ALGEBRA LINEAL

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (Audt)
Deber de Repaso # 1: Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y v V∈ . Si
( ) WT v Oα = entonces 0α =
2. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y v V∈ . Si
( ) WT v Oα = entonces Vv O=
3. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, , Rα β ∈ y v V∈ . Si
( ) ( )T v T vα β= entonces α β=
4. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal, Rα ∈ y ,v w V∈ . Si
( ) ( )T v T wα α= entonces v w=
5. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W→ una transformación lineal y ,v w V∈ . Si
( ) ( )T v T w= entonces v w=
6. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita,
entonces se cumple que ( ) ( ) dimv T T Wρ+ =
7. Si 2:L P R→ es una transformación lineal tal que ( )2
L ax bx c a c+ + = − , entonces ( )2 Im L∉
8. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( )Nu T V= entonces ( )Im WT O=
9. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( ) VNu T O= entonces ( )Im T W=
10. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( )Nu T V= y la ( ) ( )dim dimV W= , entonces ( )Im WT O=
11. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si
el ( ) VNu T O= y la ( ) ( )dim dimV W= , entonces ( )Im T W=
12. Sea { }, ,S v w u= un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V y sea :T V W→
una transformación lineal. Si ( )w Nu T∈ , entonces el conjunto ( ) ( ) ( ){ }, ,G T v T w T u= es linealmente
dependiente en el espacio vectorial W
13. Una transformación lineal :T V W→ cuyo único elemento en el núcleo de T es el VO es inversible
14. Sean 1 :T V W→ y 2 :T V W→ dos transformaciones lineales. Si ( ) ( )1 2Nu T Nu T= y
( ) ( )1 2Im ImT T= , entonces 1 2T T=
15. Sea :T V W→ una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita. Si
( ) ( )dim dimV W= , entonces T es un isomorfismo
16. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita tal que ( )dim 3V = . Entonces es posible construir una
transformación lineal :T V W→ tal que ( ) 1v T = y el ( ) 3Tρ =
17. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Si la ( ) ( )dim dimV W≠ , entonces existe
una transformación lineal :T V W→ tal que ( )det 0TA ≠ siendo TA la matriz asociada a T
18. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces existe por lo menos una
transformación lineal :T V W→ tal que ( ) 0v T = y el ( ) ( )dimT Wρ =

2. Ramiro J. Saltos
Tema 2
Sea
32
: RRT → una aplicación definida por:
2 2
a b
a
T a b
b
a b
+ 
   
= −   
   + 
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
y 2
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
B
      
      
=       
      
      
• 3
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
y 4
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
B
      
      
=       
      
      
Tema 3
Sea
2
1: RPT → una aplicación definida por:
( ) 





−
+
=+
ba
ba
baxT
32
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• { }1 1,B x= y 2
1 0
,
0 1
B
    
=     
    
• { }3 1 ,1B x x= + − y 4
1 3
,
2 4
B
    
=     
    
Tema 4
Sea 2222: xx DST → una aplicación definida por:






−
−+
=





ba
cba
cb
ba
T
30
0
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 0 0 1 0 0
, ,
0 0 1 0 0 1
B
      
=       
      
y 2
1 0 0 0
,
0 0 0 1
B
    
=     
    
• 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
y 4
1 0 1 0
,
0 1 0 1
B
 −    
=     
    

3. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea 222: xMPT → una aplicación definida por:
( ) 











=++
cb
ba
cbxaxT
11
112
a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• { }2
1 1, ,B x x= y 2
1 0 0 1 0 0 0 0
, ,
0 0 0 0 1 0 0 1
B
       
=        
       
• { }2
3 1, 1, 1B x x x= + + + y 4
1 1 0 1 1 1 0 0
, , ,
0 0 2 0 1 0 0 1
B
 − −        
=         
        
Tema 6
Sea 222: PST x → una aplicación definida por:
( ) ( ) ( )cbaxcbaxcba
cb
ba
T 98765432 2
++++++++=





a) Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
b) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases:
• 1
1 1 1 0 0 2
, ,
1 1 0 1 2 1
B
 −      
=       −      
y { }2
2 ; 1; 1B x x x= + −
• 3
1 1 1 1 1 0
, ,
1 0 1 1 0 0
B
      
=       
      
y { }2
4 1 2 ;1 2 ;5B x x x= + − −
Tema 7
Sea
2
1:T P R→ una transformación lineal tal que:
( )
1
2
5
T x
 
− =  
− 
( )
2
1 3
7
T x
− 
+ =  
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 8
Sea
2
1:T P R→ una transformación lineal tal que:
( )
4
5 2
1
T x
 
− =  
− 
( )
1
8 3
7
T x
 
+ =  
 
Determine la regla de correspondencia de T
Tema 9
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
2:T P R→ tal que:
( )2
2
1 0
1
T x x
 
 
+ + =  
 
 
( )2
3
1 2 1
0
T x
 
 
+ =  
 
 
( )2
1
2
3
T x x
 
 
+ = − 
 
 

4. Ramiro J. Saltos
Tema 10
Construya, de ser posible, una transformación lineal 2
3
: PRT → que cumpla con las siguientes condiciones:
•










∈==−=










= Rttctbta
c
b
a
TNu ,2,,/)(
• { }bacPcbxaxT +=∈++= /)Im( 2
2
•
2
2
3
1
0
xxT ++=










− y
2
1
1
1
1
xT +=










Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal
3
22: RST x → que cumpla con las siguientes condiciones:
•






=+∧=∈





= 02/)( 22 cbcaS
cb
ba
TKer x
•









−
=




−
4
1
3
20
01
T y










=





−
0
1
1
12
20
T
•










=+−∈










= 0/)Im( 3
zyxR
z
y
x
T
Tema 12
Sean
33
1 : RRT → y
33
2 : RRT → dos transformaciones lineales definidas por:










++
+
−
=










cba
ba
ca
c
b
a
T 21










+
+−
++
=










ba
cba
cba
c
b
a
T
32
22
Encuentre la transformación lineal ( ) ( )12121 532 TTTTTL +−−=
Tema 13
Sea 1 2 2: xT P D→ una transformación lineal tal que:
( )
5 2 0
0 3
a b
T a bx
a b
+ 
+ =  
− + 
a) Demuestre que T es un isomorfismo
b) Encuentre la regla de correspondencia de
1
T −