Trabajode grado jorge

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y GEOLOGÍA
FACULTAD DE CIENCIAS B ÁSICAS
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
“ RELACI ÓN DEL EFECTO CASIMIR Y EL EFECTO SCHARNHORST CON
EL FEN ÓMENO SUPERLUMINAL”
TRABAJO DE GRADO
Presentado por:
JORGE ALEX ÁNDER CONTRERAS ROA
Dirigida por:
Ph.D. JAIRO ALONSO MENDOZA SU ÁREZ
Pamplona, Diciembre del 2011.

iii
T´ıtulo
“ Relación del Efecto Casimir y el Efecto Scharnhorst con el Fenómeno Superluminal”
Autor
Jorge Alexánder Contreras Roa∗
Director
Dr: Jairo Alonso Mendoza Suárez
Universidad de Pamplona
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de F´ısica y Geolog´ıa
Colombia 2011
∗
Electronic address: alexandercr007@gmail.com

AGRADECIMIENTOS
Antes que cualquier cosa, primero quiero dar a conocer mis más sinceros agradecimientos a todas las
personas y entidades, sin las que nunca hubiese sido posible realizar y concluir mis estudios de primer ciclo,
en breve, alcanzar el t´ıtulo de f´ısico. En especial deseo expresar mi gratitud al Dr: Jairo Alonso Mendoza
Suárez quien fue mi director de tesis, aceptando de una manera desinteresada guiarme y acompañarme
durante todo el proceso de mi investigación, también fue quien me apoyó en la decisión de tomar el presente
reto como trabajo de grado. Profesor muchas gracias por sus sabios consejos, por dedicarme su valioso tiempo
y colaboración.
Agradezco a mi querida Universidad de Pamplona, no sólo por brindarme la oportunidad de llevar a
cabo mis estudios de pregrado, sino también por apoyar y creer en programas tan fundamentales como lo
son las ciencias básicas. Expreso mi gratitud a todos los docentes que además de aportarme sus experiencias
académicas me aportaron su riqueza personal, la cual hoy en d´ıa no se toma en cuenta, pero s´ı que es muy
importante. En especial quiero agradecerle a todos los docentes del Departamento de F´ısica y Geolog´ıa, a
quienes les debo mis conocimientos. Para iniciar en el mundo una aventura como esta, se debe traer consigo
un proceso, una motivación, por lo cual considero justo y necesario agradecer el legado que me dejó mi
segunda casa, el Colegio Universitario José Rafael Far´ıa Bermúdez, el cual junto con su valiosa nómina de
profesores me inculcó gran parte de mi formación como persona.
También quiero agradecer a mi familia que siempre se preocupó por mi bienestar, quienes me apoyaron y
confiaron ciegamente en m´ı, en especial a mi padre quien es y será para mi un ejemplo de trabajo y sacrificio;
a mi madre por su tan importante afecto y amor en cada momento. Agradezco a todos mis compañeros con
los cuales viv´ı esta aventura, a mis amigos que inicialmente me apoyaron y estuvieron siempre animándome.
Agradezco a todas las personas que de una u otra forma me ofrecieron su ayuda y colaboración. Y por
supuesto, agradezco a Dios por siempre iluminarme ante las dificultades y por regalarme un nuevo y tan
importante éxito. Por último, quiero que sepan que este triunfo no es m´ıo, es de todos ustedes gracias a sus
bondadosos actos, esto jamás se olvida, en mi memoria prevalecerán, tal vez no será suficiente pero es mi
deber decirles humildemente, mil y mil gracias.
Diciembre del 2011, J. Alexánder Contreras R.

“Existen personas que con sus actos bondadosos,
por m´as que lleguen a faltar, causan
que jam´as sean olvidadas”.
A la memoria de mi t´ıa:
Alba Contreras

RESUMEN
La hipótesis de hallar velocidades superluminales (velocidades mayores que “c”), es
un tema actual relacionado directamente con los fundamentos de la “Teor´ıa Especial
de la Relatividad”, con inferencias en Astrof´ısica, Óptica Cuántica y aplicaciones de
Nanotecnolog´ıa. En consecuencia, tal hipótesis permite el planteamiento de una f´ısica
fundamental más allá de los l´ımites conocidos; lo cual implica caracter´ısticas de inesta-
bilidad en los conceptos estándar Espacio-Tiempo de Einstein (aclarando que fue él
quien incluso predijo la opción de tal posibilidad).
El estudio de la propagación taquiónica (propagación superluminal) en el vac´ıo
cuántico anisótropo, es de gran interés por varias razones; entre ellas está que la veloci-
dad de la luz “c” considerada como una velocidad máxima, pasa a ser un caso particular,
eliminándose toda clase de absolutismo consecuente a la filosof´ıa de la Teor´ıa Especial
de la Relatividad. Este hecho no significa de ninguna manera desprenderse de la teor´ıa,
tan sólo es una generalización ó extensión de la misma, puesto que el uso de la veloci-
dad de la luz resulta ser una convención. Otra razón de rotunda importancia, es que
de acuerdo a la información concebida por este fenómeno, se puede facilitar sin duda
alguna el estudio del origen del universo, “The Big Bang”.
Aunque si bien parece ser una utop´ıa demostrar experimentalmente la existencia
de una velocidad mayor a la luz, actualmente existen grupos interesados en desarrollar
tales experimentos[1][2][3][4][5][6][7]. En la presente memoria se estudia los fundamen-
tos teóricos del Efecto Casimir y el Efecto Scharnhorst, los cuales están directamente
relacionados con el fenómeno superluminal. Fue necesario considerar temas como: fluc-
tuaciones de la energ´ıa del punto cero (ZPE), polarización del vac´ıo de Minkowski,
protección de la Causalidad, velocidad de fase superior a la velocidad de la luz, tam-
bién se considera el uso de una Métrica Efectiva al interior del vac´ıo de Casimir y por
último se propuso “ir más allá de los l´ımites, puesto que sólo aquellos que se arriesgan
a ir demasiado lejos, averiguan cuán lejos pueden ir”. Y de este modo a través de un
procedimiento teórico se corroboró la hipótesis planteada anteriormente.

ÍNDICE GENERAL
1 INTRODUCCI ÓN 2
2 EFECTO CASIMIR 8
2.1 Cuantización del Campo Electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Estado Vac´ıo, Energ´ıa del Punto Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Cálculo de Casimir, Fuerza Entre Dos Placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Evidencia Experimental del Efecto Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 40
3.1 Derivación General de las Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Transformaciones de Lorentz con Velocidad Invariante . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Analog´ıa con un Fluido Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Interpretación de las Coordenadas Espacio y Tiempo . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 ¿Qué es C? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Taquiones y Paradojas Causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ÍNDICE GENERAL x
4 EFECTO SCHARNHORST 65
4.1 Preservando la Causalidad, Tensor Métrico Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Métrica Efectiva de Scharnhorst, Velocidades Superiores a la Luz . . . . . . . . . . 66
5 CONCLUSIONES 76
AP ÉNDICES 78
A POZO DE POTENCIAL 79
B NORMALIZACI ÓN DE FUNCIONES 82
C F ÓRMULA DE EULER-MACLAURIN 83
D TRANSFORMACI ÓN DE ROTACIONES 86
E INVARIANZA DE LORENTZ 90
F REGLA DE ADICI ÓN DE VELOCIDADES DE EINSTEIN 92
REFERENCIAS 96

1
INTRODUCCI ÓN
Del aforismo de Eddington: “la verdad del universo no estoy muy seguro, pero a
través de Einstein puedo escuchar pensar a Dios”; se insinúa que la teor´ıa clásica aso-
ciada a la fenomenolog´ıa del universo no es del todo la correcta; en consecuencia debe
existir una teor´ıa mucho más razonable y general de la misma, que reconsidere además
qué es ficticio y qué no lo es. Para garantizar que la ficción nunca va más allá de lo real
surge la “Teor´ıa de la Relatividad”, la cual tiene como objetivo eliminar toda clase de
absolutismo proveniente de observadores inerciales y describir con excelente criterio el
estudio del Espacio-Tiempo.
Clásicamente se ha considerado que la luz es la velocidad máxima que existe,
tomándole incluso como infinita para asegurar que interacciones fundamentales como
la electromagnética, sean instantáneas. No obstante, en el transcurso de la historia se
han logrado valiosos descubrimientos como lo fue el hallazgo, “a través de un promedio
de medidas”, del valor finito de la velocidad de la luz c 2,99792458 × 108
m/s por
parte de Fizeau en 1849[8]. Años posteriores este valor ser´ıa corroborado por Michelson
en sus experimentos ópticos[8].
En particular, para el caso de la Teor´ıa Especial de la Relatividad, en 1905 Einstein
postuló que la velocidad de la luz es una constante “c”(hecho que fue comprobado
experimentalmente por Michelson y Morley en 1887)[9]; y a su vez, según él, resulta
ser la velocidad máxima existente en el universo estable[8][10][11]. En efecto, se hab´ıan
diseñado un grupo de ecuaciones conocidas como las Transformaciones de Lorentz, de-
pendientes de la velocidad de la luz, que relacionan el espacio-tiempo entre observadores
inerciales (todo bajo el concepto de simultaneidad de Einstein)[12]. Debe aclararse que
la asignación de la velocidad de la luz en las transformaciones, en principio, se debe
a la Teor´ıa del Electrón publicada por Lorentz en 1904[13]; de all´ı se evidencia ex-

INTRODUCCI ÓN 3
clusivamente un tratamiento de la Electrodinámica. Sin embargo, con una visión más
profunda de los acontecimientos y teniendo en cuenta la invariabilidad de la velocidad,
se concluye que siempre puede escogerse el valor de c, puesto que tal selección en esencia
es equivalente. El ajuste de tal valor caracteriza una prescripción a la sincronización de
relojes (el uso de señales acústicas es un claro ejemplo de esta elección); lo que significa
que el simple hecho de usar la velocidad de la luz, la cual limita a las transformaciones
espacio-tiempo, es puramente una convención[1].
El uso de la velocidad de la luz como soporte de la Teor´ıa Especial de la Rela-
tividad, caracteriza un espacio de cuadri-vectores (xµ
∈ R4
). All´ı se evidencia que la
propagación de señales luminosas se mantiene invariante en un vac´ıo de Minkowski
homogéneo e isotrópico; donde además la estructura causal del espacio-tiempo es des-
crita por una métrica general ηµν[14], con diagramas de Minkowski en los cuales la
velocidad de la luz actúa como un l´ımite universal. Adicionalmente, la Invarianza de
Lorentz funciona perfectamente al comparar el intervalo espacio-tiempo entre obser-
vadores inerciales[12][14][15][16].
Un descubrimiento inherente a la velocidad de la luz y de extremada importancia
en el universo cuántico aconteció en el año 1948. Éste fenómeno se conoce como el
Efecto Casimir. El simple hecho de concederse inestabilizar el espacio-tiempo (generar
fluctuaciones en la energ´ıa del punto cero del vac´ıo de Minkowski, que estén habilitadas
por el principio de incertidumbre de Heissemberg), puede conducir a hallar una nueva
clase de fenómenos f´ısicos. El Efecto Casimir ha estado siempre rodeado de un halo de
misterio porque designa una fuerza del vac´ıo, de la nada; y sin embargo, es medible
experimentalmente[3][6][17][18].
La relación directa entre la velocidad de la luz y el Efecto Casimir yace bajo un
nuevo fenómeno, el cual se dió en el año 1990 y es conocido como el Efecto Scharnhorst.
Éste último define una polarización del vac´ıo de Minkowski, “vac´ıo de Casimir”, y se
demuestra por altos órdenes de corrección de la Electrodinámica Cuántica (QED). En
contraste, el Efecto Scharnhorst, el cual predice que al interior del vac´ıo de Casimir,
“taquiones”(fotones livianos) pueden viajar a una velocidad superior a la de la luz,
carece de argumento cuando es utópico demostrar experimentalmente tal posibilidad.
Sin embargo, a través de un procedimiento teórico puede corroborarse la anterior
hipótesis. Esto se debe a la fenomenolog´ıa al interior de las placas de Casimir que
obliga a utilizar una métrica diferente a la de Minkowski; es decir, para el vac´ıo de
Casimir se permite ajustar una “Métrica Efectiva” definida de la forma:[1][2]
gµν := ηµν −
ξ
1 + ξ
nµnν

INTRODUCCI ÓN 4
Por otra parte, el Efecto Scharnhorst y su versión gravitacional, parecen ser incon-
sistentes con la Teor´ıa de la Relatividad, porque para el campo electromagnético en el
vac´ıo traen consigo una violación de la invarianza de Lorentz, la cual es tomada como
un ejemplo paradigmático de un sistema invariante de Lorentz. Sin embargo, en cuanto
a la relación del Efecto Scharnhorst con el Efecto Casimir y la Teor´ıa Especial de la
Relatividad (interior de las placas de Casimir), la cuestión resulta ser más adsequible,
puesto que la luz se comporta “únicamente” de una manera no invariante de Lorentz,
de acuerdo a que la energ´ıa del punto cero del campo electromagnético no es invariante
de Lorentz. Lo que significa que el rompimiento de la invarianza de Lorentz, en conse-
cuencia, pasa a ser una violación de una “Invarianza Local de Lorentz”, tal que de esta
forma, globalmente, la Invarianza de Lorentz no sea afectada a un nivel fundamental[1].
No obstante, también se presentan otras caracter´ısticas del análisis de Scharnhorst.
De la experiencia se conoce, que cualquier medio refractivo implica un rompimiento
de la invarianza de Lorentz, esto se debe simplemente a que en el interior de estos
medios la velocidad de la luz difiere de su valor c. Más allá de esto, para todos los casos
comunes, el valor de la velocidad de la luz resulta ser menor a c; mientras que en el
vac´ıo de Casimir, este valor puede llegar a ser mayor que c. “El objetivo principal del
presente trabajo es demostrar teóricamente, desde un punto de vista cinemático, que
propagaciones más rápidas que c son posibles y que la existencia de éstas no conllevan
a violaciones contundentes de los fundamentos de la Teor´ıa Especial de la Relatividad”.

“La verdad es algo que se puede intentar dudar, y entonces,
quizás, después de mucho esfuerzo, descubrir
que parte de la duda es injustificada”.
Niel’s Bohr (F´ısico)

2
EFECTO CASIMIR
El Efecto Casimir es la manifestación más palpable que se conoce de las fluctuaciones
de energ´ıa que se producen en el estado vac´ıo de un sistema cuántico por acción de
condiciones externas[3]. A grandes rasgos este efecto describe una fuerza entre dos
placas conductoras paralelas separadas unos cuantos nanómetros. F´ısicamente según
Feynman el vac´ıo cuántico genera fluctuaciones de energ´ıa (fluctuaciones que vienen
habilitadas por el principio de incertidumbre de Heissemberg y la pequeña variación
de la energ´ıa del punto cero predicha por Bohr, la cual es descrita por el diagrama
de Feynman γ −→ {e−
, e+
} −→ γ), que en determinadas circunstancias actúan sobre
objetos materiales ordinarios. As´ı ocurre en la fenomenolog´ıa del Efecto Casimir, dos
placas metálicas paralelas a las que las fluctuaciones del vac´ıo, por la diferencia de
presión que ejerce sobre su adverso y reverso, tienden a acercar entre s´ı.
En este cap´ıtulo se presenta en detalle en que consiste tal efecto, bajo un soporte
teórico que define la versión básica originalmente propuesta por Casimir, en la cual se
requiere como anticipo, hallar la respectiva cuantización del campo electromagnético y
la energ´ıa del punto cero, tal que el propósito sea obtener la “Variación de la Energ´ıa
del Punto Cero” y la “Fuerza de Casimir”. Finalmente se cierra el cap´ıtulo con una
sección dedicada a la evidencia experimental del efecto, donde se cita en espec´ıfico el
experimento de Lamoreaux y otros importantes experimentos que comprueban rotun-
damente la existencia del fenómeno como tal. Véase a continuación el Efecto Casimir:
“La Fuerza de la Nada”...

EFECTO CASIMIR 9
2.1 Cuantización del Campo Electromagnético
En la presente sección se discutirá la cuantización del campo electromagnético, para
el cual el fotón es la part´ıcula fundamental de la propagación de él[6]. En primer lugar,
considérese las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético:[15][19][20][21]
· E = 4πρ (2.1)
× E = −
1
c
∂B
∂t
(2.2)
· B = 0 (2.3)
× B =
4π
c
J +
1
c
∂E
∂t
(2.4)
Antes de iniciar con el tratamiento, a las ecuaciones de Maxwell (2.1) y (2.4) se les
eliminará la dependencia expl´ıcita de los campos electromagnéticos, tal que las mismas
resulten únicamente en términos de potenciales electromagnéticos. En otras palabras,
considérese la ley de Gauss para el campo eléctrico (2.1), ésta depende de un potencial
electrostático φ el cual simplifica notablemente el cálculo de campos eléctricos. Por otra
parte, al considerar campos magnéticos descritos por la ley de Ampère-Maxwell (2.4),
se observa claramente que su rotacional no es nulo, pero, la divergencia del campo
magnético si lo es (véase la ley de Gauss para el campo magnético (2.3)). Este hecho
significa que si la divergencia de cualquier rotacional es cero, entonces no habr´ıa ningún
problema (siendo razonable además) en escribir la inducción magnética en términos de
un potencial vectorial magnético A, es decir:[19]
B ≡ × A (2.5)
lo que quiere decir que ·( ×A) = 0. Al igual que la definición (2.5) puede obtenerse un
ajuste similar para el campo eléctrico. Tomando la ley de inducción de Faraday-Henry
(2.2) y sustituirle la expresión (2.5), se obtiene:

EFECTO CASIMIR 10
× E = −1
c
∂
∂t
( × A)
× E = × (−1
c
∂
∂t
A)
× (E + 1
c
∂
∂t
A) = 0 (2.6)
Teorema 2.1:
Sea F una función vectorial tal que su rotacional sea cero × F = 0, entonces la
función F se puede escribir como el gradiente de una función escalar ψ(r):[19][20][22]
F = ψ(r)
.
Respectivamente obsérvese el resultado (2.6), al tomar en cuenta el Teorema 2.1, la
función vectorial E + ∂A/c∂t resulta ser equivalente a:
E +
1
c
∂A
∂t
= − φ
E = − φ −
1
c
∂A
∂t
(2.7)
lo que significa que se ha conseguido una relación para el campo eléctrico en términos
de potenciales electromagnéticos.1
Recuérdese nuevamente la ley de Gauss (2.1), al sustituir el resultado (2.7) en ella,
se logra resolver la primera parte del objetivo:
1
De la expresión (2.7) obsérvese que si el potencial vectorial magnético A no es variable en el tiempo, el término ∂A/∂t es
igual a cero, obteniéndose de esta manera la clásica dependencia del campo eléctrico estacionario, donde el signo negativo (−)
indica que el campo E es atractivo.

EFECTO CASIMIR 11
· (− φ − 1
c
∂
∂t
A) = 4πρ
− 2
φ − 1
c
∂
∂t
· A = 4πρ (2.8)
Después de haber obtenido la ley de Gauss en términos de potenciales electro-
magnéticos considérese la ley de Ampère-Maxwell (2.4), al sustituir las definiciones
(2.5) y (2.7) se obtiene:
× ( × A) =
4π
c
J +
1
c
∂
∂t
(− φ −
1
c
∂A
∂t
)
en última instancia, aplicando la idéntidad:[22]
× × A = ( · A) − 2
A (2.9)
se logra la segunda parte del objetivo, obtener la ley de Ampère-Maxwell en términos
de potenciales electromagnéticos:
( · A) − 2
A =
4π
c
J +
1
c
∂
∂t
(− φ −
1
c
∂A
∂t
) (2.10)
No esta de más coleccionar los resultados (2.8) y (2.10):



− 2
φ − 1
c
∂
∂t
· A = 4πρ
( · A) − 2
A = 4π
c
J + 1
c
∂
∂t
(− φ − 1
c
∂A
∂t
)
(2.11)
del anterior par de ecuaciones dependientes de potenciales electromagnéticos, se puede
comentar que cuando no existen cargas ni corrientes presentes, los términos ρ y J
son cero[22]. En cuanto al campo electromagnético estacionario, considérese la ley de
Ampère (esta ecuación puede obtenerse fácilmente haciendo cero el término que re-
presenta la corriente inducida ∂E/c∂t en la expresión (2.4)), en ella se introducirá la
definición (2.5) junto con la idéntidad (2.9), por lo tanto:

EFECTO CASIMIR 12
× B = × × A = ( · A) − 2
A =
4π
c
J (2.12)
Ahora, anal´ıcese lo siguiente: el concepto de potencial eléctrico está constru´ıdo en
ambigüedad; en otras palabras, se puede agregar a φ cualquier función cuyo gradiente
sea cero (es decir, cualquier constante) sin alterar de alguna manera la cantidad f´ısica
E.[21] Igualmente se puede agregar al potencial vectorial magnético cualquier función
cuya circulación ó rotacional desaparezca (por ejemplo, el gradiente de un escalar) sin
ningún efecto sobre el campo magnético B, tal como lo afirma el Teorema 2.1. En
consecuencia, se justifica el hecho de que también se puede explorar esta libertad para
eliminar la divergencia de A:[19][21][22]
· A ≡ 0 (2.13)
expresión conocida como el Gauge de Coulomb. El sentido f´ısico de la última expresión
podr´ıa argumentarse al observar la ley de Ampère (2.12), donde el vector densidad de
corriente J define circulación, lo que significa que en constraste al término que define la
divergencia · A para un valor diferente de cero es incompatible, luego este último no
existe ó es nulo para este caso. Bajo esto, la primera ecuación del par (2.11) se reduce
a:
2
φ = −4πρ (2.14)
expresión que resulta con estructura idéntica a la ecuación Poisson. Una posible solución
para ella puede ser expresada de la forma:[23]
φ(r, t) ≡
V
ρ(r , t)
|r − r |
d3
r (2.15)
definición que refiere al clásico potencial escalar proveniente de una distribución de
carga ρ en electrostática.
Al respecto, se requiere examinar el Hamiltoniano para el campo electromagnético
en el vac´ıo clásico, es decir, el campo de energ´ıa en ausencia de cargas ρ y corrientes J.
Para lograr esto, considérese el producto punto entre el campo eléctrico E y la ley de
Ampère-Maxwell (2.4):
E · ( × B) = E · (
4π
c
J) + E · (
1
c
∂E
∂t
) (2.16)

EFECTO CASIMIR 13
al utilizar la idéntidad:[22]
· (E × B) = B · ( × E) − E · ( × B) (2.17)
en la ecuación (2.16), se obtiene
B · ( × E) − · (E × B) =
4π
c
J · E +
1
c
∂E2
∂t
(2.18)
Sustituyendo la ley de Faraday-Henry (2.2) en el resultado (2.18) y resolviendo, se
adquiere:
B · (−
1
c
∂B
∂t
) − · (E × B) =
4π
c
J · E +
1
c
∂E2
∂t
−
1
c
∂B2
∂t
− · (E × B) =
4π
c
J · E +
1
c
∂E2
∂t
1
4π
∂
∂t
(E2
+ B2
) +
c
4π
· (E × B) = −J · E
2
∂u
∂t
+ · Sp = −J · E (2.19)
donde:[15][19][21][23]
u ≡
1
8π
(E2
+ B2
) (2.20)
y
Sp ≡
c
4π
(E × B) (2.21)
la definición (2.20) refiere a la densidad de energ´ıa electromagnética (energ´ıa por unidad
de volumen) dada en el sistema de unidades c.g.s.; y la definición (2.21) refiere al vec-
tor de Poynting, cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energ´ıa electro-
magnética. Por el momento únicamente interesa la definición (2.20), as´ı que al integrar
la densidad de energ´ıa u en todo el volumen del universo, se obtiene el Hamiltoniano
para el campo electromagnético:
HEM =
1
8π V
(E2
+ B2
)d3
r (2.22)

EFECTO CASIMIR 14
Sustituyendo las expresiones (2.5) y (2.7) en (2.22) se obtiene:
HEM =
1
8π V
(− φ −
1
c
∂A
∂t
)2
+ ( × A)2
d3
r
de aqu´ı estimando la ecuación (2.15), el hecho de no contar con cargas libres (ρ = 0)
implica evidentemente que el potencial φ es nulo, luego el Hamiltoniano para el campo
electromagnético en el vac´ıo es:[6]
HEM =
1
8π V
(−
1
c
∂A
∂t
)2
+ ( × A)2
d3
r (2.23)
Resulta interesante que el Hamiltoniano electromagnético dependa únicamente del
potencial vectorial magnético. Es de notar que hasta la presente se ha realizado un
tratamiento desde el punto de vista clásico. La meta a continuación es realizar la tran-
sición del campo electromagnético clásico a una teor´ıa completamente cuántica.
Sin cargas ρ ni corrientes J, la segunda ecuación del par (2.11), para el Gauge de
Coulomb (2.13), se reduce a:
1
c2
∂2
A
∂t2
− 2
A = 0 (2.24)
resultado que define a la ecuación de onda aplicada a campos electromagnéticos, tal
como lo evidencia la velocidad de propagación c. De la experiencia se conoce que una
solución espec´ıfica para la ecuación de onda (2.24), esta dada por la onda plana:[23]
A ≡ A0ei(k·r−ωt)
(2.25)
donde ω = kc.[15] En agregado, la condición de Coulomb (2.13) impone el constraste:
· A = · (A0ei(k·r−ωt)
) = ik · A0ei(k·r−ωt)
= 0 (2.26)
lo que significa que k · A0 = 0, indicando que el frente de onda es transversal a la
dirección de propagación k. Por esta razón el Gauge de Coulomb es también conocido
como el ajuste transversal[23].
La solución más general para la ecuación de onda (2.24) puede ser obtenida por la
superposición de todas las diferentes soluciones en ondas planas. Luego, para garantizar
tal generalidad, la superposición toma la forma de una integral sobre todos los posibles
valores de k. Sin embargo, las propiedades cuánticas del campo electromagnético hacen

EFECTO CASIMIR 15
conceptualmente que la situación sea aún más manejable; es decir, el vector número
de onda k toma valores discretos en vez de continuos, tal que la superposición tome la
forma de una sumatoria en vez de una integral. Una manera conveniente para cumplir
lo prometido es trabajar en una caja cúbica de arista L con un lado sujeto a una
condición de periodicidad (de frontera). Es claro que aleatoriamente sobre el eje x ésta
periodicidad puede escribirse de la forma:[23]
eikxx
= eikx(x+L)
(2.27)
Al extender la condición (2.27) sobre los ejes y y z, se satisface para el caso esta-
cionario que:2



kxL = 2πnx
kyL = 2πny
kzL = 2πnz
(2.28)
donde los números cuánticos
nx, ny, nz ≡ 0, ±1, ±2, ±3, ... (2.29)
luego la separación de los modos adyacentes con respecto a x se da por ∆kx = 2π/L.
Con el vector de onda k tomando valores discretos, implica un ajuste de soluciones
discretas; en efecto, de acuerdo a todo lo precedente, la solución (2.25) se generaliza
como una doble sumatoria aplicada sobre dos términos, es decir:[23]
A(r, t) =
λ k
(A0ei(k·r−ωt)
+ A0
∗
e−i(k·r−ωt)
)
A ≡
λ k
Cλ,k (λ, k)
ei(k·r−ωt)
√
V
+ C∗
λ,k (λ, k)
e−i(k·r−ωt)
√
V
(2.30)
aqu´ı, k es el número de onda en la dirección de propagación, cuya magnitud determina
la frecuencia de la onda; el ´ındice λ refiere a la polarización de ella, polarización que
var´ıa desde uno a dos en la sumatoria, puesto que únicamente existen dos clases de
polarización, la longitudinal y la transversal; los términos (λ, k) son vectores unitarios
2
Si desea observar en más detalle el respectivo proceso que deduzca las siguientes definiciones (ecuaciones (2.28)), dir´ıjase al
Apéndice A el cual demuestra la cuantización energética de una part´ıcula dentro del pozo de potencial.

EFECTO CASIMIR 16
los cuales indican la dirección ó polarización para cada valor de k del vector potencial
magnético; las cantidades Cλ,k y C∗
λ,k refieren a coeficientes que definen la amplitud de
la onda y a su vez dependen de los ´ındices λ y k; finalmente, V refiere al volumen de
la caja, donde se puede dar el caso que L → ∞ sin alterar f´ısicamente los resultados,
dado que el volumen del universo como tal pueda ser limitado, la idea de introducir
un todo en una caja no puede parecer extraño en absoluto, tal que en consecuencia el
factor 1/
√
V se convierta en un término de normalización. Obsérvese que el arreglo de
A en la expresión (2.30) satisface el Gauge de Coulomb (2.13) (o lo que es lo mismo, al
verificar en la expresión (2.26)), es decir:
k · (λ, k) = 0 (2.31)
Por consiguiente, el vector polarización (λ, k) es perpendicular a la dirección de k.
Recuérdese el Hamiltoniano del campo electromagnético (2.23), de all´ı puede hacerse
pasar la onda electromagnética a través de un polarizador, tal que como consecuencia se
filtre únicamente la onda eléctrica. De esta forma el término que representa la energ´ıa
del campo eléctrico evidentemente sea:
HE =
1
8π V
1
c
∂A
∂t
·
1
c
∂A
∂t
d3
r
=
1
8π V λ,k
−iω
c
Cλ,k (λ, k)
ei(k·r−ωt)
√
V
+
iω
c
C∗
λ,k (λ, k)
e−i(k·r−ωt)
√
V
·
λ ,k
−iω
c
Cλ ,k (λ , k )
ei(k ·r−ωt)
√
V
+
iω
c
C∗
λ ,k (λ , k )
e−i(k ·r−ωt)
√
V
d3
r
(2.32)
Antes de continuar con el respectivo procedimiento, se observa que se tiene una
sumatoria que cubre todos los posibles valores de k y otra sumatoria que cubre dos
únicos valores de λ, una independiente de la otra (véase la expresión (2.30)), siempre
que el vector potencial magnético tenga dos términos. En consecuencia, para evaluar
(2.32) es conveniente primero llevar a cabo una integral sobre todo el universo, donde
debe recordarse que esto significa que L → ∞. Para realizarlo debe usarse la siguiente
condición de normalización: (Teorema 2.2)
Teorema 2.2:
Considérese un conjunto de bases discretas, completas y ortonormales en el espacio
de Hilbert, el cual esta conformado por un ajuste infinito de kets |φ1 , |φ2 , |φ3 , ...,

EFECTO CASIMIR 17
todos ellos abreviados por |φn [24]. La condición de ortonormalidad en base bra-ket se
expresa por:
φn|φm = φ∗
n(x)φm(x) dx = δn,m
donde δn,m define a delta de Kronecker:
δn,m :=
1, si n = m
0, si n = m
.
En efecto, al aplicar el Teorema 2.2 se adquiere la normalización de interés:3
V
(
eik·r
√
V
)(
e−ik ·r
√
V
) d3
r ≡ δk,k (2.33)
Regresando a la expresión (2.32) y aplicando la definición (2.33), resolviendo se
obtiene:
HE =
1
8π V λ ,k
iω
c
C∗
λ ,k (λ , k )
e−i(k ·r−ωt)
√
V
·
λ,k
−iω
c
Cλ,k (λ, k)
ei(k·r−ωt)
√
V
d3
r
=
1
8π λ,k λ ,k
iω
c
C∗
λ ,k (λ , k ) ·
−iω
c
Cλ,k (λ, k) e−i(ωt−ωt)
δk,k
=
1
8π λ,k λ
ω2
c2
C∗
λ ,kCλ,k (λ , k) · (λ, k)
=
1
8π λ,k λ
ω2
c2
C∗
λ ,kCλ,k δλ,λ
=
1
8π λ,k
ω2
c2
C∗
λ,kCλ,k
donde se han evaluado todas las posibles condiciones de ortonormalidad previstas por
los delta de Kronecker. Como se observó del tratamiento anterior se han omitido tres
3
Si desea sersiorarse de la veracidad de la definición (2.33), por favor véase su respectiva demostración en el Apéndice B.

EFECTO CASIMIR 18
términos, puesto que según la expresión (2.32) son cuatro en total, en los cuales dos
de ellos son dependientes del tiempo. Sin embargo, cuando se agregan los términos que
conforman la energ´ıa del campo magnético a los que conforman la energ´ıa del campo
eléctrico, se halla que los términos dependientes del tiempo para la energ´ıa de los campos
E y B (cuales ser´ıan cuatro en total) se cancelen entre s´ı4
. En inferencia, la energ´ıa
electromagnética total es:[23]
HEM = 4(
1
8π λ,k
ω2
c2
C∗
λ,kCλ,k)
=
1
2π λ,k
ω2
c2
C∗
λ,kCλ,k (2.34)
justo como era de esperarse, puesto que el Hamiltoniano para un sistema cerrado puede
ser independiente del tiempo. De la Mecánica Cuántica formulada por Dirac, puede
adoptarse una f´ısica fundamental en términos de las siguientes definiciones:[23]
qλ,k ≡
1
c
√
4π
(Cλ,k + C∗
λ,k) ; pλ,k ≡
−iω
c
√
4π
(Cλ,k − C∗
λ,k) (2.35)
De las expresiones (2.35) considérese lo siguiente, al multiplicar la primera por ω y
la segunda por i se obtiene el par:
ωqλ,k = ω
c
√
4π
(Cλ,k + C∗
λ,k)
ipλ,k = ω
c
√
4π
(Cλ,k − C∗
λ,k)
(2.36)
obteniéndose finalmente que
C∗
λ,k =
c
√
4π
2ω
(ωqλ,k − ipλ,k) ; Cλ,k =
c
√
4π
2ω
(ωqλ,k + ipλ,k) (2.37)
En efecto, al sustituir los resultados (2.37) en el Hamiltoniano electromagnético
(2.34) se obtiene:
4
Aunque el procedimiento es tedioso, no es d´ıficil observar tal consecuencia, simplemente debe trabajarse desde la expresión
(2.23) en su totalidad, para conseguirlo debe tenerse en cuenta el hecho que k ≡ ω/c,[15] de tal forma que álgebraicamente se
logre cancelar los términos dependientes del tiempo correspondientes a HE y HB.

EFECTO CASIMIR 19
Figura 2.1: Concepto de vac´ıo desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica. Representación de los modos
de vibración para cada frecuencia. En efecto, todos los osciladores cuánticos están acoplados y generan
isotrop´ıa, homogeneidad y estabilidad en la distribución del campo electromagnético en el universo[6].
HEM =
1
2π λ,k
ω2
c2
c
√
4π
2ω
(ωqλ,k − ipλ,k)
c
√
4π
2ω
(ωqλ,k + ipλ,k)
=
λ,k
1
2
(p2
λ,k + ω2
q2
λ,k) (2.38)
En conclusión, del resultado (2.38) se observa que formalmente el campo electro-
magnético puede ser considerado como una colección de osciladores armónicos indepen-
dientes5
. Véase la Figura 2.1. En ese enfoque, la densidad de energ´ıa electromagnética
es determinada como un número de modos (osciladores) en un rango de frecuencia
particular multiplicado por un promedio de energ´ıa correspondiente a cada oscilador.
5
Recuérdese el Hamiltoniano de una “única” part´ıcula de masa m, la cual oscila con una frecuencia ω bajo la influencia de
un potencial armónico unidimensional. Éste expl´ıcitamente se define como H = p2
2m + 1
2 mω2
q2
,[24] donde p y q refieren a co-
ordenadas generalizadas las cuales representan al momentum y a la posición, respectivamente. En comparación al Hamiltoniano
Electromagnético (2.38), no existe dependencia de la masa m, esto se debe a que la masa en reposo del fotón es nula.

EFECTO CASIMIR 20
Teorema 2.3:
Un operador Â es una regla matemática que al ser aplicada a un ket |ψ transforma
en otro ket |ψ del mismo espacio, y respectivamente si actúa sobre un bra ψ| le
transforma en otro bra ψ |:[24]
Â|ψ = |ψ ; φ| Â = φ |
El conmutador de dos operadores Â y ˆB, denotado por [ Â, ˆB], se define como:
[ Â, ˆB] = Â ˆB − ˆB Â
Como ejemplo del anterior considérese lo siguiente, si el operador posición ˆq ≡ ˆx y
el operador momentum ˆp ≡ −i ,[24] la respectiva conmutación entre ellos será:
[ˆqλ,k , ˆpλ,k] = ˆqλ,k ˆpλ,k − ˆpλ,k ˆqλ,k
= ˆxλ,ki
∂
∂xλ,k
+ i
∂ˆxλ,k
∂xλ,k
= i Î
donde Î es el operador unitario.
Cuánticamente, la expresión (2.38) puede ajustarse a una relación aún más conocida.
Para lograr esto, inicialmente debe reescribirse en términos de operadores:[24]
ˆHEM =
λ,k
1
2
(ˆp2
λ,k + ω2
ˆq2
λ,k) (2.39)
Ahora, considérese las t´ıpicas definiciones de los operadores de creación y eliminación
de la Mecánica Cuántica:[23][24]
âλ,k ≡
ω
2
(ˆqλ,k +
i
ω
ˆpλ,k) ; â†
λ,k ≡
ω
2
(ˆqλ,k −
i
ω
ˆpλ,k) (2.40)
De ellas nótese que:

EFECTO CASIMIR 21
â†
λ,kâλ,k =
ω
2
(ˆqλ,k −
i
ω
ˆpλ,k)
ω
2
(ˆqλ,k +
i
ω
ˆpλ,k)
=
ω
2
(ˆq2
λ,k +
1
ω2
ˆp2
λ,k +
i
ω
ˆqλ,k ˆpλ,k −
i
ω
ˆpλ,k ˆqλ,k)
=
ω
2
(ˆq2
λ,k +
1
ω2
ˆp2
λ,k) +
i
2
[ˆqλ,k , ˆpλ,k]
=
ω
2
(ˆq2
λ,k +
1
ω2
ˆp2
λ,k) +
i
2
(i )
=
ω
2
(ˆq2
λ,k +
1
ω2
ˆp2
λ,k) −
1
2
donde se ha utilizado el Teorema 2.3. En términos más prácticos:
ˆp2
λ,k + ω2
ˆq2
λ,k = 2 ω(â†
λ,kâλ,k +
1
2
) (2.41)
Finalmente al sustituir el resultado precedente en el Hamiltoniano (2.39), se adquiere
el “Hamiltoniano del campo electromagnético en términos de operadores”:[6]
ˆHEM =
λ,k
ω(â†
λ,kâλ,k +
1
2
) (2.42)
donde el término â†
λ,kâλ,k es conocido como el operador de ocupación:
â†
λ,kâλ,k ≡ ˆN (2.43)
A través del uso del operador (2.42) aplicado sobre una función de estado |ψ , puede
hallarse el valor esperado de la energ´ıa correspondiente. La filosof´ıa del resultado sigue
siendo la misma a la de la expresión (2.38), el Hamiltoniano del campo electromagnético
depende de múltiples osciladores armónicos independientes. Lo que significa que el
campo electromagnético ha sido cuantizado.

EFECTO CASIMIR 22
2.2 Estado Vac´ıo, Energ´ıa del Punto Cero
El estado de más baja energ´ıa para el Hamiltoniano (2.42) es llamado “estado vac´ıo”
y se denota por el ket |0 . El operador de eliminación â (el cual contiene todos los valores
de λ y k) aplicado sobre el estado vac´ıo evidentemente es:[6][23][24]
âλ,k|0 ≡ 0 (2.44)
lo precedente significa que para este estado no es posible eliminar fotones o cuantos de
energ´ıa.
De acuerdo al hecho de que los operadores de creación y eliminación conmutan
sólo cuando k o λ son diferentes, se permite descomponer el estado vac´ıo |0 como el
producto de cada oscilador independiente para un dado λ y k:[6]
|0 ≡ |0λ1,k1 ⊗ |0λ2,k2 ⊗ |0λ3,k3 ⊗ ... (2.45)
donde se han agregado todos los osciladores armónicos independientes. La f´ısica im-
pl´ıcita tras la expresión (2.45) argumenta la existencia de infinidad de frecuencias o
longitudes de onda que interfieren destructivamente, otorgando cierta estabilidad en
todo el espacio y llevando de esta manera al concepto cuántico de estado vac´ıo; concep-
to cual resulta ser muy distante a la definición de vac´ıo clásico, puesto que para ésta
última, carece de sentido hablar de frecuencias ´ıntegras al vac´ıo como tal.
Clásicamente se espera que el campo electromagnético en el vac´ıo posea una energ´ıa
cero (sin fotones). Sin embargo, en la versión cuántica cuando se toma el valor esperado
del Hamiltoniano (2.42) aplicado sobre el estado vac´ıo |0 , se halla que:
0| ˆH|0 = 0|
λ,k
ω(â†
λ,kâλ,k +
1
2
)|0
=
λ,k
ω 0|â†
λ,kâλ,k|0 +
1
2 λ,k
ω 0|0
= 0 +
1
2 λ,k
ω δ0,0
donde se ha aplicado la definición (2.44) y el Teorema 2.2. Luego la expresión que define
al universo a contener un número infinito de modos de radiación (cada uno con una

EFECTO CASIMIR 23
energ´ıa finita de ω/2) es la “Energ´ıa del Punto Cero”(ZPE)6
:[24]
E ZPE =
1
2 λ k
ω (2.46)
Lo más sorprendente de la deducción (2.46), es que la energ´ıa del punto cero es de
antemano infinita, puesto que adiciona sobre todas las posibles frecuencias ω.7
Si la energ´ıa del punto cero EZPE representa el valor esperado del Hamiltoniano ˆH
aplicado sobre el estado vac´ıo |0 , y a la vez este estado define el estado de m´ınima
energ´ıa posible, entonces, ¿Cómo es posible hallar fluctuaciones de energ´ıa en dicho
estado?. Las fluctuaciones del estado vac´ıo vienen habilitadas por el Principio de Incer-
tidumbre de Heissemberg (∆q∆p ≥ /2),[24] el cual es uno de los pilares del universo
cuántico, que establece la imposibilidad intr´ınseca de determinar simultáneamente dos
magnitudes f´ısicas complementarias del sistema, tal como lo son las parejas posición-
momentum y energ´ıa-tiempo. La compatibilidad del principio de incertidumbre de Hei-
ssemberg con la energ´ıa EZPE, se observa cuando ésta energ´ıa m´ınima es proporcional
a la mitad de la frecuencia (para ˆN|0 = 0) y no nula como se supone en la filosof´ıa del
vac´ıo clásico, estableciendo de esta manera el l´ımite universal de la indeterminación. En
la siguiente sección se justificará teóricamente la posibilidad de la existencia de fluctua-
ciones energéticas del vac´ıo presentadas bajo ciertas condiciones f´ısicas en espec´ıfico,
repercusión que ha sido además medible experimentalmente.
6
ZPE: sigla en inglés que simplifica la frase “zero-point energy”.
7
Como curiosidad cabe decir que un procedimiento más sencillo y ortodoxo que reduce a la presente sección (el cual es muy
utilizado en la Mecánica Cuántica), consiste en tomar directamente la acción del operador de ocupación sobre el estado vac´ıo
como cero ( ˆN|0 ≡ 0), tal que se llegue instantáneamente de la ecuación (2.42) al resultado (2.46).

EFECTO CASIMIR 24
2.3 Cálculo de Casimir, Fuerza Entre Dos Placas
El 29 de mayo de 1948 Hendrick Casimir presentó un manuscrito “Sobre la atracción
de dos placas perfectamente conductoras”a la sesión de la Real Academia Holandesa de
Artes y Ciencias[3]. Al respecto, se presentará a continuación un análisis teórico básico
que defina la versión original del Efecto Casimir, donde se derive la energ´ıa y fuerza de
interacción desde una perspectiva de la Mecánica Cuántica.
Tomando como referencia la energ´ıa del punto cero (2.46), Casimir propuso comparar
dos situaciones: la energ´ıa del vac´ıo con la correspondiente a la del vac´ıo en presencia
de unas “condiciones de contorno”, es decir, cuando el vac´ıo está sometido a ciertos
l´ımites, donde las magnitudes f´ısicas han de tomar valores determinados. La diferencia
entre ambas energ´ıas tiene un valor intr´ınseco, independiente de donde se halla colocado
el origen de energ´ıas.
Para comprender y justificar lo precedente, considérese dos placas metálicas per-
fectamente conductoras paralelas entre s´ı; en inferencia, individualmente el área de las
ellas es L × L. Las placas están separadas una distancia “a” proyectada sobre el eje
x, tal como puede observarse en la Figura 2.2. Las paredes de la cavidad (placas para-
lelas) son conductoras e imponen las condiciones de frontera de Dirichlet sobre todos
los posibles modos electromagnéticos al interior de ella8
. Resolviendo la ecuación de
Schrödinger con ayuda de las respectivas condiciones de contorno, se logra cuantizar
las componentes del vector de onda de la forma: (véase el Apéndice A)
kx =
π
a
nx; ky =
π
L
ny; kz =
π
L
nz (2.47)
donde nx, ny, nz ≡ 1, 2, 3, ... . F´ısicamente, lo anterior traduce que las placas metáli-
cas, además de ser frontera de la caja rectángular, se han convertido en nodos de los
armónicos, definiendo de esta manera frecuencias de ondas estacionarias al interior
de la cavidad, conocidas como oscilaciones electromagnéticas. En otras palabras, para
el ejemplo de la cuerda vibrante, cada punto de la misma describe en el tiempo un
8
En matemáticas, la condición de frontera de Dirichlet (ó de primer tipo) es una clase de condición de contorno y se aplica
en una ecuación diferencial ordinaria o parcial, donde se le especifican los valores de la solución que necesita la frontera del
dominio. En cuanto al presente problema se ajustar´ıan las condiciones
ψ(0) = 0
ψ(a) = 0
el objetivo es hallar la solución de las respectivas ecuaciones con el uso de éstas condiciones de frontera.[22]

EFECTO CASIMIR 25
Figura 2.2: Ilustración del sistema básico del Efecto Casimir. Dos placas descargadas idénticas ubicadas
paralelamente una con respecto a la otra y separadas una distancia a. De aqu´ı evidentemente el sistema se
considera como una caja rectangular, también se conoce como cavidad resonante.
movimiento constituido por la superposición de una infinidad de movimientos, cada
uno equivalente a un oscilador armónico de distinta frecuencia y amplitud. A su vez,
en cada punto de la cuerda será diferente la amplitud de las componentes armónicas
de igual frecuencia; en los puntos donde la cuerda se ata a las clavijas del instrumento
la amplitud será nula, convirtiéndose de esta manera en los principales nodos de os-
cilación. De forma similar, en cada punto del espacio vac´ıo el campo electromagnético
es una superposición de oscilaciones armónicas (ahora espaciales en vez de unidimen-
sionales), de frecuencia distinta y poseedoras de todas las posibles energ´ıas para cada
frecuencia[3].
De las expresiones (2.47), se tiene:
k = k2
x + k2
y + k2
z (2.48)
En el vac´ıo, la velocidad de la luz c relaciona a la frecuencia angular ω con el número
de onda k, es decir:

EFECTO CASIMIR 26
ω = ck
= c(k2
x + k2
y + k2
z)1/2
= c
π2
n2
x
a2
+
π2
n2
y
L2
+
π2
n2
z
L2
1/2
(2.49)
lo que significa que el valor esperado de la energ´ıa del punto cero (2.46), adquiere la
forma:
E ZPE =
1
2
2
λ
∞
k
ck
=
1
2
2
λ
∞
n
c
π2
n2
x
a2
+
π2
(n2
y + n2
z)
L2
1/2
(2.50)
Como se hab´ıa comentado en la sección anterior, del resultado (2.50) se observa que
la frecuencia ω (ó el número de onda k), ahora representada por el número cuántico
n := n(nx, ny, nz), var´ıa desde cierta base hasta infinito, luego en principio la frecuencia
es infinita. Además, para cada frecuencia presente existe en general dos direcciones de
polarización λ (la polarización transversal y la longitudinal). Una excepción al respecto
se da cuando un número de onda desaparece, para este caso all´ı sólo existirá una única
dirección de polarización. Esta situación es muy importante para la evaluación del
Efecto Casimir[17].
Casimir consideró el caso de dos placas livianas, ideales, perfectamente conductoras
y de extensión infinita (todo en aras de simplificar los cálculos), colocadas en el vac´ıo
del campo electromagnético. En consecuencia, se supondrá que el área de las placas es
infinita en comparación con la separación “a” de ellas, lo que significa que a << L y en
efecto los números cuánticos ny y nz que representan a sus respectivos modos, se saturan
y aproximan a ser continuos. En otras palabras, esto refiere a que en las direcciones
ortogonales a la dirección de a (al eje x), los modos son infinitos, cubriendo de esta
manera la estabilidad y continuidad del campo electromagnético en las direcciones y y
z dentro de la cavidad. En inferencia, las sumatorias que definen a ny y nz se convierten
en integrales, luego la energ´ıa del punto cero al interior de la caja resonante se da por:
E box
ZPE =
c
2
2
λ=1
∞
nx=0
∞
0
∞
0
n2
xπ2
a2
+
(n2
y + n2
z)π2
L2
1/2
dnydnz

EFECTO CASIMIR 27
Figura 2.3: Variación de la densidad de modos al interior de la cavidad resonante. Fuera de la cavidad,
todas las frecuencias del vac´ıo son emitidas y estables. Dentro de la cavidad, sin embargo, los modos acep-
tados por el vac´ıo son discretos. Al variar la distancia “a”(que separa las placas), cambia respectivamente
la densidad de los modos en relación al espacio libre, los cuales generan una diferencia de energ´ıa[6].
E box
ZPE =
cπ
2a
2
λ=1
∞
nx=0
∞
0
∞
0
n2
x + (
a
L
ny)2
+ (
a
L
nz)2
1/2
dnydnz (2.51)
Luego, los modos de oscilación sobresalen, en constraste, únicamente en la dirección
x. Detrás de todos los ajustes precedentes se halla el significado f´ısico propuesto por
Casimir, el cual se ilustra en la Figura 2.3. Las frecuencias que “caben” perfectamente
dentro de la cavidad son aquellas en que la distancia entre las placas es un múltiplo
entero de media longitud de onda (las placas han de ser nodos de oscilación), all´ı am-
plificadas, constituyen las frecuencias propias ó los “modos resonantes de vibración”.
Para las demás longitudes de onda el campo correspondiente queda atenuado, luego,
modos de las más altas frecuencias se convierten en corrientes ef´ımeras que se propagan
sobre la superficie de las placas conductoras. En inferencia, las fluctuaciones del vac´ıo
resultan ser forzadas y contribuyen de manera diversa a la “presión de radiación” del
campo electromagnético[3].
Realizando el siguiente cambio de notación:[17]
y =
a
L
ny ; z =
a
L
nz =⇒ dy =
a
L
dny ; dz =
a
L
dnz (2.52)
e introduciéndole en la ecuación (2.51), se obtiene:

EFECTO CASIMIR 28
Figura 2.4: Transformación a coordenadas polares.
E box
ZPE =
cπL2
2a3
2
λ=1
∞
nx=0
∞
0
∞
0
(n2
x + y2
+ z2
)1/2
dydz (2.53)
Para garantizar la convergencia de por lo menos un grado de libertad de la ecuación
(2.53) es necesario transformar el sistema de coordenadas. Para este caso basta con
utilizar las coordenadas polares sobre las variables y y z. Por lo tanto, un conveniente
ajuste apunta cuando el radio ρ ≡
√
u (véase la Figura 2.4)[17], y as´ı hallar una cómoda
transformación dada por:[17][22]
z ≡ ρ cos φ =
√
u cos φ,
y ≡ ρ sin φ =
√
u sin φ
De la Figura 2.4, el área infinitesimal satisface que sus respectivas componentes
diferenciales en coordenadas polares para la expresión (2.53) se definan como:[22]
dydz ≡ ρdρdφ =
√
ud(
√
u)dφ =
√
u
1
2
√
u
dudφ (2.54)
en efecto, las integrales de (2.53) se convierten en:
∞
0
∞
0
dydz =
1
2
∞
0
π/2
0
dudφ (2.55)
donde

EFECTO CASIMIR 29
y2
+ z2
= ρ2
= (
√
u)2
= u ; 0 ≤ φ ≤ π/2
tal que los modos sean positivos. Lo que quiere decir que la expresión (2.53) adquiere
la forma:
E box
ZPE =
cπ2
L2
8a3
2
λ=1
∞
nx=0
∞
0
(n2
x + u)1/2
du (2.56)
Al separar el término nx = 0 de la sumatoria de (2.56) se halla que:
E box
ZPE =
cπ2
L2
8a3
2
λ=1
∞
0
√
u du +
∞
nx=1
∞
0
n2
x + u du (2.57)
Del resultado (2.57), se observa que el término
∞
0
√
u du depende únicamente de
dos coordenadas u = u(y, z), lo que significa que el término posee solamente una com-
ponente de polarización, en este caso es la componente transversal, puesto que la po-
larización longitudinal es nula. Por consiguiente, al evaluar la sumatoria sobre λ (abar-
cando dos polaridades) en la expresión (2.57), se obtiene en definitiva una relación del
valor esperado de la energ´ıa del punto cero dentro de la “cavidad resonante”:[6]
E box
ZPE =
cπ2
L2
8a3
∞
0
√
u du + 2
∞
nx=1
∞
0
n2
x + u du (2.58)
donde el primer término depende de la geometr´ıa que genera el uso de las coordenadas
polares y el segundo término es divergente (a causa de la sumatoria que evalúa la
respectiva integral infinidad de veces), ambos términos con polaridades ya evaluadas.
La deducción (2.58) es conocida como la energ´ıa del punto cero del “vac´ıo de Casimir”,
refiriéndose al concepto de vac´ıo cuántico al interior de las placas paralelas[6].
En segunda instancia, considérese el valor esperado de la energ´ıa ZPE en el vac´ıo
cuántico (sin placas metálicas). Para obtener expl´ıcitamente esta energ´ıa debe recor-
darse la expresión (2.50), de ella resolviendo se deduce que:
E vacuum
ZPE =
1
2
2
λ
∞
nx,ny,nz
c (
π
a
nx)2
+ (
π
L
ny)2
+ (
π
L
nz)2
1/2
=
1
2
c
2
λ=1
∞
0
∞
0
∞
0
(
π
a
nx)2
+ (
π
L
ny)2
+ (
π
L
nz)2
1/2
dnxdnydnz

EFECTO CASIMIR 30
puesto que para la presente situación no existen ejes de preferencia, manteniéndose de
esta forma la estabilidad del campo electromagnético en aquella región del universo.
Al tener en cuenta nuevamente el cambio de notación (2.52), la expresión precedente
adquiere la forma:
E vacuum
ZPE =
cπL2
2a3
2
λ=1
∞
0
∞
0
∞
0
(n2
x + y2
+ z2
)1/2
dnxdydz
=
cπ2
L2
8a3
2
∞
0
∞
0
n2
x + u dudnx (2.59)
donde se realizó un proceso idéntico al usado en el análisis de la energ´ıa del punto
cero en la caja rectángular, adoptando una vez más que u ≡ y2
+ z2
. La expresión
(2.59), evidentemente, define a la energ´ıa del punto cero en el vac´ıo de Minkowski “sin
condiciones de contorno” (sin cavidad resonante), donde el factor 2 indica que se ha
evaluado la sumatoria referente a la polarización.
Al comparar las deducciones (2.58) y (2.59), se observa que la integral sobre la
variable u correspondiente a los modos en las direcciones y y z, aparece en ambas
expresiones. Individualmente, la energ´ıa del punto cero en la cavidad (2.58) y la energ´ıa
del punto cero en el vac´ıo (2.59), son infinitas; sin embargo, la diferencia entre estas
energ´ıas no lo es[17], luego:
δEZPE = E box
ZPE − E vacuum
ZPE
=
cπ2
L2
8a3
∞
0
√
udu + 2
∞
nx=1
∞
0
n2
x + udu − 2
∞
0
∞
0
n2
x + ududnx
= 2
cπ2
L2
8a3
1
2
∞
0
√
udu +
∞
nx=1
∞
0
n2
x + udu −
∞
0
∞
0
n2
x + ududnx
=
cπ2
L2
4a3
˜I (2.60)
donde
˜I =
1
2
∞
0
√
u du +
∞
nx=1
∞
0
n2
x + u du −
∞
0
∞
0
n2
x + u dudnx
=
1
2
I(0) +
∞
nx=1
I(nx) −
∞
0
I(nx)dnx (2.61)

EFECTO CASIMIR 31
evidentemente



I(0) ≡
∞
0
√
u du
I(nx) ≡
∞
0
n2
x + u du
(2.62)
integrales que aún siguen siendo divergentes.
Como se habrá observado hasta el momento, f´ısicamente el problema de Casimir
como tal ya ha sido solucionado, sin embargo, la finalización del mismo depende de
un procedimiento matemático (la convergencia de las integrales (2.61)). Afortunada-
mente para esta situación existe un artificio matemático demasiado útil, la fórmula de
integración de Euler-Maclaurin: (véase el Apéndice C)[22]
m
0
f(x)dx =
1
2
f(0) + f(1) + f(2) + · · · +
1
2
f(m)
−
B2
2!
[f (m) − f (0)] −
B4
4!
[f (m) − f (0)] − · · · (2.63)
donde los coeficientes Bn definen los números de Bernoulli9
. De la definición (2.63), al
cambiar f(x) por I(nx) se obtiene:
m
0
I(nx)dnx =
1
2
I(0) + I(1) + I(2) + · · · +
1
2
I(m)
−
B2
2!
[
dI(m)
dnx
−
dI(0)
dnx
] −
B4
4!
[
d3
I(m)
dn3
x
−
d3
I(0)
dn3
x
] − · · ·
Si m → ∞ el término 1
2
I(m) I(m), puesto que de igual forma es divergente. En
efecto, puede reducirse los primeros términos a una simple sumatoria:
∞
0
I(nx)dnx =
1
2
I(0) +
∞
nx=1
I(nx) −
B2
2!
[
dI(∞)
dnx
−
dI(0)
dnx
]
−
B4
4!
[
d3
I(∞)
dn3
x
−
d3
I(0)
dn3
x
] − · · · (2.64)
Ahora, para obtener de la integral (2.61) un resultado finito, se necesita de algu-
9
Si desea ver la demostración de la expresión (2.63) y todo lo referente a los números de Bernoulli véase el Apéndice C.

EFECTO CASIMIR 32
na manera desechar (al menos temporalmente) los modos de energ´ıa más alta para
poder realizar la resta de energ´ıas δEZPE, esta idea también favorece la eliminación
de problemas de saturación y resonancia generados por altas frecuencias10
. Lo anterior
fue adoptado por Casimir como corte de frecuencias. Para llevar a cabo esto basta con
hacer dI(∞)
dnx
= d3I(∞)
dn3
x
= · · · → 0 sobre la expresión (2.64), luego ella se reduce a:
∞
0
I(nx)dnx
1
2
I(0) +
∞
nx=1
I(nx) +
1
2!
B2
dI(0)
dnx
+
1
4!
B4
d3
I(0)
dn3
x
+ · · ·
=⇒
˜I =
1
2
I(0) +
∞
nx=1
I(nx) −
∞
0
I(nx)dnx = −
B2
2!
dI(0)
dnx
−
B4
4!
d3
I(0)
dn3
x
− · · ·
(2.65)
Como se ha observado, se logró expresar la integral (2.61) en términos de una serie
infinita que depende de los números de Bernoulli; no obstante, tal sumatoria no es del
todo divergente. Para resolver la cuestión, est´ımese la segunda ecuación del par (2.62),
expresión que resulta ser la más general de este par. De la misma al realizar el simple
cambio de variable v ≡ n2
x + u y resolverle se obtiene:[6][17]
I(nx) =
∞
n2
x
v1/2
dv = ∞ −
2
3
n3
x (2.66)
por lo tanto
dI(nx)
dnx
= −2n2
x ⇒
dI(nx)
dnx
]nx=0 =
dI(0)
dnx
= 0
Sucesivamente se encuentra que:
10
Todo campo, incluso en su estado vac´ıo, ejerce una presión de radiación que es proporcional a la energ´ıa o frecuencia de los
distintos modos de vibración. En una cavidad resonante, la presión de radiación es mayor en el interior que en el exterior, por
cuya razón las placas tender´ıan a separarse. Para los modos fuera de resonancia, en cambio, la presión de radiación en el interior
es más baja que en el exterior y las placas expondrán una fuerza de atracción[3]. De acuerdo a lo evidenciado en sus experimentos
como trabajador para la compañ´ıa Philips, Casimir tomó la segunda opción como explicación al fenómeno; puesto que resultó, en
el caso de las placas, que los modos que contribuyen a la fuerza atractiva dominan ligeramente sobre los modos resonantes que
tienden a separar las placas. En otras palabras, las altas frecuencias, por decirlo as´ı, se atenuaban; en inferencia, se eliminarán
los modos de las más altas frecuencias que generan efectos de resonancia.

EFECTO CASIMIR 33
Figura 2.5: El vac´ıo interacciona con la materia. Acercará dos placas metálicas paralelas que estén muy
próximas entre s´ı. As´ı se resume el Efecto Casimir[3].
d3
I(nx)
dn3
x
]nx=0 = −4
y
dj
I(nx)
dnj
x
]nx=0 = 0 ⇔ j ≥ 4
Al sustituir todos estos últimos resultados dentro de la integral (2.65) y tomando el
hecho que B4 = −1/30,[22] se deduce que
˜I = −0 −
1
4!
(−
1
30
)(−4) − 0 = −
1
180
(2.67)
tal que al tratar cantidades divergentes emerjan resultados finitos.11
Para concluir este
cap´ıtulo, el resultado (2.67) debe ser sustituido en la expresión (2.60), hallándose de
11
Del anterior procedimiento puede comentarse que existe un cálculo alterno que otorga la misma conclusión al dado por
el resultado (2.67). Esta derivación es conocida como la Función Zeta de Riemann ζ(s), la cual esta definida por la serie
1 + 1/2s
+ 1/3s
+ 1/4s
+ ... donde s refiere al plano complejo. Éste cálculo se presenta en las citas [3] y [6].

EFECTO CASIMIR 34
Figura 2.6: Comportamiento de la fuerza de Casimir, FC ∝ 1/a4
.
esta manera el valor de “La Variación de la Energ´ıa del Punto Cero predicho por Niels
Bohr”:[6]
δEZPE −
π2
c
720a3
L2
(2.68)
donde “a” define la separación entre placas y L2
refiere al área de ellas. Es interesante
observar que la variación de energ´ıa dependa de las constantes fundamentales y c. Del
resultado (2.68), al aplicar la muy conocida definición de fuerza F ≡ −dV/da (donde
V refiere a un potencial), se obtiene la “Fuerza de Casimir”:
FC = −
π2
c
240a4
L2
(2.69)
fuerza que es atractiva, luego en efecto, si las placas metálicas se encuentran lo suficien-
temente cerca, se unirán. Es decir, el vac´ıo cuántico posee fluctuaciones de energ´ıa, que
en determinadas circustancias actúan sobre objetos materiales ordinarios. As´ı ocurre
en el Efecto Casimir: dos placas metálicas paralelas, a las que las fluctuaciones del
vac´ıo, por la diferencia de presión que ejercen sobre su adverso y su reverso, tienden
a acercarse entre s´ı. Véase la Figura 2.5. Para hacerse una idea de las magnitudes del
efecto como tal, teóricamente al situar dos placas de superficie de 1cm2
cada una, a una
distancia de 1µm, las mismas se atraen con una FC 0,013dinas 10−7
N.[3] Véase
la Figura 2.6.

EFECTO CASIMIR 35
Figura 2.7: Imágenes de la evidencia experimental del Efecto Casimir. Sobre la izquierda se muestra el
dispositivo empleado por Lamoreaux en su experimento, el cual dió inicio a verdaderas evidencias del efecto
como tal. Sobre la derecha se muestra el dispositivo utilizado por Umar Mohideen y colaboradores. Ambos
experimentos comprobaron concluyentemente la existencia de la fuerza predicha por Casimir[3].
2.4 Evidencia Experimental del Efecto Casimir
Casimir en sus primeras hipótesis acerca del fenómeno, le relacionó a una simple
interacción entre moléculas dieléctricas de Van der Waals. Sin embargo, Casimir con
un estudio más profundo del fenómeno, evidenció que la interacción entre las part´ıcu-
las intermoléculares (para la estabilidad de las suspensiones de polvo de cuarzo) deb´ıa
decaer más rápidamente, con una potencia de r−7
en lugar de r−6
(la fuerza de Van
der Waals FV ≡ −6A/r7
, donde A refiere a una constante)[25]. Intrigado por el resul-
tado, Casimir logró conversar al respecto con Niel’s Bohr en otoño de 1947, de all´ı el
danés se percató de la novedad del fenómeno y le relacionó con la energ´ıa del punto
cero[3]. En consecuencia, gracias a la valiosa pista, Casimir logró deducir todo lo que se
argumentó en el presente cap´ıtulo, concluyendo además que la fuerza de Casimir era la
última tras una serie de interacciones, siendo la más elegante de todas, donde incluso
logró demostrar teóricamente que el radio de acción de la misma era aún mayor que el
citado anteriormente (proporcional a r−4
en vez de r−6
).
En la década de los 40, al interior de los laboratorios Philips se comprobó la inter-
pretación presentada por Casimir[3]. Años después, a manos de Marcus Sparnaay se
ejecutó nuevamente la prueba experimental del efecto[26]. Su resultado halló un velo
de duda del 100 %, sin embargo, Sparnaay reconoció que su experimento alcanzó a
obtener un corto rango de atracción entre los objetos. Posteriormente en los siguientes
años se llevaron a cabo nuevas pruebas dirigidas por Derjaguin et al, Sabisky y Charles
Anderson[26], entre otros; experimentos que favorec´ıan cada vez más la existencia del
fenómeno[26]. En los años 1994 - 1997 a manos de Lamoreaux y su grupo de trabajo,
se halló una solución definitiva al asunto[18].

EFECTO CASIMIR 36
No es fácil llevar a cabo en el laboratorio un experimento de tal magnitud, ya que las
placas nunca tendrán extensión infinita ni tampoco serán perfectamente conductoras.
También es claro que intervienen efectos de temperatura, ásperosidad de las superficies,
polvo y otros. Un obstáculo que se presenta de entrada es la extremada dificultad para
posicionar las placas perfectamente paralelas; por tal razón Lamoreaux, a diferencia de
Sparnaay, prefirió usar una lente esférica de cuatro cent´ımetros de diámetro y una placa
de cuarzo óptico de dos cent´ımetros y medio de diagonal, ambas con un recubrimiento de
oro y cobre, conectadas a un péndulo de torsión en el vac´ıo. Véase la Figura 2.7 (imagen
izquierda). En aquel entonces, la esperanza de Lamoreaux le conllevó a implementar
precisión experimental, extender las mediciones a longitudes más distantes y medir los
efectos de temperatura no nula. La sensibilidad de su experimento logró obtener un
rango de acción entre 0,6µm y 6µm de separación entre ambos objetos. Al acercar
los objetos a unas cuantas micras de distancia, Lamoreaux observó que las mismas
se atra´ıan con la fuerza predicha. La medición efectuada con el péndulo de torsión
reprodujo el resultado de Casimir para esta configuración, estimándose el error en un
5 %[18].
El experimento de Lamoreaux se convirtió en el punto de partida de experimentos
posteriores que lograron disminuir el error a un 1 %. Uno de ellos fue el experimento
de Umar Mohideen y sus compañeros de la Universidad de California en Riverside,
EE.UU.[26]; ellos sujetaron una esfera de poliestireno de 200µm de diámetro a la punta
de medición de un microscopio de fuerza atómica, véase la Figura 2.7 (imagen derecha).
En una serie de experimentos acercaron la esfera, cubierta algunas veces de aluminio y
otras de oro, a alrededor de 0,1µm de un disco plano, también cubierto de esos metales.
La atracción entre la esfera y el disco fue monitorizada por la desviación de un láser.
El resultado del mismo concordaba completamente con la teor´ıa. Cabe resaltar que en
otros experimentos muy recientes se ha logrado obtener distancias nanométricas entre
los objetos, tal como sucedió en el experimento realizado por Thomas Ederth, alcan-
zando l´ımites cerca de los 20 nanómetros de separación e igualmente, en consecuencia,
adquiriendo resultados demasiado compatibles con la teor´ıa. La situación actual de la
teor´ıa y el experimento han sido revisados en editoriales especiales de la New Journal
of Physics. Hoy en d´ıa no cabe la menor duda que los cálculos de Casimir son correctos,
y como se ha estado comentando durante todo el cap´ıtulo:
“El mérito de Casimir estriba en haber descubierto que la energ´ıa del vac´ıo,
en determinadas circunstancias, s´ı tiene, pese a todo, consecuencias f´ısicas
discernibles”[3][18][26].

Es un milagro que a pesar de la sorprendente complejidad del
universo, se pueda descubrir en sus fen´omenos
determinada irregularidad.
Edwin Schr¨odinger (F´ısico)

3
TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
Existe una distinción lógica entre el concepto de una velocidad invariante y el de una
velocidad máxima. Contrario a la creencia difundida, la Teor´ıa Especial de la Relativi-
dad sólo requiere, para su consistencia cinemática, que exista una velocidad invariante.
Esto resulta a partir de la derivación original por Einstein de las transformaciones de
Lorentz. Sin embargo, el desarrollo de Einstein, bajo el concepto de simultaneidad, de-
pende de un procedimiento de sincronización de relojes, en el cual las señales luminosas
son usadas. Podr´ıa pensarse que si es posible una propagación más rápida que la luz,
ésta servir´ıa para sincronizar relojes de una manera alternativa y de esta forma alte-
rar la cinemática relativista en sus mismos fundamentos. “En el presente cap´ıtulo se
mostrará que este no es el caso”[1].
En primer lugar, se presentará un breve repaso de la Teor´ıa Especial de la Relativi-
dad, donde se obtendrán las Transformaciones de Lorentz y se definirá el Espacio de
Minkowski[8][10][11][12][13][14][16][20][27][34]. Progresivamente, la teor´ıa aplicará a un
caso particular, discutiéndose un ajuste de las transformaciones de Lorentz sin el uso
de la velocidad de la luz, todo bajo el criterio de tres hipótesis referentes a la filosof´ıa
de la relatividad especial; donde además se verifica que podr´ıa pasar si se permitiese el
ingreso de “taquiones” dentro de la misma y todas las posibles implicaciones que ello
generar´ıa.

TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 41
3.1 Derivación General de las Transformaciones de Lorentz
La derivación de las Transformaciones de Lorentz depende exclusivamente de la
velocidad de la luz. La constante c se caracteriza por ser una velocidad invariante
e independiente de observadores inerciales, tal como lo demuestra el experimento de
Michelson y Morley realizado en 1887, la Teor´ıa del Electrón propuesta por Lorentz en
1904 y los postulados de la Teor´ıa Especial de la Relatividad propuestos por Einstein
en 1905[8][9][13]. Por consiguiente, en primera instancia, se asignará que:[14][15]



x0
≡ ct
x1
≡ x
x2
≡ y
x3
≡ z
(3.1)
donde se observa una relación muy interesante; el grupo de ecuaciones (3.1) vincula
al tiempo dentro del sistema coordenado, otorgándole unidades espaciales, hecho que
se debe al relacionarle con la velocidad l´ımite c. Según Albert Einstein (1879-1955), la
velocidad de la luz es la velocidad máxima en el universo estable y en consecuencia,
ésta satisface la relación directa que existe entre el espacio y tiempo[10][14].
Utilizando el convenio de suma de Einstein puede definirse las Transformaciones de
Lorentz generales en forma tensorial:1
[15][20]
x µ
≡
3
ν=0
Λµ
νxν
+ aµ
(3.2)
donde las variables mudas µ, ν ≡ 0, 1, 2, 3 (representan un eje espec´ıfico) y el término Λµ
ν
refiere a los elementos de la matriz de transformación de Lorentz. Si el término aµ
= 0,
de las Transformaciones de Lorentz Heterogéneas (3.2) se obtiene la componente de
Lorentz homogénea:
x µ
=
3
ν=0
Λµ
νxν
(3.3)
El objetivo ahora es hallar individualmente los respectivos valores de los elementos
de la matriz de transformación Λµ
ν. El s´ımbolo µ representa el número de dimensiones
a utilizar, para este caso son cuatro; y el s´ımbolo ν representa la variación de cierta di-
1
Normalmente en los libros de cálculo tensorial y relatividad se suele omitir la sumatoria .

Figura 3.1: Sistemas de referencia en movimiento relativo. De aqu´ı se observa claramente que el sistema
se desplaza a velocidad v en la dirección xx con respecto al sistema , dejando de esta manera fijas
e idénticas las coordenadas y y z de ambos sistemas.
mensión con respecto a las cuatro, donde evidentemente se incluye también la variación
con respecto a ella misma. Lo que significa que para cada dimensión se obtendrán
cuatro elementos de la matriz de transformación de Lorentz. Para que el proceso se
torne más académico se iniciará con las componentes x 3
≡ z y x 2
≡ y , puesto que
no son, en particular, coordenadas relativistas, y progresivamente se concluirá con las
componentes x 1
≡ x y x 0
≡ ct .
Para la dimensión z ⇔ µ = 3, la transformación (3.3) se convierte en:
x 3
=
3
ν=0
Λ3
νxν
expandiendo la sumatoria se obtiene
x 3
= Λ3
0x0
+ Λ3
1x1
+ Λ3
2x2
+ Λ3
3x3
(3.4)
De la Figura 3.1, al describir los sistemas de referencia y , particularmente
no existe movimiento relativo entre las componentes z y z . Lo que quiere decir que sin
problema alguno puede ajustarse:
(z = z) =⇒ (x 3
= x3
) (3.5)

En consecuencia, para que (3.5) satisfaga (3.4) se debe cumplir que los términos
Λ3
0x0
+Λ3
1x1
+Λ3
2x2
= 0 y Λ3
3x3
= x3
. En términos más prácticos éstos últimos deben
ser de la forma:
Λ3
0 = Λ3
1 = Λ3
2 = 0 y Λ3
3 = 1 (3.6)
Igualmente, para y ⇔ µ = 2 de (3.3) se obtiene los elementos:
Λ2
0 = Λ2
1 = Λ2
3 = 0 y Λ2
2 = 1 (3.7)
En segunda instancia, la literatura de la Teor´ıa Especial de la Relatividad induce
las usuales transformaciones de Lorentz:[8][11][12][14][34]
t =
t − xv/c2
1 − v2/c2
(3.8)
x =
x − vt
1 − v2/c2
(3.9)
y = y (3.10)
z = z (3.11)
éstas resultan de un conjunto de efectos cinemáticos (dilatación del tiempo, contrac-
ción de Lorentz y sincronización de relojes), todo bajo el concepto de simultaneidad
de Einstein[8][14]. Ajustando γ = γ(|v|) ≡ 1/ 1 − β2 donde β = v/c y recordando
las definiciones (3.1), puede reescribirse las transformaciones de Lorentz en notación
contravariante, es decir: (véase el Apéndice D)



x 0
= γ(x0
− βx1
)
x 1
= γ(x1
− βx0
)
x 2
= x2
x 3
= x3
(3.12)

Continuando con el procedimiento, para x ⇔ µ = 1, de (3.3) se obtiene
x 1
=
3
ν=0
Λ1
νxν
= Λ1
0x0
+ Λ1
1x1
+ Λ1
2x2
+ Λ1
3x3
(3.13)
Al comparar la segunda ecuación del grupo (3.12) con la expresión (3.13) se halla
fácilmente los valores de los correspondientes elementos:
Λ1
0 = −γβ, Λ1
1 = γ y Λ1
2 = Λ1
3 = 0 (3.14)
Finalmente cuando µ = 0, de (3.3) se obtiene
x 0
=
3
ν=0
Λ0
νxν
= Λ0
0x0
+ Λ0
1x1
+ Λ0
2x2
+ Λ0
3x3
lo que significa que al comparar este resultado con la primera transformación de Lorentz
de (3.12), se obtiene el valor de los elementos restantes:
Λ0
0 = γ, Λ0
1 = −γβ y Λ0
2 = Λ0
3 = 0 (3.15)
En última instancia, reuniendo los 16 elementos agrupados en los resultados (3.6),
(3.7), (3.14) y (3.15), se obtiene en definitiva la matriz de transformación de Lorentz:[15]
Λµ
ν =




Λ0
0 Λ0
1 Λ0
2 Λ0
3
Λ1
0 Λ1
1 Λ1
2 Λ1
3
Λ2
0 Λ2
1 Λ2
2 Λ2
3
Λ3
0 Λ3
1 Λ3
2 Λ3
3



 =




γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 (3.16)
Se observa claramente que la matriz de transformación Lorentz (3.16) es simétrica.
Esta matriz se expresa generalmente por x = Λx, donde Λ representa la matriz de
transformación, x y x representan coordenadas generalizadas espacio-temporales (R4
)
de los sistemas de referencia y , respectivamente. No esta de más, escribir las
transformaciones de Lorentz homogéneas matricialmente:
x µ
= Λµ
νxν





x 0
x 1
x 2
x 3



 =




γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








x0
x1
x2
x3




donde γ = γ(|v|) ≡ 1/ 1 − β2 y β ≡ v/c. Para concluir este breve repaso de la Teor´ıa
Especial de la Relatividad es necesario definir el espacio que se esta manejando, al cual
pertenecen las transformaciones de Lorentz: (véase el Teorema 3.1)
Teorema 3.1:
Hermann Minkowski (1864-1909), inspirado por la brillantez de la Teor´ıa Especial
de la Relatividad de su estudiante Einstein, definió un espacio cuadridimensional de
cuadri-vectores, en coordenadas generalizadas, de la forma:[16][20][35][36][37]
M := {[xµ
≡ (x0
, x1
, x2
, x3
); yν
≡ (y0
, y1
, y2
, y3
)] ∈ R4
| x · y ≡ ηµνxµ
yν
} (3.17)
En (3.17) se ha introducido la convención de suma de Einstein, donde µ, ν ≡ 0, 1, 2, 3.
El producto interno Minkowskiano en términos más prácticos es de la forma:
x · y = ηµνxµ
yν
= −x0
y0
+ x1
y1
+ x2
y2
+ x3
y3
(3.18)
donde los elementos de la matriz del Tensor Métrico de Minkowski se definen:[15]
ηµν ≡



0 si µ = ν;
−1 si µ = ν = 0;
1 si µ = ν = 1, 2, 3.
(3.19)
Por consiguiente, el producto interno Minkowskiano (3.18) induce la norma del in-
tervalo espacio-tiempo:
ηµνxµ
xν
= x · x = −(x0
)2
+ (x1
)2
+ (x2
)2
+ (x3
)2
≡ (S)2
(3.20)
.
El uso de la invarianza de Lorentz (véase el Apéndice E) y la linealidad de la trans-
formación de Lorentz, implica una invarianza en el producto interno Minkowskiano. Es
decir, usando la transformación de Lorentz (3.3) para ambos casos (cuadri-vectores x
y y), y la ecuación (3.18), se obtiene la condición que deben cumplir los elementos de

la matriz de Lorentz:
(Sxy)2
= (Sxy)2
x · y = x · y
ηαβx α
y β
= ηµνxµ
yν
ηαβΛα
δΛβ
γxδ
yγ
= ηµνxµ
yν
lo que significa que
ηδγ = ηαβΛα
δΛβ
γ (3.21)
De acuerdo a la matriz de transformación (3.16), la ecuación (3.21) puede escribirse
como:[20]
ηδγ :=



−(Λ0
0)2
+ 3
i=1(Λi
0)2
= −1;
−(Λ0
k)2
+ 3
i=1(Λi
k)2
= 1, k = 1, 2, 3;
ηρσΛρ
µΛσ
ν = 0, µ = ν.
(3.22)
Éste sistema de ecuaciones es general y contiene todas las posibles transformaciones
entre sistemas de coordenadas que dejan invariante el producto interno Minkowskiano.
Obsérvese que el grupo de expresiones (3.22), coincide con la métrica (3.19), luego “la
métrica de Minkowski resulta ser invariante bajo transformaciones de Lorentz”2
.
2
Puede verificarse cada una de las ecuaciones del sistema (3.22), es claro que para lograr esto, debe utilizarse los elementos
de incumbencia de la matriz de Lorentz (3.16). Por ejemplo, permitase demostrar la primera ecuación de éste sistema:
−(Λ0
0)2
+
3
i=1
(Λi
0)2
= −γ2
+ β2
γ2
= −
1
1 − v2/c2
+
v2
c2 − v2
= −
c2
− v2
c2 − v2
= −1
cumpliéndose de esta manera una de las condiciones de la matriz de Lorentz sobre el tensor métrico de Minkowski.

Figura 3.2: Nueva perspectiva de dos sistemas de referencia en movimiento relativo.
3.2 Transformaciones de Lorentz con Velocidad Invariante
En la presente sección se discutirá la derivación de las transformaciones de Lorentz
de una forma menos convencional, procedimiento que fue propuesto por Von Ignatowsky
en 1910[27]. En primer lugar, recuérdese el sistema de ecuaciones (3.22), el conjunto de
transformaciones se conoce como el grupo de Lorentz y es descrito por las siguientes
categor´ıas:[1]
i) En “un sistema inercial arbitrario” el espacio es homogéneo, isotrópico
y Euclideano. Además para el mismo el tiempo es homogéneo.
ii) El principio de la relatividad.
iii) Una condición de pre-causalidad.
La primera categor´ıa corresponde a las rotaciones de los ejes espaciales, dejando
la coordenada temporal inmodificada y forman el llamado grupo de rotaciones. Éste
representa un espacio f´ısico isotrópico, luego claramente una rotación espacial queda
determinada por tres parámetros (por ejemplo los tres ángulos de Euler). La segunda

categor´ıa constituye que todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos
los observadores que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante.
También incluye la operación de inversión de los ejes espaciales (paridad de la natu-
raleza) y el temporal. La tercera y última categor´ıa la conforman las transformaciones
puras de Lorentz, que representan el cambio entre sistemas de referencia inerciales,
manteniendo tanto los ejes espaciales paralelos (no hay rotaciones), as´ı como el sentido
de los ejes espaciales y el temporal (sin inversión de ejes)[12][20]. “Todo esto bajo la
dependencia de algún parámetro C > 0 que representa una velocidad invariante”.
Considérese un sistema de referencia (t, x, y, z) que se encuentra relativamente en
reposo. Sucesivamente supóngase un nuevo sistema de referencia (t , x , y , z ) que se
halla en movimiento relativo con respecto al primer sistema de referencia. De acuerdo
a la isotrop´ıa del espacio, no hay problema alguno al ajustar paralelamente los ejes
coordenados de los sistemas de referencia entre s´ı, de tal forma que el sistema se
desplaze a velocidad constante v con respecto al sistema en la dirección ˆx = ˆx .
Véase la figura 3.2. En consecuencia, se tendrá que y = y = z = z = 0, reduciéndose
de esta manera los sistemas de referencia de cuatro variables a únicamente dos: (t, x) y
(t , x ), respectivamente.
Desde el punto de vista del sistema de referencia , la distancia parcial entre el
evento E y el origen de coordenadas O evidentemente se da por:
x = ξ + vt (3.23)
Similarmente, si x , ξ y v son cantidades referenciadas desde el punto de vista de
, se tiene que:
x = ξ + v t (3.24)
donde x es la distancia entre el evento E y el origen de coordenadas O. La homogeneidad
del espacio requiere que la relación de la distancia, medida por ambos sistemas, entre el
evento E y el origen de coordenadas O sea lineal. Luego, existen los coeficientes γ y γ
(posiblemente dependientes de v y v ), los cuales están relacionados de la forma:[14][27]
ξ ≡ x /γ ; ξ ≡ x/γ (3.25)

Es claro que los coeficientes γ y γ han de ser positivos, puesto que ellos relacionan
medidas de distancias3
. Al sustituir las definiciones (3.25) en la expresión (3.23) y
resolviendo con respecto a t se obtiene:
t =
x − ξ
v
=
γξ − ξ
v
=
γ(x − vt) − x/γ
v
=
γx − γvt − x/γ
v
=
(γ − 1/γ )x − γvt
v
=
(γγ − 1)x/γ − γvt
v
t = −
γv
v
t − (
γγ − 1
γγ v
)x (3.26)
sucesivamente de (3.24), resolviendo con respecto a x se adquiere
x =
x
γ
+ v t
=
x
γ
+ v
γ(x − vt) − x/γ
v
x = γ(x − vt) (3.27)
Al reunir los resultados y simplicaciones precedentes, se obtiene en definitiva un
conjunto de transformaciones que relacionan a los sistemas de referencia y de la
forma:
3
No deber´ıan parecer extrañas las definiciones (3.25), puesto que refieren al efecto cinemático “Contracción de Lorentz”.




t = −γ v
v
[t − (γγ −1
γγ v
)x]
x = γ(x − vt)
y = y
z = z
(3.28)
Hasta el momento, únicamente se ha utilizado la categor´ıa de la homogeneidad e
isotrop´ıa del espacio. En inferencia, un segundo ingrediente en la derivación del signifi-
cado f´ısico de las transformaciones es el principio de reciprocidad v = −v. Además,
el principio de la relatividad impone que γ = γ (sin ejes de preferencia), requirien-
do que las transformaciones formen un grupo (por ejemplo el grupo de Lorentz). A
continuación se permite definir:[1][27]
γ−2
≡ 1 − kv2
(3.29)
donde k es una constante independiente de v. Si k < 0 en la expresión (3.29), las
relaciones χ0
≡ t/
√
−k y tan2
(θ) ≡ −kv2
definen una rotación ordinaria en el “plano
real” (x0
, x1
). Sin embargo, k no debe ser menor a cero, puesto que posee un número de
consecuencias que carecen de significado f´ısico4
. (Véase el Apéndice D). En el presente
trabajo se planea usar la siguiente condición de “pre-causalidad”:[1]
Si en un sistema de referencia dos eventos suceden en un mismo lugar,
entonces la evolución de sus tiempos ha de ser la misma para los demás
sistemas de referencia.
eliminándose paradojas causales. El enunciado anterior elimina inmediatamente la re-
gresión en el tiempo, evitándose de esta forma el problema efecto-causa5
. De acuerdo a
las justificaciones precedentes, implica que k ≥ 0, luego puede definirse una constante
positiva C tal que:[1]
k ≡ 1/C2
(3.30)
donde se evidencia nuevamente el por qué k no debe ser menor que cero, puesto que esto
implicar´ıa que 1/C2
< 0, una velocidad imaginaria. Finalmente el grupo de expresiones
4
Puesto que el verdadero significado f´ısico yace cuando se realizan rotaciones con ángulo θ en el “plano complejo” (χ0
, x1
),
donde al tiempo se le ha asignado como un eje imaginario poseedor de unidades espaciales. Si desea ver en toda su rigurosidad el
precedente argumento, véase nuevamente el respectivo tratamiento en el Apéndice D.
5
Progresivamente se clarificarán detalles en la subsección “Taquiones y Paradojas Causales”.

(3.28) adquiere la familiaridad de las transformaciones de Lorentz, con la diferencia de
que la velocidad de la luz c ha sido sustituida por una velocidad arbitraria C.



t = γ(t − vx
C2 )
x = γ(x − vt)
y = y
z = z
(3.31)
Para la situación γ ≡ 1/ 1 − v2/C2. Es claro que, al considerar la ley de composición
de velocidades, si una señal viaja a una velocidad C en un sistema de referencia, lo es
as´ı en todos los sistemas de referencia. Es decir, C es una “velocidad invariante”.
Obsérvese que en el argumento previo no se ha definido de ninguna manera la
existencia de una velocidad máxima. El principio de la relatividad, junto con los re-
querimientos de la homogeneidad e isotrop´ıa del espacio, es suficiente para prevalecer
unas transformaciones de Lorentz6
. Es necesario aclarar que tampoco se ha limitado
la propagación de cierta señal a no viajar a una velocidad más alta que C. Tan sólo
se ha encontrado que no se pueden considerar sistemas de referencia moviéndose a una
velocidad relativa v > C (de lo contrario el factor γ ser´ıa imaginario).
3.2.1. Analog´ıa con un Fluido Dinámico
Dentro del contexto de la f´ısica de Newton, considérese un fluido (por ejemplo el
Aire) en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial y dos sistemas de
referencia aleatorios; uno de ellos coincide con el sistema del fluido y el otro se mueve
con respecto a éste a una velocidad constante v. Los ejes de los mismos son paralelos y
la dirección de la velocidad del segundo sistema también es paralela a uno de ellos (eje
x), de tal manera que los demás ejes coordenados no son relevantes en el análisis. Los
observadores inerciales acuerdan el uso de señales ultra-rápidas para poder sincronizar
sus relojes, satisfaciéndose de esta manera la f´ısica Newtoniana. En efecto, la relación
entre las coordenadas (T, X) del sistema en reposo con respecto al fluido y las
coordenadas (tG, xG) del sistema de referencia en movimiento , esta definida por las
6
Recuérdese el orden cronológico de los acontecimientos que derivan la Teor´ıa Especial de la Relatividad. La Teor´ıa del
Electrón presentada por Lorentz se publicó en 1904, dentro de la misma no se adoptó a la velocidad de la luz como un l´ımite
universal (este hecho se dió en 1905 como un postulado de Einstein, siendo consecuente además del resultado del experimento
de Michelson y Morley de 1887). Lo que significa que el ajuste tomado por Lorentz en sus transformaciones no es más que una
“arbitraria selección” aplicada a la electrodinámica.

usuales Transformaciones Galileanas:[8][12][14]



tG = T
xG = X − vT
yG = Y
zG = Z
(3.32)
Por otra parte, supóngase dos eventos, ambos acuerdan utilizar una velocidad dis-
tinta a la de la luz para sincronizar sus relojes, en consecuencia, desde el punto de vista
del sistema de referencia ellos estarán separados lapsos de ∆X y ∆T, luego en ese
caso el cono de velocidad satisface:
−c2
s(∆T)2
+ (∆X)2
= 0 (3.33)
donde cs refiere a la velocidad del sonido. Evidentemente la expresión (3.33) define que
la máxima distancia que puede recorrer la velocidad del sonido en cierto intervalo de
tiempo es ∆X. Sucesivamente al utilizar las transformaciones (3.32), desde el punto de
vista del observador , se halla que:
− c2
s(∆tG)2
+ (∆xG + v∆tG)2
= 0 (3.34)
Rápidamente se permite mostrar otro procedimiento más riguroso que conduce al re-
sultado (3.34). Es decir, la analog´ıa anterior induce la siguiente matriz de coeficientes:[1]
Gµν ≡
−(c2
s − v2
) v
v 1
la precedente es conocida como la métrica acústica y describe la propagación de pertur-
baciones en un fluido que se mueve con velocidad −v. Por el momento se permite ajustar
x0
≡ ∆tG y xi
≡ ∆xG (notación clásica), luego para cualquier sistema coordenado el
intervalo espacio-tiempo (aplicado al cono de velocidad) se da por:
Gµν∆xµ
∆xν
=
−(c2
s − v2
) v
v 1
x0
xi
x0
xi = 0
= −(c2
s − v2
)(x0
)2
+ 2vx0
xi
+ (xi
)2
= 0
= −c2
s(∆tG)2
+ (∆xG + v∆tG)2
= 0
tal como era de esperarse, existe una violación en la invarianza galileana. El resultado
(3.34) no posee una estructura idéntica a la presentada por la expresión (3.33); a pesar
que las transformaciones de Galileo satisfacen el principio de la relatividad, la descrip-
ción de la propagación del sonido no es simétrica. No hay razón del por qué esto podr´ıa
ser, puesto que la presencia del fluido causa un rompimiento en la invarianza de Galileo,

siempre que se defina un sistema de referencia en reposo “absoluto”7
.
No obstante, en consecuencia, el movimiento del observador puede llegar a definir
sus coordenadas de tal forma que el principio de la relatividad se satisfaga, y que la
invarianza de la velocidad de sincronización C no tienda a ser infinita (+∞) como
sucede en las transformaciones galileanas, es decir, cuando C ≡ cS. Ahora, desde un
punto de vista moderno, si v < cs las Transformaciones de Lorentz pueden hacerse
depender de señales acústicas:[1]
tL = γs(T − vX/c2
s)
(3.35)
xL = γs(X − vT)
donde γs = (1 − v2
/c2
s)−1/2
. Lo anterior evidencia que las coordenadas (tL, xL) están
relacionadas a las coordenadas (T, X) por una transformación de Lorentz dependiente
de una velocidad invariante cs. Análogamente, la relación entre los lapsos ∆tL y ∆xL
que corresponden a dos eventos, se da por:
−c2
s(∆tL)2
+ (∆xL)2
= 0 (3.36)
Obsérvese que la expresión (3.36) es idéntica a la definición (3.33). A continuación,
se verificará si se cumple o no la invarianza de (3.36) en cualquier sistema de referencia.
Al sustituir las transformaciones (3.35) se obtiene:
−c2
s
(T−vX/c2
s)2
(1−v2/c2
s)
+ (X−vT)2
(1−v2/c2
s)
= 0
−c2
s(T2
− 2vXT/c2
s + v2
X2
/c4
s) + (X2
− 2vXT + v2
T2
) = 0
−T2
(c2
s − v2
) + X2
(1 − v2
/c2
s) = 0
−c2
sT2
(1 − v2
/c2
s) + X2
(1 − v2
/c2
s) = 0
−c2
s(∆T)2
+ (∆X)2
= 0
este último satisface la Invarianza de Lorentz8
. Luego la propagación de un fenómeno
que esta asociado a la ecuación (3.33) en un sistema de referencia, permite que siempre
7
Obsérvese que la analog´ıa del fluido dinámico utilizada en la presente sección, es demasiado compatible por no decir igual
a la utilizada en el modelo Éter, el cual describ´ıa clásicamente el movimiento de la luz. Hoy en d´ıa el modelo Éter no es más que
una teor´ıa obsoleta; sin embargo, algunos conceptos que le caracterizan han sido actualmente utilizados (Energ´ıa Oscura).
8
Para lograr hallar rigurosamente este resultado debe utilizarse la métrica de Minkowski acústica, donde x0
≡ cs∆T y
x ≡ ∆X, puesto que todo lo anterior es aplicado a la velocidad del sonido cs.

se pueda encontrar coordenadas espacio-tiempo en otro sistema de referencia, tal que
el principio de la relatividad se satisfaga y análogamente la invarianza se mantenga en
el nuevo sistema de referencia. Entonces, las transformaciones de Lorentz corresponden
a una velocidad invariante C. En otras palabras, siempre se puede escoger el valor de
C, porque tal seleción es equivalente para la sincronización de relojes, sin importar la
clase de señal que se use. En inferencia, de acuerdo a todas las justificaciones llevadas
a cabo en el presente cap´ıtulo, surge el interrogante: ¿el uso de la velocidad de la luz es
justamente una convención?.
3.2.2. Interpretación de las Coordenadas Espacio y Tiempo
Cuando se establece un sistema de referencia, él traduce una selección de unidades
f´ısicas de tiempo y espacio, las cuales definen algún fenómeno f´ısico en especial. Lo que
significa que una red cartesiana es construida usando longitudes y relojes estándar, que
son idealmente ubicados en todos los puntos del espacio. Todos esos relojes marcan un
tiempo igual, pero ellos no están mutuamente sincronizados. Sin embargo, emp´ırica-
mente esta sincronización es posible siempre y cuando exista una señal que posea una
velocidad invariante. Para lograrlo sólo basta con ubicar a un observador en un punto
P que env´ıe la señal a otro observador que se encuentre ubicado en un punto P del
mismo sistema de referencia, y que éste a su vez devuelva inmediatamente la señal a P.
Conociendo el tiempo de viaje de ida y regreso en su reloj, el observador en el punto P
puede hallar “a través de un promedio de medidas”el valor de la velocidad de la señal.
En otras palabras, si repitiendo el procedimiento de medición a lo largo de diferentes
direcciones y en diferentes sistemas equipados con idénticos relojes y reglas, se obtiene
en conclusión un valor igual, implicar´ıa que la señal viaja a una velocidad invariante[9].
A continuación se discutirá la prescripción para la sincronización de relojes en dife-
rentes lugares, aplicada a la definición de eventos simultáneos en un sistema de referencia
dado. Esto corresponde a un elemento convencional en la teor´ıa que esté claramente
expresado por las categor´ıas i) y ii), cuales implican una relación bien definida entre las
coordenadas de dos sistemas inerciales diferentes, donde también existe una noción que
clarifica cuando dos eventos son simultáneos en un sistema arbitrario (véase por ejem-
plo [8]). Esto, en cambio, es equivalente a postular que la velocidad C sea invariante no
sólo sobre el promedio de un viaje de ida y vuelta, sino también un´ıvocamente.
Se puede usar señales viajando a velocidad invariante para lograr la sincronización
de relojes, pero en las presentes secciones se desea comprender que podr´ıa suceder si
se usa otro tipo de señales. Es fácil ver, sin embargo, que si las coordenadas de dos
sistemas de referencia son relacionadas por las transformaciones de Lorentz con una

velocidad invariante C, la sincronización ha de ser ejecutada usando señales que viajan
a la velocidad C. Para proveer esto, se permite considerar de nuevo los fundamentos
descritos en la sección 3.2 (véase la figura 3.2). Supóngase que ambos sistemas de
referencia acuerdan usar señales que viajan a cierta velocidad V en el sistema .
Entonces, si un observador ubicado en O env´ıa dos señales en direcciones opuestas
sobre el eje x ; los observadores asumirán que en el sistema con la coordenada x
igual a +l y −l aplicada respectivamente a cada señal enviada por O , tardarán un
tiempo:
t+ =
x+
u+
= (+l)
1 + (+V )(−v)/C2
+V − v
= l
1 − V v/C2
V − v
(3.37)
y
t− =
x−
u−
= (−l)
1 + (−V )(−v)/C2
−V − v
= l
1 + V v/C2
V + v
(3.38)
respectivamente, donde se ha utilizado la ley de composición de velocidades de Einstein:
(véase el Apéndice F)[12]
u ≡
w + v
1 + wv/C2
(3.39)
la cual asume que las coordenadas de y están relacionadas por unas transforma-
ciones de Lorentz con una velocidad invariante C. Si las señales viajan a una velocidad
V y han de ser usadas para sincronizar relojes, entonces se tendrá (por isotrop´ıa y
homogeneidad) que t+ = t−, lo cual sólo es posible si V = C. 9
Al respecto se presenta la posibilidad, si el valor de la velocidad invariante ya ha
sido establecido experimentalmente, este resultado obliga a usar precisamente señales
invariantes, y no otras, para llevar a cabo la sincronización de relojes. Alternativamente,
se puede fijar a V como una velocidad invariante, como sucedió en el ejemplo del fluido
dinámico, donde se hab´ıa definido (tL, xL) de tal forma que cs fuese una velocidad
invariante. Por supuesto que lo anterior es una posibilidad, pero se requiere que el uso
de las coordenadas espacio y tiempo funcionen de una manera diferente, que las mismas
se relacionen como una combinación f´ısica de relojes y reglas. En este caso se puede
decir que los dispositivos de medida (reglas y relojes) están dinámicamente afectados
por el movimiento con respecto al fluido, de tal manera que cada movimiento no se
haga detectable. Luego se descubrir´ıa una invarianza de Lorentz acústica con sus reglas
9
Esta última consecuencia fue comprobada en 1887 por Michelson y Morley en su experimento[9].

y relojes transformando de acuerdo a las leyes de una aproximada relatividad acústica
(grupo de Lorentz con C = cs). En este sentido, se aclara que el fluido juega el papel de
un Éter, cuya presencia se desvanece a causa de los efectos cinemáticos: contracción de
Lorentz y dilatación del tiempo. Lo que significa que se tendr´ıa una analog´ıa del fluido
dinámico de la Teor´ıa Especial de la Relatividad al estilo Lorentz.
3.2.3. ¿Qué es C?
La homogeneidad e isotrop´ıa del espacio de un sistema inercial, junto con los princi-
pios de la relatividad y causalidad, implican, “cinemáticamente”, el grupo de Lorentz,
que justifica la existencia de alguna velocidad invariante C. Por lo tanto, relojes a cier-
ta distancia deberán ser sincronizados usando señales propagándose a la velocidad C.
Pero, tal valor se ajusta sólo cuando la prescripción para la construcción de relojes y
reglas este dada, y se adopte uniformemente en todos los sistemas de referencia.
El argumento que establece la existencia de una velocidad invariante C, el cual es
puramente de carácter cinemático, no conduce a conocer un valor de ella. Puesto que
cuando una elección de relojes y reglas se ha tomado, un valor real para C, depende
exclusivamente de un proceso experimental. En principio, no se puede hallar ni siquiera
el caso degenerado C = +∞, cual corresponde a las transformaciones galileanas. No
obstante, se conoce que C coincide, a una muy buena precisión, con el valor c de
la velocidad de la luz en un vac´ıo sin condiciones de contorno, de esta forma podr´ıa
ajustarse inicialmente que C ≡ c (vac´ıo de Minkowski)10
. Sin embargo, siempre se
podr´ıa tener en mente que pequeñas desviaciones de esta emp´ırica igualdad establecida,
sean lógicamente posibles.
Una vez se halle experimentalmente cierto valor finito para C, el formalismo de la
relatividad especial será expresado por las categor´ıas base i), ii) y iii). Visto que la
existencia de señales más rápidas que C no contradice cualquiera de estos postulados,
éstas resultan ser (“cinemáticamente”) aceptables dentro de la ordinaria teor´ıa especial
de la relatividad. En particular, no se puede hacer uso de estas señales para realizar una
10
No parecer´ıa extraño tomar como punto de partida este ajuste, después de todo la invarianza de “c” ya ha sido demostrada
experimentalmente y es además la base de la relatividad especial conocida. En cuanto al término vac´ıo de Minkowski, éste refiere
al concepto de vac´ıo moderno desde la perspectiva de la Relatividad Especial y la Mecánica Cuántica (por ejemplo, el exterior
ó el interior en las direcciones y y z de las placas de Casimir), en el cual se sigue satisfaciendo la homogeneidad, isotrop´ıa y
estabilidad del estado vac´ıo. A medida que se avance en el estudio de la presente memoria se hallarán razones del porque se hace
este ajuste inicial y las repercusiones que genere como tal, por ahora únicamente considere la validéz del ajuste C ≡ c.[1]

sincronización de relojes sin violar las categor´ıas i) y ii)11
. De hecho, aunque diferen-
tes sistemas de referencia puedan usar señales hipotéticamente ultra-rápidas (C), para
definir las coordenadas t y t de tal manera que el intervalo ∆t = 0 siempre que ∆t = 0,
el uso de tales coordenadas ser´ıan incompatibles con el principio de la relatividad. Es
decir, si ∆t = ∆t = 0, de la ecuación (3.26) se obtiene que:
0 = −
γv
v
0 −
γγ − 1
γγ v
x ⇒ γγ = 1 (3.40)
luego en efecto, al asumir la isotrop´ıa del espacio dada por la relación de reciprocidad,
(3.26) se reduce a:
t = γt (3.41)
Si γ = 1 -un experimento insinúa que puede ser decisivo comparar relojes en ambos
sistemas de referencia- requiriendo que γ = γ (véase la expresión (3.40)), lo que sig-
nifica una violación del principio de la relatividad. El resultado de la transformación
se permite para una noción absoluta de simultaneidad, la cual esencialmente se debe
a la introducción de un sistema de preferencia en el formalismo (Éter). En conclusión,
nótese que si γ = 1 es imposible ajustar relojes tal que t = t, a menos que se acepte
que la reciprocidad, de la isotrop´ıa del espacio, sea también violada.
Incluso si se permitiese el ingreso de “taquiones”(part´ıculas ó señales más rápidas
que C), los mismos no podr´ıan ser usados para sincronizar relojes en un sistema in-
dependiente sin contradecir el principio de la relatividad. Por supuesto, los taquiones
pueden ser usados para definir algunas coordenadas x y t justo como cualquier otra
señal. Pero debe recordarse nuevamente que para realizar la sincronización debe usarse
señales que viajen a una velocidad invariante C, tal que se satisfaga el principio de la
relatividad.
3.3 Causalidad
Como se ha ido comentando a lo largo del presente cap´ıtulo, una vez las unidades
de longitud y tiempo sean definidas, únicamente argumentos cinemáticos basados en
11
Por ejemplo, el interior de las placas de Casimir; all´ı el espacio es anisotrópico e inhomogéneo y en inferencia C no se propaga
a una velocidad idéntica en cualquier dirección. A pesar de esto, particularmente, el fenómeno conlleva a una “invarianza local
de Lorentz”.

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