Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las proposiciones y su relación mediante el uso de conectivos lógicos. Define las proposiciones, fórmulas y tablas de verdad del cálculo proposicional. Concluye que el cálculo proposicional es fundamental para el desarrollo de la lógica y la inteligencia artificial.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad politécnica agroindustrial del Táchira
Sede Rubio- Municipio Junín.
CALCULO PROPOSICIONAL
Autor (a): Mariany Sánchez
CI: 30.434269
.PNF informática “A”
Tutor:
José Hormiga
Rubio, Mayo del 2021

2. INTRODUCCIÓN
En principio, es indispensable reconocer que en forma natural, el ser humano
representa el conocimiento simbólicamente a través de: imágenes, lenguaje
hablado y lenguaje escrito, de manera alterna, ha desarrollado otros sistemas de
representación del conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico y
lógico; para sus fines y entendimiento individual. Usualmente en los organismos
biológicos se estima que el conocimiento es almacenado como estructuras
complejas de neuronas interconectadas; por su parte en las computadoras, el
conocimiento se almacena como estructuras simbólicas, pero en forma de
estados eléctricos y magnéticos.
Cabe destacar que el Cálculo proposicional es la forma más antigua y simple
de la lógica individual del hombre, utilizando una representación muy primitiva
del lenguaje, esta permite representar y manipular afirmaciones sobre el mundo
que nos rodea. Sin embargo, a través de la investigación que se plasmara a
continuación se dispondrán conceptos de razonamiento, a través de un
mecanismo que evalúa situaciones mediante el uso de conectivos
proposicionales, adquiriendo un mecanismo de veracidad y afirmación lógica.
Esta clase de cálculo y razonamiento esta entrelazado con la informática,
considerándose un sistema de comunicación más adecuado entre el hombre y
las maquinas.
Motivo por el cual, se desea establecer un vínculo con dicha investigación
permitiendo establecer un entendimiento más adecuado, y entender así las
maravillas del campo de la informática y sus diferentes potenciales, muchas
veces pensamos que un sistema computarizado es más inteligente que el
hombre, pero justo este tema nos demuestra como el hombre plasma su
entendimiento a través de una máquina y como nuestro cerebro está dotado de
entendimiento tanto así que se dio la tarea de establecer un lenguaje adecuado
en la nueva era digital y proveer la humanidad de una gran evolución tecnológica.

3. CALCULO PROPOSICIONAL
Este surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica
del razonamiento matemático humano, estableciendo actualmente también de
otras formas de razonamiento; permite expresar la lógica en términos
susceptibles para ser presentados y manejados por un computador. Conocido
también como lógica proposicional, se encarga de estudiar las diversas formas
en que se relacionan una proposición con otras y, la relación que se da entre las
proposiciones que componen el razonamiento. En general, se define como la
ciencia que trata los principios válidos del razonamiento y la argumentación,
permitiendo pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una
conclusión que se deriva de aquellas.
Sin embargo, según García. 1990, el cálculo proposicional estudia las
operaciones proposicionales y la deducción proposicional; considerada como la
más antigua y simple de las formas de lógica, que permite representar y
manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea, a través del razonamiento,
primeramente evaluando sentencias simples y luego sentencias complejas,
formadas mediante el uso de conectivos proposicionales. De manera que, está
diseñada para analizar ciertos tipos de argumentos, llevándolos de una
estructura simple a una estructura compleja.
CONSTRUCCIÓN DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL
Proposiciones están definidas, como un pensamiento completo, para nuestro
propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia; es
decir, son una sentencia declarativa, la cual tiene valores de verdad, una
proposición puede tener dos valores, verdadero o falso, pero no ambos y
tampoco pueden no tomar ningún valor. Sin embargo, se puede decir que una
proposición es un hecho, portador de veracidad y falsedad. Es por ello que,
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica
se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o
variables de sentencias o variables proposicionales, tal como: p, q, r, s,...; de
esta forma se expresan las proposiciones.

4. Alfabeto del cálculo proposicional
El cálculo proposicional se encarga del estudio de las proposiciones como
objetos matemáticos, para ello lo primero que se define es un alfabeto
compuesto por símbolos de constantes, variables, operaciones y agrupación.
Los símbolos de constantes proposicionales son solo dos (0 y 1) componentes
binarios, donde, el cero representa el valor falso, mientras el uno representa el
valor verdadero. Para conocer el alfabeto de cálculo proposicional, se
determinan los siguientes símbolos de operaciones de lógica proposicional, los
cuales son:
1. Negación (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también
expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, entre otros.
2. Conjunción (ᴧ). Representa expresiones como: “y”, “pero”, “aunque”,
“sin embargo” entre otros.
3. Disyunción (V). Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”,
entre otros.
4. Condicional (⇒). Representa expresiones como: “si A entonces B”,
“cuando A, B”, “B, siempre que A”, entre otros.
5. Bicondicional (⇔). Representa expresiones más complejas, donde se
expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad.
Así mismo, se establecen los símbolos de agrupación tales como: paréntesis,
llaves, corchetes, entre otros.
Formulas del cálculo proposicional
Generalmente todo cálculo tiene sus fórmulas y casos, en referencia al cálculo
proposicional tenemos las siguientes reglas:
1. Una constante proposicional es una fórmula.
2. Una variable proposicional es una fórmula.
3. Si A es una fórmula, entonces (A), {A} y [A] también son fórmulas.
4. Si A es una fórmula, entonces ¬ A es una fórmula.
5. Si A y B son fórmulas, entonces A ᴧ B, A ⅴ B, A ⇒ B, A ⇔ B también son
fórmulas.
6. Toda fórmula del cálculo proposicional obedece a las reglas de formación
antes expuestas.

5. Ejemplos:
0 es una fórmula según la regla 1
p es una fórmula según la regla 2
(p) es una fórmula según las reglas 3 y 2
¬(p) es una fórmula según las reglas 4, 3 y 2
p ᴧ q es una fórmula según las reglas 5, 4, 3 y 2
p + q no es una fórmula pues “+” no es admitido por ninguna de las reglas
expuestas.
Dada una proposición, expresada en lenguaje natural, siempre será posible
representarla mediante una fórmula del cálculo proposicional, una manera muy
simple es a través de los siguientes pasos:
1. Se identifican las proposiciones elementales.
2. Se representa cada proposición elemental mediante una variable
proposicional.
3. Se identifican las negaciones y se le aplica el operador negación a la
proposición afectada.
4. Se identifican las expresiones del lenguaje natural que relacionan a las
proposiciones elementales y se representan por sus correspondientes
símbolos de operaciones.
Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas,
dependiendo de cómo estén conformadas.
Proposiciones Simples: son aquellas que no tienen oraciones componentes
afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"),
disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos
de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones componentes.
Proposiciones Compuestas: una proposición será compuesta si no es simple.
Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones
componentes.

6. Ejemplos: se identificara con S para las simples y C para las compuestas:
Las medianas de un triángulo se
intersecan.
S
No existen negaciones, ni términos de
enlace
El 14 y el 7 son factores del 42. S
Aunque hay un término de enlace, éste
afecta al sujeto
El 14 es factor del 42 y el 7 también es
factor del 42.
C
Existen dos proposiciones enlazadas por
una conjunción
El 2 o el 5 son divisores de 48. S
Aunque hay un término de enlace, éste
afecta al sujeto
El 2 es divisor de 48 o el 5 es divisor de
48.
C
Existen dos proposiciones enlazadas por
una disyunción
No todos los números primos son
impares.
C
Existe una negación que afecta a una
proposición
Un entero no primo mayor de 1, es
divisible por un primo.
S
Aunque existe un no, éste afecta al
sujeto
Si sumamos dos primos, entonces la
suma es un primo.
C
Existe una implicación como término de
enlace.
La suma de dos primos es un primo. S
No existen negaciones, ni términos de
enlace.
En particular; Existen proposiciones, Simples o Compuestas, que están
formuladas en términos de una o más variables como por ejemplo:
1) Si x > 2, entonces 5x - 27 > 5.
2) sen(x) no es un número mayor que 0.5.
3) Si x > 5, entonces 2x - 3 > 16.
4) sen(x+y) = 2sen(x). cos(y).

7. A este tipo de proposiciones se les conoce como Abiertas dado que son falsas
o verdaderas, dependiendo del valor de la variable (o las variables). Sin embargo
algo muy importante al respecto, es que la o las variables deben tener definido
un Dominio que hagan que tales proposiciones sea lógicas. Por ejemplo en la 1),
no valdría sustituir x por un número complejo o por una persona, donde el
Dominio deben ser números reales.
Tabla de verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una
proposicióncompuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar;
fue creada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más
popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-
philosophicus, publicado en el año 1921.
Componentes de la tabla de la verdad
Verdadero: El valor verdadero se representa con la letra V, su notación
numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está
cerrado cuando está presente la afirmación de V.
Falso: El valor falso F, su notación numérica se expresa con un cero: 0; en un
circuito eléctrico, el circuito está abierto.
Variable: Para una variable lógica p, q, r, s…; pueden ser verdaderas V, o
falsas F.
Tipos de resultados de las proposiciones
1. Tautología: Se denomina una proposición que es cierta para cualquier
valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de
su tabla de verdad estará formada únicamente por verdades.
2. Contradicción: Es la negación de una tautología, luego es una
proposición falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus
componentes. La última columna de la tabla de verdad de una
contradicción estará formada únicamente por falsos.
3. Contingencia o indeterminada: Cuando los resultados finales por lo
menos cuenta con un valor de verdad y un valor de falso.

8. CONCLUSIÓN
Resumiendo, la lógica es un componente que ha evolucionado con el tiempo,
desde los principios de la lógica clásica pasando por la lógica filosófica; hasta
llegar a nuestros días con la lógica moderna, nos demuestra que siempre hemos
estado de una y otra forma dependiendo de la lógica y el razonamiento
matemático. No obstante, nuestra evolución ha sido el complemento de estudio
que el hombre ha dedicadoal crecimiento tanto como individuo con grupalmente,
una muestra de ello ha sido la gran evolución tecnológica que siempre rompe los
esquemas de la inteligencia del hombre, llevándola a mas allá.
Actualmente la lógica es la base para la elaboración de programas de
aplicación como herramienta indispensable para el trabajo cotidiano, que en
algunos casos es cansado o en su caso tedioso, los sistemas expertos son en
este caso la aplicación que ha estado teniendo mucho de qué hablar y de que
discutir, con el uso de la lógica se pretende llegar a simular el comportamiento
humano mediante premisas o reglas, implícitas en la base de conocimientos.
Componentes tan importantes como la robótica, la creación de la inteligencia
artificial, son una de las maravillas tecnológicas desatadas por solo un
componente binario 1-0, V-F.
Finalmente, se entiende desde el punto de vista particular, que todas las
disciplinas y áreas que existen en el componente tecnológico utilizan de alguna
u otra manera principios lógicos, por ello se hace tan necesario conocer estos
temas, que a simple vista muestran complejidad pero queda claro que al pasar
los años esta disciplina ha tenido pequeños cambios para beneficio de la ciencia,
su complejidad se amplía pero el dominio que tiene el hombre hacia ella se
magnifica. Sin embargo, eso es lo que hace de la informática no solo un área
interesante, sino cada vez más indispensable en la evolución de nuestra vida y
la ampliación de nuestro conocimiento.

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Arnaz, José Antonio (2000). Iniciación a la lógica simbólica. Edit. Trillas, México
Pág. 26 a la 30.
Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas (1
edición). Universidad de Caldas.
Charles D. Miller (2005). Matemática: Razonamiento y aplicaciones (Víctor Hugo
Ibarra, trad.) (Edición 10).

10. TALLER COMPLEMENTARIO
¿Quién creo el diagrama de árbol?
Los primeros autores que se preocupó por el diagrama de árbol fue Fischbein
(1975), quien lo consideró como un recurso importante en la resolución de
problemas de combinatoria. Seguido de investigadores como Batanero, Navarro-
Pelayo y Godino (1997) que entrelazaron el diagrama de árbol a estudios. Pero
finalmente fue perfeccionado por el Prof. Moises Gamboa Sanchez.
¿Qué se entiende por diagrama de árbol?
Es una herramienta de calidad que a través de un proceso sistemático nos
permite hallar la relación existente entre un concepto general y los elementos
que lo componen; permite profundizar en una investigación hasta complementar
todos sus elementos. Por tanto, se considera como una representación gráfica
que consta de múltiples pasos, donde cada uno de dichos pasos posee varias
maneras de llevarse a cabo.
Características de un diagrama de árbol
 Permite visualizar la relación entre una generalidad y sus detalles.
 Logramos encontrar causa raíz del problema o situación que se aborda.
 Logramos detectar elementos faltantes (ramas) al tener una visión en
conjunto del elemento central.
 Para analizar procesos de forma detallada.
 Como herramienta comunicativa y visual al mostrar la relación entre
conceptos de forma gráfica.
 Su elaboración se apoya en otras técnicas y herramientas como
tormenta de ideas, diagrama de afinidad y diagrama de relaciones.
Utilidad del diagrama de árbol
Permite una planificación estratégica, al estudiar una investigación de
mercado, y al abordar ciertas conclusiones. En el ámbito financiero se usa esta
para calcular el riesgo y las oportunidades de inversión; son muy útiles en las
infografías.

11. ¿Cuáles son los elementos del diagrama de árbol?
Un diagrama de árbol consta de elementos como nodo raíz, un miembro que
no tiene superior/padre. Luego están los nodos, que están conectados entre sí
con conexiones de línea llamadas ramas que representan las relaciones y
conexiones entre los miembros. Finalmente, los nodos de hojas (o nodos finales)
son miembros que no tienen hijos o nodos secundarios.
¿Cómo se construye un diagrama de árbol?
Paso 1: Definir un equipo de trabajo.
Paso 2: Definir el caso de estudio.
Paso 3: Construir las ramas de primer nivel; determinando interrogantes
como:
¿Qué tenemos qué hacer para lograr esto?
¿Qué es lo que está causando este problema?
¿Por qué se está generando esto?
¿Cómo podemos descomponer la elaboración de este producto?
Paso 4: Verificación de la construcción del primer nivel. Estableciendo
interrogantes como:
¿Teniendo completas todos los elementos, conseguimos cumplir el elemento
central?
¿Son necesarios todos estos elementos para cumplir el elemento central?
Paso 5: Repetimos paso 3 y 4 hasta conformar un árbol.
Es decir que los elementos detectados en el nivel anterior, serán objetivo de
la pregunta.
Paso 6: Verificaciónfinal; se estudiara cada nivel para verificar que el proceso
o la investigación no tiene vacíos.

12. ¿Que aún no lo entiendes? Vamos con el ejemplo para tenerlo más claro.
Una pareja decide salir de vacaciones pero aun no deciden si viajar a
margarita o merida.
Frio
Clima
Merida Tropical
Alto
P Presupuesto
Bajo
Frio
Clima
Margarita Tropical
Alto
Presupuesto
Bajo
Elaborar 2 ejercicios del diagrama de árbol
 Una clase consta de seis niñas y niños. Si se escoge un comité de tres al
azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4 Seleccionar tres niñas.
Realizaremos el diagrama observando las posibilidades de selección:

13. Las opciones son niño con probabilidad de o niña con probabilidad de.
En el primer nudo en la selección de niño, las opciones son niño con
probabilidad de o niña con probabilidad de y en la selección de niña, las
opciones son niño con probabilidad de o niña con probabilidad de El tercer
segmento se obtiene de manera análoga al anterior.

14.  Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas,
obtengamos caras:
Construimos el diagrama, basándonos en las opciones y las probabilidades de
cada una:
Calculamos la probabilidad basado en el resultado de caras:
𝑝 =
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
= 0.125
“Un ejemplo claro del uso de los diagramas de árbol, es aplicando el uso
de las leyes de Mendel”.