Logica

1. CAPITULO I
LOGICA
T. INTRODUCCIÓN
La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas de| razonamiento
humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no.
Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje
ordinario. introduciendo símbolos y conectivos lógicos en la construcción de
proposiciones.
Dado que las proposiciones son la base del razonamiento lógico, que consiste en decidir
la validez de una idea en base a enunciados que previamente fueron aceptados, veremos
a continuación el concepto de proposición, su simbolización y conectivos icgicos.
Posteriormente se estudiarán las operaciones proposicionales, leyes lógicas,
aplicaciones a circuitos lógicos e inferencia lógica.
2. PROPOSrcIONES
Consideremos las siguientes oraciones:
a)
b)
c)
d)
e)
Tome dos aspirinas
¿Habla usted inglés?
2 es un número primo
3 es mayor que 5
El sol saldrá mañana
Se trata de cinco oraciones diferentes, una orden. una interrogativa y tres declarativas,
De las dos primeras no podemos decir que sean verdaderas ni falsas. Mientras, de las
tres últimas, que son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. A
estas oraciones se denomina proposiciones.

2. ALGEBRA
[Jna proposición es toda oración o enunciado respecto de la cual se puede decir si es
verdadera o falsa, pero no ambas alavez. Es decir, toda proposición está asociada a un
valor de verdad, la cual puede ser verdadera o bien falsa. Así, si una proposición es
verdadera. se dice que su valor de verdad es V y si es falsa, se dice que su valor de
verdad es F.
Ejemplo: il valor de verdad de las siguientes proposiciones es:
"El símbolo del agua es H2O"
"2 es múltiplo de 3"
"2 es un número primo"
2.2. NOTACIONES Y CONECTIVOS LÓGICOS
A las proposiciones simples o genéricas (llamadas también atómicas) se acostumbran
denotar con las letras minúsculas p, g, r,.... Así, por ejemplo,
p : "21 es divisible por 7".
q'.*32-l-23"
r : "El hombre es el arquitecto de su propio destino"
A partir de proposiciones simples se pueden generar otras proposiciones simples o
compuestas utilizando ciertas constantes proposicionales llamados conectivos lógicos,
tales como: el conectivo "no". se denota "-"; el conectivo "y". se denota "A"; el
conectivo "o". se denota "v ": el conecti'v'o "si .... entonces...", se denota "-+"; el
conectivo "si y sólo si". se denota "+--)" y el conectivo "o" excluyente. se denota "v".
V
F
V
a)
b)
c)

3. LOGICA
J. OPERACIONES PROPOSICIONALES
Llrtla una cl dos proposiciones. cLlyos valores de verdad se conocen- las operaciones
entrs proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracferizar la proposición
resultante a trar'és de su valor de verdad.
Estas son: La negación. conjunción, disyunción. implicación, doble irnplicación y la
disvunción exclusir,'a.
3.1. NEGACION
La negación de la proposición "p" es la proposición "no p" que se escribe -p, cuya
tabla de valores de verdad es:
Ejemplo: La negación de la proposición
p: " todo estudiante es educado"
CS
o bien
la cual
-p:
-p:
" no todo estudiante es educado"
" hay estndiantes que no son educadcs".
es V, ya que p es Il
Ejemplo: La negación de la proposición
q: " tres es mayor que dos"
es -q: "3 no es nlayol'que dos"
o bicn -'cl : " n() cs cicrto clr.re- -i es nlavor que 2"
c()llo q cs V cr.r cstc c¿ls(). -c¡ cs li.

4. 4
3.2.
ALGEBRA
se obtiene
cuya tabla
Se llama conjunción de
uniéndolas por medio del
de valores de verdad es:
dos proposiciones, p y q,
conectivo " y ", se escribe
a la proposición que
pAqfselee"pyq",
REGLA
La conjunción de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando las dos
proposiciones componentes son verdaderas, en otro caso es falsa (F).
Ejemplo: La conjunción de las proposiciones
p: "3 es mayor que 2"
q: "3 divide a 6"
es p
^
q: "3 es mayor que 2 y divide a 6 ",
la cual es V, ya que las proposiciones p y q son verdaderas
La proposición compuesta
" 2 es un número par y primo"
es la conjunción de las proposiciones simples
Ejemplo:
p: "2 es un número par"
q: " 2 es un número primo"

5. LOG¡CA
3.3. DISYUNCIÓN
Se llama disyunción de dos proposiciones, p y q, a la
uniéndolas por medio del conectivo "o", se escribe p v q
cuya tabla de valores de verdad :s:
proposición que se obtiene
y se lee "p o q" (inclusivo),
REGLA
La disyunciórr de dos proposiciones es falsa (F) si las dos proposiciones componentes
son falsas, en otro caso es verdadera (V).
Ejemplo: La disyunción de las proposiciones
p: " 15 es múltiplo de 5"
q: " 15 es múltiplo de 2"
es p v q: " 15 es múltiplo de 5 o de 2"
la cual es V, ya que p es V.
La proposición compuesta
" Carlos es un buen jugador o es muy afortunado"
es la disyunción de las proposiciones simples
p: " Carlos es un buen jugador"
q: " Carlos es muy afortunado"
luego, la proposición compuesta se simboliza p v q
Ejemplo:

6. ALGEBRA
3.4. IMPLICAC I ON O COND ICI ONAL
Se llama implicación o condicional de dos proposiciones, p y q, a la proposición que se
obtiene uniéndolas por medio del conectivo: " si... entonces... ", se escribe p + q y se
lee " si p, entonces q" o "p implica q", En el esquema p -+ q llamaremos a la primera
proposición (p) antecedente y a la segunda (q) consecuente, cuya tabla de valores de
verdad es:
REGLA
La implicación de dos proposiciones es falsa (F),
verdadero y el consecuente es falso, en otro caso es
solamente cuando el ante:edente
verdadera (V).
Ejemplo:
Ejemplo:
q: " El material se dilata"
La proposición compuesta
"si un material se calienta entonces se dilata"
es la implicación de las proposiciones
p: " Un material se caliente" (antecedente)
(consecuente)
luego, la proposición compuesta se simboliza p + q
Sean las proposiciones:
p: " Antonio viaja a Europa"
q: " Antonio perdió sus documentos",
entonces la proposición q -+ -p es:
" si Antonio perdió sus documentos entonces no viaja a Europa"

7. LOGICA
.I.5. DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL
Se llama doble implicación o bicondicional de dos proposiciones, p y q, a la proposición
que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo: "... si y sólo si...''. se escribe p <-> q
,v se lee "p si t' sólo si q'', cuya tabla de valores de verdad es:
REGLA
La bicondicional de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando l;rs do:
proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es falsa (F)
Ejemplo: la proposición compuesta
" A Juan se le otorgará una beca si y sólo si obtiene un promedio ntayor ¿r
60 puntos"
es la bicondicional de las proposiciones:
p: " A Juan se le otorgará una beca"
q: " Juan obtiene un promedio mayor a 60 puntos"
luego la proposición conrpuesta se simboliza p <+ q
Sean las proposiciones
p: "rsta ley será aprobada en esta sesión"
q: "Esta ley' es apol'ada por la mayoría"
luego la proposición - p ++ -q es:
" Esta ley no será aprobada en esta sección si y sólo si no es apoyada por
la mayoría"
Ejemplo:

8. 8
3.6. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
ALGEBRA
Se llama disyunción exclusiva de dos proposiciones, p y q , ala proposición que se
obtiene uniéndolas por medio del conectivo "o" excluyente, se escribe p v q y se lee
"p o q" en sentido excluyente (p o bien q), cuya tabla de valores de verdad es:
REGLA
La disyunción exclusiva de dos proposiciones es falsa (F) cuando las dos proposiciones
componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es verdadera (V).
NOTA: Es cierto que p v q equivale a la negación de p e q.
Ejemplo: La proposición compuesta
" la capital de Bolivia esLaPaz o Sucre"
es la disyunción exclusiva de las proposiciones:
p: " La capital de Bolivia es La Paz"
q: " La capital de Bolivia es Sucre"
luego la proposición compuesta se simboliza p v g, pues se excluye la
posibilidad de que se cumplan ambas proposiciones.
4. TÓNPTANIS PROPOSrcIONALES
Una fórmula proposicional es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos
que simbolizaaunaproposición compuesta o molecular. Por ejemplo, las siguientes son
fórmulas proposicionales :
p^(qv-p), (-p+q)nr, py(-p+r)

9. LOGICA
Fjemplo: Simbolizar la siguiente proposición
" si Pablo no ha venido entonces no ha recibido la carta o no está
interesado en el asunto".
[-as ploposiciones simples que componen son:
p: " Pablo ha venido"
q: " Pablo ha recibido la carta"
r: " Pablo está interesado en el asunto"
luego. la proposición compuesta se simboliza - p -+ (- q v .- r)
4,1. TABLA DE V.ALORES DE VERDAD
El valor de vc'rdad de una fórmula proposicional depende de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen. Es decir. se debe analizar todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las proposiciones qlre la componen. las cuales se
dan en las primeras columnas. Por tanto, si en una fórmula proposicionar intervienen
"n" proposiciones sinrples diferentes, entonces en la tabla de valores de verdad habrá 2n
combinaciones diferentes. Así, para dos proposiciones se tiene 22 - 4 posibles
conrbinaciones de V y F Para tres, 2J :8 combinaciones. etc.
Ejemplo: Constnrir la tabla de verdad de la proposición ^ p --) (- q y .- r).
Como en la proposición dada intervienen 3 proposiciones sinrples.
entonces se analizará 23 :8 renglones. Esto es:

10. l0 ALGEBRA
Luego, los valores de verdad de la fórmula proposicional se encuentran en la
columna R.
4.2, CLASIFICACIÓNDE TÓNAUNLSPROPOSTIONALES
Las fórmulas proposicionales (las proposiciones compuestas) se clasifican, según sus
valores de verdad, en Tautología, Contradicción y Contingencia.
4.2.1 TAUTOLOGIA Es una fórmula proposicional que es verdadera para cualquier
valor de verdad de las proposiciones que la componen.

11. LOGICA
Ejemplo: La tabla de verdad d. [(- p -+ q)
^ - q ] -+ p. es:
ll
p q
V V F V V F F V V
V F F V F V V V
F V V V V F F V F
F F V F F F' V V F
rA*--l
Y
!-l
t
Según la columna " R", la fórmula dada es una tautología.
4.2.2. CONTRADICCIÓN Es una fórmula proposicional que es falsa para cualquier
valor de verdad de las proposiciones que la componen.
Ejemplo: La tabla de verdad de la formula proposicional
(-p-+ 9) e (-pn-q) , es:
p q (-p -+ q) <> (-p A -q)
V V F V V F F F F
F F V F F F F V
F V V V F V F F
F F V F F F V V V
ró---l
-,1,_
L-*ó*--,
Según la columlta " It". la forntula dada es una contradicción.
4.2.3 COiTINGENCIA Es Llna fónlula proposicional qLrc no es tautología ni
contradicción.

12. t2
Ejerlplo:
ALGEBRA
Latablade verdad de ( p<->- q )y.- ( pn q ) . es:
)
p q p e -q ) v p q
V V V F F F F V V /
V F V V V F V V F F
F V F V F F V F F V
F F F F V V V F F F
----)(
I*A-¿ ¿
4.3
Segirn la columna "R", la fórmula dada es una contingencia. ya que no es
tautología ni contradicción.
EQUIVALENCIA tOetC,q
Dos fórmulas proposicionales se dice que son lógicamente equivalentes si slrs tablas de
verdad son idénticas, o sus valores de verdad son los mismos en cada renglón.
Usaremos el símbolo " = " para expresar la equivalencia entre dos fórmulas
proporcionales.
Ejemplo: latabladeverdaddelasfórrnulas p<>q y -(p v q)son:
latabladeverdaddelasfórrnulas p<+q y -(p v q)son:
luego, las formulas dadas son equivalentes. Es decir, p <+ q =- ( p y q )

13. T OGICA
4,4 EJEMPLOS ADICIONALES
lrlenrplo: jabiendo que los valores de verdad de las proposiciorles p. q. r son,
respectivamente, V, F. V, determinar el valor de verdad de
-[-(p-+ - r) n (- q v --p )] <+ -[r -+ - (- p v - q)]
Sot-t-lcloN: Sustitul'endo los valores de verdad de las proposiciones:
p : V. q = F )' r: V. según las reglas de las operacic,ncs proposicionales.
se obtiene el valor de verdad de la proposición dada. como sigue:
-[-(p-+ - r) n (- q v - p )] e -[r+ - (- p v - q)]
-[-(V-+ - V),,.. (-F v - V )] e -[V -+ - (- V v - F)]
-[-(V-+ F) n (V
"
F )] <+ -[V -+ - (F vV)]
-[-F nV] <+ -[V-+ - V]
-[V nV] <+ -[V-+ F]
-V<+-F
F <+V:F
fijemplo: Sabiendo que -(p
^ - q) es F y que r es v, obtener el valor de verdad de:
[(-p n q) -+ -r] <+ -(p v -q)
SOLUCIÓN: En primer lugar determinaremos los valores de verdad de las
proposiciones simples. p y q. Esto es, si -(pn-q) es F. entonces p^-q es
v. Luego, según la regla de la conjunción, p y -q son v. de clon<le q es F.
Por tanto, los valores de verdad de ras proposiciones p. q
' r son,
respectivamente, V, F, V,
En consecuencia. el valor de verdad de la proposición clada es:
[(-p n q) --+ -r] <+ -(p v --q)
[{-Y " F) -+ - ,1 <+ -(V v -F)
[(F nF) --+ FJ <+ - 1t vV)
[F + Iil .+ -F
V<+V:V
l3

14. l4 ALGEBRA
Ejemplo: Seanp y q proposiciones cualesquiera, ry sproposicionestales que
-(r v - s) es V. Determinar el valor de verdad de
[(-p ¡ r) e (q v s)] -+ -(p v q)
SOLUCION: Si -(rv - s) es V, entonces rv - s es F,.de donde ry -s son F, y s es V.
Por tanto, tenemos r = F, s =V, py q proposiciones cualesquiera.
Luego, la proposición dada resulta
[(-p n F) e (q v V)] + -(p v q)
Según las reglas de la conjunción, disyunción y de la implicación
tenemos
lFeVl -+-(pvq)
F-+-(pvq):V
Ejemplo: Sabiendo que p es F y que q es una proposición cualesquiera, determinar
el valor de verdad de la proposición x.
Tal que (-p -+ x ) -+ (p
"-q)
sea verdadero.
SOLUCION: Si p es F. entonces la proposición dada resulta
:(-F-+x)+(Fn-q)
:(V+x)+F
Para que esta última expresión resulte verdadero, según la regla de
implicación, el antecedente debe ser F, es decir V-+ x : F, de donde x
debe ser F.
5. ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Son operaciones lógicas que se realizan en una fórmula proposicional, aplicando
adecuadamerrte ciertas reglas básicas llamadas leyes lógicas. Es decir, al igual que en
álgebra básica donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en
lógica también existe la necesidad de sinrplificar fórmulas proposicionales complejas, a
través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas. que a continuación se listan.

15. LOGICA
5.1. LEYES LOGICAS
Son fórmulas proposicionales lógicamente equivalentes, estas son:
l5
l)
2)
3)
Leyes de idempotencla:
Leyes conmutativas:
Leyes asociativas:
Leyes de identidad:
Leyes de De Morgan:
Definición de implicacron:
Leyes distributivas:
pa p = p
p^ q= q^p;
(pnq)n r = pA
(pvq)vr = p v
-(-p) = p
pn-p=F ;
pvp=p
pvq:qvp
(q n r)
(qv r)
4) Leyes de negación:
s)
6)
7)
8)
9) Leyes de absorcton:
pAv:p
PV-P:V
PVF:P
-(pnq)=-pv-q
-(pvq)=-p^-q
p-+q=-pvq
p^(qvr):(pnq)v(pnr)
pv(qAr):(q_tq)n(Pvr)
p^(pvq)=p ;pv(p^q)=p
p^F:F ;p
:.u=u i;:
p<->q=(p+q)n(q-+p)
l0)

16. 16 ALGEBRA
s.2. sIMpLrFICActóttt on rónuut¿s pRoposrcroNALEs
Se trata de trasformar una fórmula proposicional en otra equivalente a ella pero lo más
reducida posible. Para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las leyes lógicas.
Así mismo, deben especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizados.
Ejemplos: En cada uno de los siguientes incisos, simplificar la proposición dada:
a) Simplificar: p^(q"-q)
como q v - q: V por la ley de negación (1,. neg. )
luego se tiene:
p^(qv-q):pr'V
= P , según la ley de identidad (L. ident.)
b) Simplificar : -qv(-pnp)
como -p ^
p = F, según la ley de negación (L. neg.)
luego se tiene:
-qv(-p^p):-qvF
: - q , según la ley de identidad (L.ident.)
c) Simplificar : -(p^-q)vq
Por la leyde De Morgan(L. D M), -( p n -q) =-p v q
luego se tiene:
-(pn-q)vq=(-pvq)vq
- - p v (q v q), según la ley asociativa (L.asoc.)
= - p v q , según la ley de idempotencia (L. Idem.)
d) Simplificar : - (p -+ - q)
^
p
Por la definición de implicación ( d.imp.), p -+ - q : - p v - q
luego se tiene:
-(p-+-q)np = -(-pv-q)^p

17. LOGICA l7
Según laLey de De Moigan (L.D.M.),-(-pv-q) = p
^
q.
Por tanto,
-(p+-q)np = (pnq)np
= (p n p ) n q, según la Ley asociativa (L.asoc.)
= p
^
g , según la ley idempotencia (L.ldem)
e) Simplificar : q^(-p+-q)
Por definición de implicación (D.Imp.), -p + - q = p v - q
luego se tiene:
q^(-p+-q) =q^( pv-q)
= (q n p)v (q
^
- q ) , según la Ley distributiva (L.dist)
= (q
^ p) v F, según la ley de negación (L. Neg.)
= q
^
p, según la ley de identidad
-
(L. ident)
0 Simplificar: (.p+q) ¡(pv-q)
por la definición de implicación (D. Imp), - p -+q = p v q
luego se tiene:
(-p+q)
^(pv-9) = (pv q) n (pv-q)
= pv (q
^-
q), según la Ley distributiva (L. dist.)
= p v F , según la ley de negación (L. neg.)
= p , según la ley de idempotencia (L. Idem)
g) Simplificar : pv - (p + r)
como p+ r : - p v r, según definición de implicación (D.Imp.)
luego
pv- (p+r): pv-(-pvr)
: pn(pn-r),según la L. de De Morgan (L.D.M)
= p , según la Ley de absorción (L. Abs)

18. l8 ALGEBRA
h) Simplificar : qv(p+-q)
como p + - q = -pv - q, según definición de implicación (D. Imp.)
luego se tiene:
qv(p+:O=qv(-pv-q)
(q v - q) v -p, según la ley asociativa (L. Asoc.)
= V v - q , según la Ley de negación (L. Neg.)
V, según laLey de absorción (L. Abs.)
i) Simplifican p^[qv(p^-q)]
p^[qv(pn-q)l =pA[(qvp)n(qv-q)] L.dist
= pn(qvp) L.ident
= p L.abs.
j): simplificar: -(p^q)n(p+q)
-(pnq)n(p+q) = (- pv-q)n(-pvq) L.D'M,D.imp.
= - pv(-q n q) L.dist
= - pvF L.neg.
= - p L.ident.
k) Simplificar: [(p^-q)v(p^q)]+(-p^-q)
[(pn-q)v(pn q)]+(-pn-q)=[p^(-qvq )]+( -p ^-q) L.dist.
=[ pnV]+(-p^-q) L.neg.
= p+(-p^-q) L.ident.
=_rrv(-p^-q) HJ

19. LOGICA l9
simplificar: Iq^(q-+ -p)] -+-(Pnq)
[q,.(q-+-p)]-+ -(p n q) =[qn (- q v - p)]-+ (- p v - q) L'D'M,
= [( q
^
- q) v (q n - p)]-+(- p v - q) L.dist.
: IFv(qn-p)] -+ (-pv-q) L.neg.
l):
= (q
^
- p)l + (- p', -.q)
= -(q^-p)v(-pv-q)
= (-qvp)v(-p"-q)
= (-qv-q)v(pv-p)
: -qVV
=V
L.ident.
D.imp.
L. D.M.
L. asoc.
L.idem, L neg.
L. abs.
m) Simplificar: [-p^(q+p)]v[(pv-q)n(qvp)]
[-p n (q+p)] v [ (p v-q) n ( q
"
p)] = [-p ^
(-q v p)] v [p v (-q n q)]
D.imp. L.dist
= [(-p ^
-q) v (-p n p)] v [p v F] L.dist., L.neg.
:- [(-pn-q)vF] vp L.neg.,L.ident.
= (-pn-q)v p L.ident.
= (-prp)n(-qvp) L.dist.
:- V^(-qvp) L.neg
= -qvp L.ident
Ejemplo: Determinar una proposición X, tal que [( -x -+ p)n x] v (p 4 q ) = q
SOLUCION: Simplificando la proposición del primer miembro se tiene
[(xvp)nx] v(p n q)=q D.lmp.
xv(p ¡ g)=q L.abs.
[-uego. para que se verifique la equivalencia. la proposición x debe ser q
o su equivalente, pues
qv(pnq)=q L. abs.

20. 20
6. crRcurros tóetcos:
ALGEBRA
Un circuito, con un interruptor, puede cstar "abicr'to" o "ccrraclo". Cuando el interruptor
está abierto no permite el paso de corriente. mientras c¡ue cuando está cerrado sí lo
permite. Si asociamos una proposición a cada interruptor, intuitivamente, vemos que en
el álgebra de circuitos la V de tal proposición indica el interruptor cerrado y F el
intemrptor abierto. Así, el circuito lógico que representa a una proposición p es:
Si p es V, se tiene: # pasa la corriente
P:V
Si p es V, se tiene: r Y no pasa la corriente
P:F
6.1. CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
Las operaciones proposicionales se pueden representar mediante circuitos lógicos con
tantos intemrptores como proposiciones que la componen, combinados en serie o en
paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.
6.1.1. CIRCUITOS EN SERIE La conjunción de dos proposiciones (p n q) está
representada por un circuito lógico en serie. Esto es:
pq
p y q conectados. en serie.
Este circuito permite el paso de coniente únicamente si p y q son V (o están cenados).
Así, se obtiene la tabla de verdad de la conjunción de dos proposiciones, p y q.

21. LOGICA
6.1.2. CIRCUITOS EN PARALELO La disyunción de dos proposiciones (pvq) está
representada por un circuito lógico en paralelo. Esto es:
q
p y q conectados en paralelo.
Este circuito no permite el paso de corriente únicamente si p y q son F (o están
abiertos). Por lo cual, la tabla de verdad de la disyunción de dos proposiciones, p y q, es:
p q pv
V V
V F
F V
F F
2t

22. ALGEBRA
OBSERVACIÓN El conectivo lógico "y" (,r.) equivale a conexión en serie, mientras el
conectivo lógico "o" (rr) equivale a conexión en paralelo.
Ejemplo: Representar el circuito lógico de p -+ q.
Comop-+q=-pv9,
luego el circuito lógico que representa es:
q
Ejemplo: Representar el circuito lógico de p e q.
Como:p<+q =(p+ q)n(q-+ p)
=(-pvq)n(-qvp),
luego el circuito lógico que representa es:
p-ql_
q
Ejemplo: Representar el circuito lógico de p v q.
Como pyq =-(p<+q)
=-[ (p+ q)n(q-+ p)]
=-[(-pv q)^(-qv p)]
:-(-pv q)n-(-qv p)
= (p^- Ov(qn- p),
luego el círculo lógico que representa es:
q-p

23. LOGICA
23
Ejemplo: Escribir la proposición correspondiente al sgte. circuito y simplificar.
,_
-t)
-p q L_
q I ,___l
-r -p
SOLUCION: La proposición correspondiente al circuito dado se obtiene como sigue:
- p y q están conectadas en serie, se simboliza por: _ p ,r q,
- r y _p están conectados en serie, se simboliza por: _ ,
^
_ p,
(- p n q ) v (- r n - p) están conectados en paralelo, se simboliza:
(-p n q ) v (-r
^ -p) y frnalmente, q y [(_ p n q ) v (_ r A _ p)] esrín
conectados en serie, se simbolizapor: q
^ [(_p
^
q ) v (_r
^
_p)J
Simplificando, se obtiene
q^ [(-p^q)v(-r^-p)J=q A[-pn(qv-r)] L.dist.
=-p A[qn(qv-r)J L.conm. L.asoc
=-P ^q L.abs.
Por tanto, el circuito equivalente será:
-Pq
Ejemplo: obtener la proposición correspondiente al siguiente circuito, y
simplificar:

24. 24
SOLUCION:
ALGEBRA
En primer lugar, se determinarála proposición correspondiente al circuito
dado. Esto es:
q y ^ p están conectados en paralelo, se simboliza: q v - p
(q v - p) y r están conectados en serie, se simboliza: (q v - p)n r
p y - q están conectados en seriq, se simboliza: p
^ - q
Finalmente, (q v - p)n r y (p
^ - q) están conectados en paralelo, se
simboliza:
[(qr-p)nr] v(pn-q)
Simplifi cando, se obtiene
[(qv -p)nr] v(p
^
-9)= [-(pn-q) nr]v(p
^
-q) L.D'M.
= [-(pn-q)v(pn -q)]n [rv(p n -q)] L.dist.
:Vn[rv(p
^
-q)] I-.neg.
: rv(p
^
-q)l L.Ident.
Por tanto el circuito equivalente es
7. INFERENCIA TÓEIC,I
Se debe entender por inferencia lógica a un razonamiento en el que a partir de un
conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado
conclusión. Un razonamiento es válido sí, y solamente sí, la conjunción de las premisas
implica la conclusión, o la conclusión es consecuencia de las premisas. Es decir, si las
premisas sr¡n todas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas
lógicamente han de ser verdaderas. Sin embargo, si una o más de las premisas es falsa,
Ia conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la conclusión puede ser
verdadera o falsa.

25. LOGICA
Cuando Q es Pn, se escribe:
Esto significa que la siguiente implicación es una tautología.
(PrnPzA...AP") + Q
7.1 REGLAS DE INFERENCIA
Se le llaman reglas de inferencia a todo argumento universalmente correcto (o tormas,
correctas de razonamiento) que representan métodos generales de razonamiento válido.
Las siguientes son formas correctas de razonamiento:
l) MODUS PONENDO PONENS (PP): Es un método (Modus), que ahrma (ponens)
el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente de la implicación
p +q
p
q
2) MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT): Es el método (Modus), que negando
(tollendo) el consecuente, se puede negar (Tollens) el antecedente de la implicación.
p+ q
-q
-p
3) MODUS TOLLENDO PONENS (TP): Es el método (modus), que negando
(tollendo) un miembro de una disyunción se afirma (ponens) el otro miembro.
25
consecuencia (c remlsas Pt, P2,...,
premisas
conclusión

26. 26
ALGEBRA
pvq
-p
q
Ley del silogismo hipotético (SH)
Ley de simplificación (LS)
a) p^q
p
Ley de conjunción (LC)
Ley de adición (LA)
Dilema constructivo (DC)
Dilema destructivo (DD)
b)
a) pvq
{
p +q
q +r
p +r
b) p^q
p
o9
p^q
p
PVA
p+q
r+t
pv r
qvt
p+q
r-+t
-qv-t
-p v-r

27. LOGICA
En las deducciones o demostraciones formales se deberá justificar cada paso de
inferencia haciendo referencia a la regla particular de inferencia que permite aquel paso.
Se indica esta regla poniendo la abreviatura de su nombre a la derecha del paso de
inferencia. Es también necesario indicar los números de las líneas en la inferencia de las
que se ha deducido cada paso.
En cada uno de los siguientes ejemplos se demostrará que la conclusión indicada es
consecuencia lógica de las premisas dadas.
27
Ejemplo: Demostrar: - q
l) -p+r
2)t
3) q+-r
4) p-+-t
Ejemplo: Demostrar : r
l) q+-p
2) -t
3) pv r
4) -q+t
5)q
6) -p
7)r
2,4TT
I,5 PP
3,6 TP
Luego la conclusión es r
Ejemplo: Demostrar : D n G
1) CvD
2) (BvE)-+F
3) Av B
4) -FvG
s) C-+-A
6)A3LS
7)B3LS
8) -C 5,6 TT
9) D 1,8 TP
l0) BvE 7 L.A
s) -p
6)r
7) -q
2,4 TT
I,5 PP
3,6 TT
Luego la conclusión es -q
Ejanplo: Demostrar: tnU
l) r+-p
2) -q+S
3) -SvU
4) rvt
5) p^-q
6)p
7) -q
8) -r
9)t
l0) s
5LS
5LS
1,6 TT
4,8 TP
2,7 PP

28. 28
l r) u 3.10 TP
12 tnu 9,ll LC
Luego la conclusión es t n U r
ALGEBRA
I l) F 2,10 PP
t2) G 4,tt TP
13) DnG 9,12 LC
Luego la conclusión es D n G
Ejemplo: Demostrar:x*3 v x>2. Ejemplo: Demostrar: I<yn y * 4
l) x*2*5 v 2x=6 l) x>yvx<4
2) x:3 + x'F2= 5 2) (x<4vy<4)+(x<yny I 4)
3) 2x-2:8+2x+6 3) x>y-)x:4
4) 2x-2:8 4) x+4
5) 2x+6 3,4 PP 5) x/y 3,4 TT
6) x+2+5 1,5 TP 6) x<4 1,5 TP
7) x+3 2,6 TT 7) x<4vy<4 6 LA
8) x+3vx>2 7 LA 8) x<yny*4 2,7 PP
Luegolaconclusiónesx +3vx>2 Luegolaconclusiónesx <y ny * 4
Ejemplo: Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio
partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad entonces Juan no vio
partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en
el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto Andrés estaba
en el edificio en el momento del crimen.
Sean las proposiciones
p: "el reloj está adelantado"
q: " Juan llegó antes de las diez"
r: " Juan vio partir el coche de Andrés"
s: "Andrés dice la verdad"
t: "Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen"

29. LOGICA
8.
8.1.
p-+(q^r)
s-+-r
svt
p
29
Luego la demostración es:
l)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
e)
q^r
q
r
1,4 PP
5LS
5LS
2,7 TT
3,8 TP
-S
t
Por tanto la conclusión es:
t: "Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen"
entonces el razonamiento es válido.
FUNCIONES PROPOSICIONALES Y SA CUANTIFICACIÓN
F UNC I ONES PRO POS ICIO NA LES
Una función proposicional en una variable X es toda expresión en la que X representa al
sujeto u objeto perteneciente a cierto conjunto. La cual se convierte en proposición para
cada especificación de X. Es decir, si P(X) r1s una expresión que se convierte en
proposición al sustituir la variable X por un objeto matemático, se dice que P es una
función proposicional. Asimismo hay funciones proposicionales con más de una
variable.
Ejemplo: Si nos referimos a los números naturales y, sea la función proposicional
P (X): "X es el divisor de 12", es claro que la expresión : "X es divisor
de 12" no es una proposición ya que no podemos decir nada acerca de su
verdad o falsedad mientras no se especifique a X. Sin embargo, para cada
asignación dada al sujeto X dicha expresión es una proposición.

30. 30 LGEBL
Es decir, son proposiciones:
P (2): " 2 es divisor de 12"
P (3): " 3 es divisor de 12"
P (5): "5 es divisor de 12"
(v)
(v)
(F), etc.
Ejemplo: Dada la función proposicional en dos variables.
P (X, Y): "X es mayor que Y"
siendo X y Y números enteros . Entonces para cada particularización de
valores de X y Y se tiene las proposiciones:
P (2.5): '' 2 es ma or que 5" (F)
P (-2.-5): "-2 es mavor que --5" (')
P (5,1): ''5 es mavor que 1" (/). etc.
8.2. CUANTIFICADORES
A 1:afir de funciones proposicionales se puede obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado de cuantificación. Para ello, introducimos los símbolos V
y 3, llamadós cuantificadores universal y existencial, respectivamente. Los cuales
asociados a la variable x expresan lo siguiente:
V x, para expresar "para todo x", o "cualquiera que sea x"
3 x, para expresar "existe algún x, tal que", o "existe al menos un x, tal que"
Si p(x) es siempre Lrna proposición verdadera, para cualquiera que sea el objeto
matemático que sustituye a x, entonces se podrá escribir:
Y x: p(x), se )ee "para todo x, se verifica p(x)"
Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera, al sustituir x por al menos un cierto
objeto matemático, entonces se podrá escribir:
I x / p (x), se lee "existe algún x, tal que se verifica p(x)"
t-a negación de estas funciones proposicionales cuantificadas, para cada caso) son:
(Vx:p(x)):lx/-p(x)
-(lx/p(x))=Vx:-p(x)

31. LOGICA
Ejemplo: Sea la proposición:
"Todo el que estudia triunfa"
La traducción equivalente de esta proposición es
"Cualquiera que sea la persona, si estudia entonces triunfa"
luego, si p (x): x estudia
y q(x): x triunfa,
se tiene V x: p (x) -+ q (x),
la simbolización de la proposición dada.
Ejemplo: La negación de la proposición del ejemplo anterior será:
-(Vx: p(x)+q(x)) = 1xl -(p(x)-+q(x))
= 1xl -(-p(x)vq(x))
= 1xl p(x)n-q(x)
que quiere decir:
" existen personas que estudian y no triunfan"
Ejemplo: Consideremos la siguiente proposición general relativa a todos los
números primos:
"Existe algún número primo que es par"
Si x denota a un número primo cualquiera, y llamando:
p (x) : "x es par", (- p (x) : x es impar).
se tiene que 3 x / p (*), se lee "existe algún x, tal que se verifica p (x)"
o bien "existe algún número primo que es par"
luego, la negación de esta proposición será:
-(lx/p(x))=Vx:-p(x)
se lee "para todo x, se verifica - p (x)"
o bien "todo numero primo es impar"
3l

32. 32
Ejemplo: Dcrnoslrar: -l(-2)r < -2
ALGET]ItA
Si L VxVI : (x<- l nl'> l )-_> x)'<x
2. Yz'. z<-l-+z) >l
-2< -l
Der:iostración 4. -2< -l-+1-2)r >l
:' J. (-2)2> I
6. -2 < -l n(-2)r >l
1 z =-')
3.4 PP
3.5 L.C
7. (-2<-l n(-2)r>l)+ -2(-2)? <-2 I,X: -2.y:(-2)2
8. -2(-2f <-2 6.7 PP
Leonardo De Pisa
1175 - 1250

33. LOGICA
EJERCICIOS
Simbolizar cada una de las proposiciones siguientes:
L "El gordo Alberto vive para comer y nocome para vivir".
2. "I-a decisión dependerá deljuicio o la intuición, y no de quién pagó más".
3. "Si esta planta no crece. entonces necesita más agua o necesita mejor abono".
4. "El juez lo sentencia a Octavio si y solo si el fiscal puede probar su culpabilidad
o el testigo no dice la verdad".
5. "Si una sustancia orgánica se descompone, entonces sus componentes se
transforman en abono y fertilizan al suelo".
6. Sean p, q y r los siguiente enunciados:
p : Estudiaré matemática
q : Iré a mi clase de computación
r : Estoy de buen humor
Escriba en lenguaje común las oraciones que corresponden a los siguientes
enunciados:
a)--p¡q; b)r+(prq); c)-r-)(pv-q); d)(-pnq)er
Determinar, por medio de una tabla de verdad, si cada una de las siguientes
proposiciones es una tautología, contradicción o contingencia.
JJ
7. [(-p^-q)-+P] v(pnq) R: contingencia

34. 34
8.
9.
ALGEBRA
r0.
ll.
12.
13.
14
l5
[(p-+-q)np] y(-pnq)
[(- p y - q)n(p -+ - q)]v -(-peq)
[(p n q)vlpn(- p v q )]] y -(p -+-q)
{[p -+ (q ¡ - p) ] n - q]+>-(p
"
q)
(-py-r)+>[-(pnq)v-r]
t (- p v q )n (q -+ r) l+ - (p
^
- r)
[(- p
"
q)+ - r] e I rn -(p v - q) ]
[(r-+ - p)n(p +-q) ]v[ (- p +r)n(- q +p)]
a)
b)
-(pn-q)-+-(svr)
[ (- rn q)y - p ] -+ -[ (p n s ) v - r ]
Ip-+(q^s)]y(-q-+r)
[ ( r v q ) -+ (p,. s) ] -+ (- q y s)
R: contingencia
R: tautología
R: contradicción
R: tautología
R: contingencia
R: tautología
R: contradicción
R: tautología
Sean q y s proposiciones cualesquiera, p y r .proposiciones tales que - ( p r - r) es
verdadera. Hallar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
R:F
R: V
16.
R: F
R: V
17. a)
b)
Sean py r proposiciones cualesquiera. q y sproposicionestalesque - (- q n s) es
falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
l8 a) [(p"-q)ns]+-(-rvs) R

35. LOGICA
b) [(-pnq)-+^r]y-(pvs) R: '
19. a) [(-p"s)-+(q^r)]e(p-+-q) R: F'
) t(q-+p)v(-p^r)l¡[(p+s)v-r] R: V
Hallar el valor de verdad de las proposicion€s p, g, r y s, sabiendo que:
20. a) (-p-+q)v-(rn-s) esfalsa
b) -(r-+-p)n(-q^s) esverdadera
21. a) (-pnq)+(-r+s) esfalso
b) -(r+-p)+(-qvs) esfalso
t 22. a) - (p v - r) n - (q +- s) es verdadera
b) -[(r^-q)-+(-p+s)] esverdadera
23. Si las implicaciones (p n - q) + q y (p n q) -+ - r son verdaderas, ¿cuál
es el valor de verdad de p y de r? R: F, V
Determinar cuales de las siguientes formulas son lógicamente equivalentes?
24. I: (pv-q)-+-p
II: (p-+q)v(pnq)
III: (p <+ - q) -+(- p
^
q)
25. I: -(p-+q)e[(pvq)^-q]
II: [(-p¡-q)v-q]+>-t0vq)nql
III: [-q,..(-p'rq)]<+-(-p-+q)

36. 26.
27.
28.
tu.
Sabiendo que p es F y que q es una proposición cualquiera,
verdad de la proposición x. tal que:
[x+ (p
^
q)]+ p sea F
[x v (p
^
-q)] <+(- pv q) seaV
[(p+ q) <+ x] v -(p n q) sea V
Simplifrcar las proposiciones siguientes:
(p<+q)v(-pvq)
t (- p v q ) n ( -q -+ p) I -+ (p n - q)
lq +(pnr) I
" [-p-+(pnr)]
[ ( q + p) n ( -p + q) ]+ - (p v- q)
(q+p)+[(pvq)+(q^-p)]
[ (p+ q ) + ( -pn -q) ]
^[
(-p n q)v p]
(-p'q)+[pn-(pn-q)]
I q
-' ( r n - q ) ] + [(q
^
- p)+r]
[ (p -+ r) n - p ] v [( p v q) + r]
ALGEBRA
determinar el valor de
R:F
R: V
R:F
R: -pvq
R:-q
R: p
R: :p
R:-p
R:pn-q
R: p
R:v
31.
32.
29.
30.
33.
34.
35.
36.
37. R: -pvr

37. LOGICA 37
4t
42.
38.
39.
40
50.
- (p + - q) v [ (p + r) n- (p n r) ]
[ (p + -r) +p ] n [ -p -+ - (p v -q) ]
lp+(pn-q)ln[(pvq)+p]
t-(pvq)+(-pn-q)l+r
[ ( r-+ p ) + (p n r) ] + [ (rv q) -+ (- r^q) ]
[ ( p
" - q ) v - p ] -+ [q n -(p+ r)]
[ ( p n - q) v (q n r) ]
" t(qv r)n - rl
t (-pnq) v (pn-q) I v-(-p +q)
[( p + - r )+ -p] + [ p n (-q+ r)]
[ (p -+ r) +> (p n r) ] n [ (p + -q)+q]
t(-p<+q)nrl v Irn(py-q)]
Determinar una proposición x, tal que:
[^x+(qnx)] n(p+q)=-p
[ (x+ p) n( q v -x)] v (p n - x) =q
R:qv-p
R:p
R:-q
R: r
R:-r
R:pnq
R: F
R: -pv-q
R:p
R:pnq
R: r
R:-p
R: -q
43. t(-q+r)n-(qn-r)l+[G-+p)¡(p-+-r)] R:-r
44.
45.
46.
47.
48.
49.
51.

38. 38
52. [(x+q)+x] n(-q+ -p)=p^q R:p
Construir el circuito lógico que representa a cada una de las proposiciones siguientes:
53. p +q
54. p <+q
55. pyq
56. { (p¡-q)v [-qv (-pnq)]] n(pvq)
57. { [pn(qvr)] v(p^-r) ] n(-prr-q)
58. { t(pv9)n(-pvr)lv[(pnq)v(-r^-q)] ]n(pvqvr)
59. {[-rn(prrq)]v [(-p.rr)n(-qv-r)]] n [-pv(qnr) ]
Escribir la proposición que caracteriza a cada uno de los siguientes circuitos lógicos, y
simplificar:
q-p
ALGEBRA
61.
R: -pn-q

39. LOGICA
62.
39
63
64.
R:pv
R: -p nq
R:pnq
R:pnq
R: r n-q
65.
66.
r
___J_
-p
!r
67.
,------J-r-l
-p
__J____________J__ )
R:q

40. 40
68.
ALGEBRA
R: p n-r
-pv-q
siguientes
69.
Por medio de una tabla de
razonamientos:
p+q
-p+r
-Í
pv-q
ro-q
pv -r
p
valores de verdad, justificar la validez de
-p v-q
p
r+q
-p +q
-r +-q
-(pn-t)
-r
R:
los
b)
a)
70.
-r
b)
a)
7t.
t
En cada uno de los siguientes ejercicios, demostrar la conclusión dada haciendo el uso
de las reglas de inferencia.
a)
72. Demostrar: u A-v b)Demostrar:GnF

41. LOGICA
l. v+-p
2. p^-t
3. s+t
4. q+u
5. sv(qnr)
l. C+B
2. -D+(EnF)
3. An-B
4. (AnE)+G
5. Cv-D
73. a) Demostrar: x:3 v y < 2 b) Demostrar: y *2 ny >2
l. x=y v x<y 2. y f 2+xl2
2. (x<3Ay=x+l)-+y*8 2. x*5vy*2
3. x=3 v y:8 3. x:y+3ny<4
4. x*y ,r. y=x+l 4. (y>2^y<4)+x>5
5. xi3+x*y 5. x#y+3vx>2
74. a) Demostrar:rvs b) Demostrar:rvs
l. p+-C l. p+-A
2. An-B 2. -q+B
3. (-pvq)+(rnt) 3. -p+r
4. BvD 4. Av-B
5. A+(Cv-D) 5. q+r
75. a) Demostrar: x+3 vy+l b) Demostrar:x=5vz>5
l. x:3+y/-3 l. x+1+zfx
2. x:ynx*y 2. x<6 v x:3
3. x*5 vy<3 3. x=3+z>x
4. x=y+(x=y+2vx<5) 4. x<6+z>x
5. x=Y+2+xcY 5. x:5 v x*7
76. a) Demostrar: svt b) Demostrar: -pvq
l. (p+r)+(-AvB) l. (AnB)+-(r+-s)
2. p+q 2. t+-s
4t

42. 42 ALGEBRA
3. B-+s
4. q-+r
5. -A-+s
3. r -+t
4. p-+A
5. p -+B
77. a) Demostrar: x<6 b) Demostrar: x>4
l. x>yv x<6 l. x>y v y:3
2. x>y+x>4 2. x>4-+yr'l
3. x>4 -)x:5 3. x>y+x>4
4. x<6+x:5 4. x:y+yll
5. (x:5vz>x)+y<z 5. x >y v x= y
6. x>y-+y *z 6. y:3 -+ y>l
Demostrar la validez de los siguientes razonamientos:
78. Si ta ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno
del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y habita en
el océano. Por tanto, habita en el océano y no necesita branquias.
79. Si la enmienda no fue aprobada entonces la constitución queda como estaba. Si
la constitución queda como estaba, entonces no podemos añadir nuevos
miembros al comité, Podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe
se retrasará un mes. Pero el informe no se retrasará un mes, Por tanto, la
enmienda fue aprobada.
80. Negar las siguientes proposiciones:
a) Vx: p(x)v-q(x): b) lx/p(x)v-q(x)
c) Vx: p(x) -+ q (x) ; b) lx / p(x) e - q (x)

43. LOGICA
81. Expresar las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y
retraducirlas al lenguaje común:
a) El cuadrado de todo número entero es mayor que l.
b) Existen números naturales cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del
siguiente.
c) Hay jóvenes que no estudian ni trabajan.
d) Todo el que estudia triunfa.
e) Ningún cuento de hadas es una historia cierta.
D Ninguna cosa es alavez redonda
g) Nadie es totalmente juicioso o totalmente estúpido.
h) Existe algún número real que es menor que su parte entera
82. Deducir las siguientes conclusiones de las premisas dadas, dando una
demostración formal completa en la forma típica.
a) Demostrar:3+4<3+7 b) Demostrar: 3<5
l. Vx: x<2+6 -+ x< 3+7 1. Vx: (x<4 n4<5) ->x< 5
2. Yy: y+4>2+5v y+4<2+6 2. Yy: -4<-y a y< 4
3. 3+4t2'+5 3. 4<5
4. -4<-3
EJERCICIOS VARIOS
Sabiendo que p es F y que q y r son proposiciones cualesquiera, determinar el valor de
verdad de la proposición x, tal que:
83. [(- p n x) y (p n- q)]e -(p-+ r) sea V
84 [(-pv r)+> -(- x -+ p)] y (q-+ -p) sea V
R: F
43
R:V

44. 44
85.
ALGEBRA
R: V
R: pnq
R:q
R:-q
R:p
87.
88.
[(p-+ -q)<+(x v p)]-+ -(r+ -p) sea F
Simplificar las siguientes proposiciones:
{[p n ( q + r )]
^ [ p -+ (q n - r )] ]v {(p n q ) v [( p n r )n (q v - r ) ]]
t ( - p
^
- q ) <+ - ( q -+ p ) I y { ( p
^
- q ) v - [ ( p n - q ) v ( q + p ) ] ]
lq n ( s -+ q) I y [ (p^-q ) v (-p
^q ) v (p-+r) v (p¡+ q) ]
{ ( p ¡ - q ) v - (p e q ) v - [ (q -+ p ) v ( r + s ) ] ] y t q
^
(p -+q ) l
Determinar una proposición x , tal que:
x+(p<+x)=pvq
[(p y -x )+ x]
^(q
v x) = p v - q
[(r n x)e(x + r)] n [q +(-p
^
x )] = p
^
- q
86.
89.
90.
91.
92.
93.
R:- q
R: -q
R:p
Obtener las proposiciones correspondientes a los siguientes circuitos y simplificar:
pq
/_J_
-p -q
R:p

45. LOGICA 45
94.
95. Determinar una proposición
siguiente:
R: -pv-r
x, la más simple de manera que el circuito lógico
Demostrar: -(x:yvy / l)
l.Y * l-+(y< I vy:l)
2.(x+3
^x / 3)-+x=0
q
Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos siguientes:
sea equivalente al circuito:
--]--o_l-
L___,_)
Demostrar:x<6vz>6 b)
l. (x< 7 n x=5)-+(z>x v y<z)
2.x<6+(x=5nx<7)
a)
96
-q

46. ALGEBRA
3.x>y-+- (y<zvz>x) 3.y+ I ny I I
4. x >4 -+ (x= 5 nx< 7) 4. x >3 + x*y
5.x>y-+x>4 5.x=3-+x+y
6.x>yvx<6 6.x*0
97. a) Demostrar: -(x<ynx= l) b) Demostrar: -(x I ynx* l)
l.(x:y-+y=0)-+ x=0 l.(x < I v.xy<0)-+ y> I
2.(x= 0vxY=0)-+Y=0 2. Y> l<+xcy
3.x=y+x I y 3. (x*2yuy > l)-+ x< I
4.y=0<+x*y 4.x=2y-->x<y
98. a) Demostrar:5+2*.4+3 b) Demostrar: 3f3+4
l.Vx:x+2>4vx+l<7 l.VxVy:x>y+y/x+3
2.Yy:5 +y < 4+3 -+ 5+y f 4 2. VuVv: u-3 <v + 3 *v>u
3.5+l*.7 3. (3+3)-3<4
99. Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
Mi padre me alaba si yo estoy orgulloso de mi mismo. O me va bien en deportes
o no puedo estar orgulloso de mi mismo. Si estudio bastante, entonces no me va
bien en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante.
100. Epiménides de Cnosos (siglo VI a. de C.) decía "Todos los cretenses son
mentirosos y yo soy cretense, luego miento".
Alguien a la vista de ello, Íazona como sigue:
Si Epiménides mintió en lo que dijo, entonces los cretenses no eran mentirosos,
luego Epiménides, por ser cretense, no era mentiroso y, consecuentemente, no
mintió en lo que dijo, Se llega así, pues, a una contradicción. ¿Este razonamiento
es correcto?.