Método Rígido y Método Multipasos

1. UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA
GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTA DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO
NUCLEO EL TIGRE
ESTADO ANZOATEGUI

2. Método Rígido
Las ecuaciones rígidas son aquellas cuyas soluciones
contienen escalas significativamente diferentes para la
variable independiente. Cuando la escala más grande es la
de interés, pero la escala más pequeña dicta el tamaño de
paso de un método con base en la estabilidad.
EDO:(Ecuaciones Diferenciales Ordinarias). Tanto las EDO
como los sistemas de EDO pueden ser rígidos.

3. Por ejemplo, una EDO rígida es la que se
muestra a continuación:
Si se considera la condición inicial y(0) = 0, la solución analítica
que se obtiene está dada por:
1.
2.

4. La solución, al principio, se encuentra
dominada por el término exponencial rápido
e-1000t, después de un período muy corto
(t < 0,005), esta parte transitoria termina y
la solución se rige por el exponencial lento
e-t.
Analizando la parte homogénea de la ecuación (1), se puede
determinar el tamaño de paso necesario para que la solución
sea estable. Sea entonces la ecuación homogénea
3.

5. Con la condición y(0) = y0, se obtiene la solución que se
muestra en (4), que asintóticamente se aproxima a cero,
comenzando en el valor y0.
Si se aplica el método de Euler a la ecuación (3), se obtiene
la fórmula:
4.
5.

6. Que, trabajada algebraicamente, queda:
Por lo que podemos decir que yi = y0(1-ah)i. Para que esta
solución numérica sea acotada, deberá ser |1-ah| ≤ 1. De aquí
surge que si h > 2/a, entonces |yi| crece indefinidamente
cuando i tiende a infinito.
6.

7. Por lo tanto, en la solución numérica de (1) mediante el método de Euler,
para mantener la estabilidad, se debe tomar h ≤ 2/1000 = 0,002. Con
este valor se logra estabilidad, pero para lograr precisión en la solución,
se debería tomar un valor más chico de h. Si el intervalo en donde se
busca la solución es grande, es claro que esta cota del paso implicará una
gran cantidad de iteraciones.
La familia de los métodos multipasos de Gear se adapta particularmente
bien para brindar una solución numérica de sistemas de EDO rígidos.
Veamos cómo se deducen las fórmulas de estos métodos.

8. Métodos de Gear
Recordemos que la fórmula general de los métodos
multipasos está dada por:
7.

9. Y también, que esta fórmula da el valor exacto para
y(tn+1) cuando y(t) es un polinomio de grado menor o igual
a k si se cumplen las siguientes restricciones de exactitud
(también llamadas restricciones de consistencia):
8.

10. La familia de los métodos multipasos de Gear está identificada por
tener todos los coeficientes bi, excepto b-1, nulos; en oposición a
los métodos de Adams que tienen todos los coeficientes ai nulos,
excepto a0. Obviamente, dado que b-1 ≠ 0, los métodos de Gear
son métodos implícitos.
El método de Gear de orden k se obtiene haciendo p = k-1, y
b0 = b1 = b2 =.... = 0, conduciendo a la fórmula:
9.

11. Los k+1 coeficientes de esta fórmula pueden obtenerse
aplicando las restricciones de consistencia (8), análogamente
como se hizo con los métodos de Adams, resultando:
10.

12. Explicitando las ecuaciones para cada j, y desarrollando las
sumatorias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
11.
La solución del sistema (11) determina en forma única los
k+1 coeficientes necesarios para el método de Gear de
orden k.

13. Por ejemplo, la fórmula del método de Gear de tercer orden, se
obtiene resolviendo el sistema dado en (11), para el valor k = 3:
12.

14. Cuando se implementa este algoritmo, se deben guardar en
memoria los valores wn-2, wn-1 y wn, y se debe resolver la
ecuación (13) con algún método iterativo, si la función f(y, t)
es no lineal.
Resolviendo el sistema dado en (12), se obtienen los valores: b-1 =
6/11, a0 = 18/11, a1 = -9/11 y a2 = 2/11, resultando entonces la
fórmula del método:
13.

15. SOFTWARE ASOCIADOS
FRAME3DD:
EBEs
Ebes + jMetal
JMetal

16. FRAME3DD:
Es un software gratuito de código abierto para la estática y dinámica de análisis
estructural de bastidores y armazones en 2D y 3D con la rigidez elástica y geométrica.
Se calcula las desviaciones estáticas, reacciones, fuerzas de elementos internos,
frecuencias naturales, modos de vibración y factores de participación modal de dos y
tres dimensiones, utilizando las estructuras elásticas rigidez directa y montaje de
masas. FRAME3DD tiene su propio formato de archivo de texto de entrada (.3dd), pero,
además, es compatible con Matlab (.m) y la hoja de cálculo (.csv) formatos de archivo, y
ofrece una salida gráfica incluyendo la animación forma modal a través de Gnuplot
versión 4.6.
El programa está escrito en la llanura ANSI C. El código fuente incluye: análisis de
marcos, LDL 'descomposición, descomposición LU, Newton-Raphson iteración, iteración
sub-espacio, Stodola iteración, Sturm comprobación de valores propios, la condensación
estática, la reducción de Guyan, dinámico y condensación.
Incluido en el programa es un programa de análisis de archivos Microstran .Arc.
Actualmente, estamos en condiciones de cargar y visualizar modelos Microstran
exportados, y tenemos la intención de incorporar ".ARC" como formato de entrada
alternativo.
FRAME3DD está licenciado bajo la GNU General Public License y se mantiene a la fuente-
forja.

17. Ebes:
Es una aplicación de software dedicada al diseño, cálculo,
y el análisis de estructuras de barras 2D y 3D.
JMetal:
Es un marco basado en Java orientado a objetos para la
optimización multi-objetivo con algoritmos metaheurísticos.
Está destinado a Estudiantes y profesionales de disciplinas
como la ingeniería civil, ingeniería mecánica, y la
arquitectura
Se les proporciona un software que cubre el proceso
completo de desarrollo de estructuras de barras, incluyendo
un módulo de optimización de gran alcance que, si los
solucionadores están configurados previamente, puede ser
utilizado con un conocimiento mínimo de las partes internas
metaheurísticos.

18. Ebes + jMetal:
Es un paquete de software que permite diseñar estructuras de
barras, que además se pueden optimizar con metaheurísticas
multiobjetivo de acuerdo con diferentes objetivos, como reducir
al mínimo el peso de la estructura y la minimización de la
deformación.
Está destinado a los investigadores que trabajan en el diseño de
técnicas de optimización
Los problemas diseñados con Ebes + jMetal se pueden utilizar
como punto de referencia para evaluar el rendimiento de las
nuevas metaheurísticas multiobjetivo.

19. MÉTODO DE MULTIPASOS
Un método multipasos de p pasos para resolver el problema de valor
inicial
1).

20. Es aquel método cuya ecuación de diferencias para obtener la
aproximación wn+1 en el punto tn+1 de la malla definida por {tn = a + h n,
n = 1,..., N}, con h = (b-a)/N, puede representarse por medio de la
siguiente ecuación, donde p es un entero mayor que 1:
2).
Para n = p-1, p, …, N-1, donde h = (b-a)/N, a0, a1, …, ap, b-1, …, bp
son constantes y se especifican los valores iniciales w0 = α0, w1 = α1,
w2 = α2, …, wp-1 = αp-1. Se toma generalmente de la condición inicial
el valor w0 =α (el dato de la condición inicial) y los demás valores
necesarios para iniciar el método se obtienen con un método de
Runge-Kutta u otro método de un paso.

21. Cuando b-1= 0, el método es explícito o abierto, ya que la
ecuación (2) da de manera explícita el valor de wn+1 en
función de los valores previamente determinados.
Cuando b-1≠ 0, el método es implícito o cerrado, ya que en la
ecuación (2), wn+1 se encuentra en ambos lados, quedando
especificado sólo implícitamente. En la implementación de
un método implícito, se debe resolver la ecuación implícita
para wn+1. No es evidente que siempre se pueda resolver esta
ecuación, ni que siempre se obtenga una solución única para
wn+1. En caso que no se pueda resolver la ecuación, se deberá
recurrir a algún método de aproximación de ecuaciones no
lineales (Newton, por ejemplo).

22. Los métodos estudiados hasta ahora son llamados métodos de
un paso, porque la aproximación de la solución en el punto
i + 1 de la malla se obtiene con información proveniente de
la aproximación obtenida en el punto i. Aunque hay algunos
métodos (Runge-Kutta) que utilizan información en puntos
interiores del intervalo [ti, ti+1], no la conservan para
utilizarla directamente en aproximaciones futuras. Toda la
información que emplean se obtiene dentro del subintervalo
en que va a aproximarse la solución.

23. Como, en el momento de calcular la aproximación en el punto
ti+1, la solución aproximada está disponible en los puntos to,
t1,…, ti de la malla, antes de obtener la aproximación en ti+1,
y como el error |wi – y(ti)| tiende a aumentar con i, parece
razonable desarrollar métodos que usen estos datos
precedentes más precisos al obtener la solución en ti+1. Se
conocen como métodos multipasos a aquellos que emplean la
aproximación en más de uno de los puntos de red precedentes
para determinar la aproximación en el punto siguiente.

24. Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores
utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de
la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos
alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el
conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene
información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra
disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores
previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la
solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan
esta información para resolver las EDO. Antes de describir las
versiones de orden superior, presentaremos un método simple de
segundo orden que sirve para demostrar las características
generales de los procedimientos multipaso.