El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.

1. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Integrante: Mirian Rodríguez 15.447.395

2.  Método de eliminación gaussiana .
 Método de Gauss Jordan.
 Descomposición LU determinante de
una matriz.
 Factorización de Cholesky
 Factorización QR
 Solución de sistemas lineales
utilizando método interactivo.
 Método de Gauss-Seidel.
 Método de Jacobi

3. Este método propone la eliminación
progresiva de variables en el sistema de
ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación
con una incógnita. Una vez resuelta esta, se
procede por sustitución regresiva hasta
obtener los valores de todas las variables.
Ejemplo:
x1+2x2+3x3= 9
4x1+5x2+6x3= 24
3x1+x2+2x3= 4
Se simplificará el sistema si multiplicamos por
-4 ambos lados de la primera ecuación y
sumando esta a la segunda. Entonces:
-4x1-8x2-12x3=-36
4x1+5x2+6x3=24
sumándolas resulta
-3x2-6x3=-12
La nueva ecuación se puede sustituir por
cualquiera de las dos. Ahora tenemos:
x1+2x2+3x3= 9
0x1-3x2-6x3= -12
3x1+x2-2x3= 4

4. Luego, la primera se multiplica por -3 y se
le suma a la tercera, obteniendo:
x1+2x2+3x3= 9
0x1-3x2-6x3= -12
0x1-5x2-11x3=-23
Acto seguido, la segunda ecuación se divide
entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la
tercera:
x1+2x2+3x3= 9
0x1+x2+2x3= 4
0x1+0x2+x3= 3
En este momento ya tenemos el valor de
x3, ahora simplemente se procede a hacer
la sustitución hacia atrás, y
automáticamente se van obteniendo los
valores de las otras incógnitas. Se
obtendrá:
x3= 3
x2= 4-2(x3) = -2
x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4

5. Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n
números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación.

6. Se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz
triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación
sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente.
 Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única) A= LU
 donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente.
 Para matrices , esto es:
Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

7. Puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de
Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido
extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de
ecuación matricial y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.

8. det(A) = det(G.GT) = det(G).det(GT) = 2*2 = 4.

9. Si A es una matriz m×n con columnas linealmente independientes, entonces A
puede factorizarse
en la forma
A = QR (1)
en la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz
triangular superior.
Ej; la descomposición QR de
se escribe QR descomposición {{1,2},{3,4},{5,6}}

10. Trata de resolver un problema (como una ecuación o
un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones
sucesivas a la solución, empezando desde una
estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los
métodos directos, que tratan de resolver el problema
de una sola vez (como resolver un sistema de
ecuaciones Ax = b encontrando la inversa de la matriz
A). Los métodos iterativos son útiles para resolver
problemas que involucran un número grande de
variables (a veces del orden de millones), donde los
métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso
con la potencia del mejor computador disponible.

11. Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas que se
usan en los métodos anteriores para obtener raíces. Aquellos métodos
consisten en la determinación de un valor inicial a partir del cual, mediante
una técnica sistemática se obtiene una mejor aproximación a la raíz.
La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de
los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de
aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna
tolerancia de error previamente especificada.
Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de
dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión
suficiente excede a las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas
grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente.
Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de
problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.

12. EJERCICIOS DE GAUSS SEIDEL
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método iterativo de Gauss – Seidel
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
Paso 1.
Ordenar los renglones para que pueda ser resuelto.
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
Paso 2.
Determinar si puede ser resuelta por este método, determinando si es predominantemente dominante en su diagonal.
Paso 3.
Despejar las variables.
X1 = -2x2/9 – 3x3/9 + 56.5/9 = -0.2222x2 – 0.3333x3 + 6.2778
X2 = -4x1/10 – 8x3/10 +142/10 = - 0.4 – 0.8x3 + 14.2
X3 = - 2x1/7 – 6x2/7 + 89.5/7 = - 0.2857x1 – 0.8571x2 + 12.7857
Paso 4.
Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0]
Paso 5
Se substituye esta solución temporal en las ecuaciones para obtener las nuevas x’s., pero solo cuando no se cuente con la anterior
Iteración 1
X1 = - 0.2222(0) – 0.3333(0) + 6.2778 = 6.2778
X2 = - 0.4(6.2778) – 0.8(0) + 14.2 = 11.6888
X3 = - 0.2857(6.2778) – 0.8571(11.6888) + 12.7857 = 0.9736
Se sustituye en alguna ecuación y se observa si el resultado ya es adecuado:
4(6.2778) + 10(11.6888) + 8(0.9736) =
25.1112 + 116.888 + 7.7888 = 149.788 <> 142
error = abs(142 – 149.788) = 7.788
Pero si 1% = 1.42 entonces error = 7.78 = 5.48%
Aun el error es muy grande. Se repite el paso 5, pero tomado los valores obtenidos en la ecuación anterior
Iteración 2
X1 = - 0.2222(11.6888) – 0.3333(0.9736) + 6.2778 = 3.356
X2 = - 0.4(3.356) – 0.8(0.9736) + 14.2 = 12.0787
X3 = - 0.2857(3.356) – 0.8571(12.0787) + 12.7857 = 1.4742
Se evalúa en una ecuación en este caso en la ecuación 1
4(3.356) + 120.787 + 8(1.4742)= 146.0046 <> 142
Si 1% = 1.42
error = abs(142 – 146.0046) = 4.0046
entonces error = 2.82%
Iteración 3.
X1 = - 0.2222(12.0787) – 0.3333(1.4742) + 6.2778 = 5.0407
X2 = - 0.4(5.0407) – 0.8(1.4742) + 14.2 = 11.0043
X3 = - 0.2857(5.0407) – 0.8571(11.0043) + 12.7857 = 1.9137
Se sustituye
4(5.0407) + 110.043 + 8(1.9137)= 145.51, diferencia 3.51609
error = 2.47%

13. Iteración 4.
X1 = - 0.2222(11.0043) – 0.3333(1.9137) + 6.2778 = 3.1948
X2 = - 0.4(3.1948) – 0.8(1.913) + 14.2 = 11.3916
X3 = - 0.2857(3.1948) – 0.8571(11.3916) + 12.7857 = 2.1092
Se sustituye
4(3.1948) + 113.916 + 8(2.1092)= 143.5688, diferencia 1.5688
error = 1.10%
Iteración 5.
X1 = - 0.2222(11.3916) – 0.3333(2.1092) + 6.2778 = 3.0435
X2 = - 0.4(3.0435) – 0.8(2.1092) + 14.2 = 11.2952
X3 = - 0.2857(3.0435) – 0.8571(11.2952) + 12.7857 = 2.2350
Se sustituye
4(3.0435) + 112.952 + 8(2.235)= 143.006, diferencia 1.006
error = 0.7%

14. La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida
iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A
efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega
a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:
A= D + L + U
Aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, con 5 iteraciones y determina la cantidad de
cifras significativas exactas de la quinta iteración. Utiliza como iteración inicial
Para la primera iteración consideraremos , de donde:

15. Similarmente para las otras tres iteraciones resulta la
tabla de aproximaciones:
Iteración
0 0.0000 0.0000 0.0000
1 2.0000 0.6000 2.0000
2 1.4250 1.0000 2.2800
3 1.3050 0.9705 2.0850
4 1.3574 0.9390 2.0669
5 1.3659 0.9424 2.0837

16. Método de Jacobi