Este documento presenta los conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo proposiciones, funciones proposicionales, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que una proposición es una expresión a la que se le puede asignar un valor de verdad, y presenta ejemplos de proposiciones atómicas y compuestas. También define funciones proposicionales y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción y condicional, concluyendo con sus respectivas t

1. APUNTES DE LÓGICA CURSO MATEMATICA DE FRONTERA
Profesor Rafael Labarca B.
Este apunte, en su versión primaria, fue escrito como el capítulo I de un curso propedéutico
para ingeniería matemática e hizo parte de la memoria de grado y de título profesional de mi
alumno Ricardo Garrido.-
1. Elementos de la lógica matemática
1.1 Conectivos básicos y tablas de verdad
1.2 Equivalencia lógica: Las leyes de la lógica
1.3 Implicación lógica: Reglas de inferencia
1.4 Uso de cuantificadores
1. 1 Elementos de la lógica matemática
Una de las aspiraciones, de los distintos sistemas sociales en todos los tiempos, es
que sus ciudadanos sean capaces de emitir juicios (esto es: realizar los mecanismos
mentales necesarios para formar pensamientos coherentes con distintos conceptos) y
que sean capaces de expresarlos. Notamos que, en esta connotación, el juicio es
reconocido como una reunión coherente de conceptos. Esto es: se discurre sobre algo
(verdadero o falso) de algo. Naturalmente percibimos que el juicio tiene un sujeto y
un predicado lógico. El sujeto es la parte del juicio sobre la cual se dice algo y el
predicado es lo que se dice del sujeto.
Ejemplo 1:
Un hombre nortino escribió un libro.
Aquí el sujeto es: “un hombre nortino” y su predicado es “escribió un libro”.
También podríamos decir: “Un hombre nortino de una edad entre 45 y 55 años
escribió un interesante libro sobre los minerales existentes en la provincia de Arica
entre los años 1948 y 1958”.
La segunda expresión, del mismo juicio, agrega más palabras y letras descriptoras
pero expresa algo similar a lo señalado en la primera redacción (claro que aporta una
mejor descripción del hecho).
La expresión de un juicio a través de la escritura o la palabra será reconocida como
una proposición.
Al juicio mismo, y entonces a la proposición de un juicio, se le puede asignar un
valor de verdad. De esta forma, podemos asignar a la proposición, al menos, un valor
de verdad o de falsedad. En general, este valor (de verdad o falsedad ) se lo otorgará
la persona cuando no se refiere a elementos objetivos.
Ejemplo 2: Rolando es feo
1

2. Es una expresión de un juicio que puede ser verdad para algún detractor de Rolando
pero con mucha seguridad no lo será para su madre o su enamorada.
En general, la asignación de dos valores de verdad (verdadero o falso) a una
proposición es lo que se reconoce como principio de bivalencia de las proposiciones.
Podríamos, también, asignar tres valores de verdad a una proposición. Por ejemplo: 1
si la proposición es verdadera, 2 si la proposición no es decidible y 3 si la proposición
es falsa. Al proceder de esta forma estaríamos iniciando un proceso de construcción
del razonamiento lógico trivalente o cuyo principio es de trivalencia de
proposiciones. También, podríamos asignar k valores de verdad a una proposición
dando la respectiva tabla de valencias.
En general, las construcciones asociadas al álgebra de proposiciones se han hecho
para el principio de bivalencia y es lo que haremos aquí. Las otras construcciones
lógicas, que ya hemos declarado existentes, escapan del objeto de este texto.
Denotaremos por U el conjunto de proposiciones y por las letras p, q, r, s…las
proposiciones.
Nota:
1.- A partir de ahora ya no nos referiremos al juicio como elemento esencial de la
construcción lógica.
2.- Este enfoque, el de juicio-proposición, es reconocido como de inspiración
aristotélica-escolástica.
3.- La reducción a las proposiciones es la que sigue la línea inspirada por Frege.
4.- En nuestro desarrollo, adoptaremos los conceptos de verdadero y falso como
primitivos; esto es los aceptaremos como suficientemente claro para nuestros
propósitos
1.2 Proposiciones y operaciones lógicas.
Dividiremos las proposiciones en atómicas o simples y compuestas o moleculares.
Expresiones como Ricardo es feliz; Natalia es gorda o Roberto es delgado, son
atómicas. Obtendremos las expresiones compuestas combinando enunciados simples
con conjunciones. Por ejemplo: Si Camilo es un buen estudiante entonces la madre
de Camilo es feliz: o Si Camilo estudia es muy posible que complete sus estudios;
Natalia es rubia y gorda; son proposiciones moleculares.
A continuación señalamos ejemplos de proposiciones y de expresiones que no son
proposiciones, y se explica el porqué algunas de estas expresiones no son
proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos
puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo 1.
2

3. p: 2 + 2 = 4
q: ¿Cuál es tu nombre?
r: 7 < -5
s: yx =+32
t: Mañana estará nublado
w: Préstame tus apuntes, por favor.
La expresión señalada con la letra p es una proposición válida y verdadera, mientras
que la proposición r es falsa. La expresión en s también es una proposición valida,
aunque el valor de verdadero o falso, va a depender del valor asignado a las variables
x e y en determinado momento. La expresión del inciso t también es una proposición
aunque para decir si es verdadera o falsa, se tendría que esperar a ver como estará el
tiempo mañana. Sin embargo las expresiones en q y w no son proposiciones válidas,
ya que no se le puede asignar un valor de verdadero o falso, uno de ellos es una
pregunta y el otro es una petición.
Se llama función proposicional o proposición abierta a una proposición en que el
sujeto está dado en forma de símbolo y puede ser reemplazado por alguno de
los elementos de un conjunto fijado con anterioridad. Por ejemplo, a una expresión
del tipo: p(x): x es un número natural (x∈IN). Cada vez que el símbolo o variable
(x) sea reemplazado por un elemento del conjunto (en este caso IN)
la función proposicional pasa a ser proposición y tiene su valor de verdad.
Si x = 2 "2 es número natural" es V
Si x = 0,5 "0,5 es número natural" es F
Al conjunto al que pertenece la variable se le llama dominio o universo de la
función proposicional.
Las funciones proposicionales pueden tener más de una variable. Por ejemplo: la
proposición q (x, y): 5x+8y=20, donde x e y son números enteros: q(2,1) es falsa y
q(12,-5) es verdadera.
Ejemplo 2: Determinar cuáles de las siguientes expresiones del lenguaje son
proposiciones y determinar su valor de verdad.
a) ¿Qué hora es?
b) El árbol pertenece al reino vegetal
c) El queso es un subproducto de la leche
d) En Chile en invierno la temperatura ambiente pasa de 35°
e) Voy a salir, vuelvo más tarde
f) Cierra la puerta
g) El oro es valioso y el oro no es valioso
Solución:
a) No es proposición, no le podemos asignar un valor de verdad
b) Es proposición y es verdadera
c) Es proposición y es verdadera
d) Es proposición y es falsa
3

4. e) No es proposición, no podemos asignarle un valor de verdad
f) No es proposición
g) Es proposición y es siempre falsa
Ejemplo 3: Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y
cuáles son funciones proposicionales.
a) Los números mayores que 2 son negativos.
b) El número entero x es mayor que 10.
c) Los múltiplos de 3 son infinitos.
d) Los enteros x e y son factores de 12.
Solución:
a) Proposición; su valor de verdad es falso.
b) Función proposicional; según el valor que tome x, su valor de verdad será
verdadero o falso.
c) Proposición; su valor de verdad es verdadero.
d) Función proposicional; según los valores que tomen x e y será su valor de
verdad.
1.2.1 Ejercicios propuestos:
1) Indique cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones.
a) Los triángulos son figuras de 3 lados.
b) Hoy es un día lluvioso.
c) ¿ Qué comiste ayer?.
d) 98 + 23 = 121
e) 2 – 2 = 7
2) De las proposiciones del ejercicio anterior indique su valor de verdad.
3) Determine si las siguientes expresiones son o no proposiciones. Si lo son,
determine su valor de verdad.
p: Rembrandt es un pintor famoso.
q: La velocidad se define como distancia recorrida en un tiempo dado.
r: El 25% de 400 es 200.
s: Las gallinas son mamíferos
t: Vengan a tomar el té.
u: 13 es un número par.
v: Pintemos esa casa.
w: 25 es la décima parte de 250.
4) Determine cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles son
funciones proposicionales.
a) El conjunto de los números naturales es parte de los números reales.
b) Un número racional se puede escribir de muchas maneras.
4

5. c) Los racionales
3
2
y
8
5
son equivalentes.
d) x en Q es equivalente a
4
3
e) El número entero x se puede escribir como un racional.
f) α es un ángulo agudo.
g) 60° es el suplemento de 120°.
h) Los enteros x e y son factores de 15.
1.2.2 Conectivos básicos y tablas de verdad asociadas
Existen diversos conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones
compuestas o moleculares (formadas por varias proposiciones). Los operadores o
conectivos básicos son:
Operador Not (no)
Su función es negar la proposición. En particular, esto significa que sí alguna
proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o
negación (falso). Este operador se indica por medio del siguiente símbolo: ¬
Ejemplo 1: La negación de p: está lloviendo en este momento, es, ¬ p : no está
lloviendo en este momento.
En este caso, la proposición p puede tomar los valores de verdad verdadero (V) o
falso (F) según llueva o no llueva en este momento. Si llueve, p es verdadero y su
negación, ¬ p, sería falso, pero si no está lloviendo, p es falso y su negación, ¬p, es verdadera.
Los valores de verdad de la proposición ¬ p, conocidos los valores de verdad de p, se
pueden resumir en el siguiente cuadro, llamado tabla de verdad de la negación:
P
¬ p
V F
F V
Conectivo ∧ (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones. Para obtener un resultado verdadero las
proposiciones conectadas deben ser ambas verdaderas. Su símbolo es: ∧
Ejemplo 1: Sean los siguientes enunciados:
p: La madre de Jorge es feliz
q: Jorge es feliz.
5

6. r: La madre de Jorge es Feliz y Jorge es feliz ( o sea r = p ∧ q).
La tabla de verdad del conectivo ∧ , conocidos los valores de verdad de las
proposiciones p y q, es la siguiente:
En la tabla anterior, se puede notar, que la única forma de que ambos sean felices es
que por separado cada uno de ellos lo sea (o sea p verdadero y q verdadero implican
que p ∧ q es verdadero, y viceversa).
Conectivo ∨ (o)
Este operador (reconocido como operador de disyunción) tiene una ambivalencia
grave. A saber, considerarla como una disyunción excluyente o incluyente. Por
ejemplo, si consideramos las proposiciones: p: Lautaro se dedica al fútbol y q:
Lautaro se dedica a la natación. La disyunción p∨ q se puede considerar de dos
formas:
1.- Lautaro se dedica al fútbol y a la natación (incluye a ambas posibilidades) o
2.- Lautaro se dedica al fútbol ó a la natación (una excluye a la otra).
A fin de que nuestras construcciones sean consistentes aquí adoptaremos el acuerdo
que nuestra disyunción será inclusiva. Esto es p∨ q será verdadera si una de ellas lo
es (no requiere que ambas lo sean).
La tabla de verdad asociada a este conectivo, conocidos los valores de verdad de sus
componentes, es la siguiente:
p q r = p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q r = p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
6

7. En la tabla anterior, se puede notar, que la única forma de que p∨ q sea falso es que
ambas proposiciones (p y q) sean falsas.
Proposiciones condicionales.
Una proposición condicional, es una proposición molecular que está formada por dos
proposiciones simples p, q. La cual se indica de la siguiente manera: p → q. Se lee
“Si p entonces q”, “ q es condición necesaria para p” o “p es condición suficiente
para q”
Ejemplo 1: El Sr. Zúñiga candidato a alcalde, dice: “Si salgo electo alcalde, recibirán
un bono de $5000 el próximo mes”. Una declaración como esta se conoce como una
proposición condicional.
Sean p: Salir electo alcalde y q: Recibir un bono de $5000 el próximo mes.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. Si p
entonces q, y se denota: p → q
Su tabla de verdad es la siguiente:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato mintió, con la afirmación del
enunciado anterior. Cuando p es V; significa que salió electo, q es V si recibieron un
bono de $5000, por lo tanto p → q es V; significa que el candidato dijo la verdad en
su campaña. Cuando p es V y q es F significa que p → q es F; el candidato mintió,
ya que salió electo y no hubo bono. Cuando p es F y q es V significa que aunque no
salió electo hubo un bono de $5000, que posiblemente fue ajeno al candidato y por lo
tanto; tampoco mintió de tal forma que p → q es V. Si, finalmente, p es F y q es F
el resultado de p → q es V, ya que no salió electo y por lo tanto, no estaba obligado
a emitir el bono.
Para entender de mejor forma la tabla de verdad de el condicional “Si p entonces q”,
se puede interpretar de la siguiente manera: el condicional es una proposición
compuesta. De modo que si p es verdadera y q es verdadera entonces el condicional
debe ser verdadero ya que es natural esperar que de algo verdadero se deduzca otra
verdad. Si p es verdadera y q es falsa entonces el condicional es falso por el hecho de
que no esperamos que una deducción lógica de algo verdadero sea falso así que si
7

8. eso ocurre entonces la condicional debe ser falsa. Sí ocurre que p es falso y q es
verdadera entonces la condicional es verdadera ya que es cierto que de algo falso se
puede deducir algo verdadero y si así ocurre entonces la condicional es verdadera.
Por la misma razón, si p es falsa y q es falsa entonces la condicional es verdadera ya
que de algo falso es posible deducir otra falsedad.
Proposición bicondicional.
Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional
de la siguiente manera: p ↔ q; Se lee “ p si y sólo si q”, “q si y solo si p”, “p es
condición necesaria y suficiente para q”, “q es condición necesaria y suficiente para
p”, “p es equivalente a q”, “q es equivalente a p”
Esto significa que p es verdadera siempre y cuando q es también verdadera. O bien p
es falsa siempre y cuando q también lo es. Su tabla de verdad es la siguiente:
1.3 Álgebra de Boole
Mediante el uso de operadores y conectivos lógicos podemos elaborar proposiciones
compuestas más extensas que sus componentes, denotadas de la forma P(p,q,r,s,…) y
asignarle a cada una de ellas su tabla de verdad asociada. Esto pasa a ser un acto
mecánico de pura operatoria y recibe el nombre de Álgebra de Boole.
A continuación se presenta un ejemplo para la proposición compuesta P(p, q, r),
definida por: P(p, q, r) = [(p→ q)∨( ¬ q∧r)] ↔ (r→ q).
p q r
¬q
p→
q
( ¬ q∧r
)
(p→ q)∨ ( ¬
q∧r)
r→ q [(p→ q)∨( ¬ q∧r
)] ↔ (r→ q)
V V V F V F V V V
V V F F V F V V V
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
8

9. V F V V F V V F F
V F F V F F F V F
F V V F V F V V V
F V F F V F V V V
F F V V V V V F F
F F F V V F V V V
Las tres primeras columnas contienen los valores de verdad de las proposiciones
componentes p, q y r. En la cuarta, quinta y sexta columna hemos colocado los valores
de verdad asociados a la proposición compuesta Q (p, q, r) = [(p → q)∨( ¬ q ∧ r)], que
hace parte de P. La séptima columna contiene la tabla de verdad de Q. La octava
columna contiene los valores de verdad de uno de los conectivos que componen P y la
última columna contiene la tabla de verdad de P.
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de proposiciones de la
proposición compuesta o polinomio de Boole definido y se puede calcular por medio de
la siguiente formula.
N° de líneas de la tabla de verdad = 2n
, donde n = número de proposiciones distintas que
hacen parte del polinomio de Boole en estudio.
1.3.1 Ejercicios propuestos:
Elaborar una tabla de verdad para cada proposición compuesta.
1:- ¬ ( p↔q ) ∧ ( q→ ¬ p )
2:- ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ∧ ( ¬ r ∨ q )
3.- ( p→ q ) ∧ (p→ r) ↔ p→ (q ∧ r )
4.- ( ¬ ( ¬ p → ¬ q ) ∧ ( r ∨ q ) )→ ¬ p
5.- ( p ∨ q ∨ r ) → [( q ∧ ( p→ r)) ∨ ( q ↔ p )]
1.4 Equivalencia lógica.
Se dice que dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes, o
simplemente equivalentes. Si sus tablas de valores de verdad son las mismas. Se
indica como p ≡ q o p⇔ q
Ejemplo 1: Afirmamos que la proposición condicional p → q es equivalente a la
proposición ¬ p ∨ q. Formemos la tabla de verdad para ambas proposiciones
9

10. p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Concluimos la equivalencia: (p → q) ⇔ ( ¬ p ∨ q)
Ejemplo 2: Verifiquemos que las proposiciones: (p → q ) y ( ¬ q → ¬ p ),
poseen los mismos valores de verdad y, por lo tanto, se puede establecer que
(p → q ) ≡ ( ¬ q → ¬ p )
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q
¬ p ¬ q ¬ q → ¬ p
V V F F V
V F F V F
F V V F V
F F V V V
Nota: Concluimos, de los dos ejemplos anteriores, las equivalencias:
(p → q) ⇔ ( ¬ p ∨ q) ⇔ ( ¬ q → ¬ p).
1.5 Tautología y contradicción (o falacia).
Una tautología, es aquel polinomio de Boole (o proposición compuesta) que es siempre
cierto para todos los valores de verdad de sus variables.
Ejemplo 1: El polinomio de Boole ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p ) es una tautología. En
efecto, su tabla de verdad es la siguiente:
P q
¬ p ¬ q p→q ¬ q → ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬p )
10
p q
¬ p ¬ p ∨ q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V

11. ¬ p
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Notamos que si P(p,q) denota el polinomio Booleano ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p )
entonces independiente del enunciado de p y de q resulta que P(p,q) es verdadera. Por
ejemplo: p: Santiago es la capital de Chile y q: Arica es la ciudad de la eterna primavera
entonces la tautología P(p,q) se lee: (Si Santiago es la capital de Chile entonces Arica es
la ciudad de la eterna primavera)es condición necesaria y suficiente para que ( Si Arica
no es la ciudad de la eterna primavera entonces Santiago no es la capital de Chile)
Ejemplo 2: El polinómio de Boole [(p→ q) ∧ (q→ r)]→ (p→ r), es una tautologia.
En efecto, su tabla de verdade es la siguiente:
p Q r p→q q→ r (p→ q) ∧ (q→ r) p→ r [(p→ q) ∧ (q→ r)] →
(p→ r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Una contradicción (o falacia), es aquel polinomio booleano (o proposición
compuesta) que siempre es falso para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen. Una de las más usadas y sencilla es p ∧ ¬ p. Como
lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
¬ p p ∧ ¬ p
V F F
F V F
Por ejemplo: Sí p es la proposición: Colo-Colo es un buen equipo de fútbol, entonces
(Colo-Colo es un buen equipo de fútbol y Colo-Colo es un mal equipo de fútbol) es
una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus diferentes líneas de la tabla de
verdad, dan como resultado V y F, se le llama contingencia.
11

12. 1.6 Las leyes de la lógica
Existen otras tautologías que se utilizan a menudo en las demostraciones de
matemáticas, estas se reconocen como leyes de la lógica. Alguna de ellas son:
Idempotencia:
p ∧ p ↔ p
p ∨ p ↔ p
Doble negación
¬ ( ¬ p) ↔p
Conmutatividad
p ∧ q ↔ q ∧ p
p ∨ q ↔ q ∨ p
p ↔ q ↔ q ↔ p
Asociatividad
p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r
p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r
Distributividad
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(q ∧ r) ∨ p ↔ (q ∨ p) ∧ (r ∨ p)
p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(q ∨ r) ∧ p ↔ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p)
Absorción
p ∨ (p ∧ q) ↔ p
p ∧ (p ∨ q) ↔ p
Leyes de Morgan
¬ (p ∨ q) ↔ ¬ p ∧ ¬ q
¬ (p ∧ q) ↔ ¬ p ∨ ¬ q
Identidad
p ∨ V ↔ V
p ∧ V ↔ p
p ∨ F ↔ p
12

13. p ∧ F ↔ F
Complemento
p ∨ ¬ p ↔ V
p ∧ ¬ p ↔ F
¬ V ↔ F
¬ F ↔ V
Ejemplo 1: Sean p : x ⋅ y >0 , q : x > 0 , r : y > 0 x, y ∈ IR, x, y ≠ 0
a) Explicar qué significa ¬ q , ¬ r , ¬ p
b) Escribir en símbolos la siguiente proposición: "el producto de dos números
reales es mayor que cero si y sólo si ambos son positivos o ambos son negativos".
c) Escribir en palabras la siguiente proposición: ¬ p ↔ ( ¬ q ∧ r) ∨ (q ∧ ¬ r)
Solución:
a) Como x, y ∈ IR y x, y ≠ 0 entonces
¬ q : x < 0 y ¬ r : y < 0 ¬ p : x ⋅ y < 0
b) p : x ⋅ y > 0 : el producto de dos números x e y reales es mayor que cero.
q : x > 0 : x es mayor que cero; r : y > 0 : y es mayor que cero
∴ p ↔ (q ∧ r) ∨ ( ¬ q ∧ ¬ r)
c) ¬ p ↔ ( ¬ q ∧ r) ∨ (q ∧ ¬ r)
El producto de dos números reales es negativo si y sólo si el primero es negativo y
el segundo positivo o el primero es positivo y el segundo negativo.
1.6 Ejercicios propuestos:
1. Sean p, q, r, proposiciones simples, T una tautología y C una contradicción.
Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías.
a) ¬ (p ∨ q) ↔ ¬ p ∧ ¬ q b) ¬ (p ∧ q) ↔ ¬ p ∨ ¬q
c) p ∨ T ↔ T d) p ∧ T ↔ p
e) p ∨ C ↔ p f) p ∧ C ↔ C
g) p ∧ p ↔ p h) p ∨ p ↔ p
i) [p ∧ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∧ r] j) [p ∨ (q ∨ r)] ↔ [(p ∨ q) ∨ r]
k) p ∧ q ↔ q ∧ p l) p ∨ q ↔ q ∨ p
m) [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] n) [p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
13

14. o) ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p ) p) ( p ↔ q ) ↔ ( ¬ p ↔ ¬ q )
Observación: Cuando trabajamos con polinomios booleanos P(p,q,r,…) y Q(p,q,r,
…) puede ocurrir que la tabla de verdad del polinomio: R(p,p,q,r,….) ≡
¬ P(p,q,r,…) ∨ Q(p,q,r,…) sea siempre verdadera o sea que es una tautología. Por
lo que acabamos de ver esto sería equivalente a que la proposición P(p,q,r,…) →
Q(p,r,s,…), es una tautología. Para distinguir este hecho usaremos la notación
P(p,q,r,s…)⇒Q(p,q,r,…).
1.7 Implicación lógica: Reglas de inferencia
Las tautologías son proposiciones compuestas verdaderas (por ejemplo: [(p
→ q) ∧ (q→ r)]→ (p→ r) . Estas proposiciones son compuestas por otras
proposiciones (en el ejemplo: [(p→ q) ∧ (q→ r)] y (p→ r) que tienen valores de
verdad y de falsedad. La combinación de estos valores de verdad o falsedad con
algunos conectivos (en este caso: → ) nos entrega algo siempre verdadero. El hecho
de que el resultado sea siempre verdadero dice que las componentes se combinan de
esa forma. Aquí por ejemplo no puede ocurrir que [(p→ q) ∧ (q→ r)] sea verdadera
y (p→ r) sea falso ya que sí así ocurre entonces [(p → q) ∧ (q→ r)] → (p→ r) sería
falso. Lo que no es cierto. Concluimos que si [(p → q) ∧ (q→ r)] es verdadero
necesariamente (p→ r) es verdadero Esta es una regla de inferencia. Su validez
depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los
valores de verdad de las variables que contienen..
Ejemplo 1: Como hemos visto el polinomio booleano: [(p→ q) ∧ (q→ r)]→ (p→
r), es una tautología. Esto quiere decir que independientemente de lo que sean las
proposiciones p, q y r entonces la será siempre cierta
Ahora elaboramos un ejemplo en que la primera parte es verdadera y debemos
concluir que la segunda también debe ser verdadera.
Sea: p: el Transantiago funciona bien; q: al gobierno le va bien, y r: al país le va bien
Esta regla de inferencia se lee así: ya que es verdadero que ( Si el Transantiago
funciona bien entonces al gobierno le va bien) y (Si al Gobierno le va bien entonces
al país le va bien)] entonces debemos inferir que [Si el Transantiago funciona bien
entonces al país le va bien]. Que en jerga popular queda reducida a la última parte y
se obtiene la inferencia: Si el Transantiago funciona bien entonces al país le va bien,
como algo verdadero.
Supongamos ahora las proposiciones: p: Chile es una democracia; q: Chile es un
lindo país y r: Chile es largo.
Ahora, la regla de inferencia se lee: Si[(Si Chile es una democracia entonces Chile es
un lindo país) y( Si Chile es un lindo país entonces Chile es largo)] entonces[Si Chile
14

15. es una democracia entonces Chile es largo]. Que en vox populi queda reducida a: Si
Chile es una democracia entonces Chile es largo.
Esta regla de inferencia lógica se conoce como la transitividad del condicional (aquí
de la veracidad de la primera parte de la función proposicional se infiere la
veracidad de la segunda parte de la función proposicional ).
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas
de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas. A continuación se cita una
lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una
demostración.
1.- Adición
p
_______
∴p ∨ q
Regla de inferencia: Si p es verdadera entonces p ∨ q es verdadera independiente de q
2.- Simplificación
p ∧ q
_______
∴p
Regla de inferencia: Si p ∧ q es verdadera entonces p debe ser verdadera.
3.- Silogismo disyuntivo
p ∨ q
¬ p
______
∴ q
Regla de inferencia: Si p ∨ q es verdadera y ¬ p es verdadera entonces q debe ser
verdadera.
4.- Silogismo hipotético
p → q
q → r
________
∴ p → r
Regla de inferencia: Si p → q es verdadera y q → r es verdadera entonces p → r es
verdadera.
5.- Conjunción
p
q
15

16. _______
∴ p ∧ q
Regla de inferencia: Si p es verdadera y q es verdadera entonces p ∧ q es verdadera.
6.- Modus pones
p
p → q
_______
∴q
Regla de inferencia: Si p es verdadera y p → q es verdadera entonces q es verdadera.
7.- Modus tollens
p → q
¬ q
________
∴ ¬ p
Regla de inferencia: Si p → q es verdadera y ¬ q es verdadera entonces ¬ p es
verdadera.
Nota sobre la condicional p → q:
En lógica es común llamar a la condicional p → q de “implicación directa”. Con esta
notación se llama a la condicional q→ p la recíproca de la directa; a la condicional
¬ p → ¬ q la contraria de la directa y a la condicional ¬ q → ¬ p la contra
recíproca.
Veamos sus tablas de verdad:
p q
¬p
¬q
p →
q
q→
p
¬ p →
¬ q
¬ q →
¬ p
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Notamos, a partir de esta tabla de verdad, que (p → q) ↔ ( ¬ q → ¬ p) es una
tautología. O sea que (p → q) ⇔ ( ¬ q → ¬ p), son implicaciones lógicas
equivalentes.
16

17. 1.8 Uso de cuantificadores
Las funciones proposiciones tienen un conjunto de valores para los que resultan ser
ciertas (el conjunto puede ser vacío). Por ejemplo: P(x): x∈x. Esta función
proposicional no es satisfecha por nada ya que se sigue el sano principio de que no hay
un todo que sea elemento de sí mismo. En general, podemos suponer que hay
establecidos conjuntos U de valores y que los conjuntos de valores en los cuales las
funciones proposiciones son verdaderas se comparan con estos conjuntos (que a veces se
llaman universales). En estas circunstancias aparecen los cuantificadores. Estos dicen si
la proposición vale para todo elemento del conjunto U, o para algunos o para ninguno.
Los dos más usuales son: el cuantificador universal y el cuantificador existencial.
Cuantificador universal: se representa con el símbolo " ∀" que se lee "para todo
valor de". Se utiliza cuando todos los elementos de un determinado conjunto
referencial pueden ser valores del conjunto de verdad de la función proposicional
dada.
Ejemplo 1: Para la función proposicional " 0:)( 2
≥xxp , definida en el conjunto de los
números enteros", es factible de verificar que para cualquier valor entero esta expresión
es verdadera y por lo tanto la podemos transformar en una proposición utilizando el
cuantificador universal:
∈∀ xx, Z 0, 2
≥x
(Esta expresión se lee: "para todo valor de x que pertenece a los números enteros se
cumple que x elevado al cuadrado es positivo").
Cuantificador existencial: El cuantificador existencial se representa con el símbolo
" ∃ " que se lee: "existe por lo menos un elemento" y cuantifica una expresión
cuando al menos uno de los elementos del conjunto referencial satisface a la función
proposicional. También esta el cuantificador existencial " ∃!" que se lee “existe un
único elemento” e indica cuando hay uno y solo un elemento, del conjunto
referencial. que satisface la función proposicional.
Ejemplo 2: Para la función proposicional " 6:)( 2
≤xxp definida en el conjunto de
los números enteros", existe al menos un valor que la satisface, por ejemplo, el
número 2 (2 elevado al cuadrado da 4 que es menor que 6). Por lo tanto podemos
hacer uso del cuantificador existencial para transformar la función proposicional dada
en una proposición verdadera: ∈∃ xx, Z 6, 2
≤x
(Esta expresión se lee: "existe por lo menos un número entero tal que al elevarlo al
cuadrado da por resultado un número menor o igual que 6").
Ejemplo 3: Sea p (x): x es un múltiplo de 2 y sea el conjunto E = {x ∈ IN / x<10} =
{1,2, 3,4, 5, 6, 7,8,9}
La siguiente proposición (∀ x ∈ E: p(x)),es falsa puesto que hay elementos de E que
no son pares.
17

18. (∃ x ∈ E: p(x)), es verdadera, puesto que hay al menos un elemento de E que es par.
(∃! x ∈ E: p(x)), es falsa, ya que existe más de un elemento de E que es par.
1.8.1 Leyes de Morgan para cuantificadores.
Se les denominan Leyes de Morgan para cuantificadores, a dos equivalencias que son
de bastante utilidad en las demostraciones matemáticas.
Estas son las siguientes:
¬ (∀ x ∈ E: p (x)) ↔ (∃ x ∈ E: ¬ p (x))
¬ (∃ x ∈ E: p (x)) ↔ (∀ x ∈ E: ¬ p (x))
En palabras:
["Es falso que para todo x en E se cumple p (x)" es equivalente a "existe algún x en
E tal que no se cumple p (x)"] y
["Es falso que existe x en E tal que se cumple p (x)" es equivalente a "para todo x en
E, no se cumple p (x)"].
Ejemplo 1: Sean las siguientes proposiciones
p: ∀ x ∈ IN, x + 2 > 0
q: ∃ x∈ IN, x - l ∉ IN
a) Determinar su valor de verdad
b) Escribir ¬ p y ¬ q
Solución:
a) p es verdadera, ya que para todo número natural x, x + 2 > 0
q es verdadera, porque existe un número natural x tal que x -1 no es natural. Ese
número es 1, ya que 1 – 1 = 0 ∉ IN
b) ¬ p : ∃ x ∈IN, x + 2 < 0
¬ q : ∀ x ∈ IN, x - 1 ∈ IN
Ejemplo 2: Sea A = {x∈ IN / x<5} y B = {y∈ IN / y<4}
Sean las proposiciones:
p: (∀ x ∈ A) (∃ y ∈ B), x + y < 6
q: (∃ x ∈ A) (∃ y ∈ B), x ⋅ y = 15
a) Determinar el valor de verdad de cada proposición
b) Escribir ¬ p y ¬ q
18

19. Solución:
Vemos que A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3}
a) p es verdadero, ya que para todo número de A existe un número de B tal
que la suma es menor que 6.
q es falso, ya que no existe ningún número en A ni ningún número en B tal que
su producto sea 15.
b) ¬ p : (∃ x∈A) (∀ y∈ B), x + y ≥ 6
¬ q : (∀ x∈A) (∀ y ∈ B), x ⋅ y ≠15
1.9 El método matemático
Desde fines del siglo XIX, los matemáticos han coincidido en establecer una forma de
hacer matemáticas que se reconoce como Axiomática. A saber: se parte de postulados
o axiomas cuya validez se asume (no se demuestran), se dan definiciones y se
empieza a establecer proposiciones que mezclan axiomas y definiciones. A estas
proposiciones se les llama Lemas, Proposiciones, Corolarios, Escolios, etc. Cuando
alguna de ellas resulta central en el desarrollo de la teoría, se le llama Teorema. Estas
construcciones matemáticas tienen los siguientes principios:
1.- El Principio de Identidad: p⇔ p
Esto es p se puede reemplazar por cualquier afirmación equivalente.
2.- El Principio de la no Contradicción: ¬ (p ∧ ( ¬ p)) es una tautología.
Esto es: la construcción matemática no puede admitir p y ¬ p como verdaderos. O
sea, no podemos concluir p y ¬ p como consecuencias del desarrollo de la teoría.
3.- El principio del Tercer Excluido: p∨ ( ¬ p) es una tautología.
Esto es sólo admitimos dos posibilidades para la verdad. No hay una tercera
posibilidad (ergo, nuestro querido “más o menos” esta fuera de lo admitido como
matemáticamente sustentable).
Así, por ejemplo, cada vez que su profesor le coloca la mitad del puntaje en un
ejercicio es porque le esta regalando esa mitad. O entonces, la didáctica y la
metodología ha sido incorporada en la formación de profesores.
4.- El Principio de la Razón Suficiente: Un resultado se acepta como verdadero
cuando tenemos razones suficientes para aceptarlo como tal.
Por ejemplo: Sea p: 1 2≠ . Aceptamos esto como verdadero entre los números
naturales 1 y 2 ya que tenemos muchas razones para ello (en particular, la propia
definición que damos adelante).
19

20. Esto es; en matemáticas nada se acepta como acto de fe (incluidos axiomas y
postulados los que aceptamos porque tenemos suficiente evidencia de su veracidad)
El método matemático es la demostración y se resume en que cada nuevo resultado
tiene una Hipótesis y una Tesis. El método consiste en probar que a partir de la
hipótesis se obtiene la tesis (claro que puede usar como hipótesis subyacente todo lo
que ya ha probado como verdadero a la teoría). Una vez hecho esto, se agrega el
nuevo resultado a la teoría y se avanza.
Este método ha probado ser de extraordinaria utilidad al desarrollo humano. En
efecto, aporta una forma de validar desarrollos y teorías entre todos los hombres sin
importar país, religión, color, historia, cultura y etc.
El método científico, que es otra forma de validar desarrollos y teorías entre todos los
hombres, tiene la desventaja de la validación (o sea los resultados se repiten cuando
los experimentos son efectuados en las mismas condiciones). Por ejemplo: la teoría
del Big Bang no es posible de validar por el método científico ya que requeriría
reconstruir la explosión inicial para verificar que es cierta. Como esto no se puede
hacer, entonces esta teoría no se puede validar así. También, no se puede validar, por
este método, la teoría darwinista de la descendencia del hombre de otras formas de
primates. Tendríamos que partir con un primate, luego cruzarlo con otros, y de esta
forma, llegar a un hombre.
Aquí radica la fuerza del método matemático y sus conclusiones (por ejemplo: no
concluye el resultado darwinista ).
1.10 Métodos de demostración.
Ya que el método matemático es la demostración lo que resta es establecer algunos
procedimientos válidos que permiten demostrar. En general, dada la libertad de las
construcciones matemáticas, hay muchas. Indicaremos algunas.
1.10.1 Demostración por el método directo.
Supongamos que p→q es una tautología, en donde p y q son proposiciones
compuestas, en las que intervienen cualquier número de variables, se dice que q se
desprende lógicamente de p.
Por ejemplo, supongamos una implicación de la forma: (p1 ∧ p2 ∧.......∧ pn) → q , es
una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de
verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende
lógicamente de p1, p2,......,pn. y se escribe.
p1
p2
20

21. .
.
pn
____
∴ q
Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es
verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.
Prácticamente todos los resultados matemáticos están compuestos por implicaciones
de este tipo (p1 ∧ p2 ∧.......∧ pn) → q .
Las proposiciones p1, p2 , … pn son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada la
conclusión. “Demostrar el resultado”, es demostrar que la implicación es una
tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es
verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y
reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las
tautologías como de las reglas de inferencia: a saber
[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] → [ ¬ s → ¬ q]
Aquí se trata de probar un resultado de la forma general: p1 ∧ p2 ∧.......∧ pn → q
Aplicaremos un procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A
continuación se demuestra el resultado respaldando cada uno de sus pasos en tautologías
o reglas de inferencia ya conocidas.
1.- (p ∨ q) → r Hipótesis
2.- r → s Hipótesis
3.- q → (q ∨ p) Adición, regla 1
4.- q → (p ∨ q) ley conmutativa
5.- q → r silogismo hipotético, regla 4
6.- q → s silogismo hipotético, regla 4
7.- ¬ s → ¬ q contra recíproca
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.
Es recomendable enumerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras
líneas son hipótesis, la línea 4 es una ley de la lógica y las línea 3, 5 a 6 se obtuvieron
aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del
número de la derecha.
21

22. 1.10.2 Demostración por contradicción.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha
demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la
demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo
de la demostración es llegar a una contradicción.
La demostración del siguiente teorema es por el método de contradicción.
Ejemplo 1:
[[p → (q ∧ r) ] ∧ [(q ∨ s) → t ] ∧ (p ∨ s)] → t
Demostración
1.- p → (q ∧ r) Hipótesis
2.- (q ∨ s) → t Hipótesis
3.- p ∨ s Hipótesis
4.- ¬ t Negación de la conclusión
5.- ¬ (q ∨ s) línea 2 con línea 4; Modus tollens; regla 7
6.- ¬ q ∧ ¬ s línea 5; Ley de Morgan
7.- ¬ q línea 6; Simplificación, regla 2
8.- ¬ s ∧ ¬ q línea 6; Ley conmutativa
9.- ¬ s línea 8; Simplificación, regla 2
10.- s ∨ p línea 3; Ley conmutativa
11.- p línea 10 con línea 9; Silogismo disyuntivo, regla 3
12.- q ∧ r línea 11 con línea 1; Modus ponens, regla 6
13.- q línea 12; Simplificación, regla 2
14.- q ∧ ¬ q línea 13 con línea 7; Conjunción, regla 5
15.- Contradicción.
Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión.
La forma en que se aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en
que se realiza una factorización o una aplicación de una fórmula. Lo importante, es
aprender a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es
importante mencionar que no hay un único camino que se debe seguir, pero todos
llegan al resultado.
22

23. 1.10.3 Método del contraejemplo
Este método es simple: para probar que la afirmación )(: xPx∀ no es verdadera
basta encontrar un x para el cual ¬ P(x) es cierto.
Por ejemplo: 2: 2
≥∀ xx , no es cierta ya que x = 1 no lo satisface.
1.11 Ejercicios propuestos
1. Dadas las siguientes expresiones marcar con una cruz las que sean proposiciones e
indicar su valor de verdad.
a) 3494 =⋅
b) 12 – 8 = 4
c) Mañana.
d) El viento mueve las hojas de los árboles.
2. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples.
a) p: 9 < 11
b) q: 3524 ⋅>⋅
c) r: 312420 ÷=÷
d) s: Los seres humanos tienen seis orejas.
3. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.
a) Bolivia es un país europeo y 1829 =⋅
b) El pejerrey es un pez y a veces vuela.
c) 7 < 15 ∧ 1226 =⋅
d) 3612 =÷ ∨ 3649 =⋅
4. Negar las siguientes proposiciones.
a) 3248 =⋅
b) 6 < 10
c) Hoy hace mucho calor.
d) No se puede comer en clase.
e) Es falso que 9 + 1 = 15.
5. Resolver el siguiente problema.
La policía detuvo a Josefina, Aurelio, Juan y Eulogia, pues estaban seguros de que
uno de ellos había robado la estatua de un parque. Al ser interrogados estas fueron
sus declaraciones:
Josefina: - Fue Aurelio. Aurelio: - Fue Eulogia. Juan: - Fui yo. Eulogia: - Yo no fui.
Si se sabe que sólo Eulogia dice la verdad. ¿ Quién roba la estatua ?.
23

24. 6. Al finalizar el Rally solamente cuatro autos llegaron a la meta: el de Adolfo, el de
Esteban, el de Marcelo y el de Tomás. Un periodista que se había quedado dormido
les preguntó cómo habían clasificado; a lo cual respondieron.
Adolfo: - Yo salí primero. Esteban: - Yo no salí cuarto. Marcelo: - Yo salí cuarto.
Tomás: - Yo salí segundo.
Si el periodista sabe que sólo Tomás dijo la verdad. ¿ Cuáles fueron las posiciones
finales?.
7.- Tres hombres tienen dos trabajos cada uno. El chofer es admirador del músico. El
músico y el jardinero acostumbran a ir de pesca con Juan. El pintor le compró una
botella de whisky al abogado. El chofer es el novio de la hermana del pintor. Jorge
debe al jardinero $1000.-. Javier venció a Jorge y al pintor jugando al tejo. Uno de
ellos es peluquero, y no hay dos que tengan el mismo trabajo. ¿Qué hace cada uno?
8. Establecer el valor de verdad de las proposiciones.
a) Si 7 = 9, entonces las plantas son seres vivos.
b) 248248 =÷→⋅=
c) Si Francia es un país africano, entonces 9 < 5
d) Si 9 es un número impar, entonces 219 también es un número impar.
9. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) 2054279 =⋅↔+=
b) 9 < 11 ↔ 7 > 8
c) 61222154 ÷=↔−=
d) Marte es un planeta si y sólo si Júpiter es una estrella.
10.- Siendo la proposición p: "Luz es estudiosa" y la proposición q: "Milagros es
inteligente", se pide escribir en lenguaje simbólico cada una de las siguientes
proposiciones.
a) Luz es estudiosa y Milagros es inteligente.
b) Luz no es estudiosa o Milagros es inteligente.
c) Si Milagros es inteligente, entonces Luz es estudiosa.
d) No es cierto que Luz no es estudiosa.
e) No es cierto que Luz es estudiosa y no es cierto que Milagros es inteligente.
f) Si Luz es estudiosa, entonces Milagros es inteligente.
g) Luz es estudiosa si y sólo si Milagros no es inteligente.
11. Supongamos ahora que es cierto que Luz es estudiosa y que Milagros es
inteligente. ¿ Cuáles de las siete proposiciones compuestas del ejercicio son
verdaderas?.
12. Sean las siguientes proposiciones: p: " Hoy es lunes" y q: "Está lloviendo".
Traducir al lenguaje coloquial las siguientes proposiciones:
a) p ∧ q b) p ∨ q
c) q → p d) ¬ q ∧ p
24

25. e) p ↔ q f) ¬ p → ¬ q
g) ¬ q ∨ p h) ¬ ( ¬ p)
i) ¬ ( ¬ q) ↔ ¬ p
13. Supongamos ahora que ambas proposiciones del ejercicio anterior son
verdaderas. ¿ Cuáles de las nueve proposiciones compuestas del ejercicio anterior son
verdaderas?.
14. Sea A el conjunto de los seres humanos.
Sean las siguientes proposiciones:
a) p : (∀ h1 ∈ A) (∃! h2 ∈ A) ( h2 es padre de h1)
b) q : (∃ h3 ∈ A) (∀h4 ∈ A) ( h3 es hermano de h4)
c) r : (∀ h ∈ A) (h es mortal)
d) s : (∃ h ∈ A) (h es mortal)
Escriba cada proposición en palabras y determine su valor de verdad.
15. Sea IN el conjunto de los números naturales.
Sean las siguientes proposiciones:
a) p : (∀ x ∈ IN), (∃ y ∈ IN), x + y > 10
b) q : (∀ x ∈ IN), (∀ y ∈ IN), x ⋅ y ∈ IN
c) r : (∃ x ∈ IN), (∃ y ∈ IN), x ⋅ y = 3
d) s : (∃ x ∈ IN), (∀ y ∈ IN), x ⋅ y = y
Escriba cada proposición en palabras y determine su valor de verdad.
16. Escriba la negación de las cuatro proposiciones del ejercicio anterior. Determine
su valor de verdad, y si es falsa, muestre un contraejemplo.
17. Sea p(x): x es solución de la ecuación x2
- 4 = 0
Sea E = {-2, 0,2}. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) p : ∀ x ∈ E, p(x)
b) q : ∃ x ∈ E, p(x)
c) r : ∃! x ∈ E, p(x)
d) s : ∀ x ∈ E, ¬ p(x)
e) t : ∃ x ∈ E, ¬ p(x)
18. Sean las siguientes proposiciones:
p : (∀ x ∈ {1, 3, 5}) (∃ y ∈ {2, 4, 6}), (x es mayor que y)
q : (∃ x ∈ {1, 3, 5}) (∀ y ∈ {2, 4, 6}), (x es mayor que y)
a) Escriba p y q en lenguaje corriente.
b) Determine el valor de verdad de p y q.
c) Escriba simbólicamente ¬ p y ¬ q.
25

26. 19. Sean p (x) : x es mayor que - 3 y menor que 2
q (x) : x es mayor que -1 y menor que 4
r (x) : x es mayor que 0 y menor que 1
s (x) : x es mayor que 3 y menor que 5
Para las siguientes proposiciones, determine el valor de verdad y de un ejemplo de
las verdaderas.
a) (∃ x ∈ IN), p(x) ∧ q(x)
b) (∃ x ∈ IN), p(x) ∧ q(x) ∧ r(x)
c) (∃ x ∈ IR), p(x) ∧ q(x) ∧ r(x)
d) (∃ x ∈ Z), p(x) ∨ s(x)
e) (∀ x ∈ IN), ¬ ( r(x) ∧ s(x) )
f) (∃ x ∈ IN), ¬ ( r(x) ∨ s(x) )
g) (∃ x ∈ IN), ¬ p(x) ∧ r(x)
h) (∀ x ∈ Z), ¬ r(x)
20.- Juan y José estaban jugando al ajedrez. Mientras José pensaba la jugada, Juan
observando el tablero dijo: -¡En el tablero hay más de 200 cuadrados! A lo que José
respondió: - Estás equivocado. El tablero tiene 64 cuadrados. ¿Tan equivocado estaba
Juan?. Usted, ¿Cuántos cuadrados encuentra? Explique su respuesta.
21.- Hay que tostar en una parrilla tres rodajas de pan. En la parrilla caben dos
rodajas a la vez, pero sólo se pueden tostar por un lado. Se tardan 30 segundos en
tostar una cara de una pieza de pan, 5 segundos en colocarla o en sacarla, y 3
segundos en darla vuelta.
¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para tostar las tres rodajas? ¿Cómo lo
haría? Explique su procedimiento.
22.- ¿Cómo haría para traer de un río 6 litros de agua, si sólo tiene a su disposición,
para medir el agua, dos recipientes, uno de 4 litros y otro de 9 litros?.
23.- Resolver el siguiente problema
Hechos:
1.- Tenemos 5 casas de 5 colores diferentes
2.- En cada casa vive una persona de nacionalidad diferente
3.- Cada uno bebe una bebida diferente, fuma una marca se cigarrillos diferente y
tiene una mascota diferente
Detalles:
1.- El inglés vive en la casa roja
2.- La mascota del sueco es un perro
3.- El danés bebe té
4.- La casa verde es la inmediatamente a la izquierda de la casa blanca
5.- El dueño de la casa verde toma café
26

27. 6.- La persona que fuma Pall Mall cría pájaros
7.- El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill
8.- El hombre que vive en la casa del centro toma leche
9.- El noruego vive en la primera casa
10.- La persona que fuma Bled vive junto al que tiene gatos
11.- El hombre que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill
12.- La persona que fuma Blue Master bebe cerveza
13.- El alemán fuma Price
14.- El noruego vive junto a la casa azul
15.- El hombre que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua
La pregunta es: ¿Quién tiene como mascotas peces??
24.- Realice la siguiente actividad:
a) Lea todas las consignas antes de empezar a trabajar.
b) Sobre la línea punteada y con tinta escriba su nombre completo
.............................................................................................
c) Que en la línea anterior figure primero tu apellido y luego tu nombre.
d) El apellido debe estar escrito en mayúsculas e imprenta.
e) Sobre la línea punteada no puede haber ni borrones, ni tachaduras ni corrector.
f) Si su edad está comprendida entre los ocho y veinte años, no debe contestar
ninguno de los puntos anteriores.
27