Este documento describe varios métodos para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales en Mathcad y Matlab. En Mathcad, se pueden resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y de derivadas parciales utilizando funciones como odesolve, rkfixed, Bulstoer, y relax. En Matlab, se pueden resolver ecuaciones diferenciales ordinarias simbólicamente con dsolve o numéricamente con resolutores como ode45, ode15s, ode23s. Ambos programas ofrecen opciones para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones stiff.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Este documento presenta un solucionario de problemas de ecuaciones diferenciales correspondiente a la segunda evaluación de un curso. Incluye métodos para resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares, mediante la transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales, aplicaciones de ecuaciones de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Contiene ejemplos resueltos de problemas tipo examen utilizando estos métodos.
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Este documento presenta un solucionario de problemas de ecuaciones diferenciales correspondiente a la segunda evaluación de un curso. Incluye métodos para resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares, mediante la transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales, aplicaciones de ecuaciones de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Contiene ejemplos resueltos de problemas tipo examen utilizando estos métodos.
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y al método de Runge-Kutta para resolverlas numéricamente. Explica que las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar fenómenos físicos y que el método de Runge-Kutta es una mejora del método de Euler para aproximar soluciones. Luego, describe los pasos del método de Runge-Kutta de cuarto orden y provee ejemplos de su implementación en Matlab para resolver ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
El documento presenta un resumen de gráficas de señales de tiempo continuo y discreto realizadas en Matlab. Incluye ejemplos de señales en tiempo continuo y discreto, convolución en tiempo discreto, serie de Fourier, muestreo de señales y cálculo de la transformada de Fourier discreta.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Ecuaciones diferenciales de coeficientes por operador anularsheep242
Este documento explica cómo encontrar la solución general de una ecuación diferencial no homogénea de n-ésimo orden mediante el método del operador anulador. Primero se encuentra la función complementaria resolviendo la ecuación homogénea asociada. Luego se aplica un operador diferencial que anula la función no homogénea para obtener una ecuación diferencial homogénea de orden superior cuya solución proporciona la forma de la solución particular.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminadossheep242
El documento describe dos métodos, el Método de Superposición y el Método del Anulador, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados. El Método de Superposición involucra encontrar una función complementaria para hallar la solución particular de una ecuación dada, mientras que para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas se debe obtener primero la solución de la ecuación homogénea asociada y luego una solución particular de la ecuación no homogénea, de modo que la solución comple
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento explica los métodos para hallar la transformada inversa de Laplace, incluyendo el método de fracciones parciales. También presenta ejemplos de cómo aplicar este método para calcular transformadas inversas, como hallar la transformada inversa de una función con polos complejos. Además, introduce teoremas como los de traslación y convolución utilizados para calcular transformadas.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento introduce conceptos de funciones ortogonales y series de Fourier. Explica que dos funciones son ortogonales cuando su producto interno es cero, el cual se define como una integral definida. Además, describe que una serie de Fourier es una serie infinita que converge a una función periódica como suma de funciones senoidales con frecuencias enteras.
Este documento describe la serie de Fourier y conceptos relacionados. Introduce la serie de Fourier como una representación de funciones periódicas como suma de funciones senos y cosenos. Explica las relaciones de ortogonalidad y cómo calcular los coeficientes de Fourier. Finalmente, presenta ejemplos de series de Fourier para senos, cosenos y constantes.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...iverd
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Explica que estas ecuaciones relacionan una función y sus derivadas parciales respecto a varias variables. Luego, describe métodos numéricos como las diferencias finitas para aproximar las soluciones de estas ecuaciones, incluyendo ejemplos de cómo aproximar derivadas primeras y segundas. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación que modela la distribución de temperatura a través de un muro.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y al método de Runge-Kutta para resolverlas numéricamente. Explica que las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar fenómenos físicos y que el método de Runge-Kutta es una mejora del método de Euler para aproximar soluciones. Luego, describe los pasos del método de Runge-Kutta de cuarto orden y provee ejemplos de su implementación en Matlab para resolver ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
El documento presenta un resumen de gráficas de señales de tiempo continuo y discreto realizadas en Matlab. Incluye ejemplos de señales en tiempo continuo y discreto, convolución en tiempo discreto, serie de Fourier, muestreo de señales y cálculo de la transformada de Fourier discreta.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Ecuaciones diferenciales de coeficientes por operador anularsheep242
Este documento explica cómo encontrar la solución general de una ecuación diferencial no homogénea de n-ésimo orden mediante el método del operador anulador. Primero se encuentra la función complementaria resolviendo la ecuación homogénea asociada. Luego se aplica un operador diferencial que anula la función no homogénea para obtener una ecuación diferencial homogénea de orden superior cuya solución proporciona la forma de la solución particular.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminadossheep242
El documento describe dos métodos, el Método de Superposición y el Método del Anulador, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados. El Método de Superposición involucra encontrar una función complementaria para hallar la solución particular de una ecuación dada, mientras que para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas se debe obtener primero la solución de la ecuación homogénea asociada y luego una solución particular de la ecuación no homogénea, de modo que la solución comple
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento explica los métodos para hallar la transformada inversa de Laplace, incluyendo el método de fracciones parciales. También presenta ejemplos de cómo aplicar este método para calcular transformadas inversas, como hallar la transformada inversa de una función con polos complejos. Además, introduce teoremas como los de traslación y convolución utilizados para calcular transformadas.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento introduce conceptos de funciones ortogonales y series de Fourier. Explica que dos funciones son ortogonales cuando su producto interno es cero, el cual se define como una integral definida. Además, describe que una serie de Fourier es una serie infinita que converge a una función periódica como suma de funciones senoidales con frecuencias enteras.
Este documento describe la serie de Fourier y conceptos relacionados. Introduce la serie de Fourier como una representación de funciones periódicas como suma de funciones senos y cosenos. Explica las relaciones de ortogonalidad y cómo calcular los coeficientes de Fourier. Finalmente, presenta ejemplos de series de Fourier para senos, cosenos y constantes.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Microsoft word 7.sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas par...iverd
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Explica que estas ecuaciones relacionan una función y sus derivadas parciales respecto a varias variables. Luego, describe métodos numéricos como las diferencias finitas para aproximar las soluciones de estas ecuaciones, incluyendo ejemplos de cómo aproximar derivadas primeras y segundas. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación que modela la distribución de temperatura a través de un muro.
1) El documento presenta el método numérico de Runge-Kutta y su implementación para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. 2) Explica las ecuaciones diferenciales ordinarias, el método de Runge-Kutta de segundo y tercer orden, y algoritmos para resolver problemas numéricamente. 3) El método de Runge-Kutta mejora la aproximación del método de Euler al permitir el cálculo de varias derivadas intermedias para aproximar mejor la solución desconocida.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales. Brevemente:
1) Una ecuación diferencial contiene derivadas de variables dependientes con respecto a variables independientes.
2) Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado y linealidad.
3) Las soluciones de una ecuación diferencial son funciones que cumplen la ecuación y se representan como curvas integrales.
Este documento describe el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Explica cómo aproximar derivadas con diferencias finitas y obtener una ecuación de diferencias que puede resolverse algebraicamente. Además, presenta un ejemplo de aplicar el método a una ecuación de difusión unidimensional, resolviéndola de forma explícita paso a paso y analizando la estabilidad numérica del método.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una variable desconocida y sus derivadas. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según si son ordinarias o parciales, su orden, si son lineales o no, y presenta ejemplos. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales y encontrar sus soluciones generales y particulares.
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2Kike Prieto
Este documento presenta un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante diferencias finitas. Se describe un ejemplo de ecuación de difusión en dos dimensiones y se discretiza el dominio para aplicar el método. Se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya solución proporciona las temperaturas en cada punto de la malla.
1) Este documento describe las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, clasificación, notación y aplicaciones. 2) Se define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 3) Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado, linealidad y si son homogéneas o no.
La clase introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Se define una ecuación diferencial, se explican los conceptos de orden y grado de una ecuación, y se presentan ejemplos de ecuaciones comunes con sus aplicaciones. Además, se discuten conceptos como variable dependiente, solución general y soluciones singulares.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones polinómicas, así como inecuaciones polinómicas y con valor absoluto. Introduce conceptos como valores críticos, teorema de Cardano-Vieta, divisores binomios y propiedades del valor absoluto. Incluye ejemplos resueltos de aplicación de estos métodos.
El documento presenta los pasos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, inecuaciones de segundo grado y racionales. Explica que para sistemas no lineales se usa el método de sustitución, despejando una incógnita y reemplazando en la otra ecuación. Para inecuaciones de segundo grado, iguala el polinomio a cero para encontrar las raíces y evaluar el signo entre ellas. Las soluciones son los intervalos con el mismo signo. Para inecuaciones racionales sigue un proceso similar pero el
El documento presenta el método de resolución de ecuaciones de Clairault. Resuelve un ejemplo aplicando el método y representando gráficamente las soluciones. Luego propone como ejercicio resolver otras ecuaciones de Clairault de forma similar.
Este documento presenta un resumen de cuatro unidades sobre ecuaciones diferenciales. La primera unidad introduce conceptos básicos como definición, tipos, orden y linealidad de ecuaciones diferenciales. La segunda unidad cubre ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para resolver ecuaciones separables, exactas y de factor integrante. La tercera y cuarta unidad tratan sobre ecuaciones diferenciales de segundo y mayor orden, así como métodos para resolverlas como variación de parámetros y sustituciones.
1. El documento describe varias funciones especiales matemáticas como la función gamma, función beta y otras.
2. La función gamma Γ(n) está definida como una integral y satisface una fórmula de recurrencia. Puede extenderse a valores negativos de n usando esta fórmula.
3. También se describen la función beta, aproximaciones asintóticas y series asintóticas para calcular estas funciones, y varios resultados relacionados con integrales.
Revision de Presaberes Metodos NumericosDiego Perdomo
El documento explica la diferencia entre exactitud y precisión en el contexto de sistemas de información geográfica (SIG). La exactitud se refiere a qué tan cerca están los datos de los valores reales, mientras que la precisión se refiere al nivel de detalle de los datos. Obtener datos altamente precisos puede ser muy difícil y costoso, ya que requiere medir cuidadosamente las ubicaciones.
El documento explica los pasos para resolver un problema de programación lineal utilizando el método simplex. Los pasos incluyen 1) convertir las desigualdades en igualdades agregando variables holgura, 2) igualar la función objetivo a cero, 3) construir el tablero inicial, 4) seleccionar la variable que entra en la base y la que sale, y 5) calcular los nuevos coeficientes y repetir los pasos hasta alcanzar la solución óptima. Se provee un ejemplo completo ilustrando cada paso del proceso de simplex.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos como orden, linealidad y clasificación de ecuaciones diferenciales. También presenta métodos analíticos para resolver ecuaciones diferenciales como separación de variables, variables homogéneas y lineales. Finalmente, introduce conceptos como campo vectorial y método de isoclinas.
1) El documento presenta la resolución de 7 ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones trigonométricas.
2) En el primer ejercicio se prueba que la derivada de sec(x) es sec(x)tan(x).
3) El segundo ejercicio encuentra el intervalo en el que una función dada es cóncava hacia arriba.
Similar a resolucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB (20)
Lógica proposicional
41 Teoría de conjuntos
"l"I Numeración
10"1 Operaciones básicas en el conjunto Z~
111 Sucesiones
111 Teoría de la divisibilidad
111 Estudio de los divisores positivos
de un número
111 Máximo común divisor (MCD)
Mínimo común múltiplo (MCM)
111 Potenciación y radicación en z+
Antes de usar la calculadora por primera vez, asegúrese de
presionar la tecla O.
• Cambie la pila por lo menos una vez cada dos años, aun si la
calculadora continúa operando normalmente.
Una pila agotada puede tener fugas del electrólito, ocasionando
daños y fallas de funcionamiento de la calculadora. No deje una
pila agotada en la calculadora.
• La pila que viene con esta unidad se descarga ligeramente
durante el envío y almacenamiento. Debido a esto, puede
requerir un reemplazo más temprano que la duración de pila
esperada normalmente.
• Una alimentación de pila baja puede ocasionar que los
contenidos de la memoria se alteren o se pierdan
completamente. Guarde siempre registros escritos de todos
sus datos importantes.
• Evite usar y almacenar la calculadora en áreas sujetas a
temperaturas extremas.
Temperaturas muy bajas pueden ocasionar una respuesta lenta
de la presentación, falla total de la presentación y acortamiento
de la duración de la pila. También evite dejar la calculadora a la
luz directa del sol, cerca de una ventana, cerca de una estufa o en
cualquier lugar que pueda quedar expuesto a temperaturas muy
altas. El calor puede ocasionar descoloración o deformación de
la caja de la calculadora, y daños al circuito interno.
• Evite usar y almacenar la calculadora en áreas sujetas a
excesiva cantidad de humedad y polvo.
Tenga cuidado de no dejar la calculadora en donde podría ser
salpicada por agua o expuesta a mucha humedad y polvo. Tales
condiciones pueden dañar los circuitos internos.
• No la deje caer la calculadora ni la someta a fuertes impactos.
• No doble ni tuerza la calculadora.
Evite llevar la calculadora en el bolsillo de sus pantalones u otra
ropa ajustada en donde pueda estar sujeta a torceduras o
dobladuras.
• No trate de desarmar la calculadora.
• No presione las teclas de la calculadora con un bolígrafo ni
con ningún otro objeto puntiagudo.
• Utilice un paño suave o seco para limpiar el exterior de la
unidad.
Si la calculadora se ensucia, limpie con un paño humedecido en
una solución diluida de agua y detergente de uso hogareño neutro
suave. Exprima quitando todo exceso de la solución antes de
limpiar la calculadora. No utilice diluyentes, bencina ni otros
agentes volátiles para limpiar la calculadora. Haciéndolo puede
quitar las marcas impresas y puede dañar la caja.
Este documento convoca a los interesados en ingresar a programas de ingeniería en la Universidad Autónoma de Guerrero a realizar los trámites de registro para el concurso de selección del ciclo escolar 2014-2015, el cual incluye requisitos como certificado de estudios de bachillerato con promedio mínimo de 8.0, acta de nacimiento, CURP y examen CENEVAL que se aplicará el 28 de junio. La lista de aceptados se publicará el 11 de julio.
Este documento descreve as etapas para se preparar um bolo de chocolate. Ele lista os ingredientes necessários e fornece instruções detalhadas para misturar, assar e decorar o bolo.
Diccionario de matematicas editorial normaRaul Ibañez
Este documento presenta un diccionario de matemáticas. Contiene definiciones concisas de más de 1500 términos matemáticos seleccionados de diversos programas escolares, con ilustraciones claras cuando sean útiles. El diccionario está destinado al uso de estudiantes de matemáticas elementales y superiores hasta un nivel medio, y también puede ser útil para otros estudiantes de ciencias afines.
Lecciones sobre ecuaciones en DERIVADAS PARCIALES l. G. PETROVSKIRaul Ibañez
Este documento es un libro sobre ecuaciones en derivadas parciales escrito por L. G. Petrovski. Contiene 43 secciones organizadas en 4 capítulos que cubren temas como ecuaciones hiperbólicas, elípticas y parabólicas. Incluye prólogos, índices y tratamientos matemáticos detallados de problemas como el problema de Cauchy y vibraciones de cuerpos finitos para diferentes tipos de ecuaciones.
Este documento presenta la guía del usuario para la calculadora gráfica HP Prime. Explica las funciones básicas de la calculadora como la navegación, entrada de datos, cálculos matemáticos y el uso de aplicaciones. También cubre temas avanzados como programación, variables y unidades. La guía proporciona instrucciones detalladas para el uso de la potente funcionalidad de la HP Prime.
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. El documento introduce los conceptos básicos de números reales, funciones elementales, números complejos y funciones continuas. Explica temas como los axiomas de los números reales, funciones polinómicas, trigonométricas y exponenciales, operaciones con números complejos, y las propiedades de continuidad y límites funcionales. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos y ejercicios para cada uno
6.1 Otro repaso al movimiento recti lineo
6.2 Otro repaso al area
6.3 Volumenes de s6lidos: metoda de las rebanadas
6.4 Vo lumenes de s6lidos: metoda de los cascarones
6.5 Longitud de una gratica
6.6 Area de una superficie de revoluci6n
6.7 Valor promedio de una funci6n
6.8 Trabajo
6.9 Presi6n y fuerza del fluido
6.10 Centros de masa y centroides
Revisi6n del capitu lo 6
321
El documento promueve un blog llamado "Profesor10demates" que ofrece recursos gratuitos como PDF para ayudar a aprobar matemáticas, física y química. El blog incluye ejercicios para aprender las reglas de derivación, con 13 secciones que cubren temas como polinomios, logaritmos, trigonométricas y propiedades. Los usuarios pueden acceder a las soluciones haciendo clic en cada derivada.
Este documento presenta un libro de texto sobre precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica conceptos básicos de conjuntos y números reales, álgebra elemental, funciones polinomiales, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida. El libro fue escrito por profesores de matemáticas de la UAM-IZTAPALAPA para cubrir el material necesario para los estudiantes de biociencias de su institución de una manera
Cuando practicas un deporte y quieres llegar a destacar en él, entrenas constantemente
para llegar a ser el mejor. Por ejemplo, para jugar bien al fútbol, es importante saber recibir el
balón, dar pases correctamente y anotar goles.
Con las matemáticas ocurre algo muy similar: para poder resolver problemas, algo que te
puede ayudar de manera significativa es seguir el proceso de matematización, que consiste
de cinco pasos sencillos:
1. Identificar un problema de tu entorno que pueda ser tratado como un problema
matemático, desde situaciones sencillas, como por ejemplo, medir un objeto, ver
cuánto cabe en él, hasta saber calcular el precio de un producto si se aplica un
porcentaje de descuento.
2. Identificar el conocimiento matemático necesario para resolver el problema,
comenzando por leer bien el problema para comprender de qué o de quién se habla y
saber qué operaciones necesitas hacer para resolverlo.
3. Formular un modelo matemático que represente el problema, que pueden ser
dibujos, barras, gráficas, fórmulas, etc., en donde se ilustre la información obtenida del
problema.
4. Resolver el problema utilizando fórmulas, procedimientos o métodos que ya
conoces y que te pueden ayudar a dar solución, planteando varias estrategias
diferentes para resolverlo.
5. Interpretar la solución del problema en tu vida cotidiana escribiendo la respuesta
siempre como una oración completa donde expreses el resultado obtenido, para que
cualquier persona que lo vea lo pueda entender claramente.
Ajuste y reparación de motores a gasolinaRaul Ibañez
El documento describe un libro sobre el ajuste y reparación de motores a gasolina para bachilleratos y escuelas tecnológicas. El libro incluye información sobre los mecanismos del motor como el pistón-biela y leva-válvula, así como elementos de los mecanismos, mecanismos complejos, ensambles y pasos para la reparación del motor.
Este documento resume un libro de salsas mexicanas. Explica que las salsas son una parte fundamental de la cultura culinaria y religiosa de México desde tiempos antiguos. Describe la variedad de chiles usados en las salsas y cómo reflejan la identidad de diferentes regiones de México. Resalta que las salsas capturan la esencia de México a través de los ingredientes picantes y verduras que reflejan la bravura del pueblo mexicano.
Este manual describe el procedimiento para operar una estación total. Explica que primero se debe seleccionar y marcar un punto de control topográfico, luego montar e instalar el instrumento en el trípode y nivelarlo. Detalla las partes de la estación total y sus accesorios, y guía al usuario paso a paso en cómo realizar un levantamiento topográfico, incluyendo la orientación, medición de puntos y cálculo de coordenadas.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. Resolutores de Ecuaciones Diferenciales
Mathcad tiene una variedad de funciones para resolver numéricamente
ecuaciones diferenciales parciales:
Resolutor de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
odesolve(x,b,step)
rkfixed(y,x1,x2,npoints,D)
Sistemas Alisados
Bulstoer(y,x1,x2,npoints,D)
Sistemas Stiff
Stiffb(y,x1,x2,npoints,D,J)
Stiffr(y,x1,x2,npoints,D,J)
Sistemas lentamente variables
Rkadapt(y,x1,x2,npoints,D)
Encontrar el ultimo punto sobre el intervalo de integración
bulstoer(y,x1,x2,acc,D,kmax,s)
rkadapt(y,x1,x2,acc,D,kmax,s)
stiffb(y,x1,x2,acc,D,J,kmax,s)
stiffr(y,x1,x2,acc,D,J,kmax,s)
Resolver problemas de valores límites dos-puntos
bvalfit(v1,v2,x1,x2,xf,D,load1,load2,score)
sbval(v,x1,x2,D,load,score)
Resolver Ecuaciones Diferenciales a las derivadas parciales
relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac)
multigrid(M,ncycle)
Resolución de una sola ecuación diferencial ordinaria
odesolve(x,b,[step]) Retorna una función de x la cual es una solución a la
ecuación diferencial ordinaria (ODE), sujeta a a los constreñiminetos de
2. valor inicial o bordes provista en el solve block. La ODE debe ser lineal en
sus derivadas más altas y el número de condiciones debe ser igual al orden
de la ODE.
.
Argumentos:
x es la variable de integración. x debe ser real.
b es el punto terminal del intervalo de integración. b debe ser real.
step (opcional) es el número de pasos usados internamente cuando se
calcula la solución.
Uso de la función odesolve:
Pasos para usar la función odesolve para resolver una ecuación diferencial
ordinaria:
• Tipee la palabra Given para arrancar el
solve block.
• Por debajo del Given, tipee la ecuación
diferencial y sus constrñimientos usando
boolean operators.
• Tippee la función odesolve con la variable
de integración, x, y el punto terminal b.
Notes:
• La ecuación diferencial puede ser escita usando los operadores
derivada tales como d/dx y d2
/dx2
o usando notación primada similar
a y(x) e y'(x). (La combinación de teclas para el character prima es
Ctrl+F7.)
• Los constreñimientos estarán en la forma de y(a)=b o y'(a)=b.
Mathcad no aceptará constrñimientos más complicados tales como
y'(a)+y(a)=b.
• El punto terminal b debe ser más grande que el valor inicial.
• Por default, odesolve usa un runge-kutta de paso fijo de resolución.
Para usar un método adaptivo, cliquee sobre odesolve con el botón
derecho del mouse y eleija Adaptive desde el menú pop-up.
• Para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales o para resolver
una que no es lineal en el término de derivada más alta, use rkfixed.
Ejemplo:
3. Los ejemplos de abajo demuestran cómo usar la función odesolve para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias:
Given
100 y'' x( )⋅ 10 y' x( )⋅+ 101 y x( )⋅+ 50 cos
1
4
x⋅
⋅
Given
100 y'' x( )⋅ 10 y' x( )⋅+ 101 y x( )⋅+ 50 cos
1
4
x⋅
⋅
y 0( ) 0 y' 0( ) 1
y Odesolve x 150,( ):=
0 2 4 6 8 10
1−
0
1
2
1.465
0.698−
y x( )
100 x
Given
4
2
t
f t( )
d
d
2
⋅ f t( )+ t f 0( ) 4 f 5( ) 13.5
f Odesolve t 5,( ):=
0 1 2 3 4 5 6
10
20
30
f t( )
t
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Utilización de Matlab para resolución de Ecuaciones Diferenciales
DSOLVE Solución simbólica de ecuaciones diferenciales ordnarias
DSOLVE('eqn1','eqn2', ...) acepta ecuaciones simbólicas representando
ecuaciones diferenciales ordinarias y condiciones iniciales. Varias ecuaciones o
4. condiciones iniciales pueden ser agrupadas juntas, separadas por comas, en
un único argumento de entrada.
Por omisión, la variable independiente es ' t '. La variable independente puede
ser cambiada de 't' a alguna otra variable simbólica incluyendo esa variable
como el último argumento.
La letra 'D' denota derivada con respecto a la variable independiente, en este
caso usualmente d/dt. Una 'D' seguida por un dígito denota derivación
repetida; por ejemplo, D2 es d^2/dt^2. Cualesquiera caracteres siguiendo
estos operadores de derivación son tomados como variables dependientes; por
ejemplo, D3y denota al tercera derivada de y(t). Note que los nombes de las
variables simbólicas no deberán contener la letra 'D'.
Las condiciones iniciales son especificadas por ecuaciones tales como 'y(a)=b'
o 'Dy(a) = b' donde y es una de las variables dependientes y a y b son
constantes. Si el número de condiciones iniciales es menor que el número de
variables dependientes, las soluciones resultantes obtendrán constantes
arbitrarias, C1, C2, etc.
Son posibles tres diferentes tipos de salidas.
• Para una ecuación y una salida, es retornada la solución resultante, con
soluciones múltiples para una ecuación no lineal en un vector simbólico.
• Para varias ecuaciones e igual número de salidas, los resultados son
ordenados en orden lexicográfico y asignados a las salidas.
• Para varias ecuaciones y una única salida, se retorna una estructura
conteniendo las soluciones.
Si no se encuentra ninguna solución closed-form (explícita) , se intenta una
solución implícita. Cuando se retorna una solución implícita, se da una
advertencia.
Si no se puede calcular una solución explícita o implícita, entonces se da una
advertencia y se retorna el sym vacío. En algunos casos involucrando
ecuaciones no-lineales, la salida será una ecuación diferencial de más bajo
orden equivalente o una integral.
Ejemplos:
dsolve('Dx = -a*x') retorna
ans = exp(-a*t)*C1
x = dsolve('Dx = -a*x','x(0) = 1','s') retorna
x = exp(-a*s)
y = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','y(0) = 0') retorna
y =
[ sin(t)]
[ -sin(t)]
S = dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0) = 1','g(0) = 2')
retorna una estructura S con campos
S.f = exp(t)*cos(t)+2*exp(t)*sin(t)
5. S.g = -exp(t)*sin(t)+2*exp(t)*cos(t)
Y = dsolve('Dy = y^2*(1-y)')
Advertencia: No puede ser encontrada solución explícita; se retorna la
solución implícita.
Y =
t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0
dsolve('Df = f + sin(t)', 'f(pi/2) = 0')
dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0')
S = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x', 'x(0)=0', 'y(0)=1')
S = dsolve('Du=v, Dv=w, Dw=-u','u(0)=0, v(0)=0, w(0)=1')
w = dsolve('D3w = -w','w(0)=1, Dw(0)=0, D2w(0)=0')
y = dsolve('D2y = sin(y)'); pretty(y)
Algunos comandos, tales como ode45 (un resolutor de ecuaciones diferenciales en
forma numérica), requiere que su primer argumento sea una funcción — para ser
preciso o bien una función inline, como en
ode45(f, [0 2], 1).
o una function handle, esto es, el nombre de una función built-in o una función M-
file precedida por el símbolo especial @, como en
ode45(@func, [0 2], 1)).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
El objetivo de este laboratorio es aprender técnicas para la resolución numérica de
problemas de valores iniciales (P.V.I.) para ecuaciones diferenciales ordinarias
(E.D.O.) y sistemas de E.D.O.
Matlab tiene varios comandos para la resolución numérica de P.V.I. para E.D.O.:
Resolutores de ecuaciones diferenciales.
Resolutores de problemas con valores iniciales para ODEs. (Si no tiene seguridad
acerca del stiffness, intente primero ODE45, luego ODE15S.)
[En matemática, una ecuación stiff es una ecuación diferencial en los que determinados
métodos numéricos para resolver la ecuación son numéricamente inestables, a menos
que el tamaño de paso sea tomado extremadamente pequeño. Ha resultado difícil
formular una definición precisa del stiff, pero la idea principal es que la ecuación
incluye algunos términos que pueden conducir a una variación rápida en la solución.]
ode45 – Resuelve ED non-stiff, por el medium order method.
ode23 - Resuelve ED non-stiff, por el low order method.
ode113 - Resuelve ED non-stiff,, por el variable order method.
ode23t - Resuelve ED moderadamente non-stiff, y DAEs Index 1, trapezoidal rule.
ode15s - Resuelve ED stiff y DAEs Index 1, variable order method.
ode23s - Resuelve ED stiff, low order method.
ode23tb - Resuelve ED stiff, low order method.
Como se ve en esta lista, hay métodos para resolver E.D.O. stiff y no stiff. Además hay
métodos de orden bajo, medio, alto y variable.
Todos ellos tienen una sintaxis semejante. Por ejemplo, para resolver el P.V.I.
6. en el intervalo [to, tf ] mediante el comando ode45 en su opción más sencilla, debe
ejecutarse:
[t,y]=ode45(’f’,[to tf],yo);
donde:
• f es el nombre de la función f(t, y) (típicamente definida mediante un programa
function en un archivo f.m);
• to y tf son los extremos del intervalo donde se desea conocer la solución;
• yo es el valor de la solución en to (es decir el valor de la condición inicial y(to) = yo);
• t devuelve los valores de la variable independiente t donde el método calcula el valor
de la solución;
• y devuelve los valores de la solución en cada uno de los puntos t.
Estos comandos no requieren como dato un paso de integración h pues todos ellos
determinan de manera automática en cada paso k, el tamaño del paso de integración
hk necesario para mantener los errores por debajo de una tolerancia determinada. Los
valores de t que entrega corresponden a los puntos
tk = tk−1 + hk, k = 1, 2, . . . , en los que el comando necesitó calcular el valor de y(tk).
Si se desea conocer la solución para ciertos valores de t, puede
alternativamente ejecutarse:
[t,y]=ode45(’f’,tspan,yo);
donde tspan es el vector de valores donde se desea conocer la solución. Por
ejemplo, tspan=0:0.1:1.
En ese caso, la salida t coincide con tspan e y contiene los valores de la
solución en esos puntos.
La tolerancia predeterminada de estos métodos es 10E−3, para el error
relativo, y 10E−6, para el error absoluto. Si se desea calcular la solución con
otras tolerancias, deben prefijarse las opciones elegidas mediante el comando
odeset. Además, en la ejecución del comando para resolver la E.D.O., debe
agregarse el parámetro adicional de opciones. La sintaxis para realizar esto es,
por ejemplo:
options=odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1.e-8);
[t,y]=ode45(’f’,[to tf],yo,options);
Si se ejecuta options=odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1.e-8) sin el “;” puede verse
que hay otras opciones que pueden prefijarse, además de las tolerancias de los
errores.
Por ejemplo, si se desea resolver el P.V.I.
en el intervalo [0, 1.5], mediante el comando ode45 y visualizar la solución
obtenida, debe crearse un fichero f.m como sigue:
7. function z=f(t,y)
z=y;
y ejecutarse:
[t,y]=ode45(’f’,[0 1.5],1);
plot(t,y,t,exp(t),'o')
Así se obtiene la siguiente gráfica:
El siguiente ejemplo resuelve la misma ecuación en los puntos t=0:0.1:1.5, con
error absoluto menor a 10−E6 y calcula los errores cometidos restando los
valores calculados a los de la solución verdadera, que en este caso es y(t) =
exp(t):
options=odeset('AbsTol',1.e-6);
tspan=0:.1:1.5;
[t,y]=ode45('f',tspan,1,options);
error=exp(t)-y
error =
1.0e-006 *
0
-0.0003
-0.0248
-0.0448
-0.0076
-0.0415
-0.0694
-0.0200
-0.0669
-0.1056
-0.0402
-0.1048
-0.1586
-0.0721
-0.1612
8. -0.0989
La salida que se presenta indica que los errores son efectivamente menores en
valor absoluto a 10E−6.
La resolución de P.V.I. para sistemas de E.D.O. se realiza mediante los
mismos comandos. En tal caso, f(t,y) debe ser una función a valores vectoriales
(es decir un vector columna de funciones) e y un vector columna de variables
de la misma dimensión. Además, la condición inicial yo también debe ser un
vector columna de la misma dimensión.
Por ejemplo, consideremos el P.V.I.
cuya solución exacta es:
Por lo tanto los puntos (x(t), y(t)) solución de este sistema de E.D.O, describen
la circunferencia unitaria.
Este sistema escrito vectorialmente resulta:
Para resolverlo debe crearse un fichero F.m como sigue:
function Z=F(t,Y)
Z=[Y(2);-Y(1)];
Los siguientes comandos resuelven este P.V.I. en el intervalo [0, 2] y grafican
la curva (x(t), y(t)), para 0 < t< 2, que se obtiene:
[t,Y]=ode45('f',[0 2*pi],[1;0]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
Así se obtiene la siguiente gráfica:
9. Supongamos que deseamos resolver y plotear la solución de la siguiente
ecuación diferencial de segundo orden
eqn2='D2y+8*Dy+2*y=cos(x)';
inits2 = 'y(0)=0, Dy(0)=1';
y=dsolve(eqn2,inits2,'x')
y =
1/65*cos(x)+8/65*sin(x)+(-1/130+53/1820*14ˆ(1/2))*exp((-4+14ˆ(1/2))*x)
-1/1820*(53+14ˆ(1/2))*14ˆ(1/2)*exp(-(4+14ˆ(1/2))*x)
x=0:0.1:1;
z=eval(vectorize(y));
plot(x,z)
Given
100 y'' x( )⋅ 10 y' x( )⋅+ 101 y x( )⋅+ 50 cos
1
4
x⋅
⋅
10. Given
100 y'' x( )⋅ 10 y' x( )⋅+ 101 y x( )⋅+ 50 cos
1
4
x⋅
⋅
y 0( ) 0 y' 0( ) 1
y Odesolve x 150,( ):=
0 2 4 6 8 10
1−
0
1
2
1.465
0.698−
y x( )
100 x
Resolver con Matlab:
eqn2='100*D2y+10*Dy+101*y=50*cos(0.25*x)';
inits2 = 'y(0)=0, Dy(0)=1';
y=dsolve(eqn2,inits2,'x')
x=0:0.1:10;
z=eval(vectorize(y));
plot(x,z)
Resolución de Sistemas de ED con Matlab
Supóngase que deseamos resolver y graficar las soluciones del sistema de tres
ED ordinarias
11. Primero, para encontrar una solución general, procedemos como en el caso de
una sóla ED, excepto que cada ecuación es abrazada por su par de comillas
(simples):
[x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’,’Dz=4*x-4*y+5*z’)
x =
-C1*exp(3*t)-C2*exp(t)-2*C3*exp(2*t)
y =
C1*exp(3*t)+C2*exp(t)+C3*exp(2*t)
z =
4*C1*exp(3*t)+2*C2*exp(t)+4*C3*exp(2*t)
Tenga en cuenta que ya no se ha especificado ninguna variable independiente,
MATLAB utiliza por defecto t.. Para resolver un problema de valores iniciales,
simplemente se define un conjunto de valores iniciales y se añaden al final del
comando dsolve (). Supongamos que tenemos x (0) = 1, y (0) = 2, y z (0) = 3.
Luego:
inits=’x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3’;
[x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’,’Dz=4*x-4*y+5*z’,inits)
x =
-5/2*exp(3*t)-5/2*exp(t)+6*exp(2*t)
y =
5/2*exp(3*t)+5/2*exp(t)-3*exp(2*t)
z =
10*exp(3*t)+5*exp(t)-12*exp(2*t)
Finalmente, graficando esta solución
t=linspace(0,.5,25);
xx=eval(vectorize(x));
yy=eval(vectorize(y));
zz=eval(vectorize(z));
plot(t, xx, t, yy, t, zz)
12. Búsqueda de soluciones numéricas
MATLAB tiene una serie de herramientas para resolver numéricamente las
ecuaciones diferenciales ordinarias. Nos centraremos en los dos principales, el
incorporado en las funciones ode23 y ode45, que implementan versiones
de Runge-Kutta 2do/3er-orden y 4to/5to-orden, respectivamente.
Ejemplo. Aproximar numéricamente la solución de el ED de primer orden
sobre el intervalo x [0, .5].
Para cualquier ED en la forma y′ = f(x, y), comenzamos definiendo la función
f(x, y). Para ecuaciones únicas, podemos definir f(x, y) como una función inline.
Aquí,
f=inline('x*y^2+y')
f =
Inline function:
f(x,y) = x*yˆ2+y
El uso básico para el resolutor ode45 de Matlab es
ode45(function,domain,initial condition).
Esto es, usamos
[x,y]=ode45(f,[0 .5],1)
y MATLAB retorna dos vectores columna, el primero con valores de x y el
segundo con valores de y. Ya que x e y son vectores con los correspondientes
componentes, podemos graficar los valores con
plot(x,y)
13. Elección de la partición.
En la aproximación de esta solución, el algoritmo ode45 ha seleccionado una
partición determinada del intervalo [0, 0.5], y MATLAB ha devuelto un valor de
y en cada punto de esta partición. A menudo es el caso en la práctica en que
nos gustaría especificar la partición de valores en los que MATLAB devuelve
una aproximación. Por ejemplo, sólo puede ser que desee para aproximar
y(0.1), y(0,2), ..., y(0,5). Podemos especificar esto al introducir el vector de
valores [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5], como el dominio en el ode45. Es decir, que
utilizamos
xvalues=0:.1:.5;
[x,y]=ode45(f,xvalues,1)
x =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
y =
1.0000
1.1111
1.2500
1.4286
1.6667
2.0000
Opciones. Hay varias opciones disponibles para el resolutor ode45, dando al
usuario un control limitado sobre el algoritmo. Dos opciones importantes son la
tolerancia relativa y absoluta, respectivamente RelTol y AbsTol. En cada paso
del algoritmo ode45, un error se aproxima a ese paso. Si yk es la aproximación
de y(xk) en el paso k, y ek es el error aproximado en este paso, a continuación,
MATLAB elige su partición para asegurar
14. ek ≤ max (yk * RelTol , AbsTol),
donde los valores por defecto son RelTol = 0,001 y AbsTol = 0.000001.
Como un ejemplo de cuándo puede ser que desee cambiar estos valores,
observamos que si yk llega a ser grande, entonces al error ek se le permitirá
crecer bastante. En este caso, aumentar el valor de RelTol. Para la ecuación
y' = xy2
+ y, con y (0) = 1, los valores de y llegan a ser muy grandes cuando x
se acerca a 1. De hecho, con las tolerancias de error por defecto, nos
encontramos con que el comando
[x, y] = ode45 (f, [0,1], 1);
conduce a un mensaje de error, causado por el hecho de que los valores de y
son cada vez más grandes a medida que x se acerca a 1. (Note en la parte
superior del vector de la columna para y que se multiplica por 1014
.) Con el
fin de solucionar este problema, seleccione un valor menor para RelTol.
options=odeset ('RelTol', 1e-10);
[x, y] = ode45 (f, [0,1], 1,options);
max (y)
ans =
2.425060345544448e 07
Además de emplear el comando option, se ha calculado el valor máximo de
y(x) para mostrar que o mostrar que sí es bastante grande, aunque no tan
grandes como se sugiere en los últimos cálculos.
Ecuaciones de primer orden con M-files
Alternativamente, se puede resolver la misma ODE definiendo primero a f(x, y)
como un M-file firstode.m.
function yprime = firstode(x,y);
% FIRSTODE: Computes yprime = x*yˆ2+y
yprime = x*yˆ2 + y;
En este caso, sólo requerimos un cambio en el commando ode45: debemos
usar un puntero @ para indicar el M-file. Esto es, usamos los siguientes
comandos.
xspan = [0,.5];
y0 = 1;
[x,y]=ode23(@firstode,xspan,y0);
plot(x,y)
15. Sistemas de EDs
Resolver un sistema de EDs en MATLAB es muy similar a resolver una única
ecuación, aunque un sistema de EDs no puede ser definido como una función
inline debemos definirlo como un M-file.
Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones de Lorenz
[Las ecuaciones de Lorenz tienen algunas propiedades de las ecuaciones en
derivados atmosféricos. Las soluciones de las ecuaciones de Lorenz han
servido como ejemplo de comportamiento caótico.]
Donde a los efectos de este ejemplo, vamos a tomar σ = 10, β = 8 / 3, y ρ = 28,
así como x (0) = - 8, y (0) = 8, y, z (0) = 27. El M-file que contiene las
ecuaciones de Lorenz aparece a continuación.
function xprime = lorenz1(t,x);
%LORENZ: Computes the derivatives involved in solving the
%Lorenz equations.
sig=10;
beta=8/3;
rho=28;
xprime=[-sig*x(1) + sig*x(2); rho*x(1) - x(2) - x(1)*x(3); -beta*x(3) + x(1)*x(2)];
Observe que x se almacena como x(1), y como x(2), y z como x(3). Además,
xprime es un vector columna, como se desprende de la coma después de la
primera aparición de x(2). Si en la ventana de comandos, escribimos
16. x0=[-8 8 27];
tspan=[0,20];
[t,x]=ode45(@lorenz1,tspan,x0);
Aunque no se dan aquí, la salida de este último comando consiste en una
columna de las tiempos seguido por una matriz con tres columnas, la primera
de las cuales se corresponde con los valores de x en los tiempos asociados, y
lo mismo para la segunda y tercera columna para y y z. La matriz se ha
denotado x en la declaración llamante ode45, y en general cualquier
coordenada de la matriz se puede especificar como x(m,n), donde m denota la
fila y n denota la columna.
En lo que se estará más interesado es en referencia a las columnas de x, las
cuales se corresponden con valores de los componentes del sistema. En este
sentido, podemos denotar todas las filas o todas las columnas por un colon (:).
Por ejemplo, x(:,1) se refiere a todas las filas de la primera columna de la matriz
x, es decir, se refiere a todos los valores de nuestro componente original x. Con
esta información, podemos fácilmente trazar el atractor extraño de Lorenz, que
es un gráfico de z en función de x:
plot(x(:,1),x(:,3))
Por supuesto, también podemos trazar cada componente de la solución en
función de t, y una forma útil de hacer esto es apilar los resultados.
Podemos crear la siguiente figura con:
subplot(3,1,1)
plot(t,x(:,1))
subplot(3,1,2)
plot(t,x(:,2))
subplot(3,1,3)
plot(t,x(:,3))
17. Pasando parámetros
Al analizar el sistema de ecuaciones diferenciales, a menudo se quiere
experimentar con diferentes valores de los parámetros. Por ejemplo, en el
estudio de las ecuaciones de Lorenz se podría considerar el comportamiento
en función de los valores de σ , β y ρ. Por supuesto, una forma de cambiar
esto es manualmente volviendo a abrir el M-file lorenz1.m cada vez que se
quiere probar con nuevos valores, pero no sólo es una forma lenta de hacerlo,
sino que es difícil de manejar para automatizar. Lo que podemos hacer en
cambio es pasar valores de los parámetros directamente a nuestro M-file a
través de la instrucción de llamada ode45. Para ver cómo funciona esto, lo
primero es alterar lorenz1.m en lorenz2.m, el último de los cuales acepta un
vector de parámetros que denotamos con p.
funtion XPRIME = lorenz2 (t, x, p);
% LORENZ: Calcula los derivados necesarios para resolver el
% ecuaciones de Lorenz.
sig = p (1), beta = p (2); rho = p (3);
XPRIME = * [-señal x (1) + * señal x (2); * rho x (1) - x (2) - x (1) * x (3)-beta * x
(3) + x (1) * x (2)];
Ahora puede enviar valores de los parámetros con ode45.
> p> = [10 08/03 28];
>> [t, x] = ode45 (@ lorenz1, tspan, x0, [], p);
Podemos enviar ahora los valores de parámetros con ode45.
p=[10 8/3 28];
[t,x]=ode45(@lorenz2,tspan,x0,[],p);
Ecuaciones de Segundo Orden
El primer paso en resolver una ED ordinaria de segundo orden (o más) en
MATLAB es escribir la ecuación como un sistema de primer orden. Como
ejemplo se retomará uno anterior. Tomando y1(x) = y(x) e y2(x) = y′(x),
tenemos el sistema
18. Método visto arriba: Codificado en Matlab (usando dsolve, solución simbólica):
eqn2 = 'D2y + 8*Dy + 2*y = cos(x)';
inits2 = 'y(0)=0, Dy(0)=1';
y=dsolve(eqn2,inits2,'x')
y =
exp((-4+14^(1/2))*x)*(53/1820*14^(1/2)-1/130)+exp(-(4+14^(1/2))*x)*(-
53/1820*14^(1/2)-1/130)+1/65*cos(x)+8/65*sin(x)
x=0:0.01:1;
z = eval(vectorize(y));
plot(x,z)
Método sistema de EDs (usando ode45, solución numérica)
Primero, se construye el M-file basado en:
function xprime = ee(x,y);
%
%
xprime=[y(2);-8*y(2)-2*y(1)+cos(x)];
Se ejecuta:
19. x0=[0 1]; % condiciones iniciales
tspan=[0,1]; % intervalo
[x,y]=ode45(@ee,tspan,x0);
plot(x,y(:,1))
Transformadas de Laplace
Una de las más útiles transformadas en matemática es la transformada de
Laplace. MATLAB tiene rutinas built-in para calcular la Transformada de
Laplace como su inversa. Por ejemplo, para computar la transformada de
f(t)=t2
, simplemente tipee
syms t;
laplace(t^2)
ans =
2/s^3
Para invertir, digamos, F(s) = 1/(1+s), tipee
syms s;
ilaplace(1/(1+s))
ans =
exp(-t)
Problemas de contorno
Por diversas razones de mérito discutible mayoría de los cursos de introducción
a ecuaciones diferenciales ordinarias se centran principalmente en problemas
de valores iniciales (IVP). Otra clase de EDs que surgen a menudo en las
aplicaciones son los problemas de contorno (BVPs). Consideremos, por
ejemplo, la ecuación diferencial
y''- 3y '+ 2y = 0 y (0) = 0 y (1) = 10,
20. donde nuestras condiciones y(0) = 0 e y(1) = 10 se especifican en el límite del
intervalo de interés x ε [0, 1]. (Aunque nuestra solución normalmente se
extiende más allá de este intervalo, la mayoría de los escenarios comunes en
los problemas de valores en la frontera es el caso en el que sólo estamos
interesados en los valores de la variable independiente entre los puntos
extremos especificados.)
El primer paso en la solución de este tipo de ecuación es escribirlo como un
sistema de primer orden con y1 = y e y2 = y', por lo cual tenemos
Grabamos este sistema en el M-file bvpexample.m.
function yprime = bvpexample(t,y)
%BVPEXAMPLE: Differential equation for boundary value
%problem example.
yprime=[y(2); -2*y(1)+3*y(2)];
Luego, escribimos las condiciones de contorno como el M-file bc.m, lo cual
registra los residuos de contorno.
function res=bc(y0,y1)
%BC: Evaluates the residue of the boundary condition
res=[y0(1);y1(1)-10];
Por residuos, nos referimos a la parte izquierda de la condición de frontera, una
vez que ha sido puesta en 0.
En este caso, la segunda condición de contorno es y(1) = 10, de modo que su
residuo es y(1) - 10, que se registra en el segundo componente del vector que
devuelve bc.m. Las variables y0 e y1 representan la solución en x=0 y en x=1,
respectivamente, mientras que el 1 en el paréntesis indica el primer
componente del vector. En el caso de que la segunda condición de contorno
era y '(1)=10, reemplazaría a y1(1) - 10 con y1(2) - 10.
Ahora estamos en condiciones de comenzar a resolver el problema de
contorno. En el siguiente código, en primer lugar se especifica una cuadrícula
de valores de x para resolver en una estimación inicial del vector que se daría
para un problema de valor inicial [y (0), y '(0)]. (Por supuesto, y(0) conocido,
pero y'(0) debe ser una conjetura. En términos generales, MATLAB va a
resolver una familia de problemas de valores iniciales, buscando aquel para el
cual las condiciones de contorno se cumplen.) Resolvemos el problema del
valor límite con el resolutor built-in de MATLAB bvp4c.
sol=bvpinit(linspace(0,1,25),[0 1]);
sol=bvp4c(@bvpexample,@bc,sol);
sol.x
ans =
Columns 1 through 9
0 0.0417 0.0833 0.1250 0.1667 0.2083 0.2500 0.2917 0.3333
Columns 10 through 18
0.3750 0.4167 0.4583 0.5000 0.5417 0.5833 0.6250 0.6667 0.7083
Columns 19 through 25
21. 0.7500 0.7917 0.8333 0.8750 0.9167 0.9583 1.0000
sol.y
ans =
Columns 1 through 9
0 0.0950 0.2022 0.3230 0.4587 0.6108 0.7808 0.9706 1.1821
2.1410 2.4220 2.7315 3.0721 3.4467 3.8584 4.3106 4.8072 5.3521
Columns 10 through 18
1.4173 1.6787 1.9686 2.2899 2.6455 3.0386 3.4728 3.9521 4.4805
5.9497 6.6050 7.3230 8.1096 8.9710 9.9138 10.9455 12.0742 13.3084
Columns 19 through 25
5.0627 5.7037 6.4090 7.1845 8.0367 8.9726 9.9999
14.6578 16.1327 17.7443 19.5049 21.4277 23.5274 25.8196
Observamos que en este caso, MATLAB devuelve la solución como una
estructura cuyo primer componente de la estructura sol.x simplemente contiene
sólo los valores de x especificados. El segundo es sol.y, que es una matriz que
contiene como primera fila los valores de y(x) en los puntos de la grilla x
especificada, y como segunda fila los valores correspondientes de y '(x).
Métodos Numéricos
A pesar de que se pueden resolver EDOs en MATLAB sin ningún conocimiento
de los métodos numéricos que emplea, a menudo es útil para comprender los
principios básicos subyacentes. En esta sección se utilizará el teorema de
Taylor para obtener métodos para aproximar la solución de una ecuación
diferencial.
Método de Euler
Consideremos la ecuación diferencial general de primer orden
y supongamos que queremos resolver esta ecuación en el intervalo de valores
de x [x0, xn]. Nuestro objetivo aspira a aproximar el valor de la solución y(x)
en cada uno de los valores de x en una partición P = [x0, x1, x2, ..., xn].
Puesto que y(x0) está dado, el primer valor que necesitamos estimar es
y(x1). Por el Teorema de Taylor, podemos escribir
donde c ε (x0, x0). Observando desde nuestra ecuación que y′(x0) = f(x0, y(x0)),
tenemos
Si nuestra partición P tiene pequeños subintervalos, entonces x1 − x0 será
pequeño y se puede considerar la cantidad pequeña
como un término error. Esto es, tenemos
22. (6.2)
Ahora podemos calcular y(x2) de una manera similar usando el teorema de
Taylor para escribir
Una vez más, tenemos desde nuestra ecuación que y'(x1) = f(x1, y(x1)), y así
Si eliminamos el término
como un error, entonces tenemos
donde el valor y(x1) requerido aquí puede ser aproximado por el valor de (6.2).
Más generalmente, para cualquier k = 1, 2, ..., n - 1 se puede aproximar
y(xk+1) de la relación
donde y(xk) se conocerán a partir del cálculo anterior. Al igual que con los
métodos numéricos de la integración, es habitual en la práctica de tomar la
partición en subintervalos de igual anchura,
(En el estudio de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales, esta
cantidad es a menudo denotada con h) En este caso, tenemos la relación
general
Si decimos que los valores de y0, y1, ..., yn denotan nuestras aproximaciones
para y en los puntos x0, x1, ..., xn (es decir, y0 = y(x0), y1 ≈ y(x1), etc), entonces
podemos aproximar y(x) sobre la partición de P calculando iterativamente
(6.3)
Ejemplo: Utilice el método de Euler (6.3) con n = 10 para resolver la ecuación
diferencial
23. en el intervalo [0, 1]. Llevaremos a cabo las primeras iteraciones en detalle, y a
continuación vamos a escribir un archivo de MATLAB M-file para aplicar el
método en su totalidad. En primer lugar, el valor inicial y(0) = π nos da los
valores x0 = 0 e y0=0. Si nuestra partición se compone de subintervalos de igual
anchura, entonces x1 =∆x = 1/10 = 0.1, y de acuerdo con (6.3)
Ahora tenemos el punto (x1, y1) = (.1,π), y podemos utilizar esto y (6.3) para
calcular
Ahora tenemos (x2, y2) = (0.2, 3.1725), y podemos utilizar esto para calcular
Más generalmente, podemos usar el M-file euler1.m
function [xvalues, yvalues] = euler1(f,x0,xn,y0,n)
%EULER: MATLAB function M-file that solve the
%ODE y’=f, y(x0)=y0 on [x0,y0] using a partition
%with n equally spaced subintervals
dx = (xn-x0)/n;
x(1) = x0;
y(1) = y0;
for k=1:n
x(k+1)=x(k) + dx;
y(k+1)= y(k) + f(x(k),y(k))*dx;
end
xvalues = x';
yvalues = y';
Podemos implementar este archivo con el siguiente código, que crea la figura
6.1.
f=inline('sin(x*y)');
[x,y]=euler1(f,0,1,pi,10);
plot(x,y)
24. Con ∆x=0.01
[x,y]=euler1(f,0,1,pi,100);
plot(x,y)
Resolutores ODE Avanzados
Además de los resolutores ODE ode23 y ode45, ambos basados en el método
de Runge-Kutta, MATLAB tiene otros resolutores adicionales, que aparecen
a continuación junto con las sugerencias para su uso que da el MATLAB-
help.
• Resolutores Multipaso
- ode113. Si se utilizan tolerancias estrictas de error o la resolución de un
archivo ODE computacionalmente intensivo.
25. • Problemas stiff (véase más adelante)
- ode15s. Si ode45 es lento porque el problema es stiff.
- ode23s. Si se está utilizando tolerancias de error crudas para resolver
sistemas stiff y matriz de masa es constante.
- ode23t. Si el problema sólo es moderadamente stiff y necesitas una
solución sin amortiguación numérica.
- ode23tb. Si se utilizan tolerancias de error crudas para resolver sistemas
stiff.
EDs stiffrígido
Con EDs stiff nos referimos a una ED para la cual los errores numéricos crecen
dramáticamente en el tiempo. Por ejemplo, considere la ED ordinaria
y '= -100y + 100 t + 1, y(0) = 1.
Ya que la variable dependiente, y, en la ecuación está multiplicada por 100,
pequeños errores en nuestra aproximación tenderán a magnificarse. En
general, debemos tomar considerablemente pasos más pequeños en
tiempo para resolver EDs stiff, y esto puede alargar dramáticamente el
tiempo de resolución.
A menudo, las soluciones se puede calcular de manera más eficiente
usando uno de los resolutores diseñado para problemas stiff.
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE) en el espacio uni-
dimensional
Para las PDE de valores inicial-borde con tiempo t y una variable espacial x,
MATLAB tiene un resolutor built-in llamado pdepe.
Ecuaciones únicas
Ejemplo. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuación del
calor
MATLAB specifica tal PDE parabólica en la forma
Las formas standard de una ecuación diferencial
26. El paso más importante en “preparación” de una ecuación diferencial para
los resolutores de Mathcad es adquirirla en la forma Standard que
entiendan los resolutotes. El proceso es tomar la ecuación diferencial y
liberarse de cualquier derivada de orden más alto que aparezca, dejando
sólo primeras derivadas. Su ecuación diferencial es entonces un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden.
Por ejemplo, la ecuación diferencial:
2
x
y x( )
d
d
2
3
x
y x( )
d
d
⋅+ 7 y x( )⋅− 4 x⋅
contiene una segunda derivada la cual puede ser escrita como una primera
derivada:
2
x
y x( )
d
d
2
x x
y x( )
d
d
d
d
define dos funciones como:
y0 x( ) y x( ) y1 x( )
x
y0 x( )
d
d
Ahora la ecuación diferencial contiene dos funciones y es esencialmente un
sistema de dos ecuaciones diferenciales.
x
y0 x( )
d
d
y1 x( )
x
y1 x( )
d
d
4 x⋅ 7 y0 x( )⋅+ 3 y1 x( )⋅−
El próximo paso es capturar esta información en una función vector único
valuado D para usar con los resolutores de Ecuación Diferencial de
Mathcad:
DY x y,( )
y1
4 x⋅ 7 y0⋅+ 3 y1⋅−
:=
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) Retorna una matriz en la cual (1) la primera
columna contiene los puntos en los cuales es evaluada la solución y (2) las
27. columnas remanente contiene los valores correspondientes de la solución y
sus primeras n-1 derivadas.
Argumentos:
y debe ser o bien un vector de n valores inicales u un valor inicial
único.
x1, x2 son puntos extremos del intervalo sobre el cual la
solución a las ecuaciones diferenciales será evaluada. Los valores
iniciales en y son los valores en x1.
npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el
cual la solución es aproximada. Esto controla el número de filas
(1 + npoints) en la matriz retornada por rkfixed.
D es una función vector-valued n-element conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidas.
Notas:
• rkfixed usa el método Runge-Kutta method de cuarto orden para
resolver una ecuación diferencial de primer orden.
• Se puede usar rkfixed para resolver una ecuación diferencial así
también como un sistema de ecuaciones diferenciales.
Uso de la función rkfixed
Para sistemas de ecuaciones diferenciales o por una que no es lineal en el
término derivada de más alto orden, use rkfixed.
El ejemplo de abajo muestra cómo usar rkfixed para evaluar la solución de
una ecuación diferencial de segundo orden a puntos igualmente espaciados.
Solve y'' y' 2 y⋅+
y 0( ) 1 y' 0( ) 3
y
1
3
:= <- define las condiciones iniciales
<- primera derivada
D t y,( )
y1
y1− 2 y0⋅+
:=
<- segunda derivada
Z rkfixed y 0, 0.5, 400, D,( ):= <- Evalua solución en 400 puntos entre 0 y 0.5
28. Z
0 1 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 3
1.25·10 -3 1.004 2.999
2.5·10 -3 1.007 2.998
3.75·10 -3 1.011 2.996
5·10 -3 1.015 2.995
6.25·10 -3 1.019 2.994
7.5·10 -3 1.022 2.993
8.75·10 -3 1.026 2.992
0.01 1.03 2.99
0.011 1.034 2.989
0.013 1.037 2.988
0.014 1.041 2.987
0.015 1.045 2.986
0.016 1.049 2.985
0.018 1.052 2.984
0.019 1.056 2.982
=
Solución usando tamaños de pasos adaptivos
Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D)
Retorna una matriz en la cual: (1) la primera columna contiene los puntos
en los cuales es evaluada la solución y (2) las columnas remanente contiene
los valores correspondientes de la solución y sus primeras n-1 derivadas.
Argumentos:
y debe ser o bien un vector de n valores inicales o un escalar.
x1, x2 son puntos extremos del intervalo sobre el cual la solución
a las ecuaciones diferenciales será evaluada. Los valores iniciales
en y son los valores en x1.
npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el
cual la solución es aproximada. Esto controla el número de filas
(1 + npoints) en la matriz retornada por rkfixed.
D es una función vector-valued n-element conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidas.
Notes:
• A diferencia de rkfixed la cual integra en pasos de igual tamaño para
alcanzar una solución, Rkadapt examina cuán rápido una solución
está cambiando y adapta su tamaño de paso acordemente. Rkadapt
usará tamaños de paso no uniformes unternamente cuando resuelve
la ecuación diferencial, pero retornará la solución en puntos
igualmente espaciados.
Sistemas Alisados (Smooth systems)
29. Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D) Retorna una matriz en la cual: (1) la
primera columna contiene los puntos en los cuales es evaluada la solución
y (2) las columnas remanente contiene los valores correspondientes de la
solución y sus primeras n-1 derivadas.
Argumentos:
y debe ser o bien un vector de n valores inicales o un escalar.
x1, x2 son puntos extremos del intervalo sobre el cual la solución
a las ecuaciones diferenciales será evaluada. Los valores iniciales
en y son los valores en x1.
npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el
cual la solución es aproximada. Esto controla el número de filas
(1 + npoints) en la matriz retornada por Bulstoer.
D es una función vector-valued n-element conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidas.
Notas:
• Bulstoer usa el método Bulirsch-Stoer el cual sera ligeramente más
preciso que el método Runge-Kutta usado por rkfixed.
• Use la función Bulstoer en vez de rkfixed cuando sepa que la
solución es alisada (smooth)
Ejemplo: Movimiento del Péndulo Simple
Se analizará mediante la función Bulstoer, también para evaluar una
integral para el período del péndulo.
Considérese un péndulo simple en movimiento en un plano sin resistencia
del aire ni fricción. Sea L la longitud de la varilla soporte, g la aceleración
de la gravedad y el ángulo que forma el alambre y la dirección de la
gravedad. La varilla soporte es rígida y sin masa.
La ecuación diferencial para el ángulo (t) es:
30. L
2
t
θ t( )
d
d
2
⋅ g sin θ t( )( )⋅+ 0 θ 0( ) θ0
Valores de los parámetros de entrada:
L 3 m⋅:= θ0
π
4
:= g 9.807
m
s
2
=
T 6:= Punto derecho extremo
D t X,( )
X1
g
L
− sin X0( )⋅
:=
N 100:= Número de pasos de tiempo
P Bulstoer
θ0
0
0, T, N, D,
:= n 0 1, N..:=
0 1 2 3 4 5 6
theta
derivative of theta
1.384
1.384−
π
4
−
π
4
P
1〈 〉( )n
P
2〈 〉( )n
60 P
0〈 〉
( )n
El periodo del péndulo (tiempo requerido para una oscilación completa) es
una integral elíptica completa sel primer tipo:
x sin
θ 0
2
:=
4
L
g
⋅
0
π
2
φ
1
1 x
2
sin φ( )2
⋅−
⌠
⌡
d⋅ 3.614sec=
Sistemas Stiff
31. Stiffb(y, x1, x2, npoints, D, J)
Stiffr(Y, x1, x2, npoints, D, J)
Cada una de estas funciones retorna una matriz en la cual: (1) la primera
columna contiene los puntos en los cuales es evaluada la solución y (2) las
columnas remanentes contienen los valores correspondientes de la solución
y sus primeras n-1 derivadas.
Argumentos:
y debe ser o bien un vector de n valores inicales o un escalar.
x1, x2 son puntos extremos del intervalo sobre el cual la solución
a las ecuaciones diferenciales será evaluada. Los valores iniciales
en y son los valores en x1.
npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el
cual la solución es aproximada. Esto controla el número de filas
(1 + npoints) en la matriz retornada por by Stiffb or Stiffr.
D es una función vector-valued n-element conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidas.
J es una función que retorna la matriz n por (n+1) cuya primera
columna contiene derivadas y cuyas filas remanentes forman la
matriz Jacobiana para el sistema de ecuaciones diferenciales.
Notes:
• Stiffb usa el método Bulirsch-Stoer para sistemas stiff. Stiffr usa el
método Rosenbrock.
• Use uno de los dos resolutores de ecuación diferencial
específicamente diseñados para sistemas stiff: Stiffb y Stiffr cuando
resuelva un sistema stiff.
Stiff Differential Equations
A pesar de su éxito, los métodos de Runge-Kutta también tienen sus fallas.
Una clase particular de ecuaciones diferenciales problemáticas son aquellas
que exhiben stiffness. No hay una definición universalmente satisfactoria
de stiffness. En la práctica se aprenderá a sospechar que una ODE
(ecuación diferencial ordinaria) es stiff cuando un resolutor ODE falla para
producir una solución eficiente. Las sospechas serán confirmadas si
verdaderamente se obtienen mejores resultados cuando se usa un método
diseñado para problemas stiff, tales como las rutinas de Matlab ode23s u
ode15s.
32. Ejemplo de ODE stiff
Un ejemplo de modelo matemático, más que una aplicación práctica es:
Y' t( ) Y t( )− K Y t( ) e
t−
−( )⋅− K > 1>
Y 0( ) 1 δ+
aquí K es una constante grande, digamos 10 6
y δ es un número dado
tamaño ordinario, digamos δ = 1. La solución se conoce que es:
Y t( ) δ e
K 1+( )− t⋅
⋅ e
t−
+
En esta formula el primer término se desvanece rápidamente a medida que
la ecuación diferencial fuerza la solución sobre la curva e -t
.
Y t( ) δ e
K 1+( )− t⋅
⋅:= t 10
7−
10
7−
10
7−
+, 0.001..:=
0 2 .10
6
4 .10
6
6 .10
6
8 .10
6
0.5
1
0.905
0
Y t( )
10
5−
1 10
7−
×
t
Después esta solución cambia lentamente.
Y t( ) δ e
K 1+( )− t⋅
⋅ e
t−
+:= t 0.01 0.02, 5..:=
0 1 2 3 4 5
0.5
1
0.99
6.738 10
3−
×
Y t( )
50.01 t
33. La región corta de cambio rápido es la capa frontera, la curva de variación
lenta es conocida como la solución estado estacionario. Este
comportamiento es típico de problemas stiff.
Cuando se desea sólo el ultimo punto
Si no se está interesado en ver todos los valores intermedios tomados por
una solución, se puede ahorrar tiempo de procesamiento y reducir consumo
de memoria usando una de las funciones de abajo.
stiffb y stiffr para sistemas stiff.
rkadapt para sistemas lentamente variables.
bulstoer para sistemas alisados (smooth)
A diferencia de sus equivalentes en mayúsculas, no se debe especificar el
número de puntos en el resultado. En su lugar, debe especificar el nivel de
exactitud y permitir a estas funciones generar una solución que tenga el
número de elementos requeridos.
Ejemplo:
para x < 0
Solve y''
y
y−
donde y(-1)=1 e y(1)=2
para x > 0
D x y,( )
y1
x 0<( ) y0⋅ x 0≥( ) y0−( )⋅+
:= xf 0:= <- punto de dictontinuidad
v10 1:= < - valor de intento para y(-1)
v20 1:= < - valor de intento para y(1)
< - y(-1)
load1 x1 v1,( )
1
v10
:=
< - valor de intento para y(-1)
< - y(1)
load2 x2 v2,( )
2
v20
:=
< - valor de intento para y(1)
score xf y,( ) y:= < - indica a Mathcad igualar las dos mitades de la
solución en x=xf
S bvalfit v1 v2, 1−, 1, 0, D, load1, load2, score,( ):=
S 0.092 0.678−( )= < - contiene [ y(-1) y(1) ]
34. Uso de valores intermedios para derivar condiciones iniciales
bvalfit(v1, v2, x1, x2, xf, D, load1, load2, score) Retorna un vector
conteniendo aquellos valores iniciales dejados sin especificar en x1.
Argumentos:
v1 es un vector de intento para valores iniciales dejados sin
especificar en x1. v2 es un vector que contiene intentos para valores
iniciales dejados de especificar en x2.
x1, x2 son puntos terminales del intervalo sobre la cual la solución a
ecuaciones diferenciales serán evaluadas.
xf es un punto entre x1 y x2 en los cuales la trayectorias de las
soluciones comienzan en x1 y aquelllas que comienzan en x2 están
constreñidas a ser igual.
D es una función vector-valuada de n elementos conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidads.
load1 es una function vector-valuada cuyos n elementos
corresponden a los valores de las n funciones incógnitas en x1.
Algunos de estos valores serán constantes especificadas por sus
condiciones iniciales. Si un valor es desconocido se deberá usar el
valor de intento correspondiente desde v1.
load2 es análoga a load1 pero los valores tomados las n funciones
incógnitas en x2.
score es una función vector-valuada de n elementos usada para
especificar cómo se desea que las soluciones igualen a xf.
Usualmente se deseará definir score(xf, y) := y para hacer que las
soluciones para todas las funciones incógnitas coincidan en xf.
Notas:
• bvalfit resuelve un problema de valores límites de dos puntos
“disparando” desde los puntos terminales y equiparando trayectorias
de la solución y sus derivadas en el punto intermedio. Este método se
convierte en especialmente útil cuando la derivada tiene una
discontinuidad en alguna parte del intervalo de integración.
sbval (v1, v2, x1, x2, D, load, score) Retorna un vector conteniendo
aquellos valores iniciales dejados sin especificar en x1.
Argumentos:
35. v1 es un vector de intento para valores iniciales dejados sin
especificar en x1. v2 es un vector que contiene intentos para valores
iniciales dejados de especificar en x2.
x1, x2 son puntos terminales del intervalo sobre la cual la solución a
ecuaciones diferenciales serán evaluadas.
D es una function vector-valuada de n elementos conteniendo las
primeras derivadas de las funciones desconocidads.
load es una función vector-valuada cuyos n elementos corresponden
a los valores de las n funciones incógnitas en x1. Algunos de estos
valores serán constantes especificadas por sus condiciones iniciales.
Si un valor es desconocido se deberá usar el valor de intento
correspondiente desde v1.
score es una function vector-valuada que tiene el mismo número de
que v. Cada elemento es la diferencia entre una condición inicial en
x2, como originalmente se especificó, y el estimado correspondiente
desde la solución. El vector store mide cuán ajustadamente una
solución propuesta se adapta a las condiciones iniciales en x2. un
valor de 0 para cualquier elemento indica una adaptación perfecta.
Notas:
• sbval resuelve un problema de valores límites de dos puntos
“disparando” desde los puntos terminales y equiparando trayectorias
de la solución y sus derivadas en el punto intermedio.
• sbval computa los valores iniciales que la solución debe tener para
ajustar al valor inicial que se especificó. Se deben entonces tomar los
valores iniciales retornados por sbval y resolver el problema de valor
inicial resultante.
• Cuando se conozca la solución en x1 y en x2, y se tengan n valores
conocidos, se deberá usar sbval para evaluar los valores iniciales
perdidos en x1. Una vez que se tienen estos valores iniciales
perdidods, se tendrá un problema con valores iniciales en vez de un
problema de valores límites de dos puntos.
Ecuación de Poisson
relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac) Retorna una matriz cuadrada en la cual: (1)
una locación de elemento en la matriz corresponde a su locación dentro de
la región cuadrada, y (2) su valor Aproxima el valor de la solución en este
punto.
Argumentos:
a, b, c, d, e son matrices cuadradas todas del mismo tamaño
conteniendo los coeficientes de la ecuación diferencial.
36. f es una matriz cuadrada conteniendo el término fuente en cada
punto dentro del cuadrado.
u es una matriz cuadrada conteniendo valores límites junto con los
flancos de la región y los intentos iniciales para la solución dentro de
la región.
rjac es un radio spectral de la iteración Jacobi. Esto controla la
convergencia del algoritmo de relajación. Puede oscilar desde 0 a 1
pero su valor óptimo depende de los detalles del problema.
Notas:
• Esta function usa el método de relajación para converger a la
solución.
• Se deberá usa la función relax si se conoce el valor tomado por la
function desconocida u(x, y) sobre el total de los cuatro lados de una
región cuadrada.
• Si la condición de contorno es cero sobre el total de los cuatro lados
del cuadrado dominio de integración, use en su lugar la función
multigrid.
Uso de la función relax
R 32:= M
3
R
4
⋅
R
4
,
1:=
MR R, 2−:= MR
8
R
2
,
2:=
i 0 32..:= k 0 32..:=
ai k, 1:= b a:= d a:= c a:= e 4− a⋅:=
vi k, 0:= f M−:=
S1 relax a b, c, d, e, f, v, 0.95,( ):=
37. Ecuación de Poisson con condiciones de contorno cero
multigrid(M, ncycle) Retorna una matriz cuadrada en la cual: (1) una
locación de elemento en la matriz corresponde a su locación dentro de la
región cuadrada, y (2) su valor aproxima el valor de la solución en este
punto.
Argumentos:
M es una matriz cuadrada de 1+2^n filas cuyos elementos
corresponden al término fuente en el correspondiente punto en el
dominio cuadrado.
ncycle es el número de ciclos en cada nivel de la iteración multigrid.
Un valor de 2 dará generalmente una Buena aproximación de la
solución.
Notas:
• Si u(x, y) es cero sobre los cuatro lados del cuadrado, use la función
multigrid. Esta function frecuentemente resolverá el problema más
rápido que relax.
Uso de multigrid:
R 32:= MR R, 0:= M
3
R
4
⋅
R
4
,
1:=
MR
8
R
2
,
2:=
MR
4
3 R⋅
4
,
2−:=
S multigrid M 2,( ):=
38. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
MATLAB contiene dos funciones para calcular soluciones numérica de
ecuaciones diferenciales ordinarias; "ode23" y "ode45".
A continuación se describen los argumentos de los comandos MATLAB ODE.
[x,y] = ode23('función',a,b,inicial)
Esta instrucción regresa un conjunto de coordenadas "x" y "y" que representan
a la función y=f(x), los valores se calculan a través de métodos Runge-Kuta de
segundo y tercer orden.
El nombre "función", define una función que representa a una ecuación
diferencial ordinaria, ODE23 proporciona los valores de la ecuación diferencial
y'=g(x,y).
Los valores "a" y "b" especifican los extremos del intervalo en el cual se desea
evaluar a la función y=f(x).
El valor inicial y = f(a) especifica el valor de la función en el extremo izquierdo
del intervalo [a,b].
[x,y] = ode45('función',a,b,inicial)
Esta instrucción regresa un conjunto de coordenadas "x" y "y" que representan
39. a la función y=f(x), los valores se calculan a través de métodos Runge-Kuta de
cuarto y quinto orden.
El nombre "función", define una función que representa a una ecuación
diferencial ordinaria, ODE45 proporciona los valores de la ecuación diferencial
y'=g(x,y).
Los valores "a" y "b" especifican los extremos del intervalo en el cual se desea
evaluar a la función y=f(x).
El valor inicial y = f(a) especifica el valor de la función en el extremo izquierdo
del intervalo [a,b].
Las instrucciones "ODE23" y "ODE45" contienen dos parámetros adicionales.
Se usa un quinto parámetro para especificar una tolerancia relacionada con el
tamaño del paso; las tolerancias por omisión son 0.001 para ODE23 y
0.000001 para ODE45.
Existe un sexto parámetro que sirve para solicitar que la función exhiba
resultados intermedios, es decir, que realice rastreo; el valor por omisión "0"
indica que no se desean rastrear los resultados.
Como ilustración de la función ODE de MATLAB, se presentan los pasos para
calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, las siguientes
instrucciones MATLAB definen las funciones requeridas para evaluar la
ecuación diferencial deseada.
Se graban las siguientes instrucciones con su editor ASCII favorito, en lo
particular yo uso el "editeur", si Ud. desea usarlo también, esta disponible en la
siguiente URL;
http://proton.ucting.udg.mx/shareware/editeur/editeur.zip
function dy = g1(x,y)
%
% g1
% esta función evalúa una ODE
% ecuación diferencial de primer grado
%
dy = 3*x.^2;
El siguiente paso consiste en grabar este archivo como "g1.m", sobre algún
subdirectorio de trabajo valido para el MATLAB, las siguientes instrucciones
resuelven g(x,y) dentro del intervalo [2,4] con condición inicial 0.5 para y=f(2).
% Determinar la Solución de la EDO
%
% dy = 3*x.^2;
%
[t,y] = ode23('g1',[2,4],0.5);
plot(t,y,'o'),...
title('Solución de la Ecuación dy = 3*x.^2'),...
xlabel('Tiempo'),ylabel('y = f(t)'),grid
40. Sobre el subdirectorio de trabajo valido se graba este archivo como "mat1.m" y
se escribe mat1, generándose la siguiente solución gráfica.
41. Mathcad.pdf
Las dos funciones más fáciles de usar, Odesolve y Pdesolve, son usadas
dentro de Solve Blocks. Hay muchas otras funciones que ayudan a relover
sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo Adams, AdamsBDF, BDF,
Bulstoes, bvalfit, Jacob, multigrid, numol, Radau, relax, Rkadapt, rkfixed, sbval,
statespace, Stiffb y Stiffr.
La función Odesolve es usada en un Solve Block para resolver una única
ecuación diferencial (ED) o un sistema de EDs. Retorna la solución como una
función de la variable independiente. Hace esto salvando soluciones en un
número específico de puntos (npoints) igualmente espaciados en el intervalo
de la solución, y luego interpolando entre estos puntos usando la función
lspline. El Solve Block pone el valor inicial o constreñimientos de límites. La
ODE debe ser lineal en su término derivado más alto, y el número de
condiciones iniciales o en bordes debe ser igual al orden (u órdenes) de la(s)
ODE(s). La función tiene la forma Odesolve([vector],x,b,[npoints]). Los
argumentos son como sigue:
• Vector es usado sólo para sistemas de ODEs y es un vector de nombres
de función (con ningún nombre de variable incluido) como ellas
aparecen dentro del Solve Block.
• x es el nombre de la variable de integración.
• b es el punto final del intervalo de la solución. (El punto inicial del
intervalo de la solución es especificado por las condiciones iniciales).
• npoints es opcional y es el número entero de puntos equiespaciados
usados para interpolar la función solución. El valor por default es de
1000. Si npoints es incrementado, luego la solución interpolada es más
exacta. El valor default es usualmente adecuado, pero si se desea
resolver sobre un gran intervalo, se debe poner a npoints a un valor
mayor a 1000. El incremento de npoints lleva ala incremento en el
tiempo de cálculo.
-----
42. dsolve - Symbolic solution of ordinary differential equations
Syntax
dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')
dsolve(...,'IgnoreAnalyticConstraints',value)
Descripción
dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v') resuelve simbólicamente las EDs
ordinarias eq1, eq2,... usando v como la variable independiente. Aquí
cond1,cond2,... especifica condiciones iniciales o en bordes o ambas. También
se usa la siguiente sintaxis: dsolve('eq1, eq2',...,'cond1,cond2',...,'v'). La
variable independiente por default es t.
The letter D denotes differentiation with respect to the independent variable.
The primary default is d/dx. The letter D followed by a digit denotes repeated
differentiation. For example, D2 is d2/dx2. Any character immediately following
a differentiation operator is a dependent variable. For example, D3y denotes the
third derivative of y(x) or y(t).
You can specify initial and boundary conditions by equations like y(a) = b or
Dy(a) = b, where y is a dependent variable and a and b are constants. If the
number of the specified initial conditions is less than the number of dependent
variables, the resulting solutions contain the arbitrary constants C1, C2,....
Ejemplo:
>> dsolve('D2y=-3*y','y(0)=1')
ans =
C1*sin(3^(1/2)*t)+cos(3^(1/2)*t)
You can input each equation or a condition as a separate symbolic equation.
The dsolve command accepts up to 12 input arguments.
dsolve puede producir los siguientes tres tipos de salida:
* Para una ecuación y una salida, dsolve retorna la solución resultante
con soluciones múltiples para una ecuación no-lineal en un vector simbólico.
* Para varias ecuaciones y un número igual de salidas, dsolve ordena los
resultados alfabéticamente y los asigna a las salidas.
* Para varias ecuaciones y una única salida, dsolve retorna una estructura
conteniendo las soluciones.
Si dsolve no puede encontrar una solución closed-form (explícita), intenta
buscar una solución implícita. Cuando dsolve retorna una solución implícita,
indica una advertencia. Si dsolve no puede encontrar una solución ni implícita
43. ni explícita, da una advertencia y retorna el sym vacío. En tal caso, se puede
encontrar una solución numérica, usando las funciones MATLAB ode23 u
ode45.
En algunos casos involucrando ecuaciones no-lineales, la salida es una
ecuación diferencial equivalente de más bajo orden o una integral.
dsolve(...,'IgnoreAnalyticConstraints',value) acepta los siguientes valores:
* value = 'all' aplica simplificaciones puramente algebraicas a las
expresiones sobre ambos lados de las ecuaciones. Estas simplificaciones
pueden no ser generalmente válidas. El valor default de esta opción es all.
* value = 'none' resuleve EDs ordinarias sin suposiciones adicionales. Los
resultados obtenidos con esta opción son correctos para todos los valores de
los argumentos.
Nota: Por default, el solver no garantiza la corrección y completitud de los
resultados. Si no se pone la opción IgnoreAnalyticConstraints a none,siempre
verifique los resultados retornados por el comando dsolve.
Examples
Solving Ordinary Differential Equations Symbolically
dsolve('Dx = -a*x')
ans =
C2/exp(a*t)
Specifying the Dependent Variable
The following differential equation presents f as a dependent variable:
dsolve('Df = f + sin(t)')
ans =
C4*exp(t) - sin(t)/2 - cos(t)/2
Specifying the Independent Variable
dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','s')
ans =
1
-1
cosh(C7 + s*i)
cosh(C11 - s*i)
Setting Initial and Boundary Conditions
dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b')
ans =
44. b*exp(a*t)
dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0')
ans =
(1/exp(a*t*i))/2 + exp(a*t*i)/2
Solving a System of Differential Equations
z = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x')
z =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
Enter z.x and z.y to see the results:
z.x
ans =
C20*cos(t) + C19*sin(t)
z.y
ans =
C19*cos(t) - C20*sin(t)
Using the IgnoreAnalyticConstraints Option
By default, the solver applies the set of purely algebraic simplifications that are
not correct in general, but that can result in simple and practical solutions:
y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')
y =
tan(pi/4 + t)
To obtain complete and generally correct solutions, set the value of the option
IgnoreAnalyticConstraints to none:
y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1',...
'IgnoreAnalyticConstraints','none')
y =
piecewise([C29 in Z_, tan(pi/4 + t + pi*C29)])
The algebraic simplifications also allow you to obtain solutions for the equations
that the solver cannot compute when it uses strict mathematical rules:
dsolve('Dv=19.6*v-0.00196*v^2','v(0)=1')
ans =
10000/(exp(log(9999) - (98*t)/5) + 1)