Transformaciones lineales

Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Transformaciones
Lineales

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Transformaciones Lineales Instituto de Matemática

• Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones
en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.
En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se
pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para
aproximar localmente funciones, por ejemplo.

• Sean V , W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K
Una función T de V en W transforma vectores de V en vectores de W.
Impondremos condiciones para que T preserve las operaciones de
suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea
equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en V
como las imágenes en W .

2

1


T
V W
• T(u)
•u •v
• T(v)
• u+v • T(u) + T(v)
• au
•T(u+v)

• T(au)
• aT(u)

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Definición:
Sean V , W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K
T : V → W es una transformación lineal de V en W si:
1) ∀u, v ∈ V , T (u + v ) = T (u ) + T (v )

2) ∀a ∈ K , ∀v ∈ V , T (av ) = aT (v )

Observaciones:
1) Es usual denotar con los mismos símbolos
+y ⋅ (símbolo que se omite) la suma y el producto
por escalar definidos sobre los espacios vectoriales V y W
como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes.
2) T también se llama aplicación lineal.
4

2


3) T es transformación lineal ⇔ ∀a, b ∈ K , ∀u , v ∈ V , T (au + bv ) = aT (u ) + bT (v )

4) Transformaciones lineales preservan combinaciones lineales.
Esto es:
Sea T :V → W transformación lineal. Entonces, para ai ∈ K , vi ∈V , i = 1,2,..., n
T (a1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n ) = a1T (v1 ) + a 2 T (v 2 ) + ... + a n T (v n )
Se cumple que:
Si V , W son espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T :V → W

una transformación lineal. Entonces:
1)T ( 0V ) = 0W

2)T ( −v ) = −T ( v ) , ∀v ∈V

3)T ( v − w) = T ( v ) − T ( w) , ∀v, w ∈ V
5


Algunas transformaciones lineales:
1) T : V → W , T ( v ) = 0W , ∀v ∈ V Transformación lineal Nula .
2) T : V → V , T ( v ) = cv, ∀v ∈ V , con c ∈ K , c fijo.

En particular, si c =1:
IV : V → V , IV ( v ) = v, ∀v ∈ V Transformación lineal Identidad .

3) Sea A ∈ M m×n (R)

Entonces T : Rn → R m , T ( v ) = Av es transformación lineal.
Transformación determinada por la matriz A
(El producto matricial Av está definido si los vectores se
colocan como vectores columnas).

6

3


No son transformaciones lineales:

1) La función determinante det : M n ( K ) → K ya que:
det ( A + B ) ≠ det A + det B, det ( kA) = k det A ≠ k det A,
n

para n >1

2) Si V es un espacio vectorial sobre K y v0 ∈ V , v0 ≠ 0V ,
la función traslación por el vector v0 definida por
T ( v ) = v + v0 ∀v ∈ V ya que T ( 0 V ) = v 0 ≠ 0V

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KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Definición:

Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , con T : V → W
una transformación lineal
1) El kernel de T denotado KerT es el conjunto

KerT = {v ∈ V / T (v ) = 0 W }
(También se le llama núcleo y se anota Nu T )
2) La imagen de denotada Im T , es el conjunto:

ImT ={w∈W / w = T ( v) , para algun v ∈V }

8

4


T
V W
•
• • ImT
•
Ker T • 0• •••
• • • 0
•
• • •

9


Se cumple:

1) KerT es un subespacio vectorial de V .
La nulidad de T , es la dimensión del kernel de T . Se anota: n (T )
2) Im T es un subespacio vectorial de W .
El rango de T es la dimensión de la imagen de T . Se anota: r (T )

3) Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K con dim V < ∞.

Sea T :V → W una transformación lineal. Entonces:
dim ( KerT ) + dim ( Im T ) = dim V

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TRANSFORMACIONES LINEALES INYECTIVAS,
SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS.

Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K ,
y T :V → W una transformación lineal.
Entonces:

1) T es inyectiva ⇔ KerT = {0V }

2) T es sobreyectiva ⇔ ImT = W

3) T es biyectiva ⇔ KerT = {0 } , Im T = W
V

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Sean V ,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K ,
con dim V = n, dim W = m
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
1) T es inyectiva ⇔ r (T ) = n
2) T es sobreyectiva ⇔ r (T ) = m

Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , y T : V → W
una transformación lineal. Entonces:
{v1 , v 2 ,..., v n } genera a V ⇒ {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,..., T ( vn )} genera a Im T .
O sea:
Si {v1 , v 2 ,..., v n } es una base de V , entonces Im T = {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,..., T ( vn )}

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6


Sean V ,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K .

Sean {v1, v2 ,...,vn } una base de V y {w1 , w2 ,..., wn } ⊂ W
un conjunto de n vectores arbitrarios

Entonces existe una única transformación lineal T :V → W

tal que T (v i ) = w i , i = 1,2,..., n

O sea: una transformación lineal queda completamente
determinada por sus imágenes en una base del dominio.

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La composición de transformaciones lineales es transformación lineal.
Esto es:
Si T : U → V , S : V → W son dos transformaciones lineales
entonces S T : U → W es transformación lineal.

Sea T : V → W una transformación lineal, con V, W espacios
vectoriales sobre K
1) T es invertible ⇔ existe T −1 : W → V / T −1 T = IV , T T −1 = IW

Si T es invertible se dice que es un isomorfismo

2) T : V → W transformación lineal invertible
⇒ T −1 : W → V es transformación lineal.

( )
−1
3) T −1 =T 14

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Si T : V → W es un isomorfismo, se dice que los dos espacios vectoriales
V y W son isomorfos o que V es isomorfo a W y se anota
V ≅ W.
Si dos espacios vectoriales son isomorfos no significa que sean
iguales, pero toda propiedad relacionada con la estructura de
espacio vectorial que posea uno de ellos se transfiere al otro a
través del isomorfismo.
Se cumple que:
Dos espacios vectoriales finito dimensionales son isomorfos si y
solo si tienen la misma dimensión.

Esto es, V ,W espacios vectoriales de dimensión finita:
V ≅ W ⇔ dim V = dim W

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VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

INTRODUCCIÓN

Los conceptos de valores propios y de vectores propios de
transformaciones lineales o de matrices que estudiaremos son de
importancia en:

aplicaciones de matemáticas, como :
• diagonalización de matrices
• rotación de ejes coordenados
• soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales

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otras disciplinas, como:
• economía
• biología
• física
• mecánica

En esta parte, las matrices serán cuadradas y las funciones serán
operadores lineales, esto es, transformaciones lineales de un espacio
vectorial en si mismo

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Definición:
1) Sea A ∈ M n ( K ), K = R o C
λ∈R o C se llama valor propio de A , si:
∃ v ∈ R n o Cn , v ≠ 0 , tal que Av = λv.
Cada vector v, v ≠ 0, que satisface Av = λv,
se llama vector propio de A, asociado al valor propio λ.
2) Sean V espacio vectorial sobre un cuerpo K y T : V → V una
transformación lineal.
λ ∈ K se llama valor propio de T , si:
∃ v ∈ V , v ≠ 0V , tal que T ( v ) = λv.
Cada vector v∈V, v ≠ 0V que satisface T ( v ) = λ v,
se llama vector propio de T , asociado al valor propio λ.
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9


Los valores propios también se denominan valores característicos,
autovalores o eigenvalores
Los vectores propios también se denominan vectores característicos,
autovectores o eigenvectores.

Si λ es valor propio de una matriz A, el conjunto Wλ = {v ∈ K n / Av = λv}
es subespacio vectorial de K n llamado espacio propio de A asociado
al valor propio λ.
(Observar que 0 ∈Wλ , pero 0 no es vector propio de A)
Si λ es valor propio de una transformación lineal T, el conjunto
W = {v ∈ V / T (v) = λv} es subespacio vectorial de V llamado espacio propio
λ

de T asociado al valor propio λ.
(Observar que 0 ∈ W , pero 0 no es vector propio de T)
λ

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Sea A ∈ M n ( K ) . Entonces:
λ es valor propio de A ⇔ Av = λv , con v ≠ 0K n

⇔ Av = ( λ I n ) v , con v ≠ 0K n

( I n identidad de orden n)
⇔ ( A − λ I n ) v = 0K , v ≠ 0K
n n

⇔ det ( A − λ I n ) = 0
a11 − λ a12 … a1n

⇔
a21 a22 − λ … a2 n
= 0, con A = ( aij )
an1 an 2 … ann − λ

Los valores λ que satisfacen esta ecuación, son los valores
propios de A.
20

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Sea T : V → V transformación lineal. Entonces:
λ ∈ K es valor propio de T ⇔ ∃ v ∈V , v ≠ 0V , T ( v ) = λv

⇔ ∃ v ∈ V , v ≠ 0V , (T − λ IV )( v ) = 0V
IV identidad en V
⇔ v ∈ Ker (T − λ IV ) , v ≠ 0V
⇔ Ker (T − λ IV ) ≠ {0V }

Así, los vectores propios de T asociados al valor propio λ, son los
vectores no nulos del kernel de la transformación lineal T - λIV .

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POLINOMIO CARACTERISTICO.
ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ

Definición:
Sea A ∈ M n ( K )
La matriz característica de A es la matriz A − λ In .

El polinomio característico de
A es el polinomio pA ( λ ) = det ( A − λ I n )

La ecuación característica de A es la ecuación pA ( λ ) = det ( A − λ I n ) = 0

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Sean A = ( aij ) ∈ M n ( K ) y p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) el polinomio característico
de A.
Entonces:

1) p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) es un polinomio de grado n.

pA ( λ ) = c0 + c1λ + c2 λ 2 + ... + cn−1λ n−1 + cn λ n

2) Los valores propios de la matriz A son las raíces de la ecuación
característica de A, esto es:
λ∈K es un valor propio de A si y sólo si p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) = 0

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3) Para determinar los valores propios de A, debemos encontrar las

raíces de su ecuación característica p A ( λ ) = 0, ecuación de grado n

que tiene n raíces reales y/o complejas, de manera que A tiene a lo más
n valores propios.

Dada A ∈ M n ( C ) , entonces A tiene exactamente n valores propios, no
necesariamente distintos entre sí.
Una matriz real, esto es, todos sus elementos son reales, es tal que
su ecuación característica podría no tener raíces reales sino
complejas.

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4) Sean λ1 , λ2 ,..., λn todos los valores propios de la matriz A. Entonces:

• La suma de los valores propios de la matriz A es igual a su traza:
λ1 + λ2 + ... + λn = trA, con trA = a11 + a22 + ... + ann

• El producto de los valores propios de la matriz A es igual al
determinante de A :
λ1 ⋅ λ2 ⋅ ... ⋅ λn = det A

5) A es matriz no invertible (singular) ⇔ λ =0 es valor propio de A
Basta considerar:
λ = 0 es valor propio de A ⇔ det A = 0 ⇔ A es no invertible o singular

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6) Algunos autores definen el polinomio característico de A
en la forma:

pA ( λ ) = det ( λ I n − A)

Ambas definiciones difieren a lo más en el signo, pues

det ( A − λ I n ) = ( −1) det ( λ I n − A )
n

La ecuación característica queda igual.

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POLINOMIO CARACTERISTICO.
ECUACION CARACTERISTICA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sean V espacio vectorial de dimensión n y T : V → V una
transformación lineal. Sean A = [T ] , A ' = [T ] las matrices asociadas a
T respecto de dos bases ordenadas distintas B, B ' de V .
B B'

Entonces: det ( A − λ I n ) = det ( A '− λ I n )
Así, el polinomio det ( A − λ I n ) = det ([T ]B − λ I n ) depende sólo del operador
lineal T y no depende de la base ordenada B.

El hecho de que un cambio de base no afecta a este polinomio nos
permite definir el polinomio característico de una transformación lineal.

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Sean V un espacio vectorial de dimensión n, B una base ordenada de
V y T : V → V una transformación lineal.

Se llama polinomio característico del operador lineal T , al polinomio:
pT ( λ ) = det ([T ]B − λ I n )

Se tiene que: grado pT ( λ ) = n = dimV
λ ∈ K es valor propio de T ⇔ λ es cero del polinomio
característico de T .

Los valores propios de la transformación lineal T dependen de T
y no dependen de la base escogida para representarla.

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Sean: V espacio vectorial sobre un cuerpo K , dim V = n,

T :V → V transformación lineal y
A = [T ]B , la matriz representativa de T

relativa a alguna base B de V .
Entonces: λ ∈ K , λ es valor propio de T ⇔ λ es valor propio de A.
Se cumple que.
1) Si A es matriz cuadrada, entonces pA ( A) = O
donde pA ( A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + ... + an An si p A ( x ) = a0 + a1x + a2 x + ... + an x
2 n

2) Si T : V → V es transformación lineal, entonces p (T ) = 0 T

donde pT (T ) = a0 I + a1T + a2T 2 + ... + anT n si pT ( x ) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn

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MATRICES SIMILARES

Definición:
Sean A , B matrices de orden n.
B se dice similar ( o semejante ) a A si existe matriz P de orden n,
invertible, tal que: B = P −1 AP
1) La similaridad es una relación de equivalencia, en el conjunto
M n ( K ) , esto es:
• A es similar a A.
• Si B es similar a A, entonces A es similar a B.
• Si A es similar a B y B es similar a C , entonces A es similar a C
( Por el segundo punto, podemos decir que A y B son similares ).

30

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2) Como: B = P −1 AP ⇔ PB = AP, 1)entonces:
A y B son semejantes ⇔ existe P matriz invertible de
orden n tal que: PB = AP.
La ventaja de esta equivalencia es que sólo se requiere
conocer que P es invertible y no calcularla.
3) Sean A, B matrices de orden n, 1)similares entonces:
A y B tiene el mismo polinomio característico y los mismos
valores propios.
4) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K , de dimensión finita
n, y sean A, A ' dos matrices n × n sobre K . Entonces:
A, A ' son similares si y solo si A, A ' representan a la misma
transformación lineal T :V → V relativo a bases diferentes de V .

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DIAGONALIZACION

Para A matriz cuadrada, nos interesa saber si existe una matriz
similar a A, que sea diagonal.

Si T : V → V es una transformación lineal, con V espacio vectorial,
nos interesa saber si existe una base de V de modo que la
matriz asociada a T en esa base sea matriz diagonal.

Mostraremos que esto no siempre es posible y determinaremos
condiciones para que lo sea.

32

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¿Pero, por qué interesa que estas matrices sean diagonales?
Recordemos que una matriz diagonal D = ( d ij ) de orden n
es tal que todos los elementos de D fuera de la diagonal principal son
ceros:
 11 
 
d 0 … 0

D=
0 d 22 … 0 
 

 0 
 0 … d nn 


Se puede anotar: D = diag ( d11 , d 22 ,..., d nn )

Cumple con lo siguiente:
1) Si es otra matriz diagonal entonces
D ' = diag ( d '11 , d '22 ,..., d 'nn )
DD ' también es matriz diagonal de orden n,
y el producto es: DD ' = diag ( d11d '11 , d 22 d '22 ,..., dnn d 'nn )
33


2) det D = d11d 22 ...d nn

det D k = d 1k1 d 2k2 ...d nkn , donde k
(
D k = diag d11 , d 22 ,..., d nn
k k
)

3) D es invertible si y solo si dii ≠ 0, para todo i = 1, 2,..., n
Más aún, en este caso:
D−1 = diag (1/ d11 ,1/ d 22 ,...,1/ d nn )

4) Los valores propios de la matriz diagonal D son los elementos
de la diagonal principal.

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MATRIZ DIAGONALIZABLE

Definición:
Sea A matriz de orden n.
Se dice que A diagonalizable si es similar a una matriz diagonal.
1) Diagonalizar una matriz A consiste en encontrar una matriz
diagonal similar a la matriz A. En tal caso, también se dice que A
se puede diagonalizar.

2) Si A es diagonalizable, entonces existe D matriz diagonal de orden
n tal que A y D son similares.
Esto es: existe matriz P de orden n invertible tal que P − 1 AP = D

Se dice que P diagonaliza a la matriz A.
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3) Si A es diagonalizable, entonces A es similar a una matriz diagonal
cuyos elementos en la diagonal principal, son los valores propios de
A.
Esto es consecuencia de que si A y D son similares, entonces tienen
los mismos valores propios, y si D es matriz diagonal, entonces
sus valores propios son sus elementos en la diagonal principal.

4) La mayoría de las matrices no son matrices diagonales, pero
muchas de ellas se pueden diagonalizar.
No toda matriz es diagonalizable, esto es, puede no existir una matriz
P tal que P −1 AP sea matriz diagonal.

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La siguiente es una condición necesaria y suficiente para que una matriz
sea diagonalizable.

Sea A∈ M n ( K )

A es diagonalizable ⇔ A tiene n vectores propios linealmente
independientes.
En este caso:
A es similar a una matriz diagonal D, D = P −1 AP donde D tiene en la
diagonal principal los valores propios de A, y P es una matriz
cuyas columnas son respectivamente n vectores propios L. I. de A.
Esto es, la columna j de P es un vector propio de A, asociado al
valor propio λ j , j = 1, 2,..., n

37


Vectores propios asociados a valores propios distintos, son L.I.

Si A tiene n valores propios distintos, entonces A
es diagonalizable.

El recíproco de lo anterior no es cierto.
Una matriz puede ser diagonalizable y tener valores propios
repetidos.

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TRANFORMACIÓN LINEAL DIAGONALIZABLE

Sean: V un espacio vectorial de dimensión finita n

T :V → V una transformación lineal.
Sabemos que:
T se puede representar mediante muchas matrices diferentes
de orden n, una por cada base ordenada en V .
En particular, si A1 y A son las representaciones matriciales de T
2

respecto a bases B1 y B2 de V , respectivamente, entonces sabemos
que A2 = P −1 A1P con P matriz invertible, esto es, A1 y A2
son similares, y por tanto, tienen los mismos valores propios.
Usamos esto para la definición siguiente.
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Definición:
Sea T :V → V una transformación lineal, con V espacio vectorial de
dimensión n. T se dice diagonalizable si existe alguna base B de
V , de modo que la representación matricial de T en dicha base,
es una matriz diagonal.
Se dice que la base B diagonaliza al operador T.

Sea T : V → V una transformación lineal tal que dimV = n
Entonces:
T es diagonalizable si y solo si existe una base B de V
de vectores propios de T .
Además, si D es la matriz diagonal, entonces los elementos de la
diagonal principal de D son los valores propios de T .
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