Trigo nivel iv

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 161
A
o
1. Elementos de un ángulo trigonométrico:
B
A
o

O A

 
 
 
: lado inicial
OB

 
 
 
: lado final
«O» : vértice
 : medida angular
2. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad al grado sexagesimal, el
cual se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
Es decir:
m 1 vuelta
1
360
 

En consecuencia : m 1vuelta = 360°

Las subunidades son el minuto sexagesimal (1’) y el segundo
sexagesimal (1’’).
Entonces: 1° = 60’
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
REGLA DE CONVERSIÓN
x60 x60
: 60 : 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 3600
x 3600
2. Co
a)
3. Co
a)
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira
alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial O A

 
 
 
hasta una posición final OB

 
 
 
.
B
A
o

B
A
o

O A

 
 
 
: lado inicial
OB

 
 
 
: lado final
«O» : vértice
Es decir:
m 1 vuelta
1
360
 

En consecuencia : m 1vuelta = 360°

1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
x60 x60
x 3600
1. Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
2. Convertir a minutos
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
3. Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
TRIGONOMETRÍA
1. Efectúe:
K= 50º6’+10º55’
Resolución:
Ordenando grado con grado y minuto con minuto se obtiene:
K= 60º61’
Pero:
= + = +
61' 60 ' 1' 1º 1'
Luego sumando 60º+1’ se obtiene:
K= 61º1’
Rpta.: 61º1’
2. Calcular:
5º30'
M=
10'
Resolución:
Se sabe que: 5º30’ <> 5º+30’
Además: 60'
M= 5º 300 '
1º
⋅ =
Luego: +
=
300' 30' 330'
M=
10' 10'
Como numerador y denominador tienen la misma unidad,
entonces se cancelan las unidades:
33 0'
M=
10'
= =
33
33
1
Rpta.: 33
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira
alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial O A

 
 
 
hasta una posición final OB

 
 
 
.
B
A
o

B
A
o

O A

 
 
 
: lado inicial
OB

 
 
 
: lado final
«O» : vértice
Es decir:
En consecuencia :
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
x60 x60
x 3600
a) 20’ b) 35’ c) 10’
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
TRIGONOMETRÍA
m 1 vuelta
1
360

m 1vuelta = 360°
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
01
ESCANEAME
01

I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
162
4. Calcular el valor del ángulo «x».
5. Simplificar:
5 20'
E
16'


9. Calcular el valor del ángulo 
b
a

a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'


a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
5. Simplificar:
5 20'
E
16'


1. Convertir a minutos: 5°
a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
2. Convertir a grados: 1800’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
3. Convertir a minutos: 5° 24’
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
7. Si a + b = 32 Calcular a° b’ + b° a’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
8. En el triángulo. Calcular «x»
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
a)
d)
10. Si
a)
d)
1. Si
a)
d)
2. C
a)
d)
3. C
a)
d)
4. C
a)
d)
5. C

a)
d)
5. Simplificar:
5 20'
E
16'


a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
a)
d)
10. Si
a)
d)
1. Si
a)
d)
2. C
a)
d)
3. C
a)
d)
4. C
a)
d)
5. C

a)
d)
5. Simplificar:
5 20'
E
16'


b
a

a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'


a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
5. Simplificar:
5 20'
E
16'


a) 300’ b) 250’ c) 240’
b
a

a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'


a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
1. Simplificar:
2 30'
P
15'


a) 8 b) 10 c) 9
d) 12 e) 15
2. Calcular: x° y’ + y°x’ Si: x+y= 63
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
que gira
al O A

 
 
 
esimal, el
vuelta.
segundo
a) 20’ b) 35’ c) 10’
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
que gira
l O A

 
 
 
simal, el
uelta.
egundo
a) 20’ b) 35’ c) 10’
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
a) 4800’ b) 720’ c) 900’

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 163
a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
d) 65°03’ e) 66° 04’
3. Calcular: 42° 27’ 42’’ + 25° 37’ 25’’ + 50° 16’ 20’’
a) 92° 21’ b)108° 31’26’’ c)118°21’27’’
d) 109° 21’ e)120°23’
4. Calcular «x». Si:  = 29° 42’
x

a) 60° 18’ b) 52° 24’ c) 61° 36’
d) 55° 30’ e) 56° 40’
5. Calcular:
 = 120° - 84° 32’
a) 26° 28’ b) 34° 28’ c) 40° 28’
d) 35° 28’ e) 45° 30’
a
a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'


a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
1. Simplificar:
2 30'
P
15'


a) 8 b) 10 c) 9
d) 12 e) 15
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
d) 65°03’ e) 66° 04’
3. Calcular: 42° 27’ 42’’ + 25° 37’ 25’’ + 50° 16’ 20’’
a) 92° 21’ b)108° 31’26’’ c)118°21’27’’
d) 109° 21’ e)120°23’
4. Calcular «x». Si:  = 29° 42’
x

a) 60° 18’ b) 52° 24’ c) 61° 36’
d) 55° 30’ e) 56° 40’
5. Calcular:
 = 120° - 84° 32’
a) 26° 28’ b) 34° 28’ c) 40° 28’
d) 35° 28’ e) 45° 30’

NIVEL IV
164
B
r
r
o r
También podemos definir al radián como:
m 1 vuelta
1rad
2



 m 1 vuelta = 2 rad


Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad
Entonces podemos establecer:

S R
360 2



S R
180


1. Convertir a radianes
a) 120° b) 240°
2. Convertir a sexagesimales
a)
rad
3

b)
r ad
18

3. Simplificar:
30
rad
3




4. Ca
5. Es
1. Co
72
a)
d)
2. Co
3
4

a)
d)
3. Co

a)
d)
4. Co

a)
d)
Sistema Radial o Circular:
Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se define como:
«El ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya
longitud es igual al radio».
A
B
r
r
o r
l AB = r
m 1 vuelta
1rad
2





Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad

S R
360 2



S R
180


a) 120° b) 240°
a)
rad
3

b)
r ad
18

3. Simplificar:
30
rad
3




4. Calcular «a» Si: rad a5º
4

 
5. Escribir
r ad
15

en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
02 RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
CONVERSIÓN DE UNIDADES
1. Calcule:

rad + 9º
5
E=
rad
12
π
π
Resolución:
Se pasa todo a un solo sistema:
180º
rad = 36º
5 rad
π
⋅
π
180º
rad = 15º
12 rad
π
⋅
π
Reemplazando:
36º+ 9º 45º 45
E= 3
15º 15
15º
= = =
Rpta.: 3
2. Calcule m/n si:
•
rad
2
m n
π
+ =
• – 30º
m n =
Resolución:
Convertimos: 180º
rad 90º
2 rad
π
⋅ =
π
Ahora:
90º
m n
+ =
30º
m n =
2 120º 60º y 30º
m m n =
= ⇒ =
Nos piden:
60º
2
30º
m
n
⇒ =
Rpta.: 2
A
B
r
r
o r
l AB = r
m 1 vuelta
1rad
2





Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Sabemos que:
4

 
5. Escribir
r ad
15

161
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
A
B
r
r
o r
l AB = r

Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad

S R
360 2



S R
180


a) 120° b) 240°
a)
rad
3

b)
r ad
18

3. Simplificar:
30
rad
3




4

 
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
m 1 vuelta
1rad
2



m 1 vuelta = 2 rad

RELACIÓN ENTRE SISTEMAS - CONVERSIÓN DE
UNIDADES
02
ESCANEAME
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
02
B

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 165
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15

1. Convertir
72° a radianes
a)
5

b)
2
7

c)
2
5

d)
8

e)
5
9

3 rad
4

a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
= 27° + 63°
a)
2

b)
5
6

c) 
d)
7
5

e)
5

rad rad
4 5
 

 
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Convertir en radianes:
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular  en radianes:
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9

8. Calcular «» en sexagesimales

1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9

a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8

 
Calcular
b
P a ab
 
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

20 9
 

 
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
r ad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

 = 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3

b)
3
2

c)
4
3

d) 2 
4
13

6. Reducir:
40
P
rad
9



a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
82º
38º 
a)
6

b)
4

c)
8

d)
3

e)
5
9


a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
a)
6
7

b)
7
9

c)
3
7

d) 9
11
 e) 8
13

2. Simplificar:
180
E
rad
18



a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
30º
x
a)
11
15

b)
13
15

c)
13
17

d) 11
16
 e) 17
21

a)
10

b)
7
10

c)
3
10

d) 9
10
 e) 5
8

 

NIVEL IV
166
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b

Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2

2
x =16 + 4

2
x =20

x= 20

NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16

2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
A 16
12
x
15
B
C
D
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
1. Calcular M= 3ctgα.
α
3
7
Resolución:
Tenemos:
α
x
3
7
Calculemos x por el teorema de Pitágoras.
7
( )
2
2
3
x
= + ( )
2
7 = x2
+3
4 = x2
2 = x

Luego: 3
CA
ctg
CO 2
α
= =
Reemplazando en M:
3 3
M= 3
2 2
⋅ =
Rpta.: 3/2
2. Calcular 2 2
A= csc – ctg
θ θ .
θ
4
2
Resolución:
Se tiene:
x
θ
4
2
Calculamos x por el teorema de Pitágoras.
x2
= 42
+ 22
x2
= 16 + 4
20
x =
Luego:
2
2 20 20
csc 5
2 4
 
 
 
θ
= = = y
2
2 4
c tg 4
2
 
 
 
θ
= =
Reemplazando en M:
M= 5 – 4 = 1
Rpta.: 1
165
TRIGONOMETRÍA
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
catetos».
2 2 2
c =a +b

Ejemplos:
2
4
x
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =4 +2

2
x =16 + 4

2
x =20

x= 20

NOTA
x
16
20
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =20 -16

B
A
C
x
15
17
B
A
D
17
15 x
5
C
E
15
B
03
DE PITÁGORAS
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
catetos».
2 2 2
c =a +b

Ejemplos:
2
4
x
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =4 +2

2
x =16 + 4

2
x =20

x= 20

NOTA
x
16
20
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =20 -16

2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
A
B
A
C
x
15
17
B
A
D
17
15 x
5
C
E
A 16
12
x
15
B
C
D
03
DE PITÁGORAS
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
catetos».
2 2 2
c =a +b

Ejemplos:
2
4
x
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =4 +2

2
x =16 + 4

2
x =20

x= 20

NOTA
x
16
20
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =20 -16

2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
B
8
6
x
A
C
B
A
C
x
15
17
B
A
D
17
15 x
5
C
E
A 16
12
x
15
B
C
D
03
DE PITÁGORAS
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
catetos».
2 2 2
c =a +b

Ejemplos:
2
4
x
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =4 +2

2
x =16 + 4

2
x =20

x= 20

NOTA
x
16
20
RESOLUCIÓN :
2 2 2
x =20 -16

2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
B
8
6
x
A
C
B
A
C
x
15
17
B
A
D
17
15 x
5
C
E
A 16
12
x
15
B
C
D
03
DE PITÁGORAS
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
03
ESCANEAME
APLICACIONES DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS
03

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 167
2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
B
8
6
x
A
C
A 16
12
x
C
D
lo.
dos de los
B
A
C
x
15
17
B
A
D
17
15 x
5
C
E
A 16
12
x
15
B
C
D
DE PITÁGORAS
2 2 2
x =20 -16

2
x =400 - 256

2
x =144

x = 12
B
8
6
x
A
C
A 16
12
x
15
C
D
5. Calcular «y» si:
4
y
5
41
A
B
C
D
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
4
y
5
41
A
B
C
D
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
4
y
5
41
A
B
C
D
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
4
y
5
41
A
B
C
D
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
1.
Calcular «x»
si:
9 12
x
A
B
C
a)
16
b)
10
c)
15
d)
17
e)
18
2.
Calcular
«y»
si:
y 24
25
A
B
C
a)
8
b)
6
c)
9
d)
7
e)
5
3.
Calcular «x»
si:
a)
6
b)
7
c)
8
d)
5
e)
10
a)
3
b)
d)
7
e)
8
8.
Calcular«z»si:
8
Z
4
A
C
a)
3
2
b)
4
7
d)
4
6
e)
4
4
1

NIVEL IV
168
a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 13
3
x
5
13
5
A
B
C
D
E
a) 14 b) 16 c) 15
d) 10 e) 17
6. Calcular «AB» si:
A
3
4
B
10
8
C
D
E
a) 12 b) 10 c) 11
d) 13 e) 9
a) 3 b) 5 c) 4
d) 7 e) 8
8. Calcular «z» si:
8
Z
4
A B
C D
a) 3 2 b) 4 7 c) 4 5
d) 4 6 e) 4 10
y
9
1
7
8
A
B
C
D
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
10. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y 6. Calcular la
hipotenusa.
a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 7 5 e) 6
3x
4x
30
A
B C
3. Calcular «x»:
3x
4x
35
A
B C
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 8
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
10. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y 6. Calcular la
hipotenusa.
a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 7 5 e) 6
3x
4x
30
A
B C
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
3
2
x
1
A
B
C
D
a) 4 b) 13 c) 15
d) 14 e) 17
3. Ca
3x
A
B
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. Ca
A)
B)
C)
D)
E)

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 169
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
3
2
x
1
A
B
C
D
a) 4 b) 13 c) 15
d) 14 e) 17
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
5. Calcular: AB
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3
E) 6
alcular la
4x
B C
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 8
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
5. Calcular: AB
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3
E) 6

NIVEL IV
170
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C

c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
senode =
cateto opuesto
sen
hipotenusa
 
coseno de  =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
 
1. Calcular sen:

13
12
A
B C
3. Ca
4. Ca
5. Ca
04 RAZONES TRIGONO
1. Calcule sen2
θ.
θ
4
1
Resolución:
Tenemos:
θ
4
x
1
Además sabemos que:
2
2 4
sen
x
 
 
 
θ = ............. (I)
Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras:
x2
= 42
+ 12
x2
= 16 + 1
17
x =
Reemplazando 17
x = en (I):
2
2 4 16
sen sen
17
17
 
 
 
θ
= ⇒ θ
=
Rpta.: 16/17
2. Hallar E= 7 cosα .
α
7
3
Resolución:
Tenemos:
α
7
x
3
Sabemos que: 7
E= 7
x
 
 
 
⋅ ...........(*)
Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras:
2 2
3 7
x= + ( )
2
2
9 7
16
4
x
x
x
= +
=
=
Reemplazando x= 4 en (*):
7
E= 7
4
7
E=
4
 
 
 
⋅
Rpta.: 7/4
A
B C

c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
senode =
cateto opuesto
sen
hipotenusa
 
coseno de  =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
 
1. Calcular sen:

13
12
A
B C
2. Calcular cos si:

17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos




25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
5. Calcular K=sen•sen
 12

4
A
B C
D
E
04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
seno deα
171
TRIGONOMETRÍA
A
B C

c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
 
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
 
1. Calcular sen:

13
12
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos




25
7
A
B C
β•senα
 12
4
A
D
E
seno de α =
5. Calcular K = sen

12
B C

17
8
A
B C
5. C
A
B C

c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
 
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
 
1. Calcular sen:

13
12
A
B C

17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos




25
7
A
B C
β•senα
 12

4
A
B C
D
E
seno de α =
5. Calcular K = sen
A
B C

c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
 
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
 
1. Calcular sen:

13
12
A
B C

17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos




25
7
A
B C
β•senα
 12

4
A
B C
D
E
seno de α =
5. Calcular K = sen
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
04
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
04

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 171
ángulos
ventaron
cociente
n ángulo
rica es la
n de las
s razones
3. Calcular
sen
K
cos




25
7
A
B C
 12

4
A
B C
D
E
NES TRIGONOMÉTRICAS I

13
12
B C

17
8
A
B C
 12

4
A
B C
D
E
1. Calcular sen:

12
16
20
A
B C
a)
4
5
b)
5
4
c)
3
5
d)
5
3
e)
7
5
2. Calcular cos

5
12
13
A
B C
a)
5
13
b)
5
12
c)
12
13
d)
13
5
e)
15
4
3. Calcular : sen
A

12
15
B C
a)
6
5
b)
5
3
c)
4
5
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos 
A
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca

13
12
B C

17
8
A
B C
 12

4
A
B C
D
E
5. Calcular K= senβ ⋅ senα

NIVEL IV
172
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos 
A

1
5
B C
a)
4
5
b)
3
5
c)
1
5
d)
2
5
e)
7
5
5. Calcular E = sen + cos

6
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
9. Calcular : sen Si:

K
4
3 K
2
A
B C
a)
2
3
b)
1
6
c)
1
5
d)
1
8
e)
2
5

3
1
A
B C
a)
4
10
b)
4
10
c)
3
10
d)
2
10
e)
10
5
6. Calcular P = sencos

4
2
A
B C
a)
8
13
b)
1
5
c)
8
11
d)
2
5
e)
5
5
7. Calcular: sen• sen

12

3
A
B
C
D
a)
1
5
b) 4 c)
1
3
d)
1
4
e)
2
5
8. Calcular cos Si:

6
8
A B
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
12
B C
a)
6
5
b)
5
3
c)
4
5
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos 
A

1
5
B C
a)
4
5
b)
3
5
c)
1
5
d)
2
5
e)
7
5
5. Calcular E = sen + cos
d)
4
e)
5
8. Calcular cos Si:

6
8
A B
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
9. Calcular : sen Si:

K
4
3 K
2
A
B C
a)
2
3
b)
1
6
c)
1
5
d)
1
8
e)
2
5
10. Calcular cos:
A
B C

9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C

40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C

25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)
A
B C

9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C

40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C

25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)
A
B C

9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C

40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C

25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 173
1. Hallar sen:
A
B C

40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C

25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28

9
A D
a)
4
3
b)
5
4
c)
6
5
d)
3
4
e)
8
5
5. Calcular sen si:

10
2
7
A
B C
a)
5
10
b)
3
10
c)
10
19
d)
2
10
e)
10
25
3. Hallar P=sen•cos
A
B C
3
4

a)
12
25
b)
13
25
c)
1
8
d)
3
5
e)
5
5
4. De la figura, hallar : Q =cos•sen

12

9
A
B
C
D
a)
4
3
b)
5
4
c)
6
5
d)
3
4
e)
8
5
5. Calcular sen si:

10
2
7
A
B C
a)
5
10
b)
3
10
c)
10
19
d)
2
10
e)
10
25

NIVEL IV
174
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 
1. Calcular tg si:

12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C

8
4
3. Ca
4. Ca
5. Ca
05 RAZONES TRIGONO
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 

12
4
A
B C
A
B C

8
4
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B

A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C

10
6
1. Calcular tga si:
α
6
2
Resolución:
Tenemos que:
C .O .
6
α
2
C .A .
Sabemos que:
C.O.
tg
C.A.
α =
⇒
2
tg
6
α =
Simplificando:
1
tg
3
α =
R pta.: 1/3
2. Calcular ctgq si:
θ
8
4
Resolución:
Tenemos que:

C .O .
8
θ
4
C .A .
Sabemos que:

C.A.
ctg
C.O.
θ =
⇒

C.A.
ctg
C.O.
θ =

Simplificando
ctgq = 2

Rpta.: 2
177
TRIGONOMETRÍA
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 

12
4
A
B C
A
B C

8
4
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
B

A
M
D C
A
B C

10
6
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 

12
4
A
B C
A
B C

8
4
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
B

A
M
D C
A
B C

10
6
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 

12
4
A
B C
A
B C

8
4
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
B

A
M
D C
A
B C

10
6
Tenemos que:

A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
 
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
 

12
4
A
B C
A
B C

8
4
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
B

A
M
D C
A
B C

10
6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
05
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
05

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 175
B C

8
4

M
D C
3. Calcular ctg
K (tg ) 
 
A
B C

10
5
B

A
M
D C
ONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C

10
6
A
B C

8
4
B

A
M
D C
1. Calcular tg Si:
A
B C

16
4
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4
d) 3/5 e) 6/16
2. Calcular ctg
A
B C

12
6
a) 1 b) 3 c)
1
2
d) 2 e) 10
3. Calcular : P =3tg
A
B C

18
3
a) 2 b) 3 c)
1
2
d)
1
3
e)
5
8
4. Calcular: tg + ctg. Si:
A
B C

5
3
4
a)
12
25
b)
25
12
c)
24
15
d)
15
24
e)
15
20
5. Ca
en
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
1m
pen
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)
d)
1. Calcular tg Si:
A
B C

16
4
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4
d) 3/5 e) 6/16
2. Calcular ctg
A
B C

12
6
a) 1 b) 3 c)
1
2
d) 2 e) 10
3. Calcular : P =3tg
A
B C

18
3
a) 2 b) 3 c)
1
2
d)
1
3
e)
5
8
4. Calcular: tg + ctg. Si:
A
B C

5
3
4
a)
12
25
b)
25
12
c)
24
15
d)
15
24
e)
15
20
5. Ca
en
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
1m
pen
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)

NIVEL IV
176
5. Calcular tg si ABCD
en un cuadrado cuyo perimetro es 40u.

A B
C
D
M
a)
1
3
b) 2 c)
1
2
d)
2
5
e)
10
3
6. Calcular tg si:

K+1
4K+4
A
B C
a)
1
2
b) 1 c) 2
d) 4 e) 10
7. Caminando por una rampa un burro se da cuenta, que por cada
1m. que sube, avanza horizontalmente 2m. Calcular la
pendiente de la rampa.
a)
1
3
b) 3 c)
1
2
d) 2 e)
2
5
8. Calcular tg Si:
A
B C

K

a) 3 b) 1 c) 2
d) 1/2 e) 7
9. Calcular : ctg
a) 2 b)
1
2
c) 1
d) 3 e) 10
10. Calcular
tg
ctg


Si:
a) 4 b)
1
2
c) 2
d)
1
4
e)
2
5
1. Hallar tg si:
A
d) 5 e)
5
12
3. Calcular E = tg + ctg
A
B C

5
1
2
a)
50
7
b) 8 c)
7
50
d)
1
8
e) 11
4. Calcular R = tg • tg
A
5

10. Calcular
tg
ctg


Si:
a) 4 b)
1
2
c) 2
d)
1
4
e)
2
5
1. Hallar tg si:
A
B C

13
12
a)
12
5
b)
13
12
c)
5
12
d)
5
13
e)
7
12
2. Calcular ctg:
A
B C

4K
8K
a)
1
2
b) 3 c) 2
d)
3. Ca
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. Ha
a)
d)

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 177
B C

12
a)
12
5
b)
13
12
c)
5
12
d)
5
13
e)
7
12
2. Calcular ctg:
A
B C

4K
8K
a)
1
2
b) 3 c) 2
B C
a)
1
2
b) 1 c)
1
4
d) 4 e) 11
5. Hallar
tg
M
ctg



Si:
A
B C

17
1
a)
1
8
b)
1
16
c) 8
d) 12 e) 16
B C
a)
50
7
b) 8 c)
7
50
d)
1
8
e) 11
4. Calcular R = tg • tg
A
B C

5
1

a)
1
2
b) 1 c)
1
4
d) 4 e) 11
5. Hallar
tg
M
ctg



Si:
A
B C

17
1
a)
1
8
b)
1
16
c) 8
d) 12 e) 16

NIVEL IV
178
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:

b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
 
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
 
1. Calcular sec si:

10
3
1
2. Calcular csc. Si:

5
2
1
3. Calcular P= csc
2
 + 1

2
6
4. C
5. C
1. C
a)
d)
2. C
06 RAZONES TRIGO
Tenemos que:

b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
 
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
 

10
3
1

5
2
1
3. Calcular P= csc
2
 + 1

2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:

3
2
06 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
1. Calcular secf si:
φ
12
8
Resolución:
Se tiene:
φ
8
C.A.
12 (H)
Sabemos que:
H
sen
C.A.
φ =
12
sec
8
⇒ φ =
3
sec
2
φ =
∴
Rpta.: 3/2
2. Calcular P = 3cscf si:
φ
3
5
Resolución:
Tenemos:
φ
3
5
H
Calculemos H. aplicando el T. de Pitágoras:
2 2 2
H 3 5
⇒ = +
2
H 9 25
⇒ = + H 34
∴ =
Reemplazando en P:
34
P 3
3
 
⇒ =
 
 
 
P= 34
∴
Rpta.: 34
183
TRIGONOMETRÍA
Tenemos que:

b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
 
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
 
10
1
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

10
3
1

5
2
1
3. Calcular P= csc
2
 + 1

2
6
1. Ca
a)
d)
2. Ca
Tenemos que:

b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
 
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
 

10
3
1

5
2
1
3. Calcular P= csc
2
 + 1

2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
Tenemos que:

b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
 
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
 

10
3
1

5
2
1
3. Calcular P= csc
2
 + 1

2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
06
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
06

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 179
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
4. Calcular
2
2
csc
sen



18

6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
  


4
4
8
A
B C
D
M
E

1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5

3
2
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
3. Calcular : sensi:

3
5
a)
4
3
b)
3
4
c)
5
3
d)
5
4
e)
3
5
4. Calcular
2
csc 

1
3
a) 12 b) 10 c) 11
d) 14 e) 16
5. Calcular csc
2
 + 2

14
2
a) 8 b) 10 c) 9
d) 7 e) 12
6. Calcular
csc
E
sec



2

4
a) 2 b)
1
4
c)
1
2
d) 3 e) 8
7. Calcular: P=csc• sec

1
3
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)
d)
10. Si
a)
d)
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
8. Calcular K 2 sec 1
  
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
5
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
  
5

NIVEL IV
180
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
  

3
5
a) 3 b) 4 c) 2
d) 5 e) 11
9. Calcular: K=csc•secSi:
A
B
C
D

1
2
2

a) 8 b) 9 c) 10
d) 6 e) 10
10. Si ABCD es un cuadrado. Calcular 2
csc 

P
A B
D C
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 10
1. Hallar sec:

15
12
9
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12
2. Calcular csc si:

25
24
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
25
d)
25
7
e)
25
12
3. Calcular: csc•sec
B
C
15

4. Calcular P= sec • csc

1
3
a)
15
4
b)
10
3
c)
7
5
d)
13
10
e)
15
11
5. Calcular:
2
sec 

5
2
a) 2 b) 1/4 c) 5/4
d) 2/5 e) 12/5
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12

25
24
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
25
d)
25
7
e)
25
12
3. Calcular: csc•sec
A
B
C
D

15

5
a) 3 b)
1
3
c) 20
d) 5 e) 11
5. Ca
a)
d)
1. Hallar sec:

15
12
9
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12
25
4. Calcular P= sec • csc

1
3
a)
15
4
b)
10
3
c)
7
5
d)
13
10
e)
15
11
5. Calcular:
2
sec 

5
2

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 181
Enun triángulorectángulo ABCrecto enC(C=90º), para lo cual
definiremos las seis razones trigonométricas.
A
B C

a
b c
Con respecto al ángulo  tenemos:
Sen =

Cos =

Tg =

b
c
a
c
b
a
Ctg =

a
b
Sec =

c
a
Csc =

c
b
Notamos que hay
3 valores que son
inversos de los otros
así:
Sen =
 b
c
Cos =

a
c
Cos =
 c
b
Sec =

c
a
Tg =

b
a Cg =

a
b
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas,
entonces tenemos:
b c
sen csc x 1 sen csc =1
c b
     
a c
cos sec x 1 cos sec =1
c a
      
b a
tg c tg x 1 tg ctg =1
a b
     
01
RECÍPROCAS
1. Si:
sen(4x+25º)· csc45º = 1
calcule x.
Resolución:
Por ser razones trigonométricas recíprocas, los ángulos
deben ser iguales, es decir:
4x+25º=45º
4x=20º
∴ x=5º
Rpta.: 5º
2. Calcule:
M 15sen csc – 6tg ctg
= α ⋅ α α ⋅ α
Resolución:
• Por ser razones trigonométricas recíprocas se cumple
que:
senα . cscα=1 ∧ tgα . ctgα=1
• Luego reemplazando:

Rpta.: 3
4
3
2. Calcular E = sen+ctg
si: csc = 2  tg 
sec 
3. Calcular: R 
cos
Si: sec=2/5  csc= 3/5
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
2
cos
3
 
a) 3
1. Ca
d) 7
a) 1
2. Ca
d) 4
a) 5
3. Ca
Si:
d) 1
a) 2
4. Ca
Si:
d) 4
a) 2
5. Ca
d) 4
a) 4
d) 5
6. Ca
A
B C

a
b c
Sen =

Cos =

Tg =

b
c
a
c
b
a
Ctg =

a
b
Sec =

c
a
Csc =

c
b
Notamos que hay
3 valores que son
así:
Sen =
 b
c
Cos =

a
c
Cos =
 c
b
Sec =

c
a
Tg =

b
a Cg =

a
b
entonces tenemos:
b c
c b
     
a c
c a
      
b a
a b
     
01
RECÍPROCAS
A
B C

a
b c
Sen =

Cos =

Tg =

b
c
a
c
b
a
Ctg =

a
b
Sec =

c
a
Csc =

c
b
Notamos que hay
3 valores que son
así:
Sen =
 b
c
Cos =

a
c
Cos =
 c
b
Sec =

c
a
Tg =

b
a Cg =

a
b
entonces tenemos:
b c
c b
     
a c
c a
      
b a
a b
     
01
RECÍPROCAS
189
TRIGONOMETRÍA
A
B C

a
b c
Sen =

Cos =

Tg =

b
c
a
c
b
a
Ctg =

a
b
Sec =

c
a
Csc =

c
b
Notamos que hay
3 valores que son
así:
Sen =
 b
c
Cos =

a
c
Cos =
 c
b
Sec =

c
a
Tg =

b
a Cg =

a
b
entonces tenemos:
b c
c b
     
a c
c a
      
b a
a b
     
2
cos
3
 
2. Calcular E = sen+ctg
si: csc = 2 
4
tg
3
 
3. Calcular:
sec
R
cos



Si: sec=2/5  csc= 3/5
5. Calcular E=5tg - 3ctg
Si:
5
ctg
8
  
2
ctg
3
 
07
RECÍPROCAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
07
ESCANEAME
RECÍPROCAS
07

NIVEL IV
182
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
  

Si:
8 4
sec csc =
6 3

  
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
10. Calcular R =sen tgsec
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m

 
  
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b

 

y
b
ctg
c
 
2. Calcular «a+5°». Si: tg (2a-10°)ctg80º=1
a) 45º b) 50º c) 55º
d) 60º e) 65°
3. Calcular : E=sen + cos - tg
Si: csc=3;
3
sec
2
  y
9
ctg
4
 
a) 4/9 b) 1/3 c) 5/9
d) 7/9 e) N.A.
4. Calcular : «a-b» Si: sec(a-b+5°) cos30º=1
a) 45º b) 35º c) 20º
d) 25º e) 50°
5. Calcular : E=sencsc - tg ctg
a) -1 b) 2 c) 0
d) 1 e) N.A.
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
  

Si:
8 4
sec csc =
6 3

  
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m

 
  
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b

 

y
b
ctg
c
 
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
  

Si:
8 4
sec csc =
6 3

  
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m

 
  
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b

 

y
b
ctg
c
 
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
  

Si:
8 4
sec csc =
6 3

  
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m

 
  
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b

 

y
b
ctg
c
 
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
5
Si: ctg   ctg 
8
2
3
a) 20º
5. Calcular «x» en: cos(2x)sec60º=1
b) 30º c) 60º
d) 40º e) 10°
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
6. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1
e) 20°
7. Calcular «a+10º» en: cos(a+10º) sec(3a-40º) = 1
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
5
8
2
3
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
e) 20°
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
5
8
2
3
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
e) 20°
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
3
sen
7
 
a) 3/7
1. Calcular : csc; si:
b) 7/3 c) 4/7
d) 7/4 e) N.A.
a) 1
2. Calcular tg; si: ctg = 3/4
b) 1/2 c) 3/4
d) 4/3 e) 3
a) 5/3
3. Calcular : E= sen + sec
Si: csc=3  cos=3/4
b) 3/5 c) 4/3
d) 1 e) 4
a) 2/3
4. Calcular E =5sen - 3cos
Si: csc = 3/2  sec = 3
b) 3/7 c)
10
9
d) 4 e) 3
a) 20º
5. Calcular «x» en: cos(2x)sec60º=1
b) 30º c) 60º
d) 40º e) 10°
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
e) 20°
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
7/3

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 183
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo
cual definiremos lasseis razonestrigonométricas lasseis razones
trigonométricas del ángulo A y ángulo C.
b


B
C
A c
a
En el gráfico *el ángulo A = 
* el ángulo C = 
a
sen cos
b
  
c
cos sen
b
  
a
tg tg
c
  
c
c tg tg
a
  
b
sec csc
c
  
b
csc sec
a
  
 sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
  . Calcular ctg(90º-)
3. Si:  +  = 90º
4
tg
3
  . Calcular ctg
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º

02
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b


B
C
A c
a
a
sen cos
b
  
c
cos sen
b
  
a
tg tg
c
  
c
c tg tg
a
  
b
sec csc
c
  
b
csc sec
a
  
 sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
3. Si:  +  = 90º
4
tg
3
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º

02
1. Calcule el valor de x si:
tg(8x+2º)=ctg (9x+13º)
Resolución:
Por ser co-razones, los ángulos deben sumar 90º, así:
8x+2º+9x+3º=90º
17x+5º=90º
17x=85º
∴ x=5º
Rpta.: 5º
3. Reduzca la expresión:
tg20º sen10º
A 6 3
ctg70º cos80º
= +
Resolución:
Por ser co-razones de ángulos complementarios, así:
tg20º= ctg70º
sen10º= cos80º
Reemplazando en:
tg20º sen10º
A 6 3
tg20º sen10º
= +
A=9
Rpta.: 9
193
TRIGONOMETRÍA
b


B
C
A c
a
a
sen cos
b
  
c
cos sen
b
  
a
tg tg
c
  
c
c tg tg
a
  
b
sec csc
c
  
b
csc sec
a
  
 sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
3. Si:  +  = 90º
4
tg
3
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º

5. Calcular:
sen(90º ) tg
N
cos ctg(90º )
 
 
 
1. Si: cos3x = sen60º. Calcular «x»
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
2. Si: tg5x = ctgx Calcular x - 5º
a) 20º b) 10º c) 15º
d) 25º e) 30º
3. Si: sec(2x-30º) = csc(3x+30º) Calcular : x+2º
a) 20º b) 10º c) 18º
d) 16º e) 14º
4. Si: cos3x - sen45º=0
Calcular :
x 5º
2

a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
08
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
08
ESCANEAME
08

NIVEL IV
184
5. Si:
4
tg
5
  . Calcular ctg(90º -)
a)
3
5
b)
4
5
c) 1
d)
3
4
e)
4
3
6. Si: + = 90º 
2
sen
5
  Calcular : cos.
a)
2
3
b)
2
5
c)
2
4
d)
5
2
e)
2
2
7. Si :«+=90º   +  = 90º. Calcular cos • tg
Sabiendo
3
sen
5
  
5
ctg
7
 
a)
3
5
b)
4
7
c)
3
8
d)
3
7
e)
7
3
8. Calcular:
sen71º
M
cos19º

a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) 1/2
9. Reducir:
sen15º tg62ºcos21º
R
sen69ºcos75ºctg28º

a) 2 b) 3 c) -1
d) 0 e) 1
10. Calcular x+y Si:
* sen(2x-5º) = cos(x+5º)
* sec(y+20º) • cos(2y-45º) - 1=0
a) 85º b) 95º c) 105º
d) 90º e) 100º
1. Si: cos4x = sen(5x-45º) Calcular : «x-5º»
a) 5º b) 0º c) 10º
d) 15º e) 20º
2. Si: tg(2x+5º) - ctg(2x-15º) =0 Calcular «x»
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
3. Reducir:
sen(90º ) cos
R
cos sen(90º- )
 

 
a) 1 b) 2 c) sena
d) cosa e) 0
4. Reducir:
• •
sen23º cos 22º tg25º
M 1
cos67º sen68º ctg65º
 
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
5. Si: sen2x = cos50º
cos3y sec60º= 1
Calcular :
x y 1"
"
2 2


a) 22º b) 22,5º c) 23º
d) 23,5º e) 20,5º
5. Calcular:
sen(90º ) tg
N
cos ctg(90º )

 

a) 10º
1. Si: cos3x = sen60º. Calcular «x»
b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
a) 20º
2. Si: tg5x = ctgx Calcular x - 5º
b) 10º c) 15º
d) 25º e) 30º
3. Si: sec(2x-30º) = csc(3x+30º) Calcular : x+2º
a) 20º b) 10º c) 18º
d) 16º e) 14º
4. Si: cos3x - sen45º=0
Calcular :
x  5º
2
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 185
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
sen37º sen37º= sen37º=
H 5K 5
  
De la misma forma podemos calcular las demás razones
trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
 
3 5
cos53º sec53º=
5 3
 
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
 
1. Calcular las expresiones:
1
E 10 sen 37º

2
E 15 cos 53º

3. Ca
E
P
4. Ca
B
5. Ca
P =
1. Ca
a)
d)
2. Ca
a)
d)
Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º
utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son
proporcionales a 3, 4 y 5.
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
H 5K 5
  
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
2. Calcular «x» en las ecuaciones
i) x+ 5cos53º=10•sen53º
ii)2x - tg37º = sec37º
3. Calcular E P
 si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
03
ÁNGULOS 37° - 53°
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
H 5K 5
  
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
 
3 5
cos53º sec53º=
5 3
 
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
 
1
E 10 sen 37º

2
E 15 cos 53º

i) x+ 5cos53º=10•sen53º
3. Calcular E P
 si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
P = 3•sec53º+3ctg37º
1. Calcular : E= 35 cos53º
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
2. Calcular el valor de: Q =5sen37º + 4tg37º
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
03
1. Calcule la expresión:
R sec 37º 1
= +
Resolución:
Sabemos que:
5
sec 37º
4
=
Reemplazamos:
5
R 1
4
= +

9
R
4
=
9
R
4
=

3
R
2
∴ =
2. Calcule el valor de n.

5
csc 53º
2
n
n
+
=
+
Resolución:
Sabemos que:
5
csc 53º
4
=
Reemplazamos y calculamos:
5 5
4 2
n
n
+
=
+
En este caso, multiplicamos en aspa:
5n + 10 = 4n + 20
∴ n = 10
197
TRIGONOMETRÍA
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
H 5K 5
  
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
 
3 5
cos53º sec53º=
5 3
 
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
 
1
E 10 sen 37º

2
E 15 cos 53º

i) x + 5cos53º=10•sen53º
3. Calcular E P
 si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B = cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
09
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DE 37° - 53°
09
ESCANEAME
09

NIVEL IV
186
2
razones
T. que lo
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
5. Hallar el valor de R + S si:
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
6. Hallar el valor de y si:
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
8. Calcular P/Q si:
P = ctg53º+sec37º
Q = 5cos37º-5cos53º
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 6
9. Calcular el área de la región:
15 sen37º
10
cos53º
a) 54u2 b) 60u2 c) 32u2
d) 72u2 e) 65u2
1. Ca
E =
a) 5
d) 8
2. Ca
x +
a) 1
d) 3
3. Ca
T
a)
d)
4. Ca
M
N
a) 0
d) 1
5. Ca
E
a) 1
d) 4
3. Hallar el valor de:
2
R ctg 53º 1
 
a) 5 b)
5
4
c)
1
4
d) 4 e)
3
4
4. Calcular el valor de Q
Si Q=ctg37º+sec53º
a) 2 b) 5 c) 3
d) 12 e) 10
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
sen53º
Q
sec 37º

a)
4
5
b)
5
4
c) 4
d) 5 e)
2
5
1. Calcular:
E = 4•tg37º + 5cos53º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
x + tg53º = sec53º
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T 
2
R ctg 53º 1
 
a) 5 b)
5
4
c)
1
4
d) 4 e)
3
4
4. Calcular el valor de Q
Si Q=ctg37º+sec53º
a) 2 b) 5 c) 3
d) 12 e) 10
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
sen53º
Q
sec 37º

a)
4
5
b)
5
4
c) 4
d) 5 e)
2
5
1. Calcular:
E = 4•tg37º + 5cos53º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T
3

1 1 1

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 187
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 6
15 sen37º
10
cos53º
a) 54u2 b) 60u2 c) 32u2
d) 72u2 e) 65u2
4. Calcular : M + N. Si:
M = 5 sen37º - 4ctg53º
N = sec37º • cos37º
a) 0 b) 2 c) 3
d) 1 e) -1
5. Calcular:
2
E tg 53 1
  
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5
d) 4/3 e) 3/4
d) 8 e) 9
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T
3

a)
1
3
b)
1
4
c)
1
2
d)
3
2
e)
2
5
4. Calcular : M + N. Si:
M = 5 sen37º - 4ctg53º
N = sec37º • cos37º
a) 0 b) 2 c) 3
d) 1 e) -1
5. Calcular:
2
E tg 53 1
  
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5
d) 4/3 e) 3/4

NIVEL IV
188
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
Resolución de Triángulo Rectángulo:
Tenemos el siguiente triángulo

x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º

del triángulo:

x
sen x=asen
a

  
 pero como =37º ó 53º (tomemos 37º)
 x = a•sen37º es decir
3
x a
5
 
  
 
3 a
x •
5
 
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x»
(incógnita) y «a» (valor conocido).
1. Calcular «x»:
20
37º
x
2. Calcular el perímetro del triángulo
20
37º
a
b
04
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°

x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º

del triángulo:

x
sen x=asen
a

  
3
x a
5
 
  
 
3 a
x •
5
 
1. Calcular «x»:
20
37º
x
20
37º
a
b
04
1. Del gráfico, calcule el valor de m.
53º
20
m
Resolución:
Completamos el ángulo y el lado que falta según corres-
ponda.

53º
5 =20
k
m= k
3
4k
Calculamos el valor de k y reemplazamos en m.
5k = 20 k = 4
3 3(4)
m k m
⇒
= =
12
m
∴ =
2. De la figura, calcule el valor de n.
37º
53º
3 – 7
n
2 + 1
n
Resolución:
Calculamos la tg en:
Del dato: Del gráfico:
Sabemos que: Sabemos que:
3
tg 37º
4
=

2 1
tg 37º
3 7
n
n
+
=
−
Comparamos y calculamos n.
3 2 1
4 3 7
n
n
+
=
−
9n – 21 = 8n + 4
25
n
∴ =
201
TRIGONOMETRÍA

x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º

del triángulo:

x
sen x=asen
a

  
3
x a
5
 
  
 
3 a
x •
5
 
1. Calcular «x»:
20
37º
x
3. Del gráfico. calcular «d»:
53º
20m
d
4. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.
37º
H
d
5. Calcular H si:
H
37º
10
37º
x
20
37º
a
b
5. Ca

x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º

del triángulo:

x
sen x=asen
a

  
3
x a
5
 
  
 
3 a
x •
5
 
1. Calcular «x»:
20
37º
x
20
37º
a
b
53º
20m
d
37º
H
d
5. Calcular H si:
H
37º
20m
10
10
ESCANEAME
RECTÁNGULO ÁNGULOS 37° - 53°
10

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 189
10
37º
x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 10 e) 8
2. Calcular G = x −3 si:
35
37º
x
a) 4 b) 6 c) 5
d) 7 e) 9
3. Calcular el área del triángulo
8
53º
a
a) 32u2
b) 14u2 c) 64u2
d) 24u2 e) 40u2
4. Calcular «x»
x
53º
12
a) 14 b) 10 c) 16
d) 18 e) 20
5. Calcular
"x"
2
30
37º
x
a) 9 b) 12 c) 10
d) 14 e) 16
6. Calcular la altura del edificio si:
53º
18m
5. Calcular H si:
H
37º
20m
53º
20m
d
37º
H
d

NIVEL IV
190
9. Calcular el valor de h:
37º
48m
12m
h
a) 40m b) 36m c) 48m
d) 50m e) 52m
10. Hallar el valor de «x» si:
53º
12m
escalera
x
a) 8m b) 9,2m c) 9,6m
d) 10m e) 9,8m
1. Calcular la altura del muro si:
53º
H
12m
a) 20m b) 18m c) 17m
d) 16m e) 10m
2. Hallar la longitud de la escalera apoyada:
53º
escalera
1,2m
a) 1,5m b) 1m c) 2m
d) 1,8m e) 3m
30
37º
y
a) 18 b) 15 c) 24
d) 20 e) 21
4. Calcular x + y si:
15
53º
y
x
a) 10 b) 14 c) 13
d) 12 e) 21
5. Determine los ángulos αy β si:
20
β
12
16
α
a) a = 30º
b = 60º
b) a = 24º
b = 66º
c) a = 54º
b = 36º
d) a = 37º
b = 53º
e) a = 53º
b = 37º
a) 70m b) 80m c) 100m
d) 50m e) 90m
8. Calcular el valor de «x»
37º
40m
x
a) 30m b) 32m c) 40m
d) 28m e) 24m
a) 24m b) 20m c) 28m
d) 30m e) 26m
7. Del gráfico, hallar «x»
37º
60m
x

TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 191
Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo
1. Calcular : P + Q si: P 2•cos 45º
 ;
3
Q tg 45º

4. Si N: representa el número de artículos a comprar.
M: el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total, sabiendo que:
4 2
N 5 sec 45º M=2sen 45º

5. Calcular el perímetro de:
8 sec245º m
10
sen
45º
m
2
Formemos el siguiente cuadro:
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
05
ÁNGULO 45°
K 2
45º
K
45º
K
 ;
3
Q tg 45º

2. Calcular la expresión:
2 2 2
2
sen 45º cos 45º csc 45º
A
ctg45º sec 45º
 


3. Calcular el valor de: 4 6
M csc 45º sec 45º
 
5. Ca
1. Ca
a)
d)
2. Ha
a) 2
d) 8
3. Ca
a) 1
d) 0
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
 ;
3
Q tg 45º

2 2 2
2
A
ctg45º sec 45º
 


M csc 45º sec 45º
 
4 2

8 sec245º m
10
sen
45º
m
2
1. Calcular: P 2 cos45º

a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
3. Calcular P - Q P = tg45º+ ctg45º
Q 2 sen45º

a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
05
ÁNGULO 45°
1. Calcule el valor de la expresión:

Resolución:
Reemplazando las razones trigonométricas de 45º:
2. Calcule el valor de x en:

Resolución:
Reemplazando y operando:
4x – 14 = 2x + 16
x = 15
207
TRIGONOMETRÍA
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
 ;
3
Q tg 45º

2 2 2
2
A
ctg45º sec 45º
 


M csc 45º sec 45º
 
4 2

8 sec245º m
10
sen
45º
m
2

a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
Q 2 sen45º

a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
11
ÁNGULO 45°
ÁNGULO 45°
11
ESCANEAME
ÁNGULO 45°
11

NIVEL IV
192
4. Hallar «x» si: 2
x•ctg45º csc 45º

a) 1 b) 0 c) 2
d) 2 e) 3
5. Calcular: 4 2
A sec 45º csc 45º
 
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
6. Determinar el valor de: 2 2ctg45º
R (sec 45º)

a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
7. Calcular M•N si: M 2tg45 2 sen45
    
N =sen45º•sec45º
a) 2 b) 1 c) 3
d) 0 e) 4
8. Si A: representa el número de artículos a comprar
B: representa el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total si:
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
12 ctg45º 
sec
4
45º

a) 2
48u b) 2
60u c) 2
50u
d) 2
42u e) 2
72u
10. Calcular:
2 2
2
cos 45º csc 45º
Q
sen 45º


a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
1. Calcular :
sec 45º•csc 45º•tg45º
P
ctg45º

a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 3
2. Calcular «x» si: 2 2
•
x sec 45º csc 45º 2tg45º
 
a) 9 b) 18 c) 2
d) 12 e) 20
3. A : Representa el valor de un lapicero en nuevos soles.
B : La cantidad de lapiceros.
Calcular el costo total :
Donde: A = sen
2
45º
B = 25csc
2
45º
a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/.25
d) S/. 42 e) S/. 20
4. Calcular M + N Si: M = 4cos
2
45º
N = 8csc
2
45º
a) 16 b) 18 c) 20
d) 17 e) 19
5. Determinar:
2
2 sec 45º
P (6cos 45º)

a) 9 b) 12 c) 3
d) 10 e) 8
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
12 ctg45º 
sec
4
45º

a) 2
48u b) 2
60u c) 2
50u
d) 2
42u e) 2
72u
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. De
a)
d)
5º
8 sec245º m
10
sen
45º
2

a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
Q 2 sen45º

a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
4. Hallar «x» si: 2
x•ctg45º csc 45º

a) 1 b) 0 c) 2
d) 2 e) 3
5. Calcular: 4 2
A sec 45º csc 45º
 
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
6. Determinar el valor de: 2 2ctg45º
R (sec 45º)

a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
7. Calcular M•N si: M 2tg45 2 sen45
    
N =sen45º•sec45º
a) 2 b) 1 c) 3
d) 0 e) 4
8. Si A: representa el número de artículos a comprar
B: representa el costo de cada artículo en soles
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
sec
4
10. Calcular:
2 2
2
cos 45º csc 45º
Q
sen 45º


a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
1. Calcular :
sec 45º•csc 45º•tg45º
P
ctg45º

a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 3
2. Calcular «x» si: 2 2
•
x sec 45º csc 45º 2tg45º
 
a) 9 b) 18 c) 2
d) 12 e) 20
3. A : Representa el valor de un lapicero en nuevos soles.
B : La cantidad de lapiceros.
Calcular el costo total :
Donde: A = sen
2
45º
B = 25csc
2
45º
a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/.25
d) S/. 42 e) S/. 20
4. Calcular M + N Si: M = 4cos
2
45º
N = 8csc
2
45º
a) 16 b) 18 c) 20
d) 17 e) 19
A = 10 csc2

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