transformaciones Lineales (Definición). .- Método de Gauss Jordan. .- Definir núcleo, nulidad, imagen y rango de una transformación lineal .- Relacionar las matrices con las transformaciones lineales.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Bachiller:
Jorge Carico
C.I: 26 237 150
Febrero, 2017

2. Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el
objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una
transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes axiomas:
1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj)
2. f (vi) = α.f (vi)
Teorema:
Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que:
1. f (0v) = 0w
2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj)
Teorema:
Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n
dimV = dimN (f) + dimIm (f)

3. Ejemplos:
1. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un
diagrama.
f : P(2) R2
(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )
Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la
aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.
V1 (1-x) f (1-x)= (2,1)
V2 (3+x-2x2) f (3+x-2x2)=(2,-1)
V3 (0+0x+0x2) f (0+0x+0x2)=(0,0)
Diagrama:
P(2)
(a+bxcx2 )
R2
f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
f

4. Ejemplos:
Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.
f : R3 R2
(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)
Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la
aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.
(1,3,2)
(3,5,1)
(0,0,0)
f (1,3,2) = (11, 13)
f (3,5,1) = (14, 11)
f (0,0,0) = (0,0)
V1
V2
V3
Diagrama:
R3
(x, y, z )
R2
f (x, y, z ) = (a, b)f

5. Ejemplos:
Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.
f : R3 M2
(x, y, z ) f (x, y, z) =
Solución:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la
aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector.
x+y-z x+3y+2z
2x+y-3z -3x+2y+3z
(1,0,1)
(-2,3,1)
(0,0,0)
f (1,3,2) =
f (3,5,1) =
f (0,0,0) = 0 0
V1
V2
V3
0 3
-1 0
0 9
-4 15
0 0Diagrama:
R3
(x, y, z )
M2
f (x, y, z )=
f
a b
c d

6. Definición:
Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar
los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e
inversas.
El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones
y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro
que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una
incógnita menos que la anterior.

7. Ejemplo:
1. La matriz ampliada del sistema es
de la misma dimensión que el sistema (2x3). La línea vertical separa la
matriz de coeficientes del vector de términos independientes.
Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en
forma escalonada reducida Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la
segunda por 1/3
Sumamos a la segunda fila la primera

8. Multiplicamos la segunda fila por 5/7
Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5
Esta última matriz equivalente ya tiene forma escalonada reducida y nos
permite ver rápidamente los rangos de la matriz de coeficientes y de la
ampliada.
Calculamos los rangos de la matriz coeficientes y de la matriz ampliada
Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible
determinado. La matriz obtenida representa el sistema

9. 2. La matriz ampliada del sistema es
Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en
forma escalonada reducida
Multiplicamos la segunda fila por 1/2
Sumamos la primera fila a la segunda
Multiplicamos la primera fila por 1/3

10. Esta última matriz es la forma escalonada reducida y tiene una fila nula, lo
que quiere decir que las filas del sistema inicial son linealmente
dependientes (cualquiera de ellas se puede obtener de la otra
multiplicándola por un escalar no nulo).
Calculamos los rangos
Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible. Además,
es indeterminado, ya que el rango (1) es menor que el número de
incógnitas (2).
La matriz obtenida representa el sistema
Las soluciones del sistema son

11. 3. La matriz ampliada del sistema es
Nota: este sistema se ha incluido con la finalidad de hacer notar que la teoría de matrices es
aplicable al cuerpo de los complejos. La única diferencia con los sistemas anteriores es que
ahora tendremos que efectuar el producto y el cociente de número complejos.
Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada
reducida
Multiplicamos la segunda fila por 1/2 y la intercambiamos con la primera
Sumamos a la segunda fila la primera multiplicada por –(1+i)
Multiplicamos la segunda fila por

12. 3. Sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por -i/2
Esta última matriz es la escalonada reducida ya que tiene forma de identidad.
Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado y las
soluciones son

13. Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los
vectores en V que se mapean a cero en W.
Imagen: Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1
y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2
probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2
esta también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio
de W.
Nulidad y Rango de una Transformación:
Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios
vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Estas
dimensiones tienen nombre específicos:
Sea T : V → W una transformación lineal.
La nulidad de T es la dimensión de Ker(T).
El rango de T es la dimensión de R(T).

14. El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación
matricial.
Teorema .
Sea T : V → W una transformación lineal. Suponga que T corresponde a la transformación matricial
asociada a A. Entonces:
Ker(T) = V(A) = Espacio nulo de A
R(T) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A
Nulidad(T) = Nulidad(A) = Numero de columnas sin pivote en A reducida. Rango(T) = Rango(A) =
Numero de columnas con pivote en A reducida.
Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformación lineal T : V → W,
dim(V ) = dim(Ker(T)) + dim(R(T))
dim(R(T)) ≤ dim(W) (1)
Así por ejemplo:
1. T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues
4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T)) ≤ dim(Ker(T)) + 3
por tanto, dim(Ker(T)) ≥ 1 probando que Ker(T)) 6= {0}.
T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues
4 = dim(Ker(T)) + dim(R(T))
por tanto, dim(R(T)) ≤ 4 probando que R(T) 6= R8

15. Ejemplo:
2. Determine el núcleo de T : R3→R2 .
Solución Sabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3 tal que T(v)
= 0 (en R2 ):
Para resolver el sistema
Cuya solución general es
De ahí que,
Vemos que la dimensión de Ker(T) es 1, lo cual corresponde al numero de columnas sin pivote
en la matriz que define a T. Geométricamente, en R3 esto corresponde a la recta

16. Ejemplo
3. Determine el núcleo de T : R3→R3 .
Sabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3 tal que T(v) = 0 (en
R3 ):
Para resolver el sistema
El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto,

17. Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las
bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el
conocimiento de dichas bases. Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse
mediante una matriz: T(x) = A x.
Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo
tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico
respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2el conjunto {(1, 0), (0,
1)}.
a) ¿ Matriz A?
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

18. b) ¿ Matriz B?
Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:
Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5  P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2,
transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de grado ≤ 2).
Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}
Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

19. Sabemos que una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura
adicional, al saber sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado,
conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llaman
transformaciones lineales las cuales fueron antes mencionadas y estudiadas, donde
aprendimos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y
viceversa.
Por otra parte, se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean
espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales
ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen
una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran
aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática, en geometría
modelan las simetrías de un objeto, en algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en
análisis sirven para aproximar localmente funciones, aunque en álgebra abstracta y en álgebra
lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de
la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un
cuerpo dado.

20. Método de Gauss-Jordan http://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan
la guía
Transformación lineal http://es.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-lineales-4784959 slideShare
Ejemplos método de gauss https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html mate
fácil
Relación en matrices con las transformación lineales http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html
UTN San Nicolás
Nucleo http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf