Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales numéricamente, incluyendo el método de Euler, el método de Taylor de orden 2, y el método de Runge-Kutta. Explica que el método de Euler es el más simple y aproxima la solución tomando un pequeño paso, mientras que el método de Taylor de orden 2 y el método de Runge-Kutta son más precisos al incluir términos de orden superior en su aproximación. También proporciona enlaces a recursos adicionales sobre ecuaciones diferenciales de orden

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NUCLEO: EDO. LARA UNEFA Ecuaciones Diferenciales INTEGRANTES: *Oviedo Nairocknis *Peña Sergio *Sanchez Joonser *Suarez Daniel Secc.: 5t3is

2. Método de Euler Es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables , que dependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma: Escogiendo un paso de t pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería: Entonces para averiguar los valores de a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a y resolviendo iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de t. http://www.youtube.com/watch?v=aB8_x7szgMA

3. Método de Taylor Este método utiliza la expansión de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee. La expansión de Taylor en un punto es: podemos estimar los valores de y(x) truncando el desarrollo de Taylor. Por ejemplo, si consideramos la aproximación hasta el termino de grado 1 en h; es decir, y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h " (usando la E.D.O.) " y(˜x + h) ! y(˜x) + hf (˜x, y(˜x)) es fácil deducir el método de Euler. Por tanto, el método de Euler es un método de aproximación de orden 1.

4. Método de taylor de orden 2 Para obtener un método de orden 2 podemos considerar el desarrollo de Taylor truncado en el termino de h². Más concretamente, usando la aproximación y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h + y!!( ˜x)h²/2 se obtiene un nuevo método de aproximación; a saber: y0 = y(a) yk+1 = yk + hy!k + h²/2 y!! k para k = 0, 1, . . . , n − 1 donde los valores de y!k e y!! k que aparecen en la expresión anterior se calculan desde la ecuación diferencial del P.V.I. como sigue: y!k = f (xk, yk) y!! k = f!x (xk, yk) + f!y (xk, yk) y!k http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf Ejemplo

5. Método de Runge-Kutta Es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica: Donde: i = 1,..., e Con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,..., e, los esquemas son explícitos.

6. Ejemplo: Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + Δtn. F (u, t) en la primera etapa es: y para estimar F (u, t) en t = tn + Δtn usamos un esquema Euler Con estos valores de F introducidos en la ecuación nos queda la expresión: Las constantes propias de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1. Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg). http://www.youtube.com/watch?v=Tsg7wTdvtLs

7. Ecuaciones Diferenciales de orden superior. http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2006A/EcDifOrdSupA06.pdf