I. El documento presenta conceptos básicos sobre ángulos como su definición, notación y clasificación. Explica qué es una bisectriz y provee ejemplos numéricos. II. Incluye ejercicios prácticos sobre identificar tipos de ángulos, medir ángulos y calcular ángulos complementarios y suplementarios. III. Proporciona una tarea sobre cálculos angulares para practicar en casa.

1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
ÁNGULOS I
I. CONCEPTOS BÁSICOS II. ¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ?
ÁNGULO: .........................................................
.......................................................................... .........................................................................
.......................................................................... .........................................................................
.........................................................................
A Donde:
Sea el ∢AOB : A
* “P” : Pertenece a la
R región .
P * “R” : Pertenece a la
región exterior del M
º ángulo O
º
O B º
¿Y cómo se denota?
B
 NOTACIÓN :  ¿Cómo, biseca?
m∢AOB :
……………………
Osea: ..............................................................
¿Y su medida? ........................................................................
¿En que unidad se expresa? ........................................................................
∢AOB : ……………………
En la unidad de:

……………………………… Si : OM es bisectriz del ∢AOB.
………………. Se cumple :
m∢AOM = m∢MOB = º
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS :
- Denota los siguientes ángulos y sus
respectivas medidas:
A N
I II
¡Recordemos!
60º
45º
O M O “Qué todo ángulo en la geometría
B
plana es positivo y menor ó igual
III
O IV a una vuelta”.
T
70º
150º
P R S
Q
0º < ºGEOMETRICO < 360º
I __________ ; ______________ = _____
II. __________ ; ______________ = _____
III. __________ ; ______________ = _____
IV. __________ ; ______________ = _____
-1- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

2. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
¿Profe y porque algunos ángulos son Ángulo de una vuelta:
mayores que otros y algunos tienen lados
comunes?
 = 360º

40º
45º 20º
* Veamos algunos ejemplos:
120º 60º
1. Angulo. Agudos:
140º  10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc.
36º 40º 40º
2. Angulo. Obtusos :
54º 140º
 100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc
III. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
* De los siguientes gráficos indique si el ∢ es
a) Según sus medidas :
agudo, recto, obtuso o llano.
Ángulo Agudo:
o 20º ↠ ........................................
o 36º ↠ ........................................
0º  º  90º
o 72º ↠ ........................................
º
o 100º ↠ ........................................
Ángulo Obtuso: o 18º ↠ ........................................
o 90º ↠ ........................................
90º  º  180º o 170º ↠ ........................................
º o 115º ↠ ........................................
o 360º ↠ ........................................
Ángulo Recto :
o 180º ↠ ........................................
º= 180º o 162º ↠ ........................................
o 180º ↠ ........................................
º
o 162º ↠ ........................................
Ángulo Llano : o 90,5º ↠ ........................................
o 89,5º ↠ ........................................
  = 180º o 0º ↠ ........................................
-2- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

3. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Utilizando el transportador, mide los e) ∢ …………………………..
siguientes ángulos.
o º
º º =
……………..
2. Indique de que tipo de ángulo se trata
según su medida.
o
º º = a) 16º ↠ ........................................
…………….. b) 25º ↠ ........................................
c) 145º ↠ ........................................
o
º =
 …………….. d) 90º ↠ ........................................
e) 180º ↠ ........................................
Usando el transportador medir los siguientes
o º = ángulos.
……………..
º
3.
º =
o ……………..
º = º
……………..
º 4.
º =
……………..
º
5.
Práctica dirigida Nº 01
º º =
……………..
º
º =
1. De los siguientes gráficos. Indique el tipo de 6. ……………..
ángulos:
a) ∢ ……………… b) ∢ ……………… mº mº =
……………..
60º
145º 7. º- º =
……………………
…..
c) ∢ ……………… d) ∢ …………………
º º
20º
-3- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

4. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Sol.-
8. Compruebe, aproximadamente, con su
transportador los siguientes ángulos.
a) º = 25º
b) º = 100º

11. Si : OM es bisectriz :
Calcular “x”:
A
M
c) º = 90º
x+12
O B
Sol.-
d) º = 160º
e) º = 150º
Rpta : 12º

12. Calcular “x” ; (Si OB ; es bisectriz ∢
AOC)
9. Indicar verdadero o falso : A
B
x
a) El ∢ agudo mide 90º ( )
b) el ∢ obtuso mide 180º ( )
c) 91º, es un ángulo agudo ( )
d) 180º, es un ángulo llano ( ) C O
e) El ángulo obtuso puede ser 135º ( )
Sol.-
10. Calcular “x”
Si : OM es bisectriz del ángulo AOB
A
M
Rpta : 45º
20º
O B
-4- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

5. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
ÁNGULOS II
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y Práctica dirigida Nº 02
SUPLEMENTARIOS
1. Del gráfico, calcular”x”.
I. Ángulos Complementarios:
 º + º = 90º
2xº
 Complemento de xº
º xº : C(x) xº xº
º
 C(xº) = 90º - xº
x= x=
…………… ……………
2. Del gráfico calcular “” ………
………
II. Ángulos Suplementarios:
 º + º = 180º
º
º 3
º 2
 Suplemento de º
º
º xº : S(xº)
º x= x=
……………… ………………
 S(xº) = 180º - xº
…… ……
3. Calcular : CCC(23º)
a) 67º
III. Ángulos Opuestos por el Vértice b) 66
c) 65
d) 57
e) 77
 º = º
xº
4. Calcular : SSSSS(142º)
º º
yº  xº = yº a) 142º
b) 38
c) 36
d) 40
e) 48
IV. Ángulos de Lados Paralelos 5. Calcular E = SSSCCCº
Si : º = CCCSSS140º
a) 40º
º yº
b) 50
º c) 90
d) 140
xº e) 150
xº = yº 6. Calcular “” ; si : CCC=20º
º = º
a) 70º
b) 20
c) 10
d) 35
e) 80
-5- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

6. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
7. Calcular “” ; si : SSSSS = 135 13. Calcular “x”
a) 35º a) 18º
b) 45 b) 36
c) 55 2xº
c) 30
d) 75 2x- xº+ º
d) 40
e) 135 e) 60
8. Calcular “x”
14. Calcular “”
a) 2º 30º+x
b) 4 a) 9º
c) 10 b) 41 49º
d) 5 c) 49 º
e) 15 2x+25º d) 50
e) 45
9. Calcular “x” 15. Calcular “”
a) 15º a) 18º
xº+40
b) 30 b) 54 º
c) 45 3x-20º c) 36
d) 5 d) 72 36º
e) 60 e) 108
10. Calcular “x” ;  AB
 FD  y  AE
  CD 

   
B
A
C Tarea Nº 01
a) 10º 65º
b) 15
c) 25
d) 65 xº
e) 115 1. Calcular “x”
E F D
a) 155º xº
b) 125º º
c) 135º 130º
º
11. Calcular “x” ;  AB
 CD y ED BC 
 d) 140º
  e) 175º
A D
a) 75º E
b) 105 xº
c) 135 2. Calcular “x”
75º xº
d) 100
e) 125 B C a) 68º
b) 78º 46º
c) 58º º
d) 48º
e) 34º º
12. Calcular “x”
a) 15º
b) 30 2xº xº CCCCC 27º
3. Calcular :
c) 45 CCC 69º
xº 60º
d) 60
e) 40 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
-6- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

7. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
SSSS140º 11. Hallar “x” e “y”.
4. Calcular :
CCCC 20º
a. 60º y 20º
b. 30º y 5º 3y
a) 1 b) 2 c) 3 4y
d) 5 e) 4 c. 60º y 10º
2y
d. 30º y 20º
e. 30º y 10º
5. Calcular SSSCCCº
Si : CSS40º = º
a) 120º b) 130º c) 140º
d) 150º e) 160º
6. Calcular : SSSSSCCCCC
Si : SSSCC120º =  12. Hallar : “” y “”
a) 120º b) 130º c) 140º a) 5º y 30º
d) 150º e) 160º
b) 20º y 15º
c) 20º y 30º
7. Del gráfico, calcular “”. Si: OM es bisectriz
d) 10º y 15º
del ∢AOB. e) 5º y 15º 2º 60º
A
a) 10º
b) 20
M
c) 30
d) 15 20º 13. Calcular “x” ; m∢AOD = 102º
º
e) 5
O B a) 27º B
b) 36º A
C
c) 34º x-
x
d) 50º
8. Calcular “x”; si : OP es bisectriz del ∢AOB. e) 64º
x+
O D
a) 35º B C
b) 40 P xº
c) 75
40º
d) 105
e) 125 35º
A o 14. Hallar : “” ; x – y = 10º
a) 10º
9. Calcular el menor de dos ángulos x
complementarios sabiendo que el mayor es el b) 20º

doble del menor. c) 30º
d) 40º
y
a) 30º b) 15º c) 45º e) 50º
d) 35º e) 60º
10. Del gráfico, calcular “x”
a) 140 xº
b) 120
c) 160 30º- 2
d) 170
e) 100
-7- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

8. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
ÁNGULOS III
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA SECANTE c) Ángulos Correspondientes
¡Calichin!
Y en estos L1
Si : L1 L2 ángulos recuerda º
la “f” de fácil
L1 aº bº º = º
dº cº
L2
º
eº fº
L2
hº gº
a) Ángulos Alternos :
(dº ; fº) ; (cº ; eº) ; (aº ; gº) ; (bº ; hº) PROPIEDADES
Internos Externos
b) Ángulos Conjugados :
a) Si : L1 L2
L1
(dº ; eº) ; (cº ; fº) ; (aº ; hº) ; (bº ; gº) º
Internos Externos
xº
c) Ángulos Correspondientes :
(aº ; eº) ; (bº ; fº) ; (dº ; hº) ; (cº ; gº) º L2
¡Tigrillo! En Áng.  xº = º + º
Alternos recuerda la
a) Ángulos Alternos “z” del zorro”.
L1
º
b) Si : L1 L2
º = º L1
xº
º
º yº
L2
º
zº
º L2
b) Ángulos Conjugados
L1
º ¡Tigre! En Ángulos  xº + yº + zº = º + º + º
Conjugados recuerda
la “c” de conjugados
+
º
L2
º + º = 180º
-8- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

9. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
6.-Calcular“x” , L1 L2
Práctica dirigida Nº 04 a) 12º x
L1
20
b) 14
2x
c) 15 40
d) 18
1. Calcular “x” ; si : L1 L2 2x 10 L2
e) 20
a) 70º 30º L1
b) 45
c) 30
xº
d) 40
e) 50 L2 7.-Calcular”x” ; L1 L2 L3
40º
a) 110º L1
b) 100 100º
c) 80 L2
d) 130 xº
2.-Calcular “x” ; si : L1 L2 30º
e) 120 L3
a) 105º 45º
L1
b) 115
c) 125
d) 75 xº
e) 45
L2
8.-Calcular “x” L1 L2 L3
60º
a) 120º L1
b) 100 70º
3.-Calcular “x” , si : L1 L2
55º c) 80 L2
a) 70º L1
d) 70 10º xº
b) 80 xº
e) 110
c) 45 L3
d) 55
e) 100 L2
45º
9.-Calcular “x” ; L1 L2
a) 30º º
4.-Calcular “x” ; L1 L2 º xº
b) 60
a) 110º 40º L1
b) 100 c) 90
xº
d) 120
c) 70 º
e) 100 º
d) 120
e) 80 L2
30º
5.-Calcular “x” ; L1 L2
10.-Calcular “x”; L1 L2
a) 15º L2
L1 a) 30º L1
b) 30
b) 60 º
c) 45 2xº xº
40º º
30º c) 90
d) 36
30º 10º d) 100
e) 60 xº
e) 120 º
º L3
-9- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

10. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
7.-Calcular “x” ; si : L1 L2 L3
Tarea Nº 04 L1
a) 45º L2 L3
b) 50
1. Calcular ”x” ; si : L1 L2 c) 90 º xº
a) 100º d) 36 3º
L1
b) 120 60 +º e) 30
c) 70
d) 80 xº
e) 110
40 - º L2
8.-Calcular “x”; L1 L2
L1
a) 50º xº
2.-Calcular “x” ; si ; L1 L2 b) 20
a) 70º L1 c) 80 80º
40 +º
b) 60 d) 30
30º L2
c) 40 xº e) 40
d) 30
e) 110
30 - º L2
3.-Calcular “x” ; si : L1 L2 L3
9.-Calcular “x” L1 L2
a) 60º L1
L1
º a) 25º L2
b) 30
xº b) 35 xº+º
c) 90 L2 50 xº-º
d) 45 c) 55 º
2º L3
e) 120 d) 45
e) 20
4.-Calcular “x” ; si : L1 L2
L1
a) 110º
70º
b) 70 10.-Calcular “x”; L1 L2
c) 140 xº L1
a) 50º
d) 150 80º
b) 45
e) 170 30º L2 c) 60
xº
d) 120 150º
e) 100 L2
5.-Calcular “x” ; si L1 L2
a) 90º 45º L1
b) 45
c) 180 xº
d) 75
e) 30 L2
45º
6.-Calcular “x” , Si : L1 L2 L3
a) 108º L1
2
b) 72
xº
c) 36 L2
d) 54 3
e) 144 L3
-10- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz