Evaluacion sobre Ecuaciones Parametricas, matematicas III

1. Republica Bolivariana de Venezuela
IUP “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Docente: Alumno:
Pedro Beltran José Lopez
Barcelona, 20 de Octubre del 2020

2. A continuación en las siguientes paginas, tratare de explicar con mis pocas
habilidades sobre el Publisher de que consta una ecuación paramétrica,
debemos aclarar antes que nada, que una ecuación paramétricas una
operación matemática que tiene por finalidad trazar curvas o rectas en tres
dimensiones, es decir, en el espacio, mediante una variable llamada
“parámetro” considerando cada coordenada como valores dependientes de del
parámetro. Luego partiremos con las generalidades vectoriales y así partir a
cumplir con cada uno de los objetivos generales y específicos

3. El algebra vectorial es en resumen el estudio de los sistemas de ecuaciones li‐
neales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Sus propiedades son:
1. Conmutativa: a b b a
2. Asociativa: a b c a b c a b c
3. Distributiva: si β, ʋ son números reales: β a b βa βb; β µ a βa µa
4. Existe un elemento neutro cuyo modulo es 0: a O a
5. Existe un elemento inverso que es el mismo vector con sentido opuesto.

4. Un vector es una identidad matemática representada por una recta o grafico en
el plano o espacio, el cual esta regido por sus determinados valores, llamados
coordenadas, existen diferentes tipos formas vectoriales, definidas por sus di‐
mensiones y acotaciones.
el sistema unidimensional, donde solo consta punto O hasta otro punto y solo
determina longitud.
El sistema de coordenadas rectangulares, que esta compuesto por dos rectas
perpendiculares llamados eje x y y que pasan por el punto O.
Sistema tridimensional esta formado por tres rectas perpendiculares x, y,
Z que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos co‐
ordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas
octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que
existen entre los planos y P.

5. Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un in-
tervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, con-
siderando cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
Cualquier rectar que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser
determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha
recta y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo.
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un sistema
de tres ecuaciones
x= x(t), y = y(t), z=z(t).

6. La representación paramétrica de una curva en un espacio n dimensional consiste en n funcio‐
nes de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro de la forma
donde representa la i‐ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo a,
b a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones
x x t , y y t , z z t
Si x y y están expresadas como funciones: x f t , y g t en un intervalo I de valores t, en‐
tonces, el conjunto de puntos x, y f t , g t definido por estas ecuaciones es una curva
paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva.
La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el intervalo del parámetro. Si I es
un intervalo cerrado, atb, el punto f a ,g a es el punto inicial de la curva, y f b ,g b es el
punto final.

7. Ejemplo: Trazado de una curva
Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas y solución para valores de t en el inter‐
valo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos x, y que se mues‐
tran en la tabla.
Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g
se obtiene la curva C que se muestra en la figura 10.20. Hay que observar las flechas sobre la
curva que indican su orientación conforme t aumenta de 2 a 3.

8. “NOTA De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la
figura 10.20 no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones
paramétricas: pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de
funciones”.
A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la misma
gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas
X 4t2 ‐ 4 y 4 t, ‐1 t 3/2
y tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo 1. Sin embargo, al comparar los va‐
lores de t en las figuras 10.20 y 10.21, se ve que la segunda gráfica se traza con mayor rapidez
considerando t como tiempo que la primera gráfica. Por lo que en las aplicaciones, pueden
emplearse distintas ecuaciones paramétricas para representar las diversas velocidades a las
que los objetos recorren una trayectoria determinada.

9.
Considera las ecuaciones paramétricas x t y y t para –3 2 a. Grafica las ecuaciones en pa‐
pel cuadriculado.
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden a los valores t en el intervalo
a. Después graficarlos puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto con el anterior.

10. La ecuación cartesiana de la recta es y ‐b m x ‐a . Si establecemos el parámetro t x ‐a,
encontramos que x a t y y ‐b mt. Es decir, Observe que una para metrización también
especifica mediante el valor del parámetro cuándo la partícula que se mueve a lo largo de la
curva se ubica en un punto específico
De ésta. Se llega al punto 2,4 cuando t 4 el punto se alcanza “antes”, cuando t 2

11. En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce co‐
mo plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, gene‐
ralmente, este parámetro es ‘t’. Una curva que represente tal ecuaciones llamada curva pa‐
ramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de re‐
presentar el parámetro ‘t’ como:
x = f(t) y =g(t)

12. El movimiento de una partícula viene dado por la ecuación: x ‐8 2t en el S.I.
A. ¿Donde se encuentra inicialmente?.
B. ¿En qué dirección se mueve y hacia donde se dirige?.
C. ¿Cual es la posición de la partícula a los 5s?.
D. ¿Qué espacio ha recorrido en 5s?.
Respuesta: ‐8,0 ; dirección del eje X, en sentido positivo; 2,0 m; 10 m
Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial está determinada por: r t 3ti 2t2 3
j, expresada en unidades del Sistema Internacional. Determinar:
a El vector de posición en el instante inicial.
b La posición en el instante t 5s.
c La ecuación de la trayectoria.
d El vector desplazamiento que corresponde al intervalo entre 0 y 5s.
Respuesta:
a 3jm
b r5 15 i 53 j m
c y 2x2/9 3
d ∆r 15 i 50 j m

13. Está dada por: Ax By Cz D 0, es decir, los puntos del espacio x, y, z que satisfacen la
ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación para
métrica:
Se igualan las coordenadas.
Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y,z .

14. Ecuación paramétrica:
Función que asocia un punto de la recta a cada valor del parámetro en la recta numérica.
x x λp μq y y λp μq z z λp μq
Por ejemplo: Dado el plano de evaluación vectorial: x,y,z 1,2,2 λ 1,1,0 μ 1,2,5
Escribir la representación paramétrica en el plano: x,y,z 1 λ μ, 2 λ 2μ, 2 5μ
Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación: x 1 x μ, y 2 λ 2μ, z 2 5μ

15. Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z: y 2 λ 2μ
x 1 x μ
z 2 5μ
Restando la segunda ecuación a la primera quedaría: y ‐ x 2 ‐ 1 λ ‐ λ 2μ ‐ μ
El sistema se reduce a: y ‐ x 1 μ Amplificaremos por –5 para eliminar μ
Z 2 5μ
5x ‐ 5y ‐5‐μ Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es 5x ‐ 5y z ‐3
Z 2 5μ
5x – 5y 2 ‐3

16. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida
de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma:
Cuando y son funciones de una nueva variable, el parámetro para poder usar la integral de
longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos y en
términos de se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el término fuera del radical.
Se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el término
fuera del radical.

17. Una curva se considera parametrica, por la siguientes ecuaciones: x t t3‐t
y t 2e‐t2
Por ejemplo, si dejamos que t varie de –1,5 a 1,5, la curva se veria asi:

18. Las ecuaciones paramétricas se relacionan con a topografía en forma de que intervienen en lo
que son los levantamientos que se realizan con el equipo empleado que es teodolito, nivel, de‐
pende de lo que se haga también va de la mano con la ing civil, en la construcción de carrete‐
ras ya sea de una forma recta o elipse ya que se implementan cálculos de ecuaciones paramé‐
tricas, para determinar la ubicación o localización de algún pozo petrolero.
las ecuaciones parametricas, facilitan muchas cosas en lo que es la vida cotidiana, en lo que es
en la ingenieria, y mas a un en lo que son las Geociencias, ya que como bien sabemos , que esta
formada por varias ramas, y en cada una influye de manera similar, para cierta determinacion
o localizacion de algun punto o sitio.

19. https://www.youtube.com/watch?v LSsrD‐gU‐AE
https://www.youtube.com/watch?v PquPODE1UBc
https://www.youtube.com/watch?v 1x5zGY9DOdg

20. Autor: José L. Fernández, Gregorio Coronado
Titulo: Ecuaciones paramétricas de la recta
Direccion: https://www.fisicalab.com/apartado/ecuaciones‐parametricas‐recta
Autor: Cesar Ruiz
Titulo: Longitud de una curva paramétrica
Dirección: http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes‐i/Apuntes‐16/Ap‐Integral‐18.pdf