El documento explica los conceptos básicos de ángulo trigonométrico y los diferentes sistemas de medición angular. Define ángulo trigonométrico como la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Describe los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos. Finalmente, presenta varios problemas resueltos como ejemplos.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Ángulo Trigonométrico: Es aquel que
se genera por la rotación de un rayo
alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial
hasta otra posición final; debiendo
considerar que esta rotación se
efectúa en un solo plano. De esta
forma, debemos considerar dos tipos
de rotación.
Posición inicial
Posición final
O
A
B Posición inicial
Posición final
A
C
vértice vértice
Giro horario
(o sentido horario)
Giro antihorario
(o sentido antihorario)
α
β
O
Consideraciones:
1. Para sumar y restar ángulos
trigonométricos, se debe procurar
tenerlos en un solo sentido; de
preferencia anti horario. Para ello, se
recomienda el cambio de sentido así:
A
B
O
α
A
B
O
-α
⇨
La rotación que genera un ángulo
trigonométrico puede hacerse de
manera indefinida en cualquiera de los
dos sentidos mencionados.
1. Sistema Sexagesimal (Ingles): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
sexagesimal (1°), que viene a ser la
360ava parte del ángulo de una vuelta.
Esto es:
1° =
1 vuelta
360
⇒ 1 vuelta = 360°
También, tenemos sus sub – unidades:
1° = 60′ | 1′ = 60′′ | 1° = 3600′′
2. Sistema Centesimal (Francés): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
centesimal (1g
), que viene a ser los
400 ava parte del segundo de una
vuelta. Esto es:
1g
=
1 vuelta
400
⇒ 1 vuelta = 400g
También, tenemos sus sub – unidades:
1g
= 100m | 1′
= 100s | 1g
= 10000s
3. Sistema Radial o Circular
(Internacional): Es aquel que tiene
como unidad a un radial (1 rad) , que
viene a ser la medida de un ángulo
central en una circunferencia cuando el
arco que subtiende mide igual que el
radio de la circunferencia.
Esto es:
Si: L = R ⇒ θ = 1 rad
Además:
1 vuelta = 2π rad
Semana Nº 1

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
O θ
A
B
L
R
R
R
Consideraciones:
1. 1 rad > 1° > 1g
2. 360° = 400g
= 2π rad ⟹
180° = 200g
= π rad
3. 180° = 200g
⟹ 9° = 10g
⟹
27′
= 50m
⟹ 81′′
= 250s
4. α = x° y′
z′′
= x° + y′
+ z′′
β = xg
ym
zs
= xg
+ ym
+ zs
PROBLEMA RESUELTO
Si 36,345° se puede expresar como
U°N′I′′ calcule U+N+I.
Resolución:
Primero se descompone la parte entera y
decimal de 36,345° = 36° + 0,345°.
La medida de 0,345° la llevamos a
minutos sexagesimales, empleando el
factor de conversión:
36,345° = 36,345° (
60′
1°
)
⟶ 36,345° = 20,7′
Descomponiendo la parte entera y
decimal de 20,7′
= 20′
+ 0,7′.
0,7′
= 0,7′
(
60′′
1′
)
Luego, el ángulo 36,345° queda
expresado como:
36,345° = 36°20′
42′′
= U°N′I′′.
Identificamos los términos y deducimos:
U=36; N=20; I=42
U+N+I=98.
Fórmula General de Conversión:
Es la relación que existe entre los
números de grados sexagesimales (S),
grados centesimales (C) y el número de
radianes (R) que contiene un grado
trigonométrico. En el gráfico, tenemos:
α So=Cg=Rrad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
=
20R
π
= 𝒌
⇒ S = 9𝒌; C = 10𝒌 ; R =
π
20
𝒌
PROBLEMA DE CLASE
1) Calcular el equivalente en
sexagesimales de:
I).
3𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
II).
4𝜋
9
𝑟𝑎𝑑
A) 45° 𝑦 90° B) 48° 𝑦 86°
C) 36° 𝑦 80° D) 18° 𝑦 76°
E) 54° 𝑦 80°
2) Del gráfico, determinar una relación
entre 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃.
(x5;y5)
(x4
θ
α
β
A) 𝛼 − 𝛽 + 𝜃 = −360° B) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = 360°
C) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 360° D) 𝛼 − 𝛽 − 𝜃 = 360°
E) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = −360°

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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3) Simplificar: 𝐸 =
𝑏 𝑔(5𝑏) 𝑚
7𝑏 𝑚
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
4) Calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 sabiendo que:
𝐴°𝐵′
𝐶′′
= 7°42′
38′′
+ 19°34′51′′
A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74
5) Si expresamos la medida angular
(18,235)° en su forma 𝑎°𝑏’𝑐’’, la
siguiente suma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 es:
A) 38 B) 29 C) 36 D) 47 E) 42
6) Del gráfico , calcular
𝑦
𝑥
(x5;y5)
(x4;y4) (x3;y3)
(x2;y2)
(x1;y1)……...
(xn;yn)
S
θ
α
β
X°
xg
Y’
A) −
1
6
B) −6 C) 6 D)
1
3
E) −
1
3
7) Reducir: 𝐸 =
1 𝑔
10 𝑚 +
10
3′ +
1 𝑚
2 𝑠
A) 10 B) 40 C) 50 D) 70 E) 80
8) Del gráfico, lo correcto es:
y
x
A) 𝑥 + 𝑦 = 360° B) 𝑥 − 𝑦 = 360°
C) 𝑥 + 𝑦 = 180° D) 𝑥 − 𝑦 = 180°
E) 𝑥 − 𝑦 = 270°
9) Evalué: 𝑀 =
1 𝑔+2 𝑔+3 𝑔+4 𝑔+⋯ 2018 𝑔
10+20+30+40+⋯ 20180
A) 9 B) 10 C)
9
10
D)
10
9
E)
9
5
10) Si se cumple que: 37,98° <> 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑔
𝐵𝑂̅̅̅̅ 𝑚
;
determinar el valor de: 𝑀 = 𝐴2
− 𝐵2
A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 18
11) Sabiendo que:
(
1°21′
3′ ) (
2°15′
5′ ) (
4°3′
30′ ) <> 𝑎0̅̅̅̅ 𝑔
𝑏𝑐̅̅̅ 𝑚
𝑑𝑒̅̅̅ 𝑠
Calcular: 𝑀 =
𝑏+𝑑+9+𝑒
𝑎+𝑐+4
A) 1 B) 2 C)
1
2
D)
1
3
E) 3
12) Dadas las siguientes medidas
angulares : 𝛼 = 0,5236 𝑟𝑎𝑑;
𝛽 = 30 𝑔
50 𝑚
; 𝜃 = 270
25′
de
ordenar de menor a mayor.
(𝜋 = 3,1416)
A) 𝛽 < 𝜃 B) 𝜃 < 𝛽 < 𝛼
C) 𝛼 < 𝛽 < 𝜃 D) 𝜃 < 𝛼 < 𝛽
E) 𝛼 < 𝜃 < 𝛽
13) Si se cumple: (5𝑥 + 6) 𝑜
<> (10𝑥 + 4) 𝑔
,
calcule el valor de x
A)
1
5
B) 2 C)
3
5
D) 3 E) 5
14) Siendo S y C lo convencional para una
medida angular, indique el valor de:
𝑀 = √
𝜋𝑆 + 𝜋𝐶 + 20𝑅
0,2(𝜋𝐶 − 𝜋𝑆)
A) 5 B) ±5 C) 10 D) ±10 E) 20
15) El promedio de los números
convencionales de una medida
angular resulta (380 + 𝜋). Calcule la
medida del ángulo en el sistema
centesimal.
A) 200 𝑔
B) 300 𝑔
C) 400 𝑔
D) 500 𝑔
E) 600 𝑔
16) Calcule el valor de x sabiendo que se
cumple: [
(𝑥+3)0
5 𝑔 ]
𝑂
<> [
(4𝑥−18)0
15 𝑔 ]
𝑔
A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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17) Si 𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑏 𝑟𝑎𝑑 son
complementarios y se cumple
𝑎 =
𝜋
4
+
2𝑆
3
; 𝑏 =
𝜋
5
−
𝐶
2
; S y C son lo
convencional. Calcule la medida del
ángulo en radianes.
A)
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑 C) [
𝜋
5
]
2
𝑟𝑎𝑑
D) [
𝜋
10
]
2
𝑟𝑎𝑑 E) [
𝜋
100
]
2
𝑟𝑎𝑑
18) En base a los datos de la figura,
calcule (
10𝑥
3
)
𝑔
en radianes.
A)
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 B)
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑
19) Siendo S, C y R lo convencional para
una medida angular y se cumple:
𝑆+𝐶+𝑅
38𝑅
=
40𝑅
𝜋
+
𝐶−𝑆
2(𝑆+𝐶)
Calcule la medida del ángulo en radianes.
A)
1
2
𝑟𝑎𝑑 B)
1
3
𝑟𝑎𝑑 C)
1
4
𝑟𝑎𝑑
D)
1
5
𝑟𝑎𝑑 E)
1
6
𝑟𝑎𝑑
20) Del gráfico, calcule x+y.
A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8
21) Si (30, 34)º = 𝐴º𝐵′𝐶",
Calcule A+B+C
A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75
22) Reduzca la siguiente expresión
1 𝑔
1 𝑚
1 𝑚 +
2 𝑔
2 𝑚
2 𝑚 +
3 𝑔
3 𝑚
3 𝑚 +
4 𝑔
4 𝑚
4 𝑚 + ⋯
202 𝑔
202 𝑚
202 𝑚
101
A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202
23) De la siguiente igualdad
𝑎 𝑔
𝑏 𝑚
𝑐 𝑠
= 45 𝑔
28 𝑚
63 𝑠
+ 28 𝑔
63 𝑚
45 𝑠
+ 63 𝑔
45 𝑚
28 𝑠
Calcule a – b – c
A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52
24) Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2
25) Se crea un nuevo sistema de medición
angular, cuya unidad (1u) es la
séptima parte del ángulo de media
vuelta. Simplifique la expresión
7 𝑢
3
+
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
7 𝑢
3
+ 50 𝑔
A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3
26) Calcule el equivalente de
54° + 60 𝑔
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
+
5°5′
5′
+
6 𝑔
80 𝑚
10 𝑚
A) 137 B) 135 C) 141 D) 138 E) 140
27) Calcule el valor de la siguiente
expresión
𝑥° + 𝑥′
𝑥 𝑔 − 39𝑥 𝑚
A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27
D) 20/27 E) 23/27