truncada en el tercer término, es decir, en la segunda derivada <br />Tamaño del paso <br />Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 2:<br />yi es la coordenada “y” del punto anterior<br />xi es la coordenada “x” del punto anterior<br /> F(xi,yi) es la derivada evaluada en el punto anterior<br /> F(xi+h/2,yi+k1/2) es la derivada evaluada en el punto anterior con el cambio de variable<br />Ecuación diferencial de segundo orden<br />Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo orden.<br />Con las condiciones iniciales<br />Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.<br />Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio de nombre de la función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la primera columna, las variables k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función. <br /> Sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden<br />Sea el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden<br />Con las condiciones iniciales<br />Este sistema, se puede transformar en un sistema equivalente formado por cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicando dos veces el esquema descrito para una ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el esquema descrito en las siguientes tablas<br />Métodos de Runge-Kutta de 3er. Orden<br />La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto x = x0, truncada en el cuarto término, es decir, en la tercera derivada <br />Tamaño del paso<br />Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 3:<br />Para i = 0,…, n-1. La solución se da a lo largo del intervalo (to, to+ hn).<br />Procedimiento de tercer orden<br />Para n = 3 es probable efectuar un desarrollo similar al del método de segundo orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores de las incógnitas con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es: <br />158686519685<br />Donde: <br />-99060207645k1 = f (xi, yi)<br />k3 = f (xi + h, yi − k1h + 2k2h) <br />Si la EDO está en función solo de x, este método de tercer orden se reduce a la regla de Simpson 1/3. En cualquier caso, los métodos de tercer orden tienen errores local y global, y dan resultados exactos cuando la solución es una cubica. Al tratarse de polinomios será también exacta cuando la ecuación diferencial sea cubica y la solución sea de cuarto grado. Esto se debe a que la regla de Simpson 1/3 ofrece estimaciones exactas de la integral para cubicas. <br />La regla de Simpson 1/3 se puede expresar usando el formato de la ecuación: <br />I≈ (b-a) f(x0) + 4f(x1) + f(x2) . 6 <br />Donde a=x0, b=x2 y x1= el punto a la mitad entre a y b, que está dado por: <br />(b+a)/2, el punto medio esta ponderado por dos tercios y los puntos extremos por un sexto.<br /> Tiene un error de truncamiento de:<br /> Et:= - 1 (h) ˆ 5 f (4) (ξ) como h= (b-a)/2 entonces . 90 <br />Et:= - (b-a) ˆ 5 f (4) (ξ) . 2880 <br />Donde ξ se encuentra en algún lugar en el intervalo de [a, b]. <br />Nota: ˆ: el símbolo indica que (b-a) esta elevado a la 5. <br />Ejercicios<br />Resolver la siguiente derivada a través del método de Runge-Kutta:<br />dudv= v+u2v<br />U1 = 1 U(0)= 1<br />V(0) = 1<br />h= 0,2<br />Solución:<br />Método Range – Kutta 2do Orden para V1 y U1<br />Xi +1 = X0 + h<br />V1 = 1 + 0.2<br />V1= 1.2<br />K1Y = h*F ( Xi , Yi )<br />K1U = h * (V0 , U0)<br />K1U = 0.2 (1 , 1)<br />K1U = 0.2 * V+U2V<br />K1U = 0.2 * 1+ 121<br />K1U = 0.4<br />U1 = U0 + h (V0+ h2 ; U0 + K1U 2 )<br />U1 = 1+ 0.2 (1 + 0.22 ; 1 + 0.42 )<br />U1 = 1 + 0.2 (1.1 ; 1.2)<br />U1 = 1 + 0.2 V+U2V <br />U1 = 1 + 0.2 1.1+1.221.1<br />U1 = 1,4843<br />Para V2 y U2 <br />V2 = V1 + h<br />V2 = 1.2 +0.2<br />V2 = 1.4<br />K2U= h* F (V1 ; U1)<br />K2U = 0.2 V1+ U12V1 <br />K2U = 0.2 1.2+(1.4843)21.2 <br />K2U = 0.6213<br />U2 = U0 + h * FV1+ h2 , U1+ K1 Y2<br />U2 = 1 + 0.2 1.20.2 2 , 1.4843+ 0.42<br />U2 = 1 + 0.2 (1.3 ; 1.6843)<br />U2 = 1 + 0.2 V+ U2V <br />U2 = 1 +0.2 1.3+(1.6843)21.3<br />U2 = 1.7256<br />Algoritmo Método Runge-Kutta de 2do Orden <br />%Metodo Runge-Kutta de 2doOrden<br />%dv/du=v+u^2/sprt(v)<br />u=1; <br />v=1; <br />t=0; <br />tmax=3; <br />h=0.2;<br />n=tmax-t/h;<br />for i=1:n<br /> v(i+1)=v(i)+h<br /> k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i))<br /> u(i+1)=u(i)+h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2))/sqrt(v(i))<br />end <br />%graficas%<br />subplot (3,2,1);<br />plot(u,v,'y-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); <br />xlabel('valores u');<br />ylabel('valores v');<br />legend('v real, u aprox')<br />To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo.<br />For product information, type tour or visit www.mathworks.com.<br /> <br />» <br />v = 1.0000 1.2000<br />k1 = 0.4000<br />u = 1.0000 1.4600<br />v = 1.0000 1.2000 1.4000<br />k1 = 0.6083<br />u = 1.0000 1.4600 2.0194<br />v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000<br />k1 = 0.9260<br />u = 1.0000 1.4600 2.0194 2.6926<br />Grafico Método Runge Kutta 2do Orden <br />472440157480<br />Solución Mediante Método de Runge – Kutta 3er Orden.<br />V1 = 1.2 V2 = 1.4<br />K1U = 0.4 K2U = 0.6213<br />U1 = 1.4843 U2 = 1.7256<br />K2U = h * F ( Xi + h2 ; Yi + K1 Y 2 )<br />K2U = h (V0 + h 2 , U0 + K1 Y 2 )<br />K2U = 0.2 (1 + 0.22 , 1 + 0,42 )<br />K2U = 0.2 (1.1 ; 1.2)<br />K2U = 0.2 V+ U2V<br />K2U = 0.2 1.1+ (1.2)21.1<br />K2U = 0.4843<br />K3U = h * F (Xi + h, Yi + 2K2Y)<br />K3U = 0.2 (V0 + h , U0 + 2K2U)<br />K3U = 0.2 (1+ 0.2 ; 1 + 2 (0.4843))<br />K3U = 0.2 V+ U2V<br />K3U = 0.2 1.2+ (1.9686)21.2<br />K3U = 0.9266<br />Y1 = Y0 + 16 (K1y + 4K2Y + K3U)<br />U1 = U0 + 1 6 (K1U + 4K2U + K3U)<br />U1 = 1 + 16 (0.4 + 4(0.4843) + 0.9266)<br />U1= 1.5439<br />Algoritmo Método Runge-Kutta de 3er Orden <br />%Metodo Runge-Kutta de 3er Orden<br />%dv/du=v+u^2/sprt(v)<br />u=1; <br />v=1; <br />t=0; <br />tmax=3; <br />h=0.2;<br />n=tmax-t/h;<br />for i=1:n<br /> v(i+1)=v(i)+h<br /> k1=h*(v(i)+u(i)^2)/sqrt(v(i))<br /> k2=h*((v(i)+h/2)+(u(i)+k1/2)^2/sqrt(1+h/2))<br /> k3=h*((v(i)+h)+(u(i)+2*k2-k1)^2/sqrt(v(i)+h/2))<br /> u(i+1)=u(i)+(1/6)*(k1+(4*k2)+k3)<br />end <br />%graficas%<br />subplot (3,2,1);<br />plot(u,v,'r-o'); <br />title('Metodo Runge-Kutta 2doOrden. u vs v'); <br />xlabel('valores u');<br />ylabel('valores v');<br />legend('v real, u aprox')<br />To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo.<br />For product information, type tour or visit www.mathworks.com.<br /> <br />» <br />v = 1.0000 1.2000<br />k1 = 0.4000<br />k2 = 0.4946<br />k3 = 0.7216<br />u = 1.0000 1.5167<br />v = 1.0000 1.2000 1.4000<br />k1 = 0.6391<br />k2 = 0.9029<br />k3 = 1.5432<br />u = 1.0000 1.5167 2.4823<br />v = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000<br />k1 = 1.2782<br />k2 = 2.1580<br />k3 = 5.2959<br />u = 1.0000 1.5167 2.4823 5.0167<br />Grafico Metodo Runge Kutta 3er Orden<br />843915200660<br /> <br />Sistema de Ecuaciones Diferenciales<br />Resolver Numéricamente: <br />3177540115570<br />317754022225<br />3168015356235 PVI<br />316801513335<br />Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 2 Para Sistemas de EDO:<br />Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de Orden 3 Para Sistemas de EDO:<br />Aplicaciones del Método de Runge-Kutta <br />Aplicaciones a la Física:<br />Movimiento Armónico Simple:<br />La Ley de Hooke:<br />Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.<br />Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,<br />10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie.<br />Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.<br /> <br />Segunda Ley de Newton:<br />Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:<br />W = m . g<br /> <br />En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s², p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:<br />md²x/dt² = - k (s + x) + mg<br />= - kx + mg - ks = - kx<br />Cero<br />Aplicaciones del Método Runge-Kutta a la Industria<br />Martínez, Liliana Ángeles. Dimensionamiento y Simulación de un secador por aspersión de nivel piloto. Tesis presentada para obtener el Titulo de Maestro en Ciencias en Bioprocesos. Instituto Politécnico Nacional. Unidad Profesional Interdisciplinaria Biotecnología. <br /> En: www.biotecnologia.upibi.ipn.mx/recursos/posgrado/Tesis/mc_langeles.pdf<br />Caiza, Luis.; Sandoval, Marcelo Francisco. , Quintero Montoya, Olga L. Modelo de Simulación de una Columna de Destilación Binaria basada en Métodos Numéricos. Colegio Politécnico de la Universidad de San Francisco de Quito, Cumbayá Quito – Ecuador. <br />En. http://dspace.epn.edu.ec/bitstream/123456789/1455/1/P26.pdf<br />Implementación de Sistemas Numéricos en el Computador<br />El computador funciona básicamente con datos numéricos, es decir que todo lo que se trabaja en el computador, ya sean: gráficos, dibujos, palabras, sonido, video, es convertido a información numérica.<br />Sistema Decimal <br />Este sistema consta de diez símbolos, que van desde el numero 0 hasta el numero 9, los cuales le dan la característica principal este sistema conocido. Estos símbolos numéricos también forman unidades numéricas compuestas, al tomarlos como exponentes de un número, que se encargara de regular el procedimiento, este número es llamado base. El numero base va a ser 10, por tal motivo también es conocido como “sistema de numeración en base 10”.<br />Sistema Binario<br />Este es un sistema numérico que utilizan los sistemas digitales para contar. Se dice “binario” a aquello que tiene dos partes. Muchas cosas en los sistemas digitales son binarias: los impulsos eléctricos que circulan en los circuitos son de baja o alta tensión. A diferencia del sistema decimal que utiliza 10 cifras del “0 al 9”, el sistema numérico binario utiliza solo dos cifras el “0 y el 11”. En el sistema binario las columnas no representan la unidad, la decena, la centena, como en el sistema decimal, si no la unidad (20), el doble (21), el doble (22). De modo que al sumar en la misma columna 1 y 1, dará como resultado 0, llevándonos 1 a la columna de la izquierda. Para los sistemas digitales es fácil, hasta el punto que reduce todas las operaciones a sumas y restas de números binarios. También las palabras, los números y los dibujos se traducen en el computador en secuencias de 1 y 0.<br />Sistema de numeración Octal <br />Este sistema consta de ocho símbolos desde el “0 hasta el 7”, es muy poco utilizado en los computadores. La facilidad con la que se pueden convertir entre el sistema octal y el binario, hace que el sistema octal sea atractivo como un medio “taquigráfico” de expresión de números binarios grandes. Cuando se trabaja con gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más adecuado y eficaz escribirlos en octal y no en binarios.<br />Sistema de Numeración Hexadecimal<br />Este sistema consta de 16 símbolos donde desde el 0 hasta el 9 son números y del 10 hasta el 15 son letras. La ventaja de este sistema de numeración es que se utiliza para convertir directamente números binarios de 4 bits. En donde un solo digito hexadecimal puede representar 4 números binarios o 4 bits<br />Conclusión<br />Finalmente y para concluir se determino que: la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas.<br />La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra.<br />Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial.<br />El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o implementando el método de orden superior. <br />Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias.<br />El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y eficientemente.<br />BIBLIOGRAFIA CONSULTADA<br />AYRES, F Jr. 1991. Ecuaciones diferenciales. Editorial Mc Graw – Hill/ Interamericana de México, S.A. México.<br />BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. 1985. Análisis Numérico. Grupo editorial Interamericana de México, S.A. de C. V. México.<br />CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. 1994. Métodos Numéricos para Ingenieros. Editorial Mc Graw – Hill/ Interamericana de México, S.A. México.<br /> EDWARDS, C. H. Jr., PENNEY, D. E. 1993. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Editorial Prentice – Hall Hispanoamericana S.A. México. 3º edición. México.<br />LUTHE, R.; OLIVERA, A.; SCHUTZ, F. 1995. Métodos Numéricos. Editorial LIMUSA, S. A. de C. V. México.<br />PITA, C. 1989. Ecuaciones diferenciales: una introducción con aplicaciones. Editorial LIMUSA, S. A. de C. V. México.<br />