El documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Explica que la lógica proposicional estudia las operaciones y deducciones entre proposiciones mediante el uso de conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción e implicación. También describe las tablas de verdad, tautologías, contradicciones y diferentes métodos de demostración como la demostración directa e indirecta.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
BARQUISIMETO- EDO. LARA
Cálculo Proporcional
Carrillo, Rubén
C.I.V 18.997.412
Estructuras Discretas I
Prof.: Domingo Méndez
Cabudare, Mayo 2014

2. Cálculo Proporcional
Es también conocido como lógica proporcional, y es aquella ciencia
que presenta los principios válidos del razonamiento y también de la
argumentación.
El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que
justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas
premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.
Según L.García (1990), la Lógica proposicional estudia las
operaciones proposicionales y la deducción proposicional.
Proposiciones
Una proposición es un ordenamiento resultado de nuestra actividad
pensante donde expresamos, bien la posibilidad de la ocurrencia de un
hecho, o la necesidad de una acción, o una orden, un deber, una
interrogante, etc.
Puede decirse que una proposición es una frase declarativa o juicio al
que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso. Por ejemplo
la frase “El programa es de Soft”, es una proposición, a priori no puede
decirse si esta proposición tiene un valor cierto o falso, pero si se parte de un
contexto en que se establece unívocamente de qué programa se está
hablando y además se conoce que efectivamente este es de Soft, puede
afirmarse que la proposición es cierta.
Las proposiciones se identificarán con letras minúsculas. También se
les llama Variables Proposicionales.

3. Toda proposición tiene una y solamente una alternativa 1: Verdadero
0: Falso• Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos
por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como
ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1,
VL(q)=0.
Operaciones veritativas
Las operaciones veritativas son aquellas operaciones que se llevan a cabo
con cada uno de los conectivos para formar nuevas proposiciones.
 Conectivos Lógicos
La Negación: Es un conectivo que niega el valor de una proposición o en su
defecto, devuelve el valor contrario de la misma.
p ~ p
1 0
0 1
~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p.
La Conjunción: Este conectivo se lee “y”, el cual une dos1 1 1 proposiciones
y entrega un valor verdadero. Sólo en el caso que ambas tengan valor
verdadero. p ^ q se lee “p y q”
p q p ^ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

4. La Disyunción Inclusiva: Significa “o” y une dos proposiciones. Su
resultado es un valor verdadero siempre y cuando al menos una de ellas
tenga valor verdadero.
p v q se lee “p o q”.
p q (p v q)
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
La Disyunción Exclusiva: Significa “o una u otra”, une dos proposiciones y
resulta en un valor verdadero cuando los valores de las mismas son
diferentes entre sí.
p v q se lee “o p o q”.
p q (p v q)
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
El Condicional o Implicación: Este conectivo se lee “si ..., entonces ...” y
une dos proposiciones, cuyo resultado sólo es falso cuando p es verdadero y
q es falso.
p q se lee “si p, entonces q”.

5. p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
En el condicional p es antecedente y q consecuente. El antecedente es la
condición suficiente y el consecuente la condición necesaria
Condicionales Asociados
1. Directo: p q
2. Recíproco: q p
3. Contrarrecíproco: ~ q ~ p
4. Contrario: ~ p ~ q
El Bicondicional o Doble Implicación: La proposición p q se lee "p si
sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q“ y su resultado es
verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.
p q se lee “p si sólo si q”.
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Formas Proposicionales
Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las
variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede decir
que las variables proposicionales también son formas proposicionales.

6. Tablas de Verdad
Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta,
analizando sus proposiciones simples relacionadas con los conectivos
lógicos. La combinación de valores de verdad depende del número de
proposiciones dadas. Para n proposiciones se tiene 2n combinaciones.
Tautologías y Contradicciones
 Proposición Tautológica o Tautología: Proposición molecular que
es verdadera sin importar los valores de sus variables proposicionales.
p ~ p p ^ ~ p
1 0 0
0 1 0
 Contradicción: Proposición molecular que es falsa
independientemente de los valores de sus variables proposicionales.

7. Leyes del Álgebra de Proposiciones
Equivalencia e Implicación Lógica
 Implicación Lógica: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice
que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se
escribe:
A B si el condicional A B es una tautología.
Implicaciones Lógicas:
Ley de Simplificación: (p ^ q) p
Ley de Adicción: p (p v q)

8. Equivalencia o Proposiciones Equivalentes
Sean A y B dos formas proposicionales. A es Lógicamente
Equivalente a B, o simplemente A es equivalente a B y se escribe:
A= B o A B, si y sólo si la forma bicondicional A B es una
tautología.
Razonamientos
Es la aseveración de que una proposición llamada conclusión es
consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.
Forma Proposicional
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C
se escribe de la forma proposicional siguiente:
P1
P2
P3
P4
.
.
.
Pn
----
C
Métodos de Demostración
 Demostración Directa: Se debe probar una implicación: p q. Es
decir, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una
secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas,
definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

9.  Demostración Indirecta: Existen dos formas de demostración:
1. Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional
equivalente a p q es proporcionada por la Ley del
contrarrecíproco: p q = ~ q ~ p.
2. Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición
p q es tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~q)
(r ^ ~r) siendo r una proposición cualquiera.
Inferencia

10. Circuitos Lógicos
También se llaman redes de conmutación y es una representación
esquemática que tiene una o más entradas y exactamente una salida. Se
pueden identificar con una forma proposicional, de manera que a una forma
proposicional se le pueda asociar un circuito; o de manera contraria, dado un
circuito se le puede asociar la forma proposicional correspondiente.
Usando las leyes del álgebra proposicional se pueden simplificar los
circuitos en otros más sencillos que al final cumplen la misma función que el
original.
Interruptores en conexión: